Synthetische Induktivitäten für die semi-passive Dämpfung

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1 Synthetische Induktivitäten für die semi-passive Dämpfung D. Mayer, Ch. Linz, V. Krajenski Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Institut für Mechanik Bei der semi-passiven Dämpfung mit Hilfe piezokeramischer Folien wird die mechanische Schwingungsenergie zunächst mit Hilfe des direkten piezoelektrischen Effekts in elektrische Energie umgewandelt, die anschließend über einen ohmschen Widerstand in Wärme umgesetzt wird. Die Energieumwandlung kann dabei deutlich gesteigert werden, indem durch die Verwendung einer zusätzlichen Induktivität ein elektrischer Schwingkreis erzeugt wird. Die hierfür erforderlichen Induktivitäten sind jedoch derart groß, daß sie sich nur mit Hilfe elektronischer Schaltungen realisieren lassen. Zunächst wird eine Operationsverstärkerschaltung zur Implementierung synthetischer Induktivitäten analysiert und deren praktische Umsetzung beschrieben. Die Funktion der synthetischen Induktivität wird anschließend anhand der semi-passiven Schwingungsdämpfung nachgewiesen. Einleitung Die Verwendung piezokeramischer Materialien eröffnet verschiedene Möglichkeiten Vibrationen in mechanischen Strukturen zu dämpfen. Piezoelektrische Wandler können mechanische in elektrische Energie umwandeln und umgekehrt. Neben dem Ansatz der aktiven Vibrationsunterdrückung, bei der piezokeramische Sensoren und Aktuatoren eingesetzt werden, existiert die Möglichkeit, Piezosensoren mit einer geeigneten Abschlußimpedanz zu beschalten []. Hierdurch kann auf zusätzliche Aktuatoren und Regler verzichtet werden, wobei aufwendige Regelkreise mit Leistungsverstärkern und Signalverarbeitung, sowie die Probleme der Stabilität derselben, wegfallen. PZT Sensor (Kapazität C) i Z SHUNT Mechanische Struktur (einseitig eingespannter Biegebalken) Abbildung : Piezosensor auf einer Struktur, mit Abschlußimpedanz Diese Methode zur Dämpfungserhöhung ist daher besonders für einfache und robuste Anwendungen geeignet [5]. Zur Implementierung der semi-

2 passiven Dämpfungserhöhung wird der Piezowandler mit einer Abschlußimpedanz aus Induktivität und Widerstand beschaltet (Abbildung ). Zusammen mit der Kapazität des Wandlers ergibt sich ein Schwingkreis, der sich ähnlich wie ein mechanischer Tilger verhält. Für eine vorgegebene mechanische Struktur mit einem oszillatorischen Freiheitsgrad werden die erforderlichen Bauelementwerte der Impedanz wie folgt bestimmt []: L =, ω s n, sci ( + k ij ) kij R =. s ωn, sci ( + kij ) Dabei stellt C i s die Kapazität des geklemmten Piezowandlers dar, ω n,s ist die Eigenfrequenz bei kurzgeschlossenem Wandler und k ij der elektromechanische Kopplungsfaktor. Dieser kann durch Messung der Resonanzfrequenz (ω n,o ) bei leer laufendem und kurzgeschlossenem Wandler experimentell ermittelt werden [4]: k ij = ω n, o ωn, s ω n, s Im Folgenden soll ein mit Induktivität und Widerstand abgeschlossenes Piezoplättchen untersucht werden, das auf einem einseitig eingespannten Biegebalken aufgebracht ist (Abbildung ). Die entsprechenden Parameter lauten: s Ci = 00 nf ω, = 9. 4s n s Der Kopplungsfaktor ergibt sich dann zu k ij =0.4 und die Bauelementwerte zu L=584 H und R=5. kω. Aufgrund der niedrigen Resonanzfrequenz ergibt sich ein sehr großer Wert für die Induktivität, der nicht mit einer herkömmlichen Spule zu realisieren ist. Daher soll ein aktives Netzwerk zur Implementierung der Induktivität herangezogen werden. Da durch die Verwendung aktiver Komponenten jedoch die garantierte Stabilität des Systems verlorengeht, muß besonders auf Stabilitätsaspekte eingegangen werden.

3 50 5 Stahl 0.8 mm Abbildung : Stahlbalken für die Versuche Synthetische Induktivität Zur Realisierung hoher Induktivitätswerte soll eine aktive Schaltung mit zwei Operationsverstärkern vorgestellt werden (Abbildung 3) []. U I R 3 C 4 R R + - U R 5 Z in U 0 Abbildung 3: Realisierung der synthetischen Induktivität Die synthetische Induktivität ist eine spezielle Anwendung des Generalised Impedance Converter (GIC), der hauptsächlich in dem Bereich aktiver Filterschaltungen Verwendung findet. Für die Analyse der Schaltung werden die Operationsverstärker als ideal angenommen, also mit unendlich großem Eingangswiderstand und unendlich großer Spannungsverstärkung. Dann ergibt sich für die Eingangsimpedanz []: Dies entspricht einer Induktivität von: U R R R C Z in = = jω. I R R R R C R L =.

4 Da aktive Bauelemente im Netzwerk vorhanden sind, liegt eine Klemme der Induktivität immer auf Massepotential. Dies schränkt die Anwendung als Abschlußimpedanz für den Piezowandler aber nicht ein. Zur Auslegung der Bauelementwerte werden die Spannungen U 0 und U 0 an den Ausgängen der Operationsverstärker berechnet []: U + jω / ω U jω / ω 0 =, U 0 + jω / ω = U jω / ω mit den Eckfrequenzen: =, R5C4 R R =. ω ω = ω R3R5C 4 R3 Bei Frequenzen unterhalb der Eckfrequenzen wachsen die Ausgangsspannungen der Operationsverstärker an. Um Sättigungseffekte zu vermeiden, müssen die Eckfrequenzen ω und ω durch entsprechende Bauelementwerte geeignet gewählt werden. Simulation Für eine Induktivität von 584 H werden R, R 3 und R 5 zu 47 kω und die Kapazität C 4 zu 00nF gewählt. Der Widerstand R ergibt sich dann zu 4.3 kω, welcher mit einem Potentiometer realisiert wird, um den Wert der Induktivität einstellen zu können. Die oben berechneten Eckfrequenzen der Ausgangsspannungen an den Operationsverstärkern ergeben sich dann zu ω, =4.3 s - (f=34. Hz), so daß Sättigungseffekte im Bereich der Frequenzen von 0 Hz bis 50 Hz vermieden werden. Bei der Realisierung solcher Netzwerke gehen die idealen Eigenschaften verloren, da zum Beispiel Operationsverstärker nur über endliche Werte für Eingangswiderstand und Spannungsverstärkung verfügen. Daher wird zunächst eine Simulation mit PSpice durchgeführt. Die sich ergebende Eingangsimpedanz ist komplex (Abbildung 4): Z in = R( ω ) + jx( ω).

5 R( ω) X( ω) Z in Abbildung 4: Ersatzschaltbild für die Eingangsimpedanz Die entsprechende Induktivität ergibt sich zu: X ( ω)! L ( ω ) = = const. ω Die Bode-Diagramme (Abbildung 5) zeigen eine gute Approximation der Induktivität, daneben aber auch einen mit der Frequenz ansteigenden Realteil. Für große Frequenzen geht die Eingangsimpedanz daher in einen Leerlauf über. Der Realteil kann als Teil des notwendigen Serienwiderstands für die Abschlußimpedanz berücksichtigt werden, so daß er nicht beeinträchtigend wirkt R( ω) [ Ω] 0 4 L [H] 0 3 simulated ideal ω [s - ] ω [s - ] Abbildung 5: Realteil und Induktivität der Schaltung (Simulation) Vermessung der synthetischen Induktivität Zunächst soll die Impedanz der synthetischen Induktivität experimentell verifiziert werden. Da diese mit einer Klemme immer geerdet ist, kann eine Strommessung mit einem Shunt nur mit großem Aufwand durchgeführt werden. Statt dessen soll hier eine indirekte Methode Verwendung finden, die zwei Spannungsmessungen gegen die Masse beinhaltet (Abbildung 6). Die Impedanz ergibt sich daraus durch Berechnung:

6 Z RS =. U U R S U U Z(j ω) Abbildung 6: Messung der Eingangsimpedanz Bei Annahme einer idealen Induktivität für die Impedanz Z wird die Übertragungsfunktion U /U eine Hochpaßfunktion mit der Eckfrequenz: ω R S c = L. Diese kann zum Einstellen des Induktivitätswerts herangezogen werden. Abbildung 7 zeigt das Ergebnis der Messung simulated measured simulated ideal measured R ( ω) [Ω] L [H] ω [s-] ω [s - ] Abbildung 7: Realteil der Impedanz und Induktivität (ideal, simuliert und gemessen) Ein Wert von 5 kω für R, sehr nahe dem berechneten Wert, ergibt eine gute Approximation einer Induktivität von 584 H. Durch Variation des Potentiometerwerts lassen sich Induktivitäten in einem weiten Bereich einstellen, wie weiter Messungen zeigen (Abbildung 8):

7 000 6 L [H] R s [kohm] measured calculated R [kohm] R [kohm] Abbildung 8: Kennlinie der Schaltung Die ermittelten Werte werden hierbei jeweils für ω=30 s - aufgenommen. Es zeigt sich, daß der Realteil der Eingangsimpedanz im relevanten Frequenzbereich immer positiv ist, wodurch die Stabilität der Schaltung gewährleistet ist. Da die Schaltung aktive Elemente enthält, ist die Überprüfung dieser Tatsache notwendig. Anwendung als Abschlußimpedanz Die synthetische Induktivität wird schließlich als Teil einer Abschlußimpedanz für den oben beschriebenen Versuch verwendet. Da die Schaltung bereits über einen resistiven Impedanzanteil von 6.3 kω verfügt, wird der berechnete Serienwiderstand entsprechend verringert. Um experimentelle Aussagen über das Dämpfungsverhalten in Abhängigkeit von der Frequenz zu erhalten, wird der Balken mit einem kleinen Impulshammer angeregt und die Normalengeschwindigkeit an der Balkenspitze mit einem Laservibrometer gemessen. Eine Parametervariation für verschiedene Serienwiderstände R s und Induktivitätswerte L ergibt eine Schar von Frequenzgängen, die mit zuvor berechneten verglichen werden können (Abbildungen 9,0). Hierbei kann eine gute Übereinstimmung festgestellt werden. Für die optimal eingestellte Induktivität und einen kleinen Serienwiderstand ergibt sich ein Frequenzgang entsprechend dem eines Systems mit zwei Freiheitsgraden, was die Analogie der Methode zum Tilgersystem unterstreicht. Die Auswertung der Parametervariation ergibt einen optimalen Wert von 589 H für die Induktivität und einen Serienwiderstand von 6.3 kω.

8 3.5 Z=0 R=0. kwω R=6. 3 kwω R=9. 9 kwω A [m/(ns)] ω [/ s] Abbildung 9: Variation des Serienwiderstands bei L=589 H, Messung (oben) und Simulation (unten)

9 3.5 Z=0 L=540 H L=590 H L=634 H A [m/(ns)] ω [/ s] Abbildung 0: Variation der Induktivität bei R s =6.3 kω, Messung (oben) und Simulation (unten) Der Frequenzgang zwischen Erregerkraft und Geschwindigkeit für diese Werte ist noch einmal in Abbildung logarithmisch dargestellt, wobei eine Absenkung der Resonanzüberhöhung um ca. 0 db festgestellt werden kann. Zusammenfassung Eine synthetische Induktivität wurde ausgelegt und realisiert. Ihre Eigenschaften wurden simuliert und meßtechnisch verifiziert. Die Schaltung zeigt eine gute Approximation verschiedener Induktivitätswerte sowie Stabilität. Mit Hilfe dieser Schaltung konnte die Methode der semi-passiven Dämpfung an einem Biegebalken untersucht werden. Hierzu wurde die Schaltung als Teil einer Abschlußimpedanz für einen Piezowandler benutzt, der auf die Struktur aufgebracht wurde. Durch Parametervariation konnten die

10 rechnerisch ermittelten optimalen Werte für die Abschlußimpedanz experimentell überprüft werden Z=0 Z=Z o pt A [db] Literatur ω [/ s] Abbildung 0: Frequenzgang Erregerkraft - Geschwindigkeit [] N.W. Hagood, A. von Flotow: Damping of Structural Vibrations with Piezoelectric Materials and Passive Electrical Networks, Journal of Sound and Vibration 99, Vol. 46 (), S [] L.P Huelsman: Active and Passive Analog Filter Design, McGraw- Hill, 993 [3] S. Franco: Design with Operational Amplifiers and Analog Integrated Circuits, McGraw-Hill, 998 [4] V. Krajenski, Th. Bein, H. Hanselka: Passive Dämpfung mit piezokeramischen Folien, Proc. 4. Magedburger Maschinenbautage: Entwicklungsmethoden und Entwicklungsprozesse im Maschinenbau, -3 Sept. 999, Logos Verlag, Berlin [5] S. Wu, T.L. Turner, S.A. Rizzi: Piezoelectric shunt vibration damping of F-5 panel under high acoustic excitation, SPIE proceedings Vol. 3989, Paper No th International Symposium on Smart Structures and Materials, Newport Beach, CA, 5-9 March 000