3.7 RLC-Elemente in Vierpolschaltungen

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1 3.7. RC-EEMENTE IN VIERPOSCHATUNGEN RC-Elemente in Vierpolschaltungen In er Praxis ist ein Einheitssignal eine Überlagerung vieler Frequenzen. Gewünscht: Weiterverarbeitung es Signals wie z.b. em Herausfiltern gewisser Frequenzen. Das Filtern ist bereits mit einfachen RC-Kreisen möglich. Grunprinzip: Z I a 0 (t) Ere Eingangsspannung: (t) exp(i ω t) Ausgangsspannung:? Iealisierung: wir stromfrei gemessen un ann verstärkt. Berechnung von : (t) (Z + ) I (3.68) I (3.69) (t) (3.70) (t) Z + Die rechte Seite beinhaltet auch Phasenverschiebung. Meist interessiert man sich jeoch nur für en Absolutbetrag.. Beispiel: Z R

2 74 KAPITE 3. EEKTRISCHE SCHATUNGEN Z (t) R + i R C ω + (3.7) + R 2 C 2 ω 2 (t) ω 2 R 2 C 2 (3.72) (t) ω 2 R 2 C 2 (3.73) Interpretation: Gezeigte Schaltung ist ein Tiefpassfilter (tiefe Frequenzen weren urchgelassen). Bei hohen Frequenzen Z C 0 ;.h. am Konensator liegt nur eine kleine Spannung an. 2. Beispiel: Z R Z (t) wenn ω 2 R 2 C 2 wenn ω 2 R 2 C 2 R R + R2 C 2 ω 2 (3.74) + R 2 C 2 ω 2 Konensator lässt hohe Frequenzen passieren. Konensator blockiert hohe Frequenzen.

3 3.7. RC-EEMENTE IN VIERPOSCHATUNGEN Beispiel: Ve (t) Die Spule blockiert hohe Frequenzen, er Konensator ie nierigen. mittlere Frequenzen weren passieren Man spricht in iesem Fall von einem Banpass Quantitativ: R ( i ω + i ω R ( ω2 + C ) + R ) + i ω R i ω i ω (3.75) (3.76) Definiere ω 2 C Eigenfrequenz. C-Kreises γ R 2 i ω γ (ω 2 0 ω 2 ) + i ω γ ω 2 γ 2 (ω 2 0 ω 2 ) 2 + ω 2 γ 2 (3.77) Nenner ist klein wenn ω 2 ω 2 0 (vorausgesetzt γ ist klein)

4 76 KAPITE 3. EEKTRISCHE SCHATUNGEN 2 γ ωω0 Verhältnis es Quarats fällt auf ie Hälfte ab, wenn ω0 2 + ( γ 2 2 ω 2 H γ2 (ω 2 0 ω 2 H )2 + ω 2 H γ2 + (ω2 0 ω2 H) 2 ω 2 H γ2 ) 2 ω 2 γ 2 ω 2 γ 2 ( ) ω0 2 ωh 2 2 ωh 2 γ 2 ω0 2 ωh 2 ±ω H γ ωh 2 ± γ ω H ω0 2 0 ω H ± γ ( γ ) 2 ω 2 ± 0 2 (3.78) 2 γ 2 ist Halbwertsbreite 4. Beispiel: Ve (t)

5 3.8. SCHATUNGEN MIT RÜCKKOPPUNG; OPERATIONSVERSTÄRKER 77 Sperrfilter siehe Hausaufgaben Kompliziertere Filter können u.a. mit Operationsverstärkern realisiert weren. 3.8 Schaltungen mit Rückkopplung; Operationsverstärker Definition eines Operationsverstärkers (OP): I OP in us iealer OP: us λ in λ (3.79) I OP 0 (3.80) Innenleben eines OP siehe E-Technik Einfache Schaltungen spielen eine wichtige Rolle insbesonere in er Regelungstechnik. z.b:

6 78 KAPITE 3. EEKTRISCHE SCHATUNGEN I V (t) Z Beschreibung er Schaltung: äußere Masche V passiv e + Z I + I + 0 (3.8) äußere Masche V + I + 0 (3.82) V Gleichung λ V (3.83) Für λ enlich muss Gleichungssystem explizit gelöst weren. Für λ muss Eingangsspannung am OP gleich null sein, also V 0 I ( Ve passiv + Z V ) a 0 (3.84) Diskussion von Spezialfällen: Ve passiv Z V pass E e Z E e (3.85) Z R ; R 2 R 2 R E e (3.86)

7 3.8. SCHATUNGEN MIT RÜCKKOPPUNG; OPERATIONSVERSTÄRKER 79 Absolutwert er Spannung wir um R 2 R verstärkt, Phasenverschiebung um 80 Kombination von iealen OP un Schiebewierstänen ermöglicht eine beliebige Verstärkung einzustellen. Dies kann für sogenannte Proportionalverstärker verwenet weren, z.b. wenn (T jetzt T soll ) mit T Temperatur. Z ; R Der Vorfaktor C R hängt nicht von er Frequenz ab. R E e (3.87) C R E(t) t (3.88) Änerung er Spannung E(t) für beliebige Überlagerung von Frequenzen. Dies kann für sogenannte Differenzregler benutzt weren, z.b. wir reuziert wenn Temperatur stark ansteigt, selbst wenn ie Solltemperatur noch nicht erreicht ist. Z R ; i ω i ω R E (3.89) ist analog zu Punkt 2 Wenn ie Multiplikation mit i ω multiplizieren beeutet, ann heißt Multiplikation mit i ω integrieren. (t) R E e (3.90)

8 80 KAPITE 3. EEKTRISCHE SCHATUNGEN Integrationsregler. Wenn ie Temperatur in er Vergangenheit im Mittel unter er Solltemperatur gelegen hat, ann kann mit einem Integrationsregler ie Heizleistung erhöht weren. P I D R C R e (t) Z P {}}{ R + I {}}{ D + {}}{ i ω R e Oft kann man sowohl en Proportional- (P), Integrations- (I) un Differenzregler (D) zu einem PID-Regler kombinieren, um eine gewisse (mit er Zeit schwankene) Größe nahe an ihrem Sollwert zu halten. Die Wahl er Parameter bearf ann eine genaue Analyse es Gesamtsystems, was Gegenstan er Regelungstechnik ist. Prinzipiell können Regler aber schon mit relativ einfachen Prinzipien er verstanen weren.