5 Ein Axiomensystem der euklidischen Geometrie

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1 5 Ein Axiomensystem der euklidischen Geometrie 5.1 Vorbemerkungen Im vorigen Kapitel haben wir gesehen, wie sich aus aus den Axiomen einer affinen Ebene Zahlbereiche entwickeln lassen, die im Pappusschen Fall Körper sind. Durch Hinzunahme von Anordnungsaxiomen hätten wir am Ende sogar den Körper der reellen Zahlen erhalten. In diesem Kapitel ändern wir unser Vorgehen. Wir wollen die klassische euklidische Ebene unter expliziter Verwendung der reellen Zahlen axiomatisch beschreiben hat G. D. Birkhoff ein Axiomensystem angegeben, das die Verwendung von Messlineal und Winkelmesser in der Zeichenebene formalisiert. Diese Ideen waren dann Grundlage des 1941 erschienenen Buches Basic Geometry von G. D. Birkhoff und R. Beatly. Wir verwenden im Folgenden ein Axiomensystem, das 1977 vom russischen Mathematiker Kolmogorov angegeben wurde. Es ist zum Hilbert schen Axiomensystem äquivalent, vereinfacht aber manche Beweise. 5.2 Das Axiomensystem Während üblicherweise eine große Abstraktheit bei der Einarbeitung in ein neues mathematisches Gebiet Schwierigkeiten bereitet,ist es hier umgekehrt.gerade die (vermeintliche) Konkretheit und Vertrautheit ist bei unserem Thema gefährlich. Jeder kennt die 70

2 5 EIN AXIOMENSYSTEM DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE 70 euklidische Ebene. Daher besteht immer die Gefahr, dass wir bei der Argumentation nicht nur die Axiome verwenden, sondern unbewusst anschauliche Argumente einfließen lassen. Auch bekannte Mathematiker sind bei ihren Beweisen des Parallelenaxioms dieser Gefahr erlegen (wir werden darauf später zurückkommen). Daher ist es hilfreich, bei den Überlegungen in diesem Kapitel neben dem uns vertrauten Modell der euklidischen Ebene E 2 auch das folgende zu betrachten. Dazu sei der E 2 eine Ebene π des E 3. σ N bzw. σ S sei die stereographische Projektion aus dem Nordpol N bzw. aus dem Südpol S einer Sphäre Σ um einen Punkt M π in deren Äquatorebene π (siehe Abb. 3.14). Dann besteht σ S (σ 1 N (π)) aus allen Punkten von π ohne M, vermehrt um einen Punkt (für das fehlende Bild des Punktes S unter σ S ). σ 1 N bildet die Geraden von π auf die Kreise von Σ durch N (ohne N) ab. σ S bildet einen solchen Kreis k auf einen Kreis durch M (ohne M) ab, falls S / k gilt. Für S k ist σ S (k) eine Gerade durch M (ohne M), vermehrt um den Punkt. Nimmt man alle Begriffe des E 2 (Geraden, Lot, Abstand, Kongruenz,... ) bei diesen Abbildungen mit, erhält man ein Modell der euklidischen Ebene mit der Punktmenge (E 2 \ {M}) { }. Aufgabe: Man zeige, dass die Inversion ι am Äquatorkreis dasselbe Ergebnis liefert (siehe 3.2 Bem. 4). A Def. 1 Eine Inzidenzstruktur (P, G, ) zusammen mit einer Abbildung d : { P P R (A, B) d(a, B). heißt absolute Ebene, wenn sie den folgenden Axiomgruppen I bis IV genügt; sie heißt euklidische Ebene, wenn sie den Axiomgruppen I bis V genügt. d(a, B) heißt der Abstand der Punkte A und B. Hilbert verwendet in seinem Axiomensystem ebenfalls die Grundbegriffe Punkt, Gerade und Inzidenz, daneben die Grundbegriffe zwischen (damit wird eine Ordnung auf den Geraden eingeführt) und Kongruenz. Das Axiomensystem von Kolmogorov verwendet statt dessen den Begriff Abstand. Es ist durchaus sinnvoll, die Menge R als Bildmenge der Abbildung d zu wählen. Einerseits reichen die rationalen Zahlen sicher nicht aus, da schon die Diagonale des Einheitsquadrats die Länge 2 hat. Andererseits sind die komplexen Zahlen unbrauchbar, da ihnen die Anordnung fehlt. Um deutlich zu machen, welche Aussagen welche Axiome voraussetzen, werden wir nach jeder Gruppe die Sätze beweisen und Definitionen aussprechen, die ohne die späteren Axiome auskommen. Wichtig ist insbesondere, welche Aussagen nicht von der Gültigkeit des Parallelenaxioms V abhängen, also Sätze der absoluten Geometrie sind.

3 5 EIN AXIOMENSYSTEM DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE 71 I Inzidenzaxiome (1) Zu zwei verschiedenen Punkten P, Q gibt es genau eine Gerade g, die beide Punkte enthält (Bezeichnung: g = P Q). (2) Jede Gerade enthält mindestens zwei Punkte. (3) Es gibt drei Punkte, die nicht derselben Geraden angehören. Satz 1 (i) Zwei verschiedene Geraden haben höchstens einen Punkt gemeinsam. (ii) Es gibt mindestens drei paarweise verschiedene Geraden. Beweis: (i) folgt aus I(1). (ii) Nach I(3) gibt es nichtkollineare Punkte A, B, C, die nach I(1) paarweise verschieden sind. Die drei Geraden AB, AC, BC sind dann ebenfalls paarweise verschieden. Wir werden die gewohnten Sprechweisen verwenden. So werden wir für P g auch P liegt auf g oder P inzidiert mit g oder P ist ein Punkt von g sagen. Explizit festhalten wollen wir die Begriffe der folgenden Def. 2 (i) Zwei Geraden, die sich nicht schneiden, heißen parallel. (ii) Punkte A, B, C,... einer Geraden heißen kollinear. Wir betrachten einige Beispiele. Beispiel 1 P = {A, B, C} und G = {{A, B}, {A, C}, {B, C}} erfüllen die Axiome I (Minimalmodell). Beispiel 2 Sei P = {A, B, C, D}. (i) P und G = {{A, B}, {A, C}, {A, D}, {B, C}, {B, D}, {C, D}} erfüllen die Axiome I. (ii) P und G = {{A, B, C}, {A, B, D}, {A, C, D}, {B, C, D}} erfüllen die Axiome I nicht. Beispiel 3 P = { (x, y) x, y R } und erfüllen die Axiome I. G = { { (x, y) ax + by + c = 0 } a, b, c R; a 2 + b 2 0 }

4 5 EIN AXIOMENSYSTEM DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE 72 II Abstandsaxiome (1) Für alle Punkte A, B gilt d(a, B) 0 und d(a, B) = 0 genau für A = B. (2) Für alle Punkte A, B gilt d(a, B) = d(b, A). (3) Für alle Punkte A, B, C gilt d(a, B) + d(b, C) d(a, C). Die Punkte sind genau dann kollinear, wenn eine der folgenden Gleichungen erfüllt ist. d(a, B) + d(b, C) = d(a, C), (22) d(a, C) + d(c, B) = d(a, B), (23) d(b, A) + d(a, C) = d(b, C). (24) In den Beispielen 1 und 2 (i) lässt sich ein Abstand einfach durch d(a, B) = 1 für A B definieren. (d(a, A) = 0 ist ja durch II(1) vorgeschrieben.) In Beispiel 3 kann man einen Abstand durch einführen. d(a, B) = d((a 1, a 2 ), (b 1, b 2 )) = (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 Die Abstandsaxiome machen die absolute Ebene zum metrischen Raum. Dies ist zwar eine starke Forderung, doch zeigen die oben erwähnten Metriken, dass dieser Begriff andererseits recht allgemein ist. Wir werden mit Hilfe der Metrik Bewegungen definieren. Man könnte auch umgekehrt vorgehen und sich eine Menge von Abbildungen vorgeben, die die Metrik festlegen. In Teil III werden wir so vorgehen. Def. 3 (i) Ein Punkt B liegt zwischen den Punkten A und C (in Zeichen: Zw(A, B, C)), wenn (22) sowie B A und B C gilt. (ii) Für A, B P (A B) heißt die offene Strecke und (AB) := { P P Zw(A, P, B) } AB := (AB) { A, B } die (abgeschlossene) Strecke zwischen A und B oder die Verbindungsstrecke dieser Punkte. A, B heißen die Endpunkte der Strecke, d(a, B) heißt ihre Länge. (iii) Sind A, B verschiedene Punkte, so heißen die Mengen AB + := { P P Zw(A, P, B) oder Zw(A, B, P ) oder P = B oder P = A } (25) und AB := { P P Zw(P, A, B) oder P = A } (26)

5 5 EIN AXIOMENSYSTEM DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE 73 (abgeschlossene) Halbgeraden oder Strahlen mit dem Anfangspunkt A. Entfernt man den Anfangspunkt, erhält man offene Halbgeraden. Bem. 1 (i) Wegen II(2) gilt Zw(A, B, C) genau dann, wenn Zw(C, B, A) gilt. (ii) Gilt Zw(A, B, C), so sind die Punkte wegen II(3) kollinear. Außerdem sind sie paarweise verschieden (Nach Def. wäre höchstens A = C möglich. Dann liefert aber (22) A = B = C.) (iii) Ebenfalls nach II(3) liegt von drei (verschiedenen) kollinearen Punkten A, B, C genau einer zwischen den beiden anderen. Gilt sowohl (22) als auch (23), folgt nämlich d(b, C) = 0, also nach II(1) B = C. Wir notieren nochmals die Zusammenhänge. ( ) A, B, C kollinear Zw(A, B, C) oder Zw(A, C, B) oder Zw(B, A, C) ( ) Zw(C, B, A) oder Zw(B, C, A) oder Zw(C, A, B) ( ) (22) oder (23) oder (24) (iv) Wie Beispiel 1 zeigt, muss es keine Punkte geben, welche die Zwischenbeziehung erfüllen. Offene Halbgeraden können also leer sein. Satz 2 Es gilt AB + AB = {A} und AB + AB = AB. Beweis: A AB + AB ist klar. Für P AB \ {A} gilt nach Def. 3 (iii) Zw(P, A, B) und daher nach Bem. 1 (iii) P / AB +. AB + AB AB ist klar. Gilt umgekehrt Q AB, so gilt Q {A, B} oder nach Bem. 1 (iii) eine der Zwischenbeziehungen in (25) oder (26). III Anordnungsaxiome (1) Zu jedem Punkt P und jeder reellen Zahl a 0 gibt es auf jeder Halbgeraden mit dem Anfangspunkt P genau einen Punkt R mit d(p, R) = a. (2) Jede Gerade g teilt die Menge P \ g so in zwei nichtleere Mengen (genannt die offenen Halbebenen mit der Randgeraden g), dass (a) die Verbindungsstrecke zweier Punkte, die nicht in derselben Menge liegen, die Gerade g schneidet, (b) die Verbindungsstrecke zweier Punkte, die in derselben Menge liegen, die Gerade g nicht schneidet. Nimmt man die Randgerade hinzu, so erhält man (abgeschlossene) Halbebenen. Wir bezeichnen eine Halbebene H mit der Randgeraden g = AB mit gc + oder ABC +, wenn H den Punkt C / g enthält, und mit gc oder ABC, wenn H den Punkt C nicht enthält.

6 5 EIN AXIOMENSYSTEM DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE 74 Bem. 2 Aus III(1) folgt, dass jede Halbgerade, Gerade und Strecke unendlich viele Punkte besitzt. Es gibt daher keine endlichen Modelle für die Axiomgruppen I - III. Axiom III(2) erlaubt eine wichtige Aussage über Dreieckstransversalen, die in anderen Axiomensystemen auch als Axiom von Pasch bezeichnet wird. Wir formulieren zunächst die Def. 4 Sind A, B, C nicht kollinear, so heißt die Menge AB BC CA das Dreieck ABC mit den Seiten AB, BC, CA. Man beachte den Unterschied zu Kapitel 4, wo auch das Innere zum Dreieck gehörte (siehe Kor. 1). Satz 3 (Satz von Pasch) Liegt auf der Geraden g keine Ecke des Dreiecks ABC, so gilt: Schneidet g die Seite AB, so schneidet g auch genau eine der Seiten BC, CA. Beweis: Wegen g (AB) liegen A und B nach III(2) in verschiedenen Halbebenen mit der Randgeraden g. Daher liegen entweder A, C oder B, C in verschiedenen Halbebenen mit dieser Randgeraden. Korollar 1 Keine drei der Punkte A, B, C, R seien kollinear. Gilt R ABC + ACB + BCA + \ (AB BC CA) (R im Innern von ABC; siehe Abb. 5.3), so trifft AR + die offene Strecke (BC). C R  A B Abbildung 5.3: Zu Korollar 1 Beweis: Wir wählen einen Punkt  AB mit Zw(Â, A, B), also mit  ACB, und wenden den Satz von Pasch auf ÂBC an. Danach schneidet AR eine der offenen Strecken (ÂC) oder (BC). Wegen ÂC+, BC + ABC + und AR ABC + = AR + schneidet auch AR + eine dieser Strecken. Aus AR + ACB + und (ÂC) ACB \ AC folgt schließlich die Behauptung. Bem. 3 (i) Die Forderung R BCA + wurde im Beweis nicht verwendet. Die Aussage gilt daher für alle Punkte R ABC + ACB +.

7 5 EIN AXIOMENSYSTEM DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE 75 (ii) ABC ACB BCA = (Für X ABC ACB gilt nämlich AX ABC ACB. Wegen BC ABC = BC und BC ACB = CB gilt ferner BC ABC ACB =, woraus AX BC =, also X BCA + folgt.) Def. 5 Die Vereinigung von Halbgeraden SP + und SQ + heißt Winkel <) P SQ (oder <) QSP, <) (SP +, SQ + ), <) (SQ +, SP + )) mit den Schenkeln SP +, SQ + und dem Scheitel S. Für SP + SQ + = SP heißt der Winkel gestreckt. Für SP + = SQ + heißt er Nullwinkel. Ist der Winkel <) P SQ nicht gestreckt und kein Nullwinkel, so heißt der Durchschnitt der Halbebenen P SQ + und QSP + das Innere In <) P SQ dieses Winkels (siehe Abb. 5.4). P S Q Abbildung 5.4: In <) P SQ Def. 6 Eine surjektive Abbildung b : P P, die alle Abstände unverändert lässt, heißt Bewegung. Da jede Bewegung wegen II(1) eine injektive Abbildung ist, besitzt sie eine Umkehrabbildung, die nach Definition wieder eine Bewegung ist. Hieraus folgt der Satz 4 Die Bewegungen bilden bzgl. der Hintereinanderausführung eine Gruppe. Wir stellen nun einige geometrische Eigenschaften der Bewegungen zusammen. Satz 5 Eine Bewegung b besitzt folgende Eigenschaften. (i) b erhält die Zwischenbeziehung. (ii) b bildet die Gerade P Q auf die Gerade b(p )b(q) ab. (iii) b bildet die Strecke P Q auf die Strecke b(p )b(q) ab. (iv) b bildet die Halbgerade P Q ± auf die Halbgerade b(p )b(q) ± ab. (v) b bildet die Halbebene P QR ± auf die Halbebene b(p )b(q)b(r) ± ab. (vi) b bildet den Winkel <) P SQ (sowie sein Inneres) auf den Winkel <) b(p )b(s)b(q) (und dessen Inneres) ab. Beweis: (i) ist klar, da Bewegungen die Eigenschaft (22) auf die Bildpunkte übertragen. (ii) b(p Q) b(p )b(q) folgt aus (i); gilt, da mit b auch b 1 eine Bewegung ist.

8 5 EIN AXIOMENSYSTEM DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE 76 (iii), (iv) analog. (v) Die Gerade P Q wird nach (ii) auf die Gerade b(p )b(q) abgebildet. Für X P QR + schneidet XR die Gerade P Q nicht. Wegen der Injektivität von b sowie den Eigenschaften (ii) und (iii) schneidet daher b(x)b(r) die Gerade b(p )b(q) ebenfalls nicht. Also gilt b(p QR + ) b(p )b(q)b(r) +. folgt wie oben. (vi) folgt aus (iv) und (v). Die Aussagen (ii) und (iv) zeigen zusammen mit III(1) das folgende Korollar 2 Eine Gerade mit zwei Fixpunkten ist eine Fixpunktgerade. Wir kennen jetzt zwar zahlreiche Eigenschaften von Bewegungen, wissen aber nicht, ob solche Abbildungen - abgesehen von der identischen Abbildung - überhaupt existieren. Die Existenz sichert erst das Axiom IV. IV Bewegungsaxiom Für d(a, B) = d(p, Q) > 0 gibt es genau zwei Bewegungen b 1, b 2, die A auf P und B auf Q abbilden. Ist H eine Halbebene mit der Randgeraden AB, so gilt dabei b 1 (H) b 2 (H). Mit Hilfe des Begriffs der Fahne wird in Satz 6 eine Aussage bewiesen, die in vielen Axiomensystemen als Axiom formuliert wird (so genannte freie Beweglichkeit nach Helmholtz (1866)). Def. 7 Sind P ein Punkt, h = P Q + eine Halbgerade und H eine Halbebene mit der Randgeraden P Q, so heißt das Tripel F = (P, h, H) eine Fahne (siehe Abb. 5.5) H P h Abbildung 5.5: Fahne F = (P, h, H) Satz 6 Sind F = (P, h, H) und F = (P, h, H ) Fahnen, so gibt es genau eine Bewegung b, die F auf F abbildet (für die also b(p ) = P, b(h) = h und b(h) = H gilt). Beweis: Nach IV gibt es genau zwei Bewegungen b i (i = 1, 2) mit b i (P ) = P und

9 5 EIN AXIOMENSYSTEM DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE 77 b i (h) = h. Wegen b 1 (H) b 2 (H) gilt ferner entweder b 1 (H) = H oder b 2 (H) = H. Mit Satz 5 (v) und Kor. 2 folgt hieraus sofort das Korollar 3 Abbildung. Hat eine Bewegung b drei nicht kollineare Fixpunkte, so ist b die identische Bem. 4 Satz 6 erlaubt die Definition verschiedener Typen von Bewegungen, aus denen man durch Verkettung alle Bewegungen der euklidischen Ebene erhält (vgl. Abschnitt 1.3). (i) Wählt man P = P, h = h und H H, so erhält man eine Geradenspiegelung (siehe Kor. 2) b. Wegen b(b(h)) = H gilt b b = id. Die Geradenspiegelung ist also eine Involution. (ii) Wählt man P = P, h = P Q +, h = P Q sowie H H, so liegt eine Punktspiegelung vor. Auch diese Abbildung ist eine Involution. (iii) Seien P, Q, R nicht kollinear. Wählt man P = P, h = P Q +, h = P R + sowie H = P QR +, H = P RQ, so erhält man eine Drehung (siehe Abb. 5.6). (Zwar wurden R P Q R Q P Abbildung 5.6: Drehung anschaulich gesprochen durch die Festlegung des Inneren nur Winkel zwischen 0 und 180 definiert. Da allerdings zwei Drehrichtungen möglich sind, erhält man wenn man die Punktspiegelung hinzunimmt alle Drehungen zwischen 0 und 360.) (iv) Wählt man P P, h h P P und H = H, so erhält man eine Translation (siehe Abb. 5.7). Man kann also eine Translation ohne Verwendung des Parallelenaxioms de- H = H P h P h Abbildung 5.7: Translation

10 5 EIN AXIOMENSYSTEM DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE 78 finieren. Ihre typischen Eigenschaften, die die Bezeichnung Parallelverschiebung rechtfertigen, lassen sich allerdings nur mit dem Parallelenaxiom V zeigen. V (euklidisches) Parallelenaxiom Zu jeder Geraden g und jedem nicht auf g liegenden Punkt P gibt es höchstens eine Gerade, die P enthält und zu g parallel ist. Bevor wir uns diesem Axiom zuwenden, beweisen wir weitere Sätze der absoluten Ebene. 5.3 Die absolute Ebene Nach 5.2 Def. 1 werden in der absoluten Ebene nur die Axiomgruppen I bis IV vorausgesetzt. Wir werden nun einige Sätze dieser Geometrie beweisen und weitere Begriffe einführen. Wichtig ist, dass diese nicht vom Parallelenaxiom V abhängen. Wir beginnen mit Kongruenzbetrachtungen. Def. 1 Zwei Punktmengen M 1, M 2 heißen kongruent (M 1 = M2 ), wenn es eine Bewegung b gibt mit b(m 1 ) = M 2. Bem. 1 Die symmetrische Sprechweise ist erlaubt, da mit b auch b 1 eine Bewegung ist. = ist eine Äquivalenzrelation in der Potenzmenge von P. Bem. 2 Wir betrachten ein Dreieck ABC. Gilt für eine Bewegung b b(a) = A, b(b) = B, b(c) = C, so werden nach 5.2 Satz 5 (iii) die Seiten von ABC auf die Seiten von A B C abgebildet. Die beiden Dreiecke sind daher kongruent. Ferner werden nach 5.2 Satz 5 (vi) die Winkel der beiden Dreiecke aufeinander abgebildet. Auch sie sind also kongruent. Wir beweisen im Folgenden einige aus der Schule bekannte Kongruenzsätze und zeigen damit, dass sie zur absoluten Geometrie gehören. Wir beginnen mit einem vorbereitendem Lemma. Lemma Für jeden Winkel <) (p, q) gelten die folgenden Aussagen. (i) Es gibt eine Bewegung b mit b(p) = q und b(q) = p. (ii) Zu jeder Halbgeraden p und jeder Halbebene H, deren Randgerade p enthält, gibt es genau eine Halbgerade q H mit <) (p, q ) = <) (p, q). (27)

11 5 EIN AXIOMENSYSTEM DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE 79 Q S R 1 R 2 U (a) P Q S P (b) R Abbildung 5.8: Kongruente Winkel Beweis: (i) Es seien p = SP + und q = SQ + mit d(s, P ) = d(s, Q). Dann gibt es nach 5.2 Satz 6 genau eine Bewegung b mit b(s) = S, b(p ) = Q, b(sp Q + ) = SQP +. Wir nehmen R = b(q) P an. Dann gilt auch R / P Q und SR + SQP + \ (SQ SP ). Fall 1: SR + SP Q + (siehe Abb. 5.8 (a)). Nach 5.2 Kor. 1 und Bem. 3 (i) schneidet SR + die offene Strecke (P Q) in einem Punkt U( R). Im Dreieck RUQ gilt woraus d(r, U) + d(u, Q) > d(r, Q) = d(p, Q) = d(p, U) + d(u, Q), d(r, U) > d(p, U) (28) folgt. Wir betrachten nun das Dreieck SP U. Für Zw(S, R, U) (man betrachte in Abb. 5.8 (a) die Lage R 1 ) gilt also d(s, P ) + d(p, U) > d(s, U) = d(s, R) + d(r, U) = d(s, P ) + d(r, U), d(p, U) > d(r, U) im Widerspruch zu (28). Für Zw(S, U, R) (man betrachte R 2 ) folgt derselbe Widerspruch aus d(s, U) + d(u, P ) > d(s, P ) = d(s, R) = d(s, U) + d(u, R). Fall 2: SR + SP Q (siehe Abb. 5.8 (b)). In diesem Fall gilt SR + (P Q) =. Da aus R SQP + auch SR (P Q) = folgt, gilt SR (P Q) = und damit SP + SRQ +. Betrachten wir also <) (SR +, SQ + ) an Stelle von <) (SP +, SQ + ) und die Bewegung b 1 an Stelle von b, so liegt wieder Fall 1 vor. (ii) Nach (i) gilt (27) genau dann, wenn es eine Bewegung gibt, die p auf p und q auf q abbildet. Durch die erste Bedingung und die Festlegung der Halbebene H, die q enthalten soll, ist eine solche Bewegung nach 5.2 Satz 6 eindeutig bestimmt.

12 5 EIN AXIOMENSYSTEM DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE 80 Nach dem Lemma (und 5.2 Satz 6) gibt es genau zwei Bewegungen b 1, b 2, die zwei kongruente Winkel <) (p, q), <) (p, q ) aufeinander abbilden. Sie sind festgelegt durch b 1 (p) = p, b 1 (q) = q ; b 2 (p) = q, b 2 (q) = p. Satz 1 (Kongruenzsatz sws) Dreiecke ABC und A B C mit AB = A B, AC = A C und <) BAC = <) B A C sind kongruent. Beweis: Wir betrachten die nach 5.2 Satz 6 eindeutig existierende Bewegung b mit b(a) = A, b(ab + ) = A B + und b(abc + ) = A B C +. Für diese Abbildung gilt ferner b(ac + ) = A C + (nach obigem Lemma) sowie b(b) = B und b(c) = C (nach III(1)). Nach Bem. 2 sind daher ABC und A B C kongruent. Satz 2 (Kongruenzsatz wsw) Dreiecke ABC und A B C mit AB = A B, <) BAC = <) B A C und <) ABC = <) A B C sind kongruent. Beweis: (Filler, S. 91) A Satz 3 Sind in ABC die Seiten AC und BC kongruent, so sind auch die Basiswinkel <) BAC und <) ABC kongruent. Beweis: (Filler, S. 92) A Def. 2 Satz 4 Ein Punkt P der Strecke AB mit AP = P B heißt Mittelpunkt von AB. Jede Strecke AB besitzt genau einen Mittelpunkt. Beweis: Für P AB gilt nach 5.2 Def. 3 d(a, P ) + d(p, B) = d(a, B). Also ist P Mittelpunkt genau für d(a, P ) = 1 d(a, B). Nach III(1) gibt es genau einen Punkt P mit 2 dieser Eigenschaft. Wir beschäftigen uns nun etwas ausführlicher mit Winkeln. Insbesondere werden wir rechte Winkel einführen. Def. 3 Gegeben sei <) P SQ = <) (SP +, SQ + ). (i) Ist <) P SQ kein gestreckter Winkel, so heißt die Halbgerade SR + In <) P SQ Winkelhalbierende von <) P SQ für <) P SR = <) RSQ. (ii) <) (SP +, SQ ) und <) (SP, SQ + ) heißen Nebenwinkel zu <) (SP +, SQ + ). (iii) <) (SP, SQ ) heißt Scheitelwinkel zu <) (SP +, SQ + ). (iv) Für <) (SP +, SQ + ) = <) (SP, SQ + ) heißt <) (SP +, SQ + ) ein rechter Winkel. Satz 5 Sei <) P SQ kein gestreckter Winkel.

13 5 EIN AXIOMENSYSTEM DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE 81 (i) Gilt d(s, P ) = d(s, Q) und T P Q, so ist ST + genau dann Winkelhalbierende, wenn T Mittelpunkt von P Q ist. (ii) <) P SQ besitzt genau eine Winkelhalbierende. Beweis: (Filler, S. 92) A Satz 6 (i) Die beiden Nebenwinkel eines Winkels sind kongruent. (ii) Nebenwinkel kongruenter Winkel sind kongruent. (iii) Jeder Winkel ist zu seinem Scheitelwinkel kongruent. Beweis: (Filler, S. 93) A Satz 7 Zu jeder Halbgeraden SP + gibt es in jeder Halbebene H mit der Randgeraden SP genau einen rechten Winkel <) (SP +, SQ + ). Beweis: Nach 5.2 Satz 6 gibt es genau eine Bewegung b mit b(s) = S, b(sp + ) = SP und b(h) = H. Wegen b(sp ) = SP + gilt b b = id. Wir beweisen zunächst drei Hilfsbehauptungen. (i) Für Q H \ SP und b(q) = Q ist <) P SQ ein rechter Winkel. Dies folgt aus <) (SP +, SQ + ) = b( <) (SP +, SQ + )) = <) (SP, SQ + ). (ii) Es gibt (mindestens) einen rechten Winkel. Für einen Punkt Q H \ SP sind zwei Fälle möglich. Für b(q) = Q ist <) P SQ nach (i) ein rechter Winkel. Für b(q) = Q Q wird wegen b(qq ) = Q b(b(q)) = Q Q die Strecke QQ und damit auch ihr Mittelpunkt T auf sich abgebildet. Nach (i) ist <) P ST ein rechter Winkel. (iii) Sind Q H \ SP und <) P SQ ein rechter Winkel, so gilt Q := b(q) = Q. Wegen <) (SP, SQ + ) = <) (SP +, SQ + ) = b( <) (SP +, SQ + )) = <) (SP, SQ + ) und Q H folgt aus obigem Lemma SQ + = SQ + und damit Q = Q. (iv) Nach (ii) gibt es mindestens einen rechten Winkel. Nach (i) und (iii) liefern genau die Fixpunktgeraden von b durch S rechte Winkel. b id besitzt nach 5.2 Kor. 3 höchstens eine Fixpunktgerade, weshalb es auch nicht mehr als einen rechten Winkel geben kann. Def. 4 (i) Ein Winkel <) (p, q) heißt spitz, wenn es einen rechten Winkel <) (p, r) gibt mit q In <) (p, r) und q r.

14 5 EIN AXIOMENSYSTEM DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE 82 (ii) Ein Winkel, der kein spitzer, rechter oder gestreckter Winkel ist, heißt stumpf. Bem. 3 (i) Nach Satz 7 sind rechte Winkel kongruent. Ferner besitzen danach auch gestreckte Winkel eine (eindeutige) Winkelhalbierende. (ii) Jeder Nebenwinkel eines spitzen Winkels ist ein stumpfer Winkel und umgekehrt. Def. 5 Zwei Geraden k, l heißen zueinander senkrecht oder orthogonal (k l), wenn es Halbgeraden p k und q l gibt, die einen rechten Winkel <) (p, q) bilden (also insbesondere den gleichen Anfangspunkt haben). Für L l heißt l Lot von L auf k und der Schnittpunkt F der Geraden k und l dessen Fußpunkt. Ist F der Mittelpunkt der Strecke P Q k, so heißt l Mittelsenkrechte dieser Strecke. Satz 8 (i) Zu jedem Punkt P und jeder Geraden g gibt es genau ein Lot von P auf g. (ii) Jede Strecke besitzt genau eine Mittelsenkrechte. Beweis: (i 1 ) Für P g folgt die Aussage aus Satz 7. (i 2 ) Sei nun P / g. Wir betrachten die (eindeutige) Bewegung b, die g als Fixpunktgerade besitzt und die beiden von g berandeten Halbebenen vertauscht (siehe 5.2 Satz 6). Nach III(2) schneidet P b(p ) die Gerade g in einem Punkt F. Für R g \ {F } gilt dann A <) (F R +, F P + ) = b( <) (F R +, F P + )) = <) (F R +, F b(p ) + ) = <) (F R +, F P ). Also gibt es mindestens ein Lot von P auf g. Wir nehmen nun an, dass es zwei verschiedene Lote P A, P B (A, B g) gibt und wählen Q BP mit d(q, B) = d(p, B) (siehe Abb. 5.9). Nach Satz 1 (sws) gilt dann ABP = ABQ, weshalb <) BAQ ein rechter Winkel P A B g Q Abbildung 5.9: Lote auf g ist. Also sind AQ und AP Lote von g in A im Widerspruch zu Beweisteil (i 1 ). (ii) folgt mit Satz 4 aus (i). Man beachte, dass im Beweis auch die Existenz und Eindeutigkeit des Lotfußpunktes nachgewiesen wurde.

15 5 EIN AXIOMENSYSTEM DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE 83 Satz 9 (Kongruenzsatz sss) Dreiecke ABC und A B C mit AB = A B, AC = A C und BC = B C sind kongruent. Beweis: Nach IV gibt es eine Bewegung b mit b(a ) = A, b(b ) = B und b(c ) = D ABC. Es genügt, ABC = ABD nachzuweisen (siehe zum Folgenden Abb. 5.10). C C C C A B M A B M B A A B M D D D D Abbildung 5.10: Kongruenzsatz sss Für A CD (ebenso für B CD) liefert Satz 3 (in BCD) <) BCD = <) BDC. Die Aussage folgt damit aus Satz 1 (sws). Andernfalls gilt im gleichschenkligen Dreieck ACD nach Satz 3 <) ACD = <) ADC. Ist M der Mittelpunkt von CD, gilt daher ACM = ADM (siehe Satz 1). Daher ist <) AMC ein rechter Winkel ist. Entsprechend sieht man, dass <) BMC ein rechter Winkel ist. Die Eindeutigkeit des Lotes von CD in M (Satz 8 (i)) liefert daher M AB. Für M AB + folgt <) BAC = <) MAC = <) MAD = <) BAD. Für M BA + gilt entsprechend <) ABC = <) MBC = <) MBD = <) ABD. In beiden Fällen folgt die Aussage damit wieder aus Satz 1. Satz 10 Die Mittelsenkrechte m einer Strecke AB ist der Ort aller Punkte P mit Beweis: Sei M der Mittelpunkt von AB. d(a, P ) = d(b, P ). (29) (i) Für P m sind die Dreiecke AMP und BMP nach Satz 1 kongruent. Also gilt (29). (ii) Gilt umgekehrt (29) für einen Punkt P, so sind AMP und BMP nach Satz 9 (sss) kongruent. Also gilt <) (MA +, MP + ) = <) (MB +, MP + ) = <) (MA, MP + ), weshalb ein rechter Winkel vorliegt.

16 5 EIN AXIOMENSYSTEM DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE Winkel im Dreieck Im Zentrum dieses Abschnitts steht die Frage, was man über die Innenwinkelsumme IWS (ABC) im Dreieck ABC sagen kann, ohne das Parallelenaxiom V vorauszusetzen. Dazu müssen wir den Winkeln, die wir bisher nur als geometrische Figur betrachtet haben, eine Größe zuordnen. Wir beginnen mit dem vorbereitenden q r r q (a) p (b) p Abbildung 5.11: Winkeladdition und -subtraktion Lemma 1 Es seien p, q, r paarweise verschiedene Halbgeraden mit dem Anfangspunkt A sowie p, q, r (paarweise verschiedene) Halbgeraden mit dem Anfangspunkt A. Aus <) (p, r) = <) (p, r ) und <) (q, r) = <) (q, r ) folgt dann: (i) Für r In <) (p, q) (siehe Abb (a)) und r In <) (p, q ) gilt <) (p, q) = <) (p, q ). (ii) Für q In <) (p, r) (siehe Abb (b)) und q In <) (p, r ) gilt <) (p, q) = <) (p, q ). Beweis: Wir beweisen exemplarisch (i). Nach Definition und 5.3 Lemma gibt es Bewegungen b 1, b 2 mit b 1 (p) = p, b 1 (r) = r und b 2 (q) = q, b 2 (r) = r. Zu zeigen ist b 1 = b 2. b 2 bildet die q enthaltende Halbebene H q mit der Randgeraden g r auf die q enthaltende Halbebene H q mit der Randgeraden g r ab. Da die entsprechenden Halbebenen H p, H p, für die b 1 (H p ) = H p gilt, hiervon verschieden sind (siehe 5.2 Kor. 1 und 5.2 Bem. 3 (i)), gilt auch b 2 (H p ) = H p und damit b 1 = b 2. Will man Winkel vergleichen, muss man ihnen eine Größe so zuordnen, dass genau kongruente Winkel dieselbe Größe erhalten. Dann ist ihnen zwar noch kein Maß zugeordnet, aber Lemma 1 erlaubt eine repräsentantenunabhängige Definition der Addition und Subtraktion dieser Größen. Dazu seien p, q, r paarweise verschiedene Halbgeraden mit dem Anfangspunkt A. Ferner sei <) (p, r) ein Winkel der Größe α und <) (r, q) ein Winkel der Größe β. Für r In <) (p, q) (siehe Abb (a)) heißt dann die Größe γ des Winkels <) (p, q) die Summe von α und β (γ = α + β). Entsprechend definiert man die Differenz (α = γ β, β = γ α). Ist <) (p, r) kein Nullwinkel, so heißt der Winkel <) (r, q) kleiner als der Winkel <) (p, q) (genauer: die Größe β heißt kleiner als die Größe γ). Die Relation < ist in der Menge der Kongruenzklassen eine strenge Ordnungsrelation (irreflexive Totalordnung). Die kleinste Größe hat ein Nullwinkel, die größte ein gestreckter Winkel. Gedanklich ist es nun nur noch ein kleiner Schritt, jeder Winkelgröße eine Maßzahl zuzuordnen. Nullwinkel erhalten das Maß Null, gestreckte Winkel erhalten das Maß π (man könnte natürlich auch jede andere von 0 verschiedene reelle Zahl nehmen). Größere Winkel treten in diesem Konzept nicht auf. Diese Einschränkung ist jedoch für die eingangs gestellte Aufgabe unerheblich. Rechte Winkel haben nach obiger Addition das Maß π 2.

17 5 EIN AXIOMENSYSTEM DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE 85 Das Maß eines beliebigen Winkels ist (aufwendiger) durch Intervallschachtelung zu bestimmen. Umgangssprachlich wird auch das Maß eines Winkels kurz Winkel genannt. Dieser Sprechweise werden wir uns bisweilen anschließen, wobei uns aber der Unterschied zwischen einem Winkel als geometrischer Figur und seinem Maß stets bewusst bleiben muss. Dass die Maßbestimmung von Strecken einfacher war, lag daran, dass bei Strecken Axiom III(1) bereits das Maß liefert. In anderen Axiomensystemen ist auch bei der Einführung eines Streckenmaßes wie oben beschrieben vorzugehen. Wir wenden uns nun den Winkeln im Dreieck zu. Dazu benötigen wir neben den (bisher betrachteten) Innenwinkeln auch die Außenwinkel eines Dreiecks. Def. 1 In ABC heißen die Winkel <) (AB +, AC + ), <) (BA +, BC + ) und <) (CA +, CB + ) die Innenwinkel und ihre Nebenwinkel die Außenwinkel des Dreiecks. Satz 1 Jeder Innenwinkel eines Dreiecks ist kleiner als jeder nicht anliegende Außenwinkel. Beweis: Wir zeigen <) (AB +, AC + ) < <) (BA +, BC ) oder gleichbedeutend damit P In <) (BA +, BC ) \ (AB BC) : <) (AB +, AC + ) = <) (BA +, BP + ). (30) Sei M der Mittelpunkt von AB und P MC mit d(c, M) = d(m, P ) (siehe Abb. 5.12). C A M B P Abbildung 5.12: Zu Satz 1 (i) Nach 5.3 Satz 1 (sws) gilt AMC = BMP und damit die Kongruenz in (30). (ii) P / AB BC ist klar. (iii) Wegen M (CP ) und M (AB) schneidet (CP ) die Gerade AB. Also liegen C und P in verschiedenen von AB berandeten Halbebenen und es gilt P BAC. (iv) Wegen MP BC = {C} und C / MP gilt BC MP =. Wegen AM BC = {B} und B / AM gilt BC AM =. A, M, P liegen daher in derselben von BC berandeten Halbebene, d. h. es gilt P BCA +. Korollar 1 (i) In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitz.

18 5 EIN AXIOMENSYSTEM DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE 86 (ii) In jedem Dreieck ist die Summe zweier beliebiger Innenwinkel kleiner als π. Beweis: (i) Gibt es einen spitzen oder rechten Außenwinkel, so folgt die Aussage aus Satz 1. Andernfalls ist sie klar. (ii) folgt unmittelbar aus Satz 1. Satz 2 In einem Dreieck ABC liegt dem größeren Innenwinkel stets die größere Seite gegenüber und umgekehrt. Beweis: Wir zeigen d(a, C) > d(b, C) <) (AB +, AC + ) < <) (BA +, BC + ). ( ) Es gibt ein D (AC) mit d(c, D) = d(c, B) (siehe Abb. 5.13). Damit gilt C D A B Abbildung 5.13: Zu Satz 2 <) (BA +, BC + ) Def. > <) (BD +, BC + ) 5.3 Satz 3 = <) (DB +, DC + ) ( ) Nach Beweisteil ( ) und 5.3 Satz 3 gilt Dies ist äquivalent zu Satz 1 in ABD > <) (AB +, AC + ). d(b, C) d(a, C) <) (BA +, BC + ) <) (AB +, AC + ). d(b, C) < d(a, C) <) (BA +, BC + ) > <) (AB +, AC + ) bzw. was zu zeigen war. <) (AB +, AC + ) < <) (BA +, BC + ) d(a, C) > d(b, C), Zusammen mit Kor. 1 (i) folgt aus Satz 2 unmittelbar das Korollar 2 Sind g eine Gerade, F der Fußpunkt des Lotes von P / g auf g und Q F ein beliebiger Punkt von g, so gilt d(p, Q) > d(p, F ).

19 5 EIN AXIOMENSYSTEM DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE 87 Def. 2 Der Abstand d(p, g) eines Punktes P von einer Geraden g ist definiert als der Abstand d(p, F ) von P zum Lotfußpunkt F des Lotes von P auf g. Lemma 2 Für jedes Dreieck = ABC gibt es ein Dreieck mit IWS ( ) = IWS ( ), das einen Innenwinkel besitzt, der höchstens halb so groß ist wie <) (AB +, AC + ). Beweis: Sei M der Mittelpunkt der Strecke BC und D MA mit d(a, M) = d(m, D) (D existiert nach III(1)). Dann gilt nach 5.3 Satz 1 (sws) ABM = DCM, also mit den Bezeichnungen von Abb α 2 = δ und β = γ 2, woraus C γ γ 2 δ 1 M α 1 A α 2 β B Abbildung 5.14: Zu Lemma 2 D IWS (ABC) = α 1 + α 2 + β + γ 1 = α 1 + δ + γ 1 + γ 2 = IWS (ADC) folgt. Wegen gilt ferner α 1 α 2 oder δ α 2. α 1 + δ = α 1 + α 2 = <) (AC +, AB + ) =: α Satz 3 Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt höchstens π. Beweis: Wir nehmen IWS ( ) = π + ε, ε > 0 an. Ist α ein Innenwinkel von, so gibt es nach Lemma 2 ein Dreieck 1 gleicher Innenwinkelsumme und einem Innenwinkel α 1 α. Durch Induktion folgt für jedes n N die Existenz eines Dreiecks 2 n mit einem Innenwinkel α n α. Wählt man nun n N so, dass α < ε gilt, erhält man für die 2 n 2 n restlichen Innenwinkel β n, γ n von n β n + γ n = IWS ( n ) α n π + ε α 2 n > π im Widerspruch zu Aussage (ii) von Korollar 1. Lemma 3 ABC habe bei C einen rechten Winkel. Ferner sei D BC mit d(c, B) = d(b, D) (siehe Abb. 5.15). Dann folgt aus IWS (ABC) = π auch IWS (ADC) = π. Beweis: Wir betrachten die Abbildung b, die A auf B, B auf A und ABC + auf ABC abbildet. Mit E := b(c) gilt dann <) (CA +, CB + ) = <) (EB +, EA + ), <) (BC +, BA + ) = <) (AE +, AB + ), <) (AC +, AB + ) = <) (BA +, BE + ).

20 5 EIN AXIOMENSYSTEM DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE 88 C B D A E F Abbildung 5.15: Zu Lemma 3 Somit sind alle Winkel im Viereck AEBC rechte Winkel. Daher gilt nach 5.3 Satz 1 (sws) ABC = EDB und für F EA mit d(a, E) = d(e, F ) auch AEB = EF D. Also sind die Vierecke AEBC und EF DB kongruent, so dass alle Winkel im Viereck AF DC rechte Winkel sind. Nach Satz 3 haben daher die beiden Teildreiecke ADC und AF D die Innenwinkelsumme π. Lemma 4 Gibt es ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit IWS (ABC) = π, so hat jedes rechtwinklige Dreieck diese Winkelsumme. Beweis: Sei DEF ein beliebiges, bei F rechtwinkliges Dreieck. Ist ABC bei C rechtwinklig, so gibt es nach Lemma 3 ein bei C rechtwinkliges Dreieck A B C mit IWS (A B C) = π, d(a, C) > d(d, F ) und d(b, C) > d(e, F ) (siehe Abb. 5.16). Mit C E B D A Abbildung 5.16: Zu Lemma 4 D CA, d(d, C) = d(d, F ) und E CB, d(e, C) = d(e, F ) erhält man ein zu DEF kongruentes Dreieck D E C und es genügt, IWS (D E C) = π nachzuweisen. Wegen π = IWS (A B C) = IWS (A E C) + IWS (A B E ) π gilt also nach Satz 3 IWS (A E C) + IWS (A B E ) = 2π, IWS (A E C) = IWS (A B E ) = π.

21 5 EIN AXIOMENSYSTEM DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE 89 Mit dem gleichen Argument folgt IWS (A E D ) = IWS (D E C) = π. Satz 4 Gibt es ein Dreieck ABC mit IWS (ABC) = π, so hat jedes Dreieck die Innenwinkelsumme π. Beweis: (i) Wir zeigen zunächst, dass alle rechtwinkligen Dreiecke die Innenwinkelsumme π haben. Ist ABC rechtwinklig, folgt dies aus Lemma 4. Andernfalls sei der Winkel bei C der größte Innenwinkel. Dann gilt nach Satz 2 d(a, B) d(a, C) und d(a, B) d(b, C). Fällt man von C das Lot auf AB (Fußpunkt D), so liegt in ADC und DBC nach Satz 3 der größte Winkel bei D. Also gilt nach Satz 2 d(a, C) d(a, D) > 0 und d(b, C) d(b, D) > 0. Die Annahme Zw(D, A, B) liefert den Widerspruch d(d, B) = d(d, A) + d(a, B) d(d, A) + d(b, C) > d(b, C). Aus dem gleichen Grund ist Zw(D, B, A) ausgeschlossen. Also gilt Zw(A, D, B) (siehe Abb. 5.17) und damit C A D B Abbildung 5.17: Zur Innenwinkelsumme im Dreieck Aus Satz 3 folgt hieraus IW S(ADC) + IW S(DBC) = IWS (ABC) + π = 2π. IW S(ADC) = IW S(DBC) = π. Auch in diesem Fall folgt also die Behauptung aus Lemma 4. (ii) Ist EF G ein beliebiges Dreieck, so kann es wie in (i) beschrieben in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegt werden, deren Innenwinkelsumme nach (i) jeweils π beträgt.

22 5 EIN AXIOMENSYSTEM DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE 90 s q r p 5.5 Das Parallelenaxiom Abbildung 5.18: Stufenwinkel Keine der bisher bewiesenen Aussagen setzt das Parallelenaxiom V voraus. Sie gehören alle zur absoluten Geometrie. Bevor wir uns jetzt dem Parallelenaxiom zuwenden und zahlreiche dazu äquivalente Aussagen beweisen, werden wir im Satz 2 untersuchen, was man über die Existenz von Parallelen weiß, wenn man V nicht voraussetzt, und uns zwei Beweisversuche des Parallelenaxioms ansehen. Def. 1 Zwei Winkel heißen Stufenwinkel, wenn ein Schenkel p des einen Winkels Teilmenge eines Schenkels r des anderen Winkels ist und die beiden übrigen (so genannten freien) Schenkel in derselben von der Geraden g p, r berandeten Halbebene liegen (siehe Abb. 5.18). Satz 1 Sind die Stufenwinkel <) (SQ +, SR + ) und <) (S Q +, S R + ) kongruent, so sind die Trägergeraden der freien Schenkel parallel. Beweis: Es gelte S Q + SQ +. (i) Wir nehmen zunächst an, dass es einen Punkt X SR + S R + gibt (siehe Abb. 5.19). Dann sind <) (SQ +, SR + ) ein Innenwinkel und <) (S Q +, S R + ) ein Außenwinkel X R R S Q S Q Abbildung 5.19: Stufenwinkelsatz von SS X. Nach 5.4 Satz 1 sind diese Winkel im Widerspruch zur Voraussetzung nicht kongruent. (ii) Die Annahme, dass es einen Punkt X SR S R gibt, führt man zum Widerspruch, indem man die Winkel <) (SQ, SR ) und <) (S Q, S R ) betrachtet, die als Scheitelwinkel zu den Ausgangswinkeln kongruent sind. Satz 2 Zu jeder Geraden g und jedem nicht auf g liegenden Punkt P gibt es mindestens eine Gerade h, die P enthält und zu g parallel ist.

23 5 EIN AXIOMENSYSTEM DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE 91 Beweis: Sei f eine beliebige Gerade durch P. Für f g ist der Satz gezeigt. Andernfalls schneidet f die Gerade g in einem Punkt Q. Man trägt nun an P Q + einen zu <) (g +, QP ) kongruenten Stufenwinkel an und erhält so nach Satz 1 eine Parallele zu g durch P. Bem. 1 Die zahlreichen Versuche, das Parallelenaxiom aus den Axiomgruppen I - IV herzuleiten, sahen oft so aus, dass man eine Aussage A als zu V äquivalent nachwies und dann A bewies. Wir werden dies an zwei Beispielen vorführen. In Satz 4 werden wir die Äquivalenz folgender Aussagen zeigen. (a) Es gilt das Parallelenaxiom V. (b) Es gibt ein Dreieck mit der Innenwinkelsumme π. (c) Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent. Auf diesen (korrekten) Äquivalenzen beruhen die beiden folgenden Beweisversuche des Parallelenaxioms. Satz Es gibt ein Dreieck (ABC) mit IWS (ABC) = π. Beweis (nach Legendre): Sei <) (u, v) ein spitzer Winkel mit dem Scheitel S. Wir betrachten in einem Punkt A 0 u \ {S} das Lot von u und dessen Schnittpunkt B 0 mit v (existiert, da der gewählte Winkel spitz ist; siehe Abb. 5.20). S A 0 A 1 u B 0 B 1 v Abbildung 5.20: Zum Beweis von Legendre Für IWS (SA 0 B 0 ) = π ist der Satz bewiesen. Andernfalls gilt nach 5.4 Satz 3 IWS (SA 0 B 0 ) = π ε mit ε > 0. Wir wählen nun A 1 A 0 S mit d(s, A 0 ) = d(a 0, A 1 ). Wegen SA 0 B 0 = A1 A 0 B 0 (sws) gilt IWS (A 1 A 0 B 0 ) = π ε. Trifft das Lot von u in A 1 den Strahl v in B 1, so folgt IWS (SA 1 B 1 ) = IWS (SA 0 B 0 ) + IWS (A 1 A 0 B 0 ) + IWS (B 0 B 1 A 1 ) 2π = IWS (B 0 B 1 A 1 ) 2ε π 2ε. Nach n Schritten hat man IWS (SA n B n ) π 2 n ε. Damit gibt es ein n 0 N mit IWS (SA n0 B n0 ) 0, was ein Widerspruch ist. Wo steckt der Fehler?

24 5 EIN AXIOMENSYSTEM DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE 92 Die Existenz der Punkte B i ist nicht gesichert. Die bewiesene Aussage lautet also: Gibt es einen spitzen Winkel, bei dem jedes Lot auf einen Schenkel den anderen Schenkel schneidet, dann gibt es ein Dreieck mit der Innenwinkelsumme π. Satz Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen f, g sind kongruent. Beweis (nach John Wallis ( )): Wir zeigen Stufenwinkel nicht kongruent f und g nicht parallel. h schneide die Geraden f, g und es gelte in Abb o. E. f h und α < π (diese 2 Annahmen sind zulässig!). Es seien P 2 g und Q 2 der Fußpunkt des Lotes von P 2 auf h. f P g P 1 Q 2 G α Q 1 F Q P 2 h Abbildung 5.21: Zum Beweis von J. Wallis Für Zw(Q 2, G, F ) wählen wir Punkte P 1 GP2, Q 1 GQ 2 d(q 1, G) = d(q 2, G). Andernfalls sei Q 2 = Q 1, P 2 = P 1. mit d(p 1, G) = d(p 2, G) und Für Zw(G, F, Q 1 ) ist man fertig. Nach Satz 1 gilt nämlich P 1 Q 1 f, so dass nach 5.2 Satz 3 f die Seite GP 1 schneidet. Andernfalls gibt es ein n N so, dass d(g, Q) = n d(g, Q 1 ), d(g, P ) = n d(g, P 1 ) und Zw(G, F, Q) gilt. Man kann nun wie oben argumentieren, wenn man P 1, Q 1 durch P, Q ersetzt. Wo steckt der Fehler? Es wird unterstellt, dass die Dreiecke GP 1 Q 1 und GP Q ähnlich sind, weil sie im Verhältnis zweier Seiten und dem Zwischenwinkel übereinstimmen. Die Existenz ähnlicher, aber nicht kongruenter Dreiecke folgt jedoch erst aus dem Parallelenaxiom. In weiteren Beweisversuchen des Parallelenaxioms spielen die folgenden Vierecke eine Rolle, die wir später noch benötigen. Def. 2 Ein Viereck ABCD, in dem <) DAB und <) ABC rechte Winkel sind und in dem d(a, D) = d(b, C) gilt, heißt Saccheri-Viereck.

25 5 EIN AXIOMENSYSTEM DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE 93 D C A B Abbildung 5.22: Saccheri-Viereck Satz 3 In einem Saccheri-Viereck gemäß Def. 2 gilt (siehe Abb. 5.22): (i) <) ADC = <) BCD. (ii) Kein Winkel ist größer als π 2. Beweis: (i) Nach 5.3 Satz 1 (sws) gilt ABD = BAC, also d(a, C) = d(b, D) und damit nach 5.3 Satz 10 (sss) BCD = ADC. (ii) ist wegen (i) klar nach 5.4 Satz 3. Bem. 2 Im Saccheri-Viereck von Def. 2 sind also die kongruenten Winkel bei C und D höchstens π groß. Sind sie in einem solchen Viereck gleich π, gilt also in einem Saccheri- 2 2 Viereck die Hypothese vom rechten Winkel, so haben nach 5.4 Satz 3 und Satz 4 alle Dreiecke die Innenwinkelsumme π. Satz 4 In der absoluten Ebene sind die folgenden Aussagen äquivalent. (i) Es gilt das Parallelenaxiom V: Zu jeder Geraden g und jedem nicht auf g liegenden Punkt P gibt es höchstens eine Gerade, die P enthält und zu g parallel ist. (ii) Zu jeder Geraden g und jedem nicht auf g liegenden Punkt P gibt es genau eine Gerade, die P enthält und zu g parallel ist. (iii) Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent. (iv) In jedem Dreieck gilt IWS ( ) = π. (v) Es gibt ein Dreieck mit IWS ( ) = π. (vi) Abstandslinien sind Geraden. (vii) Es gibt ein Saccheri-Viereck, das die Hypothese vom rechten Winkel erfüllt. (viii) Es gibt zwei Dreiecke mit übereinstimmenden Innenwinkeln, die nicht kongruent sind. Beweis: (a) Wir zeigen zunächst die Äquivalenz der Aussagen (i) - (v). (iv) (v) klar nach 5.4 Satz 4. (i) (ii) klar nach Satz 2. (ii) (iii) Gibt es geschnittene Parallelen mit nicht kongruenten Stufenwinkeln, so liefert Satz 1 eine zweite Parallele im Widerspruch zur Voraussetzung. (iii) (iv) klar nach Abb (iv) (i) Seien a eine Gerade, P / a und A 0 der Fußpunkt des Lotes von P auf a. Ferner sei p das Lot von A 0 P in P (siehe Abb. 5.24). Nach Satz 1 gilt dann p a. Es ist zu zeigen,

26 5 EIN AXIOMENSYSTEM DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE 94 Abbildung 5.23: Innenwinkelsumme und Stufenwinkel P p α 1 α 2 Q A 0 A 1 A 2 A n Abbildung 5.24: Innenwinkelsumme und Parallelenaxiom a dass eine beliebige Gerade g p durch P die Gerade a schneidet. Dazu wählen wir Q g so, dass <) (P A + 0, P Q+ ) ein spitzer Winkel der Größe ist, und Punkte A i a P A 0 Q + mit β = π 2 ε, ε > 0 d(a i 1, A i ) = d(p, A i 1 ) (i = 1, 2, 3,...). Die Dreiecke P A i 1 A i (i = 1, 2, 3,...) sind dann gleichschenklig. Für ihre Basiswinkel α i = <) A i 1 P A i gilt nach 5.3 Satz 3 α 1 = π 4 und α i = α i 1 2, also Hieraus folgt Damit gibt es ein n N mit α i = <) (P A + 0, P A+ n ) = π 2 π 2 = π 1 i i n i=1 1 2 = π 2 n 1 = π i 2 2 n 2 π 2. n+1 <) (P A + 0, P A+ n ) > β, also mit Q P A 0 A + n P A n A + 0. Nach 5.2 Bem. 3 (i) schneidet daher P Q + die Strecke A 0 A n. (b) (i)-(v) (vi) Seien d(p, g) = c > 0, h die Parallele zu g durch P sowie Q h \ {P } beliebig (siehe Abb. 5.25). Sind K, L die Fußpunkte der Lote von P bzw. Q auf g, so gilt nach Satz 1 P K QL. Daher sind nach (iii) die Dreiecke KLP und QP L kongruent (wsw) und es gilt c = d(p, K) = d(q, L) = d(q, g).

27 5 EIN AXIOMENSYSTEM DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE 95 R P Q S h K L Abbildung 5.25: Abstandslinien g Gilt umgekehrt d(r, g) = c für einen beliebigen Punkt R gp + und ist S der Schnittpunkt des Lotes von R auf g mit h, so gilt also R = S h. d(r, g) = c = d(s, g), (vi) (vii) Sei P / g. Wir wählen zwei verschiedene Punkte Q, R gp + \ {P } mit d(p, g) = d(q, g) = d(r, g) und Zw(Q, P, R) und fällen die Lote von P, Q, R auf g (Fußpunkte A, B, C; siehe Abb. 5.26). Dann sind Q P R B A C Abbildung 5.26: Saccheri-Vierecke g AP QB und ACRP Saccheri-Vierecke, in denen nach Satz 3 kein Winkel größer als π 2 ist. Da sich <) QP A und <) AP R als Nebenwinkel zu π ergänzen, ist also jeder von ihnen ein rechter Winkel. Somit ist nach Satz 3 (i) im Saccheri-Viereck AP QB die Hypothese vom rechten Winkel erfüllt. (vii) (iv) klar nach Bem. 2. (c) (i)-(v) (viii) Zu einem gegebenen Dreieck ABC wählen wir einen Punkt D mit BA = BD + und betrachten die Parallele g zu BC durch D (siehe Abb (a)). Ist p g ABC + die Halbgerade mit Anfangspunkt D, so gilt nach (iii) <) (BA +, BC + ) = <) (DA +, p). g schneidet AC in einem Punkt E (andernfalls wären AC und BC Parallelen zu g durch C). Wiederum liefert (iii) <) ACB = <) AED.

28 5 EIN AXIOMENSYSTEM DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE 96 D B C E p g B E F C A (a) A (b) Abbildung 5.27: Ähnliche Dreiecke (viii) (v) Seien ABC und DEF nicht kongruente Dreiecke mit kongruenten Innenwinkeln. Wir wählen E AB + mit d(a, E ) = d(d, E), F AC + mit d(a, F ) = d(d, F ) (siehe Abb (b)). Die Dreiecke AE F und DEF sind dann kongruent (sws). Ferner gilt nach Satz 1 E F BC =. E F CB ist also ein Viereck mit der Innenwinkelsumme 2π. Wegen 5.4 Satz 3 gilt daher IWS (CE F ) = IWS (BCE ) = π. Bem. 3 Nach Satz 4 ist klar, dass Ähnlichkeitsbetrachtungen (zentrische Streckungen, Strahlensätze) zur euklidischen, nicht aber zur absoluten Geometrie gehören. Weitere Ergebnisse dieser Art sind etwa die Schnittaussagen von 2.1 Satz 4 oder die Satzgruppe des Pythagoras. Der Lehrsatz des Pythagoras wird am kürzesten dadurch bewiesen, dass man ein rechtwinkliges Dreieck durch die Höhe auf die Hypotenuse in zwei zum Ausgangsdreieck ähnliche Teildreiecke zerlegt. Einen Beweis, der die Winkelsumme im Dreieck verwendet, gab der amerikanische Präsident Garfield an (siehe Abb und Abb. 5.29): A 1 2 (a + b)2 = Trapezfläche = Summe der Dreiecksflächen = ab c2.

29 5 EIN AXIOMENSYSTEM DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE 97 Abbildung 5.28: Präsident Garfield a b c c a b Abbildung 5.29: Satz des Pythagoras