Kapitel 3 Mathematik. Kapitel 3.7. Geometrie Stereometrie REPETITIONEN

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1 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kapitel Mathematik Kapitel.7 Geometrie Stereometrie REPETITIONEN Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 8772 Nidfurn Ausgabe: Juni 2009

2 1 Würfel skizieren Skizieren Sie fünf Würfel mit der 4/2/1 Karo-Kombination so, dass drei Würfel übereinander, ein Würfel zu oberst links und der letzte Würfel unten nach hinten angeordnet ist.

3 2 Würfel genau beobachtet Was kann man bei allen Würfeln beobachten? Alle Würfel haben sechs Seiten. Immer ergeben die gegenüberliegenden Augen die Zahl sieben. 1 1 Welche Augenzahl befindet sich rechts? 2 2 Welche Augenzahl befindet sich unten? Welche Augenzahl befindet sich hinten?

4 Zahlenwürfel kippen Die unteren Zahlenwürfel sind zu kippen, wobei die Endlage des vorhergehenden Würfels als Ausgangslage des nachfolgenden Wurfes gilt. 1 Welche Augen befinden sich nach einer vielmaligen Kippung nach rechts? 2 Welche Augen befinden sich nach einer einmaligen Kippung nach vorne? Welche Augen befinden sich nach einer zweimaligen Rechtsdrehung?

5 4 Maximales Volumen Silvan hat einen Sonderbaren Traum: Er rettet mit einem abenteuerlichen Sprung eine Fee aus einem reissenden Fluss. Sie bedankt sich bei ihm, indem sie ihn zu einem Berg aus reinem Goldstaub führt. Dort gibt sie ihm ein festes A4-Blatt und Klebeband und fordert ihn auf, daraus eine Schachtel ohne Deckel zu falten. Diese dürfe er als Lohn für seine mutige Hilfsbereitschaft mit Goldstaub füllen und mit nach Hause nehmen. An dieser Stelle des Traums erwacht Silvan und überlegt sich, wie viel Goldstaub er hätte mitnehmen können, fals er nicht erwacht wäre und wie er die Schachtel hätte falten müssen, damit diese ein möglichst grosses Fassungsvermögen (=Volumen) gehabt hätte. Masse der ISO/DIN-Reihe A Grösse b h A [mm] [mm] [mm 2 ] 4A A A A ,0 A ,9 A ,5 A ,24 A ,11 A ,55 A ,777 A ,85 A ,192 A ,096 Helfen Sie Silvan bei seinen Überlegungen. Welche Abmessungen ergeben das grösste Volumen, bzw. welche maximale Höhe hat die Schachtel? Lösen Sie die Aufgabe mit eine Tabellenkalkulation (z.b. EXCEL). Wählen Sie die Höhe unterschiedlich von 0,5 cm bis 10,5 cm! Die EXCEL-Tabelle und die Formel ist anzugeben. Warum sind Würfelzucker meist Quaderförmig? Mit der Quaderform des Würfelzucker kann ein minimum an Verpackungsmaterial eingesetz werden und das Volumen bzw. der Zuckerinhalt ist das Maximum

6 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN 5 Volumen berechnen Berechnen Sie das Volumen des gezeichneten Skizze - Kubus. Beim Lösungsansatz sind auch immer die entsprechenden Formeln aufzuschreiben (Resultat in mm ) Masse in mm

7 1250dm 41m TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN 6 Fläche berechnen Wieviele m 2 beträgt die Oberfläche dieses Geländes? Beim Lösungsansatz sind auch immer die entsprechenden Formeln aufzuschreiben. 0,87km 50m

8 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN 7 Volumen berechnen Die Seitenlängen sind in mm. Beim Lösungsansatz sind auch immer die entsprechenden Formeln aufzuschreiben. a) Was hat dieses Stück für ein Volumen? b) Wieviel wiegt dieses Stück aus Kupfer, wenn das spezifische Gewicht von Kupfer 8,9 kg/dm beträgt? Mase In mm

9 8 Streckenzüge im Netz und auf dem Würfel Alle drei Streckenzüge verlaufen auf der Oberfläche der Würfel durch Eckpunkte und Kantenmitten. Zu jedem Würfel gehörem zwei Netze. Auf den Netzen ist die Vorderfläche samt der unteren Kante gekennzeichnet. a) Entscheiden Sie, welche Netze zu welchem Würfel gehören. b) Zeichnen Sie die Streckenzüge auf den Netzen vollständig ein. Sie sehen die Aussenseite der Netze. A B C Netz = ausgebreitete Oberfläche

10 9 Spielwürfelnetze Sie sehen verschiedene Netze des abgebildeten Spielwürfels von aussen. Zeichnen Sie in den nachfolgenden Netzen die fehlenden Augen des Würfels ein. Die folgenden Bedingungen müssen bei der Augenplatzierung berücksichtigt werden: 1. Achten Sie auf die Anzahl der Augen. Diese müssen stimmen. 2. Achten Sie weiter zusätzlich auf die richtige Stellung der Augen innerhalb des Seitenquadrates. a b b d e f

11 10 Quadernetze Sind die nachfolgenden Netze wirklich Quadernetze? Begründen Sie die Antwort mit einem kurzen Text! Vervollständigen Sie die angefangenen Quadernetze.

12 11 Volumen eines Quaders berechnen Ein Quader hat die Länge a = 10m, die Breite b = 14 m und die Höhe c = 8m. Berechnen Sie mit Hilfe der Formel das Volumen V - in einer vernünftigen Einheit. Runden Sie das Resultat, fals es angebracht ist.

13 12 Volum eines Quaders berechnen Ein Quader hat ein Volumen V = 440cm. Er ist 0,8 dm lang und 110 mm breit. Wie hoch in m und cm ist der Quader? Erstellen Sie eine Skizze, setzen dann die Werte in die Gleichung ein und lösen diese auf.

14 1 Würfel in Quader umwandeln Ein Würfel aus Knetmasse mit der Kantenlänge 12 cm wird in einen Quader mit einer quadratischen Grundfläche von 8 cm x 8cm umgeformt. Wie hoch wird dieser?

15 14 Berechnung am Quader Ein Quader mit einem Volumen V = 200cm hat die Länge a = 10cm, die Höhe $. Berechnen Sie mit Hilfe der Formel die Breite b - in einer vernünftigen Einheit. Runden Sie das Resultat, falls es angebracht ist.

16 15 Berechnung des Volumens am Würfel Fünf verschieden grosse Würfel haben die Kantenlänge 1 cm, 2 cm, cm, 5 cm und 10 cm. Verdoppeln Sie die Kantenlängen jedes Würfels und berechnen Sie sein Volumen vor und nach der Verdoppelung. Halten Sie das Ergebnis in einer Tabelle fest und vergleichen Sie die Resultate.

17 16 Volumen eines Quaders berechnen Ein Quader hat die Länge a = 8cm, die Breite b = 9cm und die Höhe c = cm. Berechnen Sie mit Hilfe der Formeln die Oberfläche und das Volumen V - in einer vernünftigen Einheit. Runden Sie das Resultat, falls es angebracht ist.

18 17 Berechnung am Quader 2 Ein Quader hat eine Oberfläche von 280cm. Seine Länge a = 10cm und die Breite b = 2cm. Machen Sie eine Skizze und tragen alle Werte in dieser ein. Berechnen Sie mit Hilfe der Formeln die Höhe c. Das Resultat ist einer vernünftigen Einheit dazustellen. Runden Sie das Resultat, falls es angebracht ist.

19 18 Würfel zählen Wie viele kleine Würfel enthält jede Figur? Würfel Würfel Bestimmen Sie das Volumen und die Oberfläche der beiden Würfelaufbauten. Die einzelnen Würfelchen haben eine Kantenlänge von je 1 cm.

20 19 Volumen und Oberfläche eines Würfels berechnen Ein Würfel hat die Kantenlänge a = 7 dm.berechnen Sie mit Hilfe der Formeln die Oberfläche und das Volumen V - in einer vernünftigen Einheit. Runden Sie das Resultat, falls es angebracht ist.

21 20 Volumen und Oberfläche eines Würfels berechnen 2 Ein Quader mit der Oberfläche O = 1984dm hat eine Länge a = 20dm und eine Breite b = 4dm. Berechnen Sie mit Hilfe der Formeln die Höhe c und das Volumen V - in einer vernünftigen Einheit. Runden Sie das Resultat, falls es angebracht ist.

22 21 Quader bewegen Beschreiben Sie die Bewegung 1-6, die mit dem Quader ausgeführt werden. Zur Verfügung stehen: nach vorne oder hinten kippen, nach rechts oder links kippen, nach rechts oder links drehen

23 22 Umformungen Wandeln Sie jede Grösse so um, dass sie die angegebene Einheit in der Klammer hat: a) cm 2 ( dm ) = b) 2 5km 2 ( m ) = c) 0.25ha ( a ) = d) 5m = ( dm ) e) 1825mm ( cm ) = f) 72dm ( m ) = g) 2dm ( l ) = h) 12cm ( ml ) = i) 5, 75m ( l ) =

24 2 Netz eines Quaders zeichnen Zeichnen Sie das Netz eines Quaders, der 6 cm lang, 5 cm breit und 2 cm hoch ist. Zeichnen Sie zusätzlich die Klebelaschen ein, die nötig sind, um das Netz zu einem Quader zusammenzusetzen.

25 24 Volumen und Oberfläche einer Verpackungseinheit Ein Verpackungshersteller soll eine neue Verpackung aus beschichtetem Karton für Glace herstellen mit der Füllmenge von einem Liter. Welche Form wählt er, wenn er den Materialverbrauch möglichst klein halten will. Geben Sie die genauen Abmessungen der Verpackung an.

26 25 Volumen Zapfstossteil berechnen Berechnen Sie das Volumen des dargestellten Zapfstossteils (1). Alle Längen sind in mm angegeben. Das Loch ist genau in der Mitte. Der Zapfen (2) passt genau ins Loch und ist symmetrisch

27 26 Der Monolith von Murten (Teil 1) Im Murtensee schwamm während der Expo.02, 200 m vor dem Ufer des Stätchens Murten, der imposante Monolith das Warzeichen der Arteplage Murten. Der Monolith war ein Würfel mit einer Fassade aus rostigen Stahlplatten. Er stand auf einer schwimmenden Betonplattform, die mit 24 Stahlseilen im Seeboden vertäut war. Die Platform bestand aus 100 Beton-Pontons (hole Schwimmkörper aus Beton), die je,4 m lang,,4 m breit und 4,75 m hoch waren. Zusammen bildeten diese ein 2 '800t schweres schwimmedes Fundament. Es trug den fast 4 '000t schweren Monolithen, der eine Kantenlänge von 4 m aufwies. Die Betonelemente wurden als Hohlkörper gefertigt, weil sie schwimmfähig und belastbar sein mussten. a) Wie schwer wäre eine nichtschwimmende Plattform in der gleichen Grösse, die vollständig mit Beton ausgefüllt ist ( 1m Beton hat die Masse 2,2 t )?

28 26 Der Monolith von Murten (Teil 2) b) Um wie viel Tonnen ist das schwimmende Fundament leichter als ein vollständig ausbetonierter? c) Wie gross war des Volumen des Monoliten und wie gross war seine mit Stahlplatten belegte, sichtbare Oberfläche?

29 26 Der Monolith von Murten (Teil ) d) Wie schwer war die in diesem Riesenwürfel eingeschlossene Luftmasse, wenn 1 l Luft 1,29 g wiegt? Nehmen Sie an, dass die Wände (Stahlplatten, Gerüst, Verkleidung) mm dick weren. e) Anfangs 200 wurde der Monolit wieder abgebaut. Eine der rostigen Stahlpatten war,m lang, 2 m breit und mm dick. Könnte ein starker Mann eine solche Platte tragen ( 1cm Stahl ist 8 g schwer)? Rechnen Sie auf kg genau.

30 26 Der Monolith von Murten (Teil 4) f) Konnten sämtliche Platten einer Seitenfläche des rostigen Würfels am Ufer mit einem einzigen Lastwagen abtransportiert werden, wenn dieser mit höchstens 28 t beladen werden durfte?

31 27 Die Oberfläche eines Würfels beträgt 2 96cm. Machen Sie eine Skizze und berechnen sein Volumen? 4 cm 64cm 2