Zur Produktgestaltung kohäsiver Pulver mechanische Eigenschaften, Kompressions- und Fließverhalten

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1 Zur Produktgestaltung kohäsiver Pulver mechanische Eigenschaften, Kompressions- und Fließverhalten Jürgen Tomas Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg, Mechanische Verfahrenstechnik, Universitätsplatz 2, D Magdeburg, Tel.: , Fax: , juergen.tomas@vst.uni-magdeburg.de 1 Einleitung und Problemstellung Es gibt nur wenige Zweige einer Volkswirtschaft, in der nicht in irgendeiner Form Schüttgüter oder Pulver erzeugt, transportiert, umgeschlagen, gelagert, verfahrenstechnisch gewandelt, verarbeitet oder verbraucht werden. Bei den wichtigsten mechanischen Prozessen, wie Trennen und Mischen, Zerkleinern und Agglomerieren, aber auch thermischen Prozessen, wie z.b. Kristallisieren, Trocknen oder bei den Partikelsynthesen in der chemischen Industrie bzw. Grundstoffindustrie, Pharmazie, Metallurgie, Glas- und Keramikindustrie, Baustoffindustrie, Leicht- und Lebensmittelindustrie, Energiewirtschaft, Landwirtschaft sowie den modernen Technologien in der Umweltschutztechnik, Werkstofftechnik, Biotechnik und selbst auch in der Elektronik müssen Schüttgüter gelagert, gefördert und dosiert werden. Die Anzahl der in einer hochentwickelten Volkswirtschaft als Rohstoffe, Hilfsstoffe, Zwischenprodukte und Fertigerzeugnisse vorkommenden Schüttgüter dürfte vielleicht einige Hunderttausend, wenn nicht sogar Millionen, erreichen, und nahezu täglich erhöht sich deren Zahl, da entsprechend den Marktanforderungen immer speziellere Kundenwünsche zu befriedigen sind. Während sich Festkörper oder Stückgüter und Fluide vergleichsweise einfach handhaben lassen, hängt das mechanische Verhalten eines Pulvers oder eines Granulates [1, 2] unmittelbar von seiner Beanspruchungsvorgeschichte ab. Die läßt sich wohl am einfachsten mit einem Neigungsversuch eines Transportbehälters verdeutlichen [3]. Je nachdem, ob das Pulver in den Behälter eingefüllt, geneigt und wieder zurück bewegt wurde, wird sich eine jeweils andere Form der Schüttoberfläche einstellen, Bild 1. Ein Pulver verhält sich wie ein ziemlich unvollkommener Festkörper, fließt manchmal wie eine Flüssigkeit oder kann wie ein Gas verdichtet werden. Oftmals zeigt es die Eigenschaften, die gerade am wenigsten erwartet werden und

2 2 die zu den meisten verfahrenstechnischen Problemen führen. Und diese sind dann doch ziemlich zahlreich und schwerwiegend, z.b. funktionelle Probleme durch Fließstörungen infolge Anbackungen, Selbstfluidisierung oder Lawinenbildung, schwankende Mengenströme, Entmischungen, breite Verweilzeitverteilungen verbunden mit der Gefahr von Zeitverfestigungen, Stoffumwandlungen, Explosionsgefahr, von Verderbgefahr; mangelhafte Mengenstrom- bzw. Qualitätskontrolle sowie Havariegefahr durch Verschleiß und Überlastungen der Konstruktion der Schüttgutförderer und letztlich mangelhafte Verfügbarkeit des Verfahrens bzw. der gesamten Anlage. Eine tiefere Betrachtung erscheint aus der Sicht einer zweckmäßigen Kombination von Partikel- und Kontinuumsmechanik [4, 5], sowohl wissenschaftlich als auch praktisch angewandt, als ausgesprochen lohnenswert. Bild 1: Lagerung in Behältern - Mechanisches Verhalten von Feststoff, Flüssigkeit, Gas und Schüttgut [3] Bild 1 zeigt ebenfalls, daß das Pulver ein Gedächtnis hat. Im Falle mineralischen Ursprunges eines Schüttgutes umfaßt dies durchaus erdgeschichtliche Zeiträume. Diesen Eigentümlichkeiten eines kohäsiven Pulvers, verbunden mit seinem nahezu unergründlichen eigenen Willen zum Fließen oder auch Nichtfließen, wollen wir nun auf den Grund gehen:

3 3 2 Das langsame reibungsbehaftete Fließen kohäsiver Pulver Es wird nur das langsame Fließen einer Schüttung mit einer Fließ- oder Schergeschwindigkeit v S < 1 m/s betrachtet. Eine Schüttgut-Reynoldszahl ist somit für τ > 1 kpa kleiner als Eins (h Sz Scherzonenhöhe, η b scheinbare Viskosität des fließenden Pulvers, ρ b Schüttgutdichte): vs hsz ρb vs ρb 1 m 1000 kg / m Reb = = = 1 (1) 2 η τ s 1 kpa b Das fließende Pulver würde sich also laminar verhalten. Ein zusätzlicher Scherspannungsanteil durch Partikelkollisionen infolge turbulentem Impulsaustausch wird weitestgehend ausgeschlossen. Wechselwirkungen mit Fluiden, wie z. B. Porenströmungen, die durch die Partikelbewegung induziert werden, sollen hier ebenfalls vernachlässigt werden. Der Scherwiderstand wird im wesentlichen auf die Coulomb-Reibung zwischen den vorzugsweise haftenden Partikelkontakten zurückgeführt. Wesentliche Stoffeigenschaftsmodelle der Kontaktdeformation von glatten Kugeln ohne bzw. mit Haftung findet man in der Literatur, und zwar bei Hertz [7], Huber [8], Derjagin [9], Krupp [10], Johnson [11], Molerus [12], Mindlin [13], Schubert [14], Maugis [15] und Thornton [17], Walton [16], Hsuin [18], Sadd [19], Rumpf [20] und Tomas [30, 31, 32]. 2.1 Zweiachsige Spannungszustände in einer fließenden Partikelpackung Einführend sollen die wichtigsten Kennwerte des Fließverhaltens erläutert werden [4, 21, 22]. Im Gegensatz zu anderen Ingenieurdisziplinen ist man in der Verfahrenstechnik insbesondere am Transport, d.h. am Fließen, der Materialien (Schüttgüter, Fluide) interessiert. Diese Fließvorgänge sind zugleich irreversible Schervorgänge. Sie können mittels direkter Scherversuche Punkt für Punkt ausgemessen werden, Bild 2 oben. Die Verbindungslinie der Punkte ergibt unter festgelegten Beanspruchungsbedingungen eine Grenzspannungsfunktion, den sog. Fließort, die nicht überschritten werden kann. Der Fließort hat den Anstiegswinkel ϕ i, der auch als innerer Reibungswinkel bezeichnet wird; der tanϕ i ist der innere Reibungskoeffizient. Er ist ein mittleres oder charakteristisches Maß für das Kontaktversagen beim Gleiten. Es ist nun eine typische Eigenart einer gescherten Partikelpackung oder Schüttung, daß das Fließen hier unter Volumenausdehnung stattfinden kann, und zwar dann, wenn die geometrisch vorgegebene, makroskopische Scherebene nicht mit den mittleren oder charakteristischen Tangentialebenen der Partikel-

4 4 kontakte einer Scherzone übereinstimmt. Die Partikel werden sozusagen berghoch über die unten liegende Schicht verschoben, und als Antwort dehnt sich die Scherzone aus, dv > 0. Das wird auch als Dilatanz bezeichnet [25]. Sie ist charakteristisch für das Verhalten überverfestigter Schüttungen. Der charakteristische Dilatanzwinkel im Mikromaßstab ν sei positiv im mathematisch positiven Drehsinn (entgegen dem Uhrzeiger) definiert. Bild 2: Zweiachsige Spannungszustände in einer gescherten Partikelpackung Scheren und Auflockern, einaxialer Druck und Zug Der Ordinatenabschnitt des Fließortes wird als Kohäsion τ c bezeichnet und stellt den Scherwiderstand bei äußerer Normalspannung σ = 0 dar. Dieser merkbare Widerstand wird allein durch die Wirkung der Kontaktdeformationen (schwarz hervorgehoben) und resultierenden Haftkraftverstärkungen (Pfeile zwischen den Partikeln in Normalrichtung, auf die Darstellung der jeweiligen Tangentialkräfte wurde verzichtet) einer vorherigen Verfestigung erzeugt, Bild 2.

5 5 Damit wird ein innerer Druck -σ Z in den Kontakten erzeugt, der zur äußerer Normalspannung (σ + σ Z ) als Absolutbetrag zu addieren ist. Die Folge davon sind wiederum die einaxiale Druckfestigkeit σ c der Packung (Mohrkreis rechts der Ordinate mit der kleineren Hauptspannung σ 2 = 0) und die einaxiale Zugfestigkeit σ Z,1 (Mohrkreis links mit der hier absolut betrachteten, kleineren Hauptspannung σ 2 = 0). Der Schnittpunkt des Fließortes im Negativen mit der Abszisse bei verschwindender Scherspannung τ = 0 stellt somit eine zweiachsige bzw. isostatische Zugfestigkeit σ Z dar. Bild 3: Zweiachsige Spannungszustände in einer gescherten Partikelpackung stationäres Fließen, Scheren und Verdichten, isostatischer Zug und Druck Wird nun eine kritisch vorverfestigte Schüttung geschert, fließt sie stationär unter Volumenkonstanz dv = 0, Bild 3 oben. Dilatanz (svw. Auflockerung) und Verdichtung befinden sich im dynamischen Gleichgewicht und heben sich im

6 6 Mittel auf. Die zugehörige Grenzspannungsfunktion wird stationärer Fließort (blaue Linie) genannt. Dessen Anstiegswinkel wird durch den stationären (inneren) Reibungswinkel ϕ st gebildet. Er ist ein charakteristisches Maß für das stationäre Gleichgewicht aus Kontaktannäherung, -bildung, Kontaktversagen und Partikelablösung. Der Schnittpunkt des stationären Fließortes im Negativen mit der Abszisse bei verschwindender Scherspannung τ = 0 stellt die isostatische Zugfestigkeit σ 0 der unverfestigten Kontakte dar. Im Bild 3 oben fehlen die schwarz markierten Kontaktdeformationen. Die Kugeln berühren sich gerade auf Mindestabstand a F=0 0,3 0,4 nm, ohne sich jedoch zu durchdringen ein ziemlich idealisierter Zustand, der sich nur durch die Extrapolation des stationären Fließortes quantifizieren läßt. Bei Anlegen der Spannung σ 0 versagen die Kontakte sofort ohne nennenswerte Dehnung und makroskopische Volumenänderung dv = 0. Die Mittelpunktsspannung σ M, z. B. des größten Kreises in der Bildmitte, wird aus dem Mittelwert der beiden, scherspannungsfreien Hauptnormalspannungen σ 1, σ 2 des zweiachsigen Spannungszustandes gebildet (Kugeltensor im dreiachsigen Spannungsraum [23]). Während die Radiusspannung σ R aus der Differenz der beiden Hauptnormalspannungen σ 1, σ 2 des zweiachsigen Spannungszustandes besteht (Deviator im dreiachsigen Spannungsraum [23]). Sie charakterisiert das Scherspannungsniveau, das zum Fließen führt, Bild 3 oben. Wird nun eine unterverfestigte Schüttung geschert, fließt sie unter Volumenabnahme dv < 0 bis zum Erreichen des kritischen Verfestigungszustandes, Bild 3 unten. Der Dilatanzwinkel ist hier also negativ (Verdichtung). Die Partikel werden sozusagen bergab gegeneinander verschoben. Die Verbindungslinie zwischen dem isostatischen Druck und dem Mohrkreis des stationären Fließens wird auch als Verfestigungsort bezeichnet. Dessen Neigung muß ebenfalls durch die Verhältnisse der Tangentialkräfte zu den Normalkräften in den versagenden Partikelkontakten bestimmt werden. Folglich ist auch beim Verfestigen der innerer Reibungswinkel ϕ i das charakteristische Maß des Kontaktgleitens. 2.2 Fließbedingungen für beginnendes und stationäres Fließen Scherspannungen τ haben Winkeländerungen γ = ds/dh Sz (Scherverzerrungen) zur Folge, die zunächst reversibel, d.h. elastisch verlaufen. In der Verfahrenstechnik und Fördertechnik interessiert vorrangig das mechanische Verhalten des fließenden Pulvers. Die Scherspannungen erreichen eine Fließspannung

7 7 bzw. Fließspannungsfunktion und nachfolgend werden irreversible Scherverzerrungen in einer Scherzone erzeugt. Im Mikroskopischen bedeutet dies immer massenhaftes Kontaktversagen [5]. Der Mikro-Makro-Übergang von den Normal- und Tangentialkräften in einem charakteristischen Partikelkontakt zu den Spannungen in einem repräsentativen Element eines fließenden Kontinuums soll möglichst bequem gestaltet werden [33]. Dazu wurde zunächst die Methodik von Molerus [4, 12] übernommen [27 bis 34]. Im Gegensatz zum starr-plastisch angenommenen Kontaktverhalten von Molerus [4, 12] wird allerdings ein wesentlich komplexerer Zusammenhang für das elastisch-plastische Kontaktverhalten eingeführt [30, 31, 32]. Diese Kontaktkräfte und die resultierenden Spannungen im Kontinuum lassen sich unter bestimmten Voraussetzungen ineinander umrechnen [12]. Nach ziemlich aufwändigen Umrechnungen der Kräftebilanzen für die Bedingungen des Kontaktversagens [34] folgen nichtlineare Fließbedingungen des Kontinuums [33], die mittels einer Taylorreihe um den Mohrkreis des stationären Fließens linearisiert werden. Bild 4: Direkter Scherversuch mit beginnender Verfestigung, beginnendem Fließen und stationärem Fließen mit den Kennwerten: σ 1 Verfestigungsspannung, σ c einaxiale Druckfestigkeit, ϕ i innere Reibungswinkel, ϕ st stationärer (innerer) Reibungswinkel

8 8 Mit dieser physikalisch begründeten, theoretischen Vorbereitung lassen sich die direkten Scherversuche ausgesprochen bequem auswerten [27], Bild 4. Die wesentlichen Fließkennwerte sind nunmehr in einem Satz überschaubarer, linearer konstitutiver Gleichungen für die momentane Verfestigung (Verfestigungsort) ( σm + σm,st ) + R, st σ, (2) R = sin ϕi σ für das beginnende Fließen (Fließort) ( σm σm,st ) + R, st σ (3) R = sin ϕi σ und für das stationäre Fließen (stationärer Fließort) enthalten [33], Bild 5: ( σ + ) σ (4) R,st = sin ϕst M,st σ0 Für die Gleichheit der beiden Mittelpunktsspannungen σ M = σ M,st ist in den beiden Gln.(2) und (3) unmittelbar ablesbar, daß daraus die Radiusspannung des Mohrkreises für stationäres Fließen σ R,st = σ R plausibel folgt, Bild 5 blauer Kreis. Wie man anhand der Gln.(2) bis (4) unmittelbar abliest, lassen sich beginnende Verfestigung, beginnendes Fließen und stationäres Fließen mit nur drei physikalisch begründeten Parametern hinreichend beschreiben [12, 33]: ϕ i - instationäre Coulomb-Reibung versagender Partikelkontakte (analog: Haftreibung zwischen Festkörpern mit Kohäsion), ϕ st stationäres Gleichgewicht der Partikelreibung zwischen versagenden und sich simultan neu bildenden Partikelkontakten (analog: Gleitreibung zwischen Festkörpern), Zunahme des Reibungswiderstandes infolge verfestigende äußere Kräfte und elastisch-plastische Kontaktdeformation als Antwort, σ 0 - dreiachsige Zugfestigkeit des unverfestigten Pulvers resultierend aus den Partikelhaftkräften ohne jegliche Kontaktdeformation. Als wichtigster Parameter der Vorgeschichte wird der äußere mittlere Druck σ M,st beim stationären Fließen eingeführt. Äquivalent dazu könnte man auch die Normalspannungen des Endkreises, d.h. die Normalspannung des Endpunktes des Fließortes σ E, die Anschernormalspannung σ An oder die größte Hauptspannung σ 1 nutzen, Bild 4. Letztere wird unmittelbar für die Trichterauslegung benötigt und drückt im wesentlichen einen scheinbaren einaxialen Spannungszustand oder eine Vergleichsspannung aus.

9 9 Bild 5: Fließbedingungen für beginnende Verfestigung, beginnendes Fließen und stationäres Fließen Bild 6: Momentanfließorte (FO) und stationärer Fließort (SFO) für das TiO 2 - Modellpulver Der meßbaren Zusammenhang den beiden Reibungswinkel läßt sich wie folgt ausdrücken [4, 12, 34]: st ( 1+ κ) tan ϕi tan ϕ = (5) Je größer der Unterschied zwischen diesen beiden Winkeln ist, desto kohäsiver wird sich das trockene Pulver verhalten, z.b. die Fließorte des sehr kohäsiven TiO 2 -Modellpulvers im Bild 6. Bei einem leicht fließenden bis rieselfähigen Pulver fallen dagegen alle Fließorte nahezu auf einer Linie zusammen. Beide Rei-

10 10 bungswinkel sind praktisch gleich ϕ i ϕ st. Die Kontakte verhalten sich sehr steif, d.h. κ 0. Bild 7: Das kohäsive stationäre Fließen eines kohäsiven Pulvers [29] Die beiden Kennwerte des stationären Fließens ϕ st und σ 0 lassen sich direkt mit Hilfe der linearen Gleichung (4) des stationären Fließortes ermitteln. Dazu wird eine Ausgleichsgerade mit den σ R,st (σ M,st )-Punkten in einem σ R = f(σ M ) Diagramm berechnet. Die Genauigkeit der Extrapolation dieser Geraden, die zur isostatischen Zugfestigkeit σ 0 führt, hängt insbesondere von der Akkuratesse der Gewinnung der Messwerte des stationären Fließens ab. Unterverfestigte oder irgendwie geringfügig vorentlastete Proben führen hier zu physikalisch falschen Aussagen. Die Messung von 4 bis 5 Wertepaaren (Verfestigungsniveaus mit mindestens je 8 Einzelmessungen, Bild 8) sollte für die praktische Apparateauslegung ohnehin der Normalfall sein.

11 11 Bild 8: Translationsschergerät mit Hubsystem für größere Normallasten σ < 70 kpa, Bedienfeld mit Anzeige der Schergeschwindigkeit, Twister gestaltet nach Schwedes [26], Scherzelle und Belastungsjoch, montiert auf einem Laborwagen mit Aufnahme des Zubehörs Ein Spezialfall des kohäsiven stationären Fließens ist das kohäsionslose stationäre Fließen, das nach Jenike [21] durch den effektive Fließort beschrieben wird, Bild 7 unten: σ (6) R,st = sin ϕe σm,st Den Zusammenhang zwischen dem druckabhängigen effektiven Reibungswinkel ϕ e und dem stationären Reibungswinkel ϕ st als Stoffwert findet man durch Gleichsetzen beider Gln.(4) und (6): σ0 sin ϕ e = sin ϕst 1+ (7) σm,st Für große mittlere Spannungen σ M,st nähern sich folglich beide Winkel ϕ e ϕ st an, Bild 7 oben. Dieser überschaubare Zusammenhang steht in völliger Übereinstimmung mit den experimentellen Erfahrungen bei Schertests. In der Bodenmechanik wird eine dem stationären Fließort zumindest adäquate Scherspannungsfunktion mit einem wirksamen Reibungswinkel φ' verwendet [24], die der Verbindungslinie der jeweiligen Anscherpunkte der individuellen Fließorte entspricht.

12 12 Für die Messung der Fließkennwerte kohäsiver Schüttgüter können alle direkten oder indirekten Schergeräte benutzt werden [26]. Für eine zuverlässige Messung von Zeitverfestigungen [28] bei extremen Umgebungsbedingungen von θ = - 20 C bis 1300 C und Luftfeuchten ϕ L bis 95 % hat sich die Translationsscherzelle als sehr brauchbar herausgestellt. Diese Bedingungen können in einem Klimaschrank bzw. Heizofen mit eingeschränkter Grundfläche für eine ausreichende Zellenzahl realisiert werden. Deshalb wurde ein neues Translationsschergerät gebaut, das zwecks bequemer Handhabung bei der Versuchsdurchführung mit einem Hubsystem versehen und auf einem Laborwagen befestigt wurde, Bild 8. Für die Überprüfung der Fließkennwerte bei Einleitung von Schwingungen unmittelbar in die Scherzone wird ein zweites Translationsschergerät genutzt [36]. Bei längeren Scherwegen sowie bei höheren Belastungen im Zentrifugalkraftfeld oder im Mitteldruckbereich von etwa 50 bis 1000 kpa können wir zusätzlich eine robust ausgelegte Ringscherzelle anwenden [37]. 2.3 Verfestigungsfunktionen und Fließfunktion Mit Hilfe der linearen Fließortgleichung (3) folgt im positiven Druckbereich unmittelbar die einaxiale Druckfestigkeit σ c = 2. σ R (σ 2 = 0 und σ R = σ M ): 2 ( sin ϕ sin ϕ ) 2 sin ϕ st i st σ c = σm,st + σ0 (8) 1 sin ϕi 1 sin ϕi Dem entsprechend erhält man ebenfalls mit der Gl.(3) den Betrag der einaxialen Zugfestigkeit im negativen Zugbereich σ Z,1 = 2. σ R (σ 1 = 0 und σ R = -σ M ): 2 ( sin ϕ sin ϕ ) 2 sin ϕ st i st σ Z,1 = σm,st + σ0 (9) 1+ sin ϕi 1+ sin ϕi Beide Verfestigungsfunktionen beschreiben physikalisch begründet die lineare Zunahme der einaxialen Druck- und Zugfestigkeit mit einer Zunahme der mittleren Spannung σ M,st. Der Anstieg beider Funktionen (8) und (9) wird im wesentlichen durch die Differenz der beiden Reibungswinkel sin ϕst sin ϕ i beeinflußt. Er ist für das fließende Kontinuum auch ein Maß der Fließfähigkeit. Mit Hilfe der Beziehung (5) wird auch klar, daß dieser Anstieg auch die Nachgiebigkeit der Partikelkontakte im Mikroskopischen charakterisiert, Tabelle 1. Bei der Auslegung von Trichtern ist es üblich, statt der bisher benutzten, mittleren Spannung σ M,st, die größte Hauptspannung σ 1 zu verwenden [21]. Beide charakterisieren hinreichend die Beanspruchungsvorgeschichte des Schüttgu-

13 13 tes im Falle des stationären Fließens. Mittels der Fließbedingung für stationäres Fließen lassen sich die beiden Spannungen σ M,st und σ 1 austauschen: σ σ sin ϕ 1 0 st σ M,st = (10) 1+ sin ϕst Tabelle 1: Fließverhalten und elastisch-plastischer Kontaktverfestigungskoeffizient κ für einen konstanten inneren Reibungswinkel von ϕ i = 30 Fließfunktion κ-werte ϕ st in grd Bewertung Beispiele , ,107 30,3-33 frei fließend trockener Feinsand ,107 0, leicht fließend feuchter Feinsand 4 2 0,3 0, kohäsiv trockene Pulver 2 1 0, sehr kohäsiv feuchte Pulver < 1 - nicht fließend verhärtet ff ct feuchte Pulver hydratisierter Zement Unter Beachtung der gemeinsamen Auftragung von Druck- und Zugspannungen im Bild 4 werden die linearen Verläufe der Verfestigungsfunktionen ebenfalls im Bild 9 gemeinsam über die Verfestigungsspannung σ 1 dargestellt. Die charakteristischen Geraden der momentanen Verfestigung und der Zeitverfestigung treffen sich jeweils im gleichen Abszissenabschnitt der σ 1 -Achse. Dieser charakterisiert, wie die Zugfestigkeit im Bild 2, ein inneres Verfestigungsvermögen ohne äußere Spannungen, allein aufgrund der Partikelhaftung. Mit Hilfe des Anstieges der Druckfestigkeitsfunktion σ c (σ 1 ) gewinnt man nun den unmittelbaren Zusammenhang zwischen dem elastisch-plastischen Partikelkontaktverfestigungskoeffizienten κ = f (ff c ) und der Fließfunktion nach Jenike [21]. 1+ (2 ffc 1) sin ϕi 1 κ = 1 (11) 2 tan ϕi ( 2 ff c 1+ sin ϕi ) 1+ (2 ff c 1) sin ϕ i 1 2 ff c 1 sin + ϕi Die Tabelle 1 enthält die semi-empirischen Werte gemäß Jenike und die Ergänzung nicht fließend, verhärtet für ff c 1. Geringe Fließfunktionswerte bedeuten kohäsives bis nicht fließendes Verhalten, verursacht durch hohe Kontaktnach-

14 14 giebigkeiten, und umgekehrt steife Kontakte erzeugen freie Fließ- oder Rieselfähigkeit, eben wie trockener Ostseesand. Bild 9: Verfestigungsfunktionen des TiO 2 -Pulvers bei den Lagerzeiten t = 0 und 24 h 2.4 Kompressionsverhalten eines kohäsiven Pulvers Das Kompressionsverhalten eines kohäsiven Pulvers ist durch die Druckabhängigkeit der Packungsdichte gekennzeichnet. Es steht im unmittelbaren Zusammenhang zum Fließverhalten und wird beeinflußt von folgenden Mikrovorgängen: Umlagerung steifer Partikeln mit steifen Kontakten zu einer dichteren Zufallspackung, Deformation weicher Kontakte von harten (mineralischen) Partikeln und Deformation weicher Partikeln (z.b. Biozellen). Bei der Beurteilung eines Pulvers in bezug auf seine Tablettier- oder Brikettierfähigkeit unter hohem Druck sind außerdem zu unterscheiden:

15 15 seine Kompressibilität, d.h. das Vermögen zur Volumenreduktion unter Druck, und die Verpreßbarkeit, d. h. das Vermögen, unter Druck einen Preßling mit genügender Festigkeit zu bilden. Genau diese beiden Eigenschaften eines kohäsiven Pulvers werden auch in einem Scherversuch überprüft, und zwar die Kompression beim Vorverfestigen/Anscheren und anschließend die erzeugte Festigkeit durch das Abscheren, Bild 4. Diese direkt gemessenen Scherfestigkeiten lassen sich in die Druck- und Zugfestigkeiten umrechnen, Bild 2. Demzufolge sind Scherversuche, durchgeführt zumindest in einem mittelgroßen Druckbereich von etwa 50 bis 1000 kpa, ebenfalls geeignet, diese Eigenschaftsfunktionen zu quantifizieren. Bild 10: Isentropische Kompression eines kohäsiven Pulvers Zur Beschreibung wird eine isentropische Pulverkompression in dem Sinne angenommen, daß sich während der Verdichtung nicht der Ordnungszustand der Zufallspackung ändert. Es findet kein Übergang in eine reguläre Packung statt. Im Analogieschluß kann die Gleichung für adiabate Gaskompression angewandt werden, wobei zusätzlich noch die innere Haftung zwischen den Partikeln, wie bei der Van-der-Waals-Gasgleichung, berücksichtigt wird [30, 33]. Davon ausgehend werden nun die folgenden Funktionen des Kompressionsverhalten kohäsiver Schüttgüter auf physikalischer Grundlage eingeführt: Die Auswertung der sog. Kompressionsrate als eine inkrementale Verdichtungsgeschwindigkeit [38, 39] ist insbesondere dann geeignet, wenn sich über mehrere Größenordnungen des mittleren Kompressionsdruckes p = σ M,st der Kompressibilitätsindex n ändern kann, Bild 10.

16 16 dρ dσ b M,st = n σ 0 ρb + σ M,st (12) Verantwortlich dafür ist ein Wechsel der prozessbestimmenden Mikrovorgänge, z.b. bei hohen Pressdrücken, der Übergang der Kontaktdeformationen zu einer Partikeldeformation. Vorschläge für eine Einteilung des Kompressibilitätsindex im Hinblick auf das Fließverhalten kohäsiver Schüttgüter finden sich in der Tabelle 2. Die Kompressionsfunktion, die durch Integration der Kompressionsrate Gl.(12) erhalten wird und den Zusammenhang der Schüttgutdichte ρ b vom angewandten mittleren Druck σ M,st nach Entlastung und elastischer Rückdehnung beschreibt [30, 33]: ρ ρ b 1 b,0 = σ + σ M,st 0 n (13) Die spezifische Kompressionsarbeit W m,b eines kohäsiven Pulvers, die durch erneute Integration der Kompressionsfunktion Gl.(13) erhalten wird (n 1) und den Zusammenhang der äußeren massebezogenen Arbeit (untere Grenze σ M,st = 0) in Abhängigkeit vom mittleren Druck σ M,st beim Verdichten beschreibt: W m,b σ 1 n M,st dσ σ σ M,st n 0 M,st = n = 1+ 1 ρ ( σ ) M, 1 n ρb,0 σ0 0 b st Tabelle 2: Der Kompressibilitätsindex n von Schüttgütern, semi-empirische Abschätzung für σ M,st < 50 kpa Index n Bewertung Beispiele Fließfähigkeit 0 0,01 inkompressibel Schotter frei fließend 0,01 0,05 wenig kompressibel feiner Sand 0,05-0,1 kompressibel trockene Pulver kohäsiv 0,1-1 sehr kompressibel feuchte Pulver sehr kohäsiv (14) Die prinzipiellen Verläufe dieser drei Funktionen (12), (13) und (14) können dem Bild 11 entnommen werden. In der Nähe des Startpunktes σ M,st = - σ 0 ist durch beginnende Umlagerung und Kontaktdeformation der Dichtezuwachs am größten, rote gestrichelte Kurve. Die spezifische Kompressionsarbeit, blaue strichpunktierte Kurve, beginnt am Nullpunkt und beträgt beispielsweise 0,2 bis 1,5 J/kg für das TiO 2 -Pulver bei den eingestellten Verdichtungsniveaus σ M,st = 2 bis 19 kpa der Fließorte 1 bis 4.

17 17 Bild 11: Kompressionsrate, Kompressionsfunktion und spezifische Kompressionsarbeit eines kohäsiven Pulvers Die Gleichungen (13) und (14) zur Auswertung der Kompressions- und Scherversuche von kohäsiven Schüttgütern setzen voraus, dass die isostatische Zugfestigkeit σ 0 0 verschieden von Null ist. Es gibt nun einige Schüttgüter, bei denen die Extrapolation des stationären Fließortes einen Wert von praktisch Null liefert. Das bedeutet kohäsionsloses stationäres Fließen. Dies wird durch den effektiven Fließort nach Jenike [21] als Spezialfall des stationären Fließortes beschrieben. Für solche Schüttgüter ist die Anwendung der Auswertemethodik ratsam, die schon früher publiziert wurde [27, 28]. Außerdem kann für σ 0 = 0 auch das Drucker-Prager-Modell mit Ergänzungen [35] genutzt werden. Allerdings ist dessen Gleichungssystem aufgrund der 9 verwendeten Stoffparameter überbestimmt. Nur 5 Parameter sind tatsächlich notwendig für ein überschaubares Stoffgesetz des Fließens kohäsiver Schüttgüter, Gln.(2), (3), (4) und (13). Die partikelmechanischen Modellvorstellungen werden beispielsweise genutzt, um den Einfluß von mechanischen Schwingungen [36] oder das Auspressen von wassergesättigten Filterkuchen unter hohem Druck [37] physikalisch konsistent zu verstehen. 3 Zusammenfassung Die Fließbedingungen kohäsiver Schüttgüter werden auf physikalischer Grundlage hergeleitet: Mit der Modellvorstellung steife Partikel mit weichen Kontakten werden die drei Fließbedingungen des Kontinuums (stationärer Fließort, Momentanfließort und Verfestigungsort) formuliert. Die drei wesentlichen Fließ-

18 18 kennwerte innerer Reibungswinkel ϕ i, stationärer Reibungswinkel ϕ st und i- sostatische Zugfestigkeit σ 0 sowie der mittlere Druck σ M,st beim stationären Fließen als Parameter der Vorgeschichte - sind nunmehr in einem Satz überschaubarer, linearer konstitutiver Gleichungen für die momentane Verfestigung, beginnendes und stationäres Fließen enthalten: ( σm σm,st ) σ ϕst ( σm,st + σ0 ) ( σ + σ ) σ σr sin ϕi R,st Fließort (FO) Φ FO, SFO, VO = 0 = σr,st sin stationärer Fließort (SFO) (15) σ R sin ϕi M M,st R,st Verfestigungsort (VO) Bild 12: Charakteristische Kennwertfunktionen kohäsiver Pulver für nachgiebiges und steifes Partikelkontakt- u. Fließverhalten [31] Erstmalig ist der unmittelbare Einfluß des mechanischen Partikelkontaktverhaltens, ausgedrückt durch einen elastisch-plastischen Kontaktverfestigungskoeffi-

19 19 zienten κ, auf die semi-empirische Fließfunktion ff c (nach Jenike) analytisch darstellbar. Mit Hilfe eines Kompressibilitätsindex läßt sich das Verdichtungsverhalten einschätzen. Zusätzlich werden die Kompressionsrate und die spezifische Kompressionsarbeit eingeführt. Damit können die Schüttgüter hinsichtlich elastischer Steifigkeit, Kontaktnachgiebigkeit, Haftkraftverstärkung, Fließfähigkeit und Kompressibilität auf physikalischer Grundlage beurteilt werden, Bild 12. Als trockenes, sehr kohäsives Schüttgut wurde ein TiO 2 -Nanopulver mit d ST = 200 nm ausgewählt. Mit diesen partikelmechanisch begründeten Modellen können die Antwortfunktionen auf extreme Beanspruchungs- und Fließzustände bei verfahrenstechnischen Prozessen, Lager- und Fördervorgängen, z. B. hohe Drücke oder lange Scherwege, hinreichend beschrieben werden. Selbstverständlich lassen sich mit den vorgestellten Pulver- oder Schüttgut-Eigenschaftsfunktionen auch zweckmäßige Schlußfolgerungen für eine marktgerechte Produktgestaltung in der stoffwandelnden Industrie [41] ziehen. Danksagung Der Autor möchte sich bei seinen Mitarbeitern Dr. S. Aman, Dr. T. Gröger, S. Schubert, B. Ebenau, Dr. B. Reichmann, Dr. Th. Kollmann und Dr. W. Hintz für die experimentellen Beiträge und konstruktiven Hinweise bedanken. Ein besonderer Dank gilt Prof. H.-J. Butt [6] und Prof. S. Luding [5] für die intensiven und kritischen Diskussionen der physikalischen Grundlagen der Partikel- und Schüttgutmechanik im Rahmen der gemeinsamen Bearbeitung des Projektes Scherdynamik kohäsiver, feindisperser Partikelsysteme innerhalb des DFG- Sonderprogrammes Verhalten granularer Medien. 4 Literatur [1] Rumpf, H., Die Wissenschaft des Agglomerierens, Chemie Ingenieur Technik 46 (1974) 1-11 [2] Schubert, H., Grundlagen des Agglomerierens, Chemie Ingenieur Technik 51 (1979) [3] Kalman, H., Particle Technology in the Chemical Industry, Vortrag, Verfahrenstechnisches Kolloquium, Magdeburg 2002 [4] Molerus, O., Schüttgutmechanik - Grundlagen und Anwendungen in der Verfahrenstechnik, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York- Tokyo 1985 [5] Herrmann, H. J. und Luding. S., Modeling granular media on the computer, Continuum Mechanics and Thermodynamics 10 (1998) [6] Butt, H.-J., Jaschke, M. und Ducker, W., Measuring surface forces in aqueous electrolyte solution with atomic force microscope, Bioelectro-

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