Kontextwechsel in realitätsbezogenen Mathematikaufgaben

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1 Erschienen in: Brake, Anna; Bremer, Helmut (Hg.): Alltagswelt Schule. Die soziale Herstellung schulischer Wirklichkeiten. Weinheim/München: Juventa, 2010, S Nikola Leufer, Michael Sertl Kontextwechsel in realitätsbezogenen Mathematikaufgaben Zur Problematik der alltagsweltlichen Öffnung fachunterrichtlicher Kontexte Vorbemerkung Der vorliegende Artikel hat seinen Ursprung in einer mathematikdidaktischen Studie von Nikola Leufer, die unterschiedliche Strategien bei der Bearbeitung eines populären Aufgabentyps im Mathematikunterricht nämlich Aufgaben mit Realitätsbezug untersuchen sollte. Untersuchungen in England und Beobachtungen im Vorfeld der Studie legten einen Zusammenhang zwischen unterschiedlichen Bearbeitungsstrategien und dem sozialen Hintergrund der Schülerinnen und Schüler nahe. Die Suche nach einer Erklärung, die einen Zusammenhang zwischen der Ebene des Unterrichts und dem Bereich gesellschaftlicher Gegebenheiten herstellen könnte, führte zu den Arbeiten des englischen Bildungssoziologen Basil Bernstein und dem Kontakt zu Michael Sertl. Die Zusammenarbeit der Autoren hatte weniger die Form einer Kooperation als vielmehr einer Korrespondenz, allein schon wegen der räumlichen Distanz (Dortmund Wien). Dieser Artikel ist ein vorläufiges Ergebnis dieser Korrespondenz. Er soll zeigen, dass bzw. wie sich die Arbeiten Bernsteins für die Analyse unmittelbarer Unterrichtsprozesse nutzen lassen. 1. Mathematikdidaktische Vorüberlegungen Ausgangspunkt dieses Beitrags war eine Studie, die zum Ziel hatte, unterschiedliche Strategien von Schülerinnen und Schülern bei der Bearbeitung realitätsbezogener Mathematikaufgaben zu untersuchen. Im Mittelpunkt des Interesses stand dabei der Umgang mit dem Realitätsbezug, denn realitätsbezogene Aufgaben verlangen einerseits das Verständnis und das Ernstnehmen eines gegebenen außermathematischen Kontextes. Andererseits 5

2 muss die darin eingebettete mathematische Aufgabe erkannt und oft unter Vernachlässigung nichtmathematischer Aspekte gelöst werden. Das Überbetonen wie auch das Vernachlässigen des Realitätsbezuges bei der Bearbeitung kann negativ evaluiert werden. 1.1 Realitätsbezüge im Mathematikunterricht Realitätsbezüge im Mathematikunterricht stellen eine Verbindung von Mathematik und alltäglicher Lebenswelt der Lernenden her. Auf der Unterrichtsebene sollen solche Alltagsanbindungen die Motivation und die Freude am Mathematiklernen erhöhen, wovon man sich bessere aber auch souveränere (im Sinne von transferierbarere) Mathematikleistungen verspricht (z. B. Blum 1996). Kindern, die Schwierigkeiten mit dem abstrakten Charakter der Mathematik haben, soll durch mehr Lebensnähe eine bessere Anschaulichkeit vermittelt und der Zugang zur Mathematik erleichtert werden. Und besonders für diejenigen, deren Lebensrealität in besonders starkem Kontrast zum Schulkontext steht, könnten Realitätsbezüge eine Hilfe sein: Die Anbindung schulischer Anforderungen an den Alltagskontext überbrückt ja gerade die Kluft zwischen Lebenswelt und Schulwelt, die schon mehrfach als hinderlich für den Lern- und Schulerfolg beschrieben wurde (vgl. z.b. Prediger 2004). Andrerseits stellt der verstärkte Einsatz realitätsbezogener Aufgaben auch eine Reaktion auf die Forderung nach einer stärkeren Anwendungsorientierung des Mathematikunterrichts dar. Statt des Vermittelns von isoliertem mathematischem Wissen, sollen mathematische Begriffe an Problemkontexten gelernt und geübt werden. Textaufgaben im Mathematikunterricht sind nicht neu, doch bedeutet der von uns hier betrachtete Realitätsbezug eine besonders starke Betonung von alltagsweltlichen Inhalten im (inner-)mathematischen Kontext. Statt nur eine inhaltliche Einkleidung für eine mathematische Aufgabe zu sein, beziehen diese realitätsbezogenen Aufgaben den außermathematischen Alltagskontext als quasi gleichwertiges Element in die Lösung der Aufgabe mit ein. Die Qualität realitätsbezogener Aufgaben besteht somit in der Vermischung von Kontexten, d.h. darin, dass Kriterien und Kenntnisse, die zur legitimen Lösung einer Aufgabe herangezogen werden müssen, sowohl aus dem innermathematischen als auch aus dem außermathematischen Kontext stammen können. Bei der Bearbeitung sind daher oft ein oder mehrere Kontextwechsel nötig. Ein illustratives Beispiel für dieses Aufgabenformat sind so genannte Fermi-Aufgaben. Diese Aufgaben sind nach dem Physiker Enrico Fermi benannt, von dem erzählt wird, dass er in seinen Vorlesungen bewusst Aufga- 6

3 ben gestellt hat, mit denen er die Modellbildungsfähigkeit seiner Studenten testen wollte. Ein bekanntes Beispiel lautet: Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago? Bei der Verwendung solcher Aufgaben im Mathematikunterricht sollen neben der Modellbildungsfähigkeit in der Regel zumindest die Grundrechenarten geübt werden. Trotz der alltagsweltlichen Fragestellung muss also auch ein dezidiert mathematischer Blick auf die Situation eingenommen werden, um zu entscheiden, welches (mathematische) Modell zielführend sein könnte. Um die mathematischen Operationen und Modelle auszuführen, sind Informationen nötig, die im Aufgabentext nicht genannt werden. Der Schüler muss daher entsprechende lebensweltliche, nichtmathematische Kenntnisse einbringen. Diese lebensweltlichen Annahmen und Informationen müssen wiederum in das mathematische Modell eingespeist und überführt werden. Die Aufgabe besteht also in einer mathematischen Modellbildung auf der Grundlage von eher zufälligen und unsystematisch vorhandenen Informationen. Diese unsystematischen Informationen werden systematisch, also mathematisch, verarbeitet. Dazu gehört, dass die mathematisch generierte Lösung schließlich noch einmal mit dem lebensweltlichen Kontext abgeglichen wird, um sie anhand von lebensweltlichen Plausibilitätserwägungen auf ihre Sinnhaftigkeit hin zu überprüfen. Die Aufgaben verlangen bzw. üben neben mathematischen Fertigkeiten also auch die Fähigkeit zum souveränen Kontextwechsel, d.h. zu entscheiden, wann lebensweltlich und wann mathematisch argumentiert werden muss. 1.2 Realitätsbezüge und Soziale Herkunft Studien in England belegen, dass nicht alle Schüler gleichermaßen souverän mit dieser Herausforderung umgehen: Cooper (1998) und Cooper & Dunne (2000) zeigen in Zusammenhang mit den National Assessments, dass bei realistic items, also bei realitätsbezogenen Aufgaben, besonders große Unterschiede bezogen auf die soziale Herkunft auftreten. Dabei schneiden Kinder aus unteren Schichten grundsätzlich schlechter ab. Allerdings zeigen die Interviews, die Cooper und Dunne im Anschluss und zur Überprüfung der Tests durchgeführt haben, dass diese Kinder oft über (gute) mathematische Kompetenzen verfügen, die den (schlechten) Testergebnissen widersprechen. Cooper und Dunne machen hierfür die beschriebene Schwierigkeit des Kontextwechsels verantwortlich und bezeichnen dieses Problem als boundary problem, d.h. als ein Problem der Grenzziehung (a.a.o., S. 3). Sie verweisen auf Bernstein und Bourdieu, die beide (empi- 7

4 risch) zeigen, dass Kinder (und Erwachsene) verschiedener sozialer Schichten erhebliche Unterschiede aufweisen, wenn es darum geht, Grenzen zwischen Alltagswissen und speziellem (Cooper und Dunne verwenden die Bezeichnung esoterischen ) Wissen zu erkennen (a.a.o., S. 2f). Sie erklären dies damit, dass es abhängig von der sozialen Schicht Unterschiede in der Art und Weise geben könnte, wie die Ansprüche realistischer Fragen interpretiert werden. Hierbei beziehen sich Kinder der unteren Schichten eher auf ihr Alltagswissen als Kinder der oberen Schichten. Sie scheitern relativ gesehen häufiger daran, die stark klassifizierte Natur der Schulmathematik in Anbetracht des suggerierten Realismus der Aufgabenstellung zu erkennen. Auch eigene Beobachtungen (im Rahmen von fachdidaktischen Hospitationen) zeigen die Schwierigkeit des Kontextwechsels als Problem spezieller Schichten. Während man Coopers Ergebnisse jedoch als Überbetonung von Realitätsbezug bezeichnen kann, wurde während einer mehrmonatigen Hospitation in den 10. Klassen eines Gymnasiums, dessen Einzugsgebiet auf ein nichtprivilegiertes Herkunftsmilieu 1 des Großteils der Schülerschaft schließen lässt, eher eine Überbetonung der offiziellen Praxis beobachtet. Diese Strategie besteht darin, im Falle undurchsichtiger Anforderungen eher der offiziellen Praxis als eigenen und lebensweltlichen Überlegungen zu vertrauen, d.h. sich vorzugsweise an erlernten Regeln, Formeln und Ritualen zu orientieren. Die Schüler gingen mit den im Unterricht behandelten mathematischen Algorithmen entsprechend souverän um. Schwierigkeiten traten vor allem beim Wechseln der Kontexte und dem Einbringen von Alltagserfahrung auf. Insgesamt stützen die eigenen Beobachtungen also die von Cooper vorgelegten Hinweise darauf, dass unscharfe Grenzen zwischen Mathematik und Alltagswelt und damit die Notwendigkeit des angemessenen Kontextwechsels Schwierigkeiten bei der Bearbeitung von Mathematikaufgaben verursachen können, die unabhängig von den mathematischen Fertigkeiten der Schüler/in sind. Diese Schwierigkeiten scheinen in besonderer Weise Schülerinnen und Schüler spezieller sozialer Klassen zu betreffen. 1 Zur Begrifflichkeit der privilegierten und nichtprivilegierten Milieus vgl. Vester 2004,

5 2. Der soziologische Hintergrund: Basil Bernsteins Code-Theorie Im Folgenden soll die Frage, ob die Fähigkeit und Bereitschaft zum Kontextwechsel und die Souveränität beim Erkennen des legitimen Kontexts bei realitätsbezogenen Aufgaben in einem Zusammenhang mit dem sozialen Herkunftsmilieu von Schülerinnen und Schülern stehen kann, genauer erörtert werden. Dabei erweisen sich die theoretischen Konzepte, die der englische Bildungssoziologe Basil Bernstein in diesem Zusammenhang entwickelt hat, als besonders fruchtbar. Die wesentlichen Bausteine seiner Theorie sollen hier kurz dargestellt werden. 2.1 Basil Bernstein Basil Bernstein ( ) erlangte in den 60er Jahren als Begründer der Soziolinguistik Weltberühmtheit. Seine zentrale These besagt, dass die Kinder der Unterschicht beim Erwerb schulischen Wissens auf Grund ihres restringierten Sprachcodes benachteiligt sind, während im Gegensatz dazu die Kinder der Mittel- und Oberschicht schon über jenen elaborierten Sprachcode verfügen, der für formale Bildungsprozesse notwendig ist. Als elaboriert werden dabei jene Strategien bezeichnet, die in der Textproduktion situationsunabhängig, also von der konkreten Situation abstrahierend und universalisierend vorgehen. Restringiert sind jene Strategien, die (mehr oder weniger bewusst) situationsgebunden bleiben. Restringierte Strategien suchen nach ökonomischen Kommunikationsformen insofern, als sie mit möglichst geringen Symbolressourcen auskommen bzw. das in der Situation gegebene Symbolreservoir nicht überschreiten. Nach Bernstein sind diese beiden Codes Kennzeichen unterschiedlicher sozialer Schichtzugehörigkeit und gleichzeitig das Medium der kulturellen Reproduktion sozialer Ungleichheit, und zwar via familiäre Sozialisation. Kinder der Mittel- und Oberschichten erarbeiten sich den elaborierten Code schon im Zuge der frühkindlichen Erziehung Unterschichtkinder eben nicht. 2 Die Regeln des elaborierten Codes sind aber die Grundlage der schu- 2 Bernstein erklärt die unterschiedliche Ausstattung der sozialen Schichten mit Codes im Endeffekt aus der sozialen Teilung der Arbeit. Die unteren Schichten werden mit körperlicher Arbeit und mit einer engeren Verbindung zur materiellen Basis (material base) assoziiert. Die Mittelschichten die Oberschichten spielen in diesem Modell keine Rolle sind in ihren Orientierungen kaum bzw. anders an die material base angebunden. Sie werden mit geistiger Arbeit assoziiert (vgl. Bernstein 1990, S.63ff). 9

6 lischen Kommunikation und der formalen Bildungsprozesse (s.w.u.). Aus diesem Grund kann man die Kinder der Unterschicht als systematisch benachteiligt ansehen. Die These von der systematischen Benachteiligung der Unterschichtkinder, oder anders formuliert, von der differenziellen und diversifizierenden Verteilung des Wissens und der Bildung auf Grund ungleicher Macht- und Klassenverhältnisse, hat Bernstein dann sein ganzes Forscherleben lang bis zu seinem Tod im Jahr 2000 ausgearbeitet und immer wieder reformuliert Klassifikation und Rahmung Neben der soziolinguistischen These verfolgt Bernstein schon von Anfang an eine zweite Idee, die die besondere Rolle der Schule bei dieser Ungleichverteilung in den Blick nimmt (siehe dazu besonders Bernstein 1977, 17ff): die Klassifikation und Rahmung pädagogisch vermittelten Wissens (vgl. Bernstein 1977a). Das Klassifikationsprinzip übernimmt er von Durkheim: Es steht für die Prinzipien der sozialen Arbeitsteilung, also für die Trennung von spezialisierten Diskursen. Der Clou des Klassifikationsprinzips ist, dass es die Beziehungen zwischen den Diskursen nicht als ein Zueinander oder Miteinander beschreibt, sondern als ein Getrennt Voneinander, aber doch aufeinander bezogen (relations between). In diesen Trennungen und Spezialisierungen manifestiert sich eine Form sozialer Macht, die er als power bezeichnet. Diese wird von einer zweiten Form sozialer Macht, control genannt, abgehoben. Sie findet ihren Ausdruck im Prinzip der Rahmung: Diese beinhaltet die Steuerung und Gestaltung der sozialen Beziehungen innerhalb eines Diskurses (relations within). Die eine Form der Macht (power) gibt dem jeweiligen Diskurs eine bestimmte Stimme (voice), man könnte auch sagen, ein Register, eine bestimmte Artikulations- oder Ausdrucksweise oder eine Terminologie (vgl. Bernstein 1990, 23). Diese Stimme wird über das Prinzip der Klassifikation (der Grenzziehung zwischen den Diskursen) im Diskurs verankert. Diese Stimme des jeweiligen Diskurses gilt es zu erkennen. Wer sie erkennt, verfügt über die Recognition Rules. In der Rahmung bzw. Steuerung der 3 Der Kern seines Werks ist in insgesamt fünf Bänden unter dem Sammelnamen Class, Codes and Control von 1971 bis 2000 publiziert. Dabei umfassen nur die Bände 1, 3, 4 und 5 seine theoretischen und konzeptiven Arbeiten. Der Band 2 (1973) ist ein Sammelband mit frühen Forschungsergebnissen zur soziolinguistischen These, die mehrheitlich von anderen ForscherInnen stammen. Nur die Bände 1 (1972) und 3 (1977) sind ins Deutsche übersetzt. 10

7 Kommunikation (control) sind jene Prinzipien aufgehoben und formuliert, die für die Generierung bzw. Realisierung von Botschaften (message) notwendig sind. Diese stellen die Realisation Rules dar. Bloß über die richtige voice zu verfügen (Recognition Rules), genügt nicht zur Realisierung einer Botschaft. Dazu bedarf es auch der legitimen kommunikativen Form (Realisation Rules). Aber umgekehrt gilt auch: Die Recognition Rules sind den Realisation Rules vorgängig. Sie verweisen auf und begrenzen den Diskurs, innerhalb dessen die Realisation Rules Gültigkeit haben. Klassifikation und Rahmung, kombiniert mit der restringierten oder elaborierten Bedeutungsorientierung (Orientation to Meaning) bilden das, was Bernstein einen Code nennt: die Prinzipien und Regeln, mit deren Hilfe die jeweils (den jeweiligen Diskursen) spezifischen symbolischen Informationen und Zusammenhänge übermittelt und angeeignet werden: 4 Ein Code ist ein regulatives Prinzip, das, stillschweigend angeeignet, a) die relevanten Bedeutungen, b) die Form ihrer Realisation und c) die sie hervorrufenden Kontexte selektiert und integriert (Bernstein 2000c, S.186). Es geht also um die Bedeutungen, um die Realisierung von Botschaften oder Texten und um den Kontext, der, im Zusammenwirken mit der Klassifikation, die spezifische Bedeutungsorientierung vermittelt. In einer ausgesprochen eleganten, mathematisch anmutenden Formel formuliert Bernstein den Code so: Code = C O ie + + F ie Der Bruchstrich bedeutet hier eingebettet in. Der Code besteht also aus den Elementen Klassifikation (C für Classification) und Rahmung (F für Framing), in die die Bedeutungsorientierung (O für Orientation to Meaning) eingebettet ist. Die Zeichen + und stehen für eine starke oder schwache Ausprägung dieser Prinzipien. Die Zeichen i und e stehen für interne und externe Beziehungen. Bezogen auf Unterricht kann man von ex- 4 Dieses Referat der Code-Theorie bezieht sich im Wesentlichen auf die Aufsätze Bernstein 2000a, 2000c. 11

8 terner Klassifikation und Rahmung sprechen, wenn man z.b. die Beziehungen zwischen Elternhaus und Schule meint. Eine interne Klassifikation und Rahmung beschreibt die Beziehungen innerhalb eines Diskurses, z.b. des Mathematikunterrichts (vgl. dazu ausführlich Morais/Neves 2001). Der Code liefert also die Regeln, die zur legitimen Teilnahme in einem Diskurs beherrscht werden müssen. Nur wer über die Regeln verfügt, kann Stimme und Botschaften verstehen und die legitimen Texte produzieren. Diese Regeln sind in den jeweiligen Ausprägungen von Klassifikation und Rahmung formuliert und in einen spezifischen Kontext eingebunden. Kontext ist hier als der soziale Raum eines Diskurses zu verstehen. Eine starke Klassifikation (C+) steht für klar gezogene Grenzen zwischen den Kategorien (Diskursen, Räumen, Akteuren, ). Z.B. stellen die Schulfächer stark klassifizierte, also stark voneinander getrennte Diskurse dar. Schwache Klassifikation (C ) signalisiert offene Grenzen bzw. die (beabsichtigte) Überschreitung oder Verletzung der Grenzen, wie sie z.b. beim Projektunterricht gegeben ist. Eine starke Rahmung (F+) bringt die von Bernstein als grundsätzlich angesehene Hierarchie in pädagogischen Prozessen klar zum Ausdruck: Schüler werden als Adressaten und nicht als Produzenten von Unterricht gesehen. Ihre Stellung ist untergeordnet. Die Hierarchie zwischen Lehrer und Schüler ist evident. Eine schwache Rahmung (F ) gibt mehr soziale Macht auf die Seite der Schüler (zumindest scheinbar, wie Bernstein betont), sie sind an der Produktion bzw. Gestaltung des Unterrichts beteiligt. 2.3 Klassifikation und Rahmung at the microlevel of classroom Die pädagogischen Praktiken im Sinne einer bewussten und geplanten Ü- bermittlung und Aneignung von Wissen in Form von Unterricht können als Codierung im Sinne von Bernstein beschrieben werden, d.h. als Modalitäten von Klassifikation (C) und Rahmung (F). Bernstein selbst hat, bezogen auf konkrete Unterrichtssituationen ( at the microlevel of classroom ), wenige Arbeiten geliefert; diese Forschungen wurden in erster Linie von den beiden Portugiesinnen Ana Morais und Isabel Neves und ihren MitarbeiterInnen betrieben (vgl. Bernstein 2000c, 100ff.; Morais 2002; Morais/Neves 2001; Neves/Morais 2001; Morais u.a. 2004). Dabei ist die Analyse der Klassifikation relativ marginal. Es geht dabei um Trennungen oder Grenzziehungen. Einerseits um eine Trennung, die man als inter-institutionell bezeichnen könnte: Die Trennung zwischen Schule 12

9 und Alltag, zwischen Familie und Schule usw. Andererseits um eine interdisziplinäre Trennung. Damit ist die, grundsätzlich starke, Klassifikation der Schulfächer gemeint. Der Stundenplan, die Lehrbücher und Arbeitsmaterialien, die je nach Fach wechselnden Lehrkräfte usw. bilden einen Kontext, der erkennen lässt (Recognition Rule), um welchen Diskurs, konkret um welches Schulfach es sich handelt. Diese Klassifikation kann schwächer sein, wenn es sich um fächerübergreifenden Unterricht oder Projekte bzw. um das Klassenlehrerprinzip in der Grundschule handelt. Wesentlich komplexer ist die Analyse der Rahmung. Rahmung wird von Bernstein folgendermaßen vorgestellt: 13 Framing refers to who controls what. ( ) Framing refers to the nature of the control over: - the selection of the communication; - its sequencing (what comes first, what comes second); - its pacing (the rate of expected acquisition); - the criteria; and - the control over the social base which makes this transmission possible. (Bernstein 2000a, 12f.; Hv. im Original) Jeder dieser Punkte kann, unabhängig von den anderen, stark oder schwach gerahmt sein. Eine besondere Betonung erfährt in der Code-Theorie die Rahmung der criteria bzw. evaluation criteria (wie es in den Arbeiten von Bernsteins SchülerInnen heißt, vgl. Morais/Neves 2001). Damit ist die mehr oder weniger klare Offenlegung der erwarteten Verhaltensweisen und Kenntnisse gemeint bzw., in der Sprache von Bernstein, die Übermittlung der Evaluationskriterien, mit denen der legitime Text gebildet werden kann. Any ( ) pedagogic practice is there for one purpose: to transmit criteria (Bernstein 2000b, 28; Hv. im Original). Die zentrale Stellung der Evaluationskriterien (EC für Evaluation Criteria)) erklärt sich damit, dass jede pädagogische Übermittlung/Aneignung auf die Frage reduziert werden kann: Ist die spezifische Aufgabe gelöst bzw. wird der legitime Text produziert? Mit der erfolgreichen Lösung ist die Aufnahme in den Kreis der legitimen Teilnehmer an einem spezifischen Diskurs verbunden. In den Evaluation Criteria werden also die Diskurs-Grenzen (= Klassifikation) angesprochen sie sind daher von allen Bereichen der Rahmung am engsten mit der Klassifikation verknüpft. In dem am Schluss genannten Bereich der Rahmung, in der Kontrolle über die soziale Basis, macht Bernstein noch einmal die hierarchische Grundstruktur der pädagogischen Übermittlung und Aneignung explizit. Um diese Grundstruktur zu betonen, nennen die portugiesischen Forscherinnen diesen

10 letzten Teil der Rahmung ausdrücklich Hierarchical Rules (HR). Die ersten vier Punkte fassen sie als Discoursive Rules (DR) zusammen (vgl. z.b. Morais/Neves 2001, 191ff.). 5 Diese Unterscheidung zwischen Discoursive Rules und Hierarchical Rules übernimmt Bernstein in seiner letzten Fassung der Codetheorie (2000a) und nennt sie den Instruktions-Diskurs (ID) und den Regulations-Diskurs (RD). Und er formuliert Rahmung als Einbettung des ID in den RD. The instructional discourse is embedded in the regulative discourse, and the regulative discourse is the dominant. (Bernstein 2000a, S.13) ID Rahmung = RD (vgl. Bernstein 2000a, S.13) Mit dieser Formulierung der Rahmung nimmt Bernstein Bezug auf ein weiteres wichtiges Element seiner pädagogischen Theorie, auf den Pädagogischen Diskurs. Mit diesem theoretischen Baustein polemisiert Bernstein gegen eine in den meisten pädagogischen Theorien vorgenommene Trennung der inhaltlichen Ebene von der Ebene der Vermittlung von Werten und erwünschten Verhaltensweisen (vgl. Bernstein 2000b; 31ff.). Diese Trennung hält Bernstein zwar analytisch aufrecht, aber gleichzeitig beschreibt er damit ein wesentliches (das wesentliche?) Spezifikum des pädagogischen Prozesses: die untrennbare Verschränkung des inhaltlichen Diskurses mit dem regulatorischen Diskurs. Pedagogic discourse is defined as rule which embeds a discourse of competence (the instructional, including specific skills) into a regulatory discourse (regulatory of character, conduct and manner, and of theories of pedagogy) (Hoadley 2006, 5). 5 Diese fünf Elemente der Bernsteinschen Rahmung von Unterricht sind zweifellos auch in einer bildungstheoretisch fundierten, und wohl eher deutschen, Didaktik und Methodik wiederzufinden. Der Unterschied zwischen einer solchen Didaktik und Methodik und der Bernsteinschen Code-Theorie liegt darin, dass sich die erstere eher als Rezeptologie versteht, die Anleitungen zur richtigen Übermittlung des Wissens liefern will, während Bernsteins soziologischer Ansatz den Anspruch erhebt zu erklären, wie die evidente Ungleichverteilung von Wissen im Zuge der pädagogischen Ü- bermittlung, im Detail, vor sich geht. 14

11 Die inhaltliche Übermittlung ist also eingebettet in den Regulationsdiskurs, in eine soziale Ordnung, deren Regeln ebenfalls entschlüsselt werden müssen. Der Regulationsdiskurs sorgt erst dafür, dass überhaupt Inhalte übermittelt werden können. Die soziale Verschränkung der beiden Ebenen wird evident, wenn wir z.b. für unseren Fall (Mathematik-Aufgaben) genauer nachfragen, welchem Diskurs eine Aufgabenstellung wie Begründe deine Antwort! (s.w.u.) angehört: Ist das Teil des mathematischen Diskurses o- der Regulationsdiskurs? 2.4 Schul-Codes sind immer elaboriert! Bezogen auf Schule und die pädagogische Übermittlung von Wissen muss die Formel spezifiziert werden: 15 E. = ie ie + C + F Päd Code Damit ist gesagt, dass pädagogische Codes immer auf elaborierte Orientierungen ausgerichtet sind bzw. sein müssen. Schulisches Wissen bzw. die entsprechenden Codes bestehen aus abstrahierenden, auf universelle Gültigkeit abzielenden Orientierungen. Bernstein führt mit diesen Überlegungen einen wesentlichen Gedanken aus Durkheims Religionssoziologie weiter: die Unterscheidung zwischen dem heiligen und dem profanen Wissen. Die Codes, konkret die Klassifikation, zeichnen die Grenze zwischen dem Denkbaren oder Legitimen auf der einen Seite und dem Undenkbaren oder Illegitimen auf der anderen Seite (vgl. Bernstein 2000b, 30f.). Pädagogik, so lassen sich Bernsteins Überlegungen vereinfacht zusammenfassen, hat in modernen Gesellschaften die Funktion übernommen, die die Religion in vormodernen Gesellschaften innehatte: Ihre Aufgabe ist die Bewahrung, Verwaltung und Weitergabe des legitimen Wissens. Diese Unterscheidung zwischen dem Heiligen und dem Profanen in seiner profanierten Form der modernen Pädagogik kehrt tatsächlich in vielen Spielarten des Bernsteinschen Theoriegebäudes (und in den Überlegungen seiner Schüler) immer wieder, z.b. im elaborierten und restringierten Code, also in den situationsgebundenen Codierungen des Alltagswissens im Gegensatz zu den elaborierten Codierungen des Schulwissens. Dowling (1998) spricht in seinen Untersuchungen zur Soziologie des Mathematikunterrichts von einer public domain und einer esoteric domain. Hoadley (2006, 2007) verwendet in ihren Analysen des Elementarunterrichts an südafrikanischen Grundschulen die Begriffe school codes und everyday codes und zitiert da-

12 für eine ganze Reihe von Autoren (2006, 26f). Und schlussendlich weist die Rede von der Bildungsferne oder -nähe bestimmter sozialer Schichten darauf hin, dass diese Unterscheidung inzwischen zum Allgemeingut der bildungspolitischen Diskussion geworden ist. 3. Kontextwechsel und Strategien bei der Bearbeitung realitätsbezogener Aufgaben 3.1 Realitätsbezogene Aufgaben aus der Perspektive Bernsteins Die verstärkte Anwendungsorientierung der Mathematik signalisiert eine qualitative Veränderung in der gesellschaftlichen Relevanz von Mathematik und ihrer Stellung im Konzert der Wissenschaften. War die traditionelle Mathematik (der Industriegesellschaft) sozusagen das Paradigma eines reinen Diskurses (vgl. dazu Sertl 2008) schlechthin, also die Reinform eines elaborierten Codes, so wird die Funktion der Mathematik jetzt (in der Informationsgesellschaft) auch oder vor allem in der Verbindung mit anderen Diskursen gesehen, d. h. in der Anwendung. Das zentrale Merkmal der traditionellen Mathematik, nämlich die Abstraktion, die Loslösung von der Lebenswelt, wird durch den Fokus auf Anwendbarkeit hinterfragt. In diesem Sinne ist auf der Ebene des konkreten Fachunterrichts auch der Realitätsbezug und damit das Verlassen des reinen mathematischen Diskurses zu verstehen: Realitätsbezogene Aufgaben im Mathematikunterricht können aus dieser Perspektive und mit der Terminologie Bernsteins als schwach klassifiziert bezeichnet werden, wenn sie bewusst die Grenzen zwischen Schulund Alltagskontext aufweichen. Die für die Bearbeitung notwendige Entschlüsselung des Diskurses oder des Kontexts beinhaltet die Entscheidung für Strategien, die entweder der offiziellen Praxis aus dem Mathematikunterricht oder der Alltagserfahrung folgen, und damit einen angemessene Kontextwechsel im Sinne der Aufgabenstellung. Dies ist in diesem Zusammenhang die Aufgabe der Recognition Rules. Die Realisation Rules sind dafür zuständig, sich in dem jeweils gewählten Diskurs souverän zu bewegen, d.h. konkret: auf das entsprechende Wissen zuzugreifen und so eine legitime Antwort geben zu können. Die verschiedenen Bearbeitungsstrategien der Schülerinnen und Schüler bei der Bearbeitung der vorgelegten Aufgabe sind somit Formen der Recognition und Realisation Rules. 16

13 3.2 Klassifikation und Rahmung am empirischen Beispiel Um mehr über die konkreten Strategien zum Umgang mit unscharfen Kontextgrenzen zu erfahren, wurden qualitative Einzelinterviews mit zufällig ausgewählten Schülerinnen und Schülern einer zuvor beobachteten zehnten Klasse in einem städtischen Gymnasium in NRW durchgeführt. Aufgrund des konkreten Einzugsgebietes der Schule kann man von einem nichtprivilegierten Herkunftsmilieu des Großteils der interviewten Schüler ausgehen. Der soziale Hintergrund der Schüler wurde durch Fragen nach dem Beruf der Eltern, der Schulform, die die Geschwister besuchen, der Muttersprache u. ä. charakterisiert. Die Interviews wurden mit Video aufgezeichnet und transkribiert. Ziel war es, das konkrete Vorgehen bei der Bearbeitung realitätsbezogener Aufgaben zu beschreiben. Die Erwartung war, dass sich in den Arbeitsweisen von Schülern aus unterschiedlichen Herkunftsmilieus unterschiedliche Strategien nichtprivilegierte bzw. bildungsferne vs. privilegierte bzw. bildungsaffine nachweisen lassen. Für diesen Beitrag fokussieren wir auf spezielle Vorgehensweisen bei Kontextwechseln und das Einbringen von Alltagserfahrung in Zusammenhang mit variierter Rahmung der Aufgabenstellung. Die Schülerinnen und Schüler kannten die Interviewerin von einer mehrwöchigen Hospitation im Mathematikunterricht im Vorfeld. Die Interviews waren damit eindeutig mit dem Mathematikunterricht assoziiert, so dass wir insgesamt von einer starken Klassifikation der Interviewsituation im Sinne eines mathematischen Diskurses ausgehen können (C+). Die ca. 45minütigen Gespräche fanden teilweise während des Unterrichts, aber auch zum Teil während der Freistunden bzw. nach Schulschluss statt. Die teilnehmenden Schülerinnen und Schüler bearbeiteten während des Interviews Aufgaben in einer festgelegten Reihenfolge. Um die Methode des Lauten Denkens (vgl. Meyer 2007) anwenden zu können, wurde den Schülern vor den Interviews erklärt, dass es darum gehe, die vorgelegten Aufgaben zu testen. Sie waren somit aufgefordert, alle Überlegungen und auch etwaige Probleme mit der noch zu erprobenden und daher möglicherweise fehlerhaften Aufgabenstellung laut auszusprechen. Wir interpretieren dieses Setting als Kommunikation auf Augenhöhe, und damit als schwache Rahmung der Hierarchical Rules (HR F ). Als Zweck der Studie wurde also vielmehr das Finden von Fehlern in der Aufgabenstellung als die individuelle Leistungsüberprüfung formuliert. Damit können auch die Evaluationskriterien als schwach gerahmt gelten (EC F ). Bei den vorgelegten Aufgaben handelt es sich um jeweils zwei Paare, die den für realitätsbezogene Aufgaben typischen Kontextwechsel auf unterschiedliche Weise erfordern: einmal auf der Ebene der Tätigkeiten (z.b. 17

14 Schätzen, Einführen eigener Annahmen) und einmal auf der Ebene der Inhalte (Sachkontext der Aufgabe). Die Aufgaben wurden zum Teil extra für den Untersuchungszweck konstruiert und variieren bewusst den Grad des Alltagsbezugs 6. Die jeweils erste Aufgabe legt eher eine offizielle, d.h. eine innermathematische Strategie nahe. Dazu ist wenig bis gar kein Kontextwechsel nötig. Es wird so ü- berprüft, ob dieses Aufgabenformat vertraut ist und der Schüler über die erforderlichen innermathematischen Fertigkeiten verfügt. Im jeweils zweiten Beispiel ist eher ein Kontextwechsel zu erwarten, da aus realistischer Perspektive eine reine Berechnung der Lösung aus den gegebenen Daten entweder nicht möglich ist oder zu unplausiblen Ergebnissen führt. Für eine aus dieser Perspektive sinnvolle Lösung ist ein Kontextwechsel und das Einbringen lebensweltlicher Erfahrung notwendig. Im Mittelpunkt des Interesses steht nun vor allem die Frage, inwieweit die variierten Formulierungen der Aufgaben und der Grad des Realitätsbezuges zu unterschiedlichen Reaktionen hinsichtlich des Kontextwechsels führen. Nach einer Aufgabenanalyse, die eine differenzierte Darstellung der Anforderungen beim Bearbeiten aus der Perspektive Bernsteins geben soll, illustrieren wir die Problematik der Aufgabenrahmung an den Reaktionen zweier Schülerinnen mit Migrationshintergrund, wie sie in den Transkripten dokumentiert sind. 6 Das heißt, die Aufgaben geben nicht unbedingt die Unterrichtsrealität wieder. 18

15 3.3 Klassifikation und Rahmung der Aufgabe Erdöl (vgl. hierzu Busse 2009) Die mathematische Aufgabe ist in einen realistischen Problemkontext eingebettet, der für eine erfolgreiche Bearbeitung gelesen und verstanden werden muss. Dennoch gibt das Aufgabenformat (Text mit Kurve auf Millimeterpapier, Aufgabe unterteilt in Aufgabenteil a) und b)) einen klaren Hinweis auf einen mathematischen Diskurs (C+). Die zentrale Rolle der Graphik wird deutlich gemacht: Die Verbrauchswerte der Vergangenheit sind der nebenstehenden Graphik zu entnehmen. Diese klare hierarchische Ansage (HR F+) scheint zugleich ein Hinweis auf die Evaluation Criteria zu sein: Orientiere Dich zur Lösung der Aufgabe so weit es geht an der Graphik! (EC F+) Den Aufgabenteil a) kann man mit Hilfe der Graphik dann sinnvoll beantworten, wenn man davon ausgeht, dass der Verbrauch sich auch in den nächsten Jahren so verhält wie bisher und die eingezeichnete Kurve somit linear weiter gedacht werden kann. Durch Fortführung dieser Tendenz (z. B. durch Abzählen der Millimetereinheiten, durch das Aufstellen einer Funktionsgleichung oder einfach durch das Anlegen eines Lineals) lässt sich der Verbrauch für das Jahr 2010 ungefähr ermitteln. Die starke Rahmung der Evaluation Criteria ( Beachte die Graphik! ) erleichtert also die Entscheidung wesentlich, ob alltagsweltliche oder mathematische Informationen zur Lösung der Aufgabe herangezogen werden müssen. Die Erwartung, dass es sich um einen rein mathematischen Diskurs handeln muss, wird weiter dadurch bestätigt, dass im Teil a) ohne explizierte inhaltliche 19

16 Motivation nach einem beliebigen Jahr gefragt wird, für das es den Erdölverbrauch zu ermitteln gilt. Der Aufgabenteil b) folgt in traditioneller schulmathematischer Manier auf den Teil a), indem er offensichtlich die Ergebnisse aus dem vorhergehenden Teil aufgreift und ebenso offensichtlich schwerer ist als dieser. Mit den Ergebnissen aus dem Aufgabenteil a) lässt sich durch systematisches Addieren der jährlichen Verbrauchswerte ermitteln, wann etwa die ca. 138 Mrd. Tonnen Erdöl aufgebraucht sein werden. Während also Aufgabenteil a) in erster Linie die Kompetenz Entnehmen von Informationen aus Abbildungen und die Kenntnis linearer Funktionen fordert, kann man Aufgabenteil b) als sehr anspruchsvolle Problemlöseaufgabe bezeichnen, da den Schülern der 10. Klasse (noch) keine Algorithmen zur Bearbeitung zur Verfügung stehen. Auch bei Teilaufgabe b) ist wenig Zweifel am mathematischen Diskurs gegeben. Allerdings sind hier auch Textverständnis bzw. genaues Lesen des Aufgabentextes gefragt: Gesucht ist nicht der Zeitpunkt, zu dem der globale Verbrauch den Wert 138, 041 Mrd. Tonnen annimmt, sondern das Jahr, in dem die Erdölreserven zu Ende gehen. Obwohl also der Sachkontext genau gelesen und verstanden und in diesem Sinne ernst genommen werden muss, sind zu viele lebensweltliche Überlegungen für eine mathematische Lösung der Aufgabe hinderlich: Wird beispielsweise erwägt, dass der Verbrauch an Erdöl durch den rapide wachsenden Energiemehrbedarf in Asien nicht linear, sondern sehr viel schneller steigen wird oder dass durch die drohende Knappheit verstärkt alternative Energien genutzt werden und der Verbrauch an Erdöl also zumindest insofern zurückgeht, dass die Null nicht erreicht wird, dann reichen die Informationen des Aufgabentextes nicht mehr aus, um die Fragen mit mathematischen Mitteln zu beantworten. Insgesamt ist die Aufgabe trotz des vermeintlichen Realitätsbezuges also relativ stark klassifiziert und die Evaluationskriterien stark gerahmt. Alle interviewten Schülerinnen und Schüler sind infolgedessen? unabhängig von ihrem sozialen Hintergrund ohne Zögern im innermathematischen Diskurs verblieben und haben nach innermathematischen Strategien gesucht, um die Aufgabe zu lösen. 20

17 3.4 Klassifikation und Rahmung der Aufgabe Tankstelle (Variante A) Die Aufgabe Tankstellen betont deutlicher als die Aufgabe Erdöl einen lebensweltlichen Bezug, denn sie ist neben dem inhaltlichen Realitätsbezug auch in der Darstellung lebensnah : Der authentische Text (dies ist durch die Quellenangabe klar ersichtlich) tritt als Zeitungsausschnitt auf und beschreibt eine Situation, die zunächst nicht unmittelbar mit Mathematik zu tun hat. Die Fragestellung lautet: Gibt es bald keine Tankstellen mehr? Begründe Deine Meinung! Im Antwortformat sind also nicht explizit Zahlen gefordert, streng genommen genügt ein Ja oder Nein (mit verbaler Begründung). Eindeutige Hinweise auf einen mathematischen Diskurs fehlen also sowohl dem Aufgaben- als auch dem Antwortformat. Dennoch ist die Aufgabe nicht eindeutig einem nichtmathematischen Diskurs zuzurechnen, denn die Häufung von Zahlen im Text und die lückenhafte Formulierung ( Die Zahl ist [ ] um 137 auf unter gesunken. Exakt gibt es derzeit [ ] statt: Die Zahl sinkt von um 137 auf ) lassen an eine Mathematikaufgabe denken. Insgesamt ist die Aufgabe also schwach klassifiziert, es bleibt unklar, welcher Kategorie sie zuzuordnen ist. Die Aufgabe ist auch relativ schwach gerahmt: Das Interesse an der eigenen Meinung des Schülers lässt sich als Kommunikation auf Augenhöhe werten (HR F ). Auch werden neben der Aufforderung, die eigene Meinung zu begründen keine Vorschriften oder Hinweise zur Vorgehensweise gegeben, d. h. die Aufgabe formuliert keine Evaluation Criteria (EC F ). 21

18 Die Aufgabe Tankstellen folgte im Interview absichtlich auf die Aufgabe Erdöl. Sie ist insofern strukturgleich, als auch hier ein lineares Verhalten des beschriebenen Rückgangs konstruiert werden kann. Sie motiviert jedoch aus zwei Gründen stärker einen Kontextwechsel bei der Bearbeitung: Einmal ist der Schluss auf lineares Verhalten weitaus abwegiger als in der vorhergehenden Aufgabe: Die Angaben im Text geben Informationen jeweils nur für einen bestimmten Zeitraum, nicht aber für mehrere Zeitpunkte an, so dass aus diesem Grund eigentlich nicht auf eine lineare Tendenz geschlossen werden kann. Auch widersprechen sich unter der Annahme linearen Verhaltens die gegebenen Daten: Einerseits gibt der Text an, dass es innerhalb eines Jahres einen Rückgang von 137 Tankstellen, andererseits aber innerhalb von 5 Jahren einen Rückgang um 1000 Tankstellen gibt. Die Annahme eines linearen Verhaltens kann hier also in einen Konflikt geraten. Möglich wäre, aus den Informationen auf ein anhaltendes, aber langsamer werdendes Tankstellensterben zu schließen. Andererseits liegt es nahe, das errechnete Ergebnis abschließend am Aufgabenkontext auf seine Sinnhaftigkeit zu überprüfen. Bei der Aufgabe Erdöl ist dies das Jahr, in dem die Erdölvorräte zur Neige gehen. Dass dies bald der Fall sein könnte, ist den meisten Schülern bekannt. Wenn allerdings berechnet wird, dass in nur wenigen Jahren alle Tankstellen geschlossen sein werden, erscheint dieses Ergebnis relativ unplausibel. Die Validierung des Ergebnisses stellt dann das benutzte mathematische Modell ( Linearität ) in Frage. Insgesamt ist anzunehmen, dass Schülerinnen und Schüler bei der Bearbeitung der Aufgabe Erdöl im innermathematischen Diskurs verbleiben, bei der Aufgabe Tankstellen allerdings aufgrund der Absurdität des Ergebnisses einen Kontextwechsel vollziehen und letztendlich alltagsweltlich argumentieren. 3.5 Kontextwechsel Das folgende Videotranskript gibt das laute Denken der Schülerin Seray und die Interventionen der Interviewerin wieder. Seray ist Türkin und mit drei Jahren nach Deutschland gekommen. Sie ist eloquent, selbstbewusst und gilt als gute Schülerin. Auch ihre Geschwister besuchen das Gymnasium. S 22 [Liest Titel:] Tankstellen [Liest Aufgabe leise, unterstreicht die Zahlenangaben im Text] Ok, die Frage ist: Gib es halt bald keine Tankstellen mehr? Ich glaub eher nicht, weil [lacht ein bisschen] wie logisch ist das denn, weil wo soll man tanken, wenn es keine Tankstellen mehr gibt, bisschen unlogisch ir-

19 I S I I S gendwie, weiß nicht, würd nicht denken, dass es keine mehr gibt, vielleicht würde das ein bisschen mehr sinken, aber das wars dann auch, aber hm ich denke eher nicht Ok Ohne Tankstellen, wie soll man da auskommen? Wenn Du das in ner Prüfung hättest, so eine Aufgabe? Ok, vielleicht würde ich das berechnen, aber von der Logik her kann man das doch eigentlich gar nicht berechnen. Man weiß ja nicht genau, ob das so sein wird. Das is ja eigentlich nur so n Dings.so n Ausschnitt hier von was weiß ich --- ähm vor was war das noch mal 4 Jahre ähm vor fünf Jahren warens tausend mehr aber das heißt ja nicht, dass es in 5 Jahren wieder 1000 weniger sind oder so. Ok Weiß auch nicht, was ich jetzt hier da rechnen soll irgendwie, es ist eher ne Realitätsaufgabe, weil man so logisch nachdenkt, kann das gar nicht sein, dass es bald keine Tankstellen mehr gibt. Vorauszuschicken ist, dass die Schülerin Seray bei der Bearbeitung der vorangegangenen Aufgabe Erdöl und der hier dargestellten Aufgabe Tankstellen zunächst in derselben Weise vorgeht: Sie unterstreicht die Zahlenangaben im Text und versucht dann aus den gegebenen Daten eine Rechnung zur Lösung der Aufgabe aufzustellen. Bei der Aufgabe Tankstellen stutzt sie allerdings, als sie die Fragestellung laut vorliest (siehe Transkript). Sie wechselt dann den Kontext und beginnt, alltagsweltlich zu argumentieren (was sie bei der Aufgabe Erdöl nicht getan hat). Sie sagt explizit, dass die Aufgabe von der Logik her gar nicht berechnet werden kann, erwähnt aber auch, dass sie in einer Prüfungssituation vermutlich versucht hätte, eine Rechnung durchzuführen. Die Frage ist nun, warum die Schülerin den Kontext wechselt und daraufhin den Versuch verwirft, ein mathematisches Modell für diese Aufgabe zu entwickeln. Möglicherweise könnte die Vorwegnahme des unplausiblen Ergebnisses Es gibt bald keine Tankstellen mehr in der Fragestellung ein Anlass für diesen Kontextwechsel sein. Die Bereitschaft zum Kontextwechsel würde in diesem Fall durch die Rahmung (Framing) der Aufgabe, also durch die Formulierung der Fragestellung, beeinflusst. Das folgende Beispiel zeigt nun ebenfalls den Einfluss der Rahmung bzw. der Fragestellung auf die Lösungsstrategie, allerdings unter umgekehrten Vorzeichen Klassifikation und Rahmung der Aufgabe Tankstellen (Variante B) 23

20 Die Aufgabe Tankstellen wurde noch in einer weiteren Variante benutzt, bei der die interviewten Schülerinnen und Schüler plötzlich rein mathematisch argumentierten. Die veränderte Fragestellung lautete: Verändert wurde bei der Aufgabe das Framing der Fragestellung: Sie wurde bewusst an die Fragestellung der zuvor gestellten, stark klassifizierten und gerahmten Aufgabe Erdöl angepasst. Dies zieht möglicherweise eine Änderung in den Recognition Rules nach sich: Die Aufgabe enthält nun klare Hinweise auf einen mathematischen Diskurs, indem sie beispielsweise Zahlen-Antworten fordert. Insbesondere der Aufgabenteil a) macht die Rahmung viel stärker und zwar durch die Verkürzung des Berechnungszeitraums (und damit die Erleichterung der Rechnung!) und dem damit implizit gegebenen Hinweis, dass man sich um die Plausibilität der Annahmen (Tankstellensterben) nicht zu kümmern braucht (C+). Die Hierarchical Rules und insbesondere die Evaluation Criteria sind deutlich stärker gerahmt als in der Variante A (also: HR F+, EC F+). 3.7 Vermeidung des Kontextwechsels Das folgende Transkript zeigt die Bearbeitung der beiden Teilaufgaben durch die Schülerin Priya. Priyas Eltern stammen aus Sri Lanka, sie selbst ist hier geboren. Alle Mädchen der Klasse, die aus Sri Lanka stammen, wirken fleißig, sprechen perfekt Deutsch und gelten als gute Mathematikerinnen. [Schülerin liest Aufgabe laut vor] (schnäuzt) [liest Frage] S (Pause) S Hm, ja das werden ja hm, immer 1000 Tankstellen weniger in den 5 Jahren, innerhalb von 5 Jahren ja [hustet] hier steht ja vor 5 Jahren boten noch 1000 Tankstellen mehr ihre Dienste und jetzt gibt es ja nur das ist bestimmt, ja von 2008 und 2012 sind das dann bestimmt ungefähr, also oder so. I Hm. (Pause) Also, Du musst entscheiden, wann Du fertig bist, darfst Dich nicht daran stören, dass ich nichts sage. S Hm (macht weiter), schreibt auf: S S 24 [liest Frage] Und wann gibt es keine Tankstellen mehr? (Pause) Hm, wir wissen jetzt, dass es in 5 Jahren immer 1000 weniger werden

21 und ähm da muss man ungefähr durch (Pause) durch Tausend (sehr zögerlich) gleich (greift zum Taschenrechner, tippt) (Pause) weiß nicht I Also 2012 sagst Du gibt es noch ungefähr S Hm I Jetzt ist die Frage, wann gibt es gar keine mehr (Pause) I Was überlegst Du gerade? S Wie ich das rechnen soll, wir haben ja jetzt diese Zahl, wie ich das dann hm. Ich weiß ja dass in 5 Jahren 1000 weniger werden immer. I S Hm Man könnte ja auch so Art Dreisatz probieren, wie viel ungefähr Man kann ja mal 13 und 5 mal 13 vielleicht, das sind ja (tippt) 65 Jahre vielleicht [ ] Die konkrete Frage nach der Zahl der Tankstellen im Jahr 2012 stellt für Priya eine typisch mathematische und damit stark klassifizierte Fragestellung dar. Sie verbleibt daher im innermathematischen Diskurs und konstruiert bei der ersten Teilaufgabe ohne Zögern einen linearen Zusammenhang der gegebenen Informationen: Alle fünf Jahre schließen 1000 Tankstellen. Für die nächsten fünf Jahre geht sie von weiteren 1000 Schließungen und verbleibenden Tankstellen im Jahr 2013 aus. Da nach dem Jahr 2012 gefragt ist, schätzt sie die Zahl (fälschlicherweise) nach unten ab und schreibt als Lösung auf. Auch der neu formulierte Aufgabenteil b) legt für die Schülerin eindeutig einen mathematischen Kontext nahe. Dies wird besonders deutlich, als sie obwohl noch unsicher sofort zum Taschenrechner greift, um die Rechnung : 1000 einzutippen. Mit dem Ergebnis kann sie allerdings nichts anfangen. Die Intervention der Interviewerin versteht sie vermutlich als Korrektur, so dass sie anschließend einerseits davon ausgeht, nicht zu wissen, wie sie die Aufgabe berechnen soll und andrerseits die Zahl 13 aufnimmt. Letztendlich scheint für sie die Anwendung einer ihr aus dem Mathematikunterricht wohlbekannten Strategie (Dreisatz) ein zufrieden stellendes Ergebnis zu liefern. Die stärkere Rahmung der EC signalisiert der Schülerin offensichtlich eine innermathematische Strategie, eine Strategie der offiziellen Praxis. D.h. sie sucht nach aus dem Unterricht bekannten Vorgehensweisen. Sie vermeidet also den Kontextwechsel. 4. Zusammenfassung Realitätsbezogene Aufgaben werden im vorliegenden Artikel im Kontext einer verstärkten Anwendungsorientierung gesehen, die auch in der Mathematik bzw. im Mathematikunterricht zu beobachten ist. Diese Anwendungsorientierung wird hier als Aufweichung des traditionellen reinen Diskurses der Mathematik betrachtet. Merkmal solcher Aufgaben ist nicht 25

22 die Abstraktion und eine entsprechend starke Klassifikation, sondern die Anbindung an die Lebenswelt. Ausgangspunkt unserer Überlegungen war die Vermutung, dass dieses viel verwendete Aufgabenformat im Mathematikunterricht eine neue Herausforderung für die Schülerinnen und Schüler darstellt: Die Qualität der betrachteten Aufgaben besteht in der starken Betonung von alltagsweltlichen Inhalten im (inner-)mathematischen Kontext. Statt nur Sachkontext für eine innermathematische Aufgabe zu sein, bedeutet ein starker und authentischer Realitätsbezug, dass Kriterien, die zur legitimen Lösung einer Aufgabe herangezogen werden müssen, sowohl aus dem innermathematischen als auch aus dem außermathematischen Kontext stammen können. Bei einer Aufgabe wird also anders als es etwa in traditionellen Mathematikaufgaben der Fall ist von der gewohnt mathematischen Argumentationsweise zu lebensweltlichen Überlegungen gewechselt und umgekehrt. Die betreffenden Stellen haben wir als Kontextwechsel bezeichnet, die entsprechenden Aufgaben als schwach klassifiziert. Der ausschlaggebende Punkt ist nun in der Sprache Bernsteins die Rahmung der Evaluation Criteria, also die Stärke jener Formulierungen und Signale, die klarstellen sollen, auf welche Weise die legitime Lösung einer Aufgabe realisiert werden kann. Diesen Rahmungen muss entnommen werden, ob und an welcher Stelle Kontextwechsel verlangt sind. In den beiden analysierten Aufgaben wurde deutlich, dass sich das Vollziehen eines Kontextwechsels unmittelbar auf die Lösung bzw. sogar auf die Lösbarkeit einer entsprechend gestellten Aufgabe auswirken kann. In unseren Transkriptbeispielen wurde das Vollziehen und das Vermeiden eines solchen Kontextwechsels exemplarisch vorgeführt. Wir vermuten, dass unterschiedliche Rahmungen, d.h. Formulierungen der Aufgabenstellung, unterschiedliche Codierungen liefern, die unterschiedliche Strategien auf Seiten der Schülerinnen und Schüler auslösen. Wird dabei nicht explizit, an welchen Stellen Kontextwechsel möglich bzw. angebracht sind, kann dies zur Wahl unvorteilhafter Strategien (d.h. von Recognition und Realisation Rules) führen. Nach Bernstein haben Kinder aus nichtprivilegiertem Milieu einen weniger souveränen Umgang mit dem elaborierten Code der Schulpraxis, der insbesondere in der abstrakten Mathematik zum Ausdruck kommt. Dies bestätigen die Studien Coopers und Dunnes. Sie zeigen, dass bei diesen Kindern 26

23 häufig eine lebensweltliche Orientierung dominiert, sobald die Klassifikation einer Mathematikaufgabe unklar ist. Beobachtungen an bildungserfolgreichen 7 Jugendlichen aus nichtprivilegierten Milieus zeigen jedoch, dass diese im Umgang mit traditioneller stark klassifizierter Mathematik bereits Strategien entwickelt haben, die ihnen eine relative Sicherheit und einen (bislang) erfolgreichen Umgang im Gebrauch der elaborierten Codes ermöglichen. Die Strategie der Jugendlichen besteht in der Überbetonung der offiziellen Praxis, d.h. in der (übertriebenen) Orientierung an Regeln, an Formeln, an Ritualen. Diese Strategie wenden sie möglicherweise auch dann noch an, wenn (ihnen) die Klassifikation der Aufgabe unklar ist, die Rahmung aber stark ist. Im Zweifel gehen sie also im Rahmen des Mathematikunterrichts von einem reinen Diskurs aus und versuchen, durch Anwendung legitimer, d.h. im Unterricht erlernter Methoden, angemessene Antworten zu geben. Aufgaben mit Realitätsbezug konterkarieren die Strategie der Überbetonung der offiziellen Praxis genau dann, wenn sie ein zumindest zeitweises Verlassen dieser Strategie verlangen, dies aber nicht explizit formulieren. Kindern bzw. Jugendlichen aus nichtprivilegiertem Milieu könnte dann eine systematische Hürde aufgebaut werden. Ausblick Es stellt sich die Frage, welche Form oder Kategorie von Wissen in Aufgaben mit starkem Realitätsbezug eigentlich evaluiert wird. Bernstein (bzw. Durkheim) folgend muss davon ausgegangen werden, dass es in schulischen Übermittlungsprozessen um die Weitergabe eines legitimen Wissenskorpus, also um ein elaboriertes Bildungswissen geht, das sich vom Alltagswissen qualitativ unterscheidet. Genau darin, in der Übermittlung und Aneignung dieses elaborierten Wissens, liegt der Zweck der Schule. Allerdings muss mit Bernstein davon ausgegangen werden, dass dieser Zweck nicht für alle gleich erfüllt wird, sondern dass in der Evaluation des Wissens immer auch die selektive Übermittlung an verschiedene soziale Gruppen mit vollzogen wird. Werden nun Aufgabenformate forciert, die dem Alltagswissen einen gleichberechtigten Status zuweisen, so kann der damit abverlangte Kontextwechsel als eine jener evaluativen Schwellen 7 Unter bildungserfolgreichen Jugendlichen verstehen wir jene Jugendlichen aus nichtprivilegierten Milieus (z.b. Jugendliche mit Migrationshintergrund), die einen "Bildungsaufstieg" bis in die 10. Klasse des Gymnasiums geschafft haben. 27