Laborpraktikum Solitäre Wellen : Aufgabenstellung, theoretischer Hintergrund und Praktikumsablauf

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1 LEICHTWEIß-INSTITUT FÜR WASSERBAU Abteilung Hydromechanik und Küsteningenieurwesen Professor Dr.-Ing. Hocine Oumeraci Laborpraktikum Solitäre Wellen : Aufgabenstellung, theoretischer Hintergrund und Praktikumsablauf Hinweise zum Praktikumsablauf: Bitte machen Sie sich vor dem Labortermin anhand der Aufgabenstellung mit dem Inhalt und dem theoretischen Hintergrund des Laborpraktikums vertraut. Die in der Aufgabenstellung zitierte Literatur ist zum Teil über Studip verfügbar. Das Laborpraktikum dauert ca. fünf Stunden. Bitte beachten Sie, dass in der Versuchshalle festes Schuhwerk getragen werden muss, die Kleidung während der Versuche schmutzig werden kann und bei kalter Witterung entsprechenden Wärmeschutz gewährleisten muss. Ein Klemmbrett als Schreibunterlage ist empfehlenswert. Für Fragen und Auskünfte steht Ihnen Kai Tegethoff unter der Telefonnummer 0531/ zur Verfügung. Sprechstunden nach Vereinbarung Bitte geben Sie das schriftliche Protokoll und die Interpretation der Ergebnisse bis spätestens 4 Wochen nach dem Praktikumstermin zur Anerkennung ab. Stand:

2 Inhaltsverzeichnis 1 Theoretische Grundlagen Überblick über die Wellentheorien Einordnung der Solitone Die Eigenschaften solitärer Wellen Die Korteweg-deVries-Gleichung Die Versuchseinrichtung Kalibrierung der Wellenpegel Aufgabenstellung und Versuchsaufbau Schrifttum... 25

3 1 Theoretische Grundlagen Solitäre Wellen und Solitone sind stationäre Wellenpakete, die sich solange sie ungestört sind, praktisch ohne Änderung der Form und der Geschwindigkeit ausbreiten. Spektakuläre Beispiele dafür sind u. a. Gezeitenwellen und Tsunamis. Solitäre Wellen sind qualitativ erstmals 1834 von dem Ingenieur John Scott Russel 1 beschrieben worden. Doch erst 1895 gelingt Diederik Korteweg 2 und Gustav de Vries 3 mit der gleichnamigen Korteweg-de-Vries-Gleichung (KdV-Gleichung) eine mathematisch theoretische Erklärung einer solitären Welle. Danach geriet das Thema in Vergessenheit bis die Relevanz der solitären Wellen als nichtlineare Phänomene für die Physik, Elektrotechnik (Lichtwellenleiter) und Biologie (Neurowissenschaft) in den 60er-Jahren des vorigen Jahrhunderts u. a. durch Zabusky 4 und Kruskal 5 wieder entdeckt wird. Der Begriff Soliton ist von ihnen geprägt worden. Beide Begriffe werden jedoch synonym verwendet. Physikalisch gesehen sind Solitone stationäre Wellenpakete in nichtlinearen dispersiven Systemen, die bei ihrer Fortpflanzung ihre Gestalt beibehalten. Dies ist möglich, wenn sich Dispersion und Nichtlinearität gegenseitig kompensieren. Aufgrund ihrer Fortbewegung werden sie dynamische Solitone genannt. Bei Wasserwellen wird unter Dispersion die Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit c von der Wellenlänge L oder der Wellenfrequenz f verstanden. Wellen mit unterschiedlichen Wellenlängen bewegen sich daher mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten fort. Auf Solitone trifft dies nicht zu. Die Nichtlinearität bewirkt, dass die Wellenausbreitung nicht nur von der Frequenz, sondern auch (nichtlinear) von der Wellenamplitude abhängt (Brockhaus Enzyklopädie, 2006). Aus diesem Grund behält eine solitäre Welle ihre Größe und Form und besitzt die Tendenz steiler und steifer zu werden. Im Unterschied dazu existieren auch Wellenpakete in linearen dispersiven Systemen, die aufgrund der Dispersion auseinander laufen, d. h. Wellen mit kleinerer Wellenlänge sind langsamer und scheiden aus dem Wellenpaket aus. Zu diesen werden alle Wasserwellen gezählt, die nur von der Frequenz abhängen. Abbildung 1.1 zeigt den Vergleich einer gewöhnlichen Welle mit einem Soliton. 1 John Scott Russel ( ), schottischer Ingenieur. 2 Diederik Johannes Korteweg ( ), niederländischer Mathematiker, 1881 bis 1918 Professor an der Universität Amsterdam. 3 Gustav de Vries ( ), niederländischer Mathematiker, Student und Doktorand Kortewegs. 4 Norman J. Zabusky (ohne Angaben), US-amerikanischer Physiker. 5 Martin David Kruskal ( ), US-amerikanischer Mathematiker und Physiker. 1

4 Abb. 1.1: Schema einer gewöhnlichen zerfließenden (dispergierenden) Welle (links) und einer solitären Welle, die bei Ausbreitung Größe und Form beibehält (Brockhaus Enzyklopädie, 2006) 1.1 Überblick über die Wellentheorien Einordnung der Solitone Solitäre Wellen gehören mathematisch zur Cnoidal-Theorie und zur Theorie der Einzelwelle, deren Grundlagen die Arbeiten von Boussinesq 6 (1872), Rayleigh 7 (1876) und McCowan 8 (1891) gelegt haben. Kortenweg und de Vries (1895) bauen mit ihrer Arbeit darauf auf. Sie haben mit der KdV-Gleichung zuerst eine mathematische Beschreibung für einen Soliton gefunden. Die Wellentheorien werden in die Kategorien linear und nichtlinear unterteilt (vgl. Abb. 1.2). Nichtlineare Wellentheorien sind die Wellentheorien nach Stokes 9, die Trochoidal-Theorie, die Cnoidal-Theorie, die Theorie der Einzelwellen, die Streamfunction-Theorie sowie verschiedene modifizierte Theorien. Mit Hilfe dieser Theorien lassen sich auf unterschiedlichen Wegen Näherungslösungen für die Wellenkontur und das Geschwindigkeitspotential einer einzelnen Welle oder eines Wellensystems entwickeln. Es existieren drei verschiedene Lösungsansätze für nichtlineare Wellentheorien (Graw, 1995): Lösung durch Potenzreihenentwicklung, Lösung mit numerischen Methoden, Exakte Lösung unter bestimmten Annahmen bei der Trochoidal-Theorie. Die Cnoidal-Theorie ist 1895 durch Korteweg und de Vries entwickelt und später durch zahlreiche andere Wissenschaftler u. a. Wiegel (1960) weiterbearbeitet worden. Sie eignet sich für die Beschreibung langer Wellen, die sich im Flachwasser ausbreiten. Dies trifft auf solitäre Wellen zu. Die Bezeichnung der Cnoidal-Theorie geht auf die englische Übersetzung für si- 6 Valentin Joseph Boussinesq ( ), französischer Mathematiker und Physiker. 7 John William Strutt, 3. Baron Rayleigh ( ), englischer Physiker. 8 John McCowan ( ), schottischer Physiker. 9 Sir George Gabriel Stokes ( ), irischer Mathematiker und Physiker, Professor für Mathematik an der Universität Cambridge. 2

5 nusförmig sinusoidal und die Abkürzung cn für Jakobische-elliptische cos-funktionen zurück. Mit Jakobischen-elliptischen Funktionen wird das Wellenprofil dargestellt (EAK, 2002). Von der Einordnung der solitären Wellen als Flachwasserwellen darf man sich nicht täuschen lassen, da sich solitäre Wellen, unabhängig von der Wassertiefe, in Meeren und Seen einstellen. Der Name leitet sich von ihren Eigenschaften ab (vgl. Abschnitt 2.2). Es wird angenommen, dass sich solitäre Wellen mit einer unendlichen Wellenlänge L und somit auch einer unendlichen Wellenperiode T über den Ruhewasserspiegel bewegen, wodurch sie immer Grundberührung haben und demnach Flachwasserwellen sind. 3

6 Abb. 1.2: Klassifikation der Wellentheorien und mathematischer Voraussetzungen (Le Mehaute, 1976) 4

7 Dynamische Solitone gehen als eine spezielle Gruppe von lokalisierten, formstabilen Lösungsfunktionen aus bestimmten nichtlinearen partiellen Differenzialgleichungen hervor. Sie stellen einen Grenzfall der Cnoidal-Theorie dar. Diese geht im Tiefwasserbereich in die Theorie mit sinusförmiger Oberfläche (lineare Wellentheorie) und im Flachwasserbereich in die Theorie der Einzelwelle über. Mit der Theorie der Einzelwelle wird das Einlaufen sehr langer Wellen, wie z. B. Solitone, in flaches Wasser berechnet. Zudem wird sie zur Bestimmung des Brechkriteriums einer Welle infolge verringerter Wassertiefe genutzt. Abb. 1.3: Anwendungsbereiche verschiedener Wellentheorien, nach: Cerc (1984) Zur Lösung eines speziellen Problems ist es wichtig zu wissen, welche Wellentheorie angewendet werden kann. Deshalb muss ihre Gültigkeit bekannt sein. Dieses Gebiet ist jedoch noch nicht abschließend erforscht. Es gibt verschiedene Vorschläge für die Anwendungsgrenzen der unterschiedlichen Theorien. Abbildung 1.3 zeigt die wichtigsten Wellentheorien und ihre Anwendungsbereiche nach Cerc (1984). Diese werden mit Hilfe der dimensionslosen Parameter H/(gT²) und d/(gt²) gekennzeichnet. Die dimensionslose Größe d/l bezeichnet die relative Wassertiefe. Sie wird mit der Wellensteilheit H/L zum Ursell-Parameter UR = (H/L) (L/d)³ verknüpft. Prinzipiell sind die nichtlinearen Wellentheorien bei größer werdendem Ursell-Parameter anzuwenden, um die gleiche relative Genauigkeit wie die lineare Wellentheorie zu erreichen. Um die unterschiedlichen Wellentheorien zu veranschaulichen, zeigt Abbildung 1.4 vier verschiedene Wellenprofile, welche mit unterschiedlichen Theorien berechnet worden sind. Zuoberst ist ein Wellenprofil nach der linearen Wellentheorie abgebildet (vgl. Abb. 1.4 a). Nach ihr ergibt sich eine Wellenform, die auf Sinus- oder Kosinuswellen beruht. Als zweites Wellenprofil folgt eines nach der Wellentheorie nach Stokes (vgl. Abb. 1.4 b). Für Tiefwasser und Wellen im Übergangsbereich eignet sich die Wellentheorie nach Stokes besser, da nichtlineare Einflüsse teilweise berücksichtigt werden. Die Wellen sind hier deutlich steiler als nach Airy-Laplace. Das Wellenprofil nach der Cnoidal-Theorie wiederum berücksichtigt die größer werdende Wellenlänge und die nichtlinearen Einflüsse im Flachwasserbereich besser (vgl. Abb. 1.4 c). Das Wellenprofil nach der Theorie der Einzelwelle besitzt kein Wellental mehr. Die gesamte Welle besteht nur noch aus dem Wellenberg, da eine Einzelwelle nur eine einzelne Wasserspiegelauslenkung auf einer sonst unveränderten Wasseroberfläche darstellt (vgl. Abb. 1.4 d). Es wird angenommen, dass eine solitäre Einzelwelle eine unendliche Wellenlänge L besitzt. 5

8 (a) Lineare Theorie: Tiefwasser, geringe Wellensteilheit (Airy/La Place) h RWS L H (b) Stokes: Tiefwasser, große Wellensteilheit RWS L H h (c) Cnoidale Wellentheorie: Flachwasser (Korteweg/de Vries) RWS L H h (d) Theorie der Einzelwelle (Solitäre Welle): Grenzbedingung cnoidaler Wellen (Boussinesq) RWS L H h 1/ m V h H 3 m Abb. 1.4: Wellenprofile (Oumeraci, 1996 und EAK, 2002) 1.2 Die Eigenschaften solitärer Wellen Russel beschreibt solitäre Wellen in seiner Arbeit qualitativ durch folgende Eigenschaften: Solitäre Wellen können sich stabil über lange Distanzen fortbewegen. Die Wellengeschwindigkeit c hängt von der Wellenhöhe H und der Wassertiefe h ab. Solitäre Wellen vereinigen sich bei einem Treffen nicht, sondern gehen scheinbar unverändert, da Phasenverschiebung auftritt, daraus hervor. Große Wellen überholen kleinere. Ist eine solitäre Welle zu groß für die Wassertiefe, teilt sie sich in eine große und eine kleine Welle. Die Erfassung von Wellen mittels linearen und nichtlinearen Wellentheorien ist eine mathematische Sichtweise. Eine andere Sichtweise bietet die physikalische Betrachtung der Vorgänge, aus der einige grundlegende Eigenschaften von Solitonen abgeleitet werden können. 6

9 Bei der physikalischen Betrachtung wird zwischen oszillatorischen und translatorischen Wellen unterschieden. Die oszillatorischen Wellen heißen auch Transversalwellen. Sie werden in fortschreitende und stehende Wellen geteilt. Solitäre Wellen sind translatorische Wellen. Im Gegensatz zu oszillatorischen Wellen findet bei translatorischen Wellen ein Massentransport statt. Die transportierte Masse besteht aus den Wasserteilchen unter der Welle. Abbildung 1.5 veranschaulicht die Unterschiede zwischen oszillatorischen und translatorischen Wellen. Unter Annahme der linearen Wellentheorie bewegen sich die Wasserteilchen bei oszillatorischen Wellen auf Orbitalbahnen unter der Wasserspiegelauslenkung, die durch die Welle verursacht worden ist. Abgesehen von der Bewegung auf der Orbitalbahn, verändern die Wasserteilchen jedoch nicht ihren Ort. Bei translatorischen Wellen wandern die Wasserteilchen unter dem Wellenberg in Wellenfortschrittrichtung mit. Demnach bewegt sich die gesamte Wassersäule unter der Welle fort. In sehr geringem Maße kann auch bei oszillatorischen Wellen in den Theorien höherer Ordnung ein Massentransport auftreten. Dies sind z. B. die Wellentheorien nach Stokes oder die Cnoidale Wellentheorie. Weitergehende Ausführungen zu diesem Aspekt sind bei Dean & Dalrymple (1984) zu finden. (a) Oszillatorische Welle (b) Translatorische Welle (Einzelwelle) L / 2 L L / 2 L RWS H RWS H Abb. 1.5: Bewegung der Wasserteilchen in einer Welle (Oumeraci, 1996 und EAK, 2002) Werden Solitone weiterhin physikalisch betrachtet, können sie als stationäre Wellenpakete in einem nichtlinearen dispersiven System angesehen werden (Brockhaus Enzyklopädie, 2006). Das nichtlineare dispersive System ist in diesem Fall das Medium Wasser. Wellenpakete sind räumlich und zeitlich begrenzte Systeme von Wellen. Der Seegang kann auf diese Weise beschrieben werden. Nichtlinearität und Dispersion sind die notwendigen Voraussetzungen für die Existenz von Solitonen und somit ihre Hauptmerkmale. Die Auswirkungen dieser Eigenschaften, eine solitäre Wasserspiegelauslenkung, die über lange Zeit und eine lange Strecke unverändert bleibt, haben Russel so in Erstaunen versetzt. Ihre Stabilität resultiert aus nichtlinearen Wechselwirkungen. Die Eigenschaften Nichtlinearität und Dispersion kompensieren sich dabei gegenseitig. Nachfolgend wird dies näher erläutert. 7

10 Unter Dispersion wird die Abhängigkeit einer physikalischen Größe oder Erscheinung von der Frequenz f oder der Wellenlänge λ einer Feldgröße verstanden (Brockhaus Enzyklopädie, 2006). Auf Wasserwellen übertragen bedeutet dies die Abhängigkeit der Wellengeschwindigkeit c von ihrer Frequenz f. Wellen mit unterschiedlichen Frequenzen bewegen sich also mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten fort. Übertragen auf ein System von mehreren unterschiedlichen Wellen wie den Seegang, bedeutet dies, dass Wellen mit kleineren Wellenlängen langsamer voranschreiten und deshalb allmählich aus dem System ausscheiden. Die verbleibende Welle wird flacher und löst sich langsam auf oder bricht im Chaos. Diese Eigenschaft ist bei allen Wasserwellen zu finden. Sie sind frequenzdispersiv. Es existiert jedoch bei einigen Wellen noch eine weitere Abhängigkeit. Teilweise ist die Wellengeschwindigkeit c auch von der Wellenhöhe H abhängig. Diese Wellen sind zusätzlich höhendispersiv. Der Unterschied liegt in der Nichtlinearität mancher Wellen begründet. Entsprechend der gewählten Wellentheorie können Wellen entweder als linear oder nichtlinear angesehen werden. Lineare Wellen sind horizontal und vertikal symmetrisch, da sie auf Sinusfunktionen basieren. Folglich ist der Betrag der maximalen Wasserspiegelauslenkung η im Wellenberg und Wellental gleich (vgl. Abb. 1.6 a). Nichtlineare Wellen sind Wellen, bei denen die Beträge des Wellenbergs und des Wellentals ungleich sind. Sie sind nicht mehr horizontal und vertikal symmetrisch, sondern nur noch vertikal symmetrisch (vgl. Abb. 1.6 b). Nichtlineare Wellen sind sowohl höhen- als auch frequenzdispersiv. (a) Lineare Welle (b) Nichtlineare Welle L / 2 L / 2 max L H 2 RWS L / 2 L / 2 L max H 2 RWS min H 2 min H 2 Abb. 1.6: Lineare (a) und nichtlineare (b) Welle (Oumeraci, 2014) Außerordentlich asymmetrisch sind Wellen kurz vor dem Brechen (vgl. Abb. 1.7). Sie können mit der Theorie der Einzelwelle erfasst werden, welche das theoretische Brechkriterium bei abnehmender Wassertiefe liefert (EAK 2002). Vor dem Brechen des Wellenkamms wird die Welle beständig steiler. Der Ursell-Parameter gibt an, wann eine Welle bricht. Bleibt die 8

11 Wassertiefe gleich, so wird das Brechen der Welle durch einen nichtlinearen Effekt verursacht. Die Nichtlinearität des Systems erzeugt eine höhere Geschwindigkeit der Wasserteilchen im Wellenkamm als im fuß. So werden die Wellen permanent steiler bis sie brechen. In solitären Wellen treten Dispersion und nichtlineare Wechselwirkungen gleichzeitig auf. Die nichtlinearen Wechselwirkungen können sowohl bei linearen, als auch bei nichtlinearen L '' max Abb. 1.7: Brechende Welle, (Oumeraci,2006) L L' H 2 H RWS Wellen zum Vorschein kommen. Dispersion und nichtlineare Effekte kompensieren sich gegenseitig, so dass Solitone bei ihrer Fortpflanzung nicht auseinander laufen, sondern ihre Form über einen langen Zeitraum behalten. Die einzelnen Wellenkomponenten werden aufgrund der nichtlinearen Wechselwirkungen aneinander gekoppelt. Solitone verhalten sich wie Teilchen, weil sie eine wohl definierte Energie besitzen. Trotz komplizierter Verformungen nehmen sie bei Wechselwirkung hinterher ihre ursprüngliche Form wieder an. Aufgrund des Teilchenverhaltens gibt es zu jedem Soliton einen Antisoliton. Diese können sich gegenseitig auslöschen (Brockhaus Enzyklopädie, 2006). Aufgrund ihrer Eigenschaften Dispersion und Translation können solitäre Wellen unabhängig von der Wassertiefe auf Meeren, Flüssen und Seen auftreten. 9

12 Unter Wechselwirkungen zwischen Solitonen werden u. a. Kollisionen und Überholvorgänge verstanden. Abbildung 1.8 illustriert die Kollision zweier Solitone, die aus entgegengesetzten Richtungen kommen. Die Solitone unterscheiden sich in ihrer Form und in ihrer Wellengeschwindigkeit c. Die Wellenhöhe H beider solitärer Wellen ist sehr ähnlich. Nach der Kollision behält jede solitäre Welle ihre Form, Wellengeschwindigkeit und Wellenhöhe. c 1 c1 2 c2 1 c 2 Referenzlinie: Ort der Begegnung c c 2 1 c c Unmittelbar vor dem Zusammenstoss Unmittelbar nach dem Zusammenstoss Beide Wellen haben ihre Identität bewahrt! In Abbildung 1.9 wird ein Überholvorgang von zwei Solitonen gezeigt, die sich Abb. 1.8: Kollision zweier Solitone (Oumeraci, 2014) in dieselbe Richtung fortbewegen. Die höhere, gelb markierte, solitäre Welle besitzt eine größere Wellengeschwindigkeit c als die niedrigere, grün markierte, so dass sich die Wellen überholen. Nach dem Überholvorgang gehen die solitären Wellen unverändert in ihrer Form, Geschwindigkeit und Höhe aus der Interaktion hervor. Auffällig ist jedoch eine Phasenverschiebung Δφ der Wellen zueinander. Die schnelle Welle hat einen zeitlichen Sprung in Wellenfortschrittsrichtung gemacht, während die langsame Welle einen Sprung in die entgegengesetzte Richtung, also nach hinten, vollzogen hat. Diese Phasenverschiebung tritt aufgrund der nichtlinearen und dispersiven Eigenschaften bei allen Überhol- und Kollisionsvorgängen von Solitonen auf. 10

13 c 1 c 2 c 1 c 2 Wellenrichtung c 1 c 2 Referenzlinie: Ort des Überholvorgangs c 1 c 2 Kurz vor Überholvorc 1 c 2 Kurz nach Überholvorgang c 1 c 2 c 2 c 1 ohne Interaktion Beide Wellen haben ihre Identität bewahrt! Abb. 1.9: Überholvorgang von zwei Solitonen (Oumeraci, 2006) 1.3 Die Korteweg-deVries-Gleichung Die KdV-Gleichung ist eine nichtlineare partielle Differenzialgleichung dritter Ordnung. Sie gehört zu den vollständig integralen Systemen und kann daher mit der inversen Streutheorie gelöst werden. Verschiedene Herleitungen werden z. B. in Lamb (1980) beschrieben. Die erste veröffentlichte Form der KdV-Gleichung lautet (vgl. Ahlburg, 2005): 2 3 g t 2 l x x (1.1) mit: η l (x, t) l 3 l Tl 3 g Indizes: t x Amplitude, Wassertiefe, Wasserspiegelauslenkung der Welle am Ort x, zur Zeit t, Spannung der Flüssigkeit in Abhängigkeit von der Dichte ρ mit T = Oberflächenspannung, g = Erdbeschleunigung. Ableitung nach der Zeit, Ableitung nach dem Ort. 11

14 Durch Normierung sind die folgenden Standardformen der KdV-Gleichung erreicht worden: ut 6uu x uxxx 0 (1.2) oder 3 u u u 6u 0 3 t x x (1.3) mit: u (x,t) Wasserspiegelauslenkung der Welle am Ort x zur Zeit t. In Gl. (1.2) sind der nichtlineare Term (6uux) und der dispersive Term (uxxx) deutlich getrennt. Der nichtlineare Term beschreibt das Wellenbrechen, indem er die Wellenhöhe H mit ihrer Wellengeschwindigkeit verknüpft. Je höher die Welle wird, desto schneller schreitet sie voran. Dies wird durch folgende Überlegung sichtbar, bei welcher der dispersive Term nicht beachtet wird. Die folgende Gleichung wird angenommen: u cu 0 t x (1.4) mit: c [m/s] Geschwindigkeit der Wasserteilchen in jedem Punkt der Welle. Als Lösung ergibt sich u x, t f x ct. (1.5) Wird der dispersive Term der KdV-Gleichung nicht berücksichtigt, dann bleibt u u u 0 t x (1.6) mit: u [m] Amplitude. Im Prinzip besitzen Gl (1.4) und Gl. (1.6) die gleiche Lösung. Demzufolge bestimmt die Amplitude u in der KdV-Gleichung die Geschwindigkeit c eines jeden Wasserteilchens in der Welle. Die Geschwindigkeit c des Teilchens steigt mit der Amplitude an. Je höher sich das Wasserteilchen in der Welle befindet, desto schneller bewegt es sich vorwärts, so dass die Welle letztendlich bricht. Somit ist dieser Teil der KdV-Gleichung alleine nicht stabil. Da 12

15 solitäre Wellen jedoch sehr formstabil sind, muss der zweite Teil der KdV-Gleichung die Instabilität ausgleichen. Deshalb werden nun die Auswirkungen des dispersiven Terms zunächst für sich, dann im Zusammenhang der gesamten Gleichung, betrachtet. Für sich genommen ruft auch der dispersive Term eine instabile Welle hervor. Ohne Berücksichtigung des nichtlinearen Terms ergibt sich u u 0. (1.7) Bei gleichförmiger Bewegung flacht die in Bewegungsrichtung zeigende Wellenflanke ab, so dass die Welle insgesamt flacher und langsamer wird; sie zerläuft. In der zusammengesetzten KdV-Gleichung (1.2) kompensieren sich die Geschwindigkeitszunahme aus dem nichtlinearen Term und die Geschwindigkeitsabnahme aus dem dispersiven Term. Die beschriebene Welle bleibt stabil. Eine weitere Form der KdV-Gleichung für Oberflächenwellen lautet t xxx c 0 t x x xxx (1.8) mit: c [m/s] Wellengeschwindigkeit gh, α [s -1 3 c ] Koeffizient, 2 h β [m³/s] 2 h Koeffizient c, 6 h [m] Wassertiefe, g [m/s²] Erdbeschleunigung. Der nichtlineare Teil wird hierbei durch ( ) und der dispersive Teil durch ( ) dargestellt. Die Wellengeschwindigkeit c sowie die Koeffizienten und hängen vom betrachteten Medium ab. Bei Oberflächenwellen in Wasser gelten die oben genannten Werte. x xxx Um das Verhältnis zwischen Nichtlinearität und Dispersion anzugeben, ist der Quotient eingeführt worden: 6 (1.9) mit: [m -3 ] Verhältnis zwischen Nichtlinearität und Dispersion. Die in Gl. (1.8) vorgestellte Variante der KdV-Gleichung lässt sich mit Hilfe von Beziehungen u h, x x ct und t t zu Gl. (1.2) umformen. 13 und den

16 Die KdV-Gleichung besitzt mehrere Lösungen und mehrere Lösungsmöglichkeiten, die u. a. in Lamb (1980) und Whitham (1974) beispielhaft hergeleitet und beschrieben werden. Interessant ist, dass solitäre Wellen nach Whitham (1974) eine maximale Wellenhöhe besitzen, die experimentell bei 0 h0 0,7 und theoretisch bei 0 h0 0,78 liegt. Dies wird auch von Jirka & Lang (2004) bestätigt. Einzelne solitäre Wellen (vgl. Kap. 4.3) werden mit der 1- Soliton Lösungen beschrieben. Zwei oder mehr in Wechselwirkung tretende solitäre Wellen (vgl. Kap. 4.4 und 4.5) werden entsprechend mit der 2-Soliton Lösung und der N-Soliton Lösung (vgl. Lamb, 1980) dargestellt. Die analytischen Ausdrücke, die multisolitäre Wechselwirkungen beschreiben, sind nach Lamb (1980) hauptsächlich Bargmann-Potentiale. Eine allgemeine stationäre 1-Soliton Lösung der KdV-Gleichung nach Ippen (1966) (vgl. Abb. 1.8) ist 2 3a (x, t) a sech 3 x ct fh (0.1) mit: (x, t) [m] Wasserspiegelauslenkung der Welle am Ort x zur Zeit t, a [m/s] Wellenamplitude, c [m/s] Wellengeschwindigkeit, sech -2 [-] hyperbolische Sekansfunktion 1/ cosh[], h [m] Wassertiefe. Abb. 1.10: Solitäre Welle nach Ippen (1966), aus: Jirka & Lang (2004) Ein Beispiel nach Zabusky (1968) und Gardner et al. (1974) für die Interaktion zweier Solitone wird in Lamb (1980) genauer erläutert. Nach Lamb (1980) durchlaufen die Impulse einander bei diesem Beispiel vollkommen elastisch. Es tritt dabei ein Phasensprung auf. 14

17 Die Lösungen der KdV-Gleichung sind sehr zahlreich und mathematisch durch unterschiedliche Lösungswege erreichbar. Diese werden in entsprechend umfangreicher Fachliteratur beschrieben. In dieser Arbeit kann deshalb nur ein kurzer Einblick in das komplexe Thema gegeben werden. 15

18 2 Die Versuchseinrichtung Für die Versuche steht die Berliner Rinne in der Versuchshalle des Leichtweiß-Instituts zur Verfügung. Die Berliner Rinne besteht aus zehn miteinander verschraubbaren Plexiglaselementen, die insgesamt eine Länge von rd. 20 m aufweisen. Die aufgebauten Plexiglaselemente verfügen über eine blaue Metallunterkonstruktion mit eingebauten Stützen. Die Metallunterkonstruktion trägt die Elemente in einer Höhe von 67 und 82 cm. Der Kanal ist also unterschiedlich tief: Im flachen Teil beträgt die Tiefe 38 cm, im tiefen Teil 53 cm. Der tiefere Abschnitt ist etwa 3,42 m, der flache Abschnitt 15,90 m lang. Die Breite beträgt über die gesamte Länge einheitlich 30 m. In Abbildung 2.1 ist der Querschnitt des flachen Kanalteils skizziert. 0,3 m 0,38 m An der tieferen Seite des Kanals befinden sich ein Generator zur Erzeugung von regelmäßigen Wellen sowie der dazugehörige Steuerstand. Beides wird für die Laborversuche zum Thema Solitäre Wellen nicht genutzt. Das Wellenpaddel, welches die Wellen durch horizontale Bewegung im Wasser unmittelbar verursacht, wird für die Modellversuche ausgebaut. Abb. 2.1: Querschnitt Berliner Rinne (flacher Abschnitt) Zur Messung der Wellenhöhe und zur Ermittlung der Wellengeschwindigkeit werden sechs Wellenpegel quer zur Wellenlaufrichtung installiert (vgl. Abb. 2.2 und Abb. 2.3). Ein Wellenpegel besteht aus zwei kleinen parallelen Stäben aus nicht rostendem Stahl. Am oberen Ende der Stäbe befindet sich auch der elektrische Anschluss der Pegel (vgl. Abb. 2.4). Einen Blick auf die paarweise hintereinander installierten Wellenpegel zeigt Abbildung 2.5. Die Wellenpegel müssen so lang sein, dass sich bei allen Versuchen stets noch ein kleiner Teil im Wasser befindet. Sie werden mit Kabeln über eine Sammelbox (vgl. Abb. 2.6) mit einem Verstärker (vgl. Abb. 2.7) verbunden. Der Verstärker versorgt die Pegel einerseits mit Spannung und verstärkt andererseits das von den Pegeln gemessene Signal. Dann gibt der Verstärker die Spannung über einen Analog-Digital-Wandler als Integer-Wert an einen Rechner weiter (vgl. Abb. 2.8 und Abb. 2.9). Der Rechner zeichnet die Daten mittels Messwerterfassung auf. Nach der Kalibrierung der Wellenpegel rechnet er die Messwerte mit dem Programm L~Davis direkt in die Wasserspiegelauslenkung η um. Die Kalibrierung der Wellenpegel sowie die Ermittlung des Kalibrierungsfaktors werden ausführlich in Kapitel 3 beschrieben. 16

19 Abb. 2.2: Wellenpegel Abb. 2.3: Befestigung des Wellenpegels Abb. 2.4: Anschluss Wellenpegel Am Rechner können die Werte mit Hilfe des Programms L~Davis als Zeitreihe visualisiert und bearbeitet werden. L~Davis ist ein am Leichtweiß-Institut entwickeltes Programm zur Bearbeitung und Auswertung von verschiedenen gemessenen Daten aus Laborversuchen wie z. B. Wasserdrücken und Wellenhöhen. Im Programm werden die gemessenen Wasserspiegelauslenkungen um einen zu Beginn jeder Messreihe ermittelten Mittelwert für den Nullwasserspiegel verschoben. Daher kann die gemessene Wasserspiegelauslenkung η zu jedem Zeitpunkt direkt abgelesen werden. Aus den Eintrittszeiten der Wellenmaxima an zwei Pegeln und deren Entfernung zueinander kann die Wellengeschwindigkeit c ermittelt werden. Abb. 2.6: Sammelbox Abb. 2.7: Verstärker Abb. 2.5: Installierte Wellenpegel Abb. 2.8: Analog-Digital-Wandler Abb. 2.9: Rechner Hierzu muss die Zeitreihe jedoch zuerst physikalisch interpretiert und ausgewertet werden, so dass lediglich die relevanten Daten herausgefiltert werden. 17

20 3 Kalibrierung der Wellenpegel Zur Messung der Wellenhöhe H und der Ermittlung der Wellengeschwindigkeit c werden Wellenpegel verwendet, an die eine elektrische Spannung angelegt wird. Da Wasser im Gegensatz zu Luft eine gute elektrische Leitfähigkeit besitzt, schließt sich der Stromkreis beim Eintauchen der Metallstäbe ins Wasser. Die Wellenpegel messen den elektrischen Widerstand der Stäbe in Abhängigkeit von ihrer Eintauchtiefe. Je höher der Wasserstand im Kanal, desto kürzer ist der Stababschnitt in der Luft und desto geringer ist auch der elektrische Widerstand. Umgekehrt wird der elektrische Widerstand größer, je niedriger der Wasserstand ist. Der gemessene elektrische Widerstand steht also in einem direkten Abhängigkeitsverhältnis zum Wasserstand und somit zur Eintauchtiefe der Wellenpegel. Um dieses Verhältnis zu bestimmen, muss jeder Wellenpegel einzeln kalibriert werden, da sich die Wellenpegel aufgrund von Material- und Größenunterschieden geringfügig unterscheiden. Kalibriert wird jeweils die gesamte Messkette aus Verstärker, Verkabelung, Pegel und Anschlüssen. Kalibriert werden die Wellenpegel einzeln mit dem Programm L~Davis in einer separaten Wassersäule. Aufgrund des Versuchsaufbaus wäre es auch möglich, die Kalibrierung für alle sechs Wellenpegel gleichzeitig vorzunehmen. Zudem reicht eine Kalibrierung vor Versuchsbeginn für alle geplanten Versuche aus, da die Pegel durchgehend an derselben Position bleiben. Allerdings wird hierauf aus Zeitgründen verzichtet. Über eine schrittweise Veränderung der Eintauchtiefe des Wellenpegels in die Kalibriersäule kann der Kalibrierungsfaktor für jeden Pegel bestimmt werden. Der höchste und der niedrigste Wasserstand müssen dabei einmal über und einmal unter den geplanten Wasserspiegelauslenkungen in den Versuchen liegen, damit der anvisierte Messbereich darin eingeschlossen ist. Das Programm L~Davis bildet aus den einzelnen Messwerten für die verschiedenen Eintauchtiefen einen Mittelwert. Gestartet wird bei einer Eintauchtiefe des Wellenpegels, dass er gerade so in das Wasser eintaucht. Dann wird er in gleichmäßigen Schritten von zwei bis fünf Zentimetern bis zur maximalen Eintauchtiefe in die Kalibriersäule gelassen. Bei jedem neuen Wasserstand wird die Messung des elektrischen Widerstands wiederholt. Der gemessene elektrische Widerstand jedes Wellenpegels wird von einem Analog-Digital-Wandler umgewandelt und in einem Rechner mit Messwerterfassung aufgezeichnet. Die gemessenen Spannungen im Bereich 10 Volt werden in Werte vom Datentyp Integer in einen Bereich von 2 15 umgewandelt. Die Kalibrierung erfolgt mit dem Programm L~Davis, welches für jeden Wellenpegel eine Funktion zwischen den bei jedem neuen Wasserstand gemessenen Werten berechnen kann. Das Programm stellt Geraden, Polynome zweiten und dritten Grades sowie Polygone zur Auswahl. In diesem Fall ist ein linearer Zusammenhang am sinnvollsten, falls dies eine ausreichend genaue Darstellung der Werte erlaubt. Die Zahlen vom Datentyp Integer werden im Programm L~Davis Digits genannt. Der Kalibrierungsfaktor C für jeden Wellenpegel ergibt sich aus der gewählten Funktion. Bei den durchgeführten Versuchen werden die Digits mit dem Kalibrierungsfaktor multipliziert, um die Wasserspiegelauslenkung η zu berechnen: 18

21 C Digit. (3.1) Eine Darstellung der Position jedes Wellenpegels erfolgt in Kapitel 4 bei der Beschreibung des Versuchsaufbaus (vgl. Abb. 4.1). Die Position der Pegel bleibt bei allen drei Versuchen unverändert. Nach der Kalibrierung aller Wellenpegel beginnt die Versuchsdurchführung. Sie wird in Kapitel 4 für jeden Versuch ausführlich beschrieben. 19

22 Wellenmaschine Laborpraktikum Solitäre Wellen 4 Aufgabenstellung und Versuchsaufbau Während des Laborpraktikums werden Sie drei verschiedene Versuche durchführen. Sie Erzeugen mithilfe der Schieber solitäre Wellen. Jeder Versuch sollte zur Überprüfung der Ergebnisse mindestens drei bis vier Mal durchgeführt werden! In den Formularen für die Versuchsdurchführung und Ergebniserfassung wird die Durchführung der Versuche genau beschrieben. Bitte beantworten Sie die dort gestellten Fragen direkt in den dafür vorgesehenen Leerzeilen in den Formularen. Falls der Platz nicht ausreichen sollte, können Sie die Rückseiten benutzen. Werten Sie die Messungen nach dem Laborpraktikum aus. Aus der Zeitreihe sind die Wellenhöhen H bzw. die Wasserspiegelauslenkungen η abzulesen. Diese legen Sie bitte den Formularen für die Versuchsdurchführung und Ergebniserfassung bei der Abgabe bei. Für die Beantwortung der Fragen zu den Zeitreihen ist entsprechender Leerraum gelassen worden. Die Lage der sechs Wellenpegel steht bei allen Versuchen 1 bis 3 fest, so dass die Wellenpegel ohne Umbaumaßnahmen für alle Versuche durchgängig genutzt werden können. Die Wellenpegel sind paarweise angeordnet. Sie sind vor Versuchsbeginn zu kalibrieren und gemäß der in Abbildung 4.1 angegebenen Positionen einzubauen. ZEICHNUNG UNMAßSTÄBLICH! ALLE ANGABEN IN METERN Pegel 5 und 6 Pegel 3 und 4 Pegel 1 und 2 RWS VORNE 2,5 0 3,42 0 0,5 0 0,42 5,38 0,5 19, ,1 1 15, ,5 0 HINTEN Abb. 4.1: Position der Wellenpegel bei allen Versuchen 20

23 Wellenmaschine Laborpraktikum Solitäre Wellen Versuch 1 Erzeugung einer solitären Welle Wählen Sie im Messprogramm eine Messdauer, die eine mindestens dreimalige Messung der Wellen an allen Wellenpegeln ermöglicht. Für die Erfassung des Wasserspiegels, der zu Beginn des Versuchs die Nulllinie darstellt, sind 10 Sekunden einzustellen. In dieser Zeit sollte der Wasserspiegel ruhig und ungestört sein. Lösen Sie erst danach den Soliton aus. Die Lage des Schiebers im Kanal ist in Abbildung 4.2 gezeigt. Bitte bauen Sie diesen mit Hilfe der Schraubzwingen entsprechend der Maße in der Skizze ein sofern dies noch nicht geschehen ist. Falls der Schieber bereits eingebaut ist, überprüfen Sie bitte die Position vor Beginn der Versuche. ZEICHNUNG UNMAßSTÄBLICH! ALLE ANGABEN IN METERN SCHIEBER 1 (KLEIN) RWS 0,15 0,5 0 2,92 3,42 15,90 15,48 0,42 19,32 VORNE HINTEN Abb. 4.2: Position der Schieber für Versuch 1 und 2 Eine Anleitung für die Durchführung wird in den Formularen für die Versuchsdurchführung und Ergebniserfassung beschrieben. 21

24 Erzeugen Sie eine solitäre Welle an der hinteren Seite des Kanals durch den Schieber (Seite, an der sich der Wasserauslass befindet) und messen Sie die Wellenhöhe als Wasserspiegelauslenkung η mit dem Messprogramm. Beobachten und beschreiben Sie, wie der Soliton aussieht und was passiert. Die Fragen sind in den Formularen zur Versuchsdurchführung und Ergebniserfassung zu finden. Bei diesem Versuch ist darauf zu achten, wie sich die Form der solitäre Welle NACH der Reflexion an dem Wellenblatt verhält. Dies ist in der Versuchsauswertung entsprechend zu dokumentieren (als Vorbereitung auf Versuch 2). Berechnen Sie nach der Durchführung der Versuche die Wellengeschwindigkeit c aus den aufgezeichneten Zeitreihen. 22

25 Wellenmaschine Laborpraktikum Solitäre Wellen Versuch 2 Überholvorgang zweier solitärer Wellen Erzeugen Sie zwei solitäre Wellen kurz hintereinander. Die erste Welle soll von der zweiten überholt werden. Zu diesem Zweck werden zwei Schieber im flachen Teil des Kanals eingebaut. Die genauen Abmessungen dafür werden in Abbildung 4.3 gezeigt. Die bei Versuch 1 gewählten Messdauern können beibehalten werden. Sie müssen nicht neu gewählt werden. Beobachten und beschreiben Sie, wie die solitären Wellen vor und nach dem Überholvorgang aussehen. Was passiert während des Überholvorgangs? Berechnen Sie nach der Durchführung der Versuche die Wellengeschwindigkeit c aus den aufgezeichneten Zeitreihen. Erläutern Sie die Vorgänge während des Versuchs. ZEICHNUNG UNMAßSTÄBLICH! ALLE ANGABEN IN METERN SCHIEBER 1 (KLEIN) SCHIEBER 2 (GROSS) RWS 0,15 3,42 15,33 0,15 0,42 19,32 VORNE HINTEN Abb. 4.3: Position der Schieber in Versuch 3 23

26 Versuch 3 Kollision zweier solitärer Wellen Erzeugen Sie zwei solitäre Wellen gleichzeitig. Für diesen Versuch wird die gleiche Schieberanordnung wie für Versuch 2 verwendet. Nach dem Ziehen des Schiebers 1 wird gewartet, bis der Soliton am anderen Ende der Rinne reflektiert wird. Dann wird Schieber 2 gezogen. Auf diese Weise erhalten Sie zwei entgegengesetzt laufende Solitone und können den Kollisionsvorgang wie vorgesehen beobachten. Die bei Versuch 1 gewählten Messdauern können beibehalten werden. Sie müssen nicht neu gewählt werden. Beobachten und beschreiben Sie, wie die solitären Wellen vor und nach der Kollision aussehen. Was passiert während der Kollision? Berechnen Sie nach der Durchführung der Versuche die Wellengeschwindigkeit c aus den aufgezeichneten Zeitreihen. Erläutern Sie die Vorgänge während des Versuchs. Zusatzversuch In zwei Versuchen mit verschiedenen Wasserständen hinter dem Schieber ist zu überprüfen, inwiefern sich durch die Einstauhöhe bei gleichem Volumen die Form des Solitons ändert. Hierzu sind zwei Läufe aus Versuch 1 mit Schieber 2 aus Abb. 4.3 zu wiederholen. Es ist jeweils das aufgestaute Volumen aus Versuch 1 zu ermitteln und dieses Volumen hinter Schieber 2 aus Abb. 4.3 aufzustauen. Dies ist für zwei verschiedene Einstauhöhen durchzuführen. Die Ergebnisse sind mit Versuch 1 zu vergleichen, um zu zeigen, wie sich die Einstauhöhe bzw. das Einstauvolumen auf die Form und Geschwindigkeit des Solitons auswirken. 24

27 5 Schrifttum Brockhaus Enzyklopädie. 21. Auflage, Bd. 25, Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus, Mannheim CERC (1984): Shore Protection Manual. U. S. Army, Corps of Engineers, Coastal Engineering Research Center, Vicksburg. Dean, R. G.; Dalrymple, R. A. (1984): Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey Gardner, C. S.; Greene, J. M.; Kruskal, M. D. und Miura, R. M. (1974): Korteweg-deVries equation and generalizations. VI. Methods for exact solution. Comm. Pure Appl. Math., 27, Kuratorium für Forschung im Küsteningenieurwesen, Hrsg. (2002): Die Küste EAK 2002, Empfehlungen für die Ausführung von Küstenschutzwerken, Heft 65, Westholsteinische Verlagsanstalt Boyens & Co. Heide i. Holstein. Lamb, G. L., Jr. (1980): Elements of Soliton Theory. John Wiley & Sons, Inc., New York, Chichester, Brisbanem Toronto. Le Mehaute, B. (1976): An Introduction to Hydrodynamics and Water Waves. Springer Verlag, New York, Heidelberg, Berlin. Oumeraci, H. (1996): Wellentheorien. Vorlesungsumdruck für das Vertiefungsstudium Hydromechanik und Küsteningenieurwesen, Leichtweiß-Institut für Wasserbau, Abt. Hydromechanik und Küsteningenieurwesen, Technische Universität Braunschweig. Oumeraci, H. (2014): Mechanik der Meereswellen. Vorlesungspräsentation WS 14/15 für das Vertiefungsstudium Hydromechanik und Küsteningenieurwesen, Leichtweiß-Institut für Wasserbau, Abt. Hydromechanik und Küsteningenieurwesen, Technische Universität Braunschweig. Russel, J. S. (1844): Report on waves. 14 th Meeting of the British Association for the Advancement of Science, York, September 1844 (London 1845), , Plates XLVII- LVII. Whitham, G. B. (1974): Linear and Nonlinear Waves. John Wiley & Sons, Inc., New York, Chichester, Brisbanem Toronto. Wiegel, R. L. (1960): A Presentation of Cnoidal Wave Theory for Practical Application. Journ. of Fluid Mech., 7(2), Cambridge University Press. Zabusky, N. J. (1968): Solitons and bound states of the time-independent Schrödinger equation. Phys. Rev., 168,