Vektor- und Tensorrechnung

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1 Vektor- und Tensorrechnung Levi Civita Symbol (e-tensor) Autor: Harald Höller letzte Änderung: ε = ε = ε = ε = ε = ε = ü Einige nützliche Beziehungen zwischen e-tensoren und Kronecker-Symbolen Zunächst die benötigten Mathematica Befehle: In[55]:=? Sum i max Sum@ f, 8i, i max <D evaluates the sum f. Sum@ f, 8i, i min, i max <D starts with i = i min. Sum@ f, 8i, i min, i max, di<d uses steps di. Sum@expr, 8i, 8i 1, i 2, <<D uses successive values i 1,i 2,. SumA f, 8i, i min, i max <, 9 j, j min, j max =, E evaluates the multiple sum i=1 i max j max i=i min j=j min f. à In[56]:=? Signature Signature@listD gives the signature of the permutation needed to place the elements of list in canonical order. à In[57]:=? KroneckerDelta KroneckerDelta@n 1, n 2, D gives the Kronecker delta d n1 n 2, equal to 1 if all the n i are equal, and 0 otherwise. à

2 2 vektor_tensor_m6.nb In[58]:=? Table 8i max <D generates a list of i max copies of expr. Table@expr, 8i, i max <D generates a list of the values of expr when i runs from 1 to i max. Table@expr, 8i, i min, i max <D starts with i = i min. Table@expr, 8i, i min, i max, di<d uses steps di. Table@expr, 8i, 8i 1, i 2, <<D uses the successive values i 1, i 2,. TableAexpr, 8i, i min, i max <, 9 j, j min, j max =, E gives a nested list. The list associated with i is outermost. à In[59]:=? MatrixForm MatrixForm@listD prints with the elements of list arranged in a regular array. à ü Zwei e-tensorenüber alle drei Indizes summiert ε ε = 6 ijk ijk In[60]:= Sum@Signature@8i, j, k<d Signature@8i, j, k<d, 8i, 3<, 8j, 3<, 8k, 3<D Out[60]= 6 ü Zwei e-tensoren über die letzten beiden Indizes summiert ε ε = 2 δ ijk ljk il In[61]:= Table@Sum@Signature@8i, j, k<d Signature@8l, j, k<d, 8j, 3<, 8k, 3<D, 8i, 3<, 8l, 3<D êê MatrixForm Out[61]//MatrixForm= ü Faustregel : Antisymmetrisch x Symmetrisch = 0 ε δ = 0 ijk ij In[62]:= Sum@Signature@8i, j, k<d KroneckerDelta@i, jd, 8i, 3<, 8j, 3<D Out[62]= 0 ü Kronecker-Delta mit sich selbst kontrahiert (verjüngt) δ δ = 3 ij ij In[63]:= Sum@KroneckerDelta@i, jd KroneckerDelta@i, jd, 8i, 3<, 8j, 3<D Out[63]= 3 ü Summation zweier Kronecker-Deltas über einen Index δ δ = δ ij jk ik

3 vektor_tensor_m6.nb 3 In[64]:= Table@Sum@KroneckerDelta@i, jd KroneckerDelta@j, kd, 8j, 3<D, 8i, 3<, 8k, 3<D êê MatrixForm Out[64]//MatrixForm= zu den T1 Beispielen 2) und 3) ü Vektorrelationen ü Komponentenweises Ausrechnen Mit Hilfe der oben vorgestellten Befehle lassen sich die in Beispiel 2) zu zeigenden Relationen leicht nachrechnen. Die Beziehungen werden für die Vektorkomponenten gezeigt. Wir definieren die linke Seite In[65]:= Out[65]= links = Table@Sum@Signature@8i, j, k<d a@jd Signature@8k, l, m<d b@ld c@md, 8j, 3<, 8k, 3<, 8l, 3<, 8m, 3<D, 8i, 3<D êê Expand 8 a@2d b@2d c@1d a@3d b@3d c@1d + a@2d b@1d c@2d + a@3d b@1d c@3d, a@1d b@2d c@1d a@1d b@1d c@2d a@3d b@3d c@2d + a@3d b@2d c@3d, a@1d b@3d c@1d + a@2d b@3d c@2d a@1d b@1d c@3d a@2d b@2d c@3d< und die rechte Seite In[66]:= Out[66]= rechts = Table@b@jD Sum@a@iD c@id, 8i, 3<D c@jd Sum@a@iD b@id, 8i, 3<D, 8j, 3<D êê Expand 8 a@2d b@2d c@1d a@3d b@3d c@1d + a@2d b@1d c@2d + a@3d b@1d c@3d, a@1d b@2d c@1d a@1d b@1d c@2d a@3d b@3d c@2d + a@3d b@2d c@3d, a@1d b@3d c@1d + a@2d b@3d c@2d a@1d b@1d c@3d a@2d b@2d c@3d< und vergleichen. In[67]:=? === lhs === rhs yields True if the expression lhs is identical to rhs, and yields False otherwise. à In[68]:= Out[68]= links === rechts True ü Mit dem Paket VektorAnalysis Mit dem Paket VektorAnalysis lassen sich vektorielle Berechnungen noch "komfortabler" anstellen. In[69]:= Needs@"VectorAnalysis`"D In[70]:= a:= 8a1, a2, a3< b:= 8b1, b2, b3< c:= 8c1, c2, c3< d:= 8d1, d2, d3< In[74]:=? CrossProduct CrossProduct@v 1, v 2 D gives the cross product of the two 3-vectors v 1, v 2 in the default coordinate system. CrossProduct@v 1, v 2, coordsysd gives the cross product of v 1 and v 2 in the coordinate system coordsys. à

4 4 vektor_tensor_m6.nb In[75]:=? DotProduct 1, v 2 D gives the dot product of the two 3-vectors v 1, v 2 in the default coordinate system. DotProduct@v 1, v 2, coordsysd gives the dot product of v 1 and v 2 in the coordinate system coordsys. à In[76]:= links2 = CrossProduct@a, CrossProduct@b, cdd Out[76]= a2 b a2 b a3 b3 + a3 b1 c3, 1.7 a1 b1 4.8 a1 b a3 b3 + a3 b2 c3, 4.8 a1 b3 1.7 a2 b3 a1 b1 c3 a2 b2 c3< In[77]:= rechts2 = b DotProduct@a, cd c DotProduct@a, bd êê Expand Out[77]= 80. a1 b1 1.7 a2 b a2 b a3 b3 + a3 b1 c3, 1.7 a1 b1 4.8 a1 b a2 b a3 b3 + a3 b2 c3, 4.8 a1 b3 1.7 a2 b3 a1 b1 c3 a2 b2 c3< In[78]:= Out[78]= links2 === rechts2 False ü Differentialoperatoren In[79]:=? SetCoordinates SetCoordinates@coordsysD sets the default coordinate system to be coordsys with default variables. SetCoordinates@coordsys@c 1, c 2, c 3 DD sets the default coordinate system to be coordsys with variables c 1, c 2, and c 3. à ü Kartesische Koordinaten In[80]:= Out[80]= In[81]:= In[82]:= In[83]:= Out[83]= In[84]:= Out[84]= In[85]:= Out[85]= In[86]:= SetCoordinates@Cartesian@x, y, zdd Cartesian@x, y, zd φ := f@x, y, zd v:= 8v1@x, y, zd, v2@x, y, zd, v3@x, y, zd< Grad@φD 9f y, zd, f y, zd, f y, zd= Div@vD v3 y, zd + v2 y, zd + v1 y, zd Curl@vD 9 v2 y, zd + v3 y, zd, v1 y, zd v3 y, zd, v1 y, zd + v2 y, zd= Div@Curl@vDD Out[86]= 0 In[87]:= Curl@Grad@φDD Out[87]= 80, 0, 0<

5 vektor_tensor_m6.nb 5 ü Sphärische Koordinaten In[88]:= Out[88]= In[89]:= In[90]:= In[91]:= Out[91]= In[92]:= SetCoordinates@Spherical@r, theta, phidd Spherical@r, theta, phid φ := f@r, theta, phid v:= 8z1@r, theta, phid, z2@r, theta, phid, z3@r, theta, phid< Div@vD 1 r Csc@thetaD 2 I2 r Sin@thetaD z1@r, theta, phid + r Cos@thetaD z2@r, theta, phid + rz3 theta, phid + r Sin@thetaD z2 theta, phid + r 2 Sin@thetaD z1 theta, phidm Curl@vD Out[92]= In[93]:= : 1 Csc@thetaD Ir Cos@thetaD z3@r, theta, phid r2 rz2 theta, phid + r Sin@thetaD z3 theta, phidm, 1 r Csc@thetaD I Sin@thetaD z3@r, theta, phid + theta, phid r Sin@thetaD z3 theta, phidm, z2@r, theta, phid z1 theta, phid + rz2 theta, phid > r Div@Curl@vDD Out[93]= 0 In[94]:= Curl@Grad@φDD Out[94]= 80, 0, 0<