Algorithmen und Programmieren 1 Funktionale Programmierung - Musterlösung zu Übung 3 -

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1 Algorithmen und Programmieren 1 Funktionale Programmierung - Musterlösung zu Übung 3 - Dozent: Prof. Dr. G. Rote Tutoren: J. Fleischer, T. Haimberger, N. Lehmann, C. Pockrandt, A. Steen Ziele dieser Übung Mit Funktionen höherer Ordnung sicher in Haskell umgehen und die Idee der Gültigkeitsbereiche verstehen. In dieser Übung sollte man folgende Konzepte geübt und verstanden haben: Gültigkeitsbereiche (Scope) Listengeneratoren Typdenitionen (type) Funktionen höherer Ordnung iterate map (.) Aufgabe 13: Kleiner als der Durchschnitt Schreiben Sie eine Funktion, die berechnet, wie viele Zahlen in einer Liste von Integer-Werten kleiner als der Durchschnittswert sind. -- Berechnet, wie viele Zahlen in der Liste xs kleiner als der Durchschnittswert sind. lessthanavg :: [Integer] -> Int lessthanavg xs = length (filter (`ltavg` xs) xs) -- Prueft, ob eine Zahl x kleiner als der Durchschnittswert der Liste xs ist. ltavg :: Integer -> [Integer] -> Bool ltavg x xs = fromintegral (length xs) * x < sum xs 1

2 Aufgabe 12: Gültigkeitsbereiche Geben Sie für jeden eingeführten Namen den Gültigkeitsbereich an. Aufgabe 12a) x = 25:: Integer biggerthanavg3:: Integer->Integer->Integer->Integer biggerthanavg3 x y z = sum (map (\x -> if fromintegral x > avg3 x y z then 1 else 0) [x,y, z]) where avg3:: Integer->Integer->Integer->Double test1:: Integer avg3 a b c = fromintegral (a+b+c) / 3 test1 = biggerthanavg fläche:: Float -> Float fläche x = 2*x^2*pi --> private scope(biggerthanavg3) x ist global sichtbar. Allerdings NICHT in den Funktionen biggerthanavg3 und fläche. biggerthanavg3 ist global sichtbar, jeder kann biggerthanavg3 aufrufen. x im Ausdruck biggerthanavg3 x y z ist nicht im Ausdruck (\x -> if fromintegral x > avg3 x y z then 1 else 0), y und z hingegen schon. avg3 ist nur für biggerthanavg3 und alle Unterfunktionen von biggerthanavg3 sichtbar. test1 ist global sichtbar, jeder kann test1 aufrufen. fläche ist global sichtbar, jeder kann fläche aufrufen. Aufgabe 12b) f x y = let n = 3 in take n (g y) ++ take n (g x) where g x = take n xys where xys = [x] ++ yxs yxs = [y] ++ xys n = 10 --> private scope(f) --> private scope(g) --> private scope(g) --> private scope(f) f ist global sichtbar, jeder kann f aufrufen. n im Ausdruck n=3 ist durch die let <expr> in <expr> nur im Ausdruck take n (g y) ++ take n (g x) sichtbar g ist nur für f und alle Unterfunktionen von g sichtbar. xys ist nur für g und alle Unterfunktionen von g sichtbar. xys ist nur für g und alle Unterfunktionen von g sichtbar. n im Ausdruck n=10 ist nur für f und alle Unterfunktionen von f sichtbar, allerdings überschattet das n aus dem let <expr> in <epxr> dieses n. x im Ausdruck f x y wird durch das x im Ausdruck g x überschattet. Das y im Ausdruck f x y ist in ganz f sichtbar. 2

3 Aufgabe 14: Preisberechnung Listen der beiden folgenden Datentypen type Einkaufsliste = [(String, Float)] type Preisliste = [(String, Float)] geben an, was gekauft werden soll und wie viel (in einer passenden Einheit, z. B. kg), zum Beispiel [("Mehl",0.5), ("Butter",0.25)], und andererseits den Preis in Euro pro Einheit für jeden Artikel. Aufgabe 14a) Denieren Sie eine Funktion preis:: Preisliste -> Einkaufsliste -> (Float,[String]) zur Berechnung des Gesamtpreises aller Artikel einer Einkaufsliste. Die zweite Komponente des Ergebnisses soll die Liste der Artikelnamen enthalten, die in der Preisliste nicht gefunden wurden. type Einkaufsliste = [(String, Float)] type Preisliste = [(String, Float)] preis :: Preisliste -> Einkaufsliste -> (Float, [String]) preis preise einkauf = (gesamt, nicht_in_liste) where nicht_in_liste = [x x <- map fst einkauf, not $ elem x bekannte_preise] bekannte_preise = map fst preise gesamt = sum [p * p' (n, p) <- preise, (n', p') <- einkauf, n == n'] -- Testfunktion testeinkauf = preis [("Butter", 1.09),("Brot", 2.49),("Wurst", 0.99),("Käse", 1.99)] [("Brot", 2.49),("Butter", 1.09),("Malzbier", 1.0)] Aufgabe 14b) Erweitern Sie die Funktion so, dass der Preis für jeden gekauften Artikel der Einkaufsliste auf Cent gerundet wird. type Einkaufsliste = [(String, Float)] type Preisliste = [(String, Float)] fixedpreis :: Preisliste -> Einkaufsliste -> (Float, [String]) fixedpreis preise einkauf = (gesamt, nicht_in_liste) where nicht_in_liste = [x x <- map fst einkauf, not $ elem x bekannte_preise] bekannte_preise = map fst preise gesamt = sum [centfix (p * p') (n, p) <- preise, (n', p') <- einkauf, n == n'] centfix :: Float -> Float centfix x = fromintegral (round (x*100))/ Testfunktion testeinkauf = fixedpreis [("Butter", 1.09),("Brot", 2.49),("Wurst", 0.99),("Käse", 1.99)] [("Brot", 2.49),("Butter", 1.09),("Malzbier", 1.0)] 3

4 Aufgabe 15: Funktionsiteration Die folgende Funktion iter wendet eine Funktion f n-mal hintereinander auf ein Argument x an. Zum Beispiel liefert iter 3 f x das Ergebnis f(f(f(x))), das man in der Mathematik manchmal als f 3 (x) oder noch genauer f (3) (x) schreibt, damit man es nicht mit der Potenz (f(x)) 3 verwechselt. iter n f x n==0 = x n>0 = f (iter (n-1) f x) Aufgabe 15a) Welchen Typ hat iter? -- Theoretisch könnte der Typ von iter wie folgt aussehen: iter :: (Num t, Ord t) => t -> (a -> a) -> a -> a -- Da die Abbruchbedingung aber n == 0 ist (statt z.b. n < 0) -- sollte man Bruchzahlen ausschlieÿen. iter :: Integral t => t -> (a -> a) -> a -> a Aufgabe 15b) Geben Sie eine alternative Denition als Funktion iter n f ohne den Parameter x. -- Eine alternative Definition ohne den Parameter x. iter2 :: Int -> (a -> a) -> a -> a iter2 n f n == 0 = id -- Identität n > 0 = f.(iter (n-1) f) -- Komposition Aufgabe 15c) Lösen Sie Aufgabe 4b (Zinseszinsen) mit Hilfe der Funktion iter und der Lösung von Aufgabe 4a. (Achten Sie auf die Reihenfolge der Argumente.) -- Die gegebene Funktion zur Berechnung der Zinsen. zinsen :: Double -> Double -> Double zinsen kapital zinsfuss = kapital * zinsfuss * Diese Funktion berechnet den Zinseszins nach einer Zeitperiode. endwert :: Double -> Double -> Double endwert kapital zinsfuss = kapital + (zinsen kapital zinsfuss) -- Diese Funktion berechnet den Zinseszins nach zwei Zeitperioden. endwert2 :: Double -> Double -> Double endwert2 kapital zinsfuss = iter 2 (`endwert` zinsfuss) kapital -- Diese Funktion berechnet den Zinseszins nach k Zeitperioden. endwertn :: Double -> Double -> Int -> Double endwertn kapital zinsfuss k = iter k (`endwert` zinsfuss) kapital 4

5 Aufgabe 16: Iterierter Logarithmus Die Funktion logbase a x = log a x berechnet den Logarithmus von x zur Basis a; das ist die Zahl y, für die a y = x ist. Aufgabe 16a) Bestimmen Sie die kleinste Zahl x, für die logbase 2 x >= 5 ist. -- Findet die kleinste natuerliche Zahl, fuer die logbase b x >= y ist. -- Idee: logbase b x >= y gilt genau dann, wenn x >= b**y ist. minlog :: Double -> Double -> Int minlog b y = ceiling (b**y) -- Es folgt eine alternative Definitionen mit Listengeneratoren. -- Die Auswertung dauert wesentlich länger. minlog' :: Double -> Double -> Int minlog' b y = (truncate.head) kandidaten where kandidaten = [x x <- [1..], logbase b x >= y] Aufgabe 16b) Bestimmen Sie die kleinste Zahl x, für die iter 3 (logbase 2) x >= 2 ist. -- Findet die kleinste natuerliche Zahl, fuer die -- iter n (logbase b) x >= y ist. -- Idee: logbase b (logbase b (logbase b x)) >= y gilt genau dann, -- wenn x >= b**b**b**y ist. miniter :: Int -> Double -> Double -> Int miniter n b y = ceiling (iter n (b**) y) -- Es folgt eine alternative Definitionen mit Listengeneratoren. -- Die Auswertung dauert wesentlich länger. miniter' :: Int -> Double -> Double -> Int miniter' n b y = (truncate.head) kandidaten where kandidaten = [x x <- [1..], iter n (logbase b) x >= y] 5

6 Aufgabe 17: Potenzieren, Summe und Produkt Das Potenzieren mit einer natürlich Zahl als Exponent kann man als iteriertes Multiplizieren denieren: x n := x x x x mit n Faktoren: potenz x n = iter n (x*) 1 Aufgabe 17a) x xx Die Turmfunktion turm x k = x k := x ist eine geschachtelte Potenz, bei der in dem Turm auf der rechten Seite x insgesamt k-mal vorkommt. (Potenzieren ist rechtsassoziativ!) Denieren Sie diese Funktion unter Verwendung von potenz und iter. -- Berechnet die Potenz x^n. potenz :: Num a => a -> Integer -> a potenz x n = iter n (x*) 1 -- Die in der Aufgabenstellung beschriebene Turmfunktion. turm :: Integer -> Integer -> Integer turm x k = iter (k-1) (potenz x) x Aufgabe17b) Die Multiplikation kann als iterierte Addition aufgefasst werden. Schreiben Sie eine entsprechende Funktion mal a b, die analog zur Funktion potenz das Produkt als iterierte Summe deniert. -- Definiert das Produkt als iterierte Summe. mal :: Num a => Integer -> a -> a mal x y = iter x (y+) 0 Aufgabe 17c) Welche Funktion muss man iterieren, damit man die Summenfunktion plus a b = a + b erhält? Schreiben Sie eine entsprechende Funktionsdenition für plus. -- Um die Summenfunktion zu erhalten, muss man die Nachfolgerfunktion (+1) iterieren. plus :: Num a => Integer -> a -> a plus a b = iter a (+1) b 6

7 Aufgabe 18: Funktionsiteration Aufgabe 18a) Jemand hat die Funktion g = iter 23 deniert. Wie können Sie das Argument 23 aus der Funktion g herausnden? Schreiben Sie eine Funktion entdecke, die für alle n 0 die folgende Beziehung erfüllt: entdecke (iter n) == n, -- Die Beispielfunktion aus der Aufgabenstellung. g :: (a -> a) -> a -> a g = iter Es soll gelten: entdecke (iter n) == n. entdecke :: (Num a, Num b) => ((a -> a) -> b -> c) -> c entdecke f = f (1+) 0 Aufgabe 18b) Addition: Schreiben Sie eine Funktion sumiter mit der Eigenschaft sumiter (iter a) (iter b) == iter (a+b), für alle a, b 0. Verwenden Sie nicht einfach entdecke und +, sondern suchen Sie eine direktere Denition. -- Es soll gelten: sumiter (iter n) (iter m) == iter (n+m) sumiter :: (a -> b -> c) -> (a -> c -> d) -> a -> b -> d sumiter f g h = (g h).(f h) -- Alternativ: sumiter f g h x = g h (f h x) Aufgabe 18c) Multiplikation: Schreiben Sie eine analoge Funktion proditer für das Produkt von a und b. -- Es soll gelten: proditer (iter n) (iter m) == iter (n*m) -- Schrittweise Vereinfachung der Definition: ---> proditer f g h x = f (g h) x ---> proditer f g h = f (g h) ---> proditer f g h = (f.g) h ---> proditer f g = f.g proditer :: (b -> c) -> (a -> b) -> a -> c proditer = (.) 7