Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 Prof Dr Christian Tschudin

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Departement Mathematik und Informatik Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 Prof Dr Christian Tschudin 20. April 2017 Graphenalgorithmen III Robert Floyd Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 20.

1 Departement Mathematik und Informatik Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 Prof Dr Christian Tschudin 20. April 2017 Graphenalgorithmen III Robert Floyd Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 22 Wiederholung Wie findet man den kürzesten Pfad zwischen zwei Knoten eines ungerichteten und gewichteten Graphen? Was ist ein spannender Baum? Was ist ein minimaler spannender Baum? Was ist ein DAG? Was stellen die Werte einer Adjazenz-Matrix dar?

2 Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 22 Uebersicht Minimaler spannender Baum nach Prim-Jarnik Graphen-Libaries (für Python) All-pairs shortest path: Floyd-Warshall abgeschlossene Hülle Floyd Maximaler Fluss: Ford-Fulkerson Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 22 MST mit Prim-Jarnik (1/3) Minimaler spannender Baum ausgehend von src 1 proc Prim(G, gewicht, src): 2 Q = leere Vorrangschlange 3 P = Feld der Grösse n vom Typ Knoten (parent) 4 5 for u in G: 6 Q.add_with_priority(u, ) 7 Q.set_priority(src, 0) 8 P[src] = Null 9 10 while Q ist nicht leer: 11 u = Q.extract_min() 12 for G.adjazent(u,v) und v in Q: 13 if gewicht(u, v) < Q.get_Priority(v): 14 P[v] = u 15 Wert von v in Q auf gewicht(u,v) ändern return P

Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 20.

3 Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 22 MST mit Prim-Jarnik (2/3): Vergl Dijkstra Zum Vergleich: nochmals Dijkstra-Algorithmus 1 proc Dijkstra(G, gewicht, src) { 2 Q: leere Vorrangschlange 3 Dist: Feld der Grösse n mit Typ ganze Zahl 4 5 Dist[src] = 0 6 for (src,t) in G: 7 Dist[t] = gewicht(s,t) 8 for not (src,t) in G: 9 Dist[t] = 10 for u in V-{src}: 11 Q.add_with_priority(u, Dist[u]) while Q ist nicht leer: 14 u = Q.extract_min() 15 for G.adjazent(u,v) und v in Q: 16 if Dist[u] + gewicht(u,v) < Dist[v]: 17 Dist[v] = Dist[u] + gewicht(u,v) 18 Wert von v in Q auf Dist[v] ändern return Dist 21 } Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 22 MST mit Prim-Jarnik (3/3): Beispiel Prim-Jarnik von Hand ausführen:

4 Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 22 Graphen-Libraries für Python (1/2) pygraph (2012): snap.py (2017): SNAP is a general purpose, high performance system for analysis and manipulation of large networks large = hundreds of millions of nodes, and billions of edges Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 22 Graphen-Libraries für Python (2/2) Beispiel mit pygraph: 1 from pygraph.classes.graph import graph 2 from pygraph.readwrite import dot 3 4 gr = graph() 5 6 # Add nodes 7 gr.add_nodes(["portugal","spain","france","germany",...]) 8 gr.add_nodes(["switzerland","austria","denmark",...]) # Add edges 12 gr.add_edge(("portugal", "Spain")) 13 gr.add_edge(("spain","france")) 14 gr.add_edge(("france","belgium")) 15 gr.add_edge(("france","germany")) print gr # Create.dot file for graph 21 with open("europe.dot", "w") as f: 22 f.write(dot.write(gr))

5 Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 22 Graphviz Layout von Graphen (und Datenstrukturen etc) Konversion einer.dot-datei zu PDF: % dot europe.dot -Tpdf >europe.pdf Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 22 All-Pairs Shortest Path (1/4) Bisher gesehen: Mit Dijkstra-Algorithmus den kürzesten Pfad eines gegebenen Knotenpaares finden (= single source shortest path, SSSP) Neues Ziel: die kürzesten Pfade aller Knotenpaare finden ( = all pairs shortest path, APSP) Im folgenden: Adjazenz-Matrix-Darstellung

6 Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 22 APSP (2/4): Floyd-Warshall 1 proc Floyd_Warshall(W): // W ist die Adjazenz-Matrix 2 n = W.rows 3 D: Feld von n x n Matrizen 4 5 D[0] = W 6 for k = 1 to n: 7 D[k] = neue n x n Matrix 8 for i = 1 to n: 9 for j = 1 to n: 10 D[k][i,j] = min(d[k-1][i,j], 11 D[k-1][i,k] + D[k-1][k,j]) return D[n] Laufzeit: Θ(n 3 ) Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 22 APSP (3/4): Floyd-Warshall Pfade Diskussion Floyd-Warshall Funktioniert auch für negative Gewichte! (Dijkstra nur für Gewichte 0 gültig) Der Algorithmus liefert die kürzesten Distanzen, aber noch nicht die Pfade. Dazu: Pfade aus (kürzesten) Teilpfaden kombinieren, oder parallel zum Algo eine Vorgänger -Matrix verwalten (π ij ist Vorgängerknoten für j von i aus)

Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 20. April 2017 13 / 22 APSP (4/4): Floyd-Warshall Beispiel.

April 2017 14 / 22 Abgeschlossene Hülle (1/2) Abgeschlossene Hülle (transitive closure) zu G Definition: Graph G*,

7 Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 22 APSP (4/4): Floyd-Warshall Beispiel... Betrachte a) D (1) : k=1,i=4,j=2), b) Π (5) : 3 nach 1, 1 nach 3 Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 22 Abgeschlossene Hülle (1/2) Abgeschlossene Hülle (transitive closure) zu G Definition: Graph G*, der wie folgt konstruiert wird: Für jeden gerichteten Pfad von a nach b in G wird eine Kante (a,b) in G* eingefügt. Beispiel: Erreichbarkeits -Graph

8 Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 22 Abgeschlossene Hülle (2/2): Warshall 1 proc Warshall(W): // W ist die Adjazenz-Matrix mit False,True 2 n = W.rows 3 G: Feld von n x n Matrizen 4 5 G[0] = W 6 for k = 1 to n: 7 G[k] = G[k-1] 8 for i = 1 to n: 9 if G[k-1][i,k]: 10 for j = 1 to n: 11 if G[k-1][k,j]: 12 G[k][i,j] = True return G[n] = Floyd-Warshall Algorithmus wobei a) Addition AND b) Min OR Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 22 Robert Floyd ( ) Beendete die Schule im Alter von 14 Bachelor in liberal arts 1953 (17 Jahre alt) 2. Bachelor in Physik 1958 Anfangs 60er-Jahre: Computer operator und wissenschaftliche Publikationen in Computer Science Assoc professor Carnegie Mellon (27 Jahre alt) Full professor Stanford (33 Jahre alt)... ohne Doktorat Turing award 1978: theory of parsing, semantics of programming languages, automatic program verification, automatic program synthesis, and analysis of algorithms

9 Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 22 Weitester Pfad und maximaler Fluss Betrachte einen Graphen als Transport-Infrastruktur, Kanten-Gewichte stellen Kapazität dar Wieviel Durchsatz verträgt ein solches Netz? Beispiel: (Kanten sind mit X/Y angeschrieben, X=Kapazität, Y=Allokation) In diesem Fall: roter Fluss von 3 Einheiten Dies ist weder der weiteste Pfad von q nach s, noch der maximale Fluss Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 22 Fluss in einem Graph Kapazität c : E R+ Fluss f : E R 0 +, wobei Kapazitätsbeschränk.: f (e) c(e) für alle Kanten e Konsistenzregel: f(u,v) = - f(v,u) Flusserhaltung: für alle Knoten ausser Quelle und Senke ist die Summe der Eingangsflüsse und Ausgangsflüsse gleich: Σ f (v, v) = Σ f (v, v ) Wert des Flusses: Summe der Flusswerte, die die Quelle verlassen. Weitester Pfad: Pfad mit höchstem Flusswert Maximaler Fluss: Pfadmenge mit höchstem Flusswert

10 Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 22 Maximaler Fluss (1/4) Wie gross ist der maximale Fluss? nicht grösser als aus der Quelle herausfliesst nicht grösser als in die Senke hineinfliesst nicht grösser als die Kapazität eines minimalen Schnitts Beispiel: (maximaler Fluss ist 10) Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 22 Maximaler Fluss (2/4): Ford-Fulkerson Zunehmender Weg Ein Fluss ist genau dann maximal, wenn der Graph keinen zunehmenden Weg hat. Der Wert des maximalen Flusses entspricht der Kapazität des minimalen Schnitts. Algorithmus: 1 proc Ford-Fulkerson(G): 2 forall e in E: 3 f(e) = 0 4 while "es gibt einen zunehmenden Weg p": 5 r = min{ rest(e) e liegt auf Weg p im Restgraphen} 6 erhöhe f entlang p um r

Maximaler Fluss (4/4): Beispiel Restpfad gefunden, seine Weite

11 Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 22 Maximaler Fluss (3/4): Beispiel Ausgangssituation: Leite daraus neuen Graph ab: c(u v) f (u v) bzw f (u v) in Rückwärtsrichtung Suche darin Pfad von q nach s Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 22 Maximaler Fluss (4/4): Beispiel Restpfad gefunden, seine Weite (Residual) ist 2: Addiere Residual im ursprünglichen Graphen Damit Schlusssituation: (weil: )

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