Vergleich von FE-Programmen hinsichtlich ihrer Eignung für Pushdown Analysen

Transkript

1 Institut für Baustatik und Stahlbau Univ.-Prof. Dr.-Ing. Uwe Starossek Studienarbeit Vergleich von FE-Programmen hinsichtlich ihrer Eignung für Pushdown Analysen Sabrina Müller Matrikelnummer Februar 2010 Betreuer: Univ.-Prof. Dr.-Ing. Uwe Starossek Dipl.-Ing. Marco Haberland

2 Erklärung Ich versichere, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig verfasst und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe. Die Arbeit hat in gleicher oder ähnlicher Form noch keinem anderen Prüfungsamt vorgelegen. Ich stimme der Weitergabe meiner Arbeit zu wissenschaftlichen Zwecken zu. Hamburg, den 4. Februar Sabrina Müller I

3 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung Motivation Zielsetzung Vorgehensweise Theoretische Grundlagen der Pushdown Analyse Progressiver Kollaps Definition Aktuelle Forschung und Normung Pushover Analyse und Pushdown Analyse Pushover Analyse Pushdown Analyse Nichtlineares Materialverhalten Nichtlineares Materialverhalten von Stahl Nichtlineares Materialverhalten von Beton Fließgelenktheorie Allgemeine Theorie Definition nach FEMA P-Delta Effekt Definition Berechnung des P-Delta Effektes Vergleich mit der Theorie II. und III. Ordnung Programme zur Durchführung einer Pushdown Analyse Vorstellung der Programme Auswahl der Programme zur Untersuchung MIDAS Gen Allgemein Grundlagen des Programms Die Finite Elemente Methode Elemente und Knotenbedingungen Material- und Querschnittseigenschaften Lastfälle Durchführbare Analysen Verifikationsberechnung Besonderheiten bei der Eingabe Materielle Nichtlinearität II

4 Inhaltsverzeichnis Geometrische Nichtlinearität Geometrische Nichtlinearität bei dreidimensionalen Systemen Umsetzung der Pushdown Analyse Ergebnisse der Pushdown Analysen Einfache Systeme Zweidimensionales Modell Dreidimensionales Modell Handhabbarkeit des Programms Beurteilung des Programms SAP Allgemein Grundlagen des Programms Die Finite Elemente Methode Elemente und Knotenbedingungen Material- und Querschnittseigenschaften Lastfälle Durchführbare Analysen Verifikationsberechnung Besonderheiten bei der Eingabe Materielle Nichtlinearität Geometrische Nichtlinearität Geometrische Nichtlinearität bei dreidimensionalen Systemen Umsetzung der Pushdown Analyse Ergebnisse der Pushdown Analysen Einfache Systeme Zweidimensionales Modell Dreidimensionales Modell Handhabbarkeit des Programms Beurteilung des Programms Strand7 / Straus Allgemein Grundlagen des Programms Die Finite Elemente Methode Elemente und Knotenbedingungen Material- und Querschnittseigenschaften Lastfälle Durchführbare Analysen Verifikationsberechnung Besonderheiten bei der Eingabe Materielle Nichtlinearität Geometrische Nichtlinearität Geometrische Nichtlinearität bei dreidimensionalen Systemen Umsetzung der Pushdown Analyse Ergebnisse der Pushdown Analysen Einfache Systeme III

5 Inhaltsverzeichnis Zweidimensionales Modell Dreidimensionales Modell Handhabbarkeit des Programms Beurteilung des Programms Vergleich der vorgestellten Programme Vergleich der Ergebnisse Beurteilung Fazit und Ausblick 142 Anhang 149 IV

6 Abbildungsverzeichnis 1.1. Ronan Point Hochhaus, London, 1968 (Nair 2006) World Trade Center, Now York, 2001 (Nair 2006) Beispiel für eine Pushover Analyse an einem zweidimensionalen Rahmen (Barros u. Almeida 2005) Capacity Curve vs. Demand Curve: (a) erdbebensicher, (b) nicht erdbebensicher (Kadid u. Boumrkik 2008) Möglichkeiten einer Pushdown Analyse nach Khandelwal (2008): a) Uniform Pushdown, b) Bay Pushdown, c) Incremental Dynamic Pushdown Spannungs-Dehnungs-Linie für Stahl (Priebe u. Starossek 2007) Spannungs-Dehnungs-Linie für Betonstahl (DIN 2008a) Spannungs-Dehnungs-Linie für Beton (DIN (2008a), Bild 22) Idee der Fließgelenktheorie (Priebe u. Starossek 2007) Momenten-Verkrümmungs-Linien für Stahlprofile: a) nichtlineare Beziehung, b) linear elastisch, ideal plastische Beziehung Momenten-Verkrümmungs-Linie für Stahlbetonprofile (Sigrist 2007) Kraft-Verschiebungs- bzw. Momenten-Rotations-Kurve nach FEMA (2000), Figure Kraft-Verformungs-Kurve für die Pushdown Analyse P-Δ-Effekt (Dobson 2003) P-δ-Effekt (Dobson 2003) Logo MIDAS Gen Allgemeine Vorgehensweise bei der Finiten Elemente Methode Integrationspunkte für 2 x 2 Gauss-Quadratur (Carroll (1999), Figure 9.9) Prinzip des Newton-Raphson-Verfahrens Last-Verschiebungs-Kurve mit a) Snap-through und b) Snap-back (MIDASoft Inc.) Prinzip des Arc-Length-Verfahrens (Memon u. Su 2004) Eingabemaske für Materialeigenschaften in MIDAS Gen [I] Eingabemaske für nichtlineare Materialeigenschaften in MIDAS Gen [I] Eingabemaske für Querschnittseigenschaften in MIDAS Gen [I] Beispiel für ein lokales Koordinatensystem in MIDAS Gen [I] Eingabemaske für die Berücksichtigung von Nichtlinearitäten in MI- DAS Gen [I] Eingabemaske für Fliessgelenke in MIDAS Gen [I] Momenten-Rotations-Linie aus MIDAS Gen [I] V

7 Abbildungsverzeichnis Pushover Analysis Control aus MIDAS Gen [I] Eingabemaske für die Lastfälle der Pushdown Analyse aus MIDAS Gen [I] Beispiel für eine Kapazitätskurve aus MIDAS Gen [I] Fließgelenke nach den Lastschritten 9, 12, 15, 20, 23, 34 und 50 aus MIDAS Gen [I], zur Legende: siehe Kapitel Kapazitätskurve für das dreidimensionale Rahmentragwerk aus MI- DAS Gen [I] Beispielhafte Momenten-Rotations-Linie aus der Beispielrechnung zur Pushdown Analyse aus MIDAS Gen [I] Verformungsfigur in m des zweidimensionalen Rahmens nach Lastschritt 48 aus MIDAS Gen [I] Verformungsfigur in m des zweidimensionalen Rahmens nach Lastschritt 49 aus MIDAS Gen [I] Zweidimensionales Modell zur Durchführung der Pushdown Analyse aus MIDAS Gen [I] Kapazitätskurve für den Ausfall der Stütze C1 aus MIDAS Gen [I] Fließgelenke nach den Lastschritten 1, 9, 12, 23, 29, 33 und 44 aus MIDAS Gen [I], zur Legende: siehe Kapitel Verformungsfigur in m nach Lastschritt 44 aus MIDAS Gen [I] Dreidimensionales Modell zur Durchführung der Pushdown Analyse aus MIDAS Gen [I] Kapazitätskurve für den Ausfall der Stütze A1 aus MIDAS Gen [I] Beispielhafte Momenten-Rotations-Linie für den Ausfall der Stütze A1 aus MIDAS Gen [I] Fließgelenke nach den Lastschritten 17, 21, 25, 36, 43, 48 und 49 nach Wegfall der Stütze A1 aus MIDAS Gen [I], zur Legende: siehe Kapitel Fließgelenke nach den Lastschritten 25, 27, 30, 33, 37, 42 und 43 nach Wegfall der Stütze A2 aus MIDAS Gen [I], zur Legende: siehe Kapitel Programmfenster MIDAS Gen [I] Logo SAP2000 (Computers & Engineering 2009) Prinzip der Iteration mit konstanter Steifigkeit Eingabemaske für Materialeigenschaften in SAP2000 [II] Eingabemaske für Querschnittswerte eines I-Profils in SAP2000 [II] Beispiel für ein lokales Koordinatensystem in SAP Eingabemaske für Faktoren zur Berücksichtigung der Querschnitseigenschaften in SAP2000 [II] Eingabemaske für Lastfälle/Analysen in SAP2000 [II] I-Profil Eingabemaske für Fließgelenke in SAP2000 [II] Momenten-Rotations-Linie zu A.1.1 aus SAP2000 [II] Momenten-Rotations-Linie zu A.1.3 aus SAP2000 [II] VI

8 Abbildungsverzeichnis Eingabemaske für die Berücksichtigung der geometrischen Nichtlinearität in SAP2000 [II] Pushover Kurve nach FEMA 356 aus SAP2000 [II] Momenten-Rotations-Linie aus der zweidimensionalen Beispielrechnung zur Pushdown Analyse aus SAP2000 [II] Momenten-Rotations-Linie aus der dreidimensionalen Beispielrechnung zur Pushdown Analyse aus SAP2000 [II] Fließgelenke nach den Lastschritten 3, 5, 8, 11, 14, 16, 20 und 25 aus SAP2000 [II], zur Legende: siehe Kapitel Zweidimensionales Modell zur Durchführung der Pushdown Analyse aus SAP2000 [II] Fließgelenke nach den Lastschritten 1, 4, 10 und 14 aus SAP2000 [II], zur Legende: siehe Kapitel Fließgelenke nach den Lastschritten 17, 19, 21 und 27 aus SAP2000 [II], zur Legende: siehe Kapitel Dreidimensionales Modell zur Durchführung der Pushdown Analyse aus SAP2000 [II] Momenten-Rotations-Linie für den Ausfall der Stütze B1 aus SAP2000 [II] Fließgelenke nach den Lastschritten 3, 4, 5 und 7 aus SAP2000 [II], zur Legende: siehe Kapitel Programmfenster SAP2000 [II] Logo Strand Mögliche Integrationspunkte eines Dreiecks in Straus7 (G+D Computing 2004) Mögliche Integrationspunkte eines Tetraeders in Straus7 (G+D Computing 2004) Prinzip der Sector Symmetry in Straus7 (G+D Computing 2004) Eingabemaske für Querschnittseigenschaften in Straus7 [III] Koordinatensysten eines linienförmigen Elementes in Straus7 (G+D Computing 2004) Eingabemaske für Materialeigenschaften in Straus7 [III] Spannungs-Dehnungs-Diagramm für Stahl S235 in Straus7 [III] Eingabemaske für Lastfälle in Straus7 [III] Eingabemaske für eine nichtlineare statische Analyse in Straus7 [III] Ergebnis aus Berechnung A.1.1 aus Straus7 [III] nach Eingabe des Spannungs-Dehnungs-Diagramms Momenten-Verkrümmungs-Linie zu Rechnung A.1.1 in Straus7 [III] Verformung des Querschnitts vor dem Versagen aus Straus7 [III] Verformung des Querschnitts nach dem Versagen aus Straus7 [III] Fiber Stresses eines Balkens aus Straus7 [III] Spannungen im Rahmentragwerk nach dem Lastschritt 74 aus Straus7 [III] Schnittmomente bezogen auf das Fließmoment nach den Lastschritten 42, 48, 63 und 66 aus Straus7 [III] VII

9 Abbildungsverzeichnis Zweidimensionales Modell zur Durchführung der Pushdown Analyse aus Straus7 [III] Maximal ermittelte Schnittmomente für den Ausfall der Stütze A1 und A2 aus Straus7 [III] Dreidimensionales Modell zur Durchführung der Pushdown Analyse aus Straus7 [III] Schnittmomente bezogen auf das Fließmoment vor dem Versagen des Tragwerks für den Ausfall der Stütze B1 aus Straus7 [III] Schnittmomente bezogen auf das Fließmoment vor dem Versagen des Tragwerks für den Ausfall der Stütze B2 aus Straus7 [III] Programmfenster Straus7 [III] Hauptkriterien und ihre Wertung zur Beurteilung der Programme Ergebnistabelle des Paarvergleichs A.1. Einfeldbalken mit Einzellast A.2. Auflagerkräfte in kn aus Stab2D [V] A.3. Momentenverlauf in kncm aus Stab2D [V] A.4. Biegelinie in cm aus Stab2D [V] A.5. Fließgelenk am Einfeldbalken A.6. Momenten-Verkrümmungs-Linie für HEA400 Profil aus INCA2 [IV]. 152 A.7. Momenten-Verkrümmungs-Linie bis zum Bruch nach INCA2 [IV] A.8. Eingespannter Stab mit Belastung A.9. Auflagerkräfte in kn bzw. kncm aus Stab2D [V] nach Theorie II. Ordnung A.10.Momentenverlauf in kncm aus Stab2D [V] nach Theorie II. Ordnung 154 A.11.Biegelinie in cm aus Stab2D [V] nach Theorie II. Ordnung A.12.Zweidimensionales Rahmentragwerk A.13.Momenten-Verkrümmungs-Linie in einem Fließgelenk A.14.Stabnummern A.15.Auflagerkräfte in kn aus Stab2D [V] nach Theorie II. Ordnung A.16.Knotennummern A.17.Normalkraftverlauf in kn aus Stab2D [V] nach Theorie II. Ordnung. 159 A.18.Querkraftverlauf in kn aus Stab2D [V] nach Theorie II. Ordnung A.19.Momentenverlauf in kncm aus Stab2D [V] nach Theorie II. Ordnung 160 A.20.Biegelinie in cm aus Stab2D [V] nach Theorie II. Ordnung A.21.Einfeldbalken A.22.Stahlbetonquerschnitt A.23.Auflagerkräfte in kn aus Stab2D-NL [VI] A.24.Momentenverlauf in knm aus Stab2D-NL [VI] A.25.Biegelinie in mm aus Stab2D-NL [VI] A.26.Momenten-Verkrümmungs-Linie für Stahlbetonquerschnitt aus IN- CA2 [IV] A.27.Druckriegel a) mit Ersatzlast F y, b) mit geometrischer Ersatzimperfektion Δ y (Gensichen u. Lumpe 2008a) A.28.Ebenes Rautenfachwerk mit Lasten senkrecht zur Systemebene (Gensichen u. Lumpe 2008b) VIII

10 Abbildungsverzeichnis A.29.Kragträger mit vorverformter Stabachse und Belastung (Gensichen u. Lumpe 2008b) A.30.Kragträger mit Torsionsbelastung und Normalkraft (Gensichen u. Lumpe 2008b) A.31.Statisch bestimmt gelagerter Balken mit Doppelbiegung (Gensichen u. Lumpe 2008b) B.1. Momenten-Rotations-Linie aus MIDAS Gen [I] B.2. Momenten-Rotations-Linie bis zum Bruch aus MIDAS Gen [I] B.3. Fließgelenke in Verifikationsberechnung 3 aus MIDAS Gen [I] B.4. Normalkraftverlauf in kn aus MIDAS Gen [I] B.5. Querkraftverlauf in kn aus MIDAS Gen [I] B.6. Momentenverlauf in knm aus MIDAS Gen [I] B.7. Biegelinie in m aus MIDAS Gen [I] B.8. Momenten-Rotations-Linie aus SAP2000 [II] B.9. Momenten-Rotations-Linie bis zum Bruch aus SAP2000 [II] B.10.Fließgelenke im Rahmentragwerk aus SAP2000 [II] B.11.Normalkraftverlauf in kn aus SAP2000 [II] B.12.Querkraftverlauf in kn aus SAP2000 [II] B.13.Momentenverlauf in knm aus SAP2000 [II] B.14.Biegelinie aus SAP2000 [II] B.15.Momenten-Verkrümmungs-Linie für Stahlbetonquerschnitt aus SAP2000 [II] B.16.Biegemoment und Verformung im Balken vor dem Versagen des Querschnitts aus Straus7 [III] B.17.Biegemoment und Verformung im Balken nach dem Versagen des Querschnitts aus Straus7 [III] B.18.Spannungen im Rahmentragwerk aus Straus7 [III] B.19.Momenten-Verkrümmungs-Linie für IPE 240 Profil in Straus7 [III] B.20.Momenten-Verkrümmungs-Linie für IPE 200 Profil in Straus7 [III] B.21.Normalkraftverlauf in kn aus Straus7 [III] B.22.Querkraftverlauf in kn aus Straus7 [III] B.23.Momentenverlauf in knm aus Straus7 [III] B.24.Biegelinie aus Straus7 [III] C.1. Zweidimensionaler Rahmen zur Durchführung der Pushdown Analyse 191 C.2. Dreidimensionaler Rahmen zur Durchführung der Pushdown Analyse 191 C.3. Ansicht des zweidimensionalen Beispieltragwerks zur Durchführung der Pushdown Analyse C.4. Grundriss des zweidimensionalen Beispieltragwerks zur Durchführung der Pushdown Analyse C.5. Belastung des zweidimensionalen Beispieltragwerks zur Durchführung der Pushdown Analyse Khandelwal u. a. (2008) C.6. Grundriss des dreidimensionalen Beispieltragwerks zur Durchführung der Pushdown Analyse C.7. Ansicht des dreidimensionalen Beispieltragwerks zur Durchführung der Pushdown Analyse IX

11 Abbildungsverzeichnis D.1. Bewertungstabelle zur Demoversion D.2. Bewertungstabelle zur Handhabbarkeit und Unterstützung D.3. Bewertungstabelle zu den Ergebnissen der 2D-Verifikationsberechnungen202 D.4. Bewertungstabelle zu den Ergebnissen der 3D-Verifikationsberechnungen203 D.5. Bewertungstabelle zur Umsetzung der Pushdown Analyse D.6. Bewertungstabelle zu den Ergebnissen der Pushdown Analysen X

12 Tabellenverzeichnis 2.1. Materialeigenschaften von Stahl S Materialeigenschaften von Betonstahl BSt Materialeigenschaften von Beton C 35/ Verschiebungsgeometrie nach Theorie II. und III. Ordnung (Rothert u. Gensichen (1987), Tabelle 2.1) Mögliche Elementtypen in MIDAS Gen Ergebnisse zu A.1.2 aus MIDAS Gen [I] Mögliche Elementtypen in SAP Unterschiede zwischen linearen und nichtlinearen Analysen in SAP Ergebnisse zu A.1.2 aus SAP2000 [II] Mögliche Elementtypen in Straus7 (1) Mögliche Elementtypen in Straus7 (2) Mögliche Analysetypen in Straus A.1. Werte der Momenten-Verkrümmungs-Linien der einzelnen Stäbe aus INCA2 [IV] A.2. Schnittgrößen und Verschiebungen des Rahmentragwerkes nach Theorie II. Ordnung aus Stab2D [V] A.3. Ergebnisse für ein ebenes Rautenfachwerk nach Gensichen u. Lumpe (2008b) C.1. Querschnitte des zweidimensionalen Beispieltragwerks zur Durchführung der Pushdown Analyse C.2. Querschnitte des dreidimensionalen Beispieltragwerks zur Durchführung der Pushdown Analyse XI

13 Verzeichnis der verwendeten Formelzeichen Lateinische Buchstaben a, b B t c D t E E cm E s f c f i f u,k f t f y,k G t I K K G ΔL M M P l M El M u M y M cr N P Δp q q i Q Q y u U V j e Kennwerte für die Verschiebung bzw. Rotation des Querschnitts Dehnungs-Verschiebungs-Matrix, formuliert für den aktuellen Zustand des Systems Resttragfähigkeit Dehnungs-Spannungs-Matrix, formuliert für den aktuellen Zustand des Systems Elastizitätsmodul Mittlerer Elastizitätsmodul für Normalbeton Mittlerer Elastizitätsmodul des Stahls Höchstwert der Betondruckspannung Vektor der inneren Knotenkräfte Zugfestigkeit des Stahls Zugfestigkeit des Betonstahls Streckgrenze / Fließgrenze des Stahls abgeleitete Matrix der Formfunktion. Flächenträgheitsmoment des Querschnitts Steifigkeitsmatrix, formuliert für den aktuellen Zustand des Systems geometrische Steifigkeitsmatrix oder Stabilitätsmatrix gewünschter, fester Radius Moment im Querschnitt Plastisches Moment bei dem ein Querschnitt vollständig plastiziert Elastisches Moment bei Erreichen der Fließspannung in einer Faser Maximales Moment beim Versagen des Querschnitts Moment bei Erreichen der Fließspannung Moment bei dem der Beton beginnt abzuplatzen Anzahl der Elemtente des FE-Modells Axiale Belastung Vektor der inkrementellen Verschiebung Vektor der äußeren Kräfte Vektor der Ungleichgewichtskraft Aufgebrachte Kraft Kraft bei Fließbeginn Verschiebung Ungleichgewichtskraft Bereich des Elementes j XII

14 Griechische Buchstaben Verzeichnis der verwendeten Formelzeichen Δ δ ε c ε c1 ε c1u ε s ε y ε v ε u Θ κ κ El κ u κ y κ cr λ i Δλ i σ c σ s σ t Gesamte Verschiebung aus elastischer und plastischer Verformung Bruchdehnung (bleibende Dehnung nach dem Bruch) Dehnung des Betons Dehnung bei Erreichen des Höchstwerts der Betondruckspannung Bruchdehnung bei Erreichen der Festigkeitsgrenze Dehnung des Stahls Dehnung bei Erreichen der Streckgrenze Dehnung bei der die Verfestigung einsetzt Dehnung bei Erreichen der Zugfestigkeit Gesamte Verdrehung aus elastischer und plastischer Verformung Verkrümmung Verkrümmung bei Erreichen des elastischen Momentes Maximale Verkrümmung beim Versagen des Querschnitts Verkrümmung bei Erreichen der Fließspannung Verkrümmung bei der der Beton beginnt abzuplatzen Last-Level Parameter Inkrementeller Lastfaktor Spannung im Beton Spannung im Stahl Cauchy Spannungs-Matrix im globalen Koordinatensystem XIII

15 Vorwort Die Studienarbeit mit dem Titel "Vergleich von FE-Programmen hinsichtlich ihrer Eignung für Pushdown Analysen" wurde am Institut für Baustatik und Stahlbau der Technischen Universität Hamburg-Harburg angefertigt. Betreut wurde ich bei der Ausarbeitung von Univ.-Prof. Dr.-Ing. Uwe Starossek und Dipl.-Ing. Marco Haberland, für deren Unterstützung ich mich an dieser Stelle bedanken möchte. Auch bei Herrn Frank Heyder von hpl structural in Berlin möchte ich mich herzlich für die Bereitstellung einer Vollversion des Programms Straus7 und für seine Unterstützung im Umgang mit dem Programm bedanken. Bei der stetigen Kontrolle der von mir durchgeführten Verifikationsberechnungen und Pushdown Analysen ist mir bewusst geworden, wie schnell sich bei der Eingabe Fehler einschleichen können. Ich habe die Berechnungen mit großer Sorgfalt durchgeführt und geprüft, kann aber dennoch nicht vollständig ausschließen, dass ich einen Fehler übersehen habe. Ich habe alle Aussagen zu den Programmen auf der Grundlage meiner Ergebnisse und Erfahrungen getroffen. Bei einer Weiterverwendung rate ich dem Nutzer, die entsprechenden Ergebnisse noch einmal zu überprüfen. Alle Eingabe- und Ausgabedateien der durchgeführten Berechnungen befinden sich auf der beigefügten CD. Es wurden im Rahmen dieser Studienarbeit keine dynamischen Berechnungen mit den untersuchten Programmen durchgeführt und es wurden lediglich Balken- und Rahmentragwerke untersucht. Alle Aussagen beziehen sich daher nur auf statische, lineare oder nichtlineare Analysen dieser Tragwerksarten. Sabrina Müller XIV

16 Aufgabenstellung Studienarbeit Frau Sabrina Müller Vergleich von FE-Programmen hinsichtlich ihrer Eignung für Pushdown Analysen Infolge katastrophaler Bauwerkseinstürze (z.b. Murrah Building, Oklahoma City, USA, 1995; World Trade Center, New York, USA, 2001) rückte das Thema progressiver Kollaps vermehrt in das öffentliche Bewusstsein. Die Anfälligkeit verschiedener Tragwerke zu progressivem Kollaps wird im Rahmen der klassischen elementbezogenen Bemessung von Tragwerken nicht erfasst. Durch außergewöhnliche Ereignisse können einzelne Tragwerkselemente trotz normgerechter Bemessung versagen, was Auslöser eines progressiven Kollapses sein kann. Um eine ausreichende Sicherheit gegenüber progressivem Kollaps zu gewährleisten ist eine Untersuchung des globalen Tragwerksverhaltens erforderlich. Die hierzu notwendigen dynamischen Untersuchungen sind sehr aufwändig, weswegen vielfach ein vereinfachendes Verfahren die auf der Fließgelenktheorie basierende Pushdown Analysis verwendet wird, um das Tragwerksverhalten abzuschätzen. Für die Durchführung der Pushdown- Analysen gibt es eine Vielzahl von Computerprogrammen, deren Eigenschaften und Leistungsfähigkeit variieren. Aufgabenstellung Im Rahmen dieser Studienarbeit sollen ausgewählte Programme hinsichtlich ihrer Eignung für Pushdown Analysen untersucht und miteinander verglichen werden. Zu untersuchende Programme: MIDAS, ELS, ANSYS und SAP2000 Vorstellung der Programme Verifikationsberechnungen einfacher ebener und räumlicher Tragwerke Erarbeitung der für die Pushdown Analyse grundlegenden Theorien und Darstellung der Umsetzung in den ausgewählten Programmen Durchführung von Pushdown Analysen einfacher Vergleichssysteme Darstellung der Stärken und Schwächen der einzelnen Programme; Beurteilung der Handhabbarkeit, des Aufwands und der Ergebnisgüte Weitere Details sind in Absprache mit den Betreuern festzulegen. Betreuer Prof. Dr.-Ing. Uwe Starossek, Dipl.-Ing. Marco Haberland XV

17 Aufgabenstellung Änderungen der Aufgabenstellung 03. November 2009 Da für die Überprüfung der Programme eine kostenfreie Demoversion der Software genutzt werden soll, habe ich die Herstellerfirmen gebeten mir ihre Software zu Studienzwecken zur Verfügung zu stellen. Viele Firmen bieten auch bereits auf ihrer Homepage eine beschränkte Version ihres Programmes an, die ich für meine Untersuchungen verwenden konnte. Leider war es bei den Programmen ELS und ANSYS nicht möglich eine kostenlose Version zu erhalten. In Absprache mit Dipl.-Ing. Marco Haberland am 03. November 2009 wurde daher die Aufgabenstellung geändert und anstatt der Programme ELS und ANSYS werden die Programme Strand7 und OpenSEES untersucht. 24. November 2009 In Absprache mit Dipl.-Ing. Marco Haberland am 24. November 2009 wurde die Aufgabenstellung geändert und es wird auf die Untersuchung des Programms Open- SEES verzichtet. Die graphische Benutzeroberfläche des Programmes steht nicht kostenfrei zur Verfügung und das Erlernen der textbasierten Eingabe würde den zeitlichen Rahmen der Studienarbeit überschreiten. XVI

18 1. Einleitung 1.1. Motivation In der jüngeren Vergangenheit gab es immer wieder Fälle, in denen Gebäude teilweise oder sogar vollständig einstürzten, obwohl sie nach den gängigen Normen und aktuellen Anforderungen für ihre voraussichtliche Lebensdauer korrekt bemessen wurden. Einer der ersten bekannten Fälle ist der Teileinsturz des Ronan Point Hochhauses in London im Mai 1968 nach einer Gasexplosion im 18. Stock (siehe Abbildung 1.1). Den traurigen Höhepunkt einer Reihe darauf folgender Schadensfälle bildet der Einsturz der beiden Türme des World Trade Center in New York nach zwei Flugzeugeinschlägen (siehe Abbildung 1.2). Seit diesem dramatischen Ereignis am 11. September 2001 sind die Zweifel an der ausreichenden Sicherheit unserer Gebäude immer lauter geworden und vor allem in den USA sind die Forschungsaktivitäten zu dem Thema Progressiver Kollaps stark intensiviert worden. Abbildung 1.1.: Ronan Point Hochhaus, London, 1968 (Nair 2006) Abbildung 1.2.: World Trade Center, Now York, 2001 (Nair 2006) 1

19 1. Einleitung Als progressiver Kollaps wird das Phänomen bezeichnet, wenn durch eine lokale Einwirkung das Gebäude derart geschädigt wird, dass eine Kettenreaktion ausgelöst wird, die große Teile oder das gesamte Tragwerk einstürzen lassen. Auslöser für die lokale Schädigung sind hierbei außergewöhnliche Einwirkungen mit einer geringen Eintrittswahrscheinlichkeit. Neben ungewollten Ursachen, wie zum Beispiel der Gasexplosion im Ronan Point Hochhaus, haben vor allem die gewollten Schädigungen durch Terroranschläge wie jene am 11. September 2001 gezeigt, wie verletzlich Gebäude gegenüber solchen Beanspruchungen sind und wie wichtig es ist, Tragwerke schon beim Entwurf hierauf auszulegen. Besonders Gebäude, die für den Aufenthalt einer großen Anzahl von Personen bestimmt sind oder einen großen symbolischen, politischen oder wirtschaftlichen Wert haben, sollten heute unter Berücksichtigung eines progressiven Kollapses bemessen werden (vgl. Gebekken u. Döge (2004)). Die aktuellen Bemessungsnormen versagen jedoch hinsichtlich einer Untersuchung des Tragwerks auf dessen Anfälligkeit für progressiven Kollaps. Die Nachweisverfahren vergleichen für wahrscheinliche Lastfälle die Einwirkungen und den Widerstand einzelner Tragwerkelemente unter Berücksichtigung von Teilsicherheitsbeiwerten. Hierbei treten zwei Probleme auf, die zeigen, dass ein progressiver Kollaps mit der derzeitigen Normung nicht zu bemessen ist (vgl. Starossek (2005)). Zunächst werden lediglich die Widerstände auf lokaler Ebene betrachtet. Es wird vorausgesetzt, dass der Widerstand des Gesamttragwerks durch die Widerstände der einzelnen Elemente ausreichend sichergestellt ist. Weiterhin werden Einwirkungen mit geringer Eintrittswahrscheinlichkeit in der Bemessung gar nicht oder nur sehr allgemein berücksichtigt. Um die Wahrscheinlichkeit eines progressiven Kollapses für ein Tragwerk vorherzusagen ist es jedoch gerade notwendig, das gesamte Tragwerk unter außergewöhnlichen Lasten zu betrachten. Um Gebäude in Zukunft auf progressiven Kollaps untersuchen zu können, wurden in der Forschung bereits verschiedene Methoden entwickelt. Die verschiedenen Ansätze scheitern jedoch meist an der praktischen Umsetzbarkeit. Computerprogramme auf Basis der Finiten-Elemente-Methode (FEM) bieten sich zur Untersuchung des Gesamttragwerks an. Die Anforderungen an diese Programme sind jedoch sehr hoch, da große dynamische Kräfte sowie eine stoffliche und geometrische Nichtlinearität berücksichtigt werden müssen. Nur so können die großen Verformungen und Verschiebungen oder das Ablösen und Aufprallen von Tragwerkselementen realistisch modelliert werden (vgl. Starossek (2008)). Diese hohen Anforderungen erfüllen bisher nur sehr wenige Programme und die Rechenzeiten sind wenig wirtschaftlich. Um das Verhalten eines Tragwerks unter außergewöhnlichen Einwirkungen dennoch abschätzen zu können, wurde die auf der Fließgelenktheorie basierende Pushdown Analysis entwickelt. Sie wurde abgeleitet aus der Pushover Analysis, die der Abschätzung von Schäden durch Erdbebenbeanspruchung dient. Die Pushdown Analyse betrachtet das Verhalten des Tragwerks nachdem ein oder mehrere kritische Elemente ausgefallen sind. Die vertikalen Lasten werden langsam gesteigert und das System wird bei jeder Laststeigerung beobachtet (vgl. Khandelwal (2008)). Nach der Fließgelenktheorie bilden sich an bestimmten Stellen nach und nach Fließgelenke aus, bis die Struktur oder große Teile davon nicht mehr tragfähig sind und 2

20 1. Einleitung einstürzen. So soll das Verhalten des Gebäudes bei einem progressiven Kollaps abgebildet und untersucht werden. Es gibt eine Reihe von Programmen, die nach Aussage der Entwickler eine Pushdown Analyse korrekt durchführen können. In dieser Arbeit sollen einige dieser Programme vorgestellt und auf ihre Eignung zur Durchführung einer Pushdown Analyse untersucht werden Zielsetzung Ziel dieser Arbeit ist es, für die ausgewählten Programme eine Beurteilung abzugeben, ob sie zur Durchführung einer Pushdown Analyse geeignet sind. Nach den tragischen Schadensfällen und der zunehmenden Gefahr durch Terroranschläge ist es nur noch eine Frage der Zeit, wann eine Untersuchung von Tragwerken auf progressiven Kollaps in Amerika und Europa verpflichtend sein wird. Um dem praktischen Ingenieur dann möglichst schnell Möglichkeiten zur Untersuchung eines Tragwerks empfehlen zu können, muss die Forschung bereits heute die verfügbaren Methoden und Programme untersuchen und beurteilen. Einen kleinen Teil dieser Aufgabe soll die vorliegende Arbeit übernehmen und einen Überblick verschaffen, welche Programme für die Pushdown-Analyse zu empfehlen sind und welche eventuell unzureichende Ergebnisse liefern Vorgehensweise Um die ausgewählten Programme hinsichtlich ihrer Eignung zur Durchführung einer Pushdown Analyse untersuchen zu können, müssen zunächst die theoretischen Grundlagen der Analyse geklärt werden. Eine zusammenfassende Darstellung findet sich in Kapitel 2 dieser Arbeit. Anschließend werden in Kapitel 3 verschiedene Programme vorgestellt, die zur Durchführung einer Pushdown Analyse verwendet werden können. Hieraus wurden drei Programme ausgewählt, die genauer untersucht werden. Die allgemeinen Informationen sowie die technischen Grundlagen dieser Programme werden anschließend vorgestellt. Um die Ergebnisse der Programme zu verifizieren, werden zunächst einfache ebene und räumliche Systeme unter statischer Last berechnet und mit den Ergebnissen aus Handrechnungen oder zuverlässigen Statikprogrammen verglichen. Hierbei werden die Fähigkeit der Programme zur Berücksichtigung materieller und geometrischer Nichtlinearität sowie das Verhalten bei Erreichen des Bruchzustandes überprüft. Anschließend wird dargestellt, wie die einzelnen Programme eine Pushdown Analyse umsetzen, und es werden Analysen an ebenen sowie räumlichen Beispieltragwerken durchgeführt. 3

21 1. Einleitung Die Ergebnisse der einzelnen Programme werden in Kapitel 4 bis 6 dieser Arbeit zunächst getrennt voneinander dargestellt und bewertet. In Kapitel 7 werden die Ergebnisse schließlich verglichen und zusammenfassend beurteilt. In Kapitel 8 werden die Erkenntnisse dieser Studienarbeit zusammengefasst und es wir ein Ausblick auf die in Zukunft erforderliche Forschungsarbeit gegeben. Die Systeme und ermittelten Ergebnisse der Verifikationsberechnungen sowie die Systeme, die zur Durchführung der Pushdown Analyse verwendet wurden, sind im Anhang dargestellt. 4

22 2. Theoretische Grundlagen der Pushdown Analyse Um die verschiedenen Programme hinsichtlich ihrer Eignung zur Durchführung einer Pushdown-Analyse zu untersuchen, müssen zunächst die theoretischen Grundlagen dieser Analyse erläutert werden. Hierzu wird zunächst noch einmal ausführlicher die Versagensart des progressiven Kollaps sowie der aktuelle Stand der Forschung und Normung dazu kurz beschrieben. Anschließend werden die Ansätze der Pushover Analyse und der darauf beruhenden Pushdown Analyse sowie deren grundlegende Theorien die Fließgelenktheorie und der P-Delta Effekt erläutert Progressiver Kollaps Definition Kommt es nach einer lokalen Schädigung eines Tragwerks zum Einsturz des gesamten Bauwerks oder zumindest großer Teile davon, so spricht man von einem unverhältnismäßigem Kollaps (disproportionate collapse) (Starossek 2008). Hierbei steht das resultierende Versagen in einem ausgeprägten Missverhältnis zu dem auslösenden Ereignis (Haberland 2007). Breitet sich der Schaden in einer Kettenreaktion durch nacheinander versagende Tragwerkselemente durch das Bauwerk aus und endet schließlich in einem unverhältnismäßigem Kollaps, so spricht man von einem progressiven Kollaps (progressive collaps) (Haberland 2007). Das initiale Versagen eines Elementes führt zum Versagen weiterer Elemente und schließlich zum Versagen des gesamten Tragwerks. Ereignisse, die einen progressiven Kollaps auslösen, können sehr unterschiedlich sein. So können unter anderem Explosionen, Fahrzeug- oder Flugzeuganprall sowie Naturkatastrophen die Ursache sein. Gemeinsam haben diese plötzlichen Schadensursachen, dass sie statistisch gesehen nur sehr selten auftreten und es daher bis heute noch keine Datengrundlage für ihre Berücksichtigung in der Tragwerksplanung gibt (vgl. Starossek (2008)). Die heutigen komplexen Tragwerke reagieren alle sehr unterschiedlich auf lokale Schädigungen. Die Anfälligkeit für einen progressiven Kollaps variiert und auch die Mechanismen des Kollaps sind verschieden. Die tatsächlich auftretende Art ist abhängig "vom Tragwerkstyp, dem Lastabtrag und der Orientierung des Tragwerks im Raum sowie von Art, Ort und Umfang des auslösenden Initialschadens" (Haberland 5

23 2. Theoretische Grundlagen der Pushdown Analyse (2007), S. 5). Starossek (2008) unterscheidet sechs Kollapstypen: Pfannkuchenartigen Kollaps, Reißverschlussartigen Kollaps, Dominoartigen Kollaps, Sprödbruchartigen Kollaps, Instabilitätsartiger Kollaps sowie eine Mischform, den gemischtartigen Kollaps. Diese Unterscheidung erleichtert Erfassung und Untersuchung eines Kollapses sowie die Entwicklung möglicher Berechnungsverfahren oder Gegenmaßnahmen. In dieser Arbeit soll auf diese Unterscheidung jedoch nicht weiter eingegangen werden, da sie für die Aufgabenstellung nicht notwendig ist. Für eine weitergehende Betrachtung wird auf die Quelle verwiesen Aktuelle Forschung und Normung Obwohl seit den Terroranschlägen des 11. September 2001 die Forschungsaktivitäten zum progressiven Kollaps besonders in den USA verstärkt und besser koordiniert wurden, gibt es bis heute keine geschlossene Theorie des progressiven Kollapses. Jede Veröffentlichung unterscheidet sich in ihren Definitionen, in der Herangehensweise oder den Ergebnissen von den vorherigen und es wurde bisher nur selten versucht, eine allgemein gültige Theorie sowie anerkannte Entwurfs- und Nachweisregeln zu finden. Einen ausführlichen Überblick über den aktuellen Stand der Forschung gibt Starossek (2008). Aufgrund des Fehlens einer übergreifenden Theorie erstaunt es nicht, dass auch die Normung den progressiven Kollaps noch kaum berücksichtigt. In der Richtlinie ASCE 7-02 (ASCE 2002) heißt es beispielsweise: "...structures shall be designed to sustain local damage with the structural system as a whole remaining stable and not being damaged to an extent disproportionate to the original local damage". Es wird demnach zwar eine Robustheit 1 des Tragwerks gefordert, es werden jedoch keine genaueren Angaben zu einem möglichen Nachweis der Robustheit gemacht (vgl. Nair (2006)). Auch in den europäischen und deutschen Normen wird das Thema progressiver Kollaps nur sehr allgemein behandelt. So sagt die DIN , 5.2, Abs. 5 (DIN 2003): "Als Maßnahmen und Strategien zur Risikoreduzierung infolge außergewöhnlicher Einwirkungen gelten: [...] eine Konstruktion, die bei örtlichem Versagen weder insgesamt noch in wesentlichen Teilen versagt". Nach welchen Kriterien eine solche Konstruktion entworfen werden muss, wird jedoch nicht weiter ausgeführt. Ähnlich allgemein gehaltene Forderungen finden sich auch in der DIN (DIN 2001) und dem Eurocode 0 (CEN 2002). Ob ein Tragwerk überhaupt auf die Folgen außergewöhnlicher Einwirkungen untersucht werden muss, legen in Deutschland die "zuständigen Behörden" (DIN (2003), 5.2, Abs. 3) fest und die Umsetzung bleibt dem planenden Bauingenieur überlassen. Bisher wird der progressive Kollaps in der Normung also nur sehr allgemein behandelt. Es lässt sich jedoch vermuten, dass durch die steigende Anzahl von Schadensfällen und die gesteigerte Angst vor terroristischen Angriffen in naher Zukunft 1 Haberland (2007), S. 5: Robustheit ist die Unempfindlichkeit eines Tragwerks gegenüber einem lokalen Versagen. 6

24 2. Theoretische Grundlagen der Pushdown Analyse eine Anpassung der Normung erfolgen wird. Dann könnte die hier vorgestellte Pushdown Analyse zu einer anerkannten Methode zur Untersuchung eines Tragwerks auf progressiven Kollaps werden Pushover Analyse und Pushdown Analyse Bei einem progressiven Kollaps müssen bei der Bemessung eines Tragwerks große Verformungen und Verschiebungen, Ablösung und Aufprall von Tragwerkselementen sowie außergewöhnliche Beanspruchungen des Gebäudes berücksichtigt werden. Dies erfordert eine stofflich und geometrisch nichtlineare dynamische Berechnung im Zeitbereich (Starossek 2008). Mit diesen hohen Anforderungen gleicht die Kollapsberechnung der Bemessung eines Bauwerkes für Erdbebenlasten. Die Forschung zur Erdbebenbemessung ist jedoch schon wesentlich älter als zum Thema progressiver Kollaps und hat daher schon zahlreiche Ansätze zur Berechnung entwickelt und getestet. Einer davon ist die Pushover Analyse, die im Folgenden kurz erläutert wird. Aufgrund der ähnlichen Anforderungen in der Erdbeben- und der Kollapsebemessung wundert es nicht, dass die Pushover Analyse weiterentwickelt wurde und nun die Pushdown Analyse als Methode zur Abschätzung des Tragwerksverhaltens bei einem möglichen progressiven Kollaps genutzt wird. Auch die Pushdown Analyse und ihre allgemeine Durchführung werden in den folgenden Kapiteln beschrieben Pushover Analyse Es gibt heute wenige Programme, die die dynamischen Einwirkungen auf ein Gebäude bei einem Erdbeben abbilden und die Auswirkungen auf das Gebäude ermitteln können. Diese Berechnungen sind sehr aufwändig und nicht effizient genug, um sie in der Praxis anzuwenden. Es wurde daher nach einer Lösung gesucht die Reaktion einer Tragwerksstruktur auf Erdbebenlasten mit einfachen Mitteln, das heißt vor allem mit statischen anstatt dynamischen Lasten, zu untersuchen (vgl. Barros u. Almeida (2005)). So wurde die Pushover Analyse entwickelt, die heute bereits in den amerikanischen Richtlinien ATC-40 (ATC 1996) und FEMA 273 bzw. 356 (FEMA (1997), FEMA (2000)) sowie in der europäischen Normung im Eurocode 8 (CEN 1998) angewendet wird. Bei der Pushover Analyse wird das Tragwerksverhalten eines Gebäudes unter Überbelastung bestimmt. Tragstrukturen sind in der Regel hochgradig statisch unbestimmt und weisen daher eine hohe Traglast auf, da die Kräfte umgelagert werden können, wenn einzelnen Elemente bereits versagt haben. Dieses Verhalten entspricht der Bildung von Fließgelenken im Model (siehe Kapitel 2.4). Bei der Pushover Analyse wird durch inkrementelle Laststeigerung die Bildung von plastischen Gelenken in jedem Schritt beobachtet (Borkowski 2006). 7

25 2. Theoretische Grundlagen der Pushdown Analyse Die Pushover Analyse ist eine statische, nichtlineare Berechnung und ein verformungsbasiertes Verfahren (Benko u. a. 2007). Hierbei bedeutet statisch, dass das Verfahren die dynamischen Erdbebenlasten durch entsprechende statische Belastungen ersetzt, nichtlinear bedeutet, dass das Verfahren die materielle und geometrische Nichtlinearität berückichtigt (siehe Kapitel 2.3 und 2.5), und verformungsbasiert bedeutet, dass bei dem Verfahren die Verformungen anstatt der auftretenden Kräfte kontrolliert werden. Abbildung 2.1.: Beispiel für eine Pushover Analyse an einem zweidimensionalen Rahmen (Barros u. Almeida 2005) Bei einer Pushover Analyse wird mit einer konstanten vertikalen Last und monoton ansteigenden horizontalen Lasten die Erdbebenbeanspruchung simuliert bis in einem gewählten Referenzpunkt eine zuvor festgelegte Zielverschiebung erreicht ist. Die Zielverschiebung ergibt sich hierbei aus einer Schätzung, wie groß die Verschiebungen des Tragwerks aufgrund des betrachteten Erdbebens sein wird (Kadid u. Boumrkik 2008). Ein einfaches Beispiel für eine Pushover Analyse an einem zweidimensionalen Rahmen zeigt Abbildung 2.1. Es können folgende Ergebnisse mit der Pushover Analyse ermittelt und beurteilt werden: die Reihenfolge des Auftretens plastischer Gelenke und damit des Ausfalls von Tragelementen, die darauf folgende Umverteilung der Schnittgrößen sowie die Kapazitätskurve (Kraft-Verschiebungs-Kurve) des Gesamttragwerks (Barros u. Almeida 2005). Ziel der Pushover Analyse ist es, die Kapazitätskurve (capacity curve) und die Kurve der erforderlichen Kapazität (demand curve) miteinander zu vergleichen (Dutta u. a. 2008). Die Kapazitätskurve bildet den durch die Pushover Analyse des Tragwerks ermittelten Zusammenhang zwischen aufgebrachter Kraft und auftretender Verschiebung ab und zeigt damit den Widerstand des Tragwerks bei extremer Belastung. Die Kurve der erforderlichen Kapazität beschreibt die maximal auftretende Verschiebung des Gebäudes während des betrachteten Erdbebens. Der Schnittpunkt 8

26 2. Theoretische Grundlagen der Pushdown Analyse der beiden Kurven wird als Performance Point bezeichnet und gibt Auskunft darüber, wie gut das Gebäude ein Erdbeben übersteht. Liegt der Punkt nahe des elastischen Bereiches (vgl. Abbildung 2.2 (a)) ist das Gebäude erdbebensicher, bleibt nach dem Schnittpunkt nur noch wenig Reserve an Verformungskapazität (vgl. Abbildung 2.2 (b)), so ist das Gebäude nicht sicher gegen Erdbebenlasten (Kadid u. Boumrkik 2008). Abbildung 2.2.: Capacity Curve vs. Demand Curve: (a) erdbebensicher, (b) nicht erdbebensicher (Kadid u. Boumrkik 2008) Mit Hilfe der Pushover Analyse kann das Verhalten des Tragwerks unter gesteigerten Lasten bis zum Versagen des Systems beobachtet werden. In abgewandelter Form kann diese Analyse nicht nur Erdbebenbeanspruchungen berücksichtigen, sondern das System auf einen möglichen progressiven Kollaps untersuchen. Diese Methode nennt sich Pushdown Analyse Pushdown Analyse Die Pushdown Analyse wurde entwickelt um für ein geplantes oder ein bestehendes Gebäude die maximal aufnehmbaren Kräfte und das Systemverhalten bis zum Kollaps bestimmen zu können. Hierzu wurde die Pushover Analyse aus dem Erdbebeningenieurwesen abgewandelt. Die inkrementelle Laststeigerung wird beibehalten, lediglich die Lastrichtung wurde verändert. Auch bei der Pushdown Analyse handelt es sich um eine statische, nichtlineare Berechnung, es müssen also materielle und geometrische Nichtlinearität berücksichtigt werden. Um ein Tragwerk auf seinen Widerstand gegen einen progressiven Kollaps zu untersuchen, werden in dem entsprechenden FE-Modell ein oder mehrere kritische Elemente entfernt und die vertikalen Kräfte auf das System werden inkrementell gesteigert. Dabei lässt sich nach jeder Laststeigerung das Systemverhalten beobachten und die Reihenfolge der auftretenden Fließgelenke gibt Aufschluss darüber, welche Elemente des Systems ausfallen. Die vertikalen Kräfte werden so lange erhöht, bis sich eine kinematische Kette bildet und das System versagt, das heißt, der Kollaps eintreten würde. Die beim Versagen des Systems maximal aufnehmbare Kraft ist die maximale Traglast des Systems. 9

27 2. Theoretische Grundlagen der Pushdown Analyse Nach Khandelwal (2008) gibt es drei verschiedene Möglichkeiten eine Pushdown Analyse durchzuführen, die sich vor allem in der Steigerung der aufgebrachten Lasten unterscheiden: Uniform Pushdown (siehe Abbildung 2.3, a) Bay Pushdown (siehe Abbildung 2.3, b) Incremental Dynamic Pushdown (siehe Abbildung 2.3, c). Abbildung 2.3.: Möglichkeiten einer Pushdown Analyse nach Khandelwal (2008): a) Uniform Pushdown, b) Bay Pushdown, c) Incremental Dynamic Pushdown Die drei Möglichkeiten unterscheiden sich wie folgt: Bei der Uniform Pushdown Methode wird ein kritisches Element entfernt und anschließend werden die vertikalen Kräfte auf das gesamte System proportional gesteigert, bis das System versagt. Die maximale Traglast ist erreicht, wenn das schwächste Elemente der Struktur versagt. Liegt das schwächste Elemente jedoch außerhalb der beschädigten Zone ist es mit dieser Analyse nicht möglich eine Aussage über die Resttragfähigkeit des beschädigten Bereiches zu machen. Hierzu wurde die Bay Pushdown Analyse entwickelt. Bei dieser Methode wird, nachdem das kritische Element entfernt wurde, nur der beschädigte Teil des Gebäudes mit einer proportional gesteigerten vertikalen Last belastet, im übrigen Teil wird die vertikale Belastung nur bis zur Eigengewichtskraft erhöht 10

28 2. Theoretische Grundlagen der Pushdown Analyse und dann konstant gehalten. Durch diese Belastung wird das versagende Element in dem beschädigten Bereich auftreten und es kann die Tragfähigkeit des beschädigten Bereiches ermittelt werden. Die Incremental Dynamic Pushdown Analyse berücksichtigt dynamische Beanspruchungen auf das System, indem das kritische Element erst nach dem Aufbringen der vertikalen Kräfte entfernt wird. Im Unterschied zur Bay Pushdown Analyse wird hier auch die vertikale Belastung auf den beschädigten Bereich nur bis zu einem bestimmten Punkt erhöht und anschließend konstant gehalten. Da für diese Analyse durch die Berücksichtigung dynamischer Lasten der Rechenaufwand jedoch sehr groß wird, ist sie für die Praxis heute noch nicht zu empfehlen. Im Folgenden wird die erste Methoden, die Uniform Pushdown Analyse, verwendet, da sie leicht umsetzbar und für den Vergleich der FE-Programme ausreichend genau und gut vergleichbar ist Nichtlineares Materialverhalten Für kleine Beanspruchungen lässt sich das Materialverhalten durch das Hook sche Gesetz σ = Eε beschreiben. Spannungen und Dehnungen sind hier linear voneinander abhängig. Wird die Belastung jedoch größer als eine Grenzspannung ist dieser Zusammenhang nicht mehr gegeben. Die Bemessung kann dann nicht mehr auf der Grundlage der Elastizitätstheorie erfolgen, sondern es muss nach der Plastizitätstheorie gerechnet werden. Da das System bis zum Versagen belastet wird, muss bei der Pushdown Analyse die Nichtlinearität des Materialverhaltens berücksichtigt werden. Daher soll im Folgenden das Verhalten für Stahl und Beton kurz erläutert werden. Durch die in Kapitel 2.4 beschriebene Fließgelenktheorie wird das nichtlineare Materialverhalten der Baustoffe für die Berechnung idealisiert Nichtlineares Materialverhalten von Stahl Aus Zugversuchen wurde für Stahl eine Spannungs-Dehnungs-Linie wie in Abbildung 2.4 ermittelt. Bis zum Erreichen der Fließgrenze zeigt der Stahl elastisches Materialverhalten. Bei Überschreiten der Fließgrenze plastiziert der Stahl und ohne Zunahme der Spannungen verformt er sich sehr stark (plastischer Bereich). Ab einer bestimmten Dehnung ε v verfestigt sich der Stahl und es kann eine höhere Spannung aufgenommen werden (Verfestigungsbereich), bis es zur Einschnürung und schließlich zum Bruch kommt (Priebe u. Starossek 2007). 11

29 2. Theoretische Grundlagen der Pushdown Analyse Abbildung 2.4.: Spannungs-Dehnungs-Linie für Stahl (Priebe u. Starossek 2007) Hierbei sind: - σ s Spannung im Stahl - ε s Dehnung des Stahls - f u,k Zugfestigkeit des Stahls - f y,k Streckgrenze / Fließgrenze des Stahls - E s Mittlerer Elastizitätsmodul des Stahls - ε y Dehnung bei Erreichen der Streckgrenze - ε v Dehnung bei der die Verfestigung einsetzt - ε u Dehnung bei Erreichen der Zugfestigkeit - δ Bruchdehnung (bleibende Dehnung nach dem Bruch) In dieser Arbeit werden die Stähle S235 und S335 betrachtet, die laut DIN Teil 1 (DIN 2008b), Tabelle 1, sowie nach Priebe u. Starossek (2007) folgende Kennwerte haben: S235 S355 Zugfestigkeit f u,k : 360 N/mm N/mm 2 Streckgrenze f y,k für t < 40 mm: 240 N/mm N/mm 2 (für 40 mm < t < 100 mm): (215 N/mm 2 ) (335 N/mm 2 ) Elastizitätsmodul E s : N/mm N/mm 2 Dehnung bei Erreichen der Streckgrenze ε y : 1,14 % 1,71 % Dehnung bei der die Verfestigung einsetzt ε v : 30 bis 35 % Dehnung bei Erreichen der Zugfestigkeit ε u : 20 bis 25 % Bruchdehnung δ: 25 bis 30 % 20 bis 25 % Tabelle 2.1.: Materialeigenschaften von Stahl S235 Für die Betrachtung von Stahlbetonquerschnitten muss außerdem das Materialverhalten von Betonstahl erläuert werden. In DIN 1045 Teil 1 (DIN 2008a), Bild 26, ist die Spannungs-Dehnungs-Linie für Baustahl wie in Abbildung 2.5 gezeigt angegeben. 12

30 2. Theoretische Grundlagen der Pushdown Analyse Abbildung 2.5.: Spannungs-Dehnungs-Linie für Betonstahl (DIN 2008a) Hierbei sind: - σ s Spannung im Betonstahl - ε s Dehnung des Betonstahls - f t Zugfestigkeit des Betonstahls - f y Streckgrenze / Fließgrenze des Betonstahls - E s Mittlerer Elastizitätsmodul des Betonstahls - ε uk Dehnung bei Erreichen der Zugfestigkeit - 1 Idealisierter Verlauf der Spannungs-Dehnung-Linie Auch für Betonstahl lässt sich demnach bei Spannungen, die die Fließgrenze überschreiten, plastisches Verhalten erkennen. Der im weiteren betrachtete hoch duktile Betonstahl BSt500 S(B) hat nach DIN 1045 Teil 1 (DIN 2008a), Tabelle 11, folgende Kennwerte: Streckgrenze / Fließgrenze des Betonstahls f y : 500 N/mm 2 Verhältnis f t /f k : 1, 08 Elastizitätsmodul des Betonstahls E s : N/mm 2 Dehnung bei Erreichen der Zugfestigkeit ε uk : 50 % Tabelle 2.2.: Materialeigenschaften von Betonstahl BSt Nichtlineares Materialverhalten von Beton Die DIN , Abschnitt 8.5 (DIN 2008a) behandelt das nichtlineare Materialverhalten von Beton. Die Spannungs-Dehnungs-Beziehung für Beton ist dort wie in Abbildung 2.6 definiert. Es zeigt sich, dass der Zusammenhang zwischen Spannungen und Dehnungen im Beton nur bis zu einer Spannung von 40% der maximal aufnehmbaren Betondruckspannung f c linear ist. Bei Spannungen betragsmäßig größer als 0,4f c muss ein nichtlinearer Zusammenhang berücksichtigt werden. 13

31 2. Theoretische Grundlagen der Pushdown Analyse Abbildung 2.6.: Spannungs-Dehnungs-Linie für Beton (DIN (2008a), Bild 22) Hierbei sind: - σ c Spannung im Beton - ε c Dehnung des Betons - f c Höchstwert der Betondruckspannung - E cm Mittlerer Elastizitätsmodul für Normalbeton - ε c1 Dehnung bei Erreichen des Höchstwerts der Betondruckspannung - ε c1u Bruchdehnung bei Erreichen der Festigkeitsgrenze Die genauen Werte sind der DIN , Tabelle 9 (DIN 2008a), zu entnehmen. Die maximale Betondehnung für einen Normalbeton beträgt -3,5 %. In dieser Arbeit wird ein Beton C 35/45 betrachtet. Hierfür sind die Werte wie folgt angegeben: Höchstwert der Betondruckspannung f c : 35 N/mm 2 Mittlerer Elastizitätsmodul E cm : N/mm 2 Dehnung bei Erreichen des Höchstwerts der Betondruckspannung ε c1 : -2,4 % Bruchdehnung bei Erreichen der Festigkeitsgrenze ε c1u : -3,5 % Tabelle 2.3.: Materialeigenschaften von Beton C 35/ Fließgelenktheorie Ziel der Pushdown Analyse ist es zu erkennen, wo und in welcher Reihenfolge sich bei steigender Belastung aufgrund des nichtlinearen Materialverhaltens plastischen Bereiche ausbilden. Hiermit kann der Versagensmechanismus des Tragwerks bis zum Kollaps nachvollzogen werden. Im Folgenden wird die Fließgelenktheorie kurz erläutert. 14

32 2. Theoretische Grundlagen der Pushdown Analyse Allgemeine Theorie Wird ein System nach der Elastizitätstheorie bemessen, so ist die maximale Traglast des Systems erreicht, wenn an einem Punkt die äußere Faser des Querschnitts die Fließspannung erreicht. Berücksichtigt man jedoch die Bildung plastischer Bereiche, kann eine höhere Traglast erreicht werden, da die Lasten in andere Elemente umgelagert werden. Die maximale Traglast des Systems wird erst dann erreicht, wenn durch die Bildung der plastischen Zonen eine kinematische Kette entsteht, die das Tragwerk verschieblich macht (Borkowski 2006). Voraussetzung für die Bildung plastischer Zonen ist die ausreichende Duktilität 2 des Werkstoffs. So ist beispielsweise Stahl ein sehr duktiler Baustoff, während Beton beim Versagen sofort bricht, ohne sich vorher erheblich zu verformen. Maßgebend für die Bildung eines Fließgelenkes bei einem Stahlbetonquerschnitt ist daher der Betonstahl. Vernachlässigt man die Ausdehnung des plastizierten Bereiches, so lässt sich an dieser Stelle ein Fließgelenk definieren, in dem das plastische Moment M P l wirkt. Außerhalb dieses Punktes verhält sich der Stab weiterhin linear elastisch, nur in diesem Punkt kann er sich plastisch verformen (vgl. Rothert u. Gensichen (1987)). In Abbildung 2.7 ist die Idee der Fließgelenktheorie noch einmal dargestellt. Abbildung 2.7.: Idee der Fließgelenktheorie (Priebe u. Starossek 2007) Die Ausdehnung der plastischen Bereiche darf aufgrund einer Vereinfachung der Momenten-Verkrümmungs-Beziehung vernachlässigt werden (Hees 1989). Für einen Stahlquerschnitt lässt sich ein linearer Zusammenhang bis zum elastischen Grenzmoment mit der Steigung EI (Produkt aus Elastizitätsmodul und Flächenträgheitsmoment des Querschnittes) erkennen (siehe Abbildung 2.8, a)). Bei einer Steigerung des Momentes im Querschnitt vergrößert sich die Verkrümmung immer 2 Duktilität: Plastifiziervermögen, Verformbarkeit des Baustoffes vor dem Bruch. 15

33 2. Theoretische Grundlagen der Pushdown Analyse stärker und wird theoretisch unendlich groß, sobald das plastische Moment erreicht wird. Abbildung 2.8.: Momenten-Verkrümmungs-Linien für Stahlprofile: a) nichtlineare Beziehung, b) linear elastisch, ideal plastische Beziehung Hierbei sind: - M Moment im Querschnitt - κ Verkrümmung - M P l Plastisches Moment bei dem ein Querschnitt vollständig plastiziert - M El Elastisches Moment bei Erreichen der Fließspannung in einer Faser - κ El Verkrümmung bei Erreichen des elastischen Momentes - E Elastizitätsmodul - I Flächenträgheitsmoment des Querschnitts Die Momenten-Verkrümmungs-Linie lässt dich durch eine bilineare Näherung vereinfachen, die Grundlage für die Fließgelenktheorie ist. Der Zusammenhang zwischen Moment und Verkrümmung wird bis zum Erreichen des plastische Momentes als linear angenommen. Tritt in einem Punkt ein Fliessgelenk auf, nimmt die Verkrümmung unendlich zu und es ist keine weitere Steigerung des Momentes möglich (Hees 1989). Diese Vereinfachung ist in Abbildung 2.8, b) dargestellt. Bei einen Stahlbetonquerschnitt wird in der Momenten-Verkrümmungs-Linie (siehe Abbildung 2.9) die geringe Duktilität des Betons deutlich. Im ungerissenen Zustand (Zustand I) ist der Zusammenhang linear. Wird das Moment über das Bruchmoment hinaus gesteigert, nähert sich die Kurve der theoretischen Kurve des gerissenen Zustandes (Zustand II) an, der Einfluss des Betons schwindet und es wirkt nur noch der Betonstahl. Wird im Betonstahl die Fließspannung bei M y überschritten, plastiziert der Betonstahl und es kommt zur Bildung eines plastischen Gelenkes. Der folgende Verlauf entspricht der Momenten-Krümmungs-Linie eines Stahlprofils, da der Beton in dem betrachteten Querschnitt nicht mehr wirkt (vgl. Sigrist (2007)). Eine bilineare Näherung für das Verhalten des Betonstahls nach dem Betonversagen ist demnach ebenso möglich wie für ein Stahlprofil. Die Fließgelenktheorie kann somit für beide Querschnittstypen angewendet werden. 16

34 2. Theoretische Grundlagen der Pushdown Analyse Abbildung 2.9.: Momenten-Verkrümmungs-Linie für Stahlbetonprofile (Sigrist 2007) Hierbei sind: - M Moment im Querschnitt - κ Verkrümmung - M u Maximales Moment beim Versagen des Querschnitts - M y Moment bei Erreichen der Fließspannung - M cr Moment bei dem der Beton beginnt abzuplatzen - κ u Maximale Verkrümmung beim Versagen des Querschnitts - κ y Verkrümmung bei Erreichen der Fließspannung - κ cr Verkrümmung bei der der Beton beginnt abzuplatzen Da bei der Pushdown Analyse das Gesamttragwerk beobachtet wird, ist eine Idealisierung der plastischen Bereiche als Fließgelenke ausreichend genau. Sollen die einzelnen Elemente untersucht werden, kann eine genauere Betrachtung unter Berücksichtigung der Ausdehnung der plastischen Bereiche erforderlich sein Definition nach FEMA 356 Da es sich bei den untersuchten Programmen um amerikanische Software handelt, werden die plastischen Gelenke auf Grundlage der amerikanischen Normung, genauer nach Richtlinie FEMA 356 (FEMA 2000), definiert. FEMA (2000) beschreibt das Verformungsverhalten der Fließgelenke, die bei der Pushdown Analyse betrachtet werden, über eine idealisierte Kraft-Verschiebungsbzw. Momenten-Rotations-Kurve wie in Abbildung 2.10 dargestellt. 17

35 2. Theoretische Grundlagen der Pushdown Analyse Abbildung 2.10.: Kraft-Verschiebungs- bzw. Momenten-Rotations-Kurve nach FE- MA (2000), Figure 5-1 Hierbei sind: - Δ Gesamte Verschiebung aus elastischer und plastischer Verformung - Θ Gesamte Rotation aus elastischer und plastischer Verformung - Q, M Aufgebrachte Kraft bzw. aufgebrachtes Moment - Q y, M y Kraft bzw. Moment bei Fließbeginn - a, b Kennwerte für die Verschiebung bzw. Rotation des Querschnitts - c Resttragfähigkeit Die Kurve ist durch die fünf Punkte A bis E festgelegt, durch die das Verhalten der Fließgelenke exakt definiert werden kann. Punkt A beschreibt dabei den Ausgangszustand. In Punkt B ist die Fließspannung erreicht und während die Kraft nur noch minimal gesteigert wird, nimmt die Verformung bis Punkt C stark zu. Bei Überschreitung des Punktes C fällt der Querschnitt nahezu vollständig aus und es verbleibt ab dem Punkt D nur noch eine geringe Resttragfähigkeit. In dem Punkt E versagt der Querschnitt dann vollständig. Die Werte a und b beschreiben die Verschiebung beziehungsweise die Rotation des Querschnitts, der Wert c die Resttragfähigkeit (Borkowski 2006). Das Diagramm nach FEMA (2000) wurde für eine zyklisch auftretende Erdbebenbelastung ermittelt, bei der die Schädigung schrittweise eintritt. In der Pushdown Analyse wird die Belastung jedoch einmalig aufgebracht, sodass der Querschnitt bei Überschreiten der Traglast sofort vollständig ausfällt und kein kontinuierlicher Übergang zur Resttragfähigkeit vorliegt. Für die Durchführung der Pushdown Analyse wird das Diagramm deshalb wie in Abbildung 2.11 leicht abgewandelt (vgl. Habibullah u. Pyle (1998)). Die Verbindung zwischen Punkt C und D ist hierbei senkrecht. Mit Hilfe dieses Diagramms kann im Verlauf der Pushdown Analyse das Verhalten der Fließgelenke beobachtet und bewertet werden. FEMA 356 (FEMA 2000) beispielsweise definiert die Entwurfsziele IO: Immediate Occupancy LS: Life Safety CP: Collapse Prevention, 18

36 2. Theoretische Grundlagen der Pushdown Analyse Abbildung 2.11.: Kraft-Verformungs-Kurve für die Pushdown Analyse deren Einhaltung direkt aus dem Kraft-Verformungs-Diagramm abgelesen werden kann. Diese Bewertung übersteigt jedoch den Rahmen dieser Arbeit und es wird zur weiteren Betrachtung auf die Quelle verwiesen P-Delta Effekt Zusätzlich zu der materiellen muss bei der Pushdown Analyse auch die geometrische Nichtlinearität des Systems berücksichtig werden, um zu einer realistischen Einschätzung des Tragwerkverhaltens zu kommen. Diese wird in den zu untersuchenden Programmen über den P-Delta-Effekt berücksichtigt. Im Folgenden soll der Effekt beschrieben und seine Berechnung erläutert werden. Es folgt ein kurzer Vergleich mit der Theorie II. und III. Ordnung, die in der deutschen Normung zur Berücksichtigung der geometrischen Nichtlinearität verwendet wird Definition Der P-Delta-Effekt ist ein nichtlinearer Effekt, der in jedem Tragwerk auftritt, in dem Elemente axial belastet sind. Er beschreibt den Zusammenhang zwischen der axialen Belastung P und der Verschiebung des Systems (Dobson 2003). Es werden zwei Effekte unterschieden: der P-Δ-Effekt und der P-δ-Effekt. Der P-Δ-Effekt bezieht sich auf das gesamte Tragwerk, während der P-δ-Effekt ein einzelnes Element beschreibt. Dieser Unterschied wird in Abbildung 2.12 und 2.13 deutlich. Der P-Delta-Effekt berücksichtigt und kombiniert zwei Ansätze: Theorie der großen Verschiebungen: Die resultierenden Schnittgrößen berücksichtigen den Einfluss aus der Verschiebung des Gesamtsystems sowie der einzelnen Elemente Veränderung der Systemsteifigkeit aufgrund der Normalbelastung einzelner Elemente: Zugkräfte erhöhen die Steifigkeit, Druckkräfte verringern die Steifikeit eines Elementes. 19

37 2. Theoretische Grundlagen der Pushdown Analyse Abbildung 2.12.: P-Δ-Effekt (Dobson 2003) Abbildung 2.13.: P-δ-Effekt (Dobson 2003) Die Theorie der großen Verschiebungen entspricht hierbei dem P-Δ-Effekt, die Veränderung der Systemsteifigkeit entspricht dem P-δ-Effekt. Die Größe des jeweiligen Effektes ist von den folgenden Parametern abhängig (vgl. Dobson (2003)): Betrag der axialen Last P Steifigkeit und Schlankheit des Gesamtsystems Schlankheit der Elemente. Der P-Delta-Effekt ist schon lange bekannt, wurde bisher bei der Bemessung aber nur in besonderen Fällen berücksichtigt. Da die modernen Tragwerke jedoch immer schlanker und damit anfälliger für Verschiebungen werden, wird der Effekt in Zukunft vermutlich stärkere Beachtung finden. Bei einer nichtlinearen Berechnung wie der Pushdown Analyse schreibt die FEMA 356 (FEMA 2000) die Berücksichtigung des P-Delta-Effektes auch heute schon vor. 20

38 2. Theoretische Grundlagen der Pushdown Analyse Auch für den P-Delta-Effekt sind die auftretenden Verschiebungen jedoch begrenzt und werden als klein im Vergleich zu den Systemabmessungen angenommen. Bei der Pushdown Analyse müssen auch große Verschiebungen berücksichtigt werden, da das Tragwerk bis zum Versagen belastet wird. Eine erweiterte Berücksichtigung auch großer Verschiebungen ist daher wünschenswert Berechnung des P-Delta Effektes Es gibt verschiedene Ansätze mit denen der P-Delta-Effekt berechnet werden kann. Vier von ihnen werden in Dobson (2003) vorgestellt und sollen auch hier kurz erläutert werden. Es handelt sich um die folgenden vier Methoden: Pseudo Load Approach Pseudo Displacement Approach Two Cicle Iterative Method Non-linear Static Analysis (Newton Raphson Verfahren). Der Pseudo Load sowie der Pseudo Displacement Ansatz approximieren den P- Delta-Effekt mit Hilfe einfacher elastischer Berechnungen. Hierbei wird zunächst eine lineare Berechnung durchgeführt und die Schnittgrößen sowie Verschiebungen bestimmt. Die hieraus ermittelten Werte werden anschließend als Ersatzlasten bzw. Ersatzverschiebungen auf das System aufgebracht und es werden erneut die Schnittgrößen und Verschiebungen bestimmt. Dieser Vorgang wird bis zu einer gewünschten Iterationsgenauigkeit wiederholt. Diese beiden Ansätze berücksichtigen lediglich den P-Δ-Effekt, die Veränderung der Systemsteifigkeit wird nicht berechnet. Die Two Cicle Iterative Method berücksichtigt beide P-Delta-Effekte und stößt erst bei sehr großen Verformungen an ihre Grenzen. Auch bei dieser Methode wird im ersten Schritt eine lineare Analyse durchgeführt. Die ermittelten Knotenverschiebungen werden dann genutzt, um die Steifigkeiten der Elemente anzupassen. Mit der neuen Systemsteifigkeit wird anschließend weiter gerechnet. Auch diese Methode verläuft iterativ und kann bis zu einer gewünschten Genauigkeit wiederholt werden. Das Newton Raphson Verfahren ist eine nichtlineare, statische Analyse und berücksichtigt beide P-Delta-Effekte für alle auftretenden Verformungen. Die Belastung wird inkrementell in einem Schritt-für-Schritt Verfahren auf das System aufgebracht und in jedem Schritt wird der Einfluss der Verformungen sowie die veränderte Systemsteifigkeit ermittelt. Ein weiterer Vorteil ist, dass das Newton Raphson Verfahren als einzige Methode die materielle Nichtlinearität berücksichtigt. Eine vollständig nichtlineare Analyse kann somit für alle Problemstellungen den P-Delta-Effekt berücksichtigen und ist am besten für die Durchführung einer Pushdown Analyse geeignet. Sie ist jedoch für die Handrechnung zu aufwändig und eine Verwendung von FE-Programmen ist unumgänglich. 21

39 2. Theoretische Grundlagen der Pushdown Analyse Vergleich mit der Theorie II. und III. Ordnung In der deutschen Normung wird der Begriff P-Delta Effekt nicht verwendet, statt dessen kann eine Betrachtung nach der Theorie II. Ordnung erforderlich sein. Im Folgenden sollen die Theorie II. und III. Ordnung kurz vorgestellt und mit dem P-Delta-Effekt verglichen werden. Generell werden die Schnittgrößen zur Bemessung eines Tragwerkes in Deutschland nach der Theorie I. Ordnung ermittelt, das heißt, sie werden am unverformten System bestimmt. Für einige Tragsysteme können die Verschiebungen jedoch großen Einfluss auf die Schnittgrößen haben, sodass sie am verformten System bestimmt werden müssen. Besonders schlanke Bauteile sind hierfür anfällig. In diesem Fall müssen die Schnittgrößen nach der Theorie II. Ordnung berechnet werden. Hierzu werden zunächst die Schnittgrößen und Verschiebungen am unverformten System mit einer Berechnung nach Theorie I. Ordnung bestimmt. Die ermittelten Verschiebungen dienen als Grundlage für die weitere Berechnung nach der Theorie II. Ordnung. Diese Analyse wird iterativ weitergeführt bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Bei der Berechnung nach der Theorie II. Ordnung werden die Systemsteifigkeiten unter Berücksichtigung der zuvor ermittelten Normalkräfte in den Elementen in jedem Iterationsschritt angepasst (Borkowski 2006). Die Theorie II. Ordnung berücksichtigt somit genau wie der P-Delta-Effekt sowohl die Auswirkung der Verschiebungen auf die Schnittgrößen als auch die Veränderung der Systemsteifigkeiten durch die Normalkräfte. Die Theorie II. Ordnung beruht, wie der P-Delta-Effekt, auf der Annahme, dass die Verschiebungen relativ klein im Verhältnis zu den Systemabmessungen sind. Diese Voraussetzung ist bei der Pushdown Analyse jedoch nur bedingt eingehalten. Es müssen nach der Theorie III. Ordnung auch große Verschiebungen berücksichtigt werden können. Die Theorie III. Ordnung lässt sich in die beiden folgenden Ansätze aufteilen: Theorie großer Verschiebungen aber kleiner Verzerrungen Theorie großer Verzerrung. Nach Rothert u. Gensichen (1987) ist im Bauwesen vor allem die erstgenannte Theorie von Bedeutung während die zweite nur in Ausnahmefällen Anwendung findet. Daher wird auch im Rahmen dieser Arbeit lediglich die Theorie der großen Verschiebungen überprüft. Die geometrischen Beziehungen werden in der Theorie III. Ordnung nicht mehr linearisiert. Dieser Unterschied zur Theorie II. Ordnung ist in Abbildung 2.4 am Beispiel eines durch eine Drehfeder elastisch eingespanntes Stabes (Rothert u. Gensichen 1987) dargestellt. In der Theorie II. Ordnung wird von kleinen Verdrehungen ausgegangen, sodass bei der Berechnung der Verschiebung w max der sin φ durch φ angenähert werden kann. 22

40 2. Theoretische Grundlagen der Pushdown Analyse Diese Annäherung ist bei großen Verschiebungen nicht mehr zulässig und die reale Stabverdrehung muss berücksichtigt werden. Die Theorie III. Ordnung geht somit über den Ansatz des P-Delta-Effektes hinaus und berücksichtigt auch große Verschiebungen, die für die Pushdown Analyse maßgeblich werden können. Theorie II. Ordnung (linearisiserte Verschiebungsgeometrie) Theorie III. Ordnung (genaue Verschiebungsgeometrie) w max = lφ w max = l sin φ Tabelle 2.4.: Verschiebungsgeometrie nach Theorie II. und III. Ordnung (Rothert u. Gensichen (1987), Tabelle 2.1) 23

41 3. Programme zur Durchführung einer Pushdown Analyse Es sind zur Zeit verschiedene Programme auf dem Markt, die zur Durchführung einer Pushdown Analyse geeignet sind. Im Folgenden wird eine Auswahl der verfügbaren Programme vorgestellt und es wird erläutert warum die Programme MIDAS/Gen, SAP2000 und Strand7/Straus7 im Rahmen dieser Studienarbeit genauer untersucht werden Vorstellung der Programme 4H-NISI Name: Anbieter: Homepage: Kurzbeschreibung: Hauptanwendungsgebiet: Klientel: 4H-NISI pcae GmbH 4H-Statikprogramme aus Hannover Statikprogramm zur linearen und nichtlinearen Berechnung ebener Stabtragwerke aus Stahl, Stahlbeton und Holz. Lineare und nichtlineare statische Berechnungen im Bauwesen. Bauingenieure in Praxis und Wissenschaft. ABAQUS Name: Anbieter: Homepage: Kurzbeschreibung: Hauptanwendungsgebiet: Klientel: ABAQUS SIMULIA Eine führende Berechnungssoftware im Bereich linearer und nichtlinearer Analysen auf Basis der Finite Elemente Methode. Lineare und nichtlineare Berechnungen in der Automobilindustrie, Chemie- und Prozessindustrie, Maschinen- und Anlagenbau, Medizintechnik, Konsumgüterindustrie, Luft- und Raumfahrtindustrie sowie im Bauwesen. Ingenieure aus Praxis, Forschung und Lehre. 24

42 3. Programme zur Durchführung einer Pushdown Analyse ANSYS Name: Anbieter: Homepage: Kurzbeschreibung: Hauptanwendungsgebiet: Klientel: ANSYS ANSYS, Inc. ANSYS ist ein FE-Programm, dass zur Lösung ingenieurtechnischer Fragestellungen aus den verschiedensten Bereichen verwendet wird. Es ermöglicht sowohl statische als auch dynamische sowie lineare und nichtlineare Berechnungen. Finite Elemente Berechnung in Luft- und Raumfahrttechnik, Fahrzeugtechnik, Maschinenund Anlagenbau, Elektrotechnik, Chemietechnik und Bauwesen. Anwendung sowohl in der Praxis als auch in Wissenschaft und Forschung. ARCADE Name: Anbieter: Homepage: Kurzbeschreibung: Hauptanwendungsgebiet: Klientel: ARCADE University of Virginia, Department of Architecture ARCADE ist ein Computerprogramm zur Simulation und Animation von physikalischen Strukturen. Anwendung in verschiedenen ingenieurtechnischen Bereichen. Programm für die Lehre und Wissenschaft. ATENA Name: Anbieter: Homepage: Kurzbeschreibung: Hauptanwendungsgebiet: Klientel: ATENA (Advanced Tool for Engineering Nonlinear Analysis) Cervenka Consulting ATENA ist ein FE-Programm zur nichtlinearen Analyse von Beton- und Stahlbetonbauteilen. Berechnungen im Bauwesen. Tragwerksplanung in der Praxis. 25

43 3. Programme zur Durchführung einer Pushdown Analyse DIANA Name: Anbieter: Homepage: Kurzbeschreibung: Hauptanwendungsgebiet: Klientel: DIANA TNO DIANA DIANA ist eine Software zur Berechnung und Bemessung von Stahl- und Betontragwerken sowie zur Berechnung geotechnischer Fragestellungen. Es lassen sich lineare und nichtlineare Analysen durchführen und statische sowie dynamische Lasten ansetzen. Finite Elemente Berechnungen im konstruktiven Ingenieurbau. Tragwerksberechnung in der Praxis. ELS Name: Anbieter: Homepage: Kurzbeschreibung: Hauptanwendungsgebiet: Klientel: ELS (Extreme Loading for Structures) Applied Science International, Llc. (ASI) ELS Software erlaubt Bauingenieuren das reale Tragwerksverhalten unter statischer und dynamischer Belastung, Explosions-, Erdbeben-, Anprall und Windlasten zu ermitteln sowie eine Bemessung für den Fall eines progressiven Kollapses durchzuführen. Berechnungen für besondere, dynamische Lastfälle im Bauingenieurwesen. Bauingenieure in Wissenschaft und Forschung. ETABS Name: Anbieter: Homepage: Kurzbeschreibung: Hauptanwendungsgebiet: Klientel: ETABS Computers & Structures, Inc. (CSI) Computers & Engineering Lineare und nichtlineare statische und dynamische Analyse und Bemessung von Gebäudesystemen aus Stahl, Stahlbeton und Mauerwerk. Tragwerksplanung und Erdbebeningenieurwesen. Tragwerksanalysen und Bemessung in der Praxis. 26

44 3. Programme zur Durchführung einer Pushdown Analyse LARSA Name: Anbieter: Homepage: Kurzbeschreibung: Hauptanwendungsgebiet: Klientel: LARSA LARSA, Inc. Bemessungs- und Analyse Software auf der Grundlage der Finiten Elemente Methode zur Berechnung von Brückentragwerken. Allgemeine statische Berechnung von Brücken. Bauingenieure in der Praxis. LS-DYNA Name: Anbieter: Homepage: Kurzbeschreibung: Hauptanwendungsgebiet: Klientel: LS-DYNA Livermore Software Technology Corp. (LSTC) DYNAmore GmbH LS-DYNA ist eines der weltweit führenden Finite-Elemtente-Softwaresysteme zur rechnerischen Simulation von hochgradig nichtlinearen, dynamischen Vorgängen. Verstärkter Einsatz in der Automobilindustrie, Luft- und Raumfahrtindustrie zur Crashsimulation und Lösung anderer nichtlinearer Probleme. Außerdem verwendet zur Erdbebenberechnung. Berechnungsingenieure in der Praxis. LUSAS Name: Anbieter: Homepage: Kurzbeschreibung: Hauptanwendungsgebiet: Klientel: LUSAS LUSAS Finite Element Analysis Ltd. Lineare und Nichtlineare Berechnung von Strukturen aus dem Bauingenieurwesen sowie aus dem Maschinenbau. Für jede Fachrichtung gibt es eine spezielle Software. LUSAS Bridge und LUSAS Civil & Structural: Berechnung von Strukturen im Bauwesen. LUSAS Analyst und LUSAS Composite: Berechnung von Systemen im Maschinenbau. Bauingenieure und Maschinenbauingenieure in Praxis und Wissenschaft. 27

45 3. Programme zur Durchführung einer Pushdown Analyse MIDAS Name: Anbieter: Homepage: Kurzbeschreibung: Hauptanwendungsgebiet: Klientel: MIDAS (Modeling, Integrated Design & Analysis Software) MIDAS Information Technology Co., Ltd. Statische und dynamische Analyse sowie Bemessung von Tragwerken im Bauwesen. MIDAS/Civil: Brücken und andere Tragwerke. MIDAS/Gen: Hochhäuser, Stadien, besondere Strukturen. Analyse und Bemessung von Tragwerken. Bauingenieure in der Praxis. NL Flex Name: Anbieter: Homepage: Kurzbeschreibung: Hauptanwendungsgebiet: Klientel: NL Flex Weidlinger Associates, Inc. (WAI) Software zur Simulation der Systemantwort bei Explosions- sowie Anpralllasten. FLEX ermöglicht die Bemessung eines Tragwerks nach den Anforderungen eines progressiven Kollapses. Berechnungen für besondere, dynamische Lastfälle im Bauingenieurwesen. Bauingenieure in Praxis und Forschung. OpenSEES Name: Anbieter: Homepage: Kurzbeschreibung: Hauptanwendungsgebiet: Klientel: OpenSEES (Open System for Earthquake Engineering Simulation) Pacific Earthquake Engineering Research Center University of California, Berkeley (und andere) FEM-Software zur Simulation der Systemantworten von Tragwerken aus dem Hochbau und der Geotechnik auf seismische Beanspruchungen. Analysen im Erdbebeningenieurwesen. Ingenieure in Forschung und Wissenschaft. 28

46 3. Programme zur Durchführung einer Pushdown Analyse Perform3D Name: Anbieter: Homepage: Kurzbeschreibung: Hauptanwendungsgebiet: Klientel: Perform3D Computers & Structures, Inc.(CSI) Computers & Engineering Software zur nichtlinearen Berechnung des Tragverhaltens von Tragwerken bei Erdbebenbeanspruchung. Die nichtlineare Analyse kann statisch oder dynamisch durchgeführt und verschiedene Laststufen können betrachtet werden. Voll automatische Bemessung nach ATC-40, FEMA-356 und ATC-440 möglich. Erdbebenbemessung von Tragwerken. Bauingenieure in der Praxis. RFEM Name: Anbieter: Homepage: Kurzbeschreibung: Hauptanwendungsgebiet: Klientel: RFEM Ingenieur-Software Dlubal GmbH 3D-FE-Programm zur linearen und nichtlinearen Berechnung von Brücken und anderen Stahl- und Stahlbetontragwerken. Eignet sich gleichermaßen für den Hochbau, Anlagenbau und Maschinenbau. Ingenieure in der Praxis. RIBTEC Name: Anbieter: Homepage: Kurzbeschreibung: Hauptanwendungsgebiet: Klientel: RIBTEC RIB Software AG Software zur linearen und nichtlinearen Berechnung von Tragwerken auf der Grundlage der Finite Elemente Methode. Baustatische Berechnungen. Tragwerksplanung in der Praxis. 29

47 3. Programme zur Durchführung einer Pushdown Analyse SAM-LEAP5 Name: Anbieter: Homepage: Kurzbeschreibung: Hauptanwendungsgebiet: Klientel: SAM-LEAP5 Bestech Systems Ltd. SAM ist ein System aus Software Modulen für das Design, die Bemessung und die Analyse von Brückentragtwerken geringer Spannweite nach Eurocode, BS5400 oder UK DMRB, AASHTO und AS5100. Tragwerksplanung von Brücken. Ingenieure in der Praxis. SAP2000 Name: Anbieter: Homepage: Kurzbeschreibung: Hauptanwendungsgebiet: Klientel: SAP2000 Computers & Structures, Inc. (CSI) Computers & Engineering D statische und dynamische FEM-Analyse von Tragwerken und Bemessungssoftware für Tragwerksplanung und Erdbebeningenieurwesen von Stahl- und Stahlbetontragwerken. Tragwerksplanung und Erdbebeningenieurwesen. Tragwerksanalysen und Bemessung in der Praxis. SOFiSTiK Name: Anbieter: Homepage: Kurzbeschreibung: Hauptanwendungsgebiet: Klientel: SOFiSTiK SOFiSTiK AG Software auf der Grundlage der Finiten Elemente Methode zur linearen und nichtlinearen Berechnung von Tragwerken aller Art. Tragwerksplanung im Bauwesen. Bauingenieure in Praxis und Forschung. 30

48 3. Programme zur Durchführung einer Pushdown Analyse STRAND7/STRAUS7 Name: Anbieter: Homepage: Kurzbeschreibung: Hauptanwendungsgebiet: Klientel: STRAND7/STRAUS7 Strand7 Pty. Ltd. Strand7/Straus7 ist ein FE-Programm für mechanische Probleme aller Art. Das Programm kann lineare und nichtlineare, statische und dynamische Berechnungen durchführen. Anwendung im Maschinenbau, Automobilund Schienenfahrzeugbau, Flugzeug- und Schiffbau, Raumfahrt, Baustatik und Bauphysik sowie Medizintechnik Berechnungsingenieure in der Praxis Auswahl der Programme zur Untersuchung Zunächst sollten laut Aufgabenstellung die Programme ANSYS, ELS, MIDAS und SAP2000 untersucht werden. SAP2000 und MIDAS, genauer MIDAS/Gen, wurden ausgewählt, da von beiden Programmen Demoversionen beziehungsweise zeitlich begrenzte Vollversionen zur Verfügung gestellt werden, die für den Rahmen dieser Studienarbeit alle erforderlichen Programmfunktionen enthalten. Des weiteren war vor allem SAP2000 bereits in den Grundzügen bekannt und sollte im Rahmen der Studienarbeit genauer betrachtet werden. ANSYS wurde ausgewählt, da es sich hierbei um ein weniger kommerzielles Programm handelt. Es wurde vor allem für den Gebrauch in Lehre und Forschung entwickelt. Eine Anfrage nach einer kostenlosen Version des Programms wurde von dem Hersteller ANSYS, Inc. nicht beantwortet und es steht auch keine Demoversion zur Verfügung, sodass auf die Untersuchung des Programmes verzichtet werden musste. ELS sollte untersucht werden, da es im Gegensatz zu den anderen Programmen nicht auf der Grundlage der Finiten Elemente Methode beruht, sondern ein neues numerisches Model, die Applied Element Method (AEM), nutzt. Eine Anfrage wurde von dem Hersteller Applied Science International, Llc. (ASI) zwar beantwortet, es wurde jedoch keine kostenlose Version des Programms angeboten. Lediglich der Kauf des Produkt für Euro wurde angeboten. Es musste daher auch auf die Untersuchung dieses Programms verzichtet werden. Statt dessen sollten die Programme OpenSEES und Strand7/Straus7 untersucht werden. 31

49 3. Programme zur Durchführung einer Pushdown Analyse OpenSEES wurde speziell für die Erdbebenbemessung entwickelt. Eine Grundlagenversion des Programmes ist frei erhältlich. Diese Version ist jedoch nur mit einer textbasierten Eingabe zu bedienen, eine graphische Eingabeoberfläche wurde zwar entwickelt, ist jedoch kostenpflichtig. Da die textbasierte Eingabe deutlich schwerer zu erlernen ist und dies den zeitlichen Rahmen der Studienarbeit deutlich überschritten hätte, wurde auch auf die Untersuchung dieses Programmes verzichtet. Generell wäre eine Untersuchung der kostenlosen Version des Programmes jedoch möglich gewesen und kann in einer weiterführenden Arbeit durchgeführt werden. Als drittes zu untersuchendes Programm wurde schließlich Strand7 bzw. Straus7, wie die europäische Version des Programms heißt, ausgewählt. Die frei erhältliche Demoversion des Programmes ermöglicht keine Speicherung der Daten. Auf eine Anfrage nach einer kostenlosen Version des Programms zu Studienzwecken wurde mir für den Rahmen der Studienarbeit eine Vollversion zur Verfügung gestellt. Aus diesen Überlegungen und Erfahrungen hat sich schließlich ergeben, dass die Programme MIDAS/Gen, SAP2000 und Strand7/Straus7 in dieser Arbeit genauer untersucht und verglichen werden. Jedes der in Kapitel 3.1 vorgestellten Programme müsste jedoch genau untersucht werden, um einen umfassenden Überblick und eine allgemeine Bewertung der verfügbaren Programme geben zu können. Diese Studienarbeit ist daher nur ein ersten Anfang für eine allgemeine Beurteilung. 32

50 4. MIDAS Gen 4.1. Allgemein Abbildung 4.1.: Logo MIDAS Gen Name: Anbieter: Homepage: MIDAS Gen (Modeling, Integrated Design Analysis Software, General structure design system) MIDAS Information Technology, Co., Ltd. SKn Technopark Tech-center 15th Fl., Sangdaewon1-dong Joongwon-guSeongnam, Gyeonggi-do, Korea, und MIDASoft Seven Mile Road, Suite 260, Livonia, MI USA MIDAS Gen gehört in die Reihe der MIDAS Family Programs, eine Gruppe von Softwareprodukten, die auf der Grundlage der Finiten Elemente Methode Strukturen aus dem Bauwesen berechnen. Die Programme der MIDAS Information Technology, Co., Ltd. wurden entwickelt, um Bauingenieuren und Architekten in der Praxis den Entwurf und die Bemessung von Tragwerken zu erleichtern. MIDAS Gen steht für General structure design system und ist die am wenigsten spezialisierte Software der MIDAS Family. Sie findet heute vor allem Anwendung im klassischen Hochbau, beim Entwurf von Brücken, Tunneln, Tanks, Offshore Anlagen und besonderen Bauten wie beispielsweise Stadien oder Kraftwerken, aber auch bei Strukturen, die nicht in den Bereich des Bauingenieurwesens fallen, wie beispielsweise Schiff- oder Flugzeugbau (vgl. MIDASoft Inc. (2009)). MIDAS Gen wurde in der Programmiersprache Visual C++ programmiert. Durch ein speziell entwickeltes Graphic User Interface und die Graphic Display Funktion soll dem Ingenieur die Eingabe erleichtert werden (MIDASoft Inc. 2009). 33

51 4. MIDAS Gen Laut MIDAS Information Technology, Co., Ltd. (2009) können mit MIDAS Gen neben den klassischen Tragwerksanalysen beispielsweise auch geometrische Nichtlinearität mit großen Verschiebungen, Pushover Analysen und zeitabhängige Materialeigenschaften berücksichtigt und berechnet werden. Für die Verifikationsberechnungen wurde zunächst MIDAS Gen Trial [Ia] verwendet. Diese Demoversion verfügt für Modelle mit bis zu 50 Knoten und Elementen uneingeschränkt über alle Möglichkeiten der Software. Für größere Modelle sind die Druck- und Exportiermöglichkeiten nur noch eingeschränkt nutzbar. Darüber hinaus ist die Verwendung der Demoversion zeitlich begrenzt auf 90 Tage. Diese Zeit reichte zur Bearbeitung der Aufgabe nicht aus. Im Anschluss war es möglich eine "Evaluation Licence" zu erhalten, die für 30 Tage eine uneingeschränkte Benutzung des Programms in einer neueren Version [I] ermöglichte. In der Vollversion können die Dateien der Demoversion jedoch nicht geöffnet werden, was eine erneute Eingabe aller Verifikationsberechnungen und damit einen großen Zeitverlust zur Folge hatte Grundlagen des Programms In diesem Kapitel sollen die grundlegenden Eigenschaften des Programms kurz erläutert werden. Die Angaben zum Programm stammen aus dem Handbuch MIDAS Gen: Analysis Manual (MIDASoft Inc.) Die Finite Elemente Methode Alle untersuchten Programme sind so genannte FE-Programme, das heißt, sie arbeiten auf der Grundlage der Finite Elemente Methode, kurz FEM. Die FEM ist heute das am weitesten verbreitete Verfahren zur Berechnung komplexer Strukturen aus dem Ingenieurwesen. Generell kann die FEM immer dann zur Lösung herangezogen werden, wenn physikalische Erscheinungen durch partielle, orts- oder zeitabhängige Differentialgleichungen beschrieben werden können (Wittel 2009). Die FEM ist eine Methode zur numerischen Lösung dieser partiellen Differentialgleichungen. Hierzu wird das Lösungsgebiet in eine endliche Anzahl an Teilgebieten zerlegt (Hügel 2009). Man bezeichnet dies auch als die Diskretisierung des Systems in finite Elemente. Die Geometrie der Elemente ist durch ihre Eckpunkte definiert, an denen die einzelnen Elemente zusammenhängen. Für jedes Element können theoretische Beziehungen, die so genannten Rand- und Anfangsbedingungen, an den Eckpunkten definiert werden. Hieraus ergibt sich ein Gleichungssystem für das gesamte System, welches mit Hilfe bestimmter numerischer Gleichungslöser berechnet werden kann (Wittel 2009). Es ergeben sich daraus an jedem Knoten die gesuchten Größen und mit Hilfe von Interpolationsfunktionen kann daraus die Lösung für jedes Element approximiert werden (Hügel 2009). Die allgemeine Vorgehensweise bei der Finiten Elemente Methode ist in Abbildung 4.2 noch einmal dargestellt. 34

52 4. MIDAS Gen Problemstellung: physikalisch-technischer Prozess Beschreibung durch mathematisch-physikalisches Modell ( Differentialgleichungen (DGL)) Festlegung der Rand- und Anfangsbedingungen (RB und AB) Diskretisierung per FEM diskretes, numerisches Modell - Diskretisierung des Systems in finite Zahl an Elementen - DGL und RB werden mit Testfunktion (virtuelles Verschiebungsfeld) skalar multipliziert und - über das Lösungsgebiet bzw. Randgebiet integriert (Integrationsregel) Lösung wird an den Knotenpunkten bestimmt partielle DGL werden mittels Iterativen Verfahren (Gleichgewichtsiteration) und darin enthaltenen Gleichungslösern gelöst Lösung innerhalb der Elemente durch Interpolationsfunktion approximiert Abbildung 4.2.: Allgemeine Vorgehensweise bei der Finiten Elemente Methode Die FEM beruht auf dem Prinzip der virtuellen Verrückungen (PvV), welches in Hügel (2009) ausgiebig erläutert wird. Die Kinematik ist hierbei in jedem Element exakt, während das Gleichgewicht nur in schwacher Form erfüllt ist, da hierbei lokale Fehler akzeptiert werden solange das Gleichgewicht für das Gesamtsystem integral exakt erfüllt ist (Wittel 2009). Für eine weitergehende Betrachtung wird auf die Quellen verwiesen. Um die Funktionsweise eines FE-Programmes nachvollziehen zu können, muss also bekannt sein, welche Differentialgleichungen für welche Problemstellung verwendet werden, nach welcher Integrationsregel das Programm integriert und welche Iterativen Verfahren sowie Gleichungslöser es verwendet, um die DGL zu lösen (vgl. Abbildung 4.2). Die ursprüngliche partielle Differentialgleichung wird im Rahmen der FEM in ein lineares Gleichungssystem überführt, welches numerisch gelöst wird (Hügel 2009). Daher handelt es sich bei der FEM um eine Näherungslösung, das heißt, die Differentialgleichungen werden nicht exakt gelöst sondern lediglich möglichst genau approximiert. Die Lösung wird nur an ausgewählten Punkten exakt ermittelt und für die dazwischenliegenden Bereiche angenähert. Alle Ergebnisse aus FEM Berechnungen müssen daher durch den Benutzer auf ihre Plausibilität geprüft werden und die Interpretation der Ergebnisse erfordert ingenieurtechnische Erfahrung. 35

53 4. MIDAS Gen Modellierung der Finiten Elemente In der FEM werden die einzelnen Teile eines Tragwerks durch mehrere einzelne Elemente beschrieben, deren Lage durch die Definition von Knoten gekennzeichnet ist. In MIDAS Gen muss der Benutzer diese Knoten und damit auch die Finiten Elemente selbstständig eingeben, das Programm erzeugt kein automatisches FE- Netz. Nach MIDASoft Inc. müssen Knoten an folgenden Punkten des Systems definiert werden: Punkte, an denen Ergebnisse der Analyse ermittelt werden sollen Punkte, an denen Lasten aufgebracht werden sollen Punkte, an denen sich Querschnitte oder Materialeigenschaften verändern Punkte, an denen konzentrierte Spannungen auftreten, wie beispielsweise bei Öffnungen im Träger Punkte, an den Auflagerbedingungen definiert werden. Vor allem bei Flächenelementen sollten die Knoten regelmäßig über die Fläche verteilt definiert werden, denn besonders hierbei kann die Feinheit des Netzes die Ergebnisse stark verändern. Ein sehr feines Netz sollte nach MIDASoft Inc. für die folgenden Bereiche genutzt werden: Bereiche mit geometrischer Diskontinuität Bereiche großer Lastsprünge Bereiche in denen Querschnitte oder Materialeigenschaften sich ändern an unregelmäßigen Randbereichen in Bereichen, in denen detaillierte Ergebnisse der Schnittgrößen und Spannungen gewünscht sind. Diese Art der Modellierung erfordert weitreichende ingenieurtechnische Kenntnisse, da die Feinheit des FE-Netzes die Ergebnisse maßgeblich beeinflusst. 36

54 4. MIDAS Gen Integrationsregel Die gesuchten Werte wie Schnittgrößen, Spannungen oder Verschiebungen werden in MIDAS Gen über die numerische Integration nach der Methode der Gauss- Quadratur ermittelt. Die Ansatzfunktion, mit der die gesuchten Größen beschrieben werden, wird an den Stützstellen ξ i den Gauss- oder Integrationspunkten ausgewertet und mit Gewichtsfaktoren w i belegt (Wittel 2009). Die Quadraturregel lautet wie folgt: I = 1 1 F (ξ)dξ n F (ξ i )w i i=1 An den Integrationspunkten werden die Integrale mit Hilfe der Gauss-Quadratur ausgewertet und anschließend werden die Werte an den Eckpunkten der Elemente durch Extrapolation ermittelt. Die Zahl der Gauss-Punkte hängt von dem Grad der Ansatzfunktion ab. Bei Linienund Flächenobjekten werden die Ergebnisse mit einer 2 x 2 Gauss-Integration ermittelt, also folglich mit 4 Integrationspunkten je Element. Dreidimensionale Festkörper werden mit einer 2 x 2 x 2 Gauss-Integration berechnet. Bei der 2 x 2 Gauss-Integration werden die Integrationspunkte in einem lokalen ζ η-koordinatensystem in einem finiten Element, wie in Abbildung 4.3 dargestellt, angeordnet (Carroll 1999). Die Integrationsregel lautet dann: A f(ζ, η)da = f( a 3, b 3 )ab + f( a 3, b 3 )ab + f( a 3, b 3 )ab + f( a 3, b 3 )ab Integrationspunkt ζ k η k 1 a/ 3 b/ 3 2 a/ 3 b/ 3 3 a/ 3 b/ 3 4 a/ 3 b/ 3 Abbildung 4.3.: Integrationspunkte für 2 x 2 Gauss-Quadratur (Carroll (1999), Figure 9.9) Bei dreidimensionalen Elementen werden zusätzliche vier Punkte nach dem gleichen Prinzip angeordnet, sodass das Element von jeder Seite aus betrachtet der Abbildung 4.3 entspricht und insgesamt acht Integrationspunkte besitzt. 37

55 4. MIDAS Gen Iterationsverfahren und Gleichungslöser In MIDAS Gen kann der Benutzer zwischen drei möglichen Iterationsverfahren zur Lösung der nichtlinearen Gleichungssysteme wählen: dem Newton-Raphson-Verfahren dem Arc-length-Verfahren und der Kontrolle der Verschiebungen. Das Newton-Raphson-Verfahren ist ein mathematisches Verfahren zur numerischen Lösung von nichtlinearen Gleichungen. In der Regel wird es verwendet um die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen. Es kann jedoch auch jeder andere gesuchte Wert einer Funktion mit dem Verfahren approximiert werden. Das Prinzip des Newton-Raphson-Verfahrens ist in Abbildung 4.4 dargestellt. In diesem Beispiel handelt es sich um ein Kraft-Verschiebungs-Diagramm und es wird die Verschiebung u i+1 bei einer vorgegebenen Kraft F i+1 gesucht. Bekannt ist die Kraft und die Verschiebung zum Zeitpunkt i, sodass dieser Punkt als Ausgangspunkt für die erste Iteration dient. Zunächst wird die Funktion in einem Anfangspunkt durch eine lineare Funktion (Tangentensteifigkeit) angenähert und die Ungleichgewichtskraft U zwischen dem Funktionswert an der ermittelten Stelle und F i+1 berechnet. An dem neuen Punkt wird die Tangentensteifigkeit erneut bestimmt und die Iteration solange fortgesetzt, bis U kleiner wird als die geforderte Toleranz (Hügel 2009). Für weitergehende Informationen zu dem Newton-Raphson-Verfahren wird auf die Quellen verwiesen. Abbildung 4.4.: Prinzip des Newton-Raphson-Verfahrens Das Arc-length-Verfahren sollte vor allem dann angewendet werden, wenn bei kleiner Belastungszunahme große Verschiebungen auftreten, das heißt, wenn die Last- Verschiebungs-Kurve nahezu horizontal verläuft, oder bei so genannten Snap-through oder Snap-back Effekten (siehe Abbildung 4.5). 38

56 4. MIDAS Gen Abbildung 4.5.: Last-Verschiebungs-Kurve mit a) Snap-through und b) Snap-back (MIDASoft Inc.) Das Prinzip des Arc-length-Verfahrens ist in Abbildung 4.6 dargestellt. In diesem Verfahren wird der Wert der inkrementellen Verschiebung in jedem Schritt durch einen vordefinierten Wert (Radius) begrenzt. Die zu lösende Gleichgewichtsbedingung für das nichtlineare System lautet: q i (λ i ) = f i λ i q Hierbei sind: - q i Vektor der Ungleichgewichtskraft - λ i Lastfaktor - f i Vektor der inneren Knotenkräfte - q Vektor der äußeren Kräfte. Hierbei sind: - Δp Vektor der inkrementellen Verschiebung - Δλ Inkremeteller Lastfaktor - ΔL gewünschter, fester Radius Von dem letzten bekannten Punkt mit den Koordinaten [p 0, λ 0 q] (siehe Abbildung 4.6) wird das nächste Inkrement durch den festen Radius ΔL begrenzt. In jedem Iterationsschritt werden δλ i und δp i neu bestimmt und so der nächste gesuchte Punkt auf der Last-Verschiebungs-Kurve angenähert. Bei der Kontrolle der Verschiebungen wird für einen Knoten des Systems eine maximal zulässige Verschiebung definiert. MIDAS Gen rechnet in diesem Fall also nicht kraftgesteuert, das heißt bis die gewünschte Kraft in einem Inkrement erreicht ist, sondern verschiebungsgesteuert, bis die vom Benutzer angegeben maximale Verschiebung ermittelt wurde. 39

57 4. MIDAS Gen Abbildung 4.6.: Prinzip des Arc-Length-Verfahrens (Memon u. Su 2004) Welches Iterationsverfahren verwendet wird, kann der Benutzer selbst entscheiden. Besonders für ungeübte Ingenieure ist es ratsam, die Berechnungen mit verschiedenen Verfahren durchzuführen und die unterschiedlichen Ergebnisse zu vergleichen und auf Plausibilität zu überprüfen. Bei den verwendeten Gleichungslösern in MIDAS Gen kann der Benutzer zwischen dem Skyline Solver und dem Multi-Frontal Sparse Gaussian Solver wählen. Diese wurden jedoch weder in MIDASoft Inc. noch in den weiteren erhältlichen Informationen über das Programm genauer beschrieben und können daher nicht genauer vorgestellt werden. 40

58 4. MIDAS Gen Elemente und Knotenbedingungen In MIDAS Gen werden verschiedene Elementtypen unterschieden, die durch bestimmte Eigenschaften gekennzeichnet sind. Um ein System richtig abzubilden muss der Ingenieur darauf achten, die Tragwerkselemente durch den richtigen Elementtyp abzubilden, um realistische Ergebnisse zu erhalten. Einen Überblick über die möglichen Elementtypen und deren maßgeblichen Eigenschaften in MIDAS Gen gibt Tabelle 4.1. Die linienförmigen Elemente werden über zwei Knoten definiert. Flächenelemente sind durch drei oder vier Knoten bestimmt und dreidimensionale Elemente sind durch vier, sechs oder acht Knoten festgelegt. Die Anzahl der Knoten bestimmt die Anzahl der erforderlichen Rand- und Anfangsbedingungen für jedes Element und damit die erforderliche Rechenzeit. Es ist daher sinnvoll die gewünschten Objekte mit möglichst wenigen Knoten zu definieren. Es muss jedoch stets darauf geachtet werden, dass mit dem gewählten Element das reale Systemverhalten ausreichend genau beschrieben werden kann. Die Knotenbedingungen beschreiben entweder die Verbindung zwischen einem Element und der Umgebung oder zwei Elementen untereinander. Hierfür gibt es folgende Möglichkeiten in MIDAS Gen: Behinderung eines Freiheitsgrades: Jeder der sechs Freiheitsgrade eines Knotens kann festgehalten werden (Supports) Elastische Auflager (Federn): Jeder der sechs Freiheitsgrade eines Knotens kann auf einer Feder gelagert werden (Spring Supports) Elastisches Verbindungselement: Zwei Knoten werden durch ein Element verbunden, dessen Steifigkeit durch den Benutzer definiert wird (Elastic Link Element) Generelles Verbindungselement: Modelliert Federn, Dämpfer, plastische Gelenke usw. (General Link Element) Freigabe von Freiheitsgraden am Elementende: Am Ende eines Elementes können Freiheitsgrade freigegeben werden, sodass die auftretenden Verformungen und Schnittgrößen nicht auf das nächste Element übertragen werden (entspricht beispielsweise der Anordnung von Momentengelenken) Überschneidungsbereiche bei biegesteifen Anschlüssen: Durch die Überschneidung der Profile müssen Exzentrizitäten und veränderte Längen berücksichtigt werden (Rigid End Offset Distance) Master Knoten: Die Verschiebungen von beliebig vielen Knoten (Slave Nodes) werden an die Verschiebungen eines Knotens (Master Node) gekoppelt, sodass sich die Knoten zusammen wie ein Festkörper bewegen. 41

59 4. MIDAS Gen Elementtyp Beschreibung Eigenschaften Strebe / Binder Modellierung linienförmiger Aufnahme von Zug- oder (Truss Element) Objekte, die nur in Druckbelastung, axialer Richtung belastet Verformungen nur in werden (z.b. Fachwerkträger). axialer Richtung. Zugelement / Seil Modellierung linienförmiger Aufnahme von Zug und (Tension-only Objekte, die nur auf Zug Verformungen nur in axialer Element oder belastet werden (z.b. Richtung. Seilelemente Cable Element) Windrispen). Seilelemente berücksichtigen eine Änderung werden durch äquivalente der Steifigkeit in Abhängigkeit Zugelemente abgebildet. von der Normalkraft. Druckelement Modellierung linienförmiger Aufnahme von Druck (Compression-only Objekte, die nur auf Druck und Verformungen nur Element) belastet werden (z.b. Kontakt- in axialer Richtung. oder Auflagerbedingungen). Balken Modellierung aller linien- Berücksichtigung von biaxialer (Beam Element) förmigen Objekte in ebenen Biegung, Torsion, Axialoder räumlichen Systemen. und Schubverformungen. Element mit ebenem Modellierung von Flächen- Keine Spannung außerhalb der Spannungszustand elementen die nur in ihrer Elementebene, Verformungen (Plane Stress Ebene belastet werden können senkrecht zur Ebene Element) (z.b. Membranentragwerke). auftreten (Poisson s Effekt). 2D-Element mit Modellierung langgezogener Keine Verformung ebenem Bauwerke mit gleichbleibendem außerhalb der Elementebene, Verformungszustand Querschnitt (z.b. Dämme). Spannungen können auch (Two-dimensional Hierbei wird nur ein senkrecht zur Ebene Plane Querschnitt mit einer auftreten (Poisson s Effekt). Strain Element) Einheitslänge betrachtet. 2D axial- Modellierung eines zwei- Der modellierte Querschnitt symmetrisches dimensionalen Querschnitts muss in der globalen Element zur Abbildung eines axial- X-Z-Ebene liegen und durch (Two-dimensional symmetrischen, dreidimen- Rotation um die Z-Achse entsteht Axisymmetric sionalen Festkörpers mit das dreidimensionale System. Element) axialsymmetrischer Belastung (z.b. zylindrische Behälter). Platte Modellierung aller Berücksichtigung von Spann- (Plate Element) Flächenelemente. ungen und Verformungen in Plattenebene und senkrecht dazu. Festkörper Modellierung aller drei- Der Festkörper wird durch (Solid Element) dimensionalen Elemente seine Eckknoten definiert, (z.b. Bodenkörper, sehr die jeweils drei Verschiebungsdicke Platten). freiheitsgrade besitzen. Wand / Mauer Modellierung von Wand- Membran: Steifigkeit in (Wall Element) scheiben. Unterschieden Plattenebene, Rotationssteifigwerden der Membran- und keit in vertikaler Ebene. der Plattentyp. Platte: Zusätzlich Biegesteifigkeit senkrecht zur Plattenebene. Tabelle 4.1.: Mögliche Elementtypen in MIDAS Gen 42

60 4. MIDAS Gen Material- und Querschnittseigenschaften Die Material- und Querschnittseigenschaften können in MIDAS Gen entweder direkt aus der im Programm vorhandenen Auswahl übernommen werden oder durch den Benutzer selbstständig definiert werden. Die gespeicherten Materialien und Profile sind nach den verschiedenen Normen geordnet. Sowohl der Eurocode als auch die entsprechenden DIN-Normen sind in der Auswahl enthalten, sodass für die durchgeführten Berechnungen der Stahl und die Querschnitte nicht eigenhändig definiert werden mussten. Abbildung 4.7.: Eingabemaske für Materialeigenschaften in MIDAS Gen [I] In einer Eingabemaske für Materialeigenschaften (siehe Abbildung 4.7) werden zunächst die grundlegenden Parameter eingegeben. Soll zusätzlich die materielle Nichtlinearität eines Baustoffes berücksichtigt werden, so geschieht dies über ein weiteres Fenster (siehe Abbildung 4.8). Hier werden die je nach gewähltem Berechnungsmodel erforderlichen Parameter festgelegt. 43

61 4. MIDAS Gen Abbildung 4.8.: Eingabemaske für nichtlineare Materialeigenschaften in MIDAS Gen [I] Es stehen folgende Modelle zur Auswahl: Tresca Von Mises Mohr-Coulomb Drucker-Prager Masonry. Bei den durchgeführten Berechnungen wurde das einfachste Model Tresca gewählt und die Fließspannung eingegeben. Das Model Von Mises kann ebenfalls für Stahlprofile verwendet werden, ergab bei den einfachen Verifikationsberechnungen aber keine abweichenden Ergebnisse. Die Modelle Mohr-Couloub und Drucker-Prager werden vor allem für große Festkörper verwendet und das Model Masonry ist für die Definition von Mauerwerkseigenschaften vorgesehen. Für die genauere Definition der Modelle wird auf weiterführende Literatur (zum Beispiel Hügel (2009)) verwiesen. In MIDAS Gen können lediglich Stahlprofile oder Verbundquerschnitte definiert werden. Hierzu wird zunächst die Grundform des Profils (zum Beispiel I-Profile, U-Profile, geschlossene Profile etc.) festgelegt und anschließend werden die genauen Werte eingegeben (siehe Abbildung 4.9). Der Benutzer kann die folgenden erforderlichen Querschnittsparameter entweder selbstständig eingeben oder von MIDAS Gen berechnen lassen (die entsprechenden Achsen sind der Abbildung 4.10 zu entnehmen): 44

62 4. MIDAS Gen Abbildung 4.9.: Eingabemaske für Querschnittseigenschaften in MIDAS Gen [I] die Querschnittsfläche Area die effektiven Scherflächen A sy und A sz den Torsionswiederstand I xx die Flächenträgheitsmomente I yy, I zz und I yz die Flächenmomente Q y und Q z mit den Scherfaktoren Q yb und Q zb. Bei der Querschnittsdefinition muss außerdem darauf geachtet werden, dass in der Voreinstellung die Schubverformungen berücksichtigt werden. Diese wurden jedoch in den Verifikationsberechnungen nicht berücksichtigt, sodass sich hier unterschiedliche Verformungen ergeben. Um die Ergebnisse vergleichen zu können, wurde daher der Haken vor dem Feld Consider Shear Deformation entfernt, sodass MIDAS Gen die Schubverformungen nicht berechnet. 45

63 4. MIDAS Gen Abbildung 4.10.: Beispiel für ein lokales Koordinatensystem in MIDAS Gen [I] Lastfälle In MIDAS Gen können statische und dynamische Lasten auf das System aufgebracht werden. Die einzelnen Belastungen werden dabei verschiedenen Lastfällen zugeordnet, die zunächst definiert werden müssen und die die Art der Belastung angeben. Hierbei stehen unter anderem folgende Auswahlmöglichkeiten zur Verfügung: Ständige Lasten Verkehrslasten Windlasten Erdbeben, vertikales Erdbeben Schneelasten, Regenlasten, Eisdruck Erddruck, horizontaler Erddruck Grundwasserdruck, Flüssigkeitsdruck. Mit diesen Belastungsarten können beliebig viele verschiedene Lastfälle definiert werden, die anschließend zusätzlich kombiniert werden können. Die Lastfälle definieren jedoch noch keine Berechnung, dies geschieht erst in der Definition der Analysetypen (siehe Kapitel 4.2.5). Den Lastfällen werden beliebig viele Belastungen zugeordnet. Es können unter anderem folgende Belastungen definiert werden: Eigengewicht und Punktmassen Einzellasten auf Knoten konzentrierte oder verteilte Belastung auf Elemente aufgebrachte Verschiebungen (hydrostatische) Druckkräfte generelle oder elementbezogene Temperaturgradienten Vorspannung Windlasten 46

64 4. MIDAS Gen Beschleunigung des Untergrundes dynamische Knotenbelastungen zeitveränderliche statische Belastungen Durchführbare Analysen Die Analysetypen legen fest, welche Lastfälle in welcher Form berechnet werden. Hierbei wird in MIDAS Gen vor allem zwischen der linearen und der nichtlinearen Berechnung unterschieden. Zu den linearen Analysetypen zählen: Linear statische Analyse Eigenwertanalysen / Freie Vibrationsanalyse Ritz Vektor Analyse Antwortspektrum Analyse Zeitabhängige Analyse Knick- oder Beulanalysen. Die nichtlinearen Berechnungen werden in drei Gruppen unterteilt: Materielle Nichtlinearität: Der nichtlineare Zusammenhang zwischen Spannungen und Dehnungen wird berücksichtigt Geometrische Nichtlinearität: Ein nichtlinearer Zusammenhang zwischen Verschiebungen und Dehnungen wird berücksichtigt, der bei großen Verschiebungen auftritt Nichtlineare Randbedingungen: Auflagerbedingungen können in Abhängigkeit von der Belastung definiert werden, sodass ein nichtlinearer Zusammenhang zwischen Belastung und Verschiebung entstehen kann. Alle linearen Analysen können unter Berücksichtigung einer oder mehrerer der hier dargestellten Nichtlinearitäten durchgeführt werden. Die Definition erfolgt über die in Abbildung 4.11 dargestellte Eingabemaske. Neben diesen Analysen bietet MIDAS Gen noch die Möglichkeit weitere Analysen durchzuführen, die jedoch im Rahmen dieser Studienarbeit nicht betrachtet wurden. 47

65 4. MIDAS Gen Abbildung 4.11.: Eingabemaske für die Berücksichtigung von Nichtlinearitäten in MIDAS Gen [I] 4.3. Verifikationsberechnung Die in Anhang A dargestellten Verifikationsberechnungen wurden mit MIDAS Gen [I] berechnet. Die Ergebnisse sollen hier nicht im Detail aufgeführt werden. Es werden lediglich die für die Pushdown Analyse maßgeblichen Eigenschaften des Programms sowie mögliche Besonderheiten beschrieben. Die genauen Eingaben und Ergebnisse sind den entsprechenden Dateien auf der beigefügten CD sowie dem Anhang B zu entnehmen Besonderheiten bei der Eingabe Es konnten nicht alle Verifikationsberechnungen wie in Anhang A dargestellt mit MIDAS Gen [I] berechnet werden, da die Eingabemöglichkeiten des Programmes in einigen Punkten begrenzt sind. 48

66 4. MIDAS Gen So konnte zum Beispiel die Berechnung A.1.4 mit MIDAS Gen [I] nicht durchgeführt werden, da sich keine Stahlbetonquerschnitte definieren lassen. Beton kann nur in Verbundquerschnitten in Verbindung mit einem Stahlprofil modelliert werden. Das Programm ist nur auf die Berechnung von Stahltragwerken ausgelegt, was die Nutzung deutlich einschränkt. Auch die in A.2.2 und A.2.3 verwendeten Rohrprofile konnten in MIDAS Gen [I] nicht eingegeben werden. Es lassen sich lediglich kreisrunde Rohre oder rechtwinklige Kästen definieren, jedoch keine Rohre mit abgerundeten Ecken wie das QRo 120x5 oder das RRo 200x100x10. Die Ergebnisse dieser Berechnungen können daher Abweichungen zu den Verifikationsberechnungen aufweisen, da die Querschnitte ohne die entsprechenden Ausrundungen definiert wurden. Die in A.2.1, A.2.2, A.2.3 und A.2.5 auf das System aufgebrachten Verschiebungen können in MIDAS Gen [I] nicht wie gewünscht definiert werden. Es lassen sich in dem Programm lediglich Auflagerverschiebungen aufbringen, keine Verschiebungen beliebiger freier Knoten. Die Knoten wurden daher mit den Koordinaten nach der Verschiebung eingegeben und die Analyse wurde an dem so definierten Modell durchgeführt. Die Ergebnisse hierbei können von den exakten Ergebnissen abweichen, da durch eine aufgebrachte Verschiebung bereits Spannungen in dem System entstehen, die bei den Berechnungen in MIDAS Gen [I] nicht berücksichtigt werden. Alle weiteren erforderlichen Eingaben waren in MIDAS Gen [I] möglich. Die wichtigsten Ergebnisse sind im Folgenden dargestellt Materielle Nichtlinearität Die Berücksichtigung der materiellen Nichtlinearität wurde in den Berechnungen A.1.1 und A.1.3 überprüft. In MIDAS Gen [I] kann die materielle Nichtlinearität über die in Abbildung 4.11 dargestellte Eingabemaske bei jeder statischen und dynamischen Analyse berücksichtigt werden. Hierbei werden jedoch keine Fließgelenke berechnet und es kann kein Momenten-Verkrümmungs-Diagramm ausgegeben und überprüft werden. Da diese Ergebnisse für die Überprüfung der Verifikationsberechnungen jedoch gewünscht waren, musste für diese Berechnungen nach der statischen Analyse bereits eine Pushover Analysis in MIDAS Gen [I] durchgeführt werden. Hier können die Eigenschaften der Fließgelenke definiert werden und das Programm berechnet die zugehörigen Momenten-Rotations-Linien. Problematisch ist hierbei vor allem die Kontrolle der inkrementellen Laststeigerung. Hier kann der Benutzer zwischen Last- und Verschiebungssteuerung wählen. Besonders bei der Laststeuerung kann es schnell zu einem Abbruch der Berechnung kommen, wenn die ermittelten Verschiebungen mit der definierten Toleranz nicht mehr konvergiert. Da es bei diesen Berechnungen planmäßig zu großen Verschiebungen durch die Bildung plastischer Gelenke kommt, muss die Verschiebungssteuerung gewählt werden. 49

67 4. MIDAS Gen Die Fließgelenke können bi- oder trilinear, nach FEMA 273 oder nach dem Eurocode 8:2004 definiert werden. Für die durchgeführten Berechnungen wurde das in Kapitel beschriebene Model nach FEMA (1997) gewählt. Die entsprechenden Punkte der Momenten-Rotations-Linie können wie in Abbildung 4.12 dargestellt eingegeben werden. Abbildung 4.12.: Eingabemaske für Fliessgelenke in MIDAS Gen [I] Aus den Verifikationsberechnungen zeigt sich, dass MIDAS Gen [I] das Tragverhalten eines Querschnitts nach dem Versagen nicht richtig berechnet. Wie in Abbildung 4.13 deutlich wird, fällt die Momenten-Rotations-Linie beim Überschreiten des Punktes C nach FEMA (1997) nicht nahezu senkrecht ab, sondern mit einer sehr viel geringeren Steigung. Dies hat zur Folge, dass MIDAS Gen [I] das Tragverhalten eines Systems nach dem Ausfall des ersten Querschnitts nicht mehr richtig abbildet. Wo ein Querschnitt in der Realität kein Moment mehr abtragen kann, lässt in MIDAS Gen [I] die mittragende Wirkung des Querschnitts nur langsam nach. Da die Kräfte und Momente durch diese falsche Berechnung nicht sofort nach dem Ausfall des Querschnitts umgelagert werden müssen, ergibt sich im Anschluss für das ganze System ein anderes Tragverhalten. 50

68 4. MIDAS Gen Abbildung 4.13.: Momenten-Rotations-Linie aus MIDAS Gen [I] Da in MIDAS Gen [I] für die Fließgelenke eine Momenten-Rotations-Linie ermittelt wird und keine Momenten-Verkrümmungs-Linie, wurden lediglich die Werte der ermittelten Fließmomente sowie das maximale Moment beim Versagen des Querschnitts mit den Ergebnissen aus Anhang A verglichen. Außer der fehlerhaften Berechnung nach dem Versagen eines Querschnitts stimmen die Ergebnisse der Verifikationsberechnungen A.1.1 und A.1.3 in MIDAS Gen [I] mit den Ergebnissen der Vergleichsrechnung überein. Das Programm kann also die materielle Nichtlinearität berechnen. Die genannten Einschränkungen können jedoch gerade bei der Pushdown Analyse maßgebend werden, sodass die Ergebnisse genau überprüft werden müssen Geometrische Nichtlinearität Die Berücksichtigung der geometrischen Nichtlinearität für zweidimensionale Systeme wurde in den Berechnungen A.1.2 und A.1.3 überprüft. In MIDAS Gen [I] gibt es zwei Möglichkeiten die geometrische Nichtlinearität zu berücksichtigen. Die zu berechnenden Lastfälle werden entweder der P-Delta Analyse oder der nichtlinearen Analyse (Eingabemaske wie in Abbildung 4.11), was einer Berechnung unter Berücksichtigung großer Verschiebungen entspricht, zugeordnet. Die Ergebnisse der Verifikationberechnungen unter Berücksichtigung des P-Delta Effektes stimmten sehr gut mit den in der Vergleichsrechnung ermittelten Ergebnissen überein. 51

69 4. MIDAS Gen Der in MIDAS Gen [I] mit A.1.2 berechnete Vergleich zwischen den Ergebnissen unter Berücksichtigung des P-Delta-Effekts und einer Berechnung mit großen Verschiebungen liefern folgende Ergebnisse geliefert: P-Delta-Effekt Große Verschiebungen max w x 33,12 cm 32,79 cm max w z 0,398 cm 1,841 cm Rotation 0,111 rad 0,110 rad Tabelle 4.2.: Ergebnisse zu A.1.2 aus MIDAS Gen [I] Die Verschiebungen in z-richtung hat sich deutlich vergrößert, während die beiden anderen Werte unter Berücksichtigung der großen Verschiebungen etwas geringer sind als mit dem P-Delta Effekt. Dies entspricht den erwarteten Ergebnisse. Die geometrische Nichtlinearität wird in MIDAS Gen [I] für zweidimensionale Systeme sehr gut umgesetzt Geometrische Nichtlinearität bei dreidimensionalen Systemen Mit den Verifikationsberechnungen A.2.1 bis A.2.5 soll überprüft werden, ob MIDAS Gen [I] unter Berücksichtigung der geometrischen Nichtlinearität die gegenseitige Beeinflussung der Schnittgrößen bei dreidimensionalen Systemen richtig ermittelt. Die Ergebnisse der beiden Programmversionen [I] und [Ia] unterscheiden sich bei den dreidimensionalen Berechnungen teilweise erheblich. Anscheinend wurde hier in den neueren Versionen die geometrisch nichtlineare Berechnung verbessert. Im Folgenden werden die Ergebnisse der neueren Version [I] dargestellt. Die Berechnungen wurden sowohl mit dem Newton-Raphson-Verfahren als auch mit dem Arc-Length Verfahren durchgeführt. Die Ergebnisse unterscheiden sich jedoch nur geringfügig, sodass die Ergebnisse der Berechnungen mit dem Newton-Raphson- Verfahren im Folgenden beschrieben werden können. A.2.1 und A.2.3 zeigen, dass MIDAS Gen [I] aus Querkräften bzw. bei zweiachsiger Biegung zwar ein Torsionsmoment berechnet, welches jedoch teilweise deutlich kleiner ist als das exakte Ergebnis. Auch die weiteren Schnittgrößen sowie die Verformungen sind zu klein. Lediglich die ermittelten Torsionsdrehwinkel in A.2.1 sind größer als die von Gensichen u. Lumpe (2008a), was aufgrund der geringeren Torsionsmomente besonders verwunderlich ist. Besonders auffällig ist, dass bei der Berechnung von A.2.1 die zweite Variante, bei der eine Verschiebung in y-richtung anstatt einer Last aufgebracht wird, deutlich schlechtere Ergebnisse liefert als die erste Variante. Die Ergebnisse dürfen also höchstens als Näherung angesehen werden. 52

70 4. MIDAS Gen In A.2.2 wurde die Umlagerung von Normalkräften in einem Fachwerk überprüft. Die in MIDAS Gen [I] berechnete Umlagerung entspricht nahezu den exakten Ergebnissen. Die ermittelten Verschiebungen sind jedoch nur etwa halb so groß wie in der genauen Berechnung. Die Schnittgrößen dürfen somit als sehr realistisch angesehen werden, die Verformungen sollten jedoch nicht weiter verwendet werden. Die Ergebnisse der Berechnung A.2.4 mit MIDAS Gen [I] sind sehr schlecht. Es zeigt sich keine Veränderung des Torsionsdrehwinkels φ x wenn die Normalkraft im Stab gesteigert wird. Ein Einfluss der Normalkraft auf die Torsion wird somit von dem Programm nicht berücksichtigt. Und auch bei der letzten Verifikationsberechnung A.2.5 sind die Ergebnisse von MIDAS Gen [I] mangelhaft. Die ermittelten Schnittgrößen und Verformungen sind in allen drei Varianten deutlich kleiner als die exakten Ergebnisse. Bei dem Lastfall 2 wird kaum ein Torsionsmoment (0,02 knm) ermittelt. Die Ergebnisse sollten nicht verwendet werden. Insgesamt zeigen sich deutliche Unterschiede in den Ergebnissen der geometrisch nichtlinearen Berechnungen dreidimensionaler Systeme in MIDAS Gen [I]. Die Abhängigkeit des Torsionsdrehwinkels von der Normalkraft wird nicht berücksichtigt. Die Schnittgrößen und besonders die Verformungen bei zweiachsiger Biegung werden in der Regel zu klein ermittelt. Lediglich die Umlagerung der Normalkräfte eines Fachwerks werden von MIDAS Gen [I] realistisch berechnet, wobei auch hier die Verformungen sehr ungenau sind. Die Ergebnisse aus MIDAS Gen [I] für dreidimensionale Systeme unter Berücksichtigung geometrischer Nichtlinearität sollten daher sehr kritisch hinterfragt und nur als Näherung betrachtet werden Umsetzung der Pushdown Analyse In MIDAS Gen [I] ist die Pushover Analyse zur Simulation des Tragwerkverhaltens unter Erdbebeneinwirkungen als eine mögliche Analyseart vorgesehen. Diese nichtlinear statische Analyse basiert auf dem in FEMA 273 (FEMA 1997) und ATC 40 (ATC 1996) beschriebenen Vorgehen. So wird die materielle Nichtlinearität, wie bereits in Kapitel beschrieben, über die Definition der Fließgelenke nach FEMA 273 berücksichtigt. Die geometrische Nichtlinearität kann über den P-Delta-Effekt berechnet werden, große Verschiebungen werden nicht in die Berechnung einbezogen. Zur Untersuchung eines Tragwerks mittels der Pushdown Analyse kann die Analyseart der Pushover Analyse verwendet werden, da die Lastrichtung, die die beiden Analysen unterscheidet, durch den Benutzer definiert wird. Die Pushdown Analysen, wie sie in Anhang C beschrieben sind, wurden wie folgt in MIDAS Gen [I] berechnet. Nach der Modellierung des Tragwerks wird in einer ersten linearen Analyse das System mit dem Eigengewicht belastet und über die Analyseart Construction Stage Analysis wird der Ausfall einer Stütze simuliert. Hierzu werden die Elemente der 53

71 4. MIDAS Gen Stütze einer Gruppe zugeordnet, die in einem Lastschritt gelöscht wird. Diese erste Analyse kann nur linear berechnet werden, da MIDAS Gen [I] im Anschluss die Pushdown Analyse sonst nicht durchführt. Wenn diese Analyse abgeschlossen ist, werden die Grundlagen für die Pushover bzw. Pushdown Analyse definiert. Es werden zunächst die generellen Eigenschaften der Analyse, wie die Iterationsschritte oder die Konvergenztoleranz, in der Pushover Analysis Control (vgl. Abbildung 4.14) eingegeben. Anschließend werden die für die Analyse verwendeten Lastfälle wie in Abbildung 4.15 definiert. Es wird für die Analyse die Verformungskontrolle gewählt und jeweils der Knoten über der ausgefallenen Stütze als Master-Knoten festgelegt. Außerdem wird hier angegeben, dass der P-Delta-Effekt berücksichtigt werden soll. Anschließend werden die Fließgelenke nach FEMA (1997), wie bereits beschrieben, eingegeben und den Elementen zugeordnet. Im Anschluss kann die Pushdown Analyse berechnet werden. Abbildung 4.14.: Pushover Analysis Control aus MIDAS Gen [I] Als Ergebnis der Pushdown Analyse kann sich der Benutzer neben den Schnittgrößen und Verformungen nach jedem Lastschritt den Zustand der plastischen Gelenke anzeigen lassen. Es wird farblich gekennzeichnet an welchem Punkt des Momenten- Rotations-Diagramms nach FEMA 273 (vgl. Kapitel 2.4.2) sich die Belastung jedes Fließgelenks befindet. Hier kann sehr gut beobachtet werden in welchem Lastschritt welche Elemente versagen. Weiterhin kann sich der Benutzer für jedes Gelenk die 54

72 4. MIDAS Gen Momenten-Rotations-Linien anzeigen lassen und die Werte überprüfen. Auch alle anderen Schnittgrößen und Verschiebungen können für jedes Element in einem Graphen aufgetragen werden. Die Achsen können hierbei durch den Nutzer beliebig definiert werden. Darüber hinaus kann eine Kapazitätskurve ausgegeben werden, die die auftretende Verschiebung dem Faktor der aufgebrachten Last gegenüberstellt. Wie in Kapitel 2.2 beschrieben, kann anhand dieser Kurve entschieden werden, wie sicher das vorliegende Gebäude gegen eine bestimmte Belastung ist. Hierzu muss die reale maximal auftretende Verschiebung für die untersuchte Beanspruchung bekannt sein. Ein Beispiel für eine solche Kapazitätskurve aus MIDAS Gen [I] ist in Abbildung 4.16 dargestellt. Abbildung 4.15.: Eingabemaske für die Lastfälle der Pushdown Analyse aus MIDAS Gen [I] 55

73 4. MIDAS Gen Abbildung 4.16.: Beispiel für eine Kapazitätskurve aus MIDAS Gen [I] 4.5. Ergebnisse der Pushdown Analysen Die in Anhang C beschriebenen Beispiele zur Durchführung einer Pushdown Analyse wurden mit MIDAS Gen [I] berechnet. Die Ergebnisse werden im Folgenden an einigen Beispielen dargestellt, alle weiteren Ergebnisse sind den Dateien auf der beigefügten CD zu entnehmen Einfache Systeme Die einfachen zwei- und dreidimensionalen Systeme wurden in MIDAS Gen [I] modelliert und die Pushdown Analyse wurde wie zuvor beschrieben durchgeführt. Abbildung 4.17 zeigt die berechneten Fließgelenke für das dreidimensionale Tragwerk. Wie zu erwarten war, fallen die Riegel direkt über der ausgefallenen Stütze zunächst an den biegesteifen Ecken aus. Dadurch wird das Moment in den Riegeln direkt über der Stütze größer und auch hier treten Fließgelenke auf bis alle Gelenke versagen. Das System wurde mit einer Streckenlast von 200 kn/m auf allen Riegeln belastet, die inkrementell gesteigert und auch bis zum Versagen des Tragwerks nicht vollständig aufgebracht wurde. Die Kapazitätskurve (siehe Abbildung 4.18) zeigt, dass in Lastschritt 22 ein maxialer Lastfaktor mit 0,128 auftritt. Anschließend nimmt die aufnehmbare Kraft des Tragwerks wie erwartet ab, da bereits einige Elemente ausgefallen sind. Wenn ein Gelenk ausgefallen ist, also den Punkt C der Momenten-Rotations-Linie überschritten hat, berechnet MIDAS Gen [I] hier in den folgenden Lastschritten ein 56

74 4. MIDAS Gen abnehmendes Moment. Die Momenten-Rotations-Linien zeigen für einige Gelenke ein Bild wie in Abbildung 4.19, das keine Ähnlichkeit mehr mit den nach FEMA 273 (FEMA 1997) definierten Diagrammen hat. Dies kann zum einen durch die sehr grobe Skalierung der Rotations-Achse erklärt werden, die auch riesige Werte berücksichtigt, welche nach dem Versagen des Querschnitts ermittelt werden. Weiterhin wird erneut deutlich, dass der Graph nach Überschreiten des maximalen Moments nur mit einer geringen Steigung abfällt und nicht senkrecht verläuft wie es realistisch wäre. Das Schnittmoment im Querschnitt müsste bereits im Lastschritt nach dem Versagen auf Null abfallen und nicht über mehrere Schritte langsam abnehmen. Auf dieses Problem wurde bereits in Kapitel hingewiesen. An der Verformungsfigur des zweidimensionalen Rahmens lässt sich gut erkennen, dass MIDAS Gen [I] die berechneten Verformungen gut an die entstandenen Gelenke anpasst. Abbildung 4.20 zeigt die Verformungsfigur vor dem Versagen der Gelenke direkt neben der ausgefallenen Stütze und Abbildung 4.21 danach. Es wird deutlich, dass die Stäbe nicht mehr gekrümmt werden, sondern sich durch die entstandenen Gelenke gerade verdrehen. Die berechneten Verformungen sind mit 50,0 cm sehr groß, was zu erwarten war, da in diesem Lastschritt bereits mehrere Querschnitte ausgefallen sind. Im Allgemeinen sind die Ergebnisse der Pushdown Analyse für einfache Systeme in MIDAS Gen [I] sehr plausibel und gut dargestellt. Lediglich die Momenten- Rotations-Linien zeigen, dass das Programm den starken Abfall des aufnehmbaren Momentes nach dem Versagen des Querschnitts nicht berechnen kann. Dies kann zu unrealistischen Ergebnissen führen, da die Momente nicht sofort nach dem Versagen umgelagert werden. 57

75 4. MIDAS Gen Abbildung 4.17.: Fließgelenke nach den Lastschritten 9, 12, 15, 20, 23, 34 und 50 aus MIDAS Gen [I], zur Legende: siehe Kapitel

76 4. MIDAS Gen Abbildung 4.18.: Kapazitätskurve für das dreidimensionale Rahmentragwerk aus MIDAS Gen [I] Abbildung 4.19.: Beispielhafte Momenten-Rotations-Linie aus der Beispielrechnung zur Pushdown Analyse aus MIDAS Gen [I] 59

77 4. MIDAS Gen Abbildung 4.20.: Verformungsfigur in m des zweidimensionalen Rahmens nach Lastschritt 48 aus MIDAS Gen [I] Abbildung 4.21.: Verformungsfigur in m des zweidimensionalen Rahmens nach Lastschritt 49 aus MIDAS Gen [I] 60

78 4. MIDAS Gen Zweidimensionales Modell Das zweidimensionale Modell wurde wie in Abbildung 4.22 gezeigt in MIDAS Gen [I] modelliert. Abbildung 4.22.: Zweidimensionales Modell zur Durchführung der Pushdown Analyse aus MIDAS Gen [I] Am Beispiel der Berechnung für den Ausfall der Stütze C1 ist in Abbildung 4.24 das Auftreten der Fließgelenke für verschiedene Lastschritte dargestellt. Es wird deutlich, dass wie erwartet vor allem die unteren Riegel direkt neben der Stütze belastet werden und sich so die ersten Gelenke in diesen Elementen bilden. In Lastschritt 9 sind hierbei gemäß der Kapazitätskurve (siehe Abbildung 4.23) 69 % der vertikalen Belastung von 50 kn/m auf den Riegeln erreicht, in Lastschritt 12 sind es 79 % und beim Ausfall der ersten Elemente in Lastschritt 23 ist das System mit 98 % der definierten Last belastet. Anschließend nimmt die aufnehmbare Last des Tragwerks wie erwartet ab, da nach und nach die Elemente über der ausgefallenen Stütze versagen. Aus der Darstellung der Fließgelenke wird sehr deutlich, dass lediglich die Elemente links und rechts der Stütze C1 versagen, in den weiteren Elementen bilden sich keine Fließgelenke. Nach den Ergebnissen aus MIDAS Gen [I] würde es also nicht 61

79 4. MIDAS Gen zu einem Kollaps des gesamten Gebäudes kommen, sondern nur der Teil über der ausgefallenen Stütze würde versagen. Dieses Ergebnis zeigt sich auch in den anderen zweidimensionalen Berechnungen. Abbildung 4.23.: Kapazitätskurve für den Ausfall der Stütze C1 aus MIDAS Gen [I] Nachdem in Lastschritt 44 nahezu in allen Elementen über der Stütze C1 die Fließgelenke aufgetreten sind, ergibt sich eine Verformungsfigur wie in Abbildung Es wird noch einmal deutlich, dass nur die Elemente direkt über der Stütze versagen. Die weiteren Elemente befinden sich nach dem Kollaps des Tragwerkteils beinahe wieder in ihrer Ausgangslage, obwohl sie während der Schnittgrößenumlagerung natürlich ebenfalls verschoben werden. 62

80 4. MIDAS Gen Abbildung 4.24.: Fließgelenke nach den Lastschritten 1, 9, 12, 23, 29, 33 und 44 aus MIDAS Gen [I], zur Legende: siehe Kapitel

81 4. MIDAS Gen Abbildung 4.25.: Verformungsfigur in m nach Lastschritt 44 aus MIDAS Gen [I] Dreidimensionales Modell Das dreidimensionale Modell wurde wie in Abbildung 4.26 gezeigt in MIDAS Gen [I] modelliert. Abbildung 4.26.: Dreidimensionales Modell zur Durchführung der Pushdown Analyse aus MIDAS Gen [I] 64

82 4. MIDAS Gen Bei den dreidimensionalen Berechnungen zeigen sich einige Unterschiede zu den zweidimensionalen. Zunächst wird die Bedeutung der geometrischen Nichtlinearität deutlich. Wird diese berücksichtigt, ergeben sich für den Ausfall der Stützen A1 und A2 Fließgelenke, wie sie in den Abbildungen 4.29 und 4.30 dargestellt sind. Es zeigt sich, dass das System nach dem Ausfall einiger weniger Elemente sehr schnell vollständig versagt (zwischen Lastschritt 48 und 49 bzw. 42 und 43). Dieses Verhalten tritt auch bei einem Wegfall der Stützen B1 oder B2 auf. Das plötzliche Versagen des gesamten Tragwerks wird jedoch nur berechnet, wenn der P-Delta- Effekt berücksichtigt wird. Dies macht deutlich, was für einen bedeutenden Einfluss die geometrische Nichtlinearität auf das Ergebnis der Pushdown Analyse hat. Dieser Unterschied wird auch bei Betrachtung der Kapazitätskurven deutlich (siehe Abbildungen 4.27). Nach dem Versagen des Tragwerks steigt der Lastfaktor, das heißt die aufnehmbare Last, bei einer konstanten Verformung in die Millionen, was kein realistisches Tragwerksverhalten mehr abbildet. Die aufnehmbare Last müsste nach einem Ausfall des Systems zu Null werden. Dieses Ergebnis zeigt, das MIDAS Gen [I] das Verhalten des Tragwerks nach dem Versagen nicht mehr realistisch berechnen kann und die anschließend ermittelten Ergebnisse nicht verwendet werden sollten. Abbildung 4.27.: Kapazitätskurve für den Ausfall der Stütze A1 aus MIDAS Gen [I] Ein Unterschied zwischen den dreidimensionalen Berechnungen zeigt sich im Vergleich der gebildeten Fließgelenke bei Wegfall der Stützen in Achse 1 und Achse 2. Wie in Abbildung 4.30 zu erkennen ist, bilden sich bei Ausfall der Stütze A2 auch Fließgelenke in Elementen aus, die nicht in der direkten Umgebung der ausgefallenen Stütze liegen. Fallen die Stützen B1 oder A1 aus, ist zumindest bis zum plötzlichen 65

83 4. MIDAS Gen Versagen des Gesamtsystems nur der Bereich um die geschädigte Stütze betroffen. Bei Wegfall einer Stütze in Achse 2 wird somit von Anfang an das gesamte Tragwerk stark belastet und es kommt am gesamten Tragwerk zu Verformungen und Schädigungen und schließlich zum Kollaps. Neben den bereits im vorherigen Kapitel beschriebenen Momenten-Rotations-Linien werden in den dreidimensionalen Berechnungen auch Zusammenhänge wie in Abbildung 4.28 dargestellt berechnet. Es handelt sich bei der Abbildung um eines der versagenden Gelenke nach dem Ausfall von Stütze A1. Aus den zugehörigen Tabellen in MIDAS Gen [I] wird ersichtlich, dass bis zu dem Lastschritt 39 das aufgenommene Moment bei geringer Rotation ansteigt. Im nächsten Lastschritt tritt eine große Rotation auf und das Moment wird zu Null. Bis dahin beschreibt die Kurve also das erwartete Verhalten eines Fließgelenks. Ab dem Lastschritt 49 berechnet MIDAS Gen [I] jedoch, dass in dem Fließgelenk erneut ein konstantes Schnittmoment von 465 knm, während eine Rotation von mehreren Millionen rad auftritt. Es wird noch einmal deutlich, dass das Programm nach dem Versagen des Tragwerks zwar noch Werte ermittelt, diese jedoch in keiner Weise mehr realistisch sind. Abbildung 4.28.: Beispielhafte Momenten-Rotations-Linie für den Ausfall der Stütze A1 aus MIDAS Gen [I] 66

84 4. MIDAS Gen Abbildung 4.29.: Fließgelenke nach den Lastschritten 17, 21, 25, 36, 43, 48 und 49 nach Wegfall der Stütze A1 aus MIDAS Gen [I], zur Legende: siehe Kapitel

85 4. MIDAS Gen Abbildung 4.30.: Fließgelenke nach den Lastschritten 25, 27, 30, 33, 37, 42 und 43 nach Wegfall der Stütze A2 aus MIDAS Gen [I], zur Legende: siehe Kapitel

86 4. MIDAS Gen 4.6. Handhabbarkeit des Programms MIDAS Gen [I] ist auf den ersten Blick ein sehr übersichtliches Programm. Der so genannte Work Tree (siehe Abbildung 4.31), den sich der Benutzer jederzeit anzeigen lassen kann, bietet einen guten Leitfaden für die Modellierung und Analyse eines Systems und gibt einen schnellen Überblick über die definierten Elemente, Lasten und Analysen. Alle wichtigen Funktionen zu Ansicht und Modellierung des Systems sind direkt über Buttons im Startfenster des Programms auszuwählen, sodass der Benutzer sich schnell zurechtfinden kann. Jede Änderung des Modells wird im Ansichtsfenster angezeigt, in dem eine große Auswahl an möglichen Perspektiven für den Benutzer zur Auswahl stehen. Der prinzipielle Aufbau des Programmfensters ist in Abbildung 4.31 dargestellt. Abbildung 4.31.: Programmfenster MIDAS Gen [I] Das globale Koordinatensystem ist dauerhaft im Ansichtsfenster angezeigt, ist jedoch aufgrund der dreidimensionales Darstellung manchmal schwer zu erkennen. Die Bildschirmebene entspricht der z-achse und das Koordinatensystem folgt der Rechte-Hand-Regel, was dem Benutzer eine schnelle Orientierung im System ermöglicht. Es kann zusätzlich vom Benutzer ein individuelles Koordinatensystem definiert werden, was jedoch im Rahmen dieser Studienarbeit nicht nötig war. Die Größe der berechneten Elemente ist in MIDAS Gen [I] vom Benutzer selbst zu definieren, indem er die Objekte in kleinere Abschnitte teilt. Nur an den vom Benutzer definierten Knoten werden die Ergebnisse ausgegeben. Dies erfordert eine 69

87 4. MIDAS Gen gewisse Erfahrung des Nutzers wie klein die Elemente zu wählen sind, um realistische Werte zu erhalten ohne dabei den Rechenaufwand zu groß werden zu lassen. Die Netzgenerierung durch den Benutzer ist sehr fehleranfällig, da die Feinheit des Netzes die Ergebnisse maßgeblich beeinflussen kann. Die Modellierung des Systems in MIDAS Gen [I] ist sehr übersichtlich und benutzerfreundlich, da viele Materialien und Querschnitte bereits vordefiniert sind und vom Benutzer lediglich ausgewählt werden müssen. Probleme bei der Modellierung des Systems entstehen dadurch, dass nur die Knoten und Elemente dauerhaft angezeigt werden. Auflager, Gelenke und Lasten werden nur direkt nach der Definition angezeigt, verschwinden bei der nächsten Eingabe aber wieder aus der Anzeige. Dies lässt sich zwar in den Ansichtseinstellungen individuell anpassen, muss aber bei jedem neuen Modell erneut geändert werden. Bei der Anzeige der Auflager ist außerdem nur zu erkennen, wo und wieviele Auflagerbedingungen definiert wurden, nicht welche. Dies kann sich der Benutzer nur über den Work Tree oder die Tabellendarstellung des Models anzeigen lassen, was umständlich ist und bei der sonst sehr guten Anzeige des Programms auch nicht nachzuvollziehen ist. Das gleiche Problem tritt bei der Definition der Fließgelenke auf. Hier wird nur das entsprechende Element markiert, dem ein Fließgelenk zugeordnet wird. An welchem Ende das Gelenk definiert wurde, kann erst bei der Darstellung der Ergebnisse nach der Analyse erkannt werden. Für die Arbeit mit MIDAS Gen [I] ist es außerdem auffällig, dass der Benutzer jedesmal, wenn mit dem Mauszeiger ein Element markiert werden soll, dies zuvor im Programm eingestellt werden muss. Da die Markierung mit der Maus generell ein selbstverständliches Vorgehen ist, ist diese Funktion sehr gewöhnungsbedürftig. Eine Besonderheit von MIDAS Gen [I] ist die Trennung verschiedener Analysen. Zum einen können der P-Delta-Effekt oder große Verformungen berücksichtigt werden. Die jeweiligen Einstellung befinden sich jedoch in zwei vollständig getrennten Fenstern. Ebenso ist es zunächst verwirrend, dass die Einstellungen für die Pushover bzw. Pushdown Analyse nicht bei den Einstellungen aller anderen Analysen zu finden sind und die Berechnung über einen eigenen Button gestartet werden muss. Das Ausführen der Analysen nacheinander ist zwar gewollt, das erforderliche Vorgehen in dem Programm für den Benutzer jedoch anfangs schwer zu erkennen. Die Darstellung der Ergebnisse in MIDAS Gen [I] ist sehr gut und für den Benutzer einfach zu handhaben. Die Bezeichnung der Schnittgrößen und Verformungen sind eindeutig und über die Legenden sowie farblichen Markierungen sind die Ergebnisse schnell erkennbar. Alle Ergebnisse können neben der graphischen Anzeige auch als Tabellen ausgegeben werden, wenn die exakten Werte benötigt werden. Fehlermeldungen und Warnungen werden in MIDAS Gen [I] in dem Message Window angezeigt. Teilweise sind diese sehr eindeutig und der Benutzer kann einen Fehler sofort beheben. Oft muss aber auch zusätzlich das Handbuch benutzt werden, damit die Warnung des Programms verstanden werden kann. Bei den Demoversionen des Programms funktioniert die Onlinehilfe nicht, sodass bei Problemen die Handbücher verwendet werden müssen. Für den Einstieg ist das 70

88 4. MIDAS Gen Getting Startet (MIDASoft Inc. 2009) Handbuch hilfreich, da hier mit zahlreichen Abbildungen der generelle Umgang mit dem Programm erklärt wird. Bei konkreten Fragestellungen konnte man hier aber nur selten eine Antwort finden. Das Analysis Manual (MIDASoft Inc.) erklärt hingehen die Grundlagen des Programms sehr anschaulich, gibt jedoch keine Hilfen zu Bedienung des Programms. Bei besonderen Fragestellungen ist daher die größte Hilfe, sich auf der Internetseite des Hersteller ( zu registrieren und die zahlreichen Technical Papers zu durchsuchen, ob zu der gesuchten Fragestellung etwas veröffentlicht wurde. Besonders die verschiedenen Analysearten sind hier gut erklärt. Da die Demoversion [Ia] des Programmes zeitlich begrenzt ist, wurde im Verlauf der Studienarbeit zu einer ebenfalls zeitlich begrenzten Vollversion [I] gewechselt. Die Vollversion von MIDAS Gen [I] kann die Dateien, die mit einer Demoversion erstellt wurden, nicht öffnen. Daher mussten alle Verifikationsberechnungen noch einmal eingegeben und berechnet werden, was einen großen zusätzlichen Zeitaufwand bedeutete. Die Beschränkung der Versionen sollte von dem Hersteller überdacht werden. Generell ist MIDAS Gen [I] ein sehr übersichtliches, klar strukturiertes Programm, in dem sich der Benutzer sehr schnell für die ersten Schritte der Modellierung zurechtfinden kann. Einige Voreinstellungen zu Anzeige und Bedienung sollten meiner Meinung nach verändert werden, können jedoch vom Benutzer nachträglich eingestellt werden, sodass jeder das Programm auf seine individuellen Wünsche anpassen kann. Wenn man die Analysemöglichkeiten des Programms einmal durchschaut hat, findet man sich auch hier gut zurecht. Insgesamt beurteile ich die Handhabbarkeit des Programms daher als gut Beurteilung des Programms In MIDAS Gen [I] ist die Pushover Analyse bereits als eine eigene Analyseart implementiert. Dies ermöglicht eine vergleichsweise einfache Umsetzung der Analyse durch den Benutzer, da das Programm die erforderlichen Schritte gut strukturiert abfordert. Generell ist MIDAS Gen [I] ein übersichtliches Programm, dass sich vor allem in den ersten Schritten sehr intuitiv bedienen lässt. Die Ergebnisse der zweidimensionalen Berechnungen waren zufriedenstellend und auch nichtlineare Berechnungen wurden von dem Programm richtig durchgeführt. Eine Schwachstelle des Programms ist bei der Berücksichtigung der materiellen Nichtlinearität die Berechnung nach Versagen eines Querschnitts. In den Momenten- Rotations-Linien wird sehr deutlich, dass das Schnittmoment in einem ausgefallenen Querschnitt nicht sofort auf Null absinkt, sondern noch sehr lange ein Moment in dem Querschnitt angenommen wird. Dies entspricht nicht dem realen Verhalten und vor allem bei der Pushdown Analyse kann dies die Ergebnisse verändern. Nach den teilweise sehr schlechten Ergebnissen der dreidimensionalen Verifikationsberechnungen mit MIDAS Gen [I], sollten die Ergebnisse geometrisch nichtlinearer, 71

89 4. MIDAS Gen dreidimensionaler Berechnungen mit dem Programm nur als Näherung verwendet werden. Ein großes Problem bei der Durchführung der Pushdown Analyse in MIDAS Gen [I] besteht darin, dass keine großen Verschiebungen bei der Berechnung berücksichtigt werden können. Das Programm berücksichtigt lediglich den P-Delta-Effekt. Da bei einer Pushdown Analyse das System bis zum Versagen belastet wird, treten zwangsläufig sehr große Verschiebungen auf und die Berechnung mittels P-Delta- Effekt kann diese Verschiebungen nicht realistisch ermitteln. Es zeigt sich auch, dass das Programm nach dem Versagen des Tragwerks zwar noch Schnittgrößen und Verschiebungen in den Elementen ermittelt, die Werte jedoch teilweise in keiner realistischen Größenordnung mehr liegen und damit vollständig ignoriert werden müssen. Die Ergebnisse der Pushdown Analyse sind in MIDAS Gen [I] sehr gut dargestellt und vom Benutzer gut einzusehen. Durch die farbliche Kennzeichnung der Fließgelenke kann der Betrachter schnell erkennen, in welcher Reihenfolge die Elemente bei dem Ausfall der betrachteten Stütze versagen werden und wie der Versagensmechanismus aussehen wird. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass MIDAS Gen [I] die Pushdown Analyse berechnen kann und sehr übersichtliche und eindeutige Ergebnisse liefert. Die Qualität der Ergebnisse lässt jedoch noch viele Wünsche offen, vor allem was die Berücksichtigung der materiellen Nichtlinearität generell und der geometrischen Nichtlinearität bei dreidimensionalen Systemen betrifft. 72

90 5. SAP Allgemein Abbildung 5.1.: Logo SAP2000 (Computers & Engineering 2009) Name: Anbieter: Homepage: SAP2000 Computers & Structures, Inc. (CSI) 1995 University Avenue, Suite 540 Berkeley, CA USA und Computers & Engineering Holzmühler Weg 87-89, Lollar, Germany Computers & Structures, Inc. (CSI) hat eine Reihe an Softwareprodukten für das Bau- und Erdbebeningenieurwesen entwickelt, die mittlerweile weltweit in Ingenieurbüros aber auch in der Forschung immer wieder Anwendung finden. SAP2000 wurde für die Berechnung ziviler Bauwerke jeder Art entwickelt, beispielsweise zur Bemessung von Brücken, Hochhäusern, Stadien, Offshore Anlagen, Dämmen oder industriellen Gebäuden. Darüber hinaus kann es für die Berechnungen von Bodenverhalten oder auch Maschinenelementen verwendet werden. Neben SAP2000 gehören die Programme ETABS und SAFE zu den Entwicklungen von CSI, in denen die Schwerpunkte auf andere Bauwerksarten gelegt wurden (CSI 2009). 73

91 5. SAP2000 Seit 1996 ist SAP2000 vollständig integriert in Microsoft Windows und ist laut CSI (2006) durch eine übersichtliche, graphische Benutzeroberfläche (graphical user interface) besonders einfach zu bedienen. Laut CSI (2007) können mit SAP2000 statische und dynamische sowie lineare und nichtlineare Berechnungen durchgeführt werden. Neben den einfachen statischen Nachweisen, können unter anderem Erdbeben dynamisch oder über die Pushover Analyse bemessen werden, es kann eine geometrische Nichtlinearität über den P- Delta-Effekt oder über große Verschiebungen berücksichtigt werden und es können zeitlich veränderliches Materialverhalten sowie Knick- und Beulprobleme berechnet werden. Im Rahmen dieser Arbeit wurde mit SAP2000 Educational [IIa] und SAP2000 Advanced [II] gearbeitet. Für die kommerzielle Nutzung sind drei verschiedenen Versionen von SAP2000 verfügbar: SAP2000 Basic SAP2000 PLUS SAP2000 Advanced Für die Durchführung einer Pushdown Analyse ist die Version SAP2000 Advanced notwendig, da nur diese die erforderliche nichtlineare Berechnung durchführen kann. SAP2000 Educational verfügt über eine große Zahl möglicher Anwendungen von SAP2000. Die Demoversion kann für einen Zeitraum von 220 Tagen genutzt werden und es können Modelle mit bis zu 100 Knoten gespeichert und gedruckt werden. Für die Verifikationsberechnungen reichten die Möglichkeiten der Demoversion aus. Um die notwendigen Berechnung der Pushdown Analyse durchzuführen, musste eine Vollversion SAP2000 Advances [II] genutzt werden, die man 30 Tage ohne Einschränkungen zur Verfügung gestellt bekommt. Die Verifikationsberechnungen ergaben auch mit dieser Programmversion die gleichen Ergebnisse Grundlagen des Programms In diesem Kapitel sollen die grundlegenden Eigenschaften des Programms kurz erläutert werden. Die Angaben zu dem Programm stammen aus CSI (2007) Die Finite Elemente Methode Die allgemeinen Grundlagen zur Finiten Elemente Methode wurden bereits in Kapitel behandelt. Im Folgenden sollen nur die Besonderheiten von SAP2000 hierzu dargestellt werden. 74

92 5. SAP2000 Object-based modelling In den neueren Versionen von SAP2000 wurde von dem so genannten element-based modelling auf object-based modelling umgestellt. Dies bedeutet, dass der Benutzer die Diskretisierung des Systems in Finite Elemente nicht mehr selbst vornehmen muss. Statt dessen wird das System mit Objekten (z. B. ganzen Balken- oder Plattenelemente) eingegeben und wenn die Analyse gestartet wird, generiert SAP2000 das FE-Netz automatisch. Der Ingenieur kann jederzeit Einfluss auf die Netzgenerierung (z. B. den Feinheitsgrad) nehmen, aber die Generierung an sich übernimmt das Programm. Dies bedeutet eine einfachere Eingabe der Systeme als bei den älteren Versionen. Die auf Element-Ebene ermittelten Ergebnisse werden anschließend wieder auf die Objekte übertragen und sind so für den Benutzer leicht zu interpretieren. Integrationsregel Die gesuchten Werte wie Schnittgrößen, Spannungen oder Verschiebungen werden in SAP2000 über die numerische Integration nach der Methode der Gauss-Quadratur ermittelt. Diese wurde bereits in Kapitel ausführlich beschrieben. Iterationsverfahren und Gleichungslöser SAP2000 löst das nichtlineare Gleichungssystem in jedem Iterationsschritt bis das Ergebnis mit der gewünschten Genauigkeit konvergiert. Hierbei wird in jedem Schritt ein Gleichgewichtszustand angestrebt. Zunächst wird die Iteration mit einer konstanten Steifigkeitsiteration durchgeführt. Wenn das Ergebnis mit dieser Methode nicht konvergiert, verwendet das Programm das rechenaufwendigere Newton- Raphson-Verfahren. Wird auch mit dieser Methode keine Konvergenz erreicht, verringert SAP2000 automatisch die Schrittweite der Iteration und beginnt von neuem. Der Benutzer kann die Toleranzgrenze für die Konvergenz einstellen und damit die Geschwindigkeit der Berechnung maßgeblich steuern. Das Newton-Raphson-Verfahren wurde in Kapitel bereits ausführlich erläutert und wird hier nicht noch einmal beschrieben. Die Ermittlung der Tangentensteifigkeit in jedem Schritt beim Newton-Raphson- Verfahren ist sehr rechenaufwendig. Bei dem Iterationsverfahren mit konstanter Steifigkeit wird nur im ersten Iterationsschritt das Newton-Raphson-Verfahren angewendet und die Tangentensteifigkeit wird bestimmt. Nach dem ersten Iterationsschritt wird die bereits ermittelte Tangentensteifigkeit beibehalten und bis zur Konvergenz nicht neu berechnet. Dadurch verringert sich die Konvergenzgeschwindigkeit, aber es sinkt auch der Rechenaufwand (Seoul National University, College of Engineering 2009). Der Unterschied der beiden Verfahren wird durch Abbildung 5.2 im Vergleich zu Abbildung 4.4 deutlich. Nur wenn die Iteration mit diesem Verfahren nicht konvergiert, wird das Newton-Raphson-Verfahren angewendet. 75

93 5. SAP2000 Abbildung 5.2.: Prinzip der Iteration mit konstanter Steifigkeit Die in SAP2000 verwendeten Gleichungslöser werden von CSI (2007) nur erwähnt, nicht erläutert. Es gibt drei verschiedene Gleichungslöser: den voreingestellten Standardgleichungslöser den Advanced Solver den Multi-threaded Solver Der Advanced Solver führt bei großen Systemen schneller zu einem Ergebnis und benötigt weniger Speicherbedarf. Ein großer Vorteil ist, dass der Anwender sich die ermittelten Steifigkeits- und Massenmatrizen nach jeder Analyse anzeigen lassen kann. Der Advanced Solver nutzt Teile der TAUCS Gleichungslöser von Sivan Toledo von der Tel-Aviv Univesity. Weitere Details waren den SAP2000 Handbüchern nicht zu entnehmen. Für weitere Informationen wird auf die Copyright Erklärung in CSI (2007), Seite 449 verwiesen. 76

94 5. SAP Elemente und Knotenbedingungen In SAP2000 können verschiedene Arten von Elementen mit spezifischen Eigenschaften definiert werden. Es lassen sich folgende Gruppen an Elementen unterscheiden: Point Objects: Verbindungspunkte zwischen zwei Elementen oder einem Element und dem Boden (Auflager) Line Objects: Linienförmige Elemente wie Stäbe oder Seile Area Objects: Flächige Elemente wie Platten oder Scheiben Solid Objects: Dreidimensionale, große Festkörper. Diese Gruppen lassen sich weiter unterteilen in die in Tabelle 5.1 dargestellten Elementtypen, denen bestimmte Eigenschaften zugeordnet sind, die der Benutzer bei der Eingabe berücksichtigen muss. Die linienförmigen Elemente werden über zwei Knoten definiert. Flächenelemente sind durch drei oder vier Knoten bestimmt und dreidimensionale Elemente sind durch acht Knoten festgelegt. Die Anzahl der Knoten bestimmt die Anzahl der erforderlichen Rand- und Anfangsbedingungen für jedes Element und damit die erforderliche Rechenzeit. Knoten- und Auflagerbedingungen werden in SAP2000 in lineare und nichtlineare Bedingungen unterschieden. Linear sind die Bedingungen, die definieren, für welche der drei möglichen Translationsfreiheitsgraden sowie der drei Rotationsfreiheitsgraden eine Verschiebung bzw. Rotation in dem betrachteten Punkt möglich ist und für welche nicht. Nichtlineare Bedingungen definieren an den jeweiligen Knoten beispielsweise plastische Federn, Dämpfer oder Isolatoren, das heißt, alle Lagerungsbedingungen, die einen nichtlinearen Zusammenhang zwischen aufgebrachter Kraft und Verschiebung erzeugen. 77

95 5. SAP2000 Elementtyp Beschreibung Eigenschaften Rahmen Modellierung aller linien- Berücksichtigung von (Frame Element) förmigen Objekte mit Ausnahme biaxialer Biegung, Torsion, von Seilen in ebenen Axialverformungen und oder räumlichen Systemen. Schubverformungen. Seil Modellierung dünner Seile, Berücksichtigung aller nicht- (Cable Element) mit Durchhang oder gespannt. linearen Eigenschaften. Dünne Fläche Modellierung von Flächen- Membran: Schubsteifigkeit (Shell Element) elementen. Unterscheidung in Plattenebene, Biegesteifigkeit in Membran- und Platten- senkrecht zur Plattenebene. Verhalten (Platte: Platte: Schubsteifigkeit Dicke 1 Spannweite) senkrecht zur Plattenebene, 50 oder einer Kombination Biegesteifigkeit in allen aus beiden Eigenschaften. Richtungen. Dicke Fläche Modellierung von Flächen- Berücksichtigung eines ebenen (Plane Element) elementen bzw. zwei- Spannungszustandes (Steifigkeit dimensionalen Festkörpern beliebiger Dicke. nur in Plattenebene) bei dünnen, ebenen Objekten und ebenen Dehnungszustandes (Schubsteifigkeit aus der Plattenebene) bei langen, prismatischen Objekten. Axialsymmetrischer Modellierung eines zwei- Der modellierte Querschnitt muss Festkörper dimensionalen Querschnitts in einer Ebene mit der (Asolid Element) zur Abbildung eine axial- Symmetrieachse liegen. symmetrischen, dreidimen- Durch die Wahl der richtigen sionalen Festkörpers mit Randbedingungn wird das axialsymmetrischer Belastung. reale Verhalten abgebildet. Festkörper Modellierung eines drei- Die berechnete Systemantwort (Solid Element) dimensionalen Festkörpers ist abhängig von der Eingabe der ohne Einschränkungen. Randbedingungen. Verbindung, Modellierung der Verbindung Für jeden der sechs Freiheitsgrade Auflager zweier Elemente oder eines der Verbindung müssen (Link/Support Elementes mit der Umgebung lineare/nichtlineare Eigenschaften Element) (Auflager). und können frequenzabhängige Eigenschaften (Steifigkeit, Dämpfung) definiert werden. Die Elemente werden ohne Ausdehnung berücksichtigt. Spannkabel Modellierung von Spann- Die Elemente werden in andere (Tendon Element) gliedern, um die Vorspann- Elemente eingebaut modelliert. kraft auf die vorgespannten Elemente zu modellieren. Tabelle 5.1.: Mögliche Elementtypen in SAP2000 Sie werden nur als Element modelliert, wenn zeitabhängige Verformungen berücksichtigt werden. 78

96 5. SAP Material- und Querschnittseigenschaften Für die Eingabe der Material- und Querschnittseigenschaften gibt es jeweils zwei Möglichkeiten. Zum einen verfügt SAP2000 über eine Datenbank an voreingestellten Material- und Querschnittsdefinitionen, die jedoch vor allem auf den amerikanischen und chinesischen Normen beruhen. Diese können einfach ausgewählt, angepasst und für das Modell verwendet werden. Die zweite Möglichkeit ist die Eingabe der kennzeichnenden Parameter des Materials sowie des Querschnitts durch den Benutzer. Abbildung 5.3.: Eingabemaske für Materialeigenschaften in SAP2000 [II] Zunächst werden die grundlegenden Eigenschaften der Materials, wie der Materialtyp (z. B. Stahl, Beton, Aluminium, Spannstahl etc.) und der Symmetrietyp (isotroph, orthotroph oder anisotroph), wie in Abbildung 5.3 dargestellt, ausgewählt. Anschließend können zunächst die elastischen Kennwerte des Materials, wie beispielsweise der Elastizitätsmodul, die Fließgrenze oder das Gewicht definiert werden. Je nachdem welche weiteren Eigenschaften für die Analyse maßgebend sind, können 79

97 5. SAP2000 anschließend in der Advanced Material Property Data das plastische, zeitabhängige oder temperaturabhängige Materialverhalten sowie das Dämpfungsverhalten des Materials über die maßgeblichen Kenngrößen definiert werden. Eine graphische Ausgabe, beispielsweise der definierten Spannungs-Dehnungs-Linie des eingegebenen Materials, ist hierbei eine gute Kontrollmöglichkeit. Abbildung 5.4.: Eingabemaske für Querschnittswerte eines I-Profils in SAP2000 [II] Bei der Querschnittseingabe (siehe Abbildung 5.4) wird ebenfalls zunächst der Materialtyp und anschließend eine Grundform (z.b. I-Profil, U-Profil, Rechteckprofil) ausgewählt. Anschließend werden die maßgebenden Kennwerte eingegeben. Der Querschnitt ist in SAP2000 durch sechs Parameter definiert, die auf das lokale Koordinatensystem bezogen sind. Die Achse 1 zeigt dabei in Längsrichtung des Elementes, die Achsen 2 und 3 sind wie in Abbildung 5.5 beispielhaft dargestellt definiert. Abbildung 5.5.: Beispiel für ein lokales Koordinatensystem in SAP

98 5. SAP2000 Die sechs Parameter sind: die Querschnittsfläche a die Flächenträgheitsmomente i22 und i33 die Torsionskonstante j die Schubflächen as2 und as3. Über die Eingabe Property/Stiffness Modification Factors (siehe Abbildung 5.6) kann anschließend definiert werden, welche dieser sechs Parameter und ob das Gewicht sowie die Masse des Profils berücksichtigt werden. Abbildung 5.6.: Eingabemaske für Faktoren zur Berücksichtigung der Querschnitseigenschaften in SAP2000 [II] In der Voreinstellung werden alle Werte mit dem Faktor 1 berücksichtigt. Es ist sehr wichtig, dass der Benutzer diese Faktoren anpasst, da sie die Ergebnisse maßgeblich beeinflussen. Beispielsweise werden in der gängigen Handrechnung die Schubverformungen nicht berücksichtigt. Werden die Schubflächen as2 und as3 in SAP2000 mit dem Faktor 1 definiert, erhält man daher andere Verschiebungen des Systems. Um die Verifikationsberechnungen überprüfen zu können, wurden die Faktoren daher wie in Abbildung 5.6 eingestellt. Das Eigengewicht wurde als Streckenlast eingegeben und nicht durch das Programm berechnet. 81

99 5. SAP Lastfälle Die Lastfälle definieren die Verteilung von Kräften, Verschiebungen, Temperatureinwirkungen und anderen Effekten auf das System. Sie legen jedoch nur die Belastung fest, eine Systemantwort wird erst ermittelt, wenn die Analyse (siehe Kapitel 5.2.5) berechnet wird. Die folgenden Belastungen können in SAP2000 für Elemente oder Knoten definiert werden: konzentrierte oder verteilte Kräfte oder Momente Verschiebungen von Auflagern, Dehnungen von Elementen Eigengewicht Lasten aus Vorspannung Oberflächendruckbelastungen Porenwasserdruck Temperaturgradient Ziel-Normalkraft (gewünschte Normalkraft in einem Element definiert) Knoten-Raster (Abbildung von Druck- oder Temperaturverteilung) Beschleunigung in Richtung aller sechs Freiheitsgrade. Es müssen Lastmodelle eingegeben werden, denen die einzelnen Lasten zugeordnet werden. Sie definieren die Art der Belastung und es wird festgelegt mit welchem Faktor das Eigengewicht des Profils berücksichtigt werden soll. Wurde das Gewicht wie in Abbildung 5.6 mit dem Faktor 0 versehen, ist der definierte Faktor in den Lastmodellen wirkungslos. Für die Art der Belastung kann unter anderem zwischen den folgenden Möglichkeiten ausgewählt werden: DEAD: ständige Lasten LIFE: Verkehrslasten QUAKE: Erdbebenlasten SNOW : Schneelaste TEMPERATURE: Temperaturbelastung WIND: Windlasten OTHER: andere Lasten. Es können so viele Lastmodelle wie gewünscht definiert und anschließend in den Belastungsfällen bzw. Analysetypen miteinander kombiniert werden. 82

100 Durchführbare Analysen 5. SAP2000 In den Analysetypen wird festgelegt wie die definierten Lasten aufgebracht werden (statisch oder dynamisch), wie die Systemantwort ermittelt wird (linear oder nichtlinear) und wie die Analyse durchgeführt wird (direkte Integration, Modalanalyse etc.). Vor allem werden lineare und nichtlineare Analysetypen unterschieden. In SAP2000 sind folgende Analysen möglich: Lineare Analysen: Statische Analyse Modalanalyse (Eigen- oder Ritzvektoren) Antwortspektrumanalyse Zeitabhängige Analyse Knick-/Beulanalyse Analyse mit beweglicher Last Steady-State-Analyse Leistungsdichtespektrums Analyse. Nichtlineare Analysen: Alle linearen Analysen unter Berücksichtigung materieller oder geometrischer Nichtlinearität Alle linearen Analysen unter Berücksichtigung materieller, zeitabhängiger Veränderungen Berechnung von Kabelstrukturen bei Brückentragwerken Statische Pushover Analyse Knick-/Beulanalyse bis zum Bruch Nichtlineare zeitabhängige Analyse bei einer zeitlich veränderlichen Last Frequenzbereichsanalyse Brückenberechnung mit Fahrzeuglasten. 83

101 5. SAP2000 Linear Nichtlinear System- Steifigkeiten, Dämpfungen usw. Steifigkeiten, Dämpfungen usw. eigenschaften: sind während der Analyse sind veränderlich mit der Zeit, konstant. den Verformungen, der Last usw. Ausgangs- Anfangsspannung ist Null. Spannungszustand aus vorheriger situation: Analyse kann berücksichtigt werden. Systemantwort: Systemantwort ist proportional Systemantwort ist nicht zur Belastung. proportional zur Belastung. Superpositions: Ergebnisse sind superponierbar. Ergebnisse sind nicht superponierbar. Tabelle 5.2.: Unterschiede zwischen linearen und nichtlinearen Analysen in SAP2000 Die linearen und nichtlinearen Analysen unterscheiden sich vor allem in den in Tabelle 5.2 aufgeführten Punkten. In SAP2000 [II] werden die Analysetypen in einer Eingabemaske wie in Abbildung 5.7 dargestellt eingegeben. Problematisch in SAP2000 ist hierbei, dass die Analysetypen über die Maske Load Cases definiert werden, was die klare Trennung zwischen der aufgebrachten Last und der durchgeführten Analyse erschwert und verwirrend macht. Es müssen die Art der Analyse (linear oder nichtlinear) und die wirkenden Lastmodelle sowie weitere Parameter zur Lastaufbringung oder der Berücksichtigung geometrischer Nichtlinearität festgelegt werden. Es können so viele Analysetypen wie gewünscht definiert werden. Unter den Ausgangsbedingungen kann außerdem festgelegt werden, dass eine Analyse die Steifigkeit aus einer zuvor berechneten anderen Analyse verwenden soll. Dies wird vor allem bei der Berücksichtigung geometrischer Nichtlinearität genutzt, um eine lineare Analyse mit der zuvor mit Hilfe des P-Delta-Effektes ermittelten Steifigkeit zu berechnen. Sollen verschiedenen Belastungen gleichzeitig nichtlinear berechnet werden, müssen sie in einem Lastfall berücksichtigt werden, da eine anschließende Superposition nicht möglich ist. SAP2000 bietet weiterhin die Möglichkeit über die so genannten "Combinations" verschiedene Analysen miteinander zu kombinieren. Als Ergebnis erhält man ein Wertepaar (Minimum und Maximum) für jeden ermittelten Wert der Systemantwort. Das Programm bietet hierbei fünf verschiedene mathematische Möglichkeiten, wie diese Wertepaare ermittelt werden können: Additiv: Algebraisch, lineare Kombination der Maximal- und Minimalwerte Absolut: Summe der Beträge der Werte, das Minimum ergibt sich als das negative Maximum 84

102 5. SAP2000 Abbildung 5.7.: Eingabemaske für Lastfälle/Analysen in SAP2000 [II] SRSS: Quersummenwurzelregel, Minimum: negatives Maximum Range: Maximum: Summe der positiven Werte, Minimum: Summe der negativen Werte Envelope: Maximum: maximaler Wert, Minimum: minimaler Wert. Zusätzlich können die zugeordneten Analysen mit Faktoren versehen werden, um eine unterschiedliche Gewichtung zu erzeugen. Für die Verifikationsberechnungen im Rahmen dieser Studienarbeit wurde auf die Bildung von Kombinationen verzichtet, da die einzelnen Analysen getrennt voneinander verifiziert werden sollten Verifikationsberechnung Die in Anhang A dargestellten Verifikationsberechnungen wurden mit SAP2000 [II] berechnet. Die Ergebnisse sollen hier nicht im Detail aufgeführt werden. Es werden lediglich die für die Pushdown Analyse maßgeblichen Eigenschaften des Programms sowie mögliche Besonderheiten und Abweichungen beschrieben. 85

103 5. SAP2000 Die genauen Eingaben und Ergebnisse sind den entsprechenden Dateien auf der beigefügten CD sowie dem Anhang B zu entnehmen Besonderheiten bei der Eingabe Nicht alle Verifikationsberechnungen konnten genau wie in Anhang A dargestellt in SAP2000 [II] eingegeben werden. Die Eingabemöglichkeiten sind teilweise so festgelegt, dass beispielsweise Querschnitte oder Belastungen nicht exakt wie in den Beispielen beschrieben berücksichtigt werden können. Bei der Eingabe der Stahlprofile (z. B. HEA 400 in A.1.1) kann die Ausrundung der Ecken zwischen dem Steg und den Flanschen nicht berücksichtigt werden (vgl. Abbildung 5.8). Es kann in SAP2000 lediglich die Breite, die Höhe und die Steg- und Flanschdicke definiert werden. Abbildung 5.8.: I-Profil Auch die in A.2.2 und A.2.3 berechneten Rohrprofile können in SAP2000 [II] nur ohne die Abrundung der Ecken eingegeben werden. Dies führt zu Unterschieden in den ermittelten Querschnittswerten, die bei den betrachteten Querschnitten jedoch sehr gering sind, sodass die Ergebnisse nur minimal von den exakten Werten abweichen. Für die Berechnungen A.1.4 konnte der Stahlbetonquerschnitt nicht exakt wie in der Aufgabe dargestellt eingegeben werden. SAP2000 [II] berücksichtigt automatisch die definierte Bewehrung oben und unten im Querschnitt gleichermaßen. Außerdem muss eine Umschnürungsbewehrung eingegeben werden und die Stahlmenge kann hier nicht zu Null gesetzt werden. Durch diese zusätzlich definierte Bewehrung verändert sich das Verformungsverhalten des Querschnitts deutlich und anstatt der in A.1.4 ermittelten maximalen Durchbiegung von w = 0,95 cm ergibt sich nur eine Durchbiegung von 0,279 cm. Diese Ergebnisse sind damit nicht vergleichbar. Auch die anschließend überprüfte Darstellung des nichtlinearen Materialverhaltens bei einem Stahlbetonquerschnitt kann daher kaum überprüft werden. Ein weiteres Problem ergab sich bei der Eingabe von aufgebrachten Verschiebungen wie in A.2.1, A.2.2, A.2.3 und A.2.5 beschrieben. In SAP2000 [II] ist es nicht möglich auf einen beliebigen Knoten eine Verschiebung aufzubringen, es können lediglich Auflagerverschiebungen definiert werden. Um die Berechnungen trotzdem durchführen zu können, wurden die Knoten mit den Koordinaten eingegeben, die die Verschiebung bereits beinhalten. Eine exakte Übereinstimmung der Ergebnisse ist bei dieser Eingabe jedoch nicht zu erwarten. Die Vorverformung bei dieser Eingabe rufen keine Spannungsänderung im System hervor, wie es bei einer aufgebrachten Verschiebung der Fall ist, sodass die Ausgangsbedingungen nicht übereinstimmen. Alle weiteren erforderlichen Eingaben konnten in SAP2000 [II] wie gewünscht gemacht werden. Im Folgenden werden nun die wichtigsten Ergebnisse dargestellt. 86

104 5. SAP Materielle Nichtlinearität Die Berücksichtigung der materiellen Nichtlinearität wurde in den Berechnungen A.1.1, A.1.3 und A.1.4 überprüft. In SAP2000 [II] können die Fließgelenke nach FEMA 356 (FEMA 2000) definiert werden. Wie die Abbildung 5.9 zeigt, werden die maßgebenden Punkte der Momenten-Rotations-Linie in Relation zu dem Fließmoment und der zugehörigen Rotation definiert. Abbildung 5.9.: Eingabemaske für Fließgelenke in SAP2000 [II] Problematisch ist hierbei, dass in SAP2000 [II] für den Punkt B bei Erreichen des Fließmoments keine zugehörige Rotation definiert werden kann. Diese ist mit Null voreingestellt und kann auch nicht geändert werden. Dies entspricht nicht der Definition nach FEMA 356, wo bei Erreichen des Fließmoments bereits eine geringe Rotation angenommen wird (vgl. Abbildung 2.11). In Verifikationsberechnungen zeigt sich außerdem, dass SAP2000 [II] das Verhalten des Querschnitts nach dem Versagen, das heißt bei Überschreiten des Punktes C in der Momenten-Rotations-Linie, nicht richtig berechnet. Lässt man sich die Momenten-Rotations-Linien der Gelenke anzeigen (siehe Abbildung 5.10 und 5.11) 87

105 5. SAP2000 zeigt sich, dass die Steigung der Linie nach dem Versagen des Querschnitts mit einer geringen Steigung abfällt (schwarze Linie) und nicht wie ursprünglich definiert nahezu senkrecht (rote Linie). Daraus ergibt sich, dass SAP2000 das Tragverhalten eines Systems nicht mehr realistisch abbildet, sobald an einer Stelle ein Querschnitt versagt. Während in der Realität der Querschnitt nahezu sofort vollständig ausfällt und kein Moment mehr aufgenommen werden kann, wird in SAP2000 [II] das aufnehmbare Moment nur langsam geringer. Hierdurch wird die Umlagerung der Schnittgrößen nach dem Auftreten eines Fließgelenks falsch berechnet, was bei der Durchführung einer Pushdown oder Pushover Analyse zu fehlerhaften Ergebnissen führen kann. Abbildung 5.10.: Momenten-Rotations- Linie zu A.1.1 aus SAP2000 [II] Abbildung 5.11.: Momenten-Rotations- Linie zu A.1.3 aus SAP2000 [II] Da in SAP2000 [II] für die Fließgelenke eine Momenten-Rotations-Linie ermittelt wird und keine Momenten-Verkrümmungs-Linie, wurden lediglich die Werte der ermittelten Fließmoment sowie das maximale Moment beim Versagen des Querschnitts mit den Ergebnissen aus Anhang A verglichen. Die Ergebnisse der Verifikationsberechnungen A.1.1 und A.1.3 aus SAP2000 [II] entsprechen bis auf die oben genannten Einschränkungen den erwarteten Ergebnissen. Trotz der dargestellten Probleme kann zusammenfassend gesagt werden, dass SAP2000 [II] die materielle Nichtlinearität bei der Berechnung berücksichtigen kann. Die genannten Fehler sollten aber bei der Interpretation der Ergebnisse der Pushdown Analyse auf jeden Fall berücksichtigt werden. 88

106 5. SAP Geometrische Nichtlinearität Die Berücksichtigung der geometrischen Nichtlinearität für zweidimensionale Systeme wurde in den Berechnungen A.1.2 und A.1.3 überprüft. Bei der Festlegung der Lastfälle kann die Berücksichtigung der geometrischen Nichtlinearität in SAP2000 [II] wie in Abbildung 5.12 dargestellt definiert werden. Hierbei kann entweder nur der in Kapitel 2.5 beschriebene P-Delta-Effekt berücksichtigt werden oder es können zusätzlich große Verschiebungen in der Berechnung ermittelt werden. Abbildung 5.12.: Eingabemaske für die Berücksichtigung der geometrischen Nichtlinearität in SAP2000 [II] Wird nur der P-Delta-Effekt berücksichtigt, wird das Gleichgewicht am verformten System bestimmt. Die Richtung der Belastung bleibt hierbei im globalen Koordinatensystem gleich. Werden zusätzlich große Verschiebungen berücksichtigt, bleibt die Belastung bezogen auf das lokale Koordinatensystem gleich, das heißt die Lastrichtung ändert sich mit der Verformung des Elements. Laut Borkowski (2006) muss in SAP2000 [II] darauf geachtet werden, dass die definierten Stäbe bei der Berechnung mit geometrischer Nichtlinearität nicht zu lang 89

107 5. SAP2000 sind, da die Dehnung pro Stabelement begrenzt ist. In A.1.2 wurde daher getestet, ob eine Unterteilung des Stabes die Ergebnisse verändert, was jedoch nicht der Fall war. Die Ergebnisse der Verifikationsberechnungen unter der Berücksichtigung des P- Delta-Effekts in SAP2000 [II] stimmen mit den exakten Ergebnissen nahezu überein. Werden die großen Verschiebungen in A.1.2 mit einbezogen, ergeben sich folgende Ergebnisse im Vergleich: P-Delta-Effekt Große Verschiebungen max w x 35,1 cm 34,4 cm max w z 0,41 cm 1,99 cm Rotation 0,12 rad 0,117 rad Tabelle 5.3.: Ergebnisse zu A.1.2 aus SAP2000 [II] Die in A.1.2 beschrieben zu erwartenden Unterschiede zeigen sich in den Ergebnissen aus SAP2000 [II] deutlich. Die Verschiebung in x-richtung w x wird geringer und die Verschiebung in z-richtung w z, die ohne Berücksichtigung großer Verschiebungen sehr gering ist, wird deutlich größer. Die Verifikationsberechnungen haben also gezeigt, dass in SAP2000 [II] für zweidimensionale Systeme der P-Delta-Effekt und auch große Verschiebungen richtig berücksichtigt werden können Geometrische Nichtlinearität bei dreidimensionalen Systemen Mit den Verifikationsberechnungen A.2.1 bis A.2.5 soll überprüft werden, ob SAP2000 [II] unter Berücksichtigung der geometrischen Nichtlinearität die gegenseitige Beeinflussung der Schnittgrößen bei dreidimensionalen Systemen richtig ermittelt. Bei der Rechnung A.2.1 ergaben sich mit SAP2000 [II] geringere Werte für alle überprüften Momente und Verformungen als in der exakten Berechnung. Es wird zwar ein Torsionsmoment M x ermittelt, dieses ist mit 0,17 knm (Variante 1) bzw. 0,26 knm (Variante 2) aber deutlich zu klein. Auch die weiteren Momente und Verschiebungen sind zu gering. Die Ergebnisse sind nur eine sehr schlechte Näherung der realen Werte. In A.2.2 berechnet SAP2000 [II] zwar eine Umlagerung der Normalkräfte, diese entsprechen aber nicht den in Gensichen u. Lumpe (2008b) ermittelten Werten. Die in SAP2000 [II] berechneten Normalkräfte stehen jedoch in einem ähnlichen Verhältnis zueinander wie die exakten Werte und weichen vor allem in der zweiten Variante nur geringfügig ab. Die Ergebnisse aus SAP2000 [II] bei der Umlagerung der Normalkräfte in einem Fachwerk sind also nicht exakt, sie zeigen den Effekt jedoch und die Ergebnisse können zumindest als eine Näherung verwendet werden. 90

108 5. SAP2000 In A.2.3 zeigt sich deutlich, dass SAP2000 [II] bei einem dreidimensionalen System das Torsionsmoment aus den auftretenden Querkräften nicht ausreichend berücksichtigt. Die ermittelten Verschiebungen und das Torsionsmoment an der Einspannung sind zu gering. Besonders auffällig ist, dass das Torsionsmoment im Stab von SAP2000 [II] mit 0,03 kncm nahezu gegen Null geht, während es in der exakten Berechnung 26,9 kncm beträgt. Hier sind die Ergebnisse aus SAP2000 [II] also grundlegend falsch. Auch A.2.4 zeigt mangelhafte Ergebnisse aus SAP2000 [II]. Das Programm berechnet mit und ohne Normalkraft im Stab den gleichen maximalen Torsionsdrehwinkel φ x. Der Einfluss der Normalkraft auf den Torsionsdrehwinkel wird in SAP2000 [II] somit nicht berücksichtigt, was zu falschen Ergebnissen führen kann. A.2.5 zeigt, dass SAP2000 [II] bei zweiachsiger Biegung das auftretende Torsionsmoment nahezu exakt berücksichtigt. Die ermittelten Torsionsmomente aller Varianten sind etwas kleiner als die exakten Eregebnisse. Die Abweichungen sind aber gering, was ebenfalls für die berechneten Verschiebungen und den Trosionsdrehwinkel gilt. Die Ergebnisse aus SAP2000 [II] können als gute Näherung der exakten Werte betrachtet werden. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass SAP2000 [II] die betrachteten Beeinflussungen der Schnittgrößen untereinander verschieden genau berücksichtigen kann. Die Umlagerung der Normalkräfte in einem Fachwerk wird fast realistisch berechnet. Das auftretende Trosionsmoment aus Querkräften und zweiachsiger Biegung wird zwar berücksichtigt, die Werte sind jedoch deutlich geringer als die exakten Ergebnisse und sollten daher höchstens als Näherung betrachtet werden. Das Torsionsmoment im Stab kann, wie in A.2.3 zeigt, sogar falsch sein. Falsche Ergebnisse liefert SAP2000 [II] außerdem für das Torsionsmoment bei einer Normalkraft im Stab. Hier müssen die Ergebnisse besonders kritisch hinterfragt werden Umsetzung der Pushdown Analyse In SAP2000 [II] ist die Pushover Analyse nach FEMA 356 (FEMA 2000) implementiert. Alle notwendigen Einstellungen zur Untersuchung eines Tragwerks auf seinen Widerstand gegen Erdbebenbelastungen mittels dieser Analyse sind in dem Programm vorgesehen und das erforderliche Vorgehen ist in den Handbüchern (z.b. CSI (2007)) beschrieben. Die geometrische Nichtlinearität kann mittels des P-Delta-Effekts und der Berechnung großer Verschiebungen berücksichtigt werden. Die materielle Nichtlinearität wird durch die Definition von Fließgelenken nach FEMA 356 (vgl. Kapitel 2.4.2) an diskreten Punkten berücksichtigt. Der in FEMA 356 definierte starke Abfall der Momenten-Rotations-Linie nach Überschreiten des maximalen Moments soll durch die Hinge Unloading Method berücksichtigt werden. Hierin wird definiert, wie SAP2000 [I] nach dem Ausfall eines Querschnittes die Last, die der Querschnitt zuvor aufgenommen hat, umlagern soll. Es gibt hierzu drei Möglichkeiten: 91

109 5. SAP2000 Unload Entire Structure: Wenn ein Querschnitt versagt, wird das gesamte System entlastet bis der Querschnitt nicht mehr versagen würde, danach wird die Last wieder gesteigert, ohne dass das ausgefallene Element Last aufnehmen kann Apply Local Redistribution: Ähnlich wie die erste Methode, es wird jedoch nur das ausgefallene Element entlastet und anschließend die Last auf die Nachbarelemente umgeleitet Restart Using Secant Stiffness: Wenn ein Querschnitt versagt, wird für alle bereits fließenden Gelenke die Sekantensteifigkeit berechnet und die Berechnung neu gestartet. Die sicherste Methode ist die Unload Entire Structure Methode, die auch in den Berechnungen für diese Studienarbeit verwendet wurde. Auf die anderen Methoden sollte der Benutzer laut CSI (2007) nur ausweichen, wenn mit der ersten Methode kein Ergebnis erzielt wird. Die Pushover Analyse in SAP2000 [II] kann verwendet werden um ein System mittels der Pushdown Analyse auf seine Tragfähigkeit hin zu untersuchen. Die Lastfälle, die bei der Analyse berücksichtigt werden, werden durch den Benutzer definiert und sind daher nicht an eine Lastrichtung gebunden. Die Beispiele aus Anhang C wurden in SAP2000 [II] wie folgt berechnet. Das Modell wird wie gewohnt modelliert und die Eigenschaften der Fließgelenke werden, wie in Kapitel beschrieben, definiert und den Elementen zugeordnet. Anschließend werden die Lasten definiert und den einzelnen Analysen zugeordnet. Das System wird zunächst mit dem Eigengewicht belastet. Anschließend wird über die Nonlinear Staged Construction Analysis die gewünschte Stütze entfernt. Danach wird die Pushdown Analyse definiert. Die drei Analysen, denen jeweils den Endzustand der vorigen als Ausgangszustand zugeordnet ist, werden anschließend in einem Schritt berechnet. Neben den üblichen Schnittgrößen und Verschiebungen kann sich der Benutzer anschließend die auftretenden Fließgelenke nach jedem Lastschritt anzeigen lassen. Die farbliche Kennzeichnung zeigt den Zustand des Gelenkes nach der Definition aus FEMA 356 (FEMA 2000) an. Außerdem kann sich der Benutzer verschiedenen Pushover Kurven nach FEMA 356 und ATC 40 (ATC 1996) anzeigen lassen, wenn die Verschiebungssteuerung für die Belastung ausgewählt wurde. Für die meisten dieser Kurven müssen jedoch Parameter wie Dämpfungseigenschaften oder das Spektrum des untersuchten Erdbebens eingegeben werden, was für die Untersuchungen mittels der Pushdown Analyse nicht notwendig ist. Die entsprechenden Kurven wurden daher in der Auswertung nicht berücksichtigt. Auch die in Abbildung 5.13 beispielhaft dargestellte Pushover Kurve wurde nicht zur Auswertung der Pushdown Analyse verwendet, da die aufgetragenen Schubkräfte am Boden für die Pushdown Analyse keine Aussagekraft besitzen. 92

110 5. SAP2000 Abbildung 5.13.: Pushover Kurve nach FEMA 356 aus SAP2000 [II] 93

111 5. SAP Ergebnisse der Pushdown Analysen Die in Anhang C beschriebenen Beispiele zur Durchführung einer Pushdown Analyse wurden mit SAP2000 [II] berechnet. Die Ergebnisse werden im Folgenden an einigen Beispielen dargestellt, alle weiteren Ergebnisse sind den Dateien auf der beigefügten CD zu entnehmen Einfache Systeme Zunächst wurden die zwei kleinen Systeme in SAP2000 [II] modelliert. Bei der zweidimensionalen Berechnung ermittelt SAP2000 [II] die auftretenden Fließgelenke wie erwartet zunächst außen an den Riegeln, anschließend an den Knoten direkt über der Stütze bis hin zum Versagen des gesamten Tragwerks, wo auch in den Stützen bereits Gelenke auftreten. Die Darstellung der Schnittmomente zeigt deutlich, dass das aufnehmbare Moment in einem Element wie erwartet abnimmt sobald ein Querschnitt versagt. Die Momenten-Rotations-Linien der entstandenen Fließgelenke (siehe Abbildung 5.14) zeigt in diesen Berechnungen eine deutlich bessere Annäherung des nach FEMA 356 (FEMA 2000) definierten Verhaltens als bei den Verifikationsberechnungen. Es lässt sich daher vermuten, dass die verwendete Hinge Unloading Method den nahezu senkrechten Abfall der Linie wie angekündigt verbessert. Abbildung 5.14.: Momenten-Rotations-Linie aus der zweidimensionalen Beispielrechnung zur Pushdown Analyse aus SAP2000 [II] 94

112 5. SAP2000 Eine ähnliche Reihenfolge berechnet SAP2000 [II] auch für die Fließgelenke in dem dreidimensionalen Tragwerk, die in Abbildung 5.16 dargestellt sind. Nach dem Lastschritt 25 haben sich neun Gelenke gebildet haben, in denen das maximal aufnehmbare Moment erreicht ist. Es wird eine Durchbiegung von bis zu 2,0 m berechnet. Nach diesem Lastschritt kann keine Lösung mehr gefunden werden und die Berechnung bricht ab. Betrachtet man die Momenten-Rotations-Linien der Gelenke (siehe Abbildung 5.15), zeigt sich, dass SAP2000 [II] in dieser Berechnung für die versagenden Gelenke das Moment nicht mehr korrekt berechnet kann. Der abfallende Ast des Graphen wird wie bei den Verifikationsberechnungen mit einer viel zu geringen Steigung berechnet, bis die Berechnung ganz abbricht. Da bei dieser Berechnung aufgrund der Symmetrie des Systems sehr viele Gelenke gleichzeitig versagen, ist zu vermuten, dass SAP2000 [II] versucht mit der Hinge Unloading Method das System zu entlasten, danach die Last jedoch nicht mehr aufgenommen werden kann und die Berechnung abbricht. Abbildung 5.15.: Momenten-Rotations-Linie aus der dreidimensionalen Beispielrechnung zur Pushdown Analyse aus SAP2000 [II] Die berechneten Schnittmomente und Verschiebungen berücksichtigen korrekt das auftreten der Fließgelenke und die Ergebnisse der Pushdown Analyse in SAP2000 [II] sind grundsätzlich plausibel. 95

113 5. SAP2000 Abbildung 5.16.: Fließgelenke nach den Lastschritten 3, 5, 8, 11, 14, 16, 20 und 25 aus SAP2000 [II], zur Legende: siehe Kapitel

114 5. SAP Zweidimensionales Modell Das zweidimensionale Modell wurde wie in Abbildung 5.17 gezeigt in SAP2000 [II] modelliert. Abbildung 5.17.: Zweidimensionales Modell zur Durchführung der Pushdown Analyse aus SAP2000 [II] Da die Ergebnisse der zweidimensionalen Berechnungen sich sehr ähnlich sind ist in Abbildung 5.18 und 5.19 beispielhaft die Bildung der Fließgelenke für den Ausfall der Stütze C1 dargestellt. Es zeigt sich, dass wie erwartet zunächst die Riegel direkt über der ausgefallenen Stütze beginnen Fließgelenke auszubilden und diese Elemente in Lastschritt 19 auch als erste ausfallen. Generell wird deutlich, dass nach den Ergebnissen aus SAP2000 [II] nur die Elemente direkt über der ausfallenden Stütze versagen. Es würde also nach diesem Ergebnis nur zu einem Teileinsturz des Tragwerks kommen, da alle anderen Elemente nicht versagen. Auch für die weiteren zweidimensionalen Berechnungen zeigte sich dieses Ergebnis. 97

115 5. SAP2000 Abbildung 5.18.: Fließgelenke nach den Lastschritten 1, 4, 10 und 14 aus SAP2000 [II], zur Legende: siehe Kapitel

116 5. SAP2000 Abbildung 5.19.: Fließgelenke nach den Lastschritten 17, 19, 21 und 27 aus SAP2000 [II], zur Legende: siehe Kapitel Nach dem 28. Lastschritt bricht SAP2000 [II] die Berechnung ab, da mit der definierten Anzahl an maximalen Lastschritten keine weiteren Ergebnisse mehr ermittelt werden können. Auch wenn die Anzahl erhöht wird, verändern sich die Ergebnisse der Fließgelenke nicht mehr und die Verschiebungen schwanken unrealistisch stark. SAP2000 [II] scheint bei der Pushdown Analyse an einem Punkt keine weiteren Ergebnisse bei steigender Belastung mehr berechnen zu können. In dem letzten berechneten Lastschritt beträgt die maximale Verschiebung in z-richtung bereits 44,0 99

117 5. SAP2000 cm und ist damit sehr groß. Möglicherweise ist das System auch ohne dass alle Gelenke vollständig versagen bereits an diesem Punkt kinematisch und SAP2000 [II] kann im Anschluss keine realistischen Ergebnisse mehr berechnen. Bei den dreidimensionalen Berechnungen wird dieses Problem noch deutlicher. Die entsprechenden Ergebnisse sind im Folgenden dargestellt. Bis zu diesem zuvor beschriebene Lastschritt sind die Ergebnisse der Pushdown Analyse in SAP2000 [II] für das System jedoch sehr realistisch und für die Schnittgrößen und Verschiebungen werden plausible Werte ermittelt Dreidimensionales Modell Das dreidimensionale Modell wurde wie in Abbildung 5.20 gezeigt in SAP2000 [II] modelliert. Abbildung 5.20.: Dreidimensionales Modell zur Durchführung der Pushdown Analyse aus SAP2000 [II] Die für die zweidimensionalen Berechnungen bereits beschriebenen Probleme in SAP2000 [II] sind bei den dreidimensionalen Berechnungen noch verstärkt zu beobachten. Nur in den ersten Lastschritten werden Fließgelenke und Verformungen realistisch berechnet (siehe Abbildung 5.22 für den Ausfall der Stütze B1). Die anschließenden Lastschritte ergeben keine Veränderungen der Fließgelenke mehr, die 100

118 5. SAP2000 ermittelten Verschiebungen schwanken um einen Wert, ohne weiter zuzunehmen, und die Berechnung bricht ab, wenn die maximale Anzahl an Lastschritten erreicht ist. Es wurde versucht die Lastschritte, die Belastung, die kontrollierte Verformung, die Fließgelenkdefinitionen und die Hinge unloading method zu variieren. Das Modell wurde außerdem mehrfach auf Eingabefehler überprüft. Es wurden jedoch keine maßgebliche Veränderungen der Ergebnisse erzielt. Dieses Problem tritt bei allen durchgeführten Berechnungen am dreidimensionalen System auf. Beispielhaft werden hier die Ergebnisse für den Ausfall der Stütze B1 beschrieben. Die Verformung schwankt in den letzten Lastschritten zwischen 17,0 cm und 18,0 cm. Da dies bereits vergleichweise große Verformungen sind und die Fließgelenke nahezu gleichzeitig auftreten, kann auch hier vermutet werden, dass SAP2000 [II] die nachfolgenden Lastschritte nicht mehr richtig berechnet, da das System durch die gebildeten Fließgelenke zu große Verschiebungen aufweist und kinematisch ist. Eigentlich müsste die Berechnung dann jedoch, wie bei den einfachen Systemen beschrieben, mit einer Fehlermeldung abbrechen. Die Ergebnisse der ersten Lastschritte sind plausibel und entsprechen den Erwartungen. Die weiteren Ergebnisse zeigen keine Veränderung mehr und haben daher keine Aussagekraft. Es war im Rahmen dieser Studienarbeit leider nicht möglich herauszufinden, warum SAP2000 [II] diese Art der Ergebnisse berechnet und es kann daher nur der Beginn des Versagensmechanismusses überprüft werden. Hier zeigt sich, dass lediglich die Elemente direkt über der ausgefallenen Stütze versagen. Die berechneten Fließmomente stimmen mit denen in INCA2 [IV] berechneten Momenten überein. Die Momenten-Rotations-Linien (siehe Abbildung 5.21) zeigen deutlich, dass die Gelenke noch weit davon entfernt sind zu versagen, wenn die Berechnung abbricht. Abbildung 5.21.: Momenten-Rotations-Linie für den Ausfall der Stütze B1 aus SAP2000 [II] 101

119 5. SAP2000 Abbildung 5.22.: Fließgelenke nach den Lastschritten 3, 4, 5 und 7 aus SAP2000 [II], zur Legende: siehe Kapitel

120 5. SAP Handhabbarkeit des Programms SAP2000 [II] ist in großen Teilen ein sehr benutzerfreundliches Programm. Das implementierte Object-based modeling erleichtert dem Benutzer die Eingabe und verringert die Fehleranfälligkeit bei der Generierung des FE-Netzes. Das modellierte System wird durch die verringerte Knotenanzahl deutlich übersichtlicher als bei den Programmen, in denen die einzelnen Elemente vom Benutzer definiert werden müssen. In einem großen Anzeigefenster (siehe Abbildung 5.23) kann der Benutzer seine Eingaben ständig kontrollieren. Die Auflagerbedingungen und Gelenke sind deutlich im System zu erkennen und die definierten Lasten können jederzeit angezeigt werden. Durch das im Ursprung dauerhaft angezeigte Koordinatensystem hat der Benutzer eine gute Orientierung im System. Über das Menü kann der Benutzer alle erforderlichen Funktionen anwählen. Die wichtigsten Ansichts- und Modellierungsfunktionen sind auch direkt im Startfenster über entsprechende Buttons anwählbar. Abbildung 5.23.: Programmfenster SAP2000 [II] Für eine noch einfachere Definition der Material- und Querschnittseigenschaften wäre eine erweiterte Bibliothek der vordefinierten Materialien und Querschnitte wünschenswert. Bisher sind nur einige amerikanische und chinesische Materialien verfügbar und keine Profile. Eine Erweiterung auf die europäischen Materialdefinitionen und eine Auswahl an genormten Stahlprofilen wäre hier wünschenswert. 103

121 5. SAP2000 Besonders übersichtlich ist in SAP2000 [I] die Definition der durchzuführenden Analysen gestaltet. Alle definierten Analysetypen sind aus einem Fenster anzuwählen und anzupassen. Der Benutzer kann bei nichtlinearen Analysen festlegen, welche Ergebnisse einer vorherige Analyse als Ausgangspunkt verwendet werden soll. Wird die Berechnung gestartet, berechnet SAP2000 [II] automatisch die Analysen in der definierten Reihenfolge. Die Markierung der Elemente erfolgt sehr intuitiv mit der Maus und die Eigenschaften und Belastungen der Objekten können über den Menüpunkt Assign sehr schnell angepasst werden. Bei der Ausgabe der Ergebnisse ist die von SAP2000 [II] gewählte Bezeichnung der Schnittgrößen gewöhnungsbedürftig. Da die lokalen Koordinatensysteme mit den Achsen bezeichnet sind, werden die Schnittgrößen beispielsweise mit M 22 oder M 33 bezeichnet, was von dem Benutzer ein ständiges Umdenken in das lokale Koordinatensystem erfordert, um die Ergebnisse richtig zu interpretieren. Eine Bezeichnung der Achsen mit den gewohnten x-y-z wäre hier schneller verständlich. Bei der Darstellung der Verformungsfigur kann der Benutzer sich außerdem nur für den jeweils markierten Punkt die Verschiebung anzeigen lassen. Für einen Überblick über das gesamte Tragwerk wäre es wünschenswert, die Werte mehrerer Knoten in der Grafik anzeigen zu lassen. Abgesehen davon sind die Ergebnisse aus SAP2000 [II] gut dargestellt. Das CSI Analysis Reference Manual (CSI 2007) gibt gute allgemeine Informationen zu den Programmen von CSI. Tipps zur Bedienung des Programms findet man hier aber nur wenig. In dem Getting Started Handbuch (CSI 2006) finden sich Hilfen für den Einstieg in das Programm und für die ersten Schritte der Modellierung. Besonders anschauliche Beschreibungen der Möglichkeiten von SAP2000 [II] findet man auf der Internetseite des Herstellers ( Hier kann sich der Benutzer Videos herunterladen, in denen gezeigt und kommentiert wird, wie bestimmte Analysen in SAP2000 [II] eingegeben werden können. Dieses Angebot ist besonders für kompliziertere Analysen eine sehr gute Unterstützung. Auch bei den Demoversionen funktioniert die Onlinehilfe, die bei konkreten Fragestellungen eine gute Hilfestellung ist und genau das erforderliche Vorgehen in dem Programm beschreibt. Da im Verlauf der Studienarbeit die Demoversion [IIa] nicht mehr ausreichte, um die erforderlichen Berechnungen durchzuführen, wurde anschließend eine zeitlich begrenzte Vollversion [II] genutzt. Die bereits modellierten Systeme konnten ohne Probleme mit der Vollversion geöffnet und weiter verwendet werden. Insgesamt ist SAP2000 [II] ein sehr benutzerfreundliches Programm und die angebotenen Hilfen sind zahlreich. Zusätzliche Buttons im Startfenster könnten dem Erstanwender eine Suche in dem Menü ersparen und das Programm noch intuitiver gestalten. Besonders die Eingabe der durchzuführenden Analysen ist in SAP2000 [II] sehr übersichtlich und verständlich. Insgesamt ist das Programm sehr gut zu bedienen. 104

122 5. SAP Beurteilung des Programms Die Pushdown Analyse ist in SAP2000 [II] als Analyseart vorgesehen, sodass dem Benutzer die Modellierung für diese Analyse sehr einfach gemacht wird. Generell ist das Programm sehr benutzerfreundlich. Die Ergebnisse der zweidimensionalen Verifikationsberechnungen waren sehr gut und SAP2000 [II] kann die materielle und geometrische Nichtlinearität für zweidimensionale Systeme berechnen. Bei Berücksichtigung der materiellen Nichtliearität nach FEMA 356 (FEMA 2000) besteht jedoch das Problem, dass sowohl der elastische Bereich als auch der Bereich nach dem Versagen des Querschnitts mit falschen Steigungen berücksichtigt werden, was Abweichungen in den Ergebnissen zur Folge haben kann. Eine Verbesserung zeigte sich hier bei den zweidimensionalen Pushdown Analysen mit der Hinge unloading method, wo die Momenten-Rotations-Linien nach dem Versagen der Gelenke korrekt berechnet wurden. Die teilweise sehr schlechten Ergebnisse der dreidimensionalen Verifikationsberechnungen zeigen deutliche Mängel in SAP2000 [II]. Die Auswirkungen der geometrischen Nichtlinearität in dreidimensionalen Systemen sollte deutlich besser berücksichtigt werden, als es bisher der Fall ist. Die Ergebnisse sollten sehr krititsch hinterfragt werden. Für einfache Systeme berechnet SAP2000 [II] sehr gute Ergebnisse für die Pushdown Analyse. Bei komplizierteren Tragwerken, wie sie in der Praxis berechnet werden sollen, treten bei den Berechnungen die in Kapitel 5.5 beschriebenen Probleme auf und es können keine vollständigen Ergebnisse ermittelt werden. Die Gründe für den Abbruch der Berechnungen konnten im Rahmen dieser Studienarbeit nicht gefunden werden. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass mit SAP2000 [II] die Pushdown Analyse durchgeführt werden kann. Es treten jedoch Probleme auf, für die keine Erklärung gefunden werden konnte. Die Ergebnisgüte ist für die berechneten Lastschritte der Analysen jedoch gut, sodass es besonders wünschenswert wäre, mit SAP2000 [II] auch das Verhalten komplizierter Tragwerke vollständig berechnen zu können. Die Ergebnisse der dreidimensionalen Berechnungen unter Berücksichtigung der geometrischen Nichtlinearität sind ebenfalls nur mangelhaft. 105

123 6. Strand7 / Straus Allgemein Abbildung 6.1.: Logo Strand7 Name: Anbieter: Homepage: Strand7 aus rechtlichen Gründen in Europa: Straus7 Strand7 Pty. Ltd. Suite 1, Level 5 65 York Street Sydney NSW 2000, Australia und HSH srl Via N. Tommaseo Padua, Italien Strand7 ist das herausragende Produkt der Strand7 Pty. Ltd. (ehemals G+D Computing Pty. Ltd.), das in Ingenieurbüros verschiedener Größe und Aufgabengebiete Anwendung findet. Das Programm bietet Lösungen auf der Grundlage der Finiten Elemente Methode für die Bereiche Maschinenbau, Bauingenieurwesen, Schiffbau, Luftfahrt- und Biomedizintechnik. Da Strand7 von einem einzigen Team erforscht und entwickelt wurde, ist es ein übersichtliches Programm, bei dem die Eingabe und Analyse des Systems sowie die Ausgabe der Ergebnisse über eine Eingabeoberfläche möglich sind (G+D Computing 2002). Strand7 kann sowohl lineare als auch nichtlineare, statische und dynamische Problemstellungen lösen. Es können unter anderem Knick- und Beulprobleme, Eigenfrequenz- oder Schwingungsanalysen durchgeführt werden. Die nichtlineare Analyse 106

124 6. Strand7 / Straus7 umfasst die geometrische sowie die materielle Nichtlinearität und kann nichtlineare Randbedingungen berücksichtigen (G+D Computing 2002). Strand7 ist aus rechtlichen Gründen auf dem europäischen Markt unter dem Namen Straus7 bekannt und wird durch die HSH srl vertrieben. Die HSH srl hat mir für den Rahmen dieser Studienarbeit eine Vollversion von Straus7 [III] zur Verfügung gestellt. Dies hat die Arbeit mit dem Programm sehr vereinfacht, da bei der auf der Homepage erhältlichen Demoversion eine Speicherung der Daten nicht möglich ist und Modelle mit mehr als 20 Balken, 100 Platten und 100 Volumenelementen nicht berechnet werden können. Eine Bearbeitung der Verifikationsberechnungen mit der Demoversion wäre zwar möglich gewesen, die Speicherung der Daten verbesserte jedoch die Dokumentation der Ergebnisse. Da mit der europäischen Version Straus7 gearbeitet wurde und die entsprechenden Handbücher verwendet wurden, wird das Programm im Folgenden mit Straus7 anstatt Strand7 bezeichnet Grundlagen des Programms In diesem Kapitel sollen die grundlegenden Eigenschaften des Programms kurz erläutert werden. Die Angaben zum Programm stammen aus G+D Computing (2004) Die Finite Elemente Methode Die allgemeinen Grundlagen zur Finiten Elemente Methode wurden bereits in Kapitel behandelt. Im Folgenden sollen nur die Besonderheiten von Straus7 dargestellt werden. Modellierung der Finiten Elemente In Straus7 werden für die Analysen die modellierten Elemente zwar in kleinere Finite Elemente zerlegt, die Feinheit des FE-Netzes kann jedoch vom Benutzer nicht gesteuert werden. Wenn genauere Ergebnisse und eine feinere Unterteilung der Elemente gewünscht ist, muss das Element vom Benutzer in kleinere Abschnitte oder Bereiche unterteilt werden. Mit dem Befehl Subdivide ist eine sehr schnelle Unterteilung der modellierten Elemente möglich. Integrationsregel In Straus7 werden verschiedene Integrationsregeln angewandt, um die gesuchten Schnittgrößen, Spannungen oder Verschiebungen zu bestimmen. Folgende Möglichkeiten stehen zur Auswahl: Gauss Integrationsschema 107

125 6. Strand7 / Straus7 Lobatto Integrationsschema andere Integrationsregeln für Dreiecke oder Tetraeder. Die Integrationsregel nach Gauss wurde in Kapitel ausführlich beschrieben und wird hier nicht noch einmal erläutert. Straus7 kann für Flächenelemente mit 2x2 oder 3x3 Integrationpunkten und für Volumenelemente mit 2x2x2, 3x3x2 oder 3x3x3 Gausspunkten rechnen. Die Integrationregel nach Lobatto wird in Straus7 für materiell nichtlineare Analysen von Platten- oder Membranstrukturen verwendet. Nach Lobatto wird, ähnlich wie bei dem Gauss schen Schema, die Funktion an bestimmten Punkten des Elementes ausgewertet und mit Gewichtsfaktoren belegt. Im Gegensatz zu den Gausspunkten, werden bei Lobatto jedoch die äußeren Punkte des Integrationsbereiches ausgewertet und zusätzlich ein oder mehrere Punkte innerhalb des Bereiches. Da bei Platten und Membranen die Spannungen an der Ober- und Unterseite von besonderer Bedeutung sind, bietet sich hier die Berechnung nach Lobatto an. Auch die weiteren Integrationsregeln in Straus7 ähneln der Gauss schen Methode. Die Funktion wird an bestimmten Punkten des Elementes ausgewertet und anschließend über Gewichtsfunktionen zu einem Integral zusammengefügt. Die Integrationspunkte für Dreicke und Tetraeder sind beispielhaft in den Abbildungen 6.2 und 6.3 dargestellt. Abbildung 6.2.: Mögliche Integrationspunkte eines Dreiecks in Straus7 (G+D Computing 2004) Iterationsverfahren und Gleichungslöser Nichtlineare Analysen werden in der Regel über eine wiederholte Linearisierung der Gleichungssysteme und Lösung dieser berechnet, bis eine konvergierende Lösung gefunden ist. In Straus7 wird dieser Iterationsprozess mit Hilfe des Newton-Raphson- Verfahrens durchgeführt. Das Newton-Raphson-Verfahren wurde in Kapitel bereits ausführlich erläutert und wird hier nicht noch einmal beschrieben. Es kann in Straus7 außerdem das modifizierte Newton-Raphson-Verfahren zur Anwendung kommen, bei dem nicht in jedem 108

126 6. Strand7 / Straus7 Abbildung 6.3.: Mögliche Integrationspunkte eines Tetraeders in Straus7 (G+D Computing 2004) Iterationsschritt eine neue Tangentensteifigkeitsmatrix ermittelt wird. Stattdessen wird die im ersten Schritt ermittelte Matrix auch für alle weiteren Iterationsschritte verwendet. Dies spart Rechenzeit, hat jedoch eine geringere Konvergenzgeschwindigkeit, sodass im Einzelfall überprüft werden muss, ob die modifizierte Methode wirklich einen Vorteil bringt Elemente und Knotenbedingungen In Straus7 können drei Arten von Elementen modelliert werden: Linienelemente Oberflächenelemente Festkörperelemente. Diese Gruppen lassen sich weiter untergliedern in die in Tabelle 6.1 und 6.2 dargestellten Elementtypen. Die zugehörigen Eigenschaften müssen vom Benutzer genau berücksichtigt werden, da die Auswahl der Elemente die Ergebnisse maßgeblich beeinflusst. Die linienförmigen Elemente werden jeweils über zwei Knoten definiert. Die Flächenelemente können als 3-Knoten oder 6-Knoten Dreieck Element sowie als 4-Knoten, 8-Knoten oder 9-Knoten Viereck Element modelliert werden. Für dreidimensionale Elemente gibt es folgende Möglichkeiten der Modellierung: 4-Knoten oder 10-Knoten Tetraeder 5-Knoten oder 13-Knoten Pyramide 6-Knoten oder 15-Knoten Keil 8-Knoten, 16-Knoten oder 20-Knoten Hexaeder. 109

127 6. Strand7 / Straus7 Die Anzahl der gewählten Knoten bestimmt maßgeblich die erforderliche Rechenzeit. Elementtyp Beschreibung Eigenschaften Federungsdämpfer Je nach Definition einzelner Aufnahme von Normal- und (Spring-Damper Parameter können Federn, Schubkräften sowie Element) Dämpfer oder Kombinationen von Torsionsbeanspruchung modelliert werden. möglich. Kabel Modellierung von Seilen Kein Biegewiderstand, (Cable Element) und Kabeln (vor allem daher nur Aufnahme von bei Brücken). Zugkräften in tangentialer Richtung zum Seil. Binder / Strebe Modellierung linienförmiger Nur Aufnahme von (Truss Element Objekte, die nur auf Zug Axialkräften. oder Cutoff oder Druck belastet werden. Cutoff: die aufnehmbaren Bar Element) Kräfte sind begrenzt (z.b. reine Zug- oder Druckelemente). Kontaktelement Modellierung von Fugen Der Kontakt wird durch die (Point Contact oder speziellen relative Achsenverschiebung Element) Verbindungen zwischen zwei der Knoten abgebildet. Knoten. Balken Modellierung beliebiger Aufnahme von Normal- und (Beam Element) linienförmiger Elemente. Schubkräften, Biege- und Unterscheidung: Dünner, Torsionsmomenten. dicker oder elastisch gelagerter Balken. Rohr Modellierung linienförmiger Aufnahme von Normal- und (Pipe Element) gerader oder gebogener Schubkräften, Biege- und Elemente mit dünnwandigem, kreisförmigem Querschnitt. Tabelle 6.1.: Mögliche Elementtypen in Straus7 (1) Torsionsmomenten. Innen- und Außendruck sowie -temperatur können unterschieden werden. 110

128 6. Strand7 / Straus7 Elementtyp Beschreibung Eigenschaften Verbindungselement Modellierung von Element mit sechs Freiheits- (Connection Verbindungen mit einer graden je Knoten und Element) festgelegten Steifigkeit. freier Definition aller Steifigkeiten. Platten mit Modellierung von Flächen- Der modellierte Querschnitt ebenem Spannugs- elementen mit einem ebenen muss in der globalen oder Dehnungs- Spannungs- oder Dehnungs- X-Y-Ebene liegen, da nur in zustand zustand. dieser Ebene die Spannungen (Plane Stress, bzw. Dehnungen ermittelt Plane Strain) werden. Axialsymmetrische Modellierung eines zwei- Der modellierte Querschnitt Elemente dimensionalen Querschnitts muss in der globalen (Axisymmetric zur Abbildung eine axial- X-Y-Ebene liegen und durch Element) symmetrischen, dreidimen- Rotation um die Y-Achse sionalen Festkörpers mit entsteht das dreiaxialsymmetrischer dimensionale System. Belastung. Platte / Schale Modellierung von dicken Berücksichtigung von Spann- (Plate / Shell oder dünnen Platten ungen und Verformungen in Element) sowie von gebogenen Plattenebene und senkrecht Flächenelementen (Schalen) dazu. mit beliebiger räumlicher Belastung. Scheibe Modellierung von Flächen- Aufnahme von Schubkräften (Shear Panel elementen, die nur in in Plattenebene. Element) Plattenebene belastet werden. 3D Membran Modellierung von Flächen- Keine Biegesteifigkeit, (3D Membrane elementen, die nicht auf nur Aufnahme von Normal- Element) Biegung beansprucht sind. und Schubspannungen in Plattenebene. Festkörper Modellierung aller drei- Berücksichtigung aller (Solid Element) dimensionalen Elemente. Spannungs- und Dehnungskomponenten. Tabelle 6.2.: Mögliche Elementtypen in Straus7 (2) In Straus7 werden Auflager- und Knotenbedigungen unterschieden. An einem Auflager können die drei Translations- sowie die drei Rotationsfreiheitsgrade festgehalten werden. Die Knotenbedingungen können in Straus7 definiert werden, um bestimmte Beziehungen zwischen zwei Knoten des Systems herzustellen. Hierbei werden folgende Möglichkeiten unterschieden: 111

129 6. Strand7 / Straus7 Master-Slave Link: Dem Slave-Knoten werden die Verschiebungswerte des Master-Knotens aufgezwungen Sector Symmetry Link: Nur ein Teil der Struktur wird in dem Ursprung des Koordinatensystems definiert und durch die Rotation um eine globale Achse entsteht das gesamte System (vgl. Abbildung 6.4: nur ein Achtel der Fläche muss modelliert werden) Coupling Link: Die Verschiebungskomponenten eines Knotens werden an die von zwei anderen Knoten gekoppelt Pinned Link: Der Abstand zwischen zwei Knoten kann sich während der Verformung nicht verändern Rigid Link: Alle Knotentranslationen und -rotationen zweier Knoten werden gekoppelt Shrink Link: Zwei Knoten wird eine zueinander relative Verschiebung aufgezwungen 2-Point Link: Die Verschiebungskomponenten zweier Knoten werden mittels einer linearen Gleichung gekoppelt. Abbildung 6.4.: Prinzip der Sector Symmetry in Straus7 (G+D Computing 2004) Material- und Querschnittseigenschaften Die Material- und Querschnittseigenschaften werden in Straus7 in einem Fenster definiert und sind dadurch direkt miteinander gekoppelt. Die Querschnittswerte können in einer Eingabemaske wie in Abbildung 6.5 dargestellt eingegeben oder aus einer großen Auswahl an gespeicherten Querschnitten ausgewählt werden. Hierbei stehen die Querschnitte nach verschiedenen Normen zur Auswahl. Neben zahlreichen amerikanischen und asiatischen Normen ist hier auch der Eurocode vertreten. Die folgenden Querschnittswerte werden nach der Profileingabe von dem Programm automatisch ermittelt, können jedoch auch vom Benutzer noch angepasst werden: 112

130 6. Strand7 / Straus7 Abbildung 6.5.: Eingabemaske für Querschnittseigenschaften in Straus7 [III] Querschnittsfläche Flächenträgheitsmomente I 11 und I 22 Torsionswiderstand J Schublängen L 1 und L 2 Schubflächen A 1 und A 2. Das lokale Koordinatensystem eines linienförmigen Elementes ist dabei wie in Abbildung 6.6 definiert. Abbildung 6.6.: Koordinatensysten eines linienförmigen Elementes in Straus7 (G+D Computing 2004) 113