2. Schularbeit aus. Mathematik und Angewandte Mathematik

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1 . Schularbeit aus Mathematik und Angewandte Mathematik Freitag,. April Jahrgänge NAME: Punkte:. vn 40 Nte:.. Ntenschlüssel Sehr Gut Gut Befriedigend Genügend Nicht Genügend Löse die Beispiele mit der hne Zuhilfenahme vn GeGebra (außer anderes ist angegeben!). Dkumentiere die Lösungen der Beispiele sauber, gib jeweils immer Antwrten in ganzen Sätzen! Drucke die jeweiligen Dateien/Screenshts aus. Alle erstellten Dateien unter Abgabe_SA in einen eigenen Ordner (NAME) abgeben.

2 Der Kraftstffverbrauch eines Kraftfahrzeugs ist unter anderem abhängig vn der gefahrenen Geschwindigkeit. v Geschwindigkeit in Kilmeter pr Stunde (km/h) K(v) Kraftstffverbrauch bei einer knstanten Geschwindigkeit v in Litern pr 00 Kilmeter a) Bei einer Testfahrt wurde flgender Kraftstffverbrauch eines LKWs bei verschiedenen Geschwindigkeiten festgestellt: v in km/h K(v) in Liter/00 km 0 9,4,8 Bei 50 km/h wurde auch der minimale Kraftstffverbrauch registiert! Der Kraftstffverbrauch bei dieser Testfahrt kann in einem Bereich vn 0 km/h bis 70 km/h annähernd durch eine kubische Funktin der Frm K(v) = a v + b v + c v + d beschrieben werden. Stellen Sie ein Gleichungssystem für die Berechnung der Keffizienten a, b und d auf und ermitteln Sie die Funktinsgleichung K(v)! b) Der Kraftstffverbrauch eines Kleinlastwagens lässt sich im Intervall [0 km/h; 70 km/h] näherungsweise durch flgende Funktin K beschreiben: K(v) = 0,005 v 0,4 v + 4, Beschreiben Sie mit Wrten Schritt für Schritt, wie sie mithilfe der Differentialrechnung diejenige Geschwindigkeit ermitteln, bei der der Kraftstffverbrauch minimal ist! c) Die nachstehende Grafik zeigt den Kraftstffverbrauch eines Kleintransprters in Abhängigkeit vn der Geschwindigkeit beim Fahren mit gleichbleibendem Gang Veranschaulichen Sie in der Grafik die mmentane Änderungsrate des Kraftstffverbrauchs bei einer Geschwindigkeit vn 55 km/h. Lesen Sie die mmentane Änderungsrate des Kraftstffverbrauchs bei 55 km/h ab und interpretieren Sie diesen Zahlenwert im Sachzusammenhang!

3 Ein Unternehmen bringt einen neuen E-Reader auf den Markt. Die Entwicklung der Anzahl der insgesamt (vn Anfang an) verkauften E-Reader in einer bestimmten Regin kann durch die Funktin 0,669 t V e (t) = 9,7 e beschrieben werden. t.zeit in Wchen V e(t) Anzahl der bis zum Zeitpunkt t insgesamt verkauften E-Reader Berechnen Sie, die przentuelle Zunahme an verkauften E-Reader pr Wche! Berechnen Sie die Verdpplungszeit in diesem expnentiellen Wachstumsmdell! Erläutern Sie allgemein mit Wrten, warum die Verdpplungszeit bei einem expnentiellen Wachstumsmdell nicht vn der Menge zum Zeitpunkt 0 abhängig ist! b) Die Obergrenze für die Anzahl der verkauften E-Reader in dieser Regin wird 000 Stück angenmmen Erstellen Sie ein begrenztes Wachstumsmdell mit dieser Obergrenze, wenn in der ersten Wche 80 E-Reader, nach der fünften Wche bereits 00 E-Reader verkauft wurden! Zu welchem Zeitpunkt ist sind laut diesem Mdell schn über 500 E-Reader verkauft wrden? c) Ein nch besseres Mdell für die Anzahl der verkauften E-Reader ist flgendes lgistisches Wachstumsmdell: Begründen Sie anhand der gegebenen Funktin V(t), warum die Funktinswerte sich mit wachsendem t dem maximalen Wert 000 nähern? Markieren Sie in der Grafik den Zeitpunkt t max, w die größte mmentane Zunahme an E-Readern erflgt und berechnen Sie diesen! Nehmen sie zu flgender Aussage des Marketingleiters (mithilfe der Grafik und der Funktin) Stellung und argumentieren Sie aus Sicht der Mathematik: Wir knnten zur Markteinführung 00 Geräte verkaufen und alle zwei Wchen verdppelt sich die Anzahl der verkauften E-Reader!

4 In Wintersprtgebieten kmmt es auf den und auch abseits der Pisten leider immer wieder zu Unfällen und Verletzungen, die möglichst rasch behandelt werden müssen. Dabei kmmen Akia, Skids und Hubschrauber zum Einsatz. Die Wahrscheinlichkeiten für einen jeweiligen Einsatz werden wie flgt angenmmen: Akia % Skid 5% Hubschrauber 0,5% a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Skid bei 8 Unfällen höchstens mal gerufen werden muss! Erstellen sie eine Fragestellung, w flgender Lösungsweg verwendet werden kann: [( 0 0 ) 0, , ( 0 ) 0,005 0,995 9 ] Ab welcher Anzahl vn Wintersprtunfällen beträgt die Wahrscheinlichkeit mindestens einmal einen Hubschrauber zu benötigen mindestens 99%? b) In einer Saisn kmmt es in Österreich statistisch gesehen zu ca Wintersprt- Unfällen. Wie viele Hubschraubereinsätze kann man dabei erwarten? Wie wahrscheinlich ist es, dass es zu mehr als 70 Hubschraubereinsätzen in einer Saisn kmmt? In welchen um den Erwartungswert symmetrischen Intervall liegt die Anzahl der Hubschraubereinsätze pr Saisn mit 95% Wahrscheinlichkeit? c) Das Eintreffen der Helfer/Retter vr Ort hängt vn vielen Parametern ab. Wir nehmen an, dass die Zeit bis vm Verständigen bis zum Eintreffen eine nrmalverteilte Zufallsvariable sei mit Erwartungswert 0 min und einer Standardabweichung vn 8 min. Ordnen sie die Fragestellungen/Angabe der richtigen Grafik zu! (Es bleiben Grafiken übrig!) A Wie grß ist die Wahrscheinlichkeit für ein Eintreffen Helfer/Retter später als Minuten? B In wie viel Przent der Fälle treffen die Helfer/Retter schn innerhalb der ersten 5 Minuten ein? C In ca. 68% der Fälle liegt die Zeit zwischen Verständigen und Eintreffen im Zeitintervall [; 8]

5 4 Der Tagestemperaturverlauf vn Steyr an einem Frühsmmertag lässt sich mit flgender Funktin beschreiben: T(t) = 0000 t4 00 t + 5 t 5 t t.zeit in Stunden 0 h < t < 4 h T(t) Temperatur in Grad Celsius ( C) zum Zeitpunkt t a) Stellen Sie diese Funktin im angegebenen Definitinsbereich rdentlich dar! b) Berechnen sie den Temperaturunterschied zwischen dem Minimum in der Nacht und der Höchsttemperatur am Nachmittag! c) Beschreiben Sie, wie Sie mit Hilfe der Differentialrechnung die maximale mmentane Temperaturzunahme berechnen können! 5 Ein Spiel-Baukltz auch Buchenhlz hat flgenden Querschnitt: (Maße in cm) Die gekrümmte Linie wird durch die Funktin f(x) beschrieben. a) Passt ein 4 x 4 x 4 cm anderer Baukltz durch die Höhle durch? Begründe mithilfe einer Rechnung und einer Skizze! b) Berechnen Sie das Vlumen und die Masse dieses Baukltzes, wenn der Kltz 6 cm tief ist und dm³ Buchenhlz 0,7 kg wiegt.