PROENDLICHE GRUPPEN WOLFGANG HERFORT

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1 PROENDLICHE GRUPPEN WOLFGANG HERFORT Zusammenfassung. Projektive Limiten endlicher Mengen bzw. Gruppen werden eingeführt. Galoistheorie ermöglicht die Beschreibung der Galoisgruppe eines Körpers, der durch eine unendliche Folge normaler Erweiterungen entsteht, als proendliche Gruppe. Proendliche Gruppen haben gewisse Eigenschaften mit endlichen Gruppen gemeinsam; zum Beispiel gibt es zu jeder Primzahl p eine p-sylowuntergruppe. Jede pro-auflösbare Gruppe (projektiver Limes eines projektiven Systems von auflösbaren endlichen Gruppen) besitzt π-hall Untergruppen für jede Menge π von Primzahlen. Jede (diskrete) Gruppe kann als topologische Gruppe mit proendlicher Topologie angesehen werden. Dabei wählt man als Basis der Umgebungen der Eins alle Normalteiler von endlichem Index. Man kann danach vervollständigen und bekommt die proendliche Vervollständigung. Eine freie proendliche Gruppe ist die proendliche Vervollständigung einer freien Gruppe. Dies ist ein Spezialfall des amalgamierten Produkts und der HNN-Erweiterung (Higman-Neumann-Neumann). Auf (Ko)homologie proendlicher Gruppen soll nicht eingegangen werden. Inhaltsverzeichnis 1. Projektive Limiten 1 2. Proendliche Gruppen sind große endliche Gruppen 4 3. Proendliche Vervollständigung einer beliebigen Gruppe 7 4. Freie Konstruktionen Dank 13 Literatur Projektive Limiten Definition 1. Sei (I, ) eine gerichtete Menge, d.h., ist eine reflexive, asymmetrische und transitive Relation auf I und für beliebige Indizes i, j I gibt es k I, sodass i k und j k gilt. Für jedes i I sei X i eine Menge; wir nehmen an, dass für alle i j gilt: φ ji ist eine Abbildung, sodass für alle Indices k j i das Diagramm φ ij X i φ ik X k φ jk X j kommutiert. 1

2 2 WOLFGANG HERFORT Das folgende Diagramm zeigt ein sehr einfaches Beispiel: 6... (1, 2, 3, 4, 5, 6, 6,...) (1, 2, 3, 4, 5, 5,...) (1, 2, 3, 4, 4,...) (1, 2, 3, 3,...) (1, 2, 2,...) (1, 1,...) In diesem Beispiel ist I = N die Menge der natürlichen Zahlen und, ist die natürliche Ordnung. Für alle i N haben wir X i := {1, 2,..., i} und die Pfeile stehen für die Abbildungen φ i+1i. Zum Beispiel gilt φ 43 (4) = 3, φ 43 (i) = 3 für i 3 und φ 43 (i) = i für i < 4. Definition 2. Um den projektiven Limes des Systems (I, ) zu definieren, gehen wir wie folgt vor: (1) Wir bilden das kartesische Produkt P := i I X i (die Menge der Abbildungen f : I i I X i mit f(i) X i ). (2) Der projektive Limes X := lim X i ist die Teilmenge von P, welche aus i I allen Elementen f besteht, welche für alle j i φ ij (f(i)) = f(j) erfüllt. (3) Die Abbildungen φ i : P X i, für die φ ij φ i = φ j für alle Indices j i, heißen kanonische Projektionen. Satz 3. Die folgenden Aussagen über eine Menge X sind äquivalent: X ist projektiver Limes eines Systems endlicher Mengen. X ist abgeschlossene Teilmenge des kartesischen Produkts j J X j endlicher, mit der diskreten Topologie versehener Mengen X j. Solch ein X ist ein proendlicher oder auch boolescher Raum. Im obigen Beispiel sind die Mengen X i = {1, 2,..., i}, die Elemente von X sind die Folgen (f i ), für die 1 f i i und lim X i besteht aus den Folgen i N (1, 2, 3, 4,..., i, i, i, i,...) für i N sowie der speziellen Folge (1, 2, 3, 4, 5, 6,...). Man sieht, dass man lim X i als topologischen Raum mit der Aleksandrov-Kompaktifizierung von N { } identifizieren kann. i N Der projektive Limes lim X i eines projektiven Systems (X i, φ ij ) erfüllt eine i universelle Eigenschaft: Ist Z ein beliebiger proendlicher Raum und sind stetige Abbildungen ψ i : Z X i gegeben, sodass für alle Indizes i j die Diagramme Z ω! ψ i φ lim X i k k? X i ψ j φ j X j φ ij

3 PROENDLICHE GRUPPEN 3 kommutieren, dann gibt es eine eindeutige universelle Abbildung ω mit φ i ω = ψ i für alle i I. Aufgabe 4. Es sei durch die Skizze ein Diagramm angedeutet: Wie kann hierdurch ein projektives System, insbesondere die φ ij festgelegt werden? Aufgabe 5. Sei X = lim X i und kein X i leer. Zeige die folgenden Behauptungen: i (1) X ist nicht leer. (2) Für jeden Punkt x X und jede Umgebung U von x existiert ein Index i I, sodass φ 1 i (φ i (x)) offen-abgeschlossene, in U enthaltene Umgebung von x ist. (3) Für eine Teilmenge A X ist der Abschluss Ā gleich i I φ 1 i φ i (A). Wenn ψ ij die Einschränkung von φ ij auf φ i (A) bezeichnet, dann ist (φ i (A i ), ψ ij ) ein projektives System. Zeige, dass A = lim φ i (A i ). i Aufgabe 6. (Vietoris-Topologie) Für einen proendlichen Raum X = lim X i sei i C(X) die Menge aller abgeschlossenen nichtleeren Teilmengen von X. Für eine stetige Abbildung f : X Y definiert man C(f) : C(X) C(Y ) durch C(f)(A) := {f(a) a A}. Die Abbildung C( ) ist ein Funktor. Man erhält ein projektives System (C(X i ), C(φ ij )). Beweise, dass C(X) = lim C(X i ). Beweise, dass die Teilmengen W (U 1,..., U n ) von C(X), wobei n N und U i beliebige offen-abgeschlossene i Teilmengen von X sind, wobei n W (U 1,..., U n ) := {C C(X) C U j C C j, j = 1,... n} eine Basis der Vietoris-Topologie bilden. Beispiel 7. Sei k ein Körper und I die Menge aller endlichen Galois-Erweiterungen von k. Auf I sei die Relation K L genau dann wenn k K L definiert. Es ist, eine partielle Ordnung. Man weiß, dass für alle endlichen Galois-Erweiterungen K und L von k eine endliche Galois-Erweiterung M mit K M und L M existiert. Somit ist, eine gerichtete Ordnung. Lemma 8. Ist jedes X i Gruppe und sind alle φ ji Homomorphismen, so kann man auf X = i X i eine Gruppenoperation definiert werden, derart dass X topologische Gruppe ist und die kanonischen Projektionen stetige Homomorphismen sind. Der projektive Limes lim i X i ist eine abgeschlossene Untergruppe von P. j=1

4 4 WOLFGANG HERFORT Beweis. Das Produkt P := i I X i ist eine Gruppe mit der Operation (x i )(y i ) := (x i y i ). Man sieht, dass die Operation stetig ist, wenn P die Produkttopologie hat. Die zweite Behauptung ergibt sich aus der Stetigkeit der Gruppenmultiplikation. Beispiel 9. Wie in Beispiel 7 betrachten wir alle endlichen Galois-Erweiterungen eines Körpers k. Sei G(K L) die Galoisgruppe einer Galois-Erweiterung K von L. Der Satz von Galois sagt, dass G(L k) isomorph ist zu G(K k)/g(k L). K G(K L) L G(K k) k G(L k) = G(K k)/g(k L) Daher ergibt K L (L K) einen kanonischen Homomorphismus φ KL : G(K k) G(L k). Das projektive System (G(K k), φ LK ) hat als projektiven Limes lim K G(K L). Sei ˆk := K K. Es ist leicht zu sehen, dass ˆk ein Körper und eine algebraische und normale Erweiterung von k ist. Die Galoisgruppe G(ˆk k) ist genau der projektive Limes lim K G(K L). Wenn wir im Diagramm K durch ˆk einsetzen, sieht man, dass G(ˆk L) ein Normalteiler von G(ˆk k) von endlichem Index ist. Die Krull-Topologie hat alle Gruppen G(K L) als Umgebungen der Eins. Man kann zeigen, dass G(ˆk k) eine proendliche Gruppe ist und dass die Darstellung als projektiver Limes adäquat ist. Aufgabe 10. Für eine proendliche Gruppe G betrachten wir die Menge N aller offenen Normalteiler und die Ordnung, gegeben durch N M, genau dann wenn M eine Untergruppe von N ist. Zeige: (1) Alle N N sind abgeschlossen. (2) (N, ) ist eine gerichtete Menge. (3) Es bezeichne φ N : G G/N den kanonischen Homomorphismus. Die induzierten Homomorphismen φ NM : G/M G/N (wobei M in N enthalten ist) geben Anlaß zu einem projektiven System (G/N, φ NM ) endlicher Gruppen und es ist G = lim N N G/N. Aufgabe 11. Beweise, dass für eine proendliche Gruppe G die abgeschlossenen Untergruppen eine abgeschlossene Teilmenge S(G) von C(G) bilden. Für einen offenen Normalteiler N und eine endliche Teilmenge Y von G sei W (N) := {S S(G) SN = Y N}. Beweise, dass die Mengen W (Y, N) eine Basis der induzierten Vietoris-Topologie auf S(G) darstellen. 2. Proendliche Gruppen sind große endliche Gruppen Der projektive Limes eines projektiven Systems (G i, φ ij ) endlicher p-gruppen (p prim) wird als pro-p-gruppe bezeichnet. Eine proendliche Gruppe G ist genau dann pro-p, wenn G/N für jeden offenen Normalteiler N endliche p-gruppe ist. Aufgabe 12. Wir kehren zu Aufgabe 4 zurück. Jede natürliche Zahl n lässt sich in der Form n = a a a a k 2 k

5 PROENDLICHE GRUPPEN 5 mit a j {0, 1} anschreiben (2-adische Ziffernentwicklung).. Üblicherweise schreibt man n = a k a 2 a 1 a 0, zum Beispiel 5 = = 101. Wie kann man Addition modulo 4 oder allgemeiner modulo 2 k beschreiben? Kann man das Diagramm aus Aufgabe 4 als projektives System endlicher 2-Gruppen interpretieren? Beispiel 13. Sei Z 2 die Menge der formalen Ausdrücke a j 2 j j=0 (vorerst als Folgen (a 0, a 1, a 2,...) zu interpretieren.) Um eine Addition von (a 0, a 1, a 2,...) und (b 0, b 1, b 2,...) zu definieren, verwenden wir den üblichen Algorithmus für Binäraddition: Als Start einer Rekursion definieren wir r 1 := 0. Für n = 0, 1, 2,... definieren wir rekursiv c n := a n + b n + r n 1 (mod 2) und r n := (a n + b n + r n 1 c n )/2. Man sieht, dass jede natürliche Zahl n = a 0 + 2a 1 + 4a einer endlichen Folge entspricht und dass die Z 2 -Addition auf N mit der gewöhnlichen Addition übereinstimmt. Das formale Anschreiben einer geometrischen Reihe 1 = = deutet an, wie man Z als Untergruppe von Z 2 interpretieren kann. Um dies zu erklären, soll Z 2 als projektiver Limes beschrieben werden. Dazu betrachten wir das projektive System (C 2 i, φ ij ), wobei φ i+1i der kanonische Epimorphismus von C 2 i+1 C 2 i ist. Die obige Rechnung liest sich in C 2 i als j=0 2 j i i 1 = 2 j. Daher hat die unendliche geometrische Reihe eine Interpretation in lim C 2 i. So i erhält jede Zahl z Z eine formale Darstellung z = a j 2 j j=0 und z (mod 2 i ) = i 1 j=0 a j2 j. Es ist leicht zu sehen, dass für z Z die zugehörige Folge (a 0, a 1, a 2,...) periodisch ist. Auch die anderen formalen Folgen besitzen eine Interpretation in lim C 2 i. Das ist der Grund, warum Z 2 = lim C 2 i. i i j=0 Allgemeiner ist für jede feste Primzahl p Z p = lim i C p i, wobei φ i+1i der kanonische Epimorphismus von C p i+1 C p i ist. Es wird Z p als Ring der ganzen p-adischen Zahlen bezeichnet. Er ist ein Beispiel eines pro-p-rings. Beispiel 14. (Kranzprodukt und Automorphismen) Für einen Binärbaum (in der Zeichnung stehen die Punkte für die Ebenen 1,2, und 3.) kann man die Automorphismengruppe beschreiben: Ist G n die Automorphismengruppe des Baums der Tiefe n, dann bilden die Automorphismen, welche die in die n+1.te Ebene führenden Kanten permutieren eine Untergruppe V n := C 2 C 2...

6 6 WOLFGANG HERFORT C 2 mit 2 n Faktoren (es sind nämlich gereadewegs 2 n solche Kanten, die in Paaren auftreten und somit paarweise vertauscht werden dürfen). Man erkennt G 1 = {1}, G 2 = C 2, G 3 = (C 2 C 2 ) C 2, G 4 = (((C 2 C 2 ) C 2 ) (C 2 C 2 ) C 2 ) C 2 ; oder kurz G 3 = C 2 C 2, G 4 = (C 2 C 2 ) C 2, etc. Somit erweist sich G n+1 = V n G n als halbdirektes Produkt. Es ergibt sich ein projektives System (G n, φ kn ), wobei φ k+1,k der kanonische Epimorphismus von G k+1 G k (mit dem Kern V k ) ist. Die Automorphisengruppe des Baums ist der projektive Limes dieses Systems. Man kann zeigen, dass jede pro-2 Gruppe mit einer dichten Untergruppe, welche nicht von einer abzählbaren Menge erzeugt wird, eine Untergruppe von G ist. Für eine Primzahl p läßt sich die Konstruktion analog ausführen. Das entsprechende Einbettungsresultat gilt ebenfalls. Satz 15. (Sylow) Sei p eine Primzahl. Jede proendliche Gruppe G enthält eine maximale pro-p Untergruppe. Je zwei maximale pro-p Untergruppen von G sind konjugiert. Beweis. Ist G pro-p Gruppe, so ist nichts zu zeigen. Angenommen, G ist im folgenden keine pro-p Gruppe. Wegen Aufgabe 11 erweist sich die Menge aller abgeschlossenen Untergruppen von G als abgeschlossene Teilmenge von C(G). Infolgedessen ist die Teilmenge S p (G) der pro-p Untergruppen auch eine abgeschlossene Teilmenge von C(G): Die Annahme, dass G nämlich keine pro-p Gruppe ist, besagt, eine abgeschlossene Untergruppe S G und ein offener Normalteiler N existieren, sodass S N/N keine endliche p-gruppe ist. Alle Gruppen T W (S, N) erfüllen SN = T N und T N/N ist somit keine endliche p-gruppe ist. Dies beweist, dass das Komplement von S p (G) offen ist. Um die Existenz von maximalen Elementen in S p (G) zu beweisen, verwenden wir das Lemma von Zorn und die Ordnung,. Die Menge S p (G) kann nicht leer sein, da sie 1 enthält. Angenommen, {S i } ist eine aufsteigende Folge von Gruppen in S p (G), welche einen Häufungspunkt S in S p (G) hat. Es ist klar, dass S i N = SN für eine kofinale Teilmenge von I und einen festen offenen Normalteiler N von G ist. Da SN/N eine p-gruppe ist und S = lim ( N i S i)n/n eine S i enthaltende pro-p Gruppe ist, folgt, dass maximale Elemente existieren, die p-sylow Untergruppen. Um zu beweisen, dass je zwei maximale pro-p Untergruppen H und K konjugiert sind, betrachten wir für einen offenen Normalteiler N das kommutative Diagramm S p (G) S p (G/N) S p (G)/G S p (G/N)/G/N Hier sind S p (G)/G und S p (G/N)/G/N Quotientenräume der durch Konjugation auf G induzierten Wirkung. Wir wissen aus dem Sylowsatz, dass S p (G/N)/G/N nur einen Punkt enthält, der einer Konjugationsklasse von p-sylow Untergruppen entspricht. Es folgt, dass S p (G)/G ein projektiver Limes dieses Systems ist und auch nur eine Konjugationsklasse von maximalen pro-p Untergruppen enthält. Aufgabe 16. (Schur-Zassenhaus) Für eine endliche Gruppe G und einen Normalteiler N G, sodass G/N und N teilerfremd sind, existiert ein Komplement H G, sodass G = N H ein semidirektes Produkt ist.

7 PROENDLICHE GRUPPEN 7 (J. Thompson O. H. Kegel A. I. Kostrikin) Wenn für alle h H \ 1 und n N die Gleichung n h = n impliziert, dass n = 1 (man sagt, H als Konjugation ohne Fixpunkte auf N), dann existiert eine Zahl c, sodass N höchstens Nilpotenzklasse c hat und c nur von H abhängt. Man formuliere und beweise entsprechende Behauptungen für proendliche Gruppen? Definition 17. Sei G eine proendliche Gruppe und Π eine Menge von Primzahlen. Ein Π-Hall-System ist eine Menge {G p p Π} von p-sylow Untergruppen von G, sodass G p G q = G q G p für p, q Π gilt. Es ist G Π = p Π G p eine maximale Untergruppe mit nicht trivialen pro-p Untergruppen höchstens für Primzahlen aus Π, und wird Π-Hall Untergruppe von G genannt. Für eine auflösbare endliche Gruppe G gelten die folgenden Aussagen: Es existiert ein Π-Hall-System. Alle Π-Hall Untergruppen sind konjugiert in G. Es existiert ein Systemnormalisator bei vorgegebenem System, d.i. eine Untergruppe K {1} von G, sodass G k p = G p für alle p Π und alle k K gilt. Aufgabe 18. Sei G eine pro-auflösbare Gruppe, das heißt, ein projektiver Limes von endlichen auflösbaren Gruppen. Beweise die entsprechenden Aussagen für G. Aufgabe 19. Sei G eine pro-auflösbare Gruppe und sei Π(G) die Menge der Primzahlen p, sodass G eine unendliche p-sylow Untergruppe G p besitzt. Beweise, dass eine abgeschlossene abelsche Untergruppe A von G existiert, sodass Π(A) unendlich ist. Schließe, dass für eine pro-auflösbare Gruppe G, für die jedes Element eine endliche Untergruppe erzeugt, die Menge Π(G) endlich ist. Für G eine beliebige proendliche Torsionsgruppe ist das gleiche Resultat bekannt (W. Herfort). Eine Folgerung dieses Resultats ist, dass jede kompakte Torsionsgruppe G endliches Π(G) hat. E. Zelmanov hat gezeigt, dass jede pro-p-torsionsgruppe lokal endlich ist (das heißt, jede endliche Teilmenge erzeugt eine endliche Untergruppe) und J. S. Wilson hat unter Verwendung dieses Resultats sowie der Klassifikation aller einfachen endlichen Gruppen gezeigt, dass jede proendliche Torsionsgruppe lokal endlich ist. 3. Proendliche Vervollständigung einer beliebigen Gruppe Für eine Gruppe G betrachten wir die Menge N aller Normalteiler N von G mit endlichem Index G : N. Da N die Filterbasiseigenschaft besitzt, kann es als Filterbasis von Umgebungen der Eins angesehen werden und für g G ist {gn N N } eine Filterbasis. Hiedurch wird G zu einer topologischen Gruppe. Dies ist die proendliche Topologie auf G. Beispiel 20. Wir betrachten einige Beispiele: (1) Sei G = Z die additive Gruppe der ganzen Zahlen. Jede Untergruppe N mit endlichem Index hat die Form nz, wobei n eine positive Zahl ist. Wenn x y Elemente in Z sind, dann gibt es eine positive Zahl m Z, sodass x y nicht durch m teilbar ist. Dann besitzen x und y offene Umgebungen x + mz := {x + km k Z} und y + mz, und (x + mz) (y + mz) =. Somit ist Z ein Hausdorffraum.

8 8 WOLFGANG HERFORT Es gibt eine unterhaltsame Anwendung der proendlichen Topologie von H. Fürstenberg (1955), um zu zeigen, dass die Menge der Primzahlen unendlich ist: Sei P die Menge aller Primzahlen und angenommen, P wäre endlich. Jede Menge pz ist offen-abgeschlossen und p P pz = Z \ { 1, 1} ist abgeschlossen Widerspruch. (2) Sei G eine residuell-endliche Gruppe, das heißt, für alle g G \ 1 existiert ein Normalteiler N von G von endlichem Index mit g N. Äquivalent dazu ist, dass der Schnitt aller Normalteiler von G von endlichem Index trivial ist. Damit ist es für eine Gruppe äquivalent zu sagen, dass G residuell-endlich ist und dass die proendliche Topologie Hausdorff ist: Wenn x y Elemente von G sind und N ein offener Normateiler mit xy 1 N, dann gilt xn yn =. Beispiele sind Z und, allgemeiner, freie und prozyklische Gruppen. (3) Sei G eine einfache unendliche Gruppe. Damit gilt N = {G}. Aufgabe 21. Für eine Gruppe G sei N die Menge aller Normalteiler mit endlichem Index in G. Wir können eine Ordnung auf N definieren: Für M, N N definieren wir M N, wenn N M. Beweise, dass (N, ) eine gerichtete Menge ist. Die Aufgabe zeigt, dass die Menge {G/N N N } ein projektives System (G/N, φ NN ) ist, wobei die kanonischen Epimorphismen φ NN : G/N G/N für N N durch φ NN (gn) := gn definiert sind. Der projektive Limes Ĝ := lim N G/N heißt proendliche Vervollständigung von G und erfüllt die folgende universelle Eigenschaft: Es existiert ein Homomorphismus φ : G Ĝ, sodass φ(g) dicht ist in Ĝ und für jede proendliche Gruppe H und jeden Homomorphismus f : G H existiert ein eindeutiger stetiger Homomorphismus ˆf : Ĝ H, sodass das Diagramm G φ Ĝ f H kommutiert. Ist H eine beliebige kompakte Gruppe, dann existiert die Bohr-Kompaktifizierung βg der Gruppe G (zum Beispiel S. 430 in [2]). Es ist leicht nachzuweisen, dass Ĝ die Quotientengruppe βg/βg 0 ist, wobei βg 0 die Zusammenhangskomponente der Eins in βg ist. Beispiel 22. Wir kehren zu den Beispielen in 20 zurück. ˆf (1) Die proendliche Vervollständigung Ẑ von Z ist unter dem Namen Hensel- Zahlen bekannt. (2) Eine Gruppe ist residuell-endlich genau dann, wenn φ injektiv ist. Die Gruppe F (x, y) heißt freie proendliche Gruppe, frei erzeugt durch {x, y}. (3) Im dritten Beispiel ist Ĝ = 1.

9 PROENDLICHE GRUPPEN 9 Eine Kategorie C endlicher Gruppen, welche Pullbacks (subdirekte Produkte) erlaubt, und, falls H C und K Normalteiler von H ist, auch H/K enthält, heißt Formation. Zum Beispiel bilden die p-gruppen (oder die auflösbaren Gruppen) eine Formation. Für eine Formation C von endlichen Gruppen können wir die vorangegangenen Konstruktionen wiederholen und die pro-c Vervollständigung definieren: Sei G eine beliebige Gruppe und N C die Menge aller Normalteiler N von G, sodass G/N C. Seien M, N Normalteiler von G in N C. Es existiert ein Pullback P (subdirektes Produkt) G ω P G/N G/M 1 das heißt, P = G/M N C und M N N. Wir definieren eine Ordnung auf N C durch M N, genau dann wenn N M gilt. Es ist dann (N C, ) eine gerichtete Menge und wir können die pro-c Vervollständigung ĜC von G konstruieren. Beispiel 23. Beispiele für Formationen: Ist p Primzahl, so bilden die p-gruppen eine Formation. Für eine Gruppe G erhalten wir die pro-p Vervollständigung. Die pro-2 Vervollständigung von Z wurde im Beispiel 13 konstruiert. Wenn Π eine Menge von Primzahlen ist, bilden die endlichen Gruppen G mit Π(G) Π eine Formation. Alle auflösbaren Gruppen bilden eine Formation. Man erhält die pro-auflösbare Vervollständigung. Aufgabe 24. (proendliche Vervollständigung) Für G und C bestimme man die pro-c Vervollständigung: (1) G = Q (die rationalen Zahlen) und C seien alle endlichen Gruppen; (2) G = C 2 und C seien alle endlichen 3-Gruppen; (3) G = C 2 C 4 (freies Produkt) und C seien alle endlichen 5-Gruppen; (4) G = F (x, y) (freie Gruppe erzeugt durch die Menge {x, y}) und C seien alle nilpotenten endlichen Gruppen; (5) G = x, t t 1 x 2 t = x 4 und C seien alle endlichen 2-Gruppen. Aufgabe 25. Problem von W. Burnside (1902): Wenn n N und G eine endlich erzeugte Gruppe, sodass alle Elemente g G g n = 1 erfüllen (das heißt, G hat endlichen Exponenten), ist G eine endliche Gruppe? Dies ist falsch, wie I. Adian gezeigt hat. Eine Variation dieser Frage ist das eingeschränkte Burnsideproblem (EBP): Hat G einen maximalen endlichen Quotienten? G. Higman (für G auflösbar) und J. S. Wilson (allgemeiner Fall) haben gezeigt, dass es hiefür genügt, das EBP für Primzahlpotenzexponenten zu lösen. Die Lösung für Primzahlpotenzexponenten wurde von E. Zelmanov gefunden. Kann das EBP und seine Lösung in proendlicher Sprache formuliert werden?

10 10 WOLFGANG HERFORT Die Krull-Topologie auf der Galoisgruppe eines Körpers ist gröber als die proendliche Topologie. Für eine proendliche Gruppe G, welche eine dichte und von einer endlichen Teilmenge erzeugte Untergruppe enthält, haben N. Nikolov und D. Segal gezeigt, dass jede Untergruppe mit endlichem Index offen ist. Ist solches G Galoisgruppe, so stimmt die Krull-Topologie mit der proendlichen Topologie überein. 4. Freie Konstruktionen Sei C eine Formation endlicher Gruppen. Der projektive Limes von Gruppen in C wird als pro-c-gruppe bezeichnet. Dieser Begriff verallgemeinert das Konzept der pro-p Gruppe (2). Sei X eine Menge und F 0 (X) die freie Gruppe mit Basis X. Die freie pro-c- Gruppe wird mit F C (X) bezeichnet und ist durch folgende universelle Eigenschaft definiert: X ist enthalten in F C (X). Jede Abbildung f : X H, wobei H eine beliebige pro-c Gruppe ist, bestimmt einen eindeutigen stetigen Homomorphismus ˆf, sodass das folgende Diagramm kommutiert: Beispiel 26. Einige Beispiele: X F C (X) f ˆf! H (1) Ist X = 1, dann ist F C (X) prozyklisch. Die Gruppe Z 2 in Beispiel 13 ist eine freie pro-2 Gruppe. Es ist keine freie proendliche Gruppe, wenn C als Klasse aller endlichen Gruppen gewählt wird. In Beispiel 12(1) ist die Gruppe Ẑ die freie prozyklische Gruppe, wobei C aus allen endlichen (auflösbaren) Gruppen besteht. Es ist Ẑ2 eine nicht freie Untergruppe von Ẑ. (2) In Beispiel 12(2) haben wir dann X = {x, y} und C besteht aus allen Gruppen. (3) Ist X endlich, so ist F C (X) die pro-c Vervollständigung der freien Gruppe F 0 (X). (4) Wenn X unendlich ist, dann benützt man auf F 0 (X) meist eine eingeschränkte pro-c-topologie: Sei X {1} die Alexandrov-Kompaktifizierung und N die Menge der offenen Normalteiler von F 0 (X); für alle N N gibt es eine endliche Teilmenge S von X, sodass X \ S in N enthalten und F 0 (X)/N C ist. Man kann beweisen, dass F 0 (X) mit dieser Topologie eine topologische Gruppe und ihre Vervollständigung, der meist durch F C (X) bezeichnet wird, eine pro-c Gruppe ist. Satz 27. Sei C eine Formation, welche alle Untergruppen einer Gruppe in C enthält. Jede offene Untergruppe H einer freien pro-c Gruppe F C (X) ist frei. Beweis. (für endliches X): Die freie Gruppe F 0 (X) ist dichte Untergruppe von F C (X) und H F (X) hat endlichen Index in F 0 (X). Der Satz von Nielsen-Schreier für freie (diskrete) Gruppen besagt, dass F 0 (X) H freie Gruppe ist. Wenn man zeigen kann, dass die proendliche Topologie von F (X) die proendliche Topologie auf F 0 (X) H induziert, ist der Satz bewiesen. Da H und somit das Komplement

11 PROENDLICHE GRUPPEN 11 H beide abgeschlossen sind und H = N HN ist, wobei N alle offenen Normalteiler von F (X) mit F (X)/N C durchläuft, gilt H = N (HN). Wegen der Kompaktheit von H kann man somit ein endliches Teilsystem aller N finden mit H = N HN, sodass der endliche Durchschnitt K aller dieser Normalteiler in H liegt. Deshalb ist F 0 (X) K offen in der pro-c Topologie auf F 0 (X) H. Definition 28. In analoger Manier kann man das freie Produkt von pro-c-gruppen A und B definieren: Sei A B das freie Produkt und betrachten wir die Menge N aller Normalteiler N mit A B/N C, sodass A N und B N abgeschlossene Untergruppen von A beziehungsweise B sind. N ist eine Umgebungsbasis der Eins von A B. Die pro-c Vervollständigung wird mit A C B bezeichnet und heißt freies pro-c-produkt von A und B. Beispiel 29. Einige Beispiele: Für A = B = Ẑ erhalten wir A B = F (x, y) mit den Erzeugern x und y von A und B. Für A = C 2 = B erhalten wir die Diedergruppe C 2 C 2 und die pro-c Diedergruppe C 2 C 2. Es ist klar, dass C 2 C 2 auch die pro-c Vervollständigung von C 2 C 2 ist. Für Gruppen A und B in C stimmt das freie pro-c-produkt mit der pro-c Vervollständigung von A B überein. Satz 30. (Kurosh für zwei Faktoren) Sei C eine Formation, welche alle Untergruppen jeder Gruppe in C enthält. Sei G = A B das freie pro-c-produkt der pro-c Gruppen A und B. Jede offene Gruppe H von G ist ein freies pro-c-produkt H = m A gi H i=1 n B kj H U und U ist eine freie pro-c Gruppe. (Kurosh für n Faktoren) Wenn G = A 1 A 2... A n und H eine offene Gruppe ist, dann gilt H = n i=1 r A i\g/h j=1 A gir i H U, wobei A i \G/H das Doppelnebenklassensystem ist und g ir G. Man kann g i1 = 1 verwenden. Der Beweis für endliches A und B ist ähnlich wie der des Satzes 27. Eine Anwendung ist: Korollar 31. Sei G = A 1 A 2... A n mit A i 1 endlich. Dann ist A i A x j 1 genau dann, wenn i = j und x A i. Für 1 a A i erhalten wir C G (a) = C Ai (a). Beweis. (P. A. Zalesskii): Ähnlich wie im diskreten Fall kann der Epimorphismus ψ : i A i i A i benützt werden, um A i A x j ker ψ einzusehen, und da A I ker ψ = 1, ergibt sich i = j. Angenommen, x A i und A i A x i 1. Dann existiert ein offener Normalteiler N mit x A i N. Es ist H := A i N offene Untergruppe von G und daher können wir

12 12 WOLFGANG HERFORT den Satz von Kurosh anwenden: A i N = n k=1 r A k \G/A in A g kr k (A i N) U. In dieser Zerlegung hat A i A i N den Exponenten g ir = 1. Es existieren a i, a i A i, g ir und n N, sodass x = a i g ir a i n. Aber g ir = 1; da x A i N ist dies ein Widerspruch. Die zweite Behauptung ist eine Folgerung aus der ersten. Aufgabe 32. (1) Zeige, dass man Satz 27 aus dem Satz von Kurosh herleiten kann. (2) Sei G = C 2 C 2 = a, b. Erkläre den Satz von Kurosh für die Untergruppe H = ab (3) Sei G = C 2 C 2 C 2 = a, b, c. Erkläre den Satz von Kurosh für die Untergruppe H = ab, bc, ca. (4) Seien A, B, C, D Gruppen in C und G = A B = C D. Zeige, dass g G existiert, sodass C = A g oder D = A g. Definition 33. Seien A, B, C pro-c Gruppen und G := A C B das freie amalgamierte Produkt. Sei N das System jener Normalteilern von G, für die G/N C und A N, B N und C N offene Untergruppen von A, B beziehungsweise C sind. Wiederum wird eine pro-c-topologie auf G durch Festlegen von N als Umgebungsbasis der Eins definiert und danach durch pro-c Vervollständigung das freie amalgamierte pro-c-produkt A C B gebildet. Seien A, B H und φ : A B ein stetiger Isomorphismus und G = HNN(H, A, B, φ, t) die HNN-Erweiterung. Es sei N wie eben beschrieben. Die pro-c-vervollständigung von G ist die pro-c HNN-Erweiterung. H ist die Basisgruppe, A, B die assoziierten Untergruppen und t das stabile Symbol. Es ist HNN(H, A, B, t) die Quotientengruppe des freien Produkts A t modulo dem von der Teilmenge {φ(a)tat 1 a A} topologisch erzeugten Normalteiler. Wie im diskreten Fall haben A C B und HNN(A, B, φ, t) universelle Eigenschaften. Seien A, B (endliche) Gruppen und C A, C B Injektionen (die mittleren Pfeile). Die Pfeile, welche nach oben zeigen, sind die natürlichen Abbildungen in das freie amalgamierte Produkt. Zu einer gegebenen Gruppe H bilden der zweite und dritte Pfeil ein kommutatives Diagramm, da der universelle Pfeil existiert. A C B A C B H! Unter Verwendung des folgenden Diagramms werden wir die universelle Eigenschaft von HNN(H, A, B, φ, t) erklären:

13 PROENDLICHE GRUPPEN 13 A φ B H HNN(H, A, B, φ, t) {t} ω! ψ λ K Gegeben K and der Homomorphismus ψ : H K, sowie ein Element in K (aufgefasst als Bild unter einer Abbildung λ : {t} K) derart dass ψφ(a)) = ψ(a) λ(t) für alle a A gilt. Dann gibt es genau einen Homomorphismus ω : HNN(H, A, B, φ, t) K sodass das Diagram kommutiert. Aufgabe 34. (1) Sei φ : C 4 C 4 der Automorphismus φ(x) := x 1 y A = B = C 4. Erkläre HNN(A, A, B, φ, t). (2) Wie kann das Beispiel in 24(5) als HNN(A, B, φ, t) interpretiert werden? Diese Konstruktionen haben erstaunliche Anwendungen: Jede proendliche Gruppe, welche von einer abzählbaren Menge erzeugt wird, kann in eine von zwei Elementen erzeugte Gruppe eingebettet werden (Z. Chatzidakis, P.A. Zalesskii). Eine verschärfe Version besagt, dass jede proendliche Gruppe mit einer offenen torsionsfreien Untergruppe in eine proendliche Gruppe eingebettet werden kann, sodass alle Elemente der selben endlichen Ordnung konjugiert sind (W. Herfort und P.A. Zalesskii). 5. Dank Der Autor dankt für den angenehmen Aufenthalt in Cuernavaca im März 2008 Peter Plaumann, Liudmila Sabinina und Rolando Jimenez. In dieser Zeit ist die spanische Version [1] dieses Kurzartikel entstanden. Diese wurde 2009 von Lukas Klausner ins Deutsche übersetzt und im September 2011 vom Autor überarbeitet. Literatur [1] Herfort W., Grupos profinitos, [2] Hewitt E. and Ross K., Abstract and harmonic analysis, Springer 1963 [3] Ribes L., Grupos libres profinitos y grafos topologicos, Universidad Autónoma de Barcelona, viewfile/37162/37036 [4] Ribes L. and Zalesskii P.A., Profinite Groups, Second Edition, Springer [5] Ribes L. and Zalesskii P.A., Pro-p Trees, (2000), Chapter, Ser. Progress in Mathematics, Birkhäuser Boston (2000), Ed. Shalev A., Segal D.. [6] Wilson J.S., Profinite Groups, London Mathematical Society Monographs New Series 19, Oxford 1998 Wolfgang Herfort, Institut für Analysis und Scientific Computing Technische Universität Wiedner Hauptstraße 8 10/101 A-1040 Wien, Österreich w.herfort@tuwien.ac.at