1.2 Das Lösen von linearen Problemen mit Hilfe eines Computerprogramms.

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1 1.2 Das Lösen von linearen Problemen mit Hilfe eines Computerprogramms. An Hand eines Beispiels werden wir ein lineares Problem mit Hilfe eines Computerprogramms lösen. Das hier angewandte Programm ist Microsoft Excel 97. Beispiel 1. Die Nebenbedingungen lauten: 1. 2x 1 + 3x 2 < x 1 + 1,5x 2 < x 2 < x 1 < x 1 > 0, x 2 > 0 Die Zielfunktion lautet: 200x x 2. Starten Sie das Programm Microsoft Excel 97 und wählen Sie ein neues Dokument aus. Zuerst werden die Nebenbedingungen und die Zielfunktion wie folgt eingegeben. G 1 Nebenbedingung 1 Nebenbedingung 2 Nebenbedingung 3 Nebenbedingung 4 Zielfunktion Anzahl 2 X X2 3 1, Grenzwert Verbraucht Endwert: 6 Differenz Eingeben bei B5 =B2*$G$2+B3*$G$3 Eingeben bei C5 =C2*$G$2+C3*$G$3 Eingeben bei D5 =D2*$G$2+D3*$G$3 Eingeben bei E5 =E2*$G$2+E3*$G$3 Eingeben bei B6 =B4-B5 Eingeben bei C6 =C4-C5 Eingeben bei D6 =D4-D5 Eingeben bei E6 =E4-E5 Eingeben bei G5 =F2*G2+F3*G3 Wenn Sie das getan haben, erhalten Sie die folgende Tabelle: G 1 Nebenbedingung 1 Nebenbedingung 2 Nebenbedingung 3 Nebenbedingung 4 Zielfunktion Anzahl 2 X X2 3 1, Grenzwert Verbraucht Endwert: 0 6 Differenz Mit Hilfe des "Solver" (bei MS Excel 97 unter Extras zu finden, falls nicht, sehen Sie unter "Hilfe" nach, wie Sie es installieren müssen) wird die Zelle G5 maximiert.

2 Bei "Zielzelle" wird die Zelle "G5" eingegeben. Die Eingabe erfolgt am besten durch die Aktivierung der betreffenden Zelle mit einem Klick. Bei "Zielwert" wählen Sie aus den Möglichkeiten "Max". Bei "" geben Sie "$G$2:$G$3" ein. Nun klicken Sie bei "Nebenbedingungen" auf "Hinzufügen". Geben Sie bei "Zellbezug" "$B$5" & bei "Nebenbedingung" "$B$4" ein und klicken Sie auf "Hinzufügen". Geben Sie bei "Zellbezug" "$C$5" & bei "Nebenbedingung" "$C$4" ein und klicken Sie auf "Hinzufügen". Geben Sie bei "Zellbezug" "$D$5" & bei "Nebenbedingung" "$D$4" ein und klicken Sie auf "Hinzufügen". Geben Sie bei "Zellbezug" "$E$5" & bei "Nebenbedingung" "$E$4" ein und klicken Sie auf "Hinzufügen". Geben Sie bei "Zellbezug" "$G$2:$G$3" ein, ändern Sie das Ungleichungszeichen in ">" und geben Sie bei "Nebenbedingungen" "0" ein und klicken Sie anschließend auf "OK". Anschließend klicken Sie auf "Lösen". Das Programm berechnet nun den maximalen Wert der Zielfunktion. Wählen Sie nun "Lösung verwenden" und klicken Sie auf "Antwort", "Sensitivität", "Grenzwert" und zum Schluß auf "OK". Das Programm erstellt noch einige Berichte mit wichtigen Informationen, aber zuerst betrachten wir das Ergebnis. G 1 Nebenbedingung 1 Nebenbedingung 2 Nebenbedingung 3 Nebenbedingung 4 Zielfunktion Anzahl 2 X X2 3 1, Grenzwert Verbraucht Endwert: Differenz Das Programm hat als Maximum berechnet, siehe Zelle "G5". Dieses Maximum gilt für x 1 =30 und x 2 =40, siehe Zellen "G2" und "G3". Nebenbedingungen 1 und 3 sind für diese Lösung einschränkend, siehe Zellen "B4" und "B5",sowie die Zellen "D4" und "D5". Nebenbedingungen 2 und 4 sind für diese Lösung nicht einschränkend, siehe Zellen "C4" und "C5", sowie die Zellen "E4" und "E5". Nun werden wir uns den Antwortbericht ansehen. Microsoft Excel 8.0 Antwortbericht Bericht erstellt am: :14:09 Zielzelle (Max) $G$5 Wert: Anzahl $G$2 x1 Anzahl 0 30 $G$3 x2 Anzahl 0 40

3 Nebenbedingungen Zelle Name Zellwert Formel Status Differenz $B$5 Verbraucht Nebenbedingung $B$5<=$B$4 Einschränkend 0 $C$5 Verbraucht Nebenbedingung $C$5<=$C$4 Nicht einschränkend 30 $D$5 Verbraucht Nebenbedingung $D$5<=$D$4 Einschränkend 0 $E$5 Verbraucht Nebenbedingung 4 60 $E$5<=$E$4 Nicht einschränkend 130 $G$2 x1 Anzahl 30 $G$2>=0 Nicht einschränkend 30 $G$3 x2 Anzahl 40 $G$3>=0 Nicht einschränkend 40 Zielzelle (Max): $G$5. Lösungswert Die Zielfunktion erreicht einen maximalen Wert von : $G$2 en $G$3. Lösungswert: 30 und 40. Der maximale Wert wird für x 1 =30 und x 2 = 40 erreicht. Nebenbedingungen: Die Zelle "$B$5" gibt an, wie viel von Nebenbedingung 1 verbraucht wurde. Hier sind das 180. Darüber hinaus ist diese Nebenbedingung einschränkend. Das bedeutet, daß diese Nebenbedingung den maximalen Wert mitbestimmt. Die Differenz ist dann 0 und die gesamte Kapazität wird genutzt. Die Zelle "$C$5" gibt an, wie viel von Nebenbedingung 2 verbraucht wurde. Hier sind das 120. Darüber hinaus ist diese Nebenbedingung nicht einschränkend. Das bedeutet, daß diese Nebenbedingung den maximalen Wert nicht beeinflußt. Die Differenz ist 30 und die gesamte Kapazität wird somit nicht genutzt. Nun sehen wir uns den Sensitivitätsbericht an. Microsoft Excel 8.0 Sensitivitätsbericht Bericht erstellt am: :14:10 Lösung Reduzierter Zelle Name Endwert Gradient $G$2 x1 Anzahl 30 0 $G$3 x2 Anzahl 40 0 Nebenbedingungen Lösung Lagrange- Zelle Name Endwert Multiplikator $B$5 Verbraucht Nebenbedingung $C$5 Verbraucht Nebenbedingung $D$5 Verbraucht Nebenbedingung , $E$5 Verbraucht Nebenbedingung wurden vorher schon erklärt. Wichtig ist der Lagrange Multiplikator. Dieser stellt den Schattenpreis dar. Nur die Nebenbedingungen, die einschränkend sind, besitzen auch einen Schattenpreis. Der Schattenpreis der Nebenbedingung 1 ist demnach "100" und der von Nebenbedingung 3 "66,67". Als letztes schauen wir uns den Grenzenwertbericht an.

4 Microsoft Excel 8.0 Grenzenwertbericht Bericht erstellt am: :14:11 Zielzelle Zelle Name Endwert $G$5 Wert: Anzal Untere Zielzelle Obere Zielzelle Zelle Name Endwert Grenze Ergebnis Grenze Ergebnis $G$2 x1 Anzahl $G$3 x2 Anzahl Der Grenzenwertbericht gibt nur wenig zusätzliche Informationen. Wir werden uns noch mehrere Beispiele ansehen. Beispiel 2. Folgendes Problem liegt vor: Bestimme das Minimum der Zielfunktion W. W = 2x 1 + x 2 2x 3 Die Nebenbedingungen lauten: x 1 + x 2 + x 3 = 20 2x 1 + x 2 + x 3 > 10 x 1-2x 2 + x 3 < 5 x 1 x 2 x 3 > 0 Zuerst werden die Nebenbedingungen und die Zielfunktion wie folgt eingegeben. 3 x x Verbraucht Endwert: 7 Differenz Eingeben bei B6: =B2*$F$2+B3*$F$3+B4*$F$4 Kopieren Sie "B6" nach "C6" und "D6". Eingeben bei B7: =B5-B6 Eingeben bei C7: =C6-C5 Vorsicht bei der Nebenbedingung steht >!! Eingeben bei D7 =D5-D6 Eingeben bei F6 =E2*F2+E3*F3+E4*F4 Wenn Sie das getan haben, erhalten Sie die folgende Tabelle:

5 3 x x Verbraucht Endwert: 0 7 Differenz Mit Hilfe des "Solver" (bei MS Excel 97 unter Extras zu finden) wird die Zelle "F6" minimiert. Bei "Zielzelle" wird die Zelle "F6" eingegeben. Die Eingabe erfolgt am besten durch die Aktivierung der betreffenden Zelle mit einem Klick. Bei "Zielwert" wählen Sie aus den Möglichkeiten "Min". Bei "" geben Sie "$F$2:$F$4" ein. Nun klicken Sie bei "Nebenbedingungen" auf "Hinzufügen". Geben Sie bei "Zellbezug" "$B$6", bei "Nebenbedingung" "$B$5" ein und ändern Sie das Ungleichungs-zeichen in "=". Klicken Sie anschließend auf "Hinzufügen". Geben Sie bei "Zellbezug" "$C$6", bei "Nebenbedingung" "$C$5" ein und ändern Sie das Ungleichungs-zeichen in ">". Klicken Sie anschließend auf "Hinzufügen". Geben Sie bei "Zellbezug" "$D$6", bei "Nebenbedingung" "$D$5" ein und ändern Sie das Ungleichungs-zeichen in "<". Klicken Sie anschließend auf "Hinzufügen". Geben Sie bei "Zellbezug" "$F$2:$F$4" ein, ändern Sie das Ungleichungszeichen in ">" und geben Sie bei "Nebenbedingungen" "0" ein. Klicken Sie anschließend auf OK. Anschließend klicken Sie auf "Lösen". Das Programm berechnet nun den minimalen Wert der Zielfunktion. Wählen Sie nun "Lösung verwenden" und klicken Sie auf "Antwort", "Sensitivität", "Grenzwert" und zum Schluß auf "OK". Das Programm erstellt noch einige Berichte mit wichtigen Informationen, aber zuerst betrachten wir das Ergebnis. 2 X X X Verbraucht Endwert: Differenz Das Programm hat als Minimum "-25" berechnet, siehe Zelle F6, dies gilt für x 1 =0, x 2 =5 und x 3 =15, siehe Zellen "F2", "F3" und "F4". Nebenbedingungen 1 und 3 sind für diese Lösung einschränkend, siehe Zellen "B5" und "B6" sowie die Zellen "D5" und "D6". Nebenbedingung 2 ist nicht einschränkend für diese Lösung, siehe Zellen "C5" und "C6".

6 Jetzt sehen wir uns die einzelnen Berichte an. Zuerst den Antwortbericht. Microsoft Excel 8.0 Antwortbericht Bericht erstellt am: :20:23 Zielzelle (Min) $F$6 Wert: Anzahl 0-25 $F$2 x1 Anzahl 0 0 $F$3 x2 Anzahl 0 5 $F$4 x3 Anzahl 0 15 Nebenbedingungen Zelle Name Zellwert Formel Status Differenz $B$6 Verbraucht Nebenbedingung 1 20 $B$6=$B$5 Einschränkend 0 $C$6 Verbraucht Nebenbedingung 2 20 $C$6>=$C$5 Nicht einschränkend 10 $D$6 Verbraucht Nebenbedingung 3 5 $D$6<=$D$5 Einschränkend 0 $F$2 x1 Anzahl 0 $F$2>=0 Einschränkend 0 $F$3 x2 Anzahl 5 $F$3>=0 Nicht einschränkend 5 $F$4 x3 Anzahl 15 $F$4>=0 Nicht einschränkend 15 Vorsicht auch x 1 > 0 ist einschränkend! Nun werden wir uns den Sensitivitätsbericht ansehen. Microsoft Excel 8.0 Sensitivitätsbericht Bericht erstellt am: :20:23 Lösung Reduzierter Zelle Name Endwert Gradient $F$2 x1 Anzahl 0 4 $F$3 x2 Anzahl 5 0 $F$4 x3 Anzahl 15 0 Nebenbedingungen Lösung Lagrange- Zelle Name Endwert Multiplikator $B$6 Verbraucht Nebenbedingung $C$6 Verbraucht Nebenbedingung $D$6 Verbraucht Nebenbedingung Bei "Reduzierter Gradient" steht "4". Dies bedeutet, wenn man den Grenzwert um eine Einheit erhöht (also von 0 nach 1), dann nimmt das Minimum um 4 zu.

7 Als letztes sehen wir uns den Grenzenwertbericht an. Microsoft Excel 8.0 Grenzenwertbericht Bericht erstellt am: :20:24 Zielzelle Zelle Name Endwert $F$6 Wert: Anzahl -25 Untere Zielzelle Obere Zielzelle Zelle Name Endwert Grenze Ergebnis Grenze Ergebnis $F$2 x1 Anzahl $F$3 x2 Anzahl $F$4 x3 Anzahl Der Grenzenwertbericht gibt nur wenig zusätzliche Informationen. Anschließend werden wir uns noch ein drittes Beispiel ansehen. Beispiel 3. Wir ändern Beispiel 2 ein wenig. Wir fügen eine zusätzliche "Nebenbedingung" hinzu: x 1, x 2 und x 3 müssen Ganze Zahlen sein oder besser vom Wert her Integer sein. Folgendes Problem liegt vor: Bestimme das Minimum der Zielfunktion W. W=2x 1 + x 2 2x 3 Die Nebenbedingungen lauten: x 1 + x 2 + x 3 = 20 2x 1 + x 2 + x 3 > 10 x 1 - x 2 + x 3 < 5 x 1 x 2 x 3 > 0 und x 1, x 2 und x 3 sind Integer. Zuerst werden die Nebenbedingungen und die Zielfunktion wie folgt eingegeben. 3 x x Verbraucht Endwert: 7 Differenz

8 Eingeben bei B6: =B2*$F$2+B3*$F$3+B4*$F$4 Kopieren Sie B6 nach C6 und D6. Eingeben bei B7: =B5-B6 Eingeben bei C7: =C6-C5 Vorsicht bei dieser Nebenbedingung steht >!!! Eingeben bei D7 =D5-D6 Eingeben bei F6 =E2*F2+E3*F3+E4*F4 Wenn dies geschehen ist erhält man folgende Tabelle: 3 x x Verbraucht Endwert: 0 7 Differenz Mit Hilfe des "Solver" (bei MS Excel 97 unter Extras zu finden) wird die Zelle "F6" minimiert. Bei "Zielzelle" wird die Zelle "F6" eingegeben. Die Eingabe erfolgt am besten durch die Aktivierung der betreffenden Zelle mit einem Klick. Bei "Zielwert" wählen Sie aus den Möglichkeiten "Min". Bei "" geben Sie "$F$2:$F$4" ein. Nun klicken Sie bei "Nebenbedingungen" auf "Hinzufügen". Geben Sie bei "Zellbezug" "$B$6", bei "Nebenbedingung" "$B$5" ein und ändern Sie das Ungleichungs-zeichen in "=". Klicken Sie anschließend auf "Hinzufügen". Geben Sie bei "Zellbezug" "$C$6", bei "Nebenbedingung" "$C$5" ein und ändern Sie das Ungleichungs-zeichen in ">". Klicken Sie anschließend auf "Hinzufügen". Geben Sie bei "Zellbezug" "$D$6", bei "Nebenbedingung" "$D$5" ein und ändern Sie das Ungleichungs-zeichen in "<". Klicken Sie anschließend auf "Hinzufügen". Geben Sie bei "Zellbezug" "$F$2:$F$4" ein, ändern Sie das Ungleichungszeichen in ">" und geben Sie bei "Nebenbedingungen" "0" ein. Klicken Sie anschließend auf OK. Anschließend klicken Sie auf "Lösen". Das Programm berechnet nun den minimalen Wert der Zielfunktion. Wählen Sie nun "Lösung verwenden" und klicken Sie auf "Antwort", "Sensitivität", "Grenzwert" und zum Schluß auf "OK". Das Programm erstellt noch einige Berichte mit wichtigen Informationen, aber zuerst betrachten wir das Ergebnis. 3 x ,5 4 x ,5 6 Verbraucht Endwert: -17,5 7 Differenz

9 Das Programm hat als minimalen Wert "-17,5" berechnet, siehe Zelle F6, dies gilt für x 1 =0, x 2 =7,5 und x 3 =12,5, siehe Zellen "F2", "F3" und "F4". Nebenbedingungen 1 und 3 sind für diese Lösung einschränkend, siehe Zellen "B5" und "B6" sowie die Zellen "D5" und "D6". Nebenbedingung 2 ist nicht einschränkend für diese Lösung, siehe Zellen "C5" und "C6". Anschließend schauen wir uns nur den Antwortbericht an. Microsoft Excel 8.0 Antwortbericht Bericht erstellt am: :30:46 Zielzelle (Min) $F$6 Wert: Anzahl 0-17,5 $F$2 x1 Anzahl 0 0 $F$3 x2 Anzahl 0 7,5 $F$4 x3 Anzahl 0 12,5 Nebenbedingungen Zelle Name Zellwert Formel Status Differenz $B$6 Verbraucht Nebenbedingung 1 20 $B$6=$B$5 Einschränkend 0 $C$6 Verbraucht Nebenbedingung 2 20 $C$6>=$C$5 Nicht einschränkend 10 $D$6 Verbraucht Nebenbedingung 3 5 $D$6<=$D$5 Einschränkend 0 $F$2 x1 Anzahl 0 $F$2>=-1 Nicht einschränkend 1 $F$2 x1 Anzahl 0 $F$2>=0 Einschränkend 0 $F$3 x2 Anzahl 7,5 $F$3>=0 Nicht einschränkend 7,5 $F$4 x3 Anzahl 12,5 $F$4>=0 Nicht einschränkend 12,5 Wir fügen nun die zusätzliche "Nebenbedingung" x 1, x 2 und x 3 müssen Integer sein hinzu. Wählen Sie aus "Extras" den "Solver" und klicken Sie auf "Hinzufügen" Geben Sie bei "Zellbezug "$F$2:$F$4" ein, setzen Sie das Ungleichungszeichen auf "ganzz" und klicken dann auf "OK". Zum Schluß klicken Sie auf "Lösen". 3 x x Verbraucht Endwert: Differenz Das Programm hat als minimalen Wert "-16" berechnet, siehe Zelle F6, dies gilt für x 1 =0, x 2 =8 und x 3 =12, siehe Zellen "F2", "F3" und "F4". \

10 Wir schauen uns den Antwortbericht 2 an. Microsoft Excel 8.0 Antwortbericht Bericht erstellt am: :32:28 Zielzelle (Min) $F$6 Wert: Anzahl 0-16 $F$2 x1 Anzahl 0 0 $F$3 x2 Anzahl 0 8 $F$4 x3 Anzahl 0 12 Nebenbedingungen Zelle Name Zellwert Formel Status Differenz $B$6 Verbraucht Nebenbedingung 1 20 $B$6=$B$5 Einschränkend 0 $C$6 Verbraucht Nebenbedingung 2 20 $C$6>=$C$5 Nicht einschränkend 10 $D$6 Verbraucht Nebenbedingung 3 4 $D$6<=$D$5 Nicht einschränkend 1 $F$2 x1 Anzahl 0 $F$2>=0 Einschränkend 0 $F$3 x2 Anzahl 8 $F$3>=0 Nicht einschränkend 8 $F$4 x3 Anzahl 12 $F$4>=0 Nicht einschränkend 12 $F$2 x1 Anzahl 0 $F$2=integer Einschränkend 0 $F$3 x2 Anzahl 8 $F$3=integer Einschränkend 0 $F$4 x3 Anzahl 12 $F$4=integer Einschränkend 0 Wenn x 1, x 2 und x 3 Integer sind, gibt es keinen Sensitivitätsbericht und keinen Grenzenwertbericht.