1 Beschreibung von Photonen und Elektronen

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1 Einführung in die optische Nachrichtentechnik L/ Grundlagen von Laser und LED (L) In diesem Kapitel werden die physikalischen Grundlagen von Emissions- und Absorptionsprozessen in Halbleitern behandelt. Beschreibung von Photonen und Elektronen Für die optische Übertragungstechnik werden bevorzugt Halbleiterlichtquellen verwendet, da diese eine hohe Leistungsdichte sowie eine gute Modulierbarkeit aufweisen. Sie basieren auf der Wechselwirkung zwischen optischer Strahlung (Photonen) und den Elektronen im Halbleiter. Die Elektronen werden im allgemeinen mit deren Energie und Impuls charakterisiert. Für Photonen gelten ähnliche Zusammenhänge. Energie eines Photons: W phot = h () Impuls eines Photons: p phot = h c (h-planck'sches Wirkungsquantum, h = 6; Ws 2 ) oder vektoriell: = h 2 (2) }{{} 2 }{{ c } k 0 ~p phot =~ ~k: (3) Damit ist der Impuls unmittelbar mit dem Wellenvektor ~k verknüpft. Diese Verknüpfung entsprechend Gl. (3) gilt dabei auch für Elektronen. Anschauliche Begründung für Gl. (2) (Vorsicht!): Spezielle Relativitätstheorie: W = m c 2 Impuls eine Photons: p = m c ) ~ p = W c In einem Festkörper lässt sich auch den Elektronen eine Energie und ein Impuls, bzw. eine Wellenzahl zuordnen. Die Wellenzahl beschreibt dann den Schwingungszustand der Elektronen im Kristall. In einem Kristallgitter mit der Gitterkonstante a 0 gibt es verschiedene Schwingungszustände der Elektronen: ~k ~k ~k = 0 ) Gleichphasige Schwingung aller Elektronen = a 0 ) Gegenphasige Schwingung von Elektronen benachbarter Gitterpunkte < a 0 ). Brillouin-Zone Der Impuls eines Elektrons ist wie beim Photon: ~p Elektron = ~~k. Die Elektronenenergie W ist von der Wellenzahl ~k abhängig. Dies gilt sowohl für gebundene Elektronen (Valenzband) als auch für freie Elektronen (Leitungsband). Beispiele für W (k)-verläufe verschiedener Halbleiter zeigt Abb.. (4)

2 Einführung in die optische Nachrichtentechnik L/2 Abbildung : Bänderstruktur von Ge, Si und GaAs (Bild aus: Sze, Physics of Semiconductor Devices) Die sogenannten Miller-Indizes [] und [00] bezeichnen die Kristallrichtungen, in die der Wellenvektor ~k zeigt. Die Stelle W = 0 in Abb. entspricht der Oberkante des Valenzbandes. Bei Übergängen zwischen Leitungs- und Valenzband müssen Energie und Impuls erhalten bleiben. Ein Vergleich des Impulses (bzw. der Wellenzahl) von Photon und Elektron ergibt:. Ein Photon mit der Wellenlänge = µm hat die Wellenzahl 2. Bei einem Elektron ist 0 < ~k < a 0 ~k = 2 n = 6; n m. mit einer Gitterkonstante im Bereich a 0 0; 5:::0; 7 nm. Dies führt zu einer Wellenzahl in der Gröÿenordnung ~k 5 0 m. Der Impuls eines Photons ist also sehr viel kleiner als der eines Elektrons. Ein Elektron soll nun bei Emission eines Photons von einem Zustand 2 im Leitungsband auf einen Zustand im Valenzband übergehen. Aus der Energie- und Impulserhaltung folgt W 2 = W phot + W (5) ~k 2 = ~k phot + ~k (6) Wegen ~k phot ~k ; ~k 2 gilt: ~k ~k 2 (7) Bei Gültigkeit von Gl. (7) spricht man auch von einem direkten Übergang. Bei alleiniger Wechselwirkung von Elektron und Photon sind nur direkte Übergänge möglich. Halbleiter, bei denen das Energieminimum des Leitungsbandes und das Energiemaximum des Valenzbandes gleiche Wellenvektoren

3 Einführung in die optische Nachrichtentechnik L/3 A E J K C I > 2 D 2 D J / 8 = A > Abbildung 2: Strahlende Rekombination in einem indirekten Halbleiter mit Erzeugung eines Phonons aufweisen, werden als direkte Halbleiter bezeichnet. So ist z.b. in Abb. GaAs ein direkter Halbleiter, während Si und Ge indirekte Halbleiter sind. Wird beim Übergang eines Elektrons vom Leitungs- ins Valenzband ein Photon emittiert, so spricht man von strahlender Rekombination. In indirekten Halbleitern ist dies nur möglich, wenn gleichzeitig ein Phonon (Gitterschwingung) mit geeigneter Wellenzahl k erzeugt wird (siehe Abb. 2). Dies macht die strahlende Rekombination im indirekten Halbleiter sehr viel unwahrscheinlicher als im direkten Halbleiter. Eine strahlungslose Rekombination ist z.b. durch sogenannte Auger-Prozesse möglich (siehe Abb. 3). Dabei führt die Rekombination eines Elektrons zu einem energetischen Anheben eines weiteren Elektrons, welches seine Energie allmählich durch Stöÿe mit dem Gitter wieder abgibt. Dies führt zu einer Erwärmung des Gitters. Abbildung 3: Auger-Prozesse in einem direkten Halbleiter mit parabolischen Bändern. (Bild aus: Winstel, Weyrich, Optoelektronik I)

4 Einführung in die optische Nachrichtentechnik L/4 2 Halbleitermaterialien In direkten Halbleitern überwiegt die strahlende Rekombination, während bei indirekten Halbleitern im wesentlichen strahlungslose Rekombination vorliegt. Für Halbleiterlichtquellen in der optischen Nachrichtentechnik werden daher nur direkte Halbleiter verwendet. Für einen Halbleiter wird eigentlich ein Element aus der Gruppe IV des Periodensystems, z.b. C, Si oder Ge, benötigt. Bei diesen Halbleitern handelt es sich allerdings um indirekte Halbleiter, so dass sie für eine eziente Lichtemission nicht verwendet werden können. Um Elemente der Gruppe IV anderweitig nachbilden zu können, werden stattdessen auch Mischkristalle verwendet, z.b. durch Kombination der Gruppe III und der Gruppe V des Periodensystems. Diese Halbleiter werden als III/V-Halbleiter bezeichnet (Es gibt aber auch z.b. II/VI-Halbleiter). Unter Verwendung der Elemente Al, Ga und In aus der Gruppe III und P, As und Sb aus der Gruppe V gibt es beispielsweise die folgenden neun Kombinationsmöglichkeiten für binäre III/V-Halbleiter (binär ^= mit 2 Elementen): AlP, AlAs, AlSb, GaP, GaAs, GaSb, InP, InAs, InSb. Diese neun binären III/V-Halbleiter sind in Abb. 4 durch Punkte dargestellt. Auch bei diesen binären Halbleitern ist jeweils die Bandlückenenergie W G und die Gitterkonstante a 0 festgelegt. Um eine gröÿere Flexibilität zu erreichen, ist der Übergang zu ternären (3 Elemente) oder sogar quaternären (4 Elemente) III/V-Halbleitern möglich. Die Verbindungslinien zwischen den binären III/V-Halbleitern in Abb. 4 geben ternäre Halbleiter an, wobei durchgezogene Linien direkten Halbleitern und gestrichelte Linien indirekten Halbleitern entsprechen. Von besonderer Bedeutung ist der ternäre Mischkristall Ga x Al x As (x bezeichnet den Anteil, zu dem Ga durch Al ersetzt wird). Wie Abb. 4 zeigt, ist das besondere an diesem Mischkristall, dass die Gitterkonstante sich mit variabler Substitution von Ga durch Al nur geringfügig ändert. Damit ist Ga x Al x As mit seiner Gitterkonstanten für alle x von vornherein gut an GaAs angepasst und kann deshalb gut auf GaAs-Substrate aufgewachsen werden (Epitaxie). Für x < 0; 36 ergibt sich ein direkter Halbleiter, während sich für x > 0; 36 ein indirekter Halbleiter ergibt. GaAs hat einen Bandabstand W G = ; 43 ev. Dies entspricht einem Photon mit der Wellenlänge = 0; 868µm. Ga 0;64 Al 0;36 As hat einen Bandabstand W G = ; 2 ev, was einem Photon der Wellenlänge = 0; 646 µm entspricht. Mit dem ternären Mischkristall GaAlAs lassen sich deshalb Halbleiterlichtquellen mit 0; 646µm < < 0; 868µm realisieren. Für die Realisierung von Lichtquellen im Bereich von ; 3µm oder ; 55µm (Minimum der chromatischen Dispersion bzw. der Dämpfung von Quarzglasfasern) ist die Verwendung eines ternären

5 Einführung in die optische Nachrichtentechnik L/5 Abbildung 4: Darstellung der Gitterkonstante als Funktion des Bandabstandes W G (Bild aus: Gowar, Optical Communication Systems)

6 Einführung in die optische Nachrichtentechnik L/6 Mischkristalls mit binärem Substrat nicht ohne weiteres möglich, da beim Wachstum der epitaktischen Schichten die Gitterkonstante beibehalten werden sollte, um Gitterfehler zu vermeiden. Es gibt zwar Versuche des Wachstums von Ga x Al x Sb auf GaSb, aber erfolgreicher sind hier quaternäre Mischkristalle. Von besonderer Bedeutung ist dabei der quaternäre Mischkristall InGaAsP (schraerter Bereich in Abb. 4). Bei Verwendung von InP als Substrat wird beim quaternären Mischkristall In x Ga x As y P y der Anteil y (y gibt den Anteil an, zu dem P durch As ersetzt wird) und Anteil x (x bezeichnet den Anteil, zu dem In durch Ga ersetzt wird) so einander zugeordnet, dass die Gitterkonstante an die Gitterkonstante von InP angepasst ist. Eine empirische Beziehung ist: x = 0; 4 y + 0; 067 y 2 (8) Unter der Voraussetzung der Gitteranpassung entsprechend Gl. (8) gilt als Zusammenhang zwischen Band- abstand W G und y W G = (; 35 0; 738 y + 0; 38 y 2 ) ev () Abbildung 5: Atomverhältnisse von In x Ga x As y P y bei Gitteranpassung an InP mit der Gitterkonstanten a = 0; nm in der [00]-Orientierung (Bild aus: Unger, Optische Nachrichtentechnik II) Bei Gitteranpassung an InP ist In x Ga x As y P y für alle y ein direkter Halbleiter. Mit dem quaternären Mischkristall InGaAsP mit Gitteranpassung an InP lassen sich Halbleiterlichtquellen mit 0; 2µm < < ; 65µm realisieren. Beispiel: = ; 3µm ) In 0;74 Ga 0;26 As 0;6 P 0;4

7 Einführung in die optische Nachrichtentechnik L/7 Abbildung 6: Bandabstand und Wellenlänge der Rekombinationsstrahlung von In x Ga x As y P y bei Gitteranpassung an InP (Bild aus: Unger, Optische Nachrichtentechnik II) 3 Photonenzustandsdichte Abbildung 7: Quaderförmiges Halbleitervolumen V = a x a y a z Vor der Diskussion der Wechselwirkung zwischen Photonen und Elektronen soll zunächst in Analogie zur Elektronenzustandsdichte in Halbleitern eine Photonenzustandsdichte abgeleitet werden.wir betrachten dazu gemäÿ Abb. 7 ein quaderförmiges Halbleitervolumen mit den Kantenlängen a x, a y und a z. In einem solchen Halbleitervolumen sind elektromagnetische Schwingungszustände möglich, die beispielsweise durch eine Feldfunktion mit sin(k x x) sin(k y y) sin(k z z) (0) beschrieben werden. Dabei sind k x,k y und k z die Wellenzahlen in x, y, bzw. z-richtung (ähnlich Kapitel EB, Gl. (3)), für die gilt: ( ) kx 2 + ky 2 + kz 2 = k0 2 n = n 2 () c

8 Einführung in die optische Nachrichtentechnik L/8 mit der Brechzahl n im Halbleitervolumen in Abb. 7. Der mit Gl. (0) beschriebene Schwingungszustand ist gekennzeichnet durch Randbedingungen (ähnlich dem Halbleiter oder Hohlraumresonator), z.b. = 0 am Rand des Quaders in Abb. 7, so dass gilt k x = a x m x ; k y = a y m y ; k z = a z m z (2) mit ganzzahligen m x, m y und m z. Mit Gl. () und Gl. (2) ergibt sich dann ein Zusammenhang zwischen der Schwingfrequenz und den Ordnungszahlen m x, m y und m z : ( ax ) 2 m 2 x + ( a y ) 2 ( ) my mz 2 = az ( ) 2 2 n 2 (3) Man kann nun die Anzahl der möglichen Ordnungszahltripel (m x, m y, m z ) und damit der Anzahl der möglichen Schwingungszustände dz angeben, die zu einer Schwingfrequenz zwischen und + d führen, wobei sich zunächst für eine Brechzahl n = ergibt (vergl. auch H.G. Wagemann, A. Schmidt, "Grundlagen der optoelektronischen Halbleiterbauelemente", Teubner, 8): c dz = 8 V c 3 2 d (4) mit dem Volumen V = a x a y a z. In Gl. (4) ist dabei berücksichtigt, dass zu jedem Ordnungszahltripel (m x, m y, m z ) zwei Schwingungszustände orthogonaler Polarisation gehören. Im Halbleiter mit der Brechzahl n und dem Gruppenindex N ist Gl. (4) zu modizieren zu dz = 8 n2 N V c 3 2 d (5) Für die Anzahl der Photonen in einem bestimmten Energieintervall ( h; h + d(h) ) gilt dz V bzw. mit W = h, dw = d(h ) : mit = 8 n 2 N (h c) 3 (h )2 d(h ) (6) dz V = z(w ) dw (7) z(w ) = 8 n2 N W 2 (h c) 3 (8) wobei z(w ) als Photonenzustandsdichte bezeichnet wird. Gl. (8) gibt die Anzahl der elektromagnetischen Schwingungen ( ^= Anzahl der möglichen Schwingungszustände von Photonen) pro Energieintervall dw, bezogen auf das Volumen V an.

9 Einführung in die optische Nachrichtentechnik L/ 4 Emissions- und Absorptionsprozesse im direkten Halbleiter Es soll nun die Wechselwirkung zwischen einem Zustand 2 (Energie W 2 ) im Leitungsband und einem Zustand (Energie W ) im Valenzband mit jeweils gleicher Wellenzahl ~k (bzw. Impuls) entsprechend Abb. 8 betrachtet werden. Ein Übergang vom Zustand 2 zum Zustand kann entweder spontan (spontane Emission) oder stimuliert (stimulierte Emission) erfolgen. Ebenso ist das Anheben eines Elektrons vom Zustand in den Zustand 2 unter Absorption eines Photons möglich. 4. Spontane Emission L. /. F 8 Abbildung 8: Rekombination eines Elektrons Erfolgt der Übergang des Elektrons von Zustand 2 im Leitungsband zu Zustand im Valenzband spontan und ohne Einwirkung eines externen elektromagnetischen Feldes, so spricht man von spontaner Emission. R sp (W ) heiÿt spontane Emissionsrate. Sie bezeichnet die Anzahl der pro Zeiteinheit emittierten Photonen der Energie W in einer bestimmten Eigenschwingung. R sp ist proportional dem Produkt der Anzahl der besetzten Zustände in Zustand 2 und der Anzahl der unbesetzten Zustände in Zustand. Die spontane Emissionsrate ergibt sich so zu R sp (W ) = A 2 D L (W 2 )D V (W )f L (W 2 )( f V (W )) () D L (W 2 ) und D V (W ) sind die Zustandsdichten der Elektronen im Leitungs- bzw. Valenzband und A 2 ist eine Proportionalitätskonstante. f L (W 2 ) ist die Besetzungswahrscheinlichkeit des Energieniveaus W 2 im Leitungsband. Diese entspricht der Fermiverteilung f L (W 2 ) = exp ( W2 W F n ) + mit der Boltzmann-Konstante k B = ; Ws K und dem Quasiferminiveau W F n. In Abb. 8 handelt es sich nicht um ein thermodynamisches Gleichgewicht, daher ist das Quasiferminiveau für das (20)

10 / / Einführung in die optische Nachrichtentechnik L/0 Leitungsband unterschiedlich vom Quasiferminiveau des Valenzbandes ( W F n 6= W F p ). Dies wird z.b. durch die Injektion von Ladungsträgern erreicht. Die Besetzungswahrscheinlichkeit des Energieniveaus W im Valenzband ist f V (W ) = exp ( W W F p ) + Es soll nun die spektrale Abhängigkeit von R sp (W ) und damit die spektrale Breite der spontanen Emission genauer abgeschätzt werden. (2) B B 8,, 8 A N F * 6 Abbildung : Die einzelnen Anteile der spontanen Emissionsrate R sp (W ) Wir nehmen zunächst an, dass sich die Quasi-Ferminiveaus innerhalb der Bandlücke benden, so dass W 2 W F n (22) und W F p W (23) gilt. Für f L (W 2 ) gilt dann näherungsweise f L (W 2 ) exp ( ) W2 W F n (24) und für f V (W ) gilt näherungsweise f V (W ) exp ( ) WF p W (25) und damit für das Produkt f L ( f V ) in Gl. (): f L (W 2 ) ( f V (W ) ) exp ( WF n W F p ) ( ) W exp (26)

11 Einführung in die optische Nachrichtentechnik L/ wie auch in Abb. schematisch dargestellt. Für die Zustandsdichten der Elektronen im Leitungs- bzw. Valenzband gilt bei parabolischen Bändern D L p W 2 W 20 und D V p W 0 W, so dass sich das Produkt W W G für W > W G D L D V (27) 0 sonst ergibt (vergl. Abb. ). Für die spektrale Form der spontanen Emission folgt dann aus Gl. () ( ) W R sp (W ) (W W G ) exp für W W G (28) entsprechend Abb I F 0 = > M A H J I > H A E J A? =! * 6 / D Abbildung 0: Spektrale Abhängigkeit der spontanen Emissionsrate R sp (W ) Eine direkte Auswertung von Gl. (28) führt zu einer spektralen Halbwertsbreite von W = 2; 45, was mit W = h und T = 20 K einer Spektralbreite von 5 THz entspricht. Experimentell werden bei lichtemittierenden Dioden Spektralbreiten von 2 bis 3 beobachtet. R sp bezeichnet die spontane Emission in einem Schwingungszustand. Die gesamte spontane Emissionsrate R sp, also die Anzahl der insgesamt pro Zeiteinheit emittierten Photonen erhält man nach Integration über alle Schwingungszustände mit der Photonenzustandsdichte z(w ) als: R sp = V 4.2 Stimulierte Emission und Absorption W G R sp (W )z(w ) dw (2) Wenn in einem Schwingungszustand Photonen vorhanden sind, können sie über die spontane Emission hinaus durch Wechselwirkung mit den Elektronenzuständen des Halbleiters dazu beitragen, dass weitere Photonen in dem gleichen Schwingungszustand generiert werden (stimulierte Emission) oder dass Photonen dieses Schwingungszustands vernichtet werden (Absorption).

12 Einführung in die optische Nachrichtentechnik L/2. Stimulierte Emission Wenn ein in einem bestimmten Schwingungszustand im Halbleitervolumen V vorhandenes Photon durch die Wechselwirkung mit dem Halbleiter den Übergang eines Elektrons vom Zustand 2 in den Zustand bei Emission eines Photons des gleichen Schwingungszustands auslöst, spricht man von stimulierter Emission. Die stimulierte Emissionsrate R stim (W ) ist das Verhältnis zwischen der Anzahl der erzeugten Photonen pro Zeiteinheit mit der Energie W eines bestimmten Schwingungszustands zu der Anzahl der vorhandenen Photonen mit der Energie W des gleichen Schwingungszustands. Die stimulierte Emission ist umso wahrscheinlicher, je stärker der Zustand 2 mit Elektronen besetzt und Zustand unbesetzt ist. Ähnlich wie für die spontane Emissionsrate R sp in Gl. () gilt R stim (W ) = B 2 D L (W 2 )D V (W )f L (W 2 )( f V (W )) (30) mit der Konstanten B Absorption Ein im Halbleitervolumen V vorhandenes Photon wird absorbiert, indem ein Elektron von Zustand auf Zustand 2 angehoben wird. Die Absorptionsrate R abs (W ) entspricht dem Verhältnis von pro Zeiteinheit absorbierten Photonen der Energie W zur vorhandenen Anzahl von Photonen der Energie W. Die Absorption ist umso wahrscheinlicher, je stärker der Zustand mit Elektronen besetzt und der Zustand 2 unbesetzt ist. Für die Absorptionsrate gilt R abs (W ) = B 2 D L (W 2 )D V (W )f V (W )( f L (W 2 )) (3) Da die stimulierte Emission und die Absorption gleichwertige Prozesse darstellen, muss gelten: B 2 = B 2. Darüber hinaus folgt aus Betrachtungen im thermodynamischen Gleichgewicht, dass der Koezient B 2 der stimulierten Emission gleich ist dem Koezienten A 2 der spontanen Emission: B 2 = A 2 und damit R stim (W ) = R sp (W ): (32) Insgesamt gilt damit A 2 = B 2 = B 2 : (33) Gl. (33) beschreibt die sogenannten Einstein-Beziehungen. Die Photonen innerhalb eines bestimmten Schwingungszustands führen gemäÿ R stim (W ) zur Erzeugung weiterer Photonen, und gemäÿ R abs (W ) zum Verlust von Photonen. Die Nettorate der stimulierten Emission R st (W ) ist damit gegeben als R st (W ) = R stim (W ) R abs (W ) = B 2 D L (W 2 )D V (W )(f L (W 2 ) f V (W )) (34) Interessant ist der Fall R st > 0 ; dann werden durch vorhandene Photonen weitere Photonen erzeugt und somit eine einfallende optische Welle verstärkt. Dies wird beim LASER (light amplication by

13 Einführung in die optische Nachrichtentechnik L/3 4 I F 4 I J 4 I F 4 I J.. F / Abbildung : Spektrale Abhängigkeit der spontanen Emissionsrate R sp (W ) und der Nettorate der stimulierten Emission R st (W ) stimulated emission of radiation) ausgenutzt. Als Voraussetzung für eine Verstärkung gilt R st > 0 ) f L (W 2 ) f V (W ) > 0 (35) Dies ist die Inversionsbedingung, d.h. dass die Besetzungswahrscheinlichkeit im Leitungsband für das Energieniveau W 2 gröÿer sein muss, als die Besetzungswahrscheinlichkeit im Valenzband für das Energieniveau W. Es ist: f L (W 2 ) f V (W ) = f L (W 2 ) f V (W ) und da f L (W 2 ) > 0 und f V (W ) > 0 sind, folgt die Bedingung: Mit Gl. (20) und Gl. (2) folgt: f V (W ) f V (W ) ( ) f L (W 2 ) = exp W W F p ( f V (W ) ) f L (W 2 ) (36) f L (W 2 ) > 0 (37) exp ( ) W2 W F n > 0 (38) und damit: oder: W W F p > W 2 W F n (3) W G < W = W 2 W < W F n W F p (40)

14 Einführung in die optische Nachrichtentechnik L/4 L A E J K C I > / 8 = A > F Abbildung 2: Bei diesem Übergang von 2 nach ist die Inversionsbedingung W G < W = W 2 W < W F n W F p erfüllt und es ist R st (W = W 2 W ) > 0. Gl. (40) stellt die Bedingung für R st > 0, also für Verstärkung dar (siehe Abb. ); d.h der Abstand zwischen den Quasiferminiveaus muss gröÿer sein als der Bandabstand W G des Halbleiters (siehe Abb. 2). Die Lage der Quasiferminiveaus hängt von der injizierten Ladungsträgerdichte ab, z.b. der Elektronendichte n. (Die Bezeichnung der Elektronendichte ist hier n und nicht wie üblich n, um sie von der Brechzahl unterscheiden zu können.) Die Elektronendichte ist n = 2 D L (W 2 )f L (W 2 ) dw 2 (4) V W 20 wobei der Faktor 2 in Gl. (4) die beiden möglichen Spin-Orientierungen berücksichtigt. Je gröÿer W F n, desto gröÿer ist f L (W 2 ) und damit die Elektronendichte n. Die Inversion wird typischerweise bei Ladungsträgerdichten von n > 0 8 cm 3 erreicht. Die obigen Überlegungen gelten für strenge ~k-erhaltung und Band-Band-Übergänge. Tatsächlich sind diese Annahmen nur bedingt erfüllt. Die prinzipiellen Zusammenhänge bleiben jedoch auch bei genauerer Betrachtung erhalten.