Rechnernutzung in der Physik Block 3: Datenanalyse Simulation mit Zufallszahlen: die Monte Carlo-Methode

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1 Vorlesung: Rechnernutzung in der Physik Block 3: Datenanalyse Simulation mit Zufallszahlen: die Monte Carlo-Methode Günter Quast Fakultät für Physik Institut für Experimentelle Kernphysik KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft WS 2016/17

2 Simulation mit der Monte Carlo-Methode - Grundsätzliches - gleichverteilte (Pseudo-)Zufallszahlen - Verfahren zur Erzeugung beliebiger Verteilungen - Beispiele

3 Monte Carlo - Methode Spielbank Monte Carlo / Monaco

4 Monte Carlo - Methode Numerisches Verfahren aus der Stochastik, um analytisch nicht oder nur aufwändig lösbare Probleme mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitstheorie zu lösen. (1) Anwendungsgebiete: Numerische Mathematik (Integration, Optimierung, Faltung, ). Angewandte Statistik (Bestimmung von Korrelationen, Fehlerfortpflanzung, Hypothesentests, ). Nachbildung komplexer Prozesse mit statistischem Verhalten (Vielteilchensysteme, Teilchenphysik, ). Historie: Erste Idee: Enrico Fermi 1930er Jahre. Erste Ausführung: Stanislaw Ulam, John von Neumann 1947 (Los Alamos Projekt). Namensgebung durch John von Neumann (als code Name innerhalb des Projektes ).

5 Monte Carlo - Methode MC-Methode beginnt mit einer Reihe gleichverteilter Zufallszahlen. Diese Reihe kann entweder physikalisch bestimmt werden (z.b. Werfen eines Würfels, Zeitspanne zwischen zwei Zerfällen eines radioaktiven Präparats, ), oder mit Hilfe eines Zufallszahlengenerators als Pseudo-Zufallszahlen. (Pseudo-)Zufallszahlen: Ergebnis einer deterministischen Sequenz (insb. reproduzierbar) Innerhalb eines vorgegebenen Intervalls nach bester Möglichkeit gleichverteilt. In einem zweiten Schritt werden die gleichverteilten Zufallszahlen in beliebige Wahrscheinlichkeitsdichte transformiert.

6 Grundsätzliches Verfahren I. Erzeuge Folge von Zufallszahlen r1, r2,, rm, gleichverteilt in ]0,1]. II. Transformiere diese zur Erzeugung einer anderen Sequenz x1, x2,, xn, die einer Verteilungsdichte f(x) folgen (Anm.: x, xi können auch Vektoren sein!) III. Aus den xi werden dann Eigenschaften von f(x) bestimmt (z.b. Anteil der xi mit a xi b ergibt a b f(x) dx ) Grundsätzlich ist die MC-Methode eine Integrationsmethode in einer Dimension natürlich anderen Verfahren unterlegen!

7 Beispiel: Bestimmung von π Script pi.py import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import sys npoints=10000 Gleichmäßig über die Einheitsfläche verteilte Zufallszahlen, dann abzählen, wie viele davon innerhalb bzw. außerhalb des Viertelkreises liegen inx=[] iny=[] outx=[] outy=[] for i in range(npoints): rvec=np.random.rand(2) if (np.sum(rvec**2)<=1.): inx.append(rvec[0]) iny.append(rvec[1]) else: outx.append(rvec[0]) outy.append(rvec[1]) plt.scatter(inx, iny, s=1, color='g') plt.scatter(outx, outy, s=1, color='r') pi=4.*float(len(inx)) / \ float((len(inx)+len(outx))) plt.show() *==* script pi.py executing Total number of random points: Points inside circle: 7848 ==> pi= 3.139

8 es geht auch mit ROOT Root-Beispiel calc_pi.c s. auch animate_pi.py

9 Bestimmung der (Viertel-)Kreisfläche: Genauigkeit Genauigkeit nimmt mit 1/ N zu (unabhängig von der Anzahl der Dimensionen!)

10 Beispiel 2 Aus der Geometrie: Schnittvolumen eines Kegels und eins Torus - definiere Quader, der Schnittvolumen einschließt - zufällig gleichverteilte Punkte im Quadervolumen erzeugen - feststellen, ob Punkt im Schnittvolumen liegt, also im Torus UND im Kegel (relativ einfach zu machen!) - Anzahl der Punkte im Schnittvolumen zählen Verhältnis zur Gesamtzahl der Versuche entspricht dem Verhältnis des gesuchten Volumens zum Quader-Volumen schon fertig! Recht geringe intellektuelle Anstrengung, die Arbeit macht der Rechner! Nachteil: die Methode hat einen statistischen Fehler, berechenbar aus Binomialveterteilung P(N; n): Genauigkeit steigt mit N Methode ist ohne viel Aufwand auch auf mehr als drei Raumdimensionen zu erweitern, statistischer Fehler hängt nach wie vor nur von N ab - bei anderen Integrationsverfahren steigt die Anzahl der notwendigen Rechenschritte exponentiell mit der Zahl der Dimensionen!

11 MC ist eine Integrationsmethode Berechnung von Integralen: Verwende N gleichverteilte Zufallszahlen xi [a,b], Erwartungswert Mittelwert Insgesamt also mit statistischem Fehler Funktioniert auch in mehreren Dimensionen; Fehler bleibt dabei gleich!

12 Vergleich Trapez-Verfahren Integration durch Summation über Funktionswerte in Intervallen der Länge h = (b a)/n in einer Dimension: h ~ 1 / n Fehler von IT (durch Taylor-Entwicklung) wird kleiner mit h² ~ 1/n² in d Dimensionen: bei n Punkten nur Stützstellen pro Dimension Fehler von IT wird dann kleiner mit ab d=4 ist MC effizienter

13 Beispiele 3 Aus Thermodynamik/Chemie: Zwei Sorten von Molekülen in einem Behälter bei einer bestimmten Temperatur stoßen miteinander und erzeugen neue Moleküle, wenn die Schwerpunktsenergie ausreicht. Gesucht ist die Zusammensetzung des Gases als Funktion der Zeit. Bei begrenzter Anzahl von Teilchen können Teilchenbahnen, Stöße und Umwandlungen verfolgt werden; durch Abzählen der Molekülsorten erhält man das Ergebnis. Aus der Physik: Messung der Lebensdauer von Teilchen mit Digitaluhr bei bestimmter Genauigkeit und Maximalzeit - zufällige Lebensdauer eines Teilchens aus Zerfallsgesetz (Exponentialverteilung) - zufälligen Messfehler addieren simulierter Messwert - Messwerte innerhalb der Maximalzeit akzeptieren Prozedur N-mal wiederholen Aus dem Mittelwert der erhaltenen Messwerte und Vergleich mit der wahren Lebensdauer erhält man eine Korrektur der durch das Messverfahren verfälschten Messwerte.

14 Simulierte Daten Zufallskomponente z bei der Gewinnung empirischer Daten ebenfalls mit Zufallszahlen modellierbar: gemessener Wert wahrer Wert m = w + z zufälliger Beitrag Funktion (=Modell) des wahren Wertes, y = f(x), und Modellierung der Messwerte mit MC: my = f( wx + zx ) + zy zx und zy entsprechen den Unsicherheiten der Messgrößen x und y

15 Beispiel: Messdaten mit funktionalem Zusammenhang import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt Auszug aus Script Generate_Data.py def model(x, a=1., b=0.5): return a*x+b # model parameters, slope = 1. yintercept = 0.5 my = f( wx + zx ) + zy y # number of data points and range npoints=10 xmin, xmax = 1., 10. xm=np.linspace(xmin,xmax,npoints) # set measurement errors yerr = 0.5 Dy=yerr*np.random.randn(npoints) xerr =0. Dx=xerr*np.random.randn(npoints) # calculate simulated data points ym=model(xm + Dx) + Dy # print simulated data print "\n x y " for i in range(0,npoints): print " ", xm[i],ym[i] x s. a. Musterlösung zu Aufg. 2.3

16 Beispiel: Detektorsimulation Simulation der Zahl der Elektronen in der letzten Stufe einer Sekundärelektronenvervielfacher-Röhre (Photomultiplier) Zahl der an einer Dynode von einem auftreffenden Elektron ausgelösten Sekundärelektronen folgt einer Poisson-Verteilung elektronisches Signal ~Zahl der Elektronen an der Anode hoher Rechenaufwand bei sehr großer Anzahl von Teilchen Parametrisierung In Prinzip ähnlich, aber ungleich aufwändiger: Simulation von Ereignissen in Teilchendetektoren

17 Beispiel: Faltungsintegral Grundsätzlich ist die MC-Methode ein Integrationsverfahren, bei der Simulation von Messwerten die Auswertung eines Faltungsintegrals : statt eines wahren Werts x wird ein durch Auflösungseffekte t(x',x) verschmierter Wert x' gemessen: Im Beispiel Lebensdauermessung ist f(x) die Verteilung der wahren Lebensdauern, t(x,x') beschreibt die Auflösung und Systematik des Messapparates. Bei der MC-Simulation werden zufällige Störungen der Reihe nach aufaddiert. Vorteil: einfach zu berechnende Summe von Zufallsvariablen entspricht einer Serie von komplizierten Faltungsintegralen In der Praxis werden Messwerte in der Regel von einer großen Zahl von Effekten verfälscht (Auflösung des Messgerätes, Rauschen, Digitalisierung, systematische Effekte usw.), d.h. die zu bestimmenden Faltungsintegrale sind hoch-dimensional.

18 Erzeugung gleichverteilter (Pseudo-)Zufallszahlen

19 Zufallszahlen aus dem Computer Auf Computern (hoffentlich) nur deterministische Zahlenfolgen => auf Rechnern werden Pseudo-Zufallszahlen verwendet Anforderungen: zufällig verteilt mit langer Periode k(l)eine Korrelation zwischen aufeinanderfolgenen Werten Erzeugung muss schnell sein Reproduzierbarkeit solcher Zahlenfolgen oft erwünscht (nicht bei Spielen ) Einfacher Zufallszahlengenerator basiert auf Xn+1 = (a xn) mod 2k d. h. die letzten k bits (Bit-weises AND mit 2k-1) Allgemeiner (und besser): Xn+1 = (a xn +c ) mod m, ri= xi/m 0,1[ Linear Congruent Generator LCG m 0<a<m 0<c<m 0 x0<m Modulus Multiplikator Inkrement Startwert oder Seed Peridodenlänge ist höchstens m, im ungünstigen Fall viel kleiner a und c müssen geeignet gewählt werden!!!! Es gibt eine Vielzahl von Algorithmen und Implementierungen TIPP: professionellen Zufallszahlen-Generator aus Standard-Bibliothek verwenden

20 es kann auch schief gehen. Sind die Zufallszahlen gut? - innerhalb der Folge zufällig verteilt? Differenzen von Zufallszahlen anschauen - gibt es Korrelationen zwischen aufeinander folgenden Zahlen? Betrachte Paare, Triplets, n-tuples von benachbarten Zahlen, einfache Kontrolle durch Auftragen als n-dim Histogramm, auf Muster achten! s. Beispiel myrand.c Nur auf den ersten Blick ok Bei genauerem Hinsehen (Drehen) liegen alle ri auf Flächen im 3-dimensionalen Raum damit könnte man kein Kugelvolumen integrieren! Allgemein gilt ( siehe z.b. Brandt, Datenanalyse): N-Tuples von so erzeugten Zufallszahlen liegen auf Hyperebenen im n-dim Raum mit Ebenenabstand d ( ungefähr ) m -1/n Im obigen Beispiel wird die theoretische Grenze aber weit unterschritten!

21 Beispiel LCG: Um Zahlen zwischen 0 und 1 zu erhalten tansformiere: NB: as implemented in ROOT::TRandom::Rndm(). Es gibt aber noch bessere Generatoren mit (garantiert) längerer Periode z.b. Mersenne-Twister : (verfügbar in ROOT und und Standard in python) Periode:. Korrelation zwischen n-ten Nachbarn <10% bis n=25

22 Erzeugung von Zufallszahlen Mersenne-Twister Algorithmus - basiert auf Mersenne-Primzahlen (d.h. Zweierpotenz -1) - extrem lange Periode - gute Gleichverteilung bis zu 623 Dimensionen (bewiesen) - Zustand beschreiben durch Integer-Zahlen (32 bit), die aus Saat mit einfachem linear-kongruenten Generator initialsiert werden - hinreichend schnell ==> Mersenne-Twister ist Pseudo-Zufallszahlengenerator der Wahl Vorhanden in GNU Scientific Library, Standard-Generator in pyhton, in Root: Klasse TRandom3

23 Qualität von Zufallszahlen wirklich zufällige Zufallszahlen sind auch das Herz einer jeden Verschlüsselungstechnik es gibt eine täglich wachsende Zahl neuer Generatoren, Algorithmen und Verfahren, bis hin zu physikalischen Quantensystemen Testverfahren, um Schwächen oder absichtliche Manipulation (ja, auch die gibt es) aufzudecken Testverfahren (kleine Auswahl): Trivialer Test: Histogramm der Zufallszahlen und Anpassung Summe der Abstandsquadrate χ2 sollte nahe 1 / d.o.f sein Moderne, fortgeschrittene Tests: G.Marsaglia, DieHard Battery of Tests of Randomness (1995) 15 verschiedene Tests P.L Ecuyer und R.Simard: TestU01 (2007) Small Crush (10 Tests), Crush (96 Tests), Big Crush (106 Tests) Es gibt Generatoren, die TestU01 überstehen Mersenne-Twister erfüllt nicht alle Tests der Big Crush Suite, gilt inzwischen als kryptographisch unsicher, da vorhersagbar Diese Einschränkungen für MT sind für unsere (wissenschaftlichen) Zwecke nicht relevant.

24 Quasi-Zufallszahlen Eine gleichmäßigere Abdeckung eines n-dimensionalen Raumes als mit Pseudo-Zufallszahlen lässt sich mit Quasi -Zufallszahlen erreichen Spezielle Sequenz von ntupeln: neue Punkte fallen immer zwischen die vorherigen Punkte Pseudozufallszahlen klumpen Quasi-Zufallszahlen decken Fläche gut ab MersenneTwister SobolSequenz - in 2-14 Dimensionen überlegen (Konvergenz ~ n-1) - Dimensionalität nachträglich nicht veränderbar - Sequenz muss bei Erhöhung der Genauigkeit an gleicher Stelle fortgesetzt werden Nur zur Integration geeignet!

25 (fast) Beliebig verteilte (Pseudo-)Zufallszahlen

26 Funktionen von Zufallszahlen Computerexperiment: Häufigkeitsverteilung von... r = np.random.rand(10000) t = -np.log(1-r) plt.hist(t, 30, normed=1) plt.show() Wir erhalten exponentiell verteilte Zufallszahlen t! Erklärung: Erhalt der Wahrscheinlichkeit Regel für die Transformation von Verteilungsdichten Anm.: t=log(r) statt t=log(1-r) ergibt identisches Ergebnis (warum?)

27 Funktionen von Zufallszahlen allgemein Wahrscheinlichkeitsdichte von x multipliziert mit dem Betrag der Ableitung der Inversen Funktion a-1(u) Für mehrdimensionale Wahrscheinlichkeitsdichten wird zur Jacobi-Determinante: Ganz analog zur Transformation von Volumenelementen bei mehrdimensionalen Integralen

28 Transformationsmethode zur Erzeugung von Zufallszahlen Den Zusammenhang zwischen der ursprünglichen Verteilungsdichte f(r) und derjenigen einer Transformation t(r) können wir ausnutzen, um beliebig verteilte Zufallszahlen zu erzeugen: Welche Transformation t(r) liefert g(t)? Die gesuchte Transformation ist die Inverse der Verteilungsfunktion G von g Anm: Das Verfahren ist nur dann (effizient) praktikabel, wenn die gesuchte Verteilungsdichte integrierbar und das Integral invertierbar ist!

29 Beispiele Transformationsmethode Dreieck-Verteilung Exponentialverteilung Breit-Wigner-Verteilung Log-Weibull -Verteilung Paar von Gauß-verteilten Zahlen Anm.: 1-r kann durch r ersetzt werden

30 Erzeugung diskreter Verteilungen Das gezeigte Verfahren funktioniert auch für diskrete Verteilungen Beispiel Poisson-Verteilung Durch Summation aller Bins der diskreten Verteilung erhält man die Verteilungsfunktion, repräsentiert als eindimensionales Feld S(j) Eine Zufallszahl ri wird demjenigen Bin j zugeordnet, das dem kleinsten der S(j) mit ri >S(j) entspricht

31 Verteilungen aus Histogrammen Dieses Verfahren funktioniert auch zur Erzeugung von Zufallszahlen, die gemäß einer empirischen Verteilung aus einem Histogramm verteilt sind - ri bestimmt das Bin j; - der Rest ri-s(j-1) kann zur Interpolation innerhalb des Bins verwendet werden Auch zwei-dimensionale Verteilungen möglich: bilde Randverteilungen gi = hij j generiere zunächst i und dann für gegebenes i eine Bin-Nummer j (benötigt für jedes i die Summenverteilung über j)

32 von Neumann'sches Rückweisungsverfahren Ein allgemein anwendbares, aber nicht immer effizientes Verfahren geht so: Beispiel: Kreisbogen als Verteilungsdichte f(x) y=f(x) xmax x xmin - Verteilungsdichte wird in Rechteck ( Box ) eingeschlossen - erzeuge gleichförmig in der Box verteilte Paare von Zufallszahlen (xi, yi) - x-werte aus Paaren mit y < f(x) werden akzeptiert ( mit einer Wahrscheinlichkeit f(x) / fmax ) Die Häufigkeitsverteilung der akzeptierten x-werte folgt der gewünschten Verteilung Anm: Im gezeigten Beispiel funktioniert das Verfahren effizient; Wenn die Verteilung steil abfällt und Werte für x benötigt werden, kann die Zahl der verworfenen Zufallszahlen unakzeptabel groß werden.

33 Anwendungsbeispiel: 2d-Verteilung aus Bild Auch aus Histogrammen lassen sich Stichproben erzeugen, die gemäß der vorgegebenen Häufigkeit verteilt sind. Hier ein Beispiel, bei dem die Wahrscheinlichkeit der Helligkeit eines Pixels in einem Bild entspricht:... #open an image img=image.open('image.jpeg') # img.show() print "image size:", img.size[0], img.size[1] pix=img.load() def rand_fromimage(): # return pixel coordinate with a probability # proportional to brightness of the pixel r0=np.random.uniform() r1=np.random.uniform() i=int(img.size[0] * r0-0.5) j=img.size[1] -1 int(img.size[1] * r1-0.5) r,g,b = pix[i,j] # brightness of pixel if(3*255*np.random.uniform() > r+b+g): return r0, r1... Rückweisungs-Schritt Script Distribution-fromImage.py

34 Majoranten-Verfahren (engl. Importance Sampling) Verbesserte Wegwerfmethode: Wenn eine Funktion m(x) mit m(x) > f(x) für alle x existiert und x=m-1(r) hinreichend leicht bestimmbar ist (d.h.stammfunktion von m ist invertierbar) -1 generiere xi=m (r2i) und eine weitere Zufallszahl r2i+1 [0,1] akzeptiere xi, wenn r2i+1 m(x) < f(x) ist (für jeden Wert von x wird ein Bruchteil (m(x) -f(x) ) / f(x) an x-werten verworfen) Die akzeptierten Werte von x sind gemäß f(x) verteilt. Beispiel: mit Hilfe von zwei Majoranten kann ein Planck'sches Strahlungsspektrum effizient erzeugt werden.

35 Beispiel Gauß-Verteilung Problem: exp(-x2) dx nur numerisch bestimmbar ( in C, C++ über die Funktion verfügbar) Gauß-Funktion in 2 Dimensionen in Polarkoordinaten analytisch integrierbar: Gleichverteiung in Φ, Radialverteilung integrierbar mit r dr = ½ dr2 Verteilungsfunktion des Radialteils lässt sich nach r auflösen d.h. können Transformationsmethode anwenden! => Erzeuge zwei gleichverteilte Zufallszahlen u1, u2 ]0,1], setze x1= (-2ln u1) cos(2π u2) x2= (-2ln u1) sin(2π u2), x1 und x2 sind standardnormalverteilt

36 Effizienteres Verfahren (s. V. Blobel) (Beispiel für die Kombination aus Transformations- und Rückweisungsverfahren) Trigonometrische Funktionen sind numerisch aufwändig, ein etwas effizienteres Verfahren geht so: 1. erzeuge zwei gleichverteilte Zufallszahlen u1, u2 0,1[ setze v1:= 2u1-1, v2 := 2u v2=v12 + v22 3. falls v2 1 gehe zu 1 (Rückweisungsschritt) (akzeptierte Werte von v1, v2 gleichverteilt innerhalb des Einheitskreises) 4. z1= v1 (-2 ln(v2) /v2 ) z2= v2 (-2 ln(v2) / v2 ) z1 und z2 sind dann unabhängig voneinander standard-normalverteilt Normalverteilte Zufallszahlen mit Erwartungwert μ und Standardabweichung σ erhält man durch die Transformation x = σ z + μ

37 Erzeugung korrelierter, Gauß-verteilter Zufallszahlen Gaußverteilung in n Dimensionen: x0: V: n Erwartungswerte Kovarianz-Matrix mit (n2+n)/2 unabhängigen Parametern V =det V ist die Determinante von V Sei B = V-1, schreibe B als Produkt aus Dreiecksmatrizen: B = DT D ( Cholesky-Zerlegung ) Setzte dann => Das ist die Verteilung von n unkorrelierten, Gauß-verteilten Zufallszahlen u Damit ist die Vorgehensweise klar: 1. würfle n unabhängige Gauß-verteilte Zufallszahlen u 2. transformiere Vektor u:

38 Korrelierte Gauß-verteilte Zufallszahlen in 2 Dimensionen Daraus ergibt sich für die Erzeugung von zwei korrelierten Zufallszahlen x1, x2 mit - Erwartungswerten μ1, μ2 - Standardabweichungen σ1, σ2 und - Korrelation ρ Details s. z.b. Blobel / Lohrmann Darstellung eines 2d-Histogramms, gefüllt mit 75% korrelierten, standard-normalverteilten Zufallszahlen ( s. Beispiel rangauss2d.c bzw. rangauss2d-pyroot.py )

39 Zufallszahlen per Software

40 Zufallszahlen in python Das Paket numpy.random stellt zahlreiche Verteilungsdichten zur Verfügung, hier eine Auswahl: binomial(n, p[, size]) chisquare(df[, size]) exponential([scale, size]) lognormal([mean, sigma, size]) multinomial(n, pvals[, size]) multivariate_normal(mean, cov[, size]) normal([loc, scale, size]) poisson([lam, size]) power(a[, size]) standard_cauchy([size]) standard_exponential([size]) standard_normal([size]) standard_t(df[, size]) triangular(left, mode, right[, size]) uniform([low, high, size])

41 Zufallszahlen in Root Root-Klasse TRandom zur Erzeugung von Zufallszahlen einfacher, linear kongruenter Generator mit Periodenlänge 109 schnell niedrigste Bits nicht unkorreliert! Daher nicht in statistischen Studien verwenden! Statt dessen TRandom1 ( RANLUX-Algorithmus, Periodenlänge ~10171, langsam) TRandom2 ( Periodenlänge ~1025, schnell) TRandom3 ( Mersenne-Twister Alg., Periodenlänge ~10600, akzeptabel schnell) verwenden! Methoden liefern Zufallszahlen gemäß Exp(tau) Integer(imax) Gaus(mean,sigma) Rndm() Uniform(x1) Landau(mpv,sigma) Poisson(mean) Binomial(ntot,prob) und viele mehr

42 Zufallszahlen in Root (2) Methode SetSeed(UInt_t seed=0) zur Initialisierung seed=0: Systemuhr zur Initialisierung (jede Zahlenfolge anders) seed!=0: feste Zahlenfolge, abhängig vom Wert von seed Globaler Zeiger TRandom *grandom in Root initialisiert Sehr nützlich, um immer die gleiche Folge von Zufallszahlen innherhalb eines Root-Programms zu verwenden. // TRandom durch TRandom3 ersetzen delete grandom; grandom = new TRandom3(seed); Man kann auch auch einen eigenen (lokalen) Generator initialisieren: TRandom3 *myrandom=new TRandom3(seed);

43 Zufallszahlen in Root (2) Root-Klassen enthalten bequeme Möglichkeit, Zufallszahlen zu erzeugen, die gemäß einer FunktionTF1, TF2 oder einem Histogramm TH1, TH2 verteilt sind: Methoden GetRandom() für TH1, TF1 GetRandom2() für TH2, TF2 GetRandom3() für TH3, TF2 Achtung: für Funktionen TFi werden die Zufallszahlen ebenfalls über Histogramme mit einer Anzahl von Punkten fnpx erzeugt.

44 Zusammenfassung: Bedeutung der MC-Methode Die Monte-Carlo-Methode (auch MC-Simulation ) - abgeleitet vom Namen der durch ihr Spielkasino berühmten Stadt Monte Carlo - ist eine auf (Pseudo-)Zufallszahlen basierende numerische Methode zur Integration in hochdimensionalen Räumen Bestimmung der Eigenschaften von Verteilungen von Zufallszahlen (z.b. von Messgrößen in Experimenten) Nachbildung von komplexen Prozessen (z.b. in Thermodynamik, Wirtschaft oder von experimentellen Apparaturen, u.v.a.) Grundsätzliche Vorgehensweise: I. II. Erzeuge Folge von Zufallszahlen r1, r2,, rm, gleichverteilt in ]0,1]. Transformiere diese zur Erzeugung einer anderen Sequenz x1, x2,, xn, die einer Verteilungsdichte f(x) folgen (Anm.: xi können auch Vektoren sein!) III. Aus den xi werden dann Eigenschaften von f(x) bestimmt Vorteil: einfache Operationen mit den xi ersetzen sehr viel komplexere Operationen auf den Verteilungsdichten

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