T1 Organisatorisches - Anmeldung Projektaufgaben

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1 Praktikum ASP Blatt 6 1 LEHRSTUHL FÜR RECHNERTECHNIK UND RECHNERORGANISATION Aspekte der systemnahen Programmierung bei der Spieleentwicklung Arbeitsblatt 6 Am ist Dies Academicus. Alle Lehrveranstaltungen entfallen. Bitte verteilen Sie sich möglichst gleichmäßig auf andere Tutorgruppen. T1 Organisatorisches - Anmeldung Projektaufgaben Sehr geehrte PraktikumsteilnehmerInnen, in der 2. Dezemberwoche werden wir die Projektaufgaben an Sie verteilen. Von Ihnen zwei Schritte notwendig: 1. Melden Sie sich bis zum (Freitag) für eine Projektgruppe an (s. unten) 2. Melden Sie sich rechtzeitig (bis zum ) für die Prüfung in TUMonline an Das Verpassen einer von beiden Terminen reicht, um das Praktikum nicht erfolgreich abschließen zu können. Anmeldung zu den Projektaufgaben Wie angekündigt, werden Sie die Projektaufgaben in 3er-Gruppen bearbeiten. Sie haben die Wahl zwischen: Anmeldung zur Projektaufgabe als 3er-Gruppe Anmeldung zur Projektaufgabe als 2er-Gruppe (drittes Gruppenmitglied wird zugewiesen) Anmeldung zur Projektaufgabe alleine (Gruppe wird zugewiesen) Bei Anmeldungen als 3er-Gruppe ist die Zuteilung als solche garantiert. Bei Anmeldungen als 2er-Gruppe versuchen wir die Teilnehmer so weit wie möglich in einer Projektgruppe zuzuordnen, können dies aber nicht garantieren. Melden Sie sich bis zum bei einem Tutor in einer der Übungen oder per . (Eine Anmeldung pro Gruppe!) Die Informationen, die von Ihrem Tutor zur erfolgreichen Anmeldung notwendig sind: Vor- und Nachname der Mitglieder adressen der entsprechenden GitLab-Accounts (

2 Praktikum ASP Blatt 6 2 Bei allen Teilnehmern, die diesen Termin nicht einhalten, gehen wir davon aus, dass Sie nicht weiter am Praktikum teilnehmen. Mit freundlichen Grüßen, Die Übungsleitung

3 Praktikum ASP Blatt 6 3 T2 Der Spieler im Casino (Anwendung) Wir werden in dieser Einheit Spieltheorie mit Statistik kombinieren, um ein Modell für ein bestimmtes Szenario beim Roulette-Spiel zu bilden. Anschließend werden wir das Modell verwenden, um numerisch einige Erkenntnisse zu erlangen zur Berechnung verwenden wir das Raspberry Pi 3. T2.1 Aufgabenstellung Ein Spieler betritt ein Casino mit 4000 Euro. Er setzt stets genau 1000 Euro beim (Französischen) Roulette auf Schwarz (Gewinn zu Einsatz = 2 : 1), unabhängig davon, ob er in der Runde zuvor gewonnen oder verloren hat. Allerdings ist der Spieler ein Fanatiker, weswegen er das Casino erst verlassen wird, wenn er entweder 7000 Euro besitzt, oder aber alles Geld verspielt hat. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Spieler als Gewinner aus dem Abend hervorgehen? T2.2 Modellbildung 1. Das obige Szenario modelliert man typischer Weise mithilfe einer Markovkette. Man kann diese darstellen als einen endlichen Automaten, mit den aktuellen Geldbeträgen als Zuständen und den Gewinnwahrscheinlichkeiten als Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen den Zuständen. Eine einfache Markovkette für eine beliebig lange Kette an (fairen) Münzwürfen ließe sich beispielsweise so darstellen: Kopf Zahl Erstellen Sie nun eine Markovkette für den Spieler im Casino! Achten Sie darauf, dass die Wahrscheinlichkeiten an den ausgehenden Pfeilen jedes Zustands in Summe stets 1 ergeben! 2. Bilden Sie nun aus der Markovkette die Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten M: { p ij wenn p ij > 0 M = m ij = p ij = 0 sonst p ij bezeichne dabei die Wahrscheinlichkeit, in einem Schritt von Zustand i in Zustand j überzugehen. Offensichtlich gelten mit n als Zahl der Zustände außerdem die folgenden beiden Gleichungen:

4 Praktikum ASP Blatt 6 4 n p ij = 1 j=0 n n p ij = n. i=0 j=0 Überprüfen Sie diese Gleichungen bei Ihrem Lösungsvorschlag auf Gültigkeit! 3. Die Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten kann nun einfach verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeiten nach einer beliebigen Zahl von Schritten m zu berechnen. Es gilt für die Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten nach m Schritten M m : M m = M m Der Eintrag (M m ) ij beträgt dann genau die Wahrscheinlichkeit vom Zustand i ausgehend nach m Schritten im Zustand j zu landen. Welcher Eintrag der Matrix M m ist in der Aufgabenstellung gesucht? 4. Der oben beschriebene Umstand ermöglicht es uns, das Ergebnis numerisch zu bestimmen: Wählen wir m nur hoch genug, können wir das System im eingeschwungenen Zustand betrachten. Im Anwendungsfall entspricht dies genau dem Verhalten des Spielers, der unendlich lange spielt, bis er entweder verloren hat, oder aber 7000 Euro besitzt. T2.3 Implementierung 1. Gegeben ist das folgende Rahmenprogramm: 1 # include < s t d i o. h> 2 # include < s t r i n g. h> 3 4 # define MATRIXSIZE 8 5 i n t main ( i n t argc, char argv ) { 6 7 f l o a t matrix [MATRIXSIZE ] [ MATRIXSIZE] = 8 { 9 / I h r e Matrix a l s 2 dimensionales C Array / 10 } ; f l o a t r e s u l t M a t r i x [MATRIXSIZE ] [ MATRIXSIZE ] ; 13 i n t i, j = 0 ; f o r ( i = 0 ; i < 8 ; i ++) { 16 _asm_matrquad(& matrix [ 0 ] [ 0 ], &r e s u l t M a t r i x [ 0 ] [ 0 ] ) ; 17 memcpy( matrix, resultmatrix, s i z e o f ( matrix ) ) ; 18 } p r i n t f ( " r e s u l t M a t r i x [%d][%d ] = \n{\n", MATRIXSIZE, MATRIXSIZE) ; 21 f o r ( i = 0 ; i < MATRIXSIZE ; i ++) { 22 p r i n t f ( " { " ) ; 23 f o r ( j = 0 ; j < MATRIXSIZE ; j ++) { 24 p r i n t f ( " %.1 f ", r e s u l t M a t r i x [ i ] [ j ] ) ;

5 Praktikum ASP Blatt ( j < MATRIXSIZE 1)? p r i n t f ( ", " ) : p r i n t f ( " " ) ; 26 } 27 ( i < MATRIXSIZE 1)? p r i n t f ( " },\n" ) : p r i n t f ( " }\n" ) ; 28 } 29 p r i n t f ( " }\n" ) ; 30 return 0 ; 31 } Listing 1: Matrix-Vorlage Diskretisieren Sie Ihre in der vorangegangenen Teilaufgabe gefundene Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten auf drei Nachkommastellen und fügen Sie sie anstelle des Kommentars in Zeile 8 ein. 2. Wie in T1 gezeigt, wollen wir M m für einen großen Wert m bestimmen. Nach der bekannten Formel für die Multiplikation zweier Matrizen A (m n-matrix) und B (n p-matrix) gilt für die Ergebnismatrix C (m p-matrix): C = A B n c ij = a ik b kj k=1 Wie leicht zu erkennen ist, benötigt man für jedes Element der Ergebnismatrix (c i,j ) die einzelnen Elemente in der Spalte i der Matrix b. Da ein spaltenweiser Zugriff auf den Speicher mit mehr Implementierungsaufwand verbunden ist, kann man die Formel durch das Verwenden der Transponierten Matrix T vereinfachen. Dies vereinfacht Speicherzugriffe im Assemblercode, da die Rechenvorschrift zum Multiplizieren zweier Matrizen sequentiell sowohl ganze Reihen als auch Spalten der Matrix benötigt. Frischen Sie Ihre elementaren Kenntnisse über die Multiplikation zweier Matrizen auf und berechnen Sie das folgende Beispiel. Machen Sie sich dabei klar, welche Zahlen miteinander auf welche Weise verrechnet werden Wie speichert C zweidimensionale Arrays ab? Warum stellt das Transponieren der Matrix in diesem Kontext eine Erleichterung beim Speicherzugriff dar, wenn die Matrix selbst quadriert werden soll? 4. Nutzen Sie Ihr Wissen über die Matrixmultiplikation nun, um einen Algorithmus zu entwerfen, welcher mithilfe der Transponierten das Quadrat einer gegebenen Matrix berechnet. Verwenden Sie eine Pseudo-Code-Notation Ihrer Wahl. 5. Schreiben Sie eine Funktion void _asm_matrtransp(float *input, float *result);

6 Praktikum ASP Blatt 6 6 in eine eigene Assemblerdatei, welche eine Matrix input sowie einen Zeiger auf einen entsprechend großen Speicherbereich übergeben bekommt und in result die Transponierte von input speichert. Rufen Sie Ihre Funktion vom obigen Testprogramm aus auf und überprüfen Sie die Ausgabe auf Richtigkeit! 6. Nutzen Sie nun die NEON-Befehle, um eine Assemblerfunktion void _asm_matrquad(float *input, float *result); zu schreiben, welche eine Matrix input übergeben bekommt und das Quadrat der Matrix in result zurückgibt. Der Speicherbereich für result kann im Rahmenprogramm entweder statisch oder dynamisch allokiert werden. Verwenden Sie die ARM-Dokumentation, um die passenden Befehle nachzuschlagen. Wie lautet das Ergebnis? Wie ist es im Kontext der Anwendungsaufgabe zu interpretieren? 7. Berechnen Sie den eingeschwungenen Zustand des Systems nach m = 2 8 = 256 Schritten (= Spielen!), indem Sie die Funktion _asm_matrquad entsprechend oft aufrufen und das Ergebnis result nach jedem Aufruf wieder in den Speicherbereich input kopiert. Beantworten Sie sodann mithilfe der errechneten Matrix die ursprüngliche Frage aus der Aufgabenstellung. Sind auch weitere Einträge der Matrix im Anwendungszusammenhang deutbar? Sind diese plausibel? H1 Hausaufgabe Implementieren Sie die verbleibenden Punkte aus der Tutorübung! Es besteht keine Verpflichtung, diese Hausaufgaben abzugeben. Sie dienen lediglich der Übung und werden in der folgenden Tutorstunde besprochen. Wir raten Ihnen dringend, anhand der Aufgabe auf diesem Blatt zu überprüfen, ob Sie den bisherigen Inhalt des Praktikums verstanden haben. Wir können durchaus von Ihnen erwarten, dass Sie Aufgaben wie die vorangegangene Anwendung des Spielers im Casino selbstständig als Projektaufgabe bearbeiten können. Fragen zu den bisher behandelten Themen, dem Raspberry Pi 3 und dem Ausführen von Projekten sollten mit diesem Blatt abschließend geklärt sein.