2 Einfache Folgerungen aus den Axiomen Hilfssatz: Seien A, P, Q drei Punkte auf einer Geraden. Dann gilt: A liegt zwischen P und Q

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "2 Einfache Folgerungen aus den Axiomen. 2.1.1 Hilfssatz: Seien A, P, Q drei Punkte auf einer Geraden. Dann gilt: A liegt zwischen P und Q"

Transkript

1 2 Einfache Folgerungen aus den Axiomen 2.1 Anordnung Hilfssatz: Seien A, P, Q drei Punkte auf einer Geraden. Dann gilt: A liegt zwischen P und Q d(a, P ) < d(p, Q) und d(a, Q) < d(p, Q). Bew.: : A zwischen P und Q (*) (*) A, P, Q verschieden d(a, P ) > 0 < d(a, Q) (1) (*) d(a, P ) + d(a, Q) = d(p, Q) (2) (1), (2) Beh. : d(a, P ) < d(p, Q) (+) d(a, Q) < d(p, Q) (++) (+) A Q, P Q (++) A P A, P, Q sind also drei verschiedene Punkte. A, P, Q auf einer Geraden nach II/4 liegt einer der drei Punkte zwischen den beiden anderen, also

2 d(a, P ) + d(a, Q) = d(p, Q) (3) oder d(p, A) + d(p, Q) = d(a, Q) (4) oder d(q, A) + d(q, P ) = d(a, P ). (5) (+) widerspricht (5), (++) widerspricht (4), also gilt (3). Also liegt A zwischen P und Q, w.z.z.w Hilfssatz: Sind A, B E mit A B und ist C AB +, C A, B, so liegt B zwischen A und C oder C zwischen A und B. Bew.: Nach III/1 liegt A nicht zwischen B und C. Nach II/4 liegt einer der drei Punkte zwischen den beiden anderen.

3 2.1.3 Satz: Gibt es Strecken der Längen a, b, c, mit c < a, so gibt es auch Strecken der Längen a + b und a c. Bew.: Sei g Gerade, A g, A Anfangspunkt einer Halbgeraden von g. Auf dieser Halbgeraden gibt es nach III/2 genau ein B g mit d(a, B) = a. Auf BA gibt es genau ein C g mit d(b, C) = b, auf BA + genau ein D g mit d(b, D) = c. Dann ist d(a, C) = a + b, d(a, D) = a c Bem.: Auf jeder Halbgeraden gibt es Strecken der Längen 1, 1+1 = 2, 2+1 = 3 usw Satz: Alle Halbgeraden (und damit alle Geraden) enthalten unendlich viele Punkte Hilfssatz: Für je drei verschiedene Punkte A, B, C einer Geraden gilt die Dreiecksungleichung: d(a, B) + d(b, C) d(a, C).

4 2.1.7 Bem.: In stehen drei Ungleichungen! Bew. zu 2.1.6: Falls B zwischen A und C, gilt =. Falls A zwischen B und C, ist d(b, C) > d(a, C). Falls C zwischen A und B, ist d(a, B) > d(a, C) Hilfssatz: Liegt A zwischen P und Q und B zwischen A und Q, so liegt B zwischen P und Q. Bew.: d(a, B) + d(b, Q) = d(a, Q) < d(p, Q) d(b, Q) < d(p, Q) (*) d(a, B) < d(a, Q) d(p, B) = d(p, A) + d(a, B) < d(p, A) + d(a, Q) = d(p, Q) (**) (*), (**), Beh Def.: Eine Menge M E heißt konvex : (P, Q M P Q M) Bem.: ist konvex.

5 Satz: M, N konvex M N konvex. Bew.: P, Q M N P, Q M und P, Q N P Q M und P Q N P Q M N Satz: Alle Halbebenen sind konvex. Bew.: Nach IV/ Satz: Alle Halbgeraden sind konvex. Bew.: Seien P, Q AB +. Zu zeigen: P Q AB +. Annahme: X P Q AB \ {A}. X P Q X zwischen P und Q. (*) X = A Beh., X = Q Beh. Im folgenden X A Q A nach III/1 zwischen X und Q. (**) (*), (**) und A zwischen P und Q. Widerspruch!

6 Satz: Ist P Q g = {P }, und H die von g berandete Halbebene, die Q enthält, so ist P Q + = P Q H. Bew.: Zu zeigen: P Q H = {P } und P Q + H. Wäre R P Q H \ {P }, so wäre QR g = {P }, also R / H. Ist S P Q +, so liegt P nicht zwischen S und Q (nach III/1). Folglich ist SQ g =, also S H Satz: A, B E, A B (i) AB = AB + BA + (ii) AB BA = Bew.: Übung Satz: Vor.: A, B, C, D E, C A B D, C, D AB Beh.: AC + BD + ist leer oder gleich AB oder gleich AC + oder gleich BD +. Bew.: Übung

7 Def.: Vor.: A, B, C, D E, C A B D, C, D AB Ist dann AC + BD + oder BD + AC +, so heißen AC + und BD + gleichgerichtet Def.: Vor.: A, B, C E, A B, C / AB Dann heißt AB BC CA das Dreieck ABC, kurz ABC, mit den Ecken A, B, C und den Seiten AB, BC, CA. Seien die Halbebenen H A begrenzt von BC mit A H A, H B begrenzt von CA mit B H B, H C begrenzt von AB mit C H C. Dann heißt (H A H B H C )\(AB BC CA) das Innere des ABC. Anmerkung: Die Voraussetzungen von scheinen unsymmetrisch in A, B, C. Sie sind aber nur der Kürze halber unsymmetrisch aufgeschrieben. Satz : Vor.: ABC ein Dreieck in E, g eine Gerade in E mit A, B, C / g. Dann gilt: g AB Genau eine der beiden Mengen g BC, g CA ist.

8 Bew.: A, B liegen auf verschiedenen Seiten von g. Auf einer der beiden Seiten von g liegt C. Dann liegen entweder C und B oder C und A auf verschiedenen Seiten von g Historische Anmerkung: wurde von David Hilbert als Axiom von Pasch bezeichnet, nach Moritz Pasch ( ). Mathematikhistoriker meinen, dass Moritz Pasch als erster einen einwandfreien axiomatischen Aufbau der euklidischen Geometrie geliefert hat.

9 2.2 Bewegungen Satz: Für jede Bewegung σ gilt: (i) Seien A, B, P E. Dann gilt: P zwischen A und B σ(p ) zwischen σ(a) und σ(b) (ii) σ bildet Strecken auf Strecken, Geraden auf Geraden und Halbgeraden auf Halbgeraden ab. (iii) Liegen P, Q und R E nicht auf einer Geraden, so auch nicht σ(p ), σ(q) und σ(r). (iv) P E gibt es genau ein P E mit σ(p ) = P. (v) σ bildet Halbebenen auf Halbebenen ab.

10 Bew.: (i) σ erhält Abstände. Der zwischen - Begriff ist durch Abstände definiert. (ii) Nach (i): A, B E, A B σ(ab) σ(a)σ(b) Da σ 1 eine Bewegung: σ 1 (σ(a)σ(b)) σ 1 (σ(a))σ 1 (σ(b)) = AB, also σ(a)σ(b) σ(ab) Gleichheit: σ(ab) = σ(a)σ(b) Sei nun P AB, A P B. Dann liegt nach II/4 mindestens einer der Punkte A, B, P zwischen den beiden anderen, also nach (i) mindestens einer der drei Punkte σ(a), σ(b), σ(p ) zwischen den beiden anderen. Nach II/3 liegen dann σ(a), σ(b), σ(p ) auf einer Geraden. Damit ist σ(ab) σ(a)σ(b). Da auch σ 1 eine Bewegung ist, folgt wie oben σ(ab) = σ(a)σ(b).

11 Sei nun P AB + \ {A, B}. Annahme: σ(p ) / σ(a)σ(b) +. Dann ist A / BP aber σ(a) σ(b)σ(p ). Widerspruch zu (i)! (iii) Lägen σ(p ), σ(q) und σ(r) auf einer Geraden, so müssten auch P, Q, R auf einer Geraden liegen, da mit σ auch σ 1 eine Bewegung ist. (iv) Als Bewegung ist σ bijektiv. (v) Sei H die durch g berandete Halbebene, in der A / g liegt. Dann ist P H P g oder AP g = σ(p ) σ(g) oder σ(a)σ(p ) σ(g) = σ(p ) liegt in der durch σ(g) berandeten Halbebene H, in der σ(a) liegt. Folglich ist σ(h) = H für jede Bewegung σ und jede Halbebene H.

12 2.2.2 Satz: Sind zwei Winkel (SA +, SB + ) und (P Q +, P R + ) kongruent, so gibt es genau eine Bewegung, die SA + auf P Q + und SB + auf P R + abbildet. Bew.: ohne Satz 2.2.3: Seien AB +, P Q + Halbgeraden und die Halbebenen H und K durch AB bzw. P Q berandet. Dann gibt es genau eine Bewegung, die A auf P, AB + auf P Q + und H auf K abbildet. Bew.: ohne Bem.: Der Satz heißt Fahnensatz. Aus und (eindeutige Abtragbarkeit von Längen auf Halbgeraden) folgt: Bem.: Seien A, B, P, Q E, A B, P Q. Dann gilt: AB ist kongruent zu P Q d(a, B) = d(p, Q).

13 2.3 Winkel Def.: Zu einem Winkel ASB sei H A die Halbebene, die A enthält und von SB berandet wird, H B die Halbebene, die B enthält und von SA berandet wird. Dann heißt (H A H B ) \ (SA + SB + ) das Innere von ASB Bem.: Das Innere jedes Winkels ist konvex Hilfssatz: Liegt P im Innern von ASB SP + \ {S} liegt im Innern von ASB. Bew.: Sei Q SP + \{S, P }. Dann ist P Q SA = P Q SB = {S} und S / P Q. Also ist P Q SA = = P Q SB. Damit ist Q H B und Q H A Satz: P E\{S} liegt im Innern von ASB SP + (AB \ {A, B}). Bew.: Selbst machen! Zur Selbstkontrolle aufschreiben!

14 2.3.5 Def.: Ein Winkel P QR heißt kleiner als ASB : P QR ist kongruent zu ASC, wobei C im Innern von ASB. Ist P QR kleiner als ASB, so heißt ASB größer als P QR. Schreibweisen: P QR < ASB, ASB > P QR Bem.: Wegen und IV/3 (Eindeutigkeit der Winkelabtragung und Symmetrie von Winkeln) ist sinnvoll. Sind zwei Winkel nicht kongruent, ist stets einer kleiner als der andere. Ist P QR kongruent zu P Q R und P QR < ASB, so auch P Q R < ASB. Da aus M N stets σ(m) σ(n) folgt, und da die Bewegungen eine Gruppe bilden, sind < und > transitive Relationen Bez.: Kongruente Winkel w 1, w 2 heißen gleich groß, in Zeichen: w 1 = w 2.

15 2.3.8 Def.: Die Winkel ASB und BSC heißen benachbart, wenn das Innere von ASB mit dem Inneren von BSC leeren Schnitt hat. SA + und SC + heißen dann die Randschenkel Def.: Liegt B E im Inneren des Winkels ASC, so sind die Winkel ASB und BSC benachbart, und ASC heißt die Summe von ASB und BSC und ASB die Differenz von ASC und BSC Bem.: In ist vorausgesetzt, dass ASC ein Winkel ist Def.: Sind P QR und ST U kongruent zu ASB und BSC und ist ASC die Summe von ASB und BSC, so heißt jeder Winkel, der kongruent ist zu ASC Summe von P QR und ST U.

16 Def.: Sind ABC und DEF sowie P QR und ST U beliebige Winkel, so gibt es nach dem Fahnensatz Bewegungen σ, τ, ρ, für die gilt: E := τ(e) = B, D := τ(d), E D + = BC +. F := τ(f ) und A liegen auf verschiedenen Seiten von BC, Q := σ(q) = B, P := σ(p ), Q P + = BA +, R := σ(r) und C liegen auf derselben Seite von BA, T := ρ(t ) = B, S := ρ(s), T S + = Q R +, U := ρ(u) und P liegen auf verschiedenen Seiten von Q R. Die Summe von ABC und DEF heißt dann so groß wie die Summe von P QR und ST U, wenn gilt: E F + = T U Bem.: In liegt BC + \ {B} nicht notwendig im Innern von ABF, falls A, B, F nicht auf einer Geraden liegen. Auch können A, B, F auf einer Geraden liegen.

17 Hilfssatz: (i) Gilt für benachbarte Winkel ABC, CBD, dass BA + BD + = AD sowie für P QR, RQS, dass QP + QR + = P R, so ist die Summe der Winkel ABC und CBD so groß wie die Summe der Winkel P QR und RQS. (ii) Für benachbarte Winkel ABC und CBD sowie ABE und EBD ist stets die Summe von ABC und CBD so groß wie die Summe von ABE und EBD, wenn C, E auf derselben Seite von AB liegen Def.: Zu einem Winkel ASB ist SB SA der Scheitelwinkel. Sowohl SB + SA als auch SB SA + sind Nebenwinkel von ASB Satz: Scheitelwinkel sind kongruent. Nebenwinkel zu demselben Winkel sind kongruent.

18 Bew.: (Bezeichnungen aus ) Da SB + SA ein Winkel ist, gibt es nach Axiom IV/3 eine Bewegung σ, die SB + auf SA und SA auf SB + abbildet. Diese bildet SB + SA + ab auf SA SB. Da SB + SA + ein Winkel ist, gibt es nach IV/3 eine Bewegung τ, die SB + auf SA + und SA + auf SB + abbildet. Diese bildet die beiden Nebenwinkel von ASB aufeinander ab Def.: Schneidet eine Gerade g in E die Geraden a, b in den Punkten A, B, so heißen zwei Winkel mit den Scheiteln A und B und Schenkeln auf a und g bzw. auf b und g: Stufenwinkel oder F-Winkel, wenn sie auf derselben Seite von g liegen und die Schenkel auf g gleichgerichtet sind, Wechselwinkel oder Z-Winkel, wenn sie auf verschiedenen Seiten von g liegen und die Schenkel auf g nicht gleichgerichtet sind.

19 Satz: Schneidet eine Gerade g in E die Geraden a, b, so gilt: Z-Winkel sind gleich F-Winkel sind gleich. Bew.:

3.1.1 Satz: (sws) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie ï

3.1.1 Satz: (sws) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie ï 3 Dreiecke 3.1 Grundlegende Sätze (zum Teil bewiesen in den Übungen) 3.1.1 Satz: (sws) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie ï 2 1 bereinstimmen in zwei Seiten und dem dazwischenliegenden Winkel. 3.1.2

Mehr

Vorwort: Farbe statt Formeln 7

Vorwort: Farbe statt Formeln 7 Inhaltsverzeichnis Vorwort: Farbe statt Formeln 7 1 Die Grundlagen 11 1.1 Vom Geodreieck zum Axiomensystem................ 11 1.2 Erste Folgerungen aus den Axiomen................. 24 1.3 Winkel.................................

Mehr

Ebene und. Gerade, 2. Punkte A, B, C,..., die auf einer Geraden liegen, heißen kollinear.

Ebene und. Gerade, 2. Punkte A, B, C,..., die auf einer Geraden liegen, heißen kollinear. 16 3 Das Axiomensystem Motiviert von den Elementen des Euklid, wollen wir jetzt ein modernes Axiomensystem für die Ebene Geometrie aufstellen. Zum ersten Mal wurde das um 1900 von David Hilbert geleistet,

Mehr

Aufgabe 11.1 Definieren Sie die Begriffe Innenwinkel eines Dreiecks und Außenwinkel eines Dreiecks.

Aufgabe 11.1 Definieren Sie die Begriffe Innenwinkel eines Dreiecks und Außenwinkel eines Dreiecks. Aufgabe 11.1 Definieren Sie die Begriffe Innenwinkel eines Dreiecks und Außenwinkel eines Dreiecks. (Innenwinkel eines Dreiecks): Sei ABC ein Dreieck. Die Winkel < AB +, AC + ; < BA +, BC + und < CA +,

Mehr

6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze.

6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze. 6 Flächeninhalt 6.1 Vierecke 6.1.1 Def.: Seien A, B, C, D vier verschiedene Punkte in E, keine drei auf einer Geraden, so dass AB, BC, CD, DA einander höchstens in Endpunkten treffen. Dann bilden diese

Mehr

Ebene Elementargeometrie

Ebene Elementargeometrie Ebene Elementargeometrie Im Folgenden unterscheiden wir neben Definitionen (Namensgebung) und Sätzen (nachweisbaren Aussagen) so genannte Axiome. Axiome stellen der Anschauung entnommene Aussagen dar,

Mehr

6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze.

6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze. 6 Flächeninhalt 6.1 Vierecke 6.1.1 Def.: Seien A, B, C, D vier verschiedene Punkte in E, keine drei auf einer Geraden, so dass AB, BC, CD, DA einander höchstens in Endpunkten treffen. Dann bilden diese

Mehr

Das Parallelenproblem

Das Parallelenproblem Proseminar zur Linearen Algebra und Elementargeometrie Das Parallelenproblem Wintersemester 2016/17 von: Yann-Martin Jeannès yanniymj@gmx.net Prof. Dr. L. Schwachhöfer Technische Universität Dortmund V.

Mehr

Klausur zur Akademischen Teilprüfung, Modul 2,

Klausur zur Akademischen Teilprüfung, Modul 2, PH Heidelberg, Fach Mathematik Klausur zur Akademischen Teilprüfung, Modul, GHPO I vom.7.003, RPO vom 4.08.003 Einführung in die Geometrie Wintersemester 1/13, 1. Februar 013 Klausur zur ATP, Modul, Einführung

Mehr

Geometrie 1.1. Homepage zur Veranstaltung: Lehre Geometrie

Geometrie 1.1. Homepage zur Veranstaltung:  Lehre Geometrie Geometrie 1.1 Geometrie Homepage zur Veranstaltung: http://www.juergen-roth.de Lehre Geometrie Geometrie 1.2 Inhaltsverzeichnis Geometrie 0 Geometrie!? 1 Axiome der Elementargeometrie 2 Kongruenzabbildungen

Mehr

Grundlagen der Geometrie

Grundlagen der Geometrie Grundlagen der Geometrie Vorlesungsausarbeitung zum WS 2010/11 von Prof. Dr. K. Fritzsche ii Inhalt 0 Grundlagen der Schulgeometrie 1 I Die Elemente : Inzidenz und Anordnung 9 1. Die deduktive Methode

Mehr

MAA = MAB + B AA = B CA + CAA BA A Nun sehen wir mit Proposition 10.7 aus dem Skript, dass A M AB gelten muss.

MAA = MAB + B AA = B CA + CAA BA A Nun sehen wir mit Proposition 10.7 aus dem Skript, dass A M AB gelten muss. 1. Konvexität in der absoluten Ebene In einem Dreieck in der Euklidischen Ebene hat die Strecke zwischen zwei Seitenmittelpunkten die halbe Länge der dritten Seite. In der absoluten Ebene hat man eine

Mehr

Institut für Mathematik Geometrie und Lineare Algebra J. Schönenberger-Deuel

Institut für Mathematik Geometrie und Lineare Algebra J. Schönenberger-Deuel Lösungen Übung 7 Aufgabe 1. Skizze (mit zusätzlichen Punkten): Die Figur F wird begrenzt durch die Strecken AB und BC und den Kreisbogen CA auf l. Wir werden die Bilder von AB, BC und CA unter der Inversion

Mehr

Kapitel 2. Abbildungsgeometrie

Kapitel 2. Abbildungsgeometrie Kapitel 2 Abbildungsgeometrie 1 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau Kapitel 2 Abbildungsgeometrie 2.1 2,3,4 Geradenspiegelungen 2.2 Sinn & Orientierung

Mehr

Alle Sätze, die aus den Axiomen I/1 bis IV/3 folgen, gehören zur absoluten Geometrie. (Parallelenaxiom) folgen, gehören zur euklidischen

Alle Sätze, die aus den Axiomen I/1 bis IV/3 folgen, gehören zur absoluten Geometrie. (Parallelenaxiom) folgen, gehören zur euklidischen 5 Das Parallelenaxiom 5.1 Absolute Geometrie, euklidische Geometrie, hyperbolische Geometrie Alle Sätze, die aus den Axiomen I/1 bis IV/3 folgen, gehören zur absoluten Geometrie. Alle Sätze, die aus den

Mehr

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit Strecken und Winkeln.

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit Strecken und Winkeln. 2. Hilbertschen Geometrie II: Kongruenzsätze In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit Strecken und Winkeln. Strecken Kongruenz. Definition. Eine Strecken Kongruenz (oder einfach: Kongruenz) einer Geometrie

Mehr

Zur Deckung bringen präzisiert werden. Ich stelle zunächst Hilberts Version vor, wähle aber anschließend einen anderen, etwas anschaulicheren Weg.

Zur Deckung bringen präzisiert werden. Ich stelle zunächst Hilberts Version vor, wähle aber anschließend einen anderen, etwas anschaulicheren Weg. 30 Jetzt soll der Begriff der Kongruenz bzw. Euklids vage Vorstellung vom Zur Deckung bringen präzisiert werden. Ich stelle zunächst Hilberts Version vor, wähle aber anschließend einen anderen, etwas anschaulicheren

Mehr

5 Ein Axiomensystem der euklidischen Geometrie

5 Ein Axiomensystem der euklidischen Geometrie 5 Ein Axiomensystem der euklidischen Geometrie 5.1 Vorbemerkungen Im vorigen Kapitel haben wir gesehen, wie sich aus aus den Axiomen einer affinen Ebene Zahlbereiche entwickeln lassen, die im Pappusschen

Mehr

1.2 Abstände und Winkel

1.2 Abstände und Winkel 5 1.2 Abstände und Winkel Im Folgenden werde zunächst der n-dimensionale affine Standardraum A n = (R n, R n, τ) zugrunde gelegt und in der Regel auch A n = R n gesetzt. Im Vektorraum R n stehen das (euklidische)

Mehr

Übungen zu Geometrie (LGy) Universität Regensburg, Sommersemester 2014 Dr. Raphael Zentner, Dr. Olaf Müller

Übungen zu Geometrie (LGy) Universität Regensburg, Sommersemester 2014 Dr. Raphael Zentner, Dr. Olaf Müller Übungen zu Geometrie (LGy) Universität Regensburg, Sommersemester 2014 Dr. Raphael Zentner, Dr. Olaf Müller Übungsblatt 13 Dieses Übungsblatt wird nicht mehr zur Abgabe vorgesehen. Es dient der Wiederholung

Mehr

Geometrie, Einführung

Geometrie, Einführung Geometrie, Einführung Punkte, Linien 1. Gib die Längen von 3 Strecken r, s. t an, welche nicht die Seiten eines Dreiecks sein können. Begründe deine Wahl. 2. a) Zeichne Punkte und Geraden, welche folgende

Mehr

Geometrie 1.1. Homepage zur Veranstaltung: Lehre Geometrie

Geometrie 1.1. Homepage zur Veranstaltung:  Lehre Geometrie Geometrie 1.1 Geometrie Homepage zur Veranstaltung: http://www.juergen-roth.de Lehre Geometrie Geometrie 1.2 Inhaltsverzeichnis Geometrie 1 Axiome der Elementargeometrie der Ebene 2 Kongruenzabbildungen

Mehr

zur Modulprüfung zum Lehrerweiterbildungskurs Geometrie am

zur Modulprüfung zum Lehrerweiterbildungskurs Geometrie am Nachklausur zur Modulprüfung zum Lehrerweiterbildungskurs Geometrie am 12.7.17 Name, Vorname Matrikel-Nr. Aufg.1 Aufg.2 Aufg.3 Aufg.4 Σ Note bzw. Kennzeichen Punkte Bearbeiten Sie bitte drei der vier folgenden

Mehr

Elementare Geometrie Vorlesung 19

Elementare Geometrie Vorlesung 19 Elementare Geometrie Vorlesung 19 Thomas Zink 28.6.2017 1.Gleichungen von Kreisen Es sei OAB ein kartesisches Koordinatensystem der Ebene E. Für einen Punkt P mit den Koordinaten (x, y) schreiben wir auch

Mehr

3. Die Existenz des Pentagons.

3. Die Existenz des Pentagons. 3. Die Existenz des Pentagons. In dieser Vorlesung werden wir sehen wie die Griechen bewiesen haben, dass es das Pentagon wirklich gibt. Dieser Beweis ist schon recht anspruchsvoll. So anspruchsvoll, dass

Mehr

MAT746 Seminar über Euklidische Geometrie Philipp Becker

MAT746 Seminar über Euklidische Geometrie Philipp Becker MAT746 Seminar über Euklidische Geometrie Philipp Becker R David Hilbert (1862-1943) Den Begriffen aus der Anschauungswelt fehlt die notwendige mathematische Exaktheit. Gebäude der Geometrie soll nicht

Mehr

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere

Mehr

Die Mittelsenkrechte im deduktiven Aufbau

Die Mittelsenkrechte im deduktiven Aufbau Die Mittelsenkrechte im deduktiven Aufbau Bisher war die Mittelsenkrechte eine Ortslinie Jetzt wird deduktiv geordnet: - Definition der Mittelsenkrechte - Sätze zur Mittelsenkrechten 1 Die Mittelsenkrechte

Mehr

Geometrie. Homepage zur Veranstaltung: Lehre Geometrie

Geometrie. Homepage zur Veranstaltung:  Lehre Geometrie Geometrie 4.1 Geometrie Homepage zur Veranstaltung: http://www.juergen-roth.de Lehre Geometrie Geometrie 4.2 Inhaltsverzeichnis Geometrie 1 Axiome der Elementargeometrie 2 Kongruenzabbildungen 3 Längen-,

Mehr

GRUNDWISSEN MATHEMATIK. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard

GRUNDWISSEN MATHEMATIK. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard GRUNDWISSEN MATHEMATIK 7 Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngymnasiums Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gymnasiums Gräfelfing J O H A N N E S - N E P

Mehr

Aehnlichkeit. 1. Kapitel aus meinem Lehrgang Geometrie. Ronald Balestra CH St. Peter

Aehnlichkeit. 1. Kapitel aus meinem Lehrgang Geometrie. Ronald Balestra CH St. Peter Aehnlichkeit 1. Kapitel aus meinem Lehrgang Geometrie Ronald Balestra CH - 7028 St. Peter www.ronaldbalestra.ch 31. Oktober 2009 Inhaltsverzeichnis 1 Aehnlichkeit 1 1.1 Definition & Eigenschaften.....................

Mehr

4. Parallelität ohne Metrik

4. Parallelität ohne Metrik 4. Parallelität ohne Metrik In der Euklidischen Geometrie wird nicht gemessen. as hat zwei Gründe. Erstens, gab es bei den Griechen noch kein entwickeltes Stellenwertsystem. Zweitens, haben sie ja schon

Mehr

Die Mittelsenkrechte im deduktiven Aufbau

Die Mittelsenkrechte im deduktiven Aufbau Nr.7 16.06.2016 Die Mittelsenkrechte im deduktiven Aufbau Bisher war die Mittelsenkrechte eine Ortslinie Jetzt wird deduktiv geordnet: - Definition der Mittelsenkrechte - Sätze zur Mittelsenkrechten 1

Mehr

Achsensymmetrie. Konstruktionen M 7.1

Achsensymmetrie. Konstruktionen M 7.1 M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke

Mehr

Sphärische Zwei - und Dreiecke

Sphärische Zwei - und Dreiecke TECHNISCHE UNIVERSITÄT DORTMUND Sphärische Zwei - und Dreiecke Proseminar innerhalb des Lehramtsstudiums im Fach Mathematik Meryem Öcal Matrikelnummer 168833 Studiengang LABG 2009 Prüfer: Prof. Dr. Lorenz

Mehr

Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Geometrie WiSe 2014/2015 am

Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Geometrie WiSe 2014/2015 am Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Geometrie WiSe 2014/2015 am 23.1.2015 Bearbeiten Sie bitte zwei der drei folgenden Aufgaben! Falls Sie alle drei Aufgaben bearbeitet haben sollten, kennzeichnen

Mehr

Luisenburg-Gymnasium Wunsiedel

Luisenburg-Gymnasium Wunsiedel Luisenburg-Gymnasium Wunsiedel Grundwissen für das Fach Mathematik Jahrgangsstufe 7 1. chsen- und unktspiegelung a) chsensymmetrie Die chse halbiert die Strecke [ ] senkrecht. lle chsenpunkte sind von

Mehr

13. Landeswettbewerb Mathematik Bayern Lösungsbeispiele 1. Runde 2010/2011

13. Landeswettbewerb Mathematik Bayern Lösungsbeispiele 1. Runde 2010/2011 13. Landeswettbewerb Mathematik Bayern Lösungsbeispiele 1. Runde 20/2011 Aufgabe 1 Sonja hat neun Karten, auf denen die neun kleinsten zweistelligen Primzahlen stehen. Sie will diese Karten so in eine

Mehr

Semesterklausur zur Elementargeometrie (L) von 60 Punkten bestanden Korrektor

Semesterklausur zur Elementargeometrie (L) von 60 Punkten bestanden Korrektor Technische Universität Berlin Wintersemester 03/04 Fakultät II, Institut für Mathematik Prof. Dr. Ulrich Kortenkamp Sekretariat MA6-2 Andreas Fest Semesterklausur zur Elementargeometrie (L) 06.02.2004

Mehr

Elementar Geometrie: Axiome, Sätze, Denitionen und Propositionen. 23. Juni 2014

Elementar Geometrie: Axiome, Sätze, Denitionen und Propositionen. 23. Juni 2014 Elementar Geometrie: Axiome, Sätze, Denitionen und Propositionen 23. Juni 2014 1 1. Euklidische Geometrie (a) Ane Räume i. Denition: Ein aner Raum besteht aus einer Menge A, einem R-Vektorraum V und einer

Mehr

21. Mathematik Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 7 Saison 1981/1982 Aufgaben und Lösungen

21. Mathematik Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 7 Saison 1981/1982 Aufgaben und Lösungen 21. Mathematik Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 7 Saison 1981/1982 Aufgaben und Lösungen 1 OJM 21. Mathematik-Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 7 Aufgaben Hinweis: Der Lösungsweg

Mehr

Training in Vorbereitung der Nachklausur Tipps gibt es über der Fußzeile

Training in Vorbereitung der Nachklausur Tipps gibt es über der Fußzeile Geometrie I (Sommersemester 006, Dr. Christian Werge, chwerge@web.de) Training in Vorbereitung der Nachklausur Tipps gibt es über der Fußzeile (Die Lösungen liegen in einer anderen Datei vor, bitte erst

Mehr

GRUNDWISSEN MATHEMATIK

GRUNDWISSEN MATHEMATIK 7.Jahrgangstufe ALGEBRA Seite 1 1. Terme 3a ist ein Term; a ist eine Variable; 3 heißt Koeffizient. Termberechnung: Es können nur gleichartige Terme ( = Terme mit gleichen Variablen) zusammengefasst, d.h.

Mehr

Letzte Woche wurden uns die Axiome von Hilbert vorgestellt, genauer gesagt haben wir gesehen:

Letzte Woche wurden uns die Axiome von Hilbert vorgestellt, genauer gesagt haben wir gesehen: Hilbert Ebene Letzte Woche wurden uns die Axiome von Hilbert vorgestellt, genauer gesagt haben wir gesehen: - die Axiome der Verknüpfungen (Axioms of Incidence) - die Axiome der Anordnung (Axioms of Betweeness)

Mehr

Karoline Grandy und Renate Schöfer

Karoline Grandy und Renate Schöfer Karoline Grandy und Renate Schöfer 1 Lemma 1 (Haruki) In einem Kreis seien zwei sich nicht schneidende Sehnen AB und CD gegeben. Außerdem wähle einen beliebiger Punkt P auf dem Kreisbogen zwischen A und

Mehr

Vektorrechnung. 1. Vektoren im R 2, R 3 Größen in Physik und Technik:

Vektorrechnung. 1. Vektoren im R 2, R 3 Größen in Physik und Technik: Vektorrechnung 1. Vektoren im R 2, R 3 Größen in Physik und Technik: - skalare Größen: Länge [m], Zeit [sec], Masse [kg], Energie [N m], elektr. Spannung [V ],... gekennzeichnet durch: Maßzahl ( R) [Maßeinheit]

Mehr

Grundwissen-Mathematik-7.Jahrgangsstufe (Algebra) G8

Grundwissen-Mathematik-7.Jahrgangsstufe (Algebra) G8 Grundwissen-Mathematik-7.Jahrgangsstufe (Algebra) G8 Terme Eine Variable ist ein Platzhalter für eine Zahl. Ein Term ist eine sinnvolle Abfolge von Rechenzeichen, Zahlen und Variablen. Beispiel zur Berechnung

Mehr

Vierecke. 7.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 7. Drachenviereck: Viereck, bei dem eine Diagonale Symmetrieachse ist

Vierecke. 7.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 7. Drachenviereck: Viereck, bei dem eine Diagonale Symmetrieachse ist 7.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 7 Vierecke Trapez: Viereck, bei dem zwei Gegenseiten parallel sind gleichschenkliges Trapez: Trapez, bei dem die beiden Schenkel c gleich lang sind (b = d) d

Mehr

Skript zur Vorlesung Elementare und analytische Geometrie

Skript zur Vorlesung Elementare und analytische Geometrie Robert Labus Skript zur Vorlesung Elementare und analytische Geometrie Studienkolleg für ausländische Studierende Universität Kassel Wintersemester 2017/2018 Inhaltsverzeichnis 1 Elementargeometrie 1 1.1

Mehr

Skript zur Vorlesung Elementare und analytische Geometrie

Skript zur Vorlesung Elementare und analytische Geometrie Robert Labus Skript zur Vorlesung Elementare und analytische Geometrie Studienkolleg für ausländische Studierende Universität Kassel Wintersemester 2016/2017 Inhaltsverzeichnis 1 Elementargeometrie 1 1.1

Mehr

Schulbezogene Geometrie vom höheren Standpunkt

Schulbezogene Geometrie vom höheren Standpunkt Schulbezogene Geometrie vom höheren Standpunkt Vorlesungen für die Lehramtsstudiengänge Prof. Dr. Knut Smoczyk Leibniz Universität Hannover Stand: 25. Juni 2014 Alle Rechte beim Autor Inhaltsverzeichnis

Mehr

M9 Geometrielehrgang. M9 Geometrielehrgang 1

M9 Geometrielehrgang. M9 Geometrielehrgang 1 M9 Geometrielehrgang Inhalt: 1 Geometrische Grundbegriffe 2 1.1 Punkte 2 1.2 Linien und deren Lagebeziehungen: 2 1.3 Flächen und Körper. Ordne die Begriffe durch nummerieren zu! 3 2 Dreiecke 4 2.1 Dreieckfläche

Mehr

1. Daten und Diagramme Beispiele / Veranschaulichung

1. Daten und Diagramme Beispiele / Veranschaulichung 1. Daten und Diagramme / Veranschaulichung Zum Vergleich von Daten sind Säulen- und Balkendiagramme geeignet: Bei dieser Arbeit gab es zweimal die Note 1, siebenmal die Note 2, usw. Die Verteilung innerhalb

Mehr

Euklid von Alexandria

Euklid von Alexandria Euklid von Alexandria lebte ca. 360 v. Chr. bis ca. 280 v. Chr. systematisierte in 13 Büchern ( Elemente ) das mathematische Wissen der Antike - bis ins 19. Jahrhundert nach Bibel das am meisten verbreitete

Mehr

Grundwissen. 7. Jahrgangsstufe. Mathematik

Grundwissen. 7. Jahrgangsstufe. Mathematik Grundwissen 7. Jahrgangsstufe Mathematik Grundwissen Mathematik 7. Jahrgangsstufe Seite 1 1 Geometrie 1.1 Grundkonstruktionen Lotkonstruktion I: Gegeben ist die Gerade g und der Punkt P, der nicht auf

Mehr

3 Geometrisches Beweisen

3 Geometrisches Beweisen 22 3 Geometrisches Beweisen 3.1 Axiome Durch empirische Untersuchungen werden immer wieder Gesetzmäßigkeiten gefunden, die man versucht durch logische Schlüsse zu begründen. Irgendwann am Ende einer Schlusskette

Mehr

Aufgaben Geometrie Lager

Aufgaben Geometrie Lager Schweizer Mathematik-Olympiade Aufgaben Geometrie Lager Aktualisiert: 26. Juni 2014 Starter 1. Zwei Städte A und B liegen auf verschiedenen Seiten eines Flusses. An welcher Stelle muss eine Brücke rechtwinklig

Mehr

2 Kongruenzabbildungen - Bewegungen

2 Kongruenzabbildungen - Bewegungen 16 2 Kongruenzabbildungen - Bewegungen 2.1 Die Gruppe der Bewegungen Bei der Untersuchung der Geradenspiegelungen hat sich ergeben, daß eine Geradenspiegelung, zweimal ausgeführt, die identische Abbildung

Mehr

3 Hyperbolische Geometrie

3 Hyperbolische Geometrie Ausgewählte Kpitel der Geometrie 3 Hperbolische Geometrie [... ] Im Folgenden betrchten wir nun spezielle gebrochen-linere Abbildungen, nämlich solche, für die (mit den Bezeichnungen ϕ,b,c,d wie oben die

Mehr

Grundwissen 7. Klasse

Grundwissen 7. Klasse Grundwissen Mathematik 7. Klasse /6 Grundwissen 7. Klasse lgebra.terme mit Variablen a) llgemeines Treten in einem Term (Rechenausdruck) verschiedene Variablen auf, dann dürfen diese mit verschiedenen

Mehr

45. Österreichische Mathematik-Olympiade

45. Österreichische Mathematik-Olympiade 45. Österreichische Mathematik-Olympiade Landeswettbewerb für Anfängerinnen und Anfänger 1. Juni 014 Aufgabe 1. Man bestimme alle Lösungen der Gleichung a = b (b + 7) mit ganzen Zahlen a 0 und b 0. W.

Mehr

Grundwissen Mathematik 7. Klasse

Grundwissen Mathematik 7. Klasse Welfen-Gymnasium Schongau 1 Grundwissen Mathematik 7. Klasse Wissen Aufgaben/Beispiele Lösungen Achsenspiegelung Eigenschaften der Achsenspiegelung: - Die Verbindungsstrecke von Punkt P und Bildpunkt P

Mehr

Elemente der Geometrie II

Elemente der Geometrie II Elemente der Geometrie II (Lehramt GHR/HR, Gym) Dr. Theo Overhagen Fachbereich 6 Mathematik Universität Siegen 2008 1 1 Die Axiome der Elementargeometrie 1.1 Das axiomatische Vorgehen Die Geometrie ist

Mehr

Übersicht zur Vorlesung

Übersicht zur Vorlesung Stand: 19.1.2012 Übersicht zur Vorlesung Ausgewählte Kapitel der Geometrie Definitionen/Axiome Anordnungsaxiome Archimedisches Axiom Definition von größer in den reellen Zahlen Intervalle Punkte, Geraden

Mehr

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere

Mehr

Lösungen zum Aufgabenblatt Nr. 1: Konstruktion der reellen Zahlen

Lösungen zum Aufgabenblatt Nr. 1: Konstruktion der reellen Zahlen Lösungen zum Aufgabenblatt Nr. 1: Konstruktion der reellen Zahlen Aufgabe 1: Es sei D die Menge aller rationalen Dedekind-Mengen, also D := { M 2 Q M is Dedekind-Menge }. Auf der Menge D definieren wir

Mehr

47. Österreichische Mathematik-Olympiade Landeswettbewerb für Anfänger/innen Lösungen

47. Österreichische Mathematik-Olympiade Landeswettbewerb für Anfänger/innen Lösungen 47. Österreichische Mathematik-Olympiade Landeswettbewerb für Anfänger/innen Lösungen 16. Juni 016 Aufgabe 1. Man bestimme alle natürlichen Zahlen n mit zwei verschiedenen positiven Teilern, die von n

Mehr

3. Synthetische Geometrie (synthetein = zusammensetzen)

3. Synthetische Geometrie (synthetein = zusammensetzen) 3. Synthetische Geometrie (synthetein = zusammensetzen) Wichtig ist in der synthetischen Geometrie das Zusammensetzen von Grundsätzen, Voraussetzungen, Sätzen und Folgerungen. Die SuS lernen die neue Art

Mehr

OvTG Gauting, Grundwissen Mathematik 7. Klasse

OvTG Gauting, Grundwissen Mathematik 7. Klasse 1. Symmetrie (vgl. auch Grundwissen 5. Klasse) Achsensymmetrie Zwei Figuren, die bezüglich einer Achse symmetrisch zueinander sind, nennt man achsensymmetrisch. a Punktsymmetrie Zwei Figuren, die bei einer

Mehr

Differentialgeometrie. Lehre Differentialgeometrie

Differentialgeometrie.  Lehre Differentialgeometrie Differentialgeometrie 1.1 Differentialgeometrie http://www.juergen-roth.de Lehre Differentialgeometrie Differentialgeometrie 1.2 Differentialgeometrie?! Elementare Differentialgeometrie Ziel: Untersuchung

Mehr

Elementare hyperbolische Geometrie

Elementare hyperbolische Geometrie Elementare hyperbolische Geometrie von Maximilian Gerhards Version: 6. Mai 2015 Inhaltsverzeichnis 1 Euklid und die axiomatische Methode 3 2 Absolute Geometrie: Punkte und Geraden 6 3 Absolute Geometrie:

Mehr

6. Mathematik Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 7 Saison 1966/1967 Aufgaben und Lösungen

6. Mathematik Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 7 Saison 1966/1967 Aufgaben und Lösungen 6. Mathematik Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 7 Saison 1966/1967 Aufgaben und Lösungen 1 OJM 6. Mathematik-Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 7 Aufgaben Hinweis: Der Lösungsweg mit

Mehr

Definitionen: spitzer Winkel, stumpfer Winkel

Definitionen: spitzer Winkel, stumpfer Winkel Definitionen: spitzer Winkel, stumpfer Winkel Die in der Schule üblichen Definitionen über den Vergleich mit 90 dürften klar sein. Wir geben hier die Definitionen ohne die Verwendung von Zahlen für die

Mehr

Einige Ergebnisse der euklidischen Geometrie

Einige Ergebnisse der euklidischen Geometrie 1 Teil I Einige Ergebnisse der euklidischen Geometrie In Teil I setzen wir den euklidischen Raum als bekannt voraus (aus der Schule oder aus der Vorlesung Lineare lgebra und nalytische Geometrie). Da wir

Mehr

2.5 Bewegungen und Kongruenz

2.5 Bewegungen und Kongruenz 73 2.5 Bewegungen und Kongruenz Schon öfter wurde das Axiomensystem von Hilbert erwähnt. Hier soll kurz auf dieses System eingegangen werden. Die Einteilung in Gruppen von Axiomen haben wir schon von Hilbert

Mehr

Abschlussprüfung 2011 an den Realschulen in Bayern

Abschlussprüfung 2011 an den Realschulen in Bayern Prüfungsdauer: 50 Minuten Abschlussprüfung 0 an den Realschulen in Bayern Mathematik II Name: Vorname: Klasse: Platzziffer: Punkte: Aufgabe A Nachtermin A Eierbecher S Die nebenstehende Skizze zeigt den

Mehr

Stufen- und Wechselwinkel sind genau dann gleich groß, wenn die Geraden g und h parallel sind.

Stufen- und Wechselwinkel sind genau dann gleich groß, wenn die Geraden g und h parallel sind. 1 Sätze über Winkel Geradenkreuzung: Zwei Geraden, die sich in einem Punkt schneiden, nennt man eine Geradenkreuzung. α α Nebeneinander liegende Winkel heißen Nebenwinkel, sie β ergeben zusammen stets

Mehr

Geometrie - Fachdidaktik Skript zur VL/UE im WS 02/03 bei Prof. Bauer

Geometrie - Fachdidaktik Skript zur VL/UE im WS 02/03 bei Prof. Bauer Geometrie - Fachdidaktik Skript zur VL/UE im WS 02/03 bei Prof. Bauer updated 09.02.2003; www.philimhof.de.vu Einführungsbeispiel Der Satz von der Winkelsumme im Dreieck () Empirische Feststellung Messen:

Mehr

Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 7

Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 7 Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 7 Wissen und Können 1. Terme Terme sind sinnvolle Rechenausdrücke mit Zahlen, Variablen und Rechenzeichen. Berechnung von Termwerten

Mehr

Geometrie (4b) Wintersemester 2015/16. Kapitel 3. Dreieck, Viereck, Fünfeck, Kreis. Anwendungen & bekannte Sätze

Geometrie (4b) Wintersemester 2015/16. Kapitel 3. Dreieck, Viereck, Fünfeck, Kreis. Anwendungen & bekannte Sätze Kapitel 3 Dreieck, Viereck, Fünfeck, Kreis Anwendungen & bekannte Sätze 1 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau Im Folgenden werden Maßzahlen für Winkelgrößen

Mehr

Grundwissen JS 7: Geometrie 17. Juli (a) Wann heißt eine Figur achsensymmetrisch? Welche Bedeutung hat die Symmetrieachse anschaulich

Grundwissen JS 7: Geometrie 17. Juli (a) Wann heißt eine Figur achsensymmetrisch? Welche Bedeutung hat die Symmetrieachse anschaulich GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM EGNITZ math-technolog u sprachl Gymnasium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7 91257 EGNITZ FERNRUF 09241/48333 FAX 09241/2564 Grundwissen JS 7: Geometrie 17 Juli 2007 1(a) Wann heißt

Mehr

Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 7

Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 7 Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 7 Wissen und Können 1. Terme Terme sind sinnvolle Rechenausdrücke mit Zahlen, Variablen und Rechenzeichen. Berechnung von Termwerten

Mehr

Musterlösungen Klausur Geometrie

Musterlösungen Klausur Geometrie Musterlösungen Klausur Geometrie Aufgabe 1 (Total: 8 Punkte). Seien A, B, C die Eckpunkte eines nichtentarteten Dreiecks in der euklidischen Ebene. Seien D, E, F derart gewählt, dass folgende Teilverhältnisse

Mehr

4. Kongruenz ohne Parallelen.

4. Kongruenz ohne Parallelen. 4. Kongruenz ohne Parallelen. Den Griechen war bald klar, dass es bei einer solchen fundamentalen Frage, wie der nach der Existenz eines Pentagons, nicht mehr um noch so clevere geometrische Tricks gehen

Mehr

7.1 Algebra Rechnen mit rationalen Zahlen und Termen

7.1 Algebra Rechnen mit rationalen Zahlen und Termen Gymnasium bei St. Anna, Augsburg Seite 1 Grundwissen 7. Klasse 7.1 Algebra 7.1.1 Rechnen mit rationalen Zahlen und Termen WH: Siehe dazu..3 Vorrangregeln und.. K-, A-, D-Gesetze sowie 6. Rechengesetze

Mehr

Da diese Zahlenmenge nicht unter Subtraktion abgeschlossen ist, erweitert man sie zur Menge der ganzen Zahlen

Da diese Zahlenmenge nicht unter Subtraktion abgeschlossen ist, erweitert man sie zur Menge der ganzen Zahlen Kapitel 2 Die reellen Zahlen Die reellen Zahlen werden zunächst und vorübergehend als Dezimalzahlen eingeführt. Die wichtigsten Eigenschaften werden aus dieser Darstellung hergeleitet, mit denen dann die

Mehr

Grundwissen. Gymnasium Eckental Mathematisch-naturwissenschaftliches Gymnasium Neusprachliches Gymnasium. Jahrgangsstufe: 7(G8)

Grundwissen. Gymnasium Eckental Mathematisch-naturwissenschaftliches Gymnasium Neusprachliches Gymnasium. Jahrgangsstufe: 7(G8) Gymnasium Eckental Mathematisch-naturwissenschaftliches Gymnasium Neusprachliches Gymnasium Gymnasium Eckental Neunkirchener Straße 9042 Eckental Grundwissen Jahrgangsstufe: 7(G8) Vereinfachen von Summen

Mehr

Vierecke Kurzfragen. 2. Juli 2012

Vierecke Kurzfragen. 2. Juli 2012 Vierecke Kurzfragen 2. Juli 2012 Vierecke Kurzfrage 1 Wie werden Vierecke angeschrieben? Vierecke Kurzfrage 1 Wie werden Vierecke angeschrieben? Ecken: Vierecke Kurzfrage 1 Wie werden Vierecke angeschrieben?

Mehr

Elementare Geometrie Vorlesung 10

Elementare Geometrie Vorlesung 10 Elementare Geometrie Vorlesung 10 Thomas Zink 24.5.2017 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck eine Folge von drei Punkten ABC in E, die nicht

Mehr

1 Analytische Geometrie und Grundlagen

1 Analytische Geometrie und Grundlagen $Id: vektor.tex,v 1.22 2017/05/15 15:10:33 hk Exp $ 1 Analytische Geometrie und Grundlagen 1.5 Abstände und Winkel In der letzten Sitzung haben wir einen orientierten Winkelbegriff zwischen Strahlen mit

Mehr

22. Mathematik Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 7 Saison 1982/1983 Aufgaben und Lösungen

22. Mathematik Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 7 Saison 1982/1983 Aufgaben und Lösungen 22. Mathematik Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 7 Saison 1982/1983 Aufgaben und Lösungen 1 OJM 22. Mathematik-Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 7 Aufgaben Hinweis: Der Lösungsweg

Mehr

Berechnung von Strecken und Winkeln. Hier alle Beispiele aus Teil 5 und 6. als Aufgabensammlung. Datei Nr. 64120. Stand 22.

Berechnung von Strecken und Winkeln. Hier alle Beispiele aus Teil 5 und 6. als Aufgabensammlung. Datei Nr. 64120. Stand 22. Vektorgeometrie ganz einfach Aufgabensammlung Berechnung von Strecken und Winkeln Hier alle Beispiele aus Teil 5 und 6 als Aufgabensammlung. Datei Nr. 640 Stand. März 0 INTERNETBIBLITHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

Mehr

Lösungen Crashkurs 7. Jahrgangsstufe

Lösungen Crashkurs 7. Jahrgangsstufe Lösungen Crashkurs 7. Jahrgangsstufe I. Symmetrie und Grundkonstruktionen 1. 2. Jede Raute hat die Eigenschaften: a, b, d, e, g. 3. Der gesuchte Treffpunkt befindet sich dort, wo die Mittelsenkrechte der

Mehr

Elemente der Mathematik - Sommer 2016

Elemente der Mathematik - Sommer 2016 Elemente der Mathematik - Sommer 06 Prof. Dr. Matthias Lesch, Regula Krapf Übungsblatt 8 Aufgabe 7 (8 Punkte). Ein Parallelogramm ist ein Rechteck ABCD mit Seiten a, b, c, d wie unten dargestellt, mit

Mehr

I. Symmetrie. II. Grundkonstruktionen

I. Symmetrie. II. Grundkonstruktionen I. Symmetrie Achsensymmetrie Zwei Figuren, die bezüglich einer Achse symmetrisch zueinander sind, nennt man achsensymmetrisch. Punktsymmetrie Zwei Figuren, die bei einer Halbdrehung um einen Punkt ineinander

Mehr

In der Zeichnung unten sind α und β, β und γ, γ und δ, δ und α Nebenwinkel. Scheitelwinkel sind α und γ oder β und δ.

In der Zeichnung unten sind α und β, β und γ, γ und δ, δ und α Nebenwinkel. Scheitelwinkel sind α und γ oder β und δ. Entdeckungen an Geraden- und Doppelkreuzungen Schneiden sich zwei Geraden, so entstehen vier Winkel mit Scheitel im Schnittpunkt. Jeweils zwei gleichgroße Winkel liegen sich dabei gegenüber man nennt diese

Mehr

Beweise. 1. Betrachte folgenden Satz: Ein achsensymmetrisches Viereck mit einem 90 -Winkel ist ein Rechteck.

Beweise. 1. Betrachte folgenden Satz: Ein achsensymmetrisches Viereck mit einem 90 -Winkel ist ein Rechteck. Beweise 1. Betrachte folgenden Satz: Ein achsensymmetrisches Viereck mit einem 90 -Winkel ist ein Rechteck. (a) Gib Satz und Kehrsatz in der Wenn-dann-Form an! (b) Ist die Voraussetzung des Satzes notwendig,

Mehr

Der Goldene Schnitt. III. Der Goldene Schnitt in der Mathematik

Der Goldene Schnitt. III. Der Goldene Schnitt in der Mathematik Der Goldene Schnitt III. Der Goldene Schnitt in der Mthemtik 1. Herleitung des Goldenen Schnitt Per Definition des Goldenen Schnitt gilt: b = b. (>b>0) Nch der Drstellung (s.o.) gilt, wenn S (der mittlere

Mehr

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi HS 1

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi HS 1 Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere

Mehr