9 Geometrische Wahrscheinlichkeit
|
|
- Daniela Hafner
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 9 Geometrische Wahrscheinlichkeit Bertrand1 := t, u, v, k, d, a, b<, s = Sqrt@3Dê2; t=1ê2; u=randomreal@8-1, 1<D; v=randomreal@8-sqrt@1 - u 2 D, Sqrt@1-u 2 D<D; k=-uê v; d =8u, v<.8u, v<êv; 8a, b<=8, < ê.nsolve@8äk +d, ä 1<, 8, <D; k1 = 8Yellow, Disk@80, 0<, 1D<; k2 = 8Pink, Disk@80, 0<, td<; k3 = 8Yellow, Disk@84, 0<, 1D<; k4 = 8Pink, Disk@84, 0<, td<; dr=line@88-s, -t<, 8s, -t<, 80, 1<, 8-s, -t<<d; l1 = 8Blue, Thickness@0.007D, Line@8a, b<d<; l2 = Line@882.8, 0<, 85.1, 0<<D; l3 = Line@884, -1.2<, 84, 1.1<<D; p1 = 8Blue, PointSize@0.02D, Point@84 + u, v<d<; t1 = Tet@"", 85.3, 0<D; t2 = Tet@"", 84, 1.3<D; t3 = Tet@"W", 84.9, 0.9<D; Show@Graphics@8k1, k2, l1, dr, k3, k4, p1, l2, l3, t1, t2, t3<ddd Bertrand2 := Module@8s, t, r, j, u, v, k, d, a, b<, s = Sqrt@3Dê2; t=1ê2; r=randomreal@d;j=randomreal@80, 2p<D; u=cos@jd; v=r Sin@jD; k =-uêv; d =8u, v<.8u, v<êv; 8a, b<=8, < ê.nsolve@8äk +d, ä 1>, 8, <F; k1 = 8Yellow, Disk@80, 0<, 1D<; k2 = 8Pink, Disk@80, 0<, td<; dr=line@88-s, -t<, 8s, -t<, 80, 1<, 8-s, -t<<d; l1 = 8Blue, Thickness@0.007D, Line@8a, b<d<; l2 = Line@883.3, -1<, 84.6, -1<<D; l3 = Line@883.5, -1.2<, 83.5, 1.1<<D; r1 = 8Yellow, Rectangle@83.5, -1<, 84.5, 1<D<; r2 = 8Pink, Rectangle@83.5, -1<, 84, 1<D<; p1 = 8Blue, PointSize@0.022D, Point@ r, -1 + j ê p<d<; t1 = Tet@"r", 84.8, -1<D; t2 = Tet@"j", 83.5, 1.3<D; t3 = Tet@"W", 84.7, 0.8<D; Show@Graphics@8k1, k2, l1, dr, r1, r2, p1, l2, l3, t1, t2, t3<ddd ZerbrechenEinesStabes := Module@8, <, =RandomReal@D; =RandomReal@D; l1 = Line@880, 0<, 81, 0<<D; p1 = 8PointSize@0.03D, Red, Point@8, 0<D<; p2 = 8PointSize@0.03D, Blue, Point@8, 0<D<; p3 = 8PointSize@0.03D, Point@80, 0<D<; p4 = 8PointSize@0.03D, Point@81, 0<D<; t1 = Tet@"0", 80, -0.1<D; t2 = Tet@"1", 81, -0.1<D; t3 = Tet@"", 8, -0.1<D; t4 = Tet@"", 8, -0.1<D; Show@Graphics@8l1, p1, p2, p3, p4, t1, t2, t3, t4<d, AspectRatio Æ 0.09DD WartenAufBus := Module@8, <, = RandomReal@80, 4<D; = RandomReal@80, 6<D; l1 = 8Red, Thickness@0.02D, Line@880.02, 1<, 8, 1<<D<; l2 = 8Blue, Thickness@0.02D, Line@880.02, 2<, 8, 2<<D<; t1 = Tet@"", 8+0.3, 1<, 8-1, 0<D; t2 = Tet@"", 8+0.3, 2<, 8-1, 0<D; t3 = Tet@" Zeit", 86.1, 0<, 8-1, 0<D; Show@Graphics@8l1, l2, t1, t2, t3<d, AspectRatio Æ 0.2, Aes Æ True, Ticks Æ 8Range@6D, 8<<DD
2 09_Geometrische_Wahrscheinlichkeit.nb 35 Dreieck := z, p, q<, z = RandomReal@D; 8p, q< = Abs@8p, q< ê.nsolve@8p 2 + q 2 ä z 2, H-pL 2 + q 2 ä 2 <, 8p, q<dp1td; l1 = Line@88-0.2, -0.2<, 81.2, -0.2<<D; l2 = Line@880, -0.2<, 80, 0.7<<D; l3 = 8Red, Thickness@0.015D, Line@880, 0<, 8, 0<<D<; l4 = 8Green, Thickness@0.015D, Line@880, 0.3<, 8, 0.3<<D<; l5 = 8Blue, Thickness@0.015D, Line@880, 0.6<, 8z, 0.6<<D<; t1 = Tet@"", 8+0.1, 0<, 8-1, 0<D; t2 = Tet@"", 8+0.1, 0.3<, 8-1, 0<D; t3 = Tet@"z", 8z + 0.1, 0.6<, 8-1, 0<D; t4 = Tet@"0", , -0.35<, 8-1, 0<D; t5 = Tet@"1", 80.9, -0.35<, 8-1, 0<D; ze = 88Red, Thickness@0.015D, Line@882, 0<, 82 +, 0<<D<, 8Green, Thickness@0.015D, Line@882 +, 0<, 82 + p, q<<d<, 8Blue, Thickness@0.015D, Line@882 + p, q<, 82, 0<<D<<; te = Tet@"nicht möglich", 82.5, 0<D; eck = If@+>z&& + z>&& z + >, ze, ted; p1 = 8White, PointSize@0D, Point@8-0.1, -0.1<D<; p2 = 8White, PointSize@0D, Point@83, 0.7<D<; Show@Graphics@8l1, l2, l3, l4, l5, t1, t2, t3, t4, t5, eck, p1, p2<ddd QuadratischeGleichung := Module@8p, q, <, p = RandomReal@D; q = RandomReal@D; =ê.nsolve@ p +qä0, D; l1 = Line@88-0.2, -0.2<, 81.2, -0.2<<D; l2 = Line@880, -0.2<, 80, 0.3<<D; l3 = 8Red, Thickness@0.02D, Line@880.01, 0<, 8p, 0<<D<; l4 = 8Green, Thickness@0.02D, Line@880.01, 0.2<, 8q, 0.2<<D<; t1 = Tet@"p", 8p + 0.1, 0<, 8-1, 0<D; t2 = Tet@"q", 8q + 0.1, 0.2<, 8-1, 0<D; t3 = Tet@"0", , -0.3<, 8-1, 0<D; t4 = Tet@"1", 81, -0.3<, 8-1, 0<D; t5 = If@Im@P1TD ä 0, Tet@, 82, 0<D, Tet@"keine reellen Lösungen", 82, 0<DD; Show@Graphics@8l1, l2, l3, l4, t1, t2, t3, t4, t5<ddd Buffon := Module@8, j, a, b, c, d<, = RandomReal@D; j = RandomReal@80, p<d; a= Cos@pê3Dê 2, 0.4+ Sin@pê6Dê 2<; b =80.2- Cos@pê 3Dê2, Sin@pê6Dê2<; c= Cos@jDê3, + Sin@jDê3<; d= Cos@jDê3, - Sin@jDê3<; l11 = 8Thickness@0.015D, Line@880, 0<, 81, 0<<D<; l12 = 8Thickness@0.015D, Line@882, 0<, 83, 0<<D<; l21 = 8Thickness@0.015D, Line@880, 1<, 81, 1<<D<; l22 = 8Thickness@0.015D, Line@882, 1<, 83, 1<<D<; l3 = 8Blue, Line@880.2, 0<, 80.2, 1<<D<; l4 = 8Blue, Line@880.2, 0.4<, 80.5, 0.4<<D<; l5 = 8Thickness@0.015D, RGBColor@1, 0, 1D, Line@8a, b<d<; l6 = 8Thickness@0.015D, Red, Line@8c, d<d<; pu = 8PointSize@0.04D, Point@80.2, 0.4<D<; t1 = Tet@"A", 80.05, 0.6<D; t2 = Tet@"j", 80.45, 0.5<D; t3 = Tet@"", 80.35, 0.2<D; Show@Graphics@8l11, l12, l21, l22, l3, l4, l5, l6, pu, t1, t2, t3<d, PlotRange Æ 8-0.2, 1.2<DD Manche Fragestellungen der elementaren Wahrscheinlichkeitsrechnung führen auf Probleme über Zufallseperimente mit geometrischer Wahrscheinlichkeit. Wir klären in diesem Kapitel, was man unter einem derartigen Zufallseperiment versteht und erläutern an Hand von Beispielen deren praktische Anwendung. Um die diesen Beispielen zu Grunde liegenden zufälligen Mechanismen besser verstehen zu können, wurden kleine Mathematica-Prozeduren entwickelt, mit denen sich diese Mechanismen simulieren lassen. 9.1 Geometrische Wahrscheinlichkeit Das kontinuierliche Analogon zum Laplace-Eperiment ist ein Zufallseperiment mit geometrischer Wahrscheinlichkeit. Wir klären zuerst, was man unter einem derartigen Zufallseperiment versteht und erläutern an einem Beispiel die mit der Gleichwahrscheinlichkeit der Realisierungen zusammenhängende Problematik Definition: Unter einem Zufallseperiment mit geometrischer Wahrscheinlichkeit versteht man ein Zufallseperiment, bei dem der Ereignisraum W eine Teilmenge des n ist, welche einen endlichen elementar-
3 36 09_Geometrische_Wahrscheinlichkeit.nb geometrischen Inhalt (Länge, Flächeninhalt, Volumen, ) besitzt und die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Ereignisses A Œ W proportional zum Inhalt von A ist. Beispiele für Zufallseperimente mit geometrischer Wahrscheinlichkeit sind ä die zufällige Auswahl einer im 1D gleichverteilten Zahl; ä die zufällige Auswahl eines im 1Dµ@0, 1D gleichverteilten Punktes; ä das zufällige Eintreffen eines Signals im TD Bemerkung: Besitzt ein Zufallseperiment mit geometrischer Wahrscheinlichkeit den Ereignisraum W, so ist das Wahrscheinlichkeitsmaß auf W mit Inhalt von A Inhalt der günstigen = Inhalt vonw Inhalt der möglichen Fälle ein geeignetes Modell für den dieses Zufallseperiment steuernden Zufall. Achtung! Soll die eines Ereignisses A nach der Formel "Inhalt der günstigen Fälle durch Inhalt der möglichen Fälle" berechnet werden, so achte man bereits bei der Konstruktion des Ereignisraums W darauf, dass Ereignisse mit gleichem Inhalt auch tatsächlich gleich wahrscheinlich sind. Man überprüfe diese "Gleichwahrscheinlichkeit" stets durch ein Gedankeneperiment. Mit einem berühmten Beispiel wollen wir die mit dieser Art von Zufallseperimenten zusammenhängende Problematik verdeutlichen: Beispiel (Paradoon von BERTRAND): Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine "zufällig" ausgewählte Sehne des Einheitskreises, welche nicht durch dessen Mittelpunkt geht, länger ist, als eine Seite des in diesen Kreis eingeschriebenen gleichseitigen Dreiecks? Lösung: Die folgende Zeichnung soll diese Fragestellung erläutern. Sie zeigt den (grau schattierten) Einheitskreis, ein in diesen Einheitskreis eingeschriebenes gleichseitiges Dreieck sowie eine zufällig ausgewählte Sehne des Einheitskreises, welche länger ist, als eine Seite dieses Dreiecks. Der Mittelpunkt dieser Sehne liegt damit innerhalb des (rot schattierten) Kreises mit Radius 1ê2. 1. Lösungsmöglichkeit: Jede nicht durch den Mittelpunkt des Einheitskreises gehende Sehne lässt sich eindeutig durch ihren Mittelpunkt 8, < beschreiben. Damit ist W=88, <, œ mit 0< < 1< ein möglicher Ereignisraum für dieses Zufallseperiment. Das Ereignis "die gewählte Sehne ist länger als eine Seite des in diesen Einheitskreis eingeschriebenen gleichseitigen Dreiecks" entspricht damit der Menge A=88, <œw 0< < 1ê4< und wir erhalten = Flächeninhalt von A Flächeninhalt von W = 1 4 Mit dieser Wahl von W ist ein spezieller Zufallsmechanismus verbunden, mit dem eine Sehne des Einheitskreises ausgewählt wird. Dieser Zufallsmechanismus lässt sich mit dem Befehl Betrand1 simulieren. In der linken Zeich-
4 09_Geometrische_Wahrscheinlichkeit.nb 37 nung ist dabei die simulierte Sehne dargestellt, die rechte Zeichnung zeigt den dieser Sehne entsprechenden, im Ereignisraum W gleichverteilten Punkt: Bertrand1 W 2. Lösungsmöglichkeit: Beschreibt man den Mittelpunkt einer derartigen Sehne nicht durch seine kartesischen Koordinaten 8, < sondern durch seine Polarkoordinaten 8r, j<, so ist W=88r, j< 0< r<1mit 0 j<2p< ein möglicher Ereignisraum für dieses Zufallseperiment. Das Ereignis "die gewählte Sehne ist länger als eine Seite des in diesen Einheitskreis eingeschriebenen gleichseitigen Dreiecks" entspricht dann der Menge A=88r, j<œw 0<r<1ê2< und wir erhalten = Flächeninhalt von A Flächeninhalt von W = 1 2 Mit dieser Wahl von W ist ein ganz anderer Zufallsmechanismus verbunden, mit dem eine Sehne des Einheitskreises ausgewählt wird. Dieser Zufallsmechanismus lässt sich mit dem Befehl Betrand2 simulieren. In der linken Zeichnung ist dabei wieder die simulierte Sehne dargestellt, die rechte Zeichnung zeigt wieder den dieser Sehne entsprechenden, im Ereignisraum W gleichverteilten Punkt: Bertrand2 j W r Vergleicht man diese beiden Zufallsmechanismen, indem man damit längere Zeit eperimentiert, so erkennt man, dass es sich dabei um verschiedene Mechanismen für die Auswahl einer Sehne des Einheitskreises handelt. Der Grund für die Verschiedenartigkeit dieser beiden Zufallsmechanismen liegt darin, dass kongruente Flächenelemente des ersten Ereignisraums keineswegs stets kongruenten Flächenelementen des zweiten Ereignisraums entsprechen. Beispielsweise treten beim zweiten Mechanismus häufiger Sehnen auf, deren Mittelpunkt in der Nähe des Ursprungs liegt. Wir haben es bei diesen beiden Zufallsmechanismen also um zwei verschiedene Verfahren der "zufälligen" Auswahl von Sehen zu tun. Der Grund für das vermeintliche Paradoon liegt somit letztlich in der hinterlistigen Fragestellung: Es wird nämlich nur von einer "zufällig" ausgewählten Sehne gesprochen ohne näher zu präzisieren, wie dieses "zufällige" Auswählen zu verstehen ist.
5 38 09_Geometrische_Wahrscheinlichkeit.nb 9.2 Beispiele Wir behandeln nun Beispiele für Zufallseperimente mit geometrischen Wahrscheinlichkeiten. Bei derartigen Beispielen empfiehlt es sich, den Ereignisraum W sowie das interessierende Ereignis A stets zeichnerisch darzustellen und zu überlegen, ob kongruente (infinitesimal kleine) Bereiche von W stets gleichwahrscheinlichen Ereignissen entsprechen. Oft muss dazu der in der Angabe nur oberflächlich erwähnte Begriff "zufällig" genauer interpretiert werden. Eine Simulation des der Fragestellung zu Grunde liegenden Zufallseperiments ist oft hilfreich Beispiel: Ein Stab der Länge 1 wird zufällig in drei Teile zerlegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man aus diesen drei Teilen ein Dreieck bilden kann? Lösung: Wir bezeichnen die beiden Bruchstellen mit und, und interpretieren den Ausdruck "zufällig" in der Weise, dass die beiden Bruchstellen im 1D gleich verteilt sind (was eine sehr starke Vereinfachung der Realität darstellt). Der Zufallsmechanismus, der diese Art der Zerlegung des Stabes in drei Teile beschreibt, kann mit dem Befehl ZerbrechenEinesStabes simuliert werden: ZerbrechenEinesStabes 0 1 Ein mathematisches Modell für diesen Zufallsmechanismus ist der Ereignisraum W=88, <, œ@0, 1D< zusammen mit der geometrischen Wahrscheinlichkeit. Das Ereignis "aus den drei Teilstücken lässt sich ein Dreieck bilden" entspricht damit der Menge A=88, <œw min@, D<1ê2Ï ma@, D-min@, D<1ê2Ï 1-ma@, D<1ê2< Wir veranschaulichen die Mengen W (gelb, zum Teil verdeckt) und A (blau) und erkennen an Hand dieser Zeichnung, dass Flächeninhalt von A Flächeninhalt vonw = 1 4 ist. Eine näherungsweise Ermittlung der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses A durch Simulation liefert ein entsprechendes Resultat:
6 09_Geometrische_Wahrscheinlichkeit.nb 39 n = ; stichprobe = Table@RandomReal@80, 1<, 2D, 8n<D; ereignis = Select@stichprobe, Min@ D<1ê2 && Ma@ D - Min@ D < 1ê2 && 1-Ma@ D < 1ê2 &D; Length@ereignisD ên êê N Clear@n, stichprobe, ereignisd Beispiel: An einer Omnibushaltestelle trifft alle 4 Minuten ein Bus der Linie I und alle 6 Minuten ein Bus der Line II ein. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ä der nächste Bus ein Bus der Linie I ist; ä innerhalb der nächsten zwei Minuten ein Bus eintrifft. Lösung: Zunächst ist unklar, wieso bei dieser Fragestellung der Zufall überhaupt eine Rolle spielt. Interpretiert man aber die Fragestellung so, dass ab einem zufällig gewählten Zeitpunkt die Wartezeit auf den nächsten Bus der Linie I im 4D und die Wartezeit auf den nächsten Bus der Linie II im 6D gleichverteilt ist und die Busse unabhängig voneinander (also nicht im Takt) verkehren, so liegt dieser Fragestellung ein bestimmter Zufallsmechanismus zu Grunde, der mit dem Befehl WartenAufBus simuliert werden kann: WartenAufBus Zeit Ein mathematisches Modell für diesen Zufallsmechanismus ist der Ereignisraum W=88, < 0 4und 0 6< zusammen mit der geometrischen Wahrscheinlichkeit. Die beiden Ereignisse "der nächste Bus ist ein Bus der Linie I" und "innerhalb der nächsten zwei Minuten trifft ein Bus ein" entsprechen damit den Mengen A=88, <œw < < und B=88, <œw min@, D< 2< Wir veranschaulichen die Mengen W (gelb, zum Teil verdeckt), A (blau) und B (rot) A B und erkennen an Hand dieser Zeichnung, dass Flächeninhalt von A Flächeninhalt vonw = 2 3 Flächeninhalt von B Flächeninhalt vonw = 2 3 gilt. Eine näherungsweise Ermittlung der Wahrscheinlichkeiten dieser beiden Ereignisse A und B durch Simulation liefert ein entsprechendes Resultat:
7 40 09_Geometrische_Wahrscheinlichkeit.nb n = ; stichprobe = Table@8RandomReal@80, 4<D, RandomReal@80, 6<D<, 8n<D; ereignisa=select@stichprobe, P1T< P2T &D; ereignisb = Select@stichprobe, Min@ D<2&D; Length@ereignisAD ên êê N Length@ereignisBDên êê N Clear@n, stichprobe, ereignisa, ereignisbd Beispiel: Wir betrachten drei Stäbe mit im 1D gleichverteilten Längen, und z. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich aus diesen drei Stäben ein Dreieck bilden lässt? Lösung: Der Zufallsmechanismus, mit dem die Längen,, z der drei Stäbe ausgewählt werden, um daraus ein Dreieck zu bilden, ist offensichtlich. Dieser Mechanismus lässt sich mit dem Befehl Dreieck simulieren (falls ein Dreieck gebildet werden kann, so wird dieses Dreieck gezeichnet; falls kein Dreieck gebildet werden kann, so erscheint der Tet "nicht möglich"): Dreieck z 0 1 Ein mathematisches Modell für diesen Zufallsmechanismus ist der Ereignisraum W=88,, z<,, zœ@0, 1D< zusammen mit der geometrischen Wahrscheinlichkeit. Das Ereignis "aus den drei Stäben lässt sich ein Dreieck bilden" entspricht damit der Menge A=88,, z<œw + > z und +z> und z+ > < Wir veranschaulichen diese beiden Mengen wieder zeichnerisch (die Menge W entspricht einem achsenparallelen Würfel mit der Kantenlänge 1; die Menge A erhält man, indem man von diesem Würfel W drei Pramiden mit Spitzen in den Punkten 81, 0, 0<, 80, 1, 0< und 80, 0, 1< abschneidet) und erkennen an Hand dieser Zeichnung, dass offenbar
8 09_Geometrische_Wahrscheinlichkeit.nb 41 Volumen von Volumen vonw = = 1 2 ist. Eine näherungsweise Ermittlung der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses A durch Simulation liefert wieder ein entsprechendes Resultat: n = ; stichprobe = Table@RandomReal@80, 1<, 3D, 8n<D; ereignis = Select@stichprobe, P1T+ P2T> P3T && P2T+ P3T> P1T && P3T+ P1T> P2T &D; Length@ereignisD ên êê N Clear@n, stichprobe, ereignisd Beispiel: Die Zahlen p und q werden zufällig aus dem 1D ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung p +q=0 reell sind? Lösung: Der Zufallsmechanismus, mit dem die beiden Zahlen p und q aus dem 1D ausgewählt werden, ist offensichtlich. Er lässt sich mit dem Befehl QuadratischeGleichung simulieren (falls die Lösungen der quadratischen Gleichung p +q=0 reell sind, so werden diese Lösungen in Form einer Liste ausgegeben; falls die Lösungen dieser Gleichung nicht reell sind, so erscheint der Tet "keine reellen Lösungen") QuadratischeGleichung q p keine reellen Lösungen 0 1 und durch den Ereignisraum W=88p, q< p, qœ@0, 1D< zusammen mit der geometrischen Wahrscheinlichkeit beschreiben. Da die Lösungen der quadratischen Gleichung p +q=0 bekanntlich genau dann reell sind, wenn die Beziehung p 2 q gilt, entspricht das uns interessierende Ereignis "die Lösungen der quadratischen Gleichung p +q=0 sind reell" der Menge A=88p, q<œw p 2 q< Wir veranschaulichen wieder die Mengen W (gelb, zum Teil verdeckt) und A (blau) q 1 1 p und erkennen an Hand dieser Zeichnung, dass offensichtlich
9 42 09_Geometrische_Wahrscheinlichkeit.nb Flächeninhalt von Flächeninhalt von W = 1 Ÿ p 2 1 p= 0 3 gilt. Eine näherungsweise Ermittlung der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses A durch Simulation liefert wieder ein entsprechendes Resultat: n = ; stichprobe = Table@RandomReal@80, 1<, 2D, 8n<D; ereignis = Select@stichprobe, P1T 2 P2T &D; Length@ereignisD ên êê N Clear@n, stichprobe, ereignisd Beispiel (BUFFON'sches Nadelproblem): Wir ziehen in einer Ebene waagrechte, parallele Geraden im Abstand A und lassen auf diese Ebene zufällig Nadeln der Länge L fallen. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass L < A ist, jede Nadel also höchstens eine dieser Gerade schneiden kann. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig auf diese Ebene fallende Nadel eine Gerade schneidet? Lösung: Die Lage der Nadel auf der Ebene ist durch ihren Mittelpunkt 8, < und durch den Winkel j, den sie mit den Geraden einschließt, vollständig bestimmt. Die -Koordinate des Mittelpunktes der Nadel hat dabei keinen Einfluss darauf, ob die Nadel eine Gerade schneidet. Wir können daher aus Smmetriegründen annehmen, dass der Mittelpunkt der Nadel auf einer Strecke zwischen zwei ausgewählten benachbarten parallelen Geraden liegt. Es liegt nahe, den Zufallsmechanismus, mit dem eine Nadel auf die Ebene fällt, in der Weise zu interpretieren, dass die -Koordinate des Mittelpunktes im AD gleichverteilt ist und (unabhängig davon) der Winkel j, den die Nadel mit den Geraden einschließt, im pd gleichverteilt ist. Dieser Zufallsmechanismus lässt sich mit dem Befehl Buffon simulieren: Buffon A j Ein mathematisches Modell für diesen Zufallsmechanismus ist der Ereignisraum W=88j, < 0 j p und 0 A< zusammen mit der geometrischen Wahrscheinlichkeit. Das Ereignis "die Nadel schneidet eine Gerade" entspricht damit der Menge S=88j, <œw L 2 Sin@jD oder A- L 2 Sin@jD< Wir veranschaulichen die Mengen W (gelb, zum Teil verdeckt) und S (blau) wieder zeichnerisch
10 09_Geometrische_Wahrscheinlichkeit.nb 43 A p j und erkennen an Hand dieser Zeichnung, dass Flächeninhalt von S Flächeninhalt vonw = 2 Ap Ÿ p L 0 2 Sin@jD j= L Ap ist. Eine näherungsweise Ermittlung der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses S durch Simulation liefert ebenfalls ein entsprechendes Resultat: L = 2; A=3; n = ; stichprobe = Table@8RandomReal@80, 2 p<d, RandomReal@80, A<D<, 8n<D; ereignis=select@stichprobe, P2T L Sin@ P1TDê2»» P2T A-L Sin@ P1TDê2 &D; Length@ereignisDên êê N Clear@L, A, n, stichprobe, ereignisd
11 Unabhängige Ereignisse
11 Unabhängige Ereignisse In engem Zusammenhang mit dem Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit steht der Begriff der Unabhängigkeit von Ereignissen. Wir klären zuerst, was man unter unabhängigen Ereignissen
MehrSoll ein Zufallsexperiment näher untersucht werden, so muss zuerst geklärt werden, was man als dessen mögliche Ausgänge ansieht:
2 Zufallsexperimente Nachdem wir uns spielerisch mit dem Phänomen "Zufall" beschäftigt und den Begriff "Zufallsexperiment" bereits intuitiv erfasst haben, wollen wir in diesem Kapitel den Begriff "Zufallsexperiment"
MehrDWT 1.4 Rechnen mit kontinuierlichen Zufallsvariablen 240/476 c Ernst W. Mayr
1.4.4 Laplace-Prinzip in kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsräumen Das folgende Beispiel zeigt, dass im kontinuierlichen Fall die Bedeutung von gleichwahrscheinlich nicht immer ganz klar sein muss. Bertrand
MehrMathe-Camp 2017 Stochastik: Geometrische Wahrscheinlichkeiten
Mathe-Camp 2017 Stochastik: Geometrische Wahrscheinlichkeiten Jo rn Saß, sass@mathematik.uni-kl.de Fachbereich Mathematik, TU Kaiserslautern Arbeitsgruppe Stochastische Steuerung und Finanzmathematik Kaiserslautern
MehrDWT 1.4 Rechnen mit kontinuierlichen Zufallsvariablen 234/467 Ernst W. Mayr
1.4.2 Kontinuierliche Zufallsvariablen als Grenzwerte diskreter Zufallsvariablen Sei X eine kontinuierliche Zufallsvariable. Wir können aus X leicht eine diskrete Zufallsvariable konstruieren, indem wir
Mehr12 Zufallsvariable und Verteilungen
12 Zufallsvariable und Verteilungen VariationenMitWiederholung@n_Integer, k_integerd := Distribute@Table@Table@i, 8i, 1, n
Mehr10 Bedingte Wahrscheinlichkeit
10 Bedingte Wahrscheinlichkeit Vor allem dann, wenn man es mit mehrstufigen Zufallsexperimenten zu tun hat, kommt dem Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit eine bedeutende Rolle zu. Wir klären dazu
MehrDr. H. Grunert Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Vorlesungscharts. Vorlesung 1. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Vorlesungscharts Vorlesung 1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsvorgänge und Zufallsereignisse Definitionen der Wahrscheinlichkeit Seite 1 von 11 Chart 1: Vorgänge deterministisch zufällig
MehrSelbsteinschätzungstest
D-MATH ETHZ-Semesterbeginn HS 0 Selbsteinschätzungstest Dieser Test bietet Ihnen die Möglichkeit, Ihre mathematischen Schulkenntnisse abzurufen und zu überprüfen. Die Teilnahme ist freiwillig. Bei jeder
MehrInhaltsverzeichnis. Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Einleitung 5 1 Zahlen 7 1.1 Zahlen und Zahlenmengen....................................... 7 1.2 Rechnen mit Zahlen und Termen....................................
Mehr12 Übungen zu Gauß-Algorithmus
Aufgaben zum Vorkurs B S. 2 Übungen zu Gauß-Algorithmus 2x x 2 = 7x +, 5x 2 = 7 Aufgabe 6: Aufgabe 7: Aufgabe 8: Aufgabe 9: 2x x 2 = x +2x 2 = 2 2x x 2 = 7x +, 5x 2 =, 5 x 2x 2 = x +x 2 = 5 2x +x 2 = 4
MehrAufgabe 2 Die Abbildung zeigt den Graphen einer ganzrationalen Funktion f.
Aufgabe 1 Die Abbildung zeigt den Graphen G f einer für 1 x 3 mit x R definierten Funktion f, die bei x= 1; x=1und x=3 Nullstellen besitzt. Die Funktion F mit F( x)= 1 6 ( x2 +2 x+3 ) 3 ist eine Stammfunktion
Mehrf(x nk ) = lim y nk ) = lim Bemerkung 2.14 Der Satz stimmt nicht mehr, wenn D nicht abgeschlossen oder nicht beschränkt ist, wie man z.b.
Proposition.13 Sei f : D R stetig und D = [a, b] R. Dann ist f(d) beschränkt. Außerdem nimmt f sein Maximum und Minimum auf D an, d.h. es gibt x max D und ein x min D, so dass f(x max ) = sup f(d) und
MehrP 0 f (0) schneidet die Gerade mit der Gleichung x Ermitteln Sie die Koordinaten von S.
Zentralabitur 015 im Fach Mathematik Analysis 1 Im nebenstehenden Bild sind die Graphen dreier Funktionen f, g und h dargestellt Geben Sie an, bei welcher der drei Funktionen es sich um eine Stammfunktion
Mehr18 Bedingte Verteilung
18 Bedingte Verteilung In diesem Kapitel wollen wir uns mit der Verteilung (Verteilungsdichte, Verteilungsfunktion, Erwartungswert) einer Zufallsvariablen Z befassen, wenn man über die zusätzliche Information
MehrAbitur 2011 G8 Musterabitur Mathematik Geometrie VI
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur G8 Musterabitur Mathematik Geometrie VI In einem kartesischen Koordinatensystem ist ein Würfel W der Kantenlänge gegeben. Die Eckpunkte G ( ) und D ( ) legen
MehrSelbsteinschätzungstest
D-MATH ETHZ-Semesterbeginn HS 05 Selbsteinschätzungstest Dieser Test bietet Ihnen die Möglichkeit, Ihre mathematischen Schulkenntnisse abzurufen und zu überprüfen. Die Teilnahme ist freiwillig. Bei jeder
MehrElementare Geometrie Vorlesung 19
Elementare Geometrie Vorlesung 19 Thomas Zink 28.6.2017 1.Gleichungen von Kreisen Es sei OAB ein kartesisches Koordinatensystem der Ebene E. Für einen Punkt P mit den Koordinaten (x, y) schreiben wir auch
MehrKonstruierbarkeit des Siebzehnecks
Konstruierbarkeit des Siebzehnecks Der Kinofilm Die Vermessung der Welt war Anstoß, sich mit der Konstruktion des regelmäßigen Siebzehnecks und damit den Gedankengängen des berühmten Mathematikgenies Carl
MehrHerbst b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t und Ihren Schnittpunkte A mit der x-achse. t geht durch B(1/2) und hat die Steigung m=-6 :
Herbst 24 1. Gegeben ist eine Funktion f : mit den Parametern a und b. a) Bestimmen Sie a und b so, dass der Graph von f durch den Punkt B(1/2) verläuft und die Tangente t in B parallel ist zur Geraden
MehrAchtung: Die Aufgabenkarten werden nacheinander ausgegeben! 1
Achtung: Die Aufgabenkarten werden nacheinander ausgegeben! 1 Aufgabe 1 Zeichne in Geogebra ein beliebiges Dreieck und konstruiere den Umkreismittelpunkt U, den Schwerpunkt S und den Höhenschnittpunkt
MehrEinführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Lösungsvorschläge zu Übungsblatt 4
TUM, Zentrum Mathematik Lehrstuhl für Mathematische Physik WS 3/4 Prof. Dr. Silke Rolles Thomas Höfelsauer Felizitas Weidner Tutoraufgaben: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Lösungsvorschläge
MehrEinige Bemerkungen zu den verallgemeinerten Kegelschnitten von Zvonimir Durčević
Definition 1. Es seien B, D Punkte und c eine Gerade oder ein Kreis in einer Ebene ε siehe Abb. 1 bzw.. Lässt man einen Punkt auf c laufen, dann durchläuft der Schnittpunkt X der Geraden g : D mit der
MehrGymnasium Hilpoltstein Grundwissen 8. Jahrgangsstufe
Gmnasium Hilpoltstein Grundwissen 8. Jahrgangsstufe Wissen / Können Aufgaben und Beispiele. Proportionalität Proportionale Zuordnungen und sind proportional zueinander, wenn zum n-fachen Wert von der n-fache
MehrHistorische Wurzeln der stochastischen Geometrie
Historische Wurzeln der stochastischen Geometrie Matthias Wehmer April 2010 Seite 2 Historische Wurzeln der stochastischen Geometrie April 2010 Inhalt dieser Präsentation 1. Buffonsches Nadelproblem 2.
MehrMaturitätsprüfung 2012 Mathematik Teil 1
Maturitätsprüfung 2012 Mathematik Teil 1 Klasse: 4NP Lehrer: Fi Dauer: 90 Min. Die im Unterricht verwendete Formelsammlung ist als einziges Hilfsmittel zugelassen. Alle Lösungen müssen ordentlich und nachvollziehbar
MehrMathematischer Vorkurs NAT-ING1
Mathematischer Vorkurs NAT-ING1 (02.09. 20.09.2013) Dr. Robert Strehl WS 2013-2014 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 40 Kapitel 12 Komplexe Zahlen Kapitel 12 Komplexe Zahlen Mathematischer Vorkurs
MehrMathematische Kurven sind uns aus den verschiedensten Zusammenhängen vertraut. Wir stellen hier kurz die wichtigsten Begriffe zusammen.
10.1. Ebene Kurven Mathematische Kurven sind uns aus den verschiedensten Zusammenhängen vertraut. Wir stellen hier kurz die wichtigsten Begriffe zusammen. Parameterdarstellungen einer Kurve sind stetige
MehrTag der Mathematik 2018
Mathematische Hürden Aufgaben mit Mathematische Hürden H1 Aufgabe H1 Ein normales Buch wird zufällig aufgeschlagen. Das Produkt der beiden sichtbaren Seitenzahlen ist 156. Welche Seitenzahlen sind es?
MehrBITTE WENDEN ETH-AUFNAHMEPRÜFUNG Mathematik II (Geometrie / Statistik)
ETH-AUFNAHMEPRÜFUNG 08 aufrunden). Mathematik II (Geometrie / Statistik) Die Note N berechnet sich für die Punktzahl P gemäss der Formel N = P /9 +, wobei auf halbe Noten zu runden ist (Viertelnote Aufgabe
MehrP (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,...
2.3 Zufallsvariablen 2.3 Zufallsvariablen Meist sind die Ereignisse eines Zufallseperiments bereits reelle Zahlen. Ist dies nicht der Fall, kann man Ereignissen eine reelle Zahl zuordnen. Zum Beispiel
MehrSelbsteinschätzungstest Auswertung und Lösung
Selbsteinschätzungstest Auswertung und Lösung Abgaben: 46 / 587 Maximal erreichte Punktzahl: 8 Minimal erreichte Punktzahl: Durchschnitt: 7 Frage (Diese Frage haben ca. 0% nicht beantwortet.) Welcher Vektor
Mehrπ und die Quadratur des Kreises
π und die Quadratur des Kreises Schnupper-Uni für SchülerInnen 8. Februar 2006 Dr. Michael Welter http://www.math.uni-bonn.de/people/welter 1 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Gegeben sei eine Menge
MehrMathematischer Vorkurs NAT-ING II
Mathematischer Vorkurs NAT-ING II (02.09.2013 20.09.2013) Dr. Jörg Horst WS 2013-2014 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 252 Kapitel 15 Komplexe Zahlen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite
MehrRäumliche Bereichsintegrale mit Koordinatentransformation
Räumliche Bereichsintegrale mit Koordinatentransformation Gegeben seien ein räumlicher Bereich, das heißt ein Körper K im R 3, und eine von drei Variablen abhängige Funktion f f(,, z). Die Aufgabe bestehe
MehrSo viel wie möglich Extremwertaufgaben aus Geometrie
So viel wie möglich Extremwertaufgaben aus Geometrie Andreas Ulovec 1 Einführung Die meisten Leute sind mit Extremwertaufgaben vertraut: Was ist das flächengrößte Dreieck, das man in einen Kreis einschreiben
Mehr4.18 Buch IV der Elemente
4.18 Buch IV der Elemente Buch IV behandelt die folgenden Konstruktionsaufgaben: Buch IV, Einem Kreis ein Dreieck mit vorgegebenen Winkeln einschreiben. Buch IV, 3 Einem Kreis ein Dreieck mit vorgegebenen
Mehr1.2 Berechne den Inhalt der Fläche, die das Schaubild von mit 5P der -Achse einschließt.
Diese Aufgaben sind zu bearbeiten. Sie können nicht abgewählt werden. Aufgabe A1 1. Gegeben ist die Funktion mit 2 3; 1.1 Eine der folgenden Abbildung zeigt das Schaubild. 6P Untersuche für jede der Abbildungen,
MehrGrundwissen Mathematik 8.Jahrgangsstufe G8
Grundwissen Mathematik 8.Jahrgangsstufe G8 Funktionale Zusammenhänge Direkte Proportionalität Entspricht bei zwei einander zugeordneten Größen und y dem -, -, -, k-fachen der einen Größe das -, -, -, k-fache
MehrKULTUSMINISTERIUM DES LANDES SACHSEN-ANHALT
KULTUSMINISTERIUM DES LANDES SACHSEN-ANHALT Abitur April/Mai 2002 Mathematik (Grundkurs) Arbeitszeit: 210 Minuten Der Prüfling wählt je eine Aufgabe aus den Gebieten G 1, G 2 und G 3 zur Bearbeitung aus.
Mehrb) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes D so, dass die Punkte A, B, C und D ein Quadrat bilden.
Aufgabe 1: 12 Punkte Gegeben sind die Punkte A(12 / -6 / 2), B(10 / 2 / 0) und C(4 / 2 / 6). a) Zeigen Sie, dass die Punkte A, B und C die Eckpunkte eines rechtwinkligen und gleichschenkligen Dreiecks
MehrKursarbeit Nr.1 LK Mathematik NAME :
Kursarbeit Nr.1 LK Mathematik 7. 10. 2004 1. Bestimmen Sie eine Stammfunktion F zur angegebenen Funktion f! a) f :R R, f x =1 1 x 100 b) f :R R, f x =sin 2 x 5 x c) f :R R, f x = x 5 x 3 2 2 x 2 2. Berechnen
MehrInformatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
lausthal Begriffe Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,
Mehr13 Diskrete Verteilungen
13 Diskrete Verteilungen DiscreteEmpiricalPDF@daten_, z_d := Module@8n, min, max, uni
MehrHerbst mit den Parametern a und b
Herbst 4. Gegeben ist eine Funktion f :f()=a+ b mit den Parametern a und b. a) Bestimmen Sie a und b so, dass der Graph von f durch den Punkt B(/) verläuft und die Tangente t in B parallel ist zur Geraden
MehrMathematik Name: Klausur Nr.6 K1 Punkte: /30 Note: Schnitt:
K1 Punkte: /30 Note: Schnitt: 0.1.18 Pflichtteil (etwa 40 min) Ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen abgegeben sein, ehe der GTR und die Formalsammlung verwendet
MehrSCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG Mathematik (Grundkursniveau) Arbeitszeit: 210 Minuten
Mathematik (Grundkursniveau) Arbeitszeit: 210 Minuten Es sind die drei Pflichtaufgaben und eine Wahlpflichtaufgabe zu lösen. Der Prüfling entscheidet sich für eine Wahlpflichtaufgabe. Die zur Bewertung
Mehr4 x
Quadratwurzeln und reelle Zahlen. Bestimme die Definitionsmenge des Wurzelterms in G = R a) T(x) = x b) x c) x d) x e) x +. Vereinfache a) 0 + 90 b) 6 7 + 08 7 7 c) 0 0 + d) 6. Mache den Nenner rational
Mehr1 Rund um die Kugel. a) Mathematische Beschreibung
Rund um die Kugel a) Mathematische Beschreibung Die Punkte der Oberfläche haben vom Mittelpunkt M alle die Entfernung r. Oder, mit den Mitteln der analytischen Geometrie: Für alle Punkte der Kugeloberfläche
MehrInformatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
lausthal Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Begriffe Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,
MehrMündliche Matura-Aufgaben: Analysis
Mündliche Matura-Aufgaben: Analsis A1) Schreiben Sie mit dem Summenzeichen. 15 + 19 + 23 +... + 87 A2) Berechnen Sie: lim x x 3 + 3x 5 x x 3 A3) Welches Glied der Folge 8, 24, 72, 216,... ist das erste,
MehrPasserellen Prüfungen 2009 Mathematik
Passerellen Prüfungen 2009 Mathematik 1. Analysis: Polynom und Potenzfunktionen Gegeben sind die beiden Funktionen 21 und 32. a) Bestimmen Sie die Null, Extremal und Wendepunkte der beiden Funktionen.
MehrVektorrechnung Aufgabe aus Abiturprüfung Bayern GK
Vektorrechnung Aufgabe aus Abiturprüfung Bayern GK 1. In einem kartesischen Koordinatensystem sind der Punkt C(4 4, die Ebene E 1 : x 1 x +x 3 + = und die Gerade g: x = ( + λ( 1 gegeben. a Zeigen Sie,
MehrAufgaben für die Klassenstufen 11/12
Aufgaben für die Klassenstufen 11/12 Einzelwettbewerb Gruppenwettbewerb Speedwettbewerb Aufgaben OE1, OE2, OE3 Aufgaben OG1, OG2, OG3, OG4 Aufgaben OS1, OS2, OS3, OS4, OS5, OS6, OS7, OS8 Aufgabe OE1: Ein
Mehr4. Mathematikschulaufgabe
Achtung! Alle Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma runden. 1 1.0 Gegeben ist die Funktion f 1 mit y = x + bx + c (b, c ). Der Graph zu f 3 1 ist die Parabel p 1, die durch die Punkte A(-/-4) und
MehrMaturitätsprüfung 2010 Mathematik Teil 1
Maturitätsprüfung 2010 Mathematik Teil 1 Klasse: 4Sa Lehrer: Fi Dauer: 90 Min. Die Formelsammlung der Neuen Kantonsschule Aarau ist als einziges Hilfsmittel zugelassen. Die Lösungen sollen sauber und übersichtlich
MehrK2 ÜBUNGSBLATT 2 F. LEMMERMEYER
K2 ÜBUNGSBLATT 2 F. LEMMERMEYER Aufgabe 1. Hier ein knappes Beispiel, wie man einen Punkt P an einer Geraden g spiegelt (Wer sich gerne was merkt: Lotfußpunkte auf Ebene mit Lotgerade, Lotfußpunkte auf
Mehr1 Dreiecke. 1.6 Ähnliche Dreiecke. Mathematische Probleme, SS 2019 Donnerstag 2.5. $Id: dreieck.tex,v /05/03 14:05:29 hk Exp $
$Id: dreieck.tex,v 1.60 2019/05/03 14:05:29 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.6 Ähnliche Dreiecke Wir hatten zwei Dreiecke kongruent genannt wenn in ihnen entsprechende Seiten jeweils dieselbe Länge haben und dann
MehrDie komplexen Zahlen
Die komplexen Zahlen Wir haben gesehen, dass die Menge R der reellen Zahlen einen angeordneten Körper bildet und dass für die Menge Q der rationalen Zahlen entsprechendes gilt. In beiden Körpern sind Gleichungen
MehrPflichtaufgaben Teil A. 1. Dargestellt ist der Graph einer ganzrationalen Funktion f, der punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist.
Pflichtaufgaben Teil A 1. Dargestellt ist der Graph einer ganzrationalen Funktion f, der punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist. a) Geben Sie je eine Stelle an, an der die Funktion f die folgende
MehrÜbungen zur Vorlesung Elementare Geometrie
Westfälische Wilhelms-Universität Münster Mathematisches Institut al. Prof. Dr. Lutz Hille Dr. Karin Haluczok Übungen zur Vorlesung Elementare Geometrie Sommersemester 00 Musterlösung zu Blatt 3 vom 6.
MehrZusammenfassung Stochastik
Zusammenfassung Stochastik Die relative Häufigkeit Ein Experiment, dessen Ausgang nicht vorhersagbar ist, heißt Zufallsexperiment (ZE). Ein Würfel wird 40-mal geworfen, mit folgendem Ergebnis Augenzahl
MehrBerufsmaturitätsprüfung 2006 Mathematik
GIBB Gewerblich-Industrielle Berufsschule Bern Berufsmaturitätsschule Berufsmaturitätsprüfung 2006 Mathematik Zeit: 180 Minuten Hilfsmittel: Hinweise: Formel- und Tabellensammlung ohne gelöste Beispiele,
MehrM Thaleskreis über AC. Damit ist das Dreieck ABC rechtwinklig; nach der ersten Eigenschaft sogar gleichschenklig recht-
1987 Runde 1 Aufgabe 1 In der Figur sind die drei herausgehobenen Punkte die Mittelpunkte der Kreisbögen. Bestimme durch geometrische Überlegungen die Größe des Winkels α, der von den beiden sich schneidenden
MehrSerie 1 Klasse Vereinfache. a) 2(4a 5b) b) 3. Rechne um. a) 456 m =... km b) 7,24 t =... kg
Serie 1 Klasse 10 1. Berechne. 1 a) 4 3 b) 0,64 : 8 c) 4 6 d) ³. Vereinfache. 1x²y a) (4a 5b) b) 4xy 3. Rechne um. a) 456 m =... km b) 7,4 t =... kg 4. Ermittle. a) 50 % von 30 sind... b) 4 kg von 480
MehrI /" z = a + jb. (8.1)
7 Kurven in der Ebene 8. Kap. aus J.Weinzirl, K. Bauer: Mathematik - Repetitorium für Studienanfänger, 2. Auflage, Lehrstuhl für Hochfrequenztechnik Universität Erlangen - Nürnberg Aufgabe 7.11 n den Sc~nittpunkten
MehrSchriftliche Abiturprüfung Grundkursfach Mathematik. - Ersttermin -
Sächsisches Staatsministerium Geltungsbereich: für Kultus - Allgemein bildendes Gymnasium - Abendgymnasium und Kolleg Schuljahr 2002/03 - Schulfremde Prüfungsteilnehmer Schriftliche Abiturprüfung Grundkursfach
MehrDie Konstruktion des regelmäÿigen n-ecks mit Zirkel und Lineal
Die Konstruktion des regelmäÿigen n-ecks mit Zirkel und Lineal Für welche natürliche Zahlen n 3 kann man das regelmäÿige n-eck mit Zirkel und Lineal konstruieren? Wir haben in der Vorlesung gesehen, dass
MehrOberfläche von Körpern
Definition Die Summe der Flächeninhalte der Flächen eines Körpers nennt man Oberflächeninhalt. Quader Der Oberflächeninhalt eines Quaders setzt sich folgendermaßen zusammen: O Q =2 h b+2 h l+2 l b=2 (h
MehrKlausur zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag
MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 01 Klausur 01.10.01 Klausur zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag 1. a) Ein angeordneter Körper (K, +,,
MehrAbitur 2010 Mathematik LK Geometrie V
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur Mathematik LK Geometrie V Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des R der Punkt A( ) und die Menge der Punkte B k ( k) mit k R. Die Punkte
MehrMathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/22 20:37:01 hk Exp hk $
$Id: dreieck.tex,v 1.7 013/04/ 0:37:01 hk Exp hk $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck In der letzten Sitzung hatten wir den sogenannten Inkreis eines Dreiecks eingeführt, dies ist der Kreis
MehrD-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 16 Dr. Ana Cannas. MC-Serie 3. Kurven in der Ebene Einsendeschluss: 18. März 2016, 16 Uhr (MEZ)
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 16 Dr. Ana Cannas MC-Serie 3 Kurven in der Ebene Einsendeschluss: 18. März 216, 16 Uhr (MEZ) Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Sie dürfen während
MehrAufgabe 5.1 Geben Sie zu folgenden komplexen Zahlen die Polarkoordinatendarstellung an, w z w z.
Kapitel 5 Aufgaben Verständnisfragen Aufgabe 5. Geben Sie zu folgenden komplexen Zahlen die Polarkoordinatendarstellung an z i z + i z 3 + 3i). Zu den komplexen Zahlen mit Polarkoordinaten r 4 ϕ 4 π r
MehrEinführung in die Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 24 Unter den drei klassischen Problemen der antiken Mathematik versteht man (1) die Quadratur des Kreises, (2) die Dreiteilung
MehrLösungen zur Vorrundenprüfung 2004
Lösungen zur Vorrundenprüfung 2004 Zuerst einige Bemerkungen zum Punkteschema. Eine vollständige und korrekte Lösung einer Aufgabe ist jeweils 7 Punkte wert. Für komplette Lösungen mit kleineren Fehlern
MehrTag der Math. 2017, Klassenstufe 9/10 Lösung zu Aufgabe 1
Tag der Math. 017, Klassenstufe 9/10 Lösung zu Aufgabe 1 Den Preis eines Spitzers bezeichnen wir mit S, den Preis eines Bleistiftes mit B und den Preis eines adiergummis mit. Es gilt laut Voraussetzung:
MehrABITURPRÜFUNG 2001 GRUNDFACH MATHEMATIK
ABITURPRÜFUNG 2001 GRUNDFACH MATHEMATIK (HAUPTTERMIN) Arbeitszeit: Hilfsmittel: 210 Minuten Taschenrechner (nicht programmierbar, nicht grafikfähig) Tafelwerk Der Prüfungsteilnehmer wählt von den Aufgaben
MehrZufallszahlen Mathematik zum Nachbilden von Zufälligkeit SommerUni 2013 Bergische Universität Wuppertal Autor: Prof. Dr.
Zufallszahlen Mathematik zum Nachbilden von Zufälligkeit SommerUni 23 Bergische Universität Wuppertal Autor: Prof. Dr. Roland Pulch Aufgabe: Konstruiere Zufallszahlen aus der Menge {,, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
MehrABITURPRÜFUNG 2009 GRUNDFACH MATHEMATIK
ABITURPRÜFUNG 009 GRUNDFACH MATHEMATIK (HAUPTTERMIN) Bearbeitungszeit: 10 Minuten Hilfsmittel: Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Taschenrechner (nicht programmierbar, nicht grafikfähig) Tafelwerk
Mehr1 Angeordnete Körper und Anordnung
1 ANGEORDNETE KÖRPER UND ANORDNUNG 1 1 Angeordnete Körper und Anordnung Die nächste Idee, die wir interpretieren müssen ist die Anordnung. Man kann zeigen, dass sie nicht über jeden Körper möglich ist.
MehrKapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsraume
Kapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsraume 1. Einfuhrung 1.1 Motivation Interpretation der Poisson-Verteilung als Grenzwert der Binomialverteilung. DWT 1.1 Motivation 195/460 Beispiel 78 Wir betrachten
MehrAufgaben für die Klassenstufen 11/12
Aufgaben für die Klassenstufen 11/12 mit Lösungen Einzelwettbewerb Gruppenwettbewerb Speedwettbewerb Aufgaben OE1, OE2, OE3 Aufgaben OG1, OG2, OG3, OG4 Aufgaben OS1, OS2, OS3, OS4, OS5, OS6, OS7, OS8 Aufgabe
MehrMathematische Probleme, SS 2015 Donnerstag $Id: dreieck.tex,v /04/23 18:14:20 hk Exp $
$Id: dreieck.tex,v 1.16 015/04/3 18:14:0 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck m Ende der letzten Sitzung hatten wir gezeigt das die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks sich immer
Mehr6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze.
6 Flächeninhalt 6.1 Vierecke 6.1.1 Def.: Seien A, B, C, D vier verschiedene Punkte in E, keine drei auf einer Geraden, so dass AB, BC, CD, DA einander höchstens in Endpunkten treffen. Dann bilden diese
MehrUnterrichtsreihe zur Parabel
Unterrichtsreihe zur Parabel Übersicht: 1. Einstieg: Satellitenschüssel. Konstruktion einer Parabel mit Leitgerade und Brennpunkt 3. Beschreibung dieser Punktmenge 4. Konstruktion von Tangenten 5. Beweis
MehrAbitur 2016 Mathematik Geometrie V
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur Mathematik Geometrie V Betrachtet wird der abgebildete Würfel A B C D E F G H. Die Eckpunkte D, E, F und H dieses Würfels besitzen in einem kartesischen
Mehr1.4. Funktionen, Kurven und Parameterdarstellungen
.4. Funktionen, Kurven und Parameterdarstellungen Reellwertige Funktionen Eine reelle Relation ist eine beliebige Teilmenge F der Ebene (also eine ebene "Fläche"). Von einer reellen Funktion spricht man,
MehrSCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2010 Mathematik (Leistungskursniveau) Arbeitszeit: 300 Minuten
Mathematik (Leistungskursniveau) Arbeitszeit: 300 Minuten Es sind die drei Pflichtaufgaben und eine Wahlpflichtaufgabe zu lösen. Der Prüfling entscheidet sich für eine Wahlpflichtaufgabe. Die zur Bewertung
MehrAufgaben zu Anwendungen zur Vektorrechnung
Aufgaben zu Anwendungen zur Vektorrechnung 1. Von einer Strecke AB mit dem Mittelpunkt M sind bekannt: A(/5) und M(-4/3). Berechnen Sie B.. Die Punkte A(3/7) und B(11/-1) sind gegenüberliegende Ecken eines
MehrProjektionskurve Abiturprüfung LK Bayern 2003
Projektionskurve Abiturprüfung LK Bayern 03 In einem kartesischen Koordinatensystem des R 3 ist die Ebene H: x 1 + x 2 + x 3 8 = 0 sowie die Schar von Geraden ( a 2 ) ( ) 3a g a : x = 0 a 2 + λ 3a 8, λ
MehrKapitel ML:IV. IV. Statistische Lernverfahren. Wahrscheinlichkeitsrechnung Bayes-Klassifikation Maximum-a-Posteriori-Hypothesen
Kapitel ML:IV IV. Statistische Lernverfahren Wahrscheinlichkeitsrechnung Bayes-Klassifikation Maximum-a-Posteriori-Hypothesen ML:IV-1 Statistical Learning c STEIN 2005-2011 Definition 1 (Zufallsexperiment,
MehrAufgaben zur Übung der Anwendung von GeoGebra
Aufgabe 1 Aufgaben zur Übung der Anwendung von GeoGebra Konstruieren Sie ein Quadrat ABCD mit der Seitenlänge AB = 6,4 cm. Aufgabe 2 Konstruieren Sie ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen AB = c = 6,4 cm,
MehrGrundwissen 9 Bereich 1: Rechnen mit reellen Zahlen
Bereich 1: Rechnen mit reellen Zahlen Rechenregeln Berechne jeweils: 10 2 7 Teilweises Radizieren a) = 3 b) = c) Nenner rational machen a) = b) = c) = Bereich 2: Quadratische Funktionen und Gleichungen
MehrKantonsschule Solothurn RYS SS11/ Nach welcher Vorschrift wird der Funktionswert y aus x berechnet? Welcher Definitionsbereich ID ist sinnvoll?
RYS SS11/1 - Übungen 1. Nach welcher Vorschrift wird der Funktionswert y aus berechnet? Welcher Definitionsbereich ID ist sinnvoll? a) : Seitenlänge eines Quadrates (in cm) y: Flächeninhalt des Quadrates
MehrMathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 Vorlesung 8
TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 212/1 Vorlesung 8 Integration über ebene Bereiche Wir betrachten einen regulären Bereich in der x-y Ebene, der einfach zusammenhängend ist.
MehrI. Reelle Zahlen GRUNDWISSEN MATHEMATIK - 9. KLASSE
I. Reelle Zahlen 1. Die Menge der rationalen Zahlen und die Menge der irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen. Nenne Beispiele für rationale und irrationale Zahlen.. Aus negativen
Mehr