Vorlesung Inhaltsverzeichnis. Einfache Rechnungen

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1 Vorlesung Inhaltsverzeichnis Einfache Rechnungen Hilfe! Gleitkommazahlen Formales Rechnen Polynome Lösen von Gleichungen Endliche Körper Einfache Rechnungen Sage kann alles, was ein Taschenrechner kann, und das entweder mit Gleitkommazahlen beliebiger Genauigkeit oder exakt mit ganzen Zahlen, Brüchen und "formalen Ausdrücken". Die Auswertung einer Eingabe erfolgt mit Shift+Enter (2*2+1)/3 5/3 Ergebnisse können in Variablen abgelegt werden. a=1 In diesem Fall wird die Ausgabe unterdrückt. Anzeige mit print: print(a) 1 oder show: show(a) 1 a 1 1 of 12

2 Wenn nicht explizit gewünscht, werden irrationale Zahlen nicht ausgewertet, sondern symbolisch weitergeführt. b=sqrt(2) b sqrt(2) show(b) 2 und zwar so, daß soweit wie möglich die Rechenregeln erhalten bleiben; (allerdings nicht uneingeschränkt, weil bewiesen werden kann, daß es keinen Algorithmus gibt, der jeden Ausdruck zu einer eindeutigen "Normalform" vereinfachen kann). b^2 2 Intern werden Irrationalzahlen anders behandelt als Rationalzahlen oder ganze Zahlen. Sage ist wie Python objektorientiert und jedes Objekt gehört einem eindeutig definierten Typ an, der die notwendigen Operationen bereitstellt. Den Typ kann man sich mit type oder parent anzeigen lassen: type(a) type(b) <type 'sage.rings.integer.integer'> <type 'sage.symbolic.expression.expression'> type(5/2) <type 'sage.rings.rational.rational'> Integer Ring parent(b) Symbolic Ring Auch komplexe Zahlen sind bekannt, die Variable I ist vordefiniert: I I^2 I *I 2 of 12

3 3*I + 2 real(2+3*i) 2 sqrt(-4) 2*I Gleitkommazahlen; zur verwendeten Rechengenauigkeit siehe unten. Als Beispiel betrachten wir die vordefinierte Variable pi, die die Kreiszahl π darstellt. show(pi) π Sie ist Element des Symbolic Ring, parent(pi) Symbolic Ring "weiß" aber über den numerischen Wert Bescheid. Dieser kann mit numerical_approx oder.n() angezeigt werden: numerical_approx(pi) pi.n() Dabei sind beliebig viele Stellen möglich: pi.n(digits=1000) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ of 12

4 Zu beachten ist der Unterschied zwischen digits (=Dezimalstellen) und precision (=Rechengenauigkeit, d.h., Anzahl der Stellen in Basis 2) pi.n(prec=1000) \ \ \ \ Auch ganze Zahlen beliebiger Größe sind verfügbar. 2^ \ \ \ \ Hilfe! Die für ein Objekt xx zur Verfügung stehenden Methoden kann man sich durch xx. und anschließendes Drücken von TAB anzeigen lassen. pi.n() Information über eine Methode erhält man durch ein Fragezeichen pi.n? File: /usr/local/sage-5.4/devel/sage/sage/symbolic/expression.pyx Type: <type builtin_function_or_method > Definition: pi.n(prec=none, digits=none) Docstring: Return a numerical approximation this symbolic expression as either a real or complex number with at least the requested number of bits or digits of precision. EXAMPLES: sage: sin(x).subs(x=5).n() sage: sin(x).subs(x=5).n(100) sage: sin(x).subs(x=5).n(digits=50) of 12

5 sage: zeta(x).subs(x=2).numerical_approx(digits=50) sage: cos(3).numerical_approx(200) sage: numerical_approx(cos(3),200) sage: numerical_approx(cos(3), digits=10) sage: (i + 1).numerical_approx(32) *I sage: (pi + e + sqrt(2)).numerical_approx(100) TESTS: We test the evaluation of different infinities available in Pynac: sage: t = x - oo; t -Infinity sage: t.n() -infinity sage: t = x + oo; t +Infinity sage: t.n() +infinity sage: t = x - unsigned_infinity; t Infinity sage: t.n() +infinity Some expressions can t be evaluated numerically: sage: n(sin(x)) Traceback (click to the left of this block for traceback)... Will man es noch genauer wissen, macht man zwei Fragezeichen und erhält den Quellcode der Funktion: pi.n?? File: /usr/local/sage-5.4/devel/sage/sage/symbolic/expression.pyx Source Code (starting at line 4243): def _numerical_approx(self, prec=none, digits=none): """ Return a numerical approximation this symbolic expression as either a real or complex number with at least the requested number of bits or digits of precision. EXAMPLES:: 5 of 12

6 TESTS: sage: sin(x).subs(x=5).n() sage: sin(x).subs(x=5).n(100) sage: sin(x).subs(x=5).n(digits=50) sage: zeta(x).subs(x=2).numerical_approx(digits=50) sage: cos(3).numerical_approx(200) sage: numerical_approx(cos(3),200) sage: numerical_approx(cos(3), digits=10) sage: (i + 1).numerical_approx(32) *I sage: (pi + e + sqrt(2)).numerical_approx(100) We test the evaluation of different infinities available in Pynac:: sage: t = x - oo; t -Infinity sage: t.n() -infinity sage: t = x + oo; t +Infinity sage: t.n() +infinity sage: t = x - unsigned_infinity; t Infinity sage: t.n() +infinity Some expressions can't be evaluated numerically:: sage: n(sin(x)) Traceback (click to the left of this block for traceback)... Gleitkommazahlen Für Zahlen gegebener Genauigkeit gibt es einen eigenen Typ R = RealField(300) R Real Field with 300 bits of precision 6 of 12

7 Umwandlung in den gewünschten Typ R(1) \ a=r(1.1) a \ type(a) <type 'sage.rings.real_mpfr.realnumber'> Real Field with 300 bits of precision Zu beachten ist, daß Precision sich auf das Binärsystem bezieht, mit dem intern gerechnet wird. Das sind bei gleicher Genauigkeit in etwa dreimal soviele wie im Dezimalsystem pi10= pi.n(digits=10) pi parent(pi10) Real Field with 37 bits of precision Beim Addieren von Zahlen unterschiedlicher Genauigkeit wird das Resultat in der jeweils kleinsten Genauigkeit berechnet Real Field with 300 bits of precision c=a+pi10 parent(c) Real Field with 37 bits of precision Rechnen mit formalen Ausdrücken Um mit formalen Ausdrücken zu rechnen, muß man entsprechende Variablennamen deklarieren, ausgenommen die Variable x x y x 7 of 12

8 Traceback (click to the left of this block for traceback)... NameError: name 'y' is not defined var('x,y,z') x+y (x, y, z) x + y parent(y) Symbolic Ring Das Multiplikationszeichen muß immer explizit angeführt werden: 2 x 2*x Traceback (click to the left of this block for traceback)... SyntaxError: invalid syntax 2*x Man mache sich den prinzipiellen Unterschied zwischen einer "Variable" im Sinn der Informatik (die Variable a unten) und der symbolischen "Variable" x klar: a bezeichnet einen Platz im Speicher des Computers, in dem ein gewisser Wert abgelegt ist, und dieser Wert hat einen Typ. Dagegen ist x eine Variable im Sinne der Analysis, d.h., ein Platzhalter, für den verschiedene Werte eingesetzt werden können. a=1 a x 1 x Integer Ring Nicht die Variable a hat einen festen Typ, sondern ihr Wert. a=x a x Symbolic Ring 8 of 12

9 Formale Ausdrücke werden vorerst nicht ausmultipliziert g=(x+y+z)^3 g (x + y + z)^3 das muß explizit angefordert werden expand(g) x^3 + 3*x^2*y + 3*x*y^2 + y^3 + 3*x^2*z + 6*x*y*z + 3*y^2*z + 3*x*z^2 + 3*y*z^2 + z^3 dabei wird der ursprüngliche Ausdruck nicht verändert g (x + y + z)^3 das gleiche in oo (=objektorientierter) Notation g.expand() x^3 + 3*x^2*y + 3*x*y^2 + y^3 + 3*x^2*z + 6*x*y*z + 3*y^2*z + 3*x*z^2 + 3*y*z^2 + z^3 die inverse Operation zum ausmultiplizieren ist factor. factor(x^2-1) (x + 1)*(x - 1) Zum Vergleich: Wenn man factor auf eine ganze Zahl anwendet, wird trotz gleichen Namens der Funktion eine ganz andere Methode aufgerufen: factor(60) 2^2 * 3 * 5 Polynome Wenn man von vorneherein weiß, daß man es nur mit Polynomen zu tun hat, ist es effizienter, im entsprechenden Polynomring zu arbeiten. Hier die Polynome in der Variable t über dem Körper der rationalen Zahlen P.<t> = QQ[] P Univariate Polynomial Ring in t over Rational Field auch in mehreren Variablen 9 of 12

10 P2.<u,v> = QQ[] P2 Multivariate Polynomial Ring in u, v over Rational Field Die Variablen "wissen", wo sie hingehören. parent(u) Multivariate Polynomial Ring in u, v over Rational Field Wenn man sie mit anderen mischt, wird automatisch in den Symbolic Ring umgewandelt. u+x u + x parent(u+x) Symbolic Ring Die Menge der Variablen im Polynomring ist hingegen fixiert. P(x) Traceback (click to the left of this block for traceback)... TypeError: x is not a variable of Univariate Polynomial Ring in t over Rational Field nur erlaubte Variablen können aus dem Symbolic Ring importiert werden a= u+x-x a u P2(a) Symbolic Ring u Beliebige (kommutative) Koeffizientenringe sind erlaubt (z.b. RR,CC,QQ,ZZ): P3.<z>=RR[] P3 Univariate Polynomial Ring in z over Real Field with 53 bits of precision Lösen von Gleichungen 10 of 12

11 Nullstellen von Polynomen werden nur im zugrundeliegenden Ring gesucht: p=t^2-3 p t^2-3 p.roots() [] Numerische Lösungen findet man durch Wechsel des Rings p.roots(ring=rr) [( , 1), ( , 1)] Die exakten Lösungen findet man, soweit berechenbar, im Symbolic Ring p1=sr(p) p1 t^2-3 solve(p1==0,sr(t)) [t == -sqrt(3), t == sqrt(3)] Endliche Körper heißen auf Englisch Galois field, so erhält man z.b. den Restklassenkörper Z/5Z durch Z5 = GF(5) Z5 a=z5(2) a Finite Field of size 5 2 a^3 Finite Field of size 5 3 Auch lineare Algebra kann über beliebigen Körpern betrieben werden, davon später mehr v = vector([a,-a,1]) v 11 of 12

12 (2, 3, 1) parent(v) Vector space of dimension 3 over Finite Field of size 5 3*v (1, 4, 3) 12 of 12