Vorlesungszyklus - Maus

Transkript

1 Vorlesungszyklus - Maus 1

2 Funktionale Zusammenhänge Funktionale Zusammenhänge 2

3 Funktionale Zusammenhänge Die uns umgebende Welt steckt voller funktionaler Zusammenhänge: 3

4 Funktionale Zusammenhänge Beispiele Die uns umgebende Welt steckt voller funktionaler Zusammenhänge: Bremsweg Bremsweg Geschwindigkeit? ODER Geschwindigkeit Bremsweg? 4

5 Funktionale Zusammenhänge Beispiele Füllhöhe Würde grundsätzlich auch die Zuordnung Füllhöhe verstrichene Zeit einen Sinn ergeben? 5

6 Funktionale Zusammenhänge Beispiele Füllhöhe Würde grundsätzlich auch die Zuordnung Füllhöhe verstrichene Zeit einen Sinn ergeben? Es muss nicht immer sein: 6

7 Funktionale Zusammenhänge Beispiele Füllhöhe Würde grundsätzlich auch die Zuordnung Füllhöhe verstrichene Zeit einen Sinn ergeben? Es muss nicht immer ISBN-Nummer Buchtitel Preis sein: ODER nach: Büchter & Henn Buchtitel ISBN-Nummer Preis 7

8 Funktionale Zusammenhänge Betrachtungsebenen Unterschiedliche Betrachtungsebenen 8

9 Funktionale Zusammenhänge Betrachtungsebenen 2 Betrachtungsebenen quantitativ qualitativ 9

10 Funktionale Zusammenhänge Betrachtungsebenen 2 Betrachtungsebenen qualitativ Unterschiedliche Tiefen der Betrachtung: quantitativ Je mehr mathematische Werkzeuge zur Verfügung stehen, desto tiefer können Betrachtungen und Einsichten sein Formel liefert eine Erklärung für als Formel darstellbar nicht als Formel darstellbar Formel liefert keine Erklärung 10

11 Funktionale Zusammenhänge Betrachtungsebenen qualitativ Es können nur grundsätzliche Aussagen getroffen werden, z.b.: quantitativ als Formel darstellbar nicht als Formel darstellbar Formel liefert eine Erklärung für Formel liefert keine Erklärung 11

12 Funktionale Zusammenhänge Betrachtungsebenen qualitativ Es können nur grundsätzliche Aussagen getroffen werden, z.b.: Die Füllhöhe nimmt zu. quantitativ als Formel darstellbar nicht als Formel darstellbar Da der Graph nicht gleichmäßig verläuft, wird es Störungen geben. Formel liefert eine Erklärung für Formel liefert keine Erklärung 12

13 Funktionale Zusammenhänge Betrachtungsebenen qualitativ Möchte man tiefere Einsicht in den Vorgang gewinnen, benötigt man quantitative Informationen: quantitativ als Formel darstellbar nicht als Formel darstellbar ZAHLEN Formel liefert eine Erklärung für Formel liefert keine Erklärung 13

14 Funktionale Zusammenhänge Betrachtungsebenen qualitativ Nun können etwa folgende Fragen beantwortet werden: quantitativ als Formel darstellbar nicht als Formel darstellbar Formel liefert eine Erklärung für Formel liefert keine Erklärung 14

15 Funktionale Zusammenhänge Betrachtungsebenen qualitativ Nun können etwa folgende Fragen beantwortet werden: Wann wurde welche Füllhöhe erreicht? quantitativ als Formel darstellbar nicht als Formel darstellbar Wie schnell steigt der Füllpegel? (absolut bzw. durchschnittlich) Formel liefert eine Erklärung für Formel liefert keine Erklärung 15

16 Funktionale Zusammenhänge Betrachtungsebenen qualitativ quantitativ Für einen solchen unregelmäßigen Verlauf wird es in der Regel keine Formel geben, die diesen Verlauf beschreibt. Formel liefert eine Erklärung für als Formel darstellbar nicht als Formel darstellbar Formel liefert keine Erklärung 16

17 Funktionale Zusammenhänge Betrachtungsebenen Das Schnurproblem 17

18 Funktionale Zusammenhänge Betrachtungsebenen Auf dem Boden wird an zwei vorgegebenen Punkten eine Schnur befestigt, die ein Meter länger ist als der Abstand zwischen den beiden Punkten. Anschließend wird die Schnur in der Mitte in die Höhe gezogen. Frage: Was geschieht mit der Schnurhöhe, wenn die Länge der Schnur zunimmt? 18

19 Funktionale Zusammenhänge Betrachtungsebenen begründete Vermutungen aufstellen quantitativ qualitativ nimmt ab bleibt gleich wird größer als Formel darstellbar nicht als Formel darstellbar Formel liefert eine Erklärung für Formel liefert keine Erklärung 19

20 Funktionale Zusammenhänge Betrachtungsebenen Sammeln von konkreten Messdaten quantitativ qualitativ als Formel darstellbar nicht als Formel darstellbar Formel liefert eine Erklärung für Formel liefert keine Erklärung 20

21 Funktionale Zusammenhänge Betrachtungsebenen Aufstellen einer Formel qualitativ quantitativ als Formel darstellbar nicht als Formel darstellbar Formel liefert eine Erklärung für Formel liefert keine Erklärung 21

22 Funktionale Zusammenhänge Betrachtungsebenen 22

23 Funktionale Zusammenhänge Betrachtungsebenen 23

24 Funktionale Zusammenhänge Betrachtungsebenen Erklärung finden qualitativ quantitativ als Formel darstellbar nicht als Formel darstellbar Formel liefert eine Erklärung für Formel liefert keine Erklärung 24

25 Funktionale Zusammenhänge Betrachtungsebenen qualitativ quantitativ als Formel darstellbar nicht als Formel darstellbar Formel liefert eine Erklärung für Formel liefert keine Erklärung 25

26 Schicke Überleitung Um diese Schlussfolgerung ziehen zu können, müssen Schüler folgendes wissen bzw. erkennen können: 1. Mit zunehmender Schnurlänge a wächst der Radikand streng monoton. 2. Die Wurzelfunktion ist streng monoton steigend. 26

27 Schicke Überleitung Und weiter gedacht: Im Unterricht wird man schnell und oft auf Fragen stoßen, deren Antwort nicht ganz so leicht aus dem Funktionsterm abgelesen werden kann, z.b. Fragen nach optimalen Verpackungsgrößen. 27

28 Schicke Überleitung Fazit: Der Schulunterricht in der Sekundarstufe wird schnell die Kenntnis des Funktionsbegriffs erforderlich machen. 28

29 Funktionsbegriff(e) Funktionsbegriff(e) 29

30 Funktionsbegriff(e) 30

37 Funktionsbegriff(e) Gibt es eigentlich einen Unterschied zwischen den Begriffen Funktion und Abbildung? 37

39 Zwischenbilanz Zwischenbilanz 39

40 Zwischenbilanz Wie könnte nun ein guter Mathematikunterricht aussehen? konkreter Kontext (innermathematisch) (außermathematisch) konkrete Fragestellung (erarbeiten lassen) mathematischer Werkzeugkasten Funktionsterm (aufstellen lassen) 40

41 Zwischenbilanz KV Schnittwinkelberechnungen Parameteruntersuchungen Werkzeug Flächenberechnungen Tangenten bestimmen Extremwertuntersuchungen 41

42 Zwischenbilanz KV Schnittwinkelberechnungen Parameteruntersuchungen Werkzeug Flächenberechnungen Tangenten bestimmen Extremwertuntersuchungen 42

43 Kurvendiskussion Kurvendiskussion 43

44 Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie? Kurvendiskussion? JA! Aber: WIE? 44

45 Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie? Kurvendiskussion? JA! Aber: WIE? Dazu zunächst ein Paar Expertenmeinungen aus der Praxis zum Status Quo: 45

46 Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie? Der Mathematiker Pro Kommentar Es werden zumindest technische Fertigkeiten vermittelt. Dieser Aspekt gehört nicht zu den primären Zielen, die der Mathematikunterricht vermitteln sollte. In vielen Fällen könnte dies auch von einem CAS übernommen werden. In vielen Bundesländern ist dies auch schon gängige Praxis (z.b. Niedersachsen). 46

47 Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie? Der Mathematiker Contra Kommentar Es werden keine Kurven diskutiert. Der Untersuchungsgegenstand ist in der Tat nicht immer eine Kurve im eigentlichen mathematischen Sinne. Stört in der Praxis aber nicht wirklich. 47

48 Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie? Der Mathematiker Contra Kommentar Es werden keine Kurven diskutiert. Es werden keine Kurven diskutiert. Der Untersuchungsgegenstand ist in der Tat nicht immer eine Kurve im eigentlichen mathematischen Sinne. Stört in der Praxis aber nicht wirklich. Stimmt. Es findet keine Diskussion statt. Es wird lediglich ein Algorithmus abgearbeitet. Dies gilt es zu ändern. 48

49 Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie? Der Mathematiker Contra Kommentar Es werden keine Kurven diskutiert. Es werden keine Kurven diskutiert. Selten anwendungsrelevante Kontexte. Und wenn, dann sind das künstliche Scheinprobleme. Der Untersuchungsgegenstand ist in der Tat nicht immer eine Kurve im eigentlichen mathematischen Sinne. Stört in der Praxis aber nicht wirklich. Stimmt. Es findet keine Diskussion statt. Es wird lediglich ein Algorithmus abgearbeitet. Dies gilt es zu ändern. Stimmt. Dies gilt es zu ändern. 49

50 Der Mathematik-Didaktiker Pro Kommentar

51 Kleiner Einschub: Heuristik:??? 51

52 Kleiner Einschub: Heuristik: Die Kunst mit begrenztem Wissen und wenig Zeit zu guten Lösungen zu kommen. 52

53 Der Mathematik-Didaktiker Contra Kommentar Kein Erlernen und Erleben heuristischer Denk- und Arbeitsweisen. Stimmt. Die Schüler werden nicht aufgefordert eigene, andere, elegante, Lösungsansätze zu finden. Für die Schüler gibt es nicht wirklich etwas zu entdecken! Dies gilt es zu ändern. 53

54 Der Mathematik-Didaktiker Contra Kommentar Kein Erlernen und Erleben heuristischer Denk- und Arbeitsweisen. Damit zusammenhängend: Die typische Kurvendiskussion ist einseitig ergebnisorientiert angelegt. Stimmt. Die Schüler werden nicht aufgefordert eigene, andere, elegante, Lösungsansätze zu finden. Für die Schüler gibt es nicht wirklich etwas zu entdecken! Dies gilt es zu ändern. Stimmt. Dies gilt es zu ändern. Auch in der Schule gilt: Der Weg ist das Ziel. 54

55 Der Mathematik-Lehrer Pro Kommentar Typ A Schüler sind beschäftigt und im Allgemeinen nicht überfordert. 1. Seien wir ehrlich: manchmal ist es notwendig, dass man die Schüler auf einfache Weise lange beschäftigen kann. Aber: dies kann natürlich nicht der grundsätzliche Anspruch an einen Aufgabentyp sein. 2. Lieber das Niveau senken als sich Gedanken zu machen, wie man den Stoff vernünftig aufbereiten kann? 55

56 Der Mathematik-Lehrer Pro Kommentar Typ A Es handelt sich um einen korrekturfreundlichen Unterrichtsgegenstand. Das ist ein Aspekt der Arbeit eines Lehrers, der in der Praxis ein großes Gewicht besitzt. Eine schriftliche Leistungskontrolle sollte stets korrekturfreundlich konzipiert werden, ohne dabei anspruchslos zu sein. 56

57 Der Mathematik-Lehrer Contra Kommentar Typ B Eintönig und erstarrt. Stimmt. Dies gilt es zu ändern. 57

58 Der Mathematik-Lehrer Contra Kommentar Typ B Eintönig und erstarrt. Keine inhaltliche Tiefe. Stimmt. Dies gilt es zu ändern. Stimmt. Dies gilt es zu ändern. 58

59 Der Mathematik-Schüler Pro Kommentar Typ A Im Gegensatz zu Beweisen und Denksport-Aufgaben sind das richtige Aufgaben: Man weiß, was man machen soll und was für die Klausur zu lernen ist. Und das ist auch gut so! Brot für die Armen. Solche Aufgaben(teile) muss es auch weiterhin geben! 59

60 Der Mathematik-Schüler Contra Kommentar Typ B Keine umfassenden Denkanstrengungen: Eine Kurvendiskussion, bei der es nichts zu entdecken gibt, langweilt mich. Da lächelt der Mathematik- Didaktiker : Dies gilt es zu ändern. 60

61 Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie? Zusammenfassung 61

62 Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie? Änderungsprogramm für didaktisch erstrebenswerte Kurvendiskussionen Bei der Untersuchung von Funktionen und deren Graphen sollte eine wirkliche Diskussion stattfinden. Aufgaben variieren und anhaltenden Eintönigkeit vermeiden. Mehr (echte und sinnvolle) anwendungsbezogene Kontexte. Mehr inhaltliche Tiefe. Es sollte die Möglichkeit von heuristischen Entdeckungsreisen gegeben sein. Mehr Prozessorientierung bei der Aufgabenstellung. Und nicht vergessen: Nicht nur fordern, auch fördern!!!! 62

63 Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie? Der Weg zum Ziel 63

64 Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie? Es ist möglich, durch leichte Akzentverschiebungen und Ergänzungen den herkömmlichen Aufgaben eine neue Qualität zu verleihen: 64

65 Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie? qualitative Analysis: Integration neuer Technologien: veränderte Aufgabenstellungen stärkere Betonung nicht-algorithmischer Elemente Geogebra CAS aktive Mathematik: Erkunden Vermuten Begründen Darstellen 65

66 Kurvendiskussion: Beispiel Ein konkretes Beispiel 66

67 Kurvendiskussion: Beispiel 67

68 Kurvendiskussion: Beispiel Vorteile dieses Einstiegs und dieser Aufgabenstellung: 68

69 Kurvendiskussion: Beispiel Vorteile dieses Einstiegs und dieser Aufgabenstellung: Durch den frühen Blick auf die Funktionsgraphen bekommt der Schüler sofort einen Eindruck von den wichtigsten Eigenschaften der Funktion. Der Graph ist hier nicht irgendein nebulöses Ziel, sondern Basis der Untersuchungen. 69

70 Kurvendiskussion: Beispiel Vorteile dieses Einstiegs und dieser Aufgabenstellung: Durch den frühen Blick auf die Funktionsgraphen bekommt der Schüler sofort einen Eindruck von den wichtigsten Eigenschaften der Funktion. Der Graph ist hier nicht irgendein nebulöses Ziel, sondern Basis der Untersuchungen. Dadurch wird eine heuristisch-aktive Bearbeitung möglich:

71 Kurvendiskussion: Beispiel Vorteile dieses Einstiegs und dieser Aufgabenstellung: Durch den frühen Blick auf die Funktionsgraphen bekommt der Schüler sofort einen Eindruck von den wichtigsten Eigenschaften der Funktion. Der Graph ist hier nicht irgendein nebulöses Ziel, sondern Basis der Untersuchungen. Dadurch wird eine heuristisch-aktive Bearbeitung möglich: 1. Punkt (0/4) ablesen und Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzen 2. Schnittstelle 2 ablesen und in die entsprechende Gleichung einsetzen 3. Per Geogebra / Funktionsplotter gezielt und (schriftlich) begründet ausprobieren 71

72 Kurvendiskussion: Beispiel Die Aufgabe: Die Vorteile: 72

73 Kurvendiskussion: Beispiel Die Aufgabe: Die Vorteile: Diese Frage ist sehr offen formuliert, so dass Schüler zum Erkunden, Vermuten und Begründen aufgefordert sind. Dies kann wird eine richtige Diskussion zur Folge haben. 73

74 Kurvendiskussion: Beispiel Die Aufgabe: Die Vorteile: Diese Frage ist sehr offen formuliert, so dass Schüler zum Erkunden, Vermuten und Begründen aufgefordert sind. Dies kann wird eine richtige Diskussion zur Folge haben. Auch hier gibt es zumindest zwei unterschiedliche Herangehensweisen: 1. Wer will, kann hier den sicheren Weg einer normalen Kurvendiskussion gehen. Vorteil: Man wird durch die Abbildung zu Beginn der Aufgabe geleitet. 2. Mit Hilfe eines Funktionsplotters kann der Parameter a schnell variiert werden. Die beobachteten Invarianten müssen dann z.b. mit Hilfe des Funktionsterms begründet werden. 74

75 Kurvendiskussion: Beispiel Die Aufgabe: Die Vorteile: Der rechnerische Weg ist die sichere Variante, bei der auch eher leistungsschwache Schüler wissen, wie zumindest der Lösungsweg aussieht: f a (-x) = -f a (x). Bei der Variante ohne Rechnung muss der Schüler Überblick und Kombinationsgeschick beweisen, z.b.: 75

76 1. Analysis verständlich unterrichten: Rainer Dankwarts & Dankwart Vogel, Spektrum Akademischer Verlag, München 2006, 1. Auflage 2. Elementare Analysis: Andreas Büchter & Hans-Wolfgang Henn, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Zum vereinfachten Grenzwertbegriff in der Differentialrechnung: Werner Blum, MU: Mathematikunterricht, Jahrgang 25, Heft 1, 1979, KlettVerlag Stuttgart, S

77 Abschnitt Funktionale Zusammenhänge Kurvendiskussion Extremwertprobleme Kriterien Ableitung Quelle Büchter & Henn Danckwerts & Vogel Danckwerts & Vogel Danckwerts & Vogel Danckwerts & Vogel Blum 77