im Wintersemester 2014/15

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1 WS 24/5 Vorlesung im Wintersemester 24/5 Prof. Dr. Jan Jürjens TU Dortmund, Fakultät Informatik, Lehrstuhl XIV Teil.4: Petrinetze v Petrinetze

2 Einordnung.4 Petrinetze WS 24/5 Modellgetriebene SW-Entwicklung Einführung Modellbasierte Softwareentwicklung OCL Ereignisgesteuerte Prozesskette (EPK) Petrinetze Eclipse Modeling Framework (EMF) Qualitätsmanagement Testen Inkl. Beiträgen von Prof. Volker Gruhn, Jutta Mülle und Dr. Silvia von Stackelberg. Literatur (s. Vorlesungswebseite): [Rei]. Vieweg, 2. Teil I 2.4 Petrinetze

3 Einleitung Petrinetze WS 24/5 Vorheriger Abschnitt: GP-Modellierungsnotationen EPK. Intendiertes Modellverhalten informell diskutiert. Automatische Verarbeitung (z.b. Analyse, Simulation) der GP-Modelle benötigt präzise Definition des Ausführungsverhaltens. Verschiedene Ansätze: Abstract State Machines, Petrinetze,... Z.B.: Ausführungssemantik von UML 2-Aktivitätsdiagrammen mit Petrinetzen definiert. => Dieser Abschnitt: Einführung in Petrinetze 3.4 Petrinetze

4 .4 Petrinetze }.4 Petrinetze WS 24/5 Petrinetz Syntax Ausführung Analyse von Systemen 4.4 Petrinetze

5 WS 24/5 Petrinetze Modellierung, Analyse, Simulation von dynamischen Systemen mit nebenläufigen und nichtdeterministischen Merkmalen. Erlauben die Beschreibung von Kontroll- und Datenfluss. Benannt nach Carl Adam Petri (Dissertation "Kommunikation mit Automaten", 962). Vorsicht: Es existieren heute viele Varianten. 5.4 Petrinetze Kapitel 2

6 Petrinetz (informell) WS 24/5 Statische Komponente: Bipartiter gerichteter Graph, bestehend aus: zwei Sorten von Knoten: Stelle: Zwischenablage von Informationen Transition: Verarbeitung von Informationen Kanten: verbinden Stellen mit Transitionen oder umgekehrt (nie Stellen mit Stellen oder Transitionen mit Transitionen!). Dynamische Komponente: Marken ( Token ): Stellen werden mit Objekten Eingabestelle der Transition Ausgabestellen der Transition belegt. Durchlauf der Marken durch Petrinetz beschreibt dynamisches Verhalten des Systems. Stelle mit Marke 6.4 Petrinetze Kap. 2.2 (Komponenten eines Netzes), S Hier: nur ungetypte, nicht unterscheidbare Marken ( Stellen/Transitions-Netz ).

7 Petrinetz: Beispiel Nachrichten-Queue Bereit Queue zu füllen Bereit zur Verarbeitung Queue gefüllt Nachricht annehmen Queue füllen empfangsbereit WS 24/5 Queue leer Nachricht Nachricht entnehmen Verarbeiten Bereit zur Nachrichtenentnahme 7.4 Petrinetze Kap. 2.2 (Komponenten eines Netzes), S dazu auch Kap. (weiteres einführendes Beispiel), S. 9-8

8 Petrinetz-Syntax: Stelle WS 24/5 Bereit Queue zu füllen Nachricht annehmen Bereit zur Stelle: Verarbeitung Möglicher lokaler Zustand (passiv). Beispiele: Bedingungen, Medien, Materialbehälter, Datenträger, Puffer, Nachrichtenkanäle,... Queue gefüllt Nachricht Nachricht Queue entnehmen Verarbeiten füllen empfangsbereit Queue leer Bereit zur Nachrichtenentnahme 8.4 Petrinetze Kap. 2.2 (Komponenten eines Netzes), S dazu auch Kap. (weiteres einführendes Beispiel), S. 9-8

9 Petrinetz-Syntax: Transition WS 24/5 Bereit Queue zu füllen Nachricht annehmen Bereit zur Transition: Verarbeitung Lokaler Übergang (aktiv). Beispiele: Aktionen, Handlungen, Transporte, Transformationen, Anweisungen, Programme,... Queue gefüllt Nachricht Nachricht Queue entnehmen Verarbeiten füllen empfangsbereit Queue leer Bereit zur Nachrichtenentnahme 9.4 Petrinetze Kap. 2.2 (Komponenten eines Netzes), S dazu auch Kap. (weiteres einführendes Beispiel), S. 9-8

10 Petrinetz-Syntax: Kanten Bereit Queue zu füllen Kanten: Fluss (automatisch). Beispiele: Vor- und Nachbedingungen von Aktivitäten, Start und Ziel von Transporten, Eingabe und Ausgabe von Programmen,... Queue gefüllt Nachricht annehmen Queue füllen empfangsbereit WS 24/5 Queue leer Bereit zur Verarbeitung Nachricht Nachricht entnehmen Verarbeiten Bereit zur Nachrichtenentnahme.4 Petrinetze Kap. 2.2 (Komponenten eines Netzes), S dazu auch Kap. (weiteres einführendes Beispiel), S. 9-8

11 Petrinetz-Syntax: Marken WS 24/5 Marken: Bereit zur Beispiel: Zustände einer Bedingung, Verarbeitung Gültigkeit von Bedingungen, Füllungsgrad von Speichern, Daten auf Datenträgern, Nachrichten in Puffern,... Queue gefüllt Nachricht Nachricht Queue entnehmen Verarbeiten füllen Bereit Queue zu füllen Nachricht annehmen empfangsbereit Queue leer Bereit zur Nachrichtenentnahme.4 Petrinetze Kap. 2.2 (Komponenten eines Netzes), S. 24 Weiteres Beispiel Kap. 3.3, S.37-38, Abb. 3.2

12 Petrinetz-Syntax: Kantenvielfachheit Bereit Queue zu füllen Kantenvielfachheit: Gibt an, wieviele Marken beim Folgen des Flusses erzeugt oder konsumiert werden ( als default wird weggelassen). Queue gefüllt Nachricht annehmen Queue füllen empfangsbereit WS 24/5 Queue leer Bereit zur Verarbeitung Nachricht Nachricht entnehmen Verarbeiten Bereit zur Nachrichtenentnahme 2.4 Petrinetze Weiteres Beispiel Kap. 3.3, S.37-38, Abb. 3.2

13 Syntaxdefinition Petrinetz WS 24/5 K= Gegeben: S: endliche Menge von Stellen T: endliche Menge von Transitionen s t t2 mit: S, T und 2 s3 S T= t3 s4 S = {s,, s3, s4} F: Menge von Kanten mit: F (S x T) (T x S) T = {t, t2, t3} (binäre Relation). F = {(s,t), (s,t2), (t,), (t2,), (,t3), (s3,t3), (t3,s4)} 3.4 Petrinetze Kap. 2.2 (Komponenten eines Netzes), S Kanten auch genannt Flüsse

14 Syntaxdefinition Petrinetz WS 24/5 K= Gegeben: K: Kapazität ( Fassungsvermögen der Stellen ) s t t2 mit: K : S ℕ { } Default-Kapazität 2 s3 W: Kantenvielfachheit t3 s4 K(s)=; K()=K(s3)=K(s4)= mit: W : F ℕ W(s,t)= W(s,t2)= W(,t)= W(,t2)= W(,t3)= W(t3,s4)=, Default-Kantengewicht W(s3,t3)= Petrinetze Kap. 2.2 (Komponenten eines Netzes), S Kantenvielfachheit auch genannt Gewicht der Kanten

15 Syntaxdefinition Petrinetz WS 24/5 K= Gegeben: s M : Globaler Startzustand t ( Anfangsmarkierung ) t2 mit: M : S ℕ 2 Dann: (S, T, F, W, K, M) ist Petrinetz s3 t3 s4 M(s)=, M()=, M(s3)= 2, M(s4)= 5.4 Petrinetze Kap. 2.2 (Komponenten eines Netzes), S Diese Petrinetz-Variante wird auch S/T-Netz genannt.

16 .4 Petrinetze }.4 Petrinetze WS 24/5 Petrinetz Syntax Ausführung Analyse von Systemen 6.4 Petrinetze

17 Petrinetz-Ausführung: Zustand (lokal) Bereit Queue zu füllen Nachricht annehmen Zustand (lokal): (Stelle, Marke(n)) Interpretation je nach Bedeutung der Stelle Beispiel: Mempfangsbereit= (empfangsbereit,) Queue gefüllt Queue füllen empfangsbereit Queue leer WS 24/5 Bereit zur Verarbeitung Nachricht Nachricht entnehmen Verarbeiten Bereit zur Nachrichtenentnahme 7.4 Petrinetze Weiteres Beispiel Kap. 3.3, S.37-38, Abb. 3.2

18 Petrinetz-Ausführung: Zustand (global) Bereit Queue zu füllen Zustand (global) = Markierung: Bereit zur Alle (lokalen) Zustände. Verarbeitung (Kann Stellen ohne Marken auslassen.) M = {(empfangsbereit, ), (Queue leer, ), (Bereit zur Nachrichtenentnahme, )} Queue gefüllt Nachricht annehmen WS 24/5 Queue füllen empfangsbereit Queue leer Nachricht Nachricht entnehmen Verarbeiten Bereit zur Nachrichtenentnahme 8.4 Petrinetze Weiteres Beispiel Kap. 3.3, S.37-38, Abb. 3.2

19 Petrinetz: Markierung WS 24/5 Markierung: Verteilung Marken auf Stellen (aktueller Systemzustand). Markierung M: mit: M : S ℕ Markierungen müssen Kapazitäten respektieren, d.h. für jede Stelle s S gilt: M(s) K (s). Initiale Markierung: Anfangszustand eines Netzes. 9.4 Petrinetze Kap. 2.5 (Schritt), S Kap. 2.8 (Erreichbarkeit), S. 3 Kap. 3. (Erreichbarkeit), S

20 Petrinetz: Ausführung WS 24/5 Verhaltenssimulation: evolvierende Anzahl Marken pro Stelle beobachten. Basierend auf aktueller Markierung: aktivierte Transitionen ermitteln. Schalten führt zu Folgemarkierung. Unter Folgemarkierung sind (möglicherweise) andere Transitionen aktiviert. Solange iterieren, bis keine Transition mehr aktiviert ist. (=> tote Markierung ). 2.4 Petrinetze Kap. 2.5 (Schritt), S Kap. 2.8 (Erreichbarkeit), S. 3 Kap. 3. (Erreichbarkeit), S

21 Petrinetz-Syntax: Kanten (konsumierend) Bereit Queue zu füllen Kanten (konsumierend): Von Stelle zu Transition. Marken werden aus Stellen entnommen. Queue gefüllt Nachricht annehmen Queue füllen empfangsbereit Queue leer WS 24/5 Bereit zur Verarbeitung Nachricht Nachricht entnehmen Verarbeiten Bereit zur Nachrichtenentnahme 2.4 Petrinetze Weiteres Beispiel Kap. 3.3, S.37-38, Abb. 3.2

22 Petrinetz-Syntax: Kanten (erzeugend) Bereit Queue zu füllen Kanten (erzeugend): Von Transition zu Stelle. Marken werden Stellen hinzugefügt. Queue gefüllt Nachricht annehmen Queue füllen empfangsbereit WS 24/5 Queue leer Bereit zur Verarbeitung Nachricht Nachricht entnehmen Verarbeiten Bereit zur Nachrichtenentnahme 22.4 Petrinetze Weiteres Beispiel Kap. 3.3, S.37-38, Abb. 3.2

23 Vor- und Nachbereich einer Transition Vorbereich einer Transition: Menge der Stellen, die über ausgehende Kante mit Transition verbunden sind. WS 24/5 s t t2 Vorbereich von t: t={s S (s, t) F} 2 Nachbereich einer Transition: Menge der Stellen, die über eingehende Kante mit Transition verbunden sind. s3 t3 s4 t = t2 = {s}, t3 = {,s3} t = t2 = {}, t3 = {s4} Nachbereich von t: t ={s S (t., s) F} 23.4 Petrinetze Kap. 2.2 (Komponenten eines Netzes), S

24 Aktivierte Transition: Definition WS 24/5 Informell: Transition ist aktiviert, wenn sie die geforderte Anzahl Marken erhalten kann und wenn die Folgemarkierung die freigesetzten Marken aufnehmen kann, d.h. wenn alle Stellen im Vorbereich der Transition ausreichend Marken besitzen (gemäß Kantengewicht der konsumierenden Kante) und Kapazitäten aller Stellen im Nachbereich der Transition groß genug sind (gemäß Kantengewicht der erzeugenden Kante) Formal: Transition t ist aktiviert genau dann, wenn: s t :M(s) W(s, t) s ' t : M(s ')+W (t, s ') K (s') 24.4 Petrinetze Kap. 2.2 (Komponenten eines Netzes), S

25 Aktivierte Transition: Beispiel WS 24/5 Transition ist aktiviert, wenn sie die geforderte Anzahl Marken erhalten kann und wenn die Folgemarkierung die freigesetzten Marken aufnehmen kann. (default) s t t2 (default) K()= s 2 (default) 2 s3 t3 s4 t2= {s} und t2 = {} Sei M (s )= und M (s3 )=2 und M ( )=M (s 4 )=. Die Transition t 2 ist aktiviert, da t 2 die benötigte Marke der Kante ( t 2, s 2 ) von s erhalten kann und die Kapazität von s 2 ausreicht, um die Marke der Kante ( t 2, ) aufzunehmen. s t 2 : M(s) W(s, t 2 ) s ' t 2 : M(s ')+ W (t 2, s ') K (s ') 25.4 Petrinetze Kap. 2.2 (Komponenten eines Netzes), S

26 Ausführung eines Petrinetzes: Schalten einer Transition WS 24/5 Bei Ausführung eines Petrinetzes wird jeweils eine der aktivierten Transitionen von Zustand Mx nach Zustand Mx+ geschaltet: Benötigte Marken auf Vorgänger-Stellen werden konsumiert. Produzierte Marken auf Nachfolger-Stellen abgelegt. Anzahl konsumierter / produzierter Marken jeweils gemäß Kantenvielfachheit: Gesamtanzahl Marken im Netz kann sich verändern. Folgemarkierung (= Folgezustand): Erhältlich durch Schalten jeweils genau einer Transition (nicht-deterministische Auswahl) Petrinetze Kap. 6., S

27 Schalten einer Transition: Beispiel WS 24/5 Schalten einer aktivierten Transitionen: Benötigte Marken auf Vorgänger-Stellen werden konsumiert. Produzierte Marken auf Nachfolger-Stellen abgelegt. s t2 t 2 s3 t3 s4 M(s)=,, M()=,, M(s3)= 2, M(s4)= 27.4 Petrinetze Kap. 2.2 (Komponenten eines Netzes), S

28 Schalten einer Transition: Beispiel WS 24/5 Schalten einer aktivierten Transitionen: Benötigte Marken auf Vorgänger-Stellen werden konsumiert. Produzierte Marken auf Nachfolger-Stellen abgelegt. s s t2 t t2 kann schalten zu 2 s3 t2 t t3 s4 M(s)=, M()=, M(s3)= 2, M(s4)= [Alternativ kann t schalten, mit demselben Ergebnis (in diesem Fall).] 2 s3 t3 s4 M(s)=, M()=, M(s3)= 2, M(s4)= 28.4 Petrinetze Kap. 2.2 (Komponenten eines Netzes), S

29 Aktiviertheit von Transitionen: Weiteres Beispiel WS 24/5 Transition t ist aktiviert, wenn: s t :M(s) W(s, t) s ' t : M(s ')+W (t, s ') K (s') s W(s,t): Gewicht des Bogens von s nach t M(s): Anzahl Marken in s K(s): Kapazität von s K(s')= t Aktiv? W(t,s'): Gewicht des Bogens von t nach s' M(s'): Anzahl Marken in s' K(s'): Kapazität von s' K(s')= s 3 s' t Aktiv? s s' K(s')= t Aktiv? s' 29.4 Petrinetze Kap. 6., S

30 Aktiviertheit von Transitionen: Weiteres Beispiel WS 24/5 Transition t ist aktiviert, wenn: s t :M(s) W(s, t) s ' t : M(s ')+W (t, s ') K (s') s W(s,t): Gewicht des Bogens von s nach t M(s): Anzahl Marken in s K(s): Kapazität von s K(s')= t Ja! W(t,s'): Gewicht des Bogens von t nach s' M(s'): Anzahl Marken in s' K(s'): Kapazität von s' K(s')= s 3 s' t Aktiv? s s' K(s')= t Aktiv? s' 3.4 Petrinetze Kap. 6., S

31 Aktiviertheit von Transitionen: Weiteres Beispiel WS 24/5 Transition t ist aktiviert, wenn: s t :M(s) W(s, t) s ' t : M(s ')+W (t, s ') K (s') s W(s,t): Gewicht des Bogens von s nach t M(s): Anzahl Marken in s K(s): Kapazität von s K(s')= t Ja! 3 W(t,s'): Gewicht des Bogens von t nach s' M(s'): Anzahl Marken in s' K(s'): Kapazität von s' K(s')= s s' t Nein! [M()<3] s s' K(s')= t Aktiv? s' 3.4 Petrinetze Kap. 6., S

32 Aktiviertheit von Transitionen: Weiteres Beispiel WS 24/5 Transition t ist aktiviert, wenn: s t :M(s) W(s, t) s ' t : M(s ')+W (t, s ') K (s') s W(s,t): Gewicht des Bogens von s nach t M(s): Anzahl Marken in s K(s): Kapazität von s K(s')= t Ja! 3 W(t,s'): Gewicht des Bogens von t nach s' M(s'): Anzahl Marken in s' K(s'): Kapazität von s' K(s')= s s' t Nein! [M()<3] s s' K(s')= t Nein! s' [K(s')<2] 32.4 Petrinetze Kap. 6., S

33 Schalten von Transition: Zur Diskussion WS 24/5 Eine der aktivierten Transitionen wird von Zustand Mx nach Zustand Mx+ geschaltet (nicht-deterministische Auswahl): Benötigte Marken auf Vorgänger-Stellen werden konsumiert. Produzierte Marken auf Nachfolger-Stellen abgelegt. Anzahl konsumierter / produzierter Marken jeweils gemäß Bogenvielfalt: Gesamtanzahl Marken im Netz kann sich verändern. Folgemarkierung (= -zustand): Schalten jeweils genau einer Transition. Marken? Mx s K(s')= s t aktiv K(s')= t s' s' Mx Petrinetze Kap. 6., S

34 Schalten von Transition: Zur Diskussion WS 24/5 Eine der aktivierten Transitionen wird von Zustand Mx nach Zustand Mx+ geschaltet (nicht-deterministische Auswahl): Benötigte Marken auf Vorgänger-Stellen werden konsumiert. Produzierte Marken auf Nachfolger-Stellen abgelegt. Anzahl konsumierter / produzierter Marken jeweils gemäß Bogenvielfalt: Gesamtanzahl Marken im Netz kann sich verändern. Folgemarkierung (= -zustand): Schalten jeweils genau einer Transition. Mx s K(s')= s t aktiv s' K(s')= t aktiv? s' Mx Petrinetze Kap. 6., S

35 Schalten von Transition: Zur Diskussion WS 24/5 Eine der aktivierten Transitionen wird von Zustand Mx nach Zustand Mx+ geschaltet (nicht-deterministische Auswahl): Benötigte Marken auf Vorgänger-Stellen werden konsumiert. Produzierte Marken auf Nachfolger-Stellen abgelegt. Anzahl konsumierter / produzierter Marken jeweils gemäß Bogenvielfalt: Gesamtanzahl Marken im Netz kann sich verändern. Folgemarkierung (= -zustand): Schalten jeweils genau einer Transition. Mx s K(s')= s t aktiv s' K(s')= t nicht aktiv s' Mx Petrinetze Kap. 6., S

36 Petrinetz Ablauf: Beispiel Nachrichten-Queue (M) WS 24/5 Welche Transition(en) aktiviert? Bereit Queue zu füllen Bereit zur Verarbeitung Queue gefüllt Nachricht annehmen Queue füllen empfangsbereit Queue leer Nachricht Nachricht entnehmen Verarbeiten Bereit zur Nachrichtenentnahme 36.4 Petrinetze Weiteres Beispiel Kap. 3.4, S.4, Abb. 3.5,3.6

37 Ablauf: Beispiel (M => M) WS 24/5 Nächster Zustand? Bereit Queue zu füllen Bereit zur Verarbeitung Queue gefüllt Aktiv Nachricht annehmen Queue füllen empfangsbereit Queue leer Nachricht Nachricht entnehmen Verarbeiten Bereit zur Nachrichtenentnahme 37.4 Petrinetze Weiteres Beispiel Kap. 3.4, S.4, Abb. 3.5,3.6

38 Ablauf: Beispiel (M) WS 24/5 Welche Transition(en) aktiviert? Bereit Queue zu füllen Bereit zur Verarbeitung Queue gefüllt Nachricht annehmen Queue füllen empfangsbereit Queue leer Nachricht Nachricht entnehmen Verarbeiten Bereit zur Nachrichtenentnahme 38.4 Petrinetze Weiteres Beispiel Kap. 3.4, S.4, Abb. 3.5,3.6

39 Ablauf: Beispiel (M => M2) WS 24/5 Nächster Zustand? Bereit Queue zu füllen Bereit zur Verarbeitung Aktiv Nachricht annehmen Queue gefüllt Queue füllen empfangsbereit Queue leer Nachricht Nachricht entnehmen Verarbeiten Bereit zur Nachrichtenentnahme 39.4 Petrinetze Weiteres Beispiel Kap. 3.4, S.4, Abb. 3.5,3.6

40 Ablauf: Beispiel (M2) WS 24/5 Welche Transition(en) aktiviert? Bereit Queue zu füllen Bereit zur Verarbeitung Queue gefüllt Nachricht annehmen Queue füllen empfangsbereit Queue leer Nachricht Nachricht entnehmen Verarbeiten Bereit zur Nachrichtenentnahme 4.4 Petrinetze Weiteres Beispiel Kap. 3.4, S.4, Abb. 3.5,3.6

41 Ablauf: Beispiel (M2 => M3) WS 24/5 Nächster Zustand? Bereit Queue zu füllen Bereit zur Verarbeitung Queue gefüllt Aktiv Nachricht annehmen Queue füllen empfangsbereit Queue leer Aktiv Nachricht Nachricht entnehmen Verarbeiten Bereit zur Nachrichtenentnahme (Transition Nachricht entnehmen ausgeführt, ergibt M 3; alternativ: Nachricht annehmen ausführbar, ergibt anderen Zustand M 3'.) 4.4 Petrinetze Weiteres Beispiel Kap. 3.4, S.4, Abb. 3.5,3.6

42 Ablauf: Beispiel (M3) Bereit Queue zu füllen Bereit zur Verarbeitung Queue gefüllt Nachricht annehmen Queue füllen empfangsbereit WS 24/5 Queue leer Nachricht Nachricht entnehmen Verarbeiten Bereit zur Nachrichtenentnahme 42.4 Petrinetze Weiteres Beispiel Kap. 3.4, S.4, Abb. 3.5,3.6

43 Frage: Größe der Queue WS 24/5 Gibt es eine obere Grenze, wie viele Nachrichten gleichzeitig in dieser Queue enthalten sein können? 43.4 Petrinetze

44 Frage: Größe der Queue WS 24/5 Gibt es eine obere Grenze, wie viele Nachrichten gleichzeitig in dieser Queue enthalten sein können? Antwort: In der Queue kann höchstens eine Nachricht enthalten sein: Transition Queue füllen kann nur ausgeführt werden, wenn Stelle Queue leer eine Marke hat Petrinetze

45 Erreichbarkeit: Notation und Definition () WS 24/5 M [t> : bei Markierung M ist Transition t aktiviert ( [> symbolisiert Pfeil) Beispiel: (default) M [t2> s t t2 (default) K()= s 2 (default) 2 s3 t3 s Petrinetze Kap. 2.5 (Schritt), S Kap. 2.8 (Erreichbarkeit), S. 3 Kap. 3. (Erreichbarkeit), S

46 Erreichbarkeit: Notation und Definition WS 24/5 M [t> : bei Markierung M ist Transition t aktiviert ( [> symbolisiert Pfeil) M [t> M' : M' ist direkte Folgemarkierung zur Markierung M nach Schaltung von Transition t Beispiel: M [t2> M M M s t2 t s t2 t t2 kann schalten zu 2 s3 2 t3 s4 s3 t3 s Petrinetze Kap. 2.5 (Schritt), S Kap. 2.8 (Erreichbarkeit), S. 3 Kap. 3. (Erreichbarkeit), S

47 Erreichbarkeit: Notation und Definition WS 24/5 M [t> : bei Markierung M ist Transition t aktiviert ( [> symbolisiert Pfeil) M [t> M' : M' ist direkte Folgemarkierung zur Markierung M nach Schaltung von Transition t M [w> : Liste von Transitionen w=[t,t2,...,tn] ist iterativ aktiviert unter Markierung M, d.h.: M [t> M [t2> M2 [tn> Mn Queue-Beispiel: M [Nachricht annehmen> M [Queue füllen> M2 [Nachricht entnehmen> M3 w=[nachricht annehmen, Queue füllen, Nachricht entnehmen] damit: M [w> 47.4 Petrinetze Kap. 2.5 (Schritt), S Kap. 2.8 (Erreichbarkeit), S. 3 Kap. 3. (Erreichbarkeit), S

48 Erreichbarkeit: Notation und Definition WS 24/5 M [t> : bei Markierung M ist Transition t aktiviert ( [> symbolisiert Pfeil) M [t> M' : M' ist direkte Folgemarkierung zur Markierung M nach Schaltung von Transition t M [w> : Liste von Transitionen w=[t,t2,...,tn] ist iterativ aktiviert unter Markierung M, d.h.: M [t> M [t2> M2 [tn> Mn M [{t, t2,..., tn}> : Liste von Transitionen [t,t2,...,tn] ist in beliebiger Schaltungsreihenfolge iterativ aktiviert unter Markierung M (= alle Permutationen als Schaltfolgen aktiviert; genannt "nebenläufig aktiviert") Queue-Beispiel: M2 [{Nachricht entnehmen, Nachricht annehmen}> 48.4 Petrinetze Kap. 2.5 (Schritt), S Kap. 2.8 (Erreichbarkeit), S. 3 Kap. 3. (Erreichbarkeit), S

49 Erreichbarkeit: Notation und Definition WS 24/5 M [t> : bei Markierung M ist Transition t aktiviert ( [> symbolisiert Pfeil) M [t> M' : M' ist direkte Folgemarkierung zur Markierung M nach Schaltung von Transition t M [w> : Liste von Transitionen w=[t,t2,...,tn] ist iterativ aktiviert unter Markierung M, d.h.: M [t> M [t2> M2 [tn> Mn M [{t, t2,..., tn}> : Liste von Transitionen [t,t2,...,tn] ist in beliebiger Schaltungsreihenfolge iterativ aktiviert unter Markierung M (= alle Permutationen als Schaltfolgen aktiviert; genannt "nebenläufig aktiviert") [M> := {M w T* mit M [w> M} (Erreichbarkeitsmenge des Systems; die Markierungen M [M> heißen erreichbar) Queue-Beispiel: Erreichbarkeitsmenge: [M> = {M,M2,M3,M3',M4,...} 49.4 Petrinetze Kap. 2.5 (Schritt), S Kap. 2.8 (Erreichbarkeit), S. 3 Kap. 3. (Erreichbarkeit), S

50 Petrinetz Ablauf: Erreichbarkeitstabelle WS 24/5 Nr. s s3 s4 s5 s6 Schaltungen M t --> M t2 --> M2 t3 t t t4 t2 t3 M M2 M3 M3' --> M3 --> M3' --> M4 --> M --> M5 --> M6 M: s6 s3 t t2 s t4 t3 s4 s5 5.4 Petrinetze Weiteres Beispiel Kap. 3.4, S.4, Abb. 3.5,3.6

51 Petrinetz Ablauf: Erreichbarkeitstabelle WS 24/5 Nr. s s3 s4 s5 s6 Schaltungen M t --> M t2 --> M2 t3 t t t4 t2 t3 M M2 M3 M3' M [t> M: --> M3 --> M3' --> M4 --> M --> M5 --> M6 s6 s3 t t2 s t4 t3 s4 s5 5.4 Petrinetze Weiteres Beispiel Kap. 3.4, S.4, Abb. 3.5,3.6

52 Petrinetz Ablauf: Erreichbarkeitstabelle WS 24/5 Nr. s s3 s4 s5 s6 Schaltungen M t --> M t2 --> M2 t3 t t t4 t2 t3 M M2 M3 M3' M [t2> M2: --> M3 --> M3' --> M4 --> M --> M5 --> M6 s6 s3 t t2 s t4 t3 s4 s Petrinetze Weiteres Beispiel Kap. 3.4, S.4, Abb. 3.5,3.6

53 Petrinetz Ablauf: Erreichbarkeitstabelle WS 24/5 Nr. s s3 s4 s5 s6 Schaltungen M t --> M t2 --> M2 M M2 t3 --> M3 M3 M3' t t4 t2 t3 M2 [t3> M3: --> M4 --> M --> M5 --> M6 s6 s3 t t2 s t4 t3 s4 s Petrinetze Weiteres Beispiel Kap. 3.4, S.4, Abb. 3.5,3.6

54 Petrinetz Ablauf: Erreichbarkeitstabelle WS 24/5 Nr. s s3 s4 s5 s6 Schaltungen M t --> M t2 --> M2 t3 --> M3 t --> M3' t --> M4 t2 --> M4 M5 t3 t3 --> M6... M M2 M3 M3' M2 [t> M3': s6 s3 t t2 s t4 t3 s4 s Petrinetze Weiteres Beispiel Kap. 3.4, S.4, Abb. 3.5,3.6

55 Erreichbarkeitsalgorithmus (breadth-first; vgl. obiges Beispiel) WS 24/5 Eingabe: Petrinetz. Ausgabe: Erreichbarkeitstabelle (vgl. vorletzte Folie).. Trage in ein Schema mit Spalten Markierungsnummer, Markierung und Schaltungen Anfangsmarkierung M ein. 2. In aktueller Markierung Mi für jede Transition t: aktiviert? Falls t aktiviert: Berechne Folgemarkierung. Folgemarkierung bereits eine Markierung M? j Wenn nicht: Benenne Folgemarkierung Mj (für ein neues j>i) und lege neue Zeile in der Tabelle für Mj an. In beiden Fällen: Trage Mi [t>mj in Zeile Mi, Spalte Schaltungen ein. 3. Mi erledigt, falls alle Transitionen überprüft. 4. Alle eingetragenen Markierungen erledigt? Ja: Erreichbarkeitsanalyse abgeschlossen Nein: Überprüfe die nächste Markierung und fahre bei 2 fort Petrinetze Kap. 2.5 (Schritt), S Kap. 2.8 (Erreichbarkeit), S. 3 Kap. 3. (Erreichbarkeit), S

56 WS 24/5 Erreichbarkeit: Tabelle als Graph Nr. s s3 s4 s5 s6 Schaltungen M t --> M M t2 --> M2 M2 t3 --> M3 t --> M3' M3 M3' t2 --> M5 t3 --> M6 Erreichbarkeitstabelle oft als Graph dargestellt: Knoten: Zustände (linke Spalte; ggf. inkl. Markierungsbelegungen) Kanten: Schaltungen (rechte Spalte) Obiges Beispiel (nur Ausschnitt!): t t Start M t2 M M3' t3 M2 M Petrinetze Kap. 2.5 (Schritt), S Kap. 2.8 (Erreichbarkeit), S. 3 Kap. 3. (Erreichbarkeit), S

57 WS 24/5 Erreichbarkeit: Tabelle als Graph Nr. s s3 s4 s5 s6 Schaltungen M t --> M M t2 --> M2 M2 t3 --> M3 t --> M3' M3 M3' t2 --> M5 t3 --> M6 t t Start M t2 M M3' t3 M2 M3 Erzeugtes Event-Log (= Menge der Folgen der ausgeführten Transitionen): {[t,t2,t3],[t,t2,t]} 57.4 Petrinetze Kap. 2.5 (Schritt), S Kap. 2.8 (Erreichbarkeit), S. 3 Kap. 3. (Erreichbarkeit), S

58 Erreichbarkeitsgraph: Weiteres Beispiel WS 24/5 NB: Bezeichnungen der Zustände im Erreichbarkeitsgraph (z.b. [c,c2]) spiegeln globalen Zustand wieder mit Markern belegte Stellen im Petrinetz Petrinetze Wil van der Aalst: Process Mining: Discovery, Conformance and Enhancement of Business Processes Kap. 2.2: S. 32 Fig. 2.

59 WS 24/5.4 Petrinetze }.4 Petrinetze Petrinetz Syntax Ausführung Analyse von Systemen 59.4 Petrinetze

60 Analyse von Petrinetzen: Animation WS 24/5 6.4 Petrinetze

61 Analyse von Systemen: Simulationsanalyse WS 24/5 6.4 Petrinetze

62 Analyse von Systemen: Simulation WS 24/5 Simulation: Kann zeigen, dass bestimmte Situationen auftreten können. Kann nicht zeigen, dass bestimmte Situationen nicht auftreten. Ausschnitt aus Menge aller möglichen Verhalten Petrinetze

63 Analyse von Systemen: Verifikation WS 24/5 Verifikation: Beweis von Eigenschaften: Statische Eigenschaften: Unabhängig von Markierungen, nur von Netztopologie abhängig. z.b. Verklemmungen / Deadlocks Dynamische Eigenschaften: Abhängig von der Menge erreichbarer Markierungen. Standardhilfsmittel: Erreichbarkeitsgraphen (s.o.) 63.4 Petrinetze

64 Analyse von Systemen: Sicherheit WS 24/5 Sei P=(S,T,F,K,W,M) Petrinetz. Abbildung B :S ℕ { } ordnet jeder Stelle eine kritische Markenzahl zu. Petrinetz P heißt: B-sicher (oder B-beschränkt), wenn für alle erreichbaren Markierungen Anzahl der Markierungen pro Stelle durch B begrenzt, d.h.: für alle M [M> und s S gilt: M(s) B(s). Beispiel: B-sicher für jedes B mit B(s)>= für alle s: t Start M s t t2 M M2 t Petrinetze Abschnitt 6. (n-beschränkt), S elchecking/node.html Abschnitt:: Definition 2383 (Petrinetz,Markierung)

65 Analyse von Systemen: Sicherheit WS 24/5 Sei P=(S,T,F,K,W,M) Petrinetz. Abbildung B :S ℕ { } ordnet jeder Stelle eine kritische Markenzahl zu. Petrinetz P heißt: [...] -sicher, 2-sicher usw., wenn B=, B=2 usw. (konstante Funktionen) Beispiel: B-sicher für B>= M2':M: M': M: M2: M: M3: M4: M3': M4: B-sicher für B>=2, aber nicht B= Start M M M2 M3 M' M2' M3' M Petrinetze Abschnitt 6. (n-beschränkt), S Abschnitt 3.5 (-beschränkt), S elchecking/node.html Abschnitt:: Definition 2383 (Petrinetz,Markierung)

66 Analyse von Systemen: Sicherheit WS 24/5 Sei P=(S,T,F,K,W,M) Petrinetz. Abbildung B :S ℕ { } ordnet jeder Stelle eine kritische Markenzahl zu. Petrinetz P heißt: B-sicher (oder B-beschränkt), wenn für alle erreichbaren Markierungen Anzahl der Markierungen pro Stelle durch B begrenzt, d.h.: für alle M [M> und s S gilt: M(s) B(s). -sicher, 2-sicher usw., wenn B=, B=2 usw. beschränkt, wenn es natürliche Zahl b gibt, für die P b-sicher. Beispiel: Beschränkt, weil B-sicher für B>= Petrinetze Abschnitt 6. (n-beschränkt), S Abschnitt 4. (beschränkt), S.52 elchecking/node.html Abschnitt:: Definition 2383 (Petrinetz,Markierung)

67 Analyse von Systemen: Sicherheit WS 24/5 Sei P=(S,T,F,K,W,M) Petrinetz. Abbildung B :S ℕ { } ordnet jeder Stelle eine kritische Markenzahl zu. Petrinetz P heißt: B-sicher (oder B-beschränkt), wenn für alle erreichbaren Markierungen Anzahl der Markierungen pro Stelle durch B begrenzt, d.h.: für alle M [M> und s S gilt: M(s) B(s). -sicher, 2-sicher usw., wenn B=, B=2 usw. beschränkt, wenn es natürliche Zahl b gibt, für die P b-sicher. Stelle s heißt b-sicher, wenn P B-sicher mit B(s)=b, und B(s )= für s' s. Beispiel: Beide Stellen sind b-sicher für b>= Petrinetze Abschnitt 6. (n-beschränkt), S Abschnitt 4. (beschränkt), S.52 elchecking/node.html Abschnitt:: Definition 2383 (Petrinetz,Markierung)

68 Analyse von Systemen: Sicherheit WS 24/5 Sei P=(S,T,F,K,W,M) Petrinetz. Abbildung B :S ℕ { } ordnet jeder Stelle eine kritische Markenzahl zu. Stelle s heißt b-sicher, wenn P B-sicher mit B(s)=b, und B(s )= für s' s. Unterschied zwischen Kapazität und Sicherheit: Kapazität begrenzt Stellenmarkierung (a priori-begrenzung). Beispiel: t ist nicht aktiviert wegen K(s)=M(s)=2. K=2 s t 68.4 Petrinetze Abschnitt 6. (Platzkapazität), S Abschnitt 3.5 (-beschränkt), S Abschnitt 4. (beschränkt), S.52 elchecking/node.html Abschnitt:: Definition 2383 (Petrinetz,Markierung)

69 Analyse von Systemen: Sicherheit WS 24/5 Sei P=(S,T,F,K,W,M) Petrinetz. Abbildung B :S ℕ { } ordnet jeder Stelle eine kritische Markenzahl zu. Stelle s heißt b-sicher, wenn P B-sicher mit B(s)=b, und B(s )= für s' s. Unterschied zwischen Kapazität und Sicherheit: Kapazität begrenzt Stellenmarkierung (a priori-begrenzung). Sicherheit beobachtet Stellenmarkierung (a posteriori-begrenzung). Beispiel: s ist nicht 2-sicher. s s ist 2-sicher. K=2 s t t 69.4 Petrinetze Abschnitt 6. (Platzkapazität), S Abschnitt 3.5 (-beschränkt), S Abschnitt 4. (beschränkt), S.52 elchecking/node.html Abschnitt:: Definition 2383 (Petrinetz,Markierung)

70 WS 24/5 Sicherheit: Beispiele Beispiel: Verkehrsplaner modelliert Ampelsystem. An bestimmter Stelle s darf sich nur ein Auto aufhalten. K(s)=: Keine Aussage über Korrektheit der Modellierung. K(s)= In Analyse prüfbar, ob B-sicher für B(s)=. Beispiel: Transition t soll nie schalten dürfen. Sicherheitseigenschaft: Beobachtungsstelle s und Bedingung B(s)= hinzufügen. t s 7.4 Petrinetze Abschnitt 6. (Platzkapazität), S Abschnitt 3.5 (-beschränkt), S Abschnitt 4. (beschränkt), S.52 elchecking/node.html Abschnitt:: Definition 2383 (Petrinetz,Markierung)

71 Analyse von Systemen: Lebendigkeit von Transitionen WS 24/5 Transition t eines Petrinetz P=(S,T,F,K,W,M) heißt: aktivierbar: In mindestens einer erreichbaren Markierung aktiviert: existiert M [M> mit: M[t> lebendig: In allen erreichbaren Markierung aktivierbar: für alle M [M> gilt: existiert M2 [M> mit: M2[t> tot: In keiner erreichbaren Markierung aktiviert: für alle M [M> gilt: M[t> Tot ist nicht logische Negation von lebendig sondern von aktivierbar! Transition ist? Transition ist? Transition ist? 7.4 Petrinetze Abschnitt 4., S.5-53 Abschnitt 4.8 (Tote Transitionen), S.59 Anmerkung: Erreichbarkeitsgraph wird in Reisig als Markierungsgraph bezeichnet

72 Analyse von Systemen: Lebendigkeit von Transitionen WS 24/5 Transition t eines Petrinetz P=(S,T,F,K,W,M) heißt: aktivierbar: In mindestens einer erreichbaren Markierung aktiviert: existiert M [M> mit: M[t> lebendig: In allen erreichbaren Markierung aktivierbar: für alle M [M> gilt: existiert M2 [M> mit: M2[t> tot: In keiner erreichbaren Markierung aktiviert: für alle M [M> gilt: M[t> Tot ist nicht logische Negation von lebendig sondern von aktivierbar! Erreichbarkeitsgraph: Tote Transition t2 t t3 M Gibt in jedem Zustand nur eine Marke, Transition t3 braucht aber zwei! t M t Petrinetze Abschnitt 4., S.5-53 Abschnitt 4.8 (Tote Transitionen), S.59 Anmerkung: Erreichbarkeitsgraph wird in Reisig als Markierungsgraph bezeichnet

73 Analyse von Systemen: Lebendigkeit von Transitionen WS 24/5 Transition t eines Petrinetz P=(S,T,F,K,W,M) heißt: aktivierbar: In mindestens einer erreichbaren Markierung aktiviert: existiert M [M> mit: M[t> lebendig: In allen erreichbaren Markierung aktivierbar: für alle M [M> gilt: existiert M2 [M> mit: M2[t> tot: In keiner erreichbaren Markierung aktiviert: für alle M [M> gilt: M[t> Tot ist nicht logische Negation von lebendig sondern von aktivierbar! Tote Transition Gibt in jedem Zustand nur eine Marke, Transition t3 braucht aber zwei! Transition ist? Transition ist? 73.4 Petrinetze Abschnitt 4., S.5-53 Anmerkung: Erreichbarkeitsgraph wird in Reisig als Markierungsgraph bezeichnet

74 Analyse von Systemen: Lebendigkeit von Transitionen WS 24/5 Transition t eines Petrinetz P=(S,T,F,K,W,M) heißt: aktivierbar: In mindestens einer erreichbaren Markierung aktiviert: existiert M [M> mit: M[t> lebendig: In allen erreichbaren Markierung aktivierbar: für alle M [M> gilt: existiert M2 [M> mit: M2[t> Erreichbarkeitsgraph: M3 t... t2 t M t2 M... t2... t t3 M2 t t3 Lebendige Transition t 74.4 Petrinetze Abschnitt 4., S.5-53 Anmerkung: Erreichbarkeitsgraph wird in Reisig als Markierungsgraph bezeichnet

75 Analyse von Systemen: Lebendigkeit von Transitionen WS 24/5 Transition t eines Petrinetz P=(S,T,F,K,W,M) heißt: aktivierbar: In mindestens einer erreichbaren Markierung aktiviert: existiert M [M> mit: M[t> lebendig: In allen erreichbaren Markierung aktivierbar: für alle M [M> gilt: existiert M2 [M> mit: M2[t> tot: In keiner erreichbaren Markierung aktiviert: für alle M [M> gilt: M[t> Tot ist nicht logische Negation von lebendig sondern von aktivierbar! Tote Transition Gibt in jedem Zustand nur eine Marke, Transition t3 braucht aber zwei! Lebendige Transition Transition ist? 75.4 Petrinetze Abschnitt 4., S.5-53 Anmerkung: Erreichbarkeitsgraph wird in Reisig als Markierungsgraph bezeichnet

76 Analyse von Systemen: Lebendigkeit von Transitionen WS 24/5 Transition t eines Petrinetz P=(S,T,F,K,W,M) heißt: aktivierbar: In mindestens einer erreichbaren Markierung aktiviert: existiert M [M> mit: M[t> lebendig: In allen erreichbaren Markierung aktivierbar: für alle M [M> gilt: existiert M2 [M> mit: M2[t> tot: In keiner erreichbaren Markierung aktiviert: für alle M [M> gilt: M[t> Tot ist nicht logische Negation von lebendig sondern von aktivierbar! Erreichbarkeitsgraph: M t M t2 t M2 t2 Aktivierbare Transition 76.4 Petrinetze Abschnitt 4., S.5-53 Anmerkung: Erreichbarkeitsgraph wird in Reisig als Markierungsgraph bezeichnet

77 Analyse von Systemen: Lebendigkeit von Petrinetzen WS 24/5 Petrinetz P=(S,T,F,K,W,M) heißt: lebendig: In jeder erreichbaren Markierung ist jede Transition aktivierbar: M [M> und t T gilt: M2 [M> mit: M2[t> deadlockfrei: In jeder erreichbaren Markierung ist mindestens eine Transition aktiviert: M [M> gilt: t T mit: M[t> tot: Keine Transition aktiviert: t T: M [t> System ist? System ist? System ist? 77.4 Petrinetze Abschnitt 4., S.5-53 Anmerkung: Erreichbarkeitsgraph wird in Reisig als Markierungsgraph bezeichnet

78 Analyse von Systemen: Lebendigkeit von Petrinetzen WS 24/5 Petrinetz P=(S,T,F,K,W,M) heißt: lebendig: In jeder erreichbaren Markierung ist jede Transition aktivierbar: M [M> und t T gilt: M2 [M> mit: M2[t> deadlockfrei: In jeder erreichbaren Markierung ist mindestens eine Transition aktiviert: M [M> gilt: t T mit: M[t> tot: Keine Transition aktiviert: t T: M [t> Deadlockfreies System System ist? System ist? 78.4 Petrinetze Abschnitt 4., S.5-53 Anmerkung: Erreichbarkeitsgraph wird in Reisig als Markierungsgraph bezeichnet

79 Analyse von Systemen: Lebendigkeit von Petrinetzen WS 24/5 Petrinetz P=(S,T,F,K,W,M) heißt: lebendig: In jeder erreichbaren Markierung ist jede Transition aktivierbar: M [M> und t T gilt: M2 [M> mit: M2[t> deadlockfrei: In jeder erreichbaren Markierung ist mindestens eine Transition aktiviert: M [M> gilt: t T mit: M[t> tot: Keine Transition aktiviert: t T: M [t> Deadlockfreies System Lebendiges System System ist? 79.4 Petrinetze Abschnitt 4., S.5-53 Anmerkung: Erreichbarkeitsgraph wird in Reisig als Markierungsgraph bezeichnet

80 Analyse von Systemen: Lebendigkeit von Petrinetzen WS 24/5 Petrinetz P=(S,T,F,K,W,M) heißt: lebendig: In jeder erreichbaren Markierung ist jede Transition aktivierbar: M [M> und t T gilt: M2 [M> mit: M2[t> deadlockfrei: In jeder erreichbaren Markierung ist mindestens eine Transition aktiviert: M [M> gilt: t T mit: M[t> tot: Keine Transition aktiviert: t T: M [t> Deadlockfreies System Lebendiges System Totes System 8.4 Petrinetze Abschnitt 4., S.5-53 Anmerkung: Erreichbarkeitsgraph wird in Reisig als Markierungsgraph bezeichnet

81 Analyse von Systemen: Beispiel WS 24/5 Deadlockfrei / lebendig / tot? K=2 8.4 Petrinetze

82 Analyse von Systemen: Beispiel WS 24/5 Deadlockfrei / lebendig / tot? K=2 Deadlock Antwort: Nach 2. Durchlauf entsteht Deadlock: Transition kann nicht geschaltet werden, da Kapazität der nachfolgenden Stelle erschöpft. Auch sonst dann keine Transition aktiviert. Petrinetz somit nicht deadlockfrei Petrinetze

83 Lebendigkeit von Petrinetzen: Anmerkungen WS 24/5 tot: keine Transition aktivierbar, d.h. alle Transitionen tot. (Achtung: Nicht aktivierte Transition kann trotzdem aktivierbar sein, aber wenn keine Transition im Petrinetz aktiviert ist, ist auch keine aktivierbar!) 83.4 Petrinetze Abschnitt 4., S.5-53 Abschnitt 4.8 (Tote Transitionen), S.59 Anmerkung: Erreichbarkeitsgraph wird in Reisig als Markierungsgraph bezeichnet

84 Lebendigkeit von Petrinetzen: Anmerkungen WS 24/5 tot: keine Transition aktivierbar, d.h. alle Transitionen tot. (Achtung: Nicht aktivierte Transition kann trotzdem aktivierbar sein, aber wenn keine Transition im Petrinetz aktiviert ist, ist auch keine aktivierbar!) D.h. im Erreichbarkeitsgraph geht von der initialen Markierung keine Kante aus. Bedeutet häufig einen Deadlock 84.4 Petrinetze Abschnitt 4., S.5-53 Abschnitt 4.8 (Tote Transitionen), S.59 Anmerkung: Erreichbarkeitsgraph wird in Reisig als Markierungsgraph bezeichnet

85 Lebendigkeit von Petrinetzen: Anmerkungen WS 24/5 tot: keine Transition aktivierbar, d.h. alle Transitionen tot. (Achtung: Nicht aktivierte Transition kann trotzdem aktivierbar sein, aber wenn keine Transition im Petrinetz aktiviert ist, ist auch keine aktivierbar!) D.h. im Erreichbarkeitsgraph geht von der initialen Markierung keine Kante aus. Bedeutet häufig einen Deadlock deadlockfrei: keine erreichbare Markierung tot. Berücksichtigung partieller Ausfälle ( graceful degradation ) Petrinetze Abschnitt 4., S.5-53 Abschnitt 4.8 (Tote Transitionen), S.59 Anmerkung: Erreichbarkeitsgraph wird in Reisig als Markierungsgraph bezeichnet

86 Lebendigkeit von Petrinetzen: Anmerkungen WS 24/5 tot: keine Transition aktivierbar, d.h. alle Transitionen tot. (Achtung: Nicht aktivierte Transition kann trotzdem aktivierbar sein, aber wenn keine Transition im Petrinetz aktiviert ist, ist auch keine aktivierbar!) D.h. im Erreichbarkeitsgraph geht von der initialen Markierung keine Kante aus. Bedeutet häufig einen Deadlock deadlockfrei: keine erreichbare Markierung tot. Berücksichtigung partieller Ausfälle ( graceful degradation ). lebendig: alle Transitionen lebendig. D.h.: in Erreichbarkeitsgraph existiert von jedem Knoten ausgehend für jedes t aus T einen Pfad, in dem t als Label vorkommt Petrinetze Abschnitt 4., S.5-53 Abschnitt 4.8 (Tote Transitionen), S.59 Anmerkung: Erreichbarkeitsgraph wird in Reisig als Markierungsgraph bezeichnet

87 Lebendigkeit von Petrinetzen: Anmerkungen WS 24/5 tot: keine Transition aktivierbar, d.h. alle Transitionen tot. (Achtung: Nicht aktivierte Transition kann trotzdem aktivierbar sein, aber wenn keine Transition im Petrinetz aktiviert ist, ist auch keine aktivierbar!) D.h. im Erreichbarkeitsgraph geht von der initialen Markierung keine Kante aus. Bedeutet häufig einen Deadlock deadlockfrei: keine erreichbare Markierung tot. Berücksichtigung partieller Ausfälle ( graceful degradation ). lebendig: alle Transitionen lebendig. D.h.: in Erreichbarkeitsgraph existiert von jedem Knoten ausgehend für jedes t aus T einen Pfad, in dem t als Label vorkommt. Lebendig ist nicht logische Negation von tot (sondern stärker). Gibt viele Varianten dieser Definitionen Petrinetze Abschnitt 4., S.5-53 Abschnitt 4.8 (Tote Transitionen), S.59 Anmerkung: Erreichbarkeitsgraph wird in Reisig als Markierungsgraph bezeichnet

88 Bewertung: Petrinetze WS 24/5 + Einfache und wenige Sprachelemente. + Graphisch gut darstellbar. + Marken: übersichtliche Visualisierung des Systemzustands. + Syntax und Semantik formal definiert. + Werkzeuge zur Erstellung, Analyse, Simulation, Code-Generierung vorhanden (z.b. Process Mining). + Gut geeignet für kooperierende Prozesse. - Zunächst keine Datenmodellierung (kann aber dahin erweitern) Petrinetze

89 Zusammenfassung WS 24/5 In diesem Abschnitt: Petrinetze als Grundlage für Geschäftsprozessmodellierung und für Process-Mining. Petrinetz-Syntax Ausführung Analyse von Systemen Workflow-Netze Im nächsten Abschnitt: Eclipse Modeling Framework (EMF): Standard zur Modellierung Petrinetze

90 Anhang (zum selbständigen Nacharbeiten) WS 24/5 9.4 Petrinetze

91 Petrinetz Ablauf: Erreichbarkeitstabelle WS 24/5 Nr. s s3 s4 s5 s6 Schaltungen M t --> M t2 --> M2 t3 t t t4 t2 t3 M M2 M3 M3' --> M3 --> M3' --> M4 --> M --> M5 --> M6 M3': s6 s3 t t2 s t4 t3 s4 s5 9.4 Petrinetze Weiteres Beispiel Kap. 3.4, S.4, Abb. 3.5,3.6

92 Nichtdeterministische Auswahl von Transition: Beispiel Nr. s s3 s4 s5 Schaltungen M M t2->m t4->m2 t4->m3 M2 t2->m4 t5->m5 M3 M4 M: s M4 M6... t5->m6 t3->m7 t5->m8 t2->m9 t6->m Nächster Zustand? M5 t WS 24/5 t2 2 t4 2 s3 s4 t3 t5 t6->m 5 s Petrinetze Weiteres Beispiel Kap. 3.3, S.39, Abb. 3.3

93 Nichtdeterministische Auswahl von Transition: Beispiel Nr. s s3 s4 s5 Schaltungen M t->m M t4->m3 t2->m2 M3 t2->m4 t2->m4 t5->m5 t5->m5 M4 t5->m6 M2 M4 WS 24/5 t3->m7 t5->m8 t2->m9 t6->m M: s Nächster Zustand? M5 M6... t t2 2 t4 2 s3 s4 t3 t5 t6->m 5 s Petrinetze Weiteres Beispiel Kap. 3.3, S.39, Abb. 3.3

94 Nichtdeterministische Auswahl von Transition: Beispiel Nr. s s3 s4 s5 Schaltungen M t->m M t3->m2 M2 M3 t2->m4 t5->m5 M4 M4 WS 24/5 t5->m6 t3->m7 t5->m8 t2->m9 t6->m M2: s Nächster Zustand? M5 M6... t t2 2 t4 2 s3 s4 t3 t5 t6->m 5 s Petrinetze Weiteres Beispiel Kap. 3.3, S.39, Abb. 3.3

95 Nichtdeterministische Auswahl von Transition: Beispiel Nr. s s3 s4 s5 Schaltungen M t->m M t3->m2 M2 M3 t2->m3 t5->m5 M4 M4 WS 24/5 t5->m6 t3->m7 t5->m8 t2->m9 t6->m M3: s Nächster Zustand? M5 M6... t t2 2 t4 2 s3 s4 t3 t5 t6->m 5 s Petrinetze Weiteres Beispiel Kap. 3.3, S.39, Abb. 3.3

96 Nichtdeterministische Auswahl von Transition: Beispiel Nr. s s3 s4 s5 Schaltungen M t->m M t2->m2 M2 t3->m3 M3 t4->m4 M4 t5->m5 t->m M4 M5 M6 WS 24/5 Was fällt bzgl. der Ausführung von t2 t2->m9 und t3 auf? t6->m t3->m7 t5->m8 2 M4: s... t t2 t4 2 s3 s4 t3 t5 t6->m 5 s Petrinetze Weiteres Beispiel Kap. 3.3, S.39, Abb. 3.3

97 Nichtdeterministische Auswahl von Transition: Beispiel Nr. s s3 s4 s5 Schaltungen M t->m M t2->m2 M2 t3->m3 M3 t4->m4 M4 t5->m5 t->m M4 M5 M6 2 WS 24/5 M4: s... t t2 t4 2 s3 s4 t3 t5 t2 und t4 können in beliebiger Reihenfolge ausgeführt werden und resultieren t3->m7in denselben t5->m8zustand! t2->m9( nebenläufige t6->m Aktivierung ) t6->m 5 s Petrinetze Weiteres Beispiel Kap. 3.3, S.39, Abb. 3.3

98 Beispiel: Bestückungsroboter WS 24/5 Zwei Roboter bestücken Leiterplatten mit elektronischen Bauelementen: Leiterplatten auf Fließband antransportiert (). Freier Roboter nimmt Leiterplatte vom Fließband (2). Beide Roboter frei: nichtdeterministisch entschieden, wer Leiterplatte nimmt. Jeweils ein Roboter darf auf Bauelemente-Magazin zugreifen (3), um Leiterplatte mit Bauelementen zu bestücken. Jeweils eine Leiterplatte zu einem Zeitpunkt abtransportierbar (4). (3) (4) (2) () 98.4 Petrinetze

99 Beispiel: Bestückungsroboter (M) WS 24/5 Roboter ist frei s6 Magazin ist frei Unbestückte Leiterplatte antransportieren t s s7 Leiterplatte ist vorbereitet Unbestückte Leiterplatte eingetroffen t2 t3 s3 t4 Bestückte Leiterplatte bereit zum Abtransport Roboter legt Leiterplatte ab Roboter gibt Magazin frei Roboter belegt Magazin Roboter ergreift die Leiterplatte Bauelemente sind abgeholt Magazin ist besetzt s4 t5 s5 t6 Welche Transition(en) aktiviert? 99.4 Petrinetze

100 WS 24/5 Beispiel: Bestückungsroboter (M) Roboter ist frei s6 Magazin ist frei Unbestückte Leiterplatte antransportieren t s t2 Magazin ist besetzt t3 Roboter legt Leiterplatte ab Roboter gibt Magazin frei Roboter belegt Magazin Roboter ergreift die Leiterplatte Bestückte Leiterplatte Bauelemente bereit zum Abtransport sind abgeholt s7 Leiterplatte ist vorbereitet Unbestückte Leiterplatte eingetroffen s3 t4 s4 t5 s5 t6 bezeichnet aktivierte Transitionen. Möglicher nächster Zustand?.4 Petrinetze

101 Beispiel: Bestückungsroboter (M) WS 24/5 Roboter ist frei s6 K=2 Magazin ist frei Unbestückte Leiterplatte eingetroffen Unbestückte Leiterplatte antransportieren t s s7 Leiterplatte ist vorbereitet t2 t3 s3 t4 Bestückte Leiterplatte bereit zum Abtransport Roboter legt Leiterplatte ab Roboter gibt Magazin frei Roboter belegt Magazin Roboter ergreift die Leiterplatte Bauelemente sind abgeholt Magazin ist besetzt s4 t5 s5 t6 Welche Transition(en) aktiviert?.4 Petrinetze

102 Beispiel: Bestückungsroboter (M) WS 24/5 Roboter ist frei s6 K=2 Magazin ist frei Unbestückte Leiterplatte eingetroffen Unbestückte Leiterplatte antransportieren t s s7 Leiterplatte ist vorbereitet t2 t3 s3 t4 Bestückte Leiterplatte bereit zum Abtransport Roboter legt Leiterplatte ab Roboter gibt Magazin frei Roboter belegt Magazin Roboter ergreift die Leiterplatte Bauelemente sind abgeholt Magazin ist besetzt s4 t5 s5 t6 Möglicher nächster Zustand? 2.4 Petrinetze

103 Beispiel: Bestückungsroboter (M2) WS 24/5 Roboter ist frei s6 Magazin ist frei Unbestückte Leiterplatte eingetroffen Unbestückte Leiterplatte antransportieren t s s7 Leiterplatte ist vorbereitet t2 t3 s3 t4 Bestückte Leiterplatte bereit zum Abtransport Roboter legt Leiterplatte ab Roboter gibt Magazin frei Roboter belegt Magazin Roboter ergreift die Leiterplatte Bauelemente sind abgeholt Magazin ist besetzt s4 t5 s5 t6 Welche Transition(en) aktiviert? 3.4 Petrinetze

104 Beispiel: Bestückungsroboter (M2) WS 24/5 Roboter ist frei s6 Magazin ist frei Unbestückte Leiterplatte eingetroffen Unbestückte Leiterplatte antransportieren t s s7 Leiterplatte ist vorbereitet t2 t3 s3 t4 Bestückte Leiterplatte bereit zum Abtransport Roboter legt Leiterplatte ab Roboter gibt Magazin frei Roboter belegt Magazin Roboter ergreift die Leiterplatte Bauelemente sind abgeholt Magazin ist besetzt s4 t5 s5 t6 Möglicher nächster Zustand? 4.4 Petrinetze

105 Beispiel: Bestückungsroboter (M3) WS 24/5 Roboter ist frei s6 Magazin ist frei Unbestückte Leiterplatte eingetroffen Unbestückte Leiterplatte antransportieren t s s7 Leiterplatte ist vorbereitet t2 t3 s3 t4 Bestückte Leiterplatte bereit zum Abtransport Roboter legt Leiterplatte ab Roboter gibt Magazin frei Roboter belegt Magazin Roboter ergreift die Leiterplatte Bauelemente sind abgeholt Magazin ist besetzt s4 t5 s5 t6 Welche Transition(en) aktiviert? 5.4 Petrinetze

106 Beispiel: Bestückungsroboter (M3) WS 24/5 Roboter ist frei s6 Magazin ist frei Unbestückte Leiterplatte eingetroffen Unbestückte Leiterplatte antransportieren t s s7 Leiterplatte ist vorbereitet t2 t3 s3 t4 Bestückte Leiterplatte bereit zum Abtransport Roboter legt Leiterplatte ab Roboter gibt Magazin frei Roboter belegt Magazin Roboter ergreift die Leiterplatte Bauelemente sind abgeholt Magazin ist besetzt s4 t5 s5 t6 Möglicher nächster Zustand? 6.4 Petrinetze

107 Beispiel: Bestückungsroboter (M4) WS 24/5 Roboter ist frei s6 Magazin ist frei Unbestückte Leiterplatte eingetroffen Unbestückte Leiterplatte antransportieren t s s7 Leiterplatte ist vorbereitet t2 t3 s3 t4 Bestückte Leiterplatte bereit zum Abtransport Roboter legt Leiterplatte ab Roboter gibt Magazin frei Roboter belegt Magazin Roboter ergreift die Leiterplatte Bauelemente sind abgeholt Magazin ist besetzt s4 t5 s5 t6 Welche Transition(en) aktiviert? 7.4 Petrinetze

108 Beispiel: Bestückungsroboter (M4) WS 24/5 Roboter ist frei s6 Magazin ist frei Unbestückte Leiterplatte eingetroffen Unbestückte Leiterplatte antransportieren t s s7 Leiterplatte ist vorbereitet t2 t3 s3 t4 Bestückte Leiterplatte bereit zum Abtransport Roboter legt Leiterplatte ab Roboter gibt Magazin frei Roboter belegt Magazin Roboter ergreift die Leiterplatte Bauelemente sind abgeholt Magazin ist besetzt s4 t5 s5 t6 Möglicher nächster Zustand? 8.4 Petrinetze

109 Beispiel: Bestückungsroboter (M5) WS 24/5 Roboter ist frei s6 Magazin ist frei Unbestückte Leiterplatte eingetroffen Unbestückte Leiterplatte antransportieren t s s7 Leiterplatte ist vorbereitet t2 t3 s3 t4 Bestückte Leiterplatte bereit zum Abtransport Roboter legt Leiterplatte ab Roboter gibt Magazin frei Roboter belegt Magazin Roboter ergreift die Leiterplatte Bauelemente sind abgeholt Magazin ist besetzt s4 t5 s5 t6 Welche Transition(en) aktiviert? 9.4 Petrinetze

110 Beispiel: Bestückungsroboter (M5) WS 24/5 Roboter ist frei s6 Magazin ist frei Unbestückte Leiterplatte eingetroffen Unbestückte Leiterplatte antransportieren t s s7 Leiterplatte ist vorbereitet t2 t3 s3 t4 Bestückte Leiterplatte bereit zum Abtransport Roboter legt Leiterplatte ab Roboter gibt Magazin frei Roboter belegt Magazin Roboter ergreift die Leiterplatte Bauelemente sind abgeholt Magazin ist besetzt s4 t5 s5 t6 Usw Petrinetze

111 WS 24/5 Kapazitäten K: S { } erklärt eine (möglicherweise unbeschränkte) Kapazität für jede Stelle. Markierungen M: S müssen Kapazitäten respektieren, d.h. für jede Stelle s S gilt: M(s) K(s). Transitionen sind bei Verwendung von Kapazitäten nur dann aktiviert, wenn Folgemarkierung Kapazitäten respektiert..4 Petrinetze Kap. 6. (Platzkapazität, Platz=Stelle), S

112 Definition Netz: Beispiel WS 24/5 Nachrichten-Queue: Netz (S,T,F) mit S = {empfangsbereit, Bereit Queue zu füllen, Queue gefüllt, Queue leer, Bereit zur Verarbeitung, Bereit zur Nachrichtenentnahme} T = {Nachricht annehmen, Queue füllen, Nachricht entnehmen, Nachricht verarbeiten} F = {(empfangsbereit, Nachricht annehmen), (Nachricht annehmen, Bereit Queue zu füllen), (Bereit Queue zu füllen, Queue füllen), (Queue füllen, empfangsbereit), (Queue füllen, Queue gefüllt), (Queue gefüllt, Nachricht entnehmen), (Nachricht entnehmen, Queue leer), (Queue leer, Queue füllen), (Bereit zur Nachrichtenentnahme, Nachricht entnehmen), (Nachricht entnehmen, Bereit zur Verarbeitung), (Bereit zur Verarbeitung, Nachricht verarbeiten), (Nachricht verarbeiten, Bereit zur Nachrichtenentnahme)} 2.4 Petrinetze

113 Beispiel: Ampelschaltung WS 24/5 Wir wollen eine Ampelschaltung modellieren. Zwei Ampeln an einer Kreuzung Nord-Süd-Ampel und Ost-West-Ampel Abbieger-Ampel vernachlässigen wir Folgende Stellen gibt es: Rot Rot/Gelb Gelb Grün 3.4 Petrinetze

114 WS 24/5 Beispiel: Ampelschaltung Wir wollen eine Ampelschaltung modellieren. Zwei Ampeln an einer Kreuzung Nord-Süd-Ampel und Ost-West-Ampel Abbieger-Ampel vernachlässigen wir Folgende Stellen gibt es: Rot Rot/Gelb Gelb Rot Rot/Gelb Gelb Grün Grün Nord-West Ampel 4.4 Petrinetze

115 WS 24/5 Beispiel: Ampelschaltung Wir wollen eine Ampelschaltung modellieren. Zwei Ampeln an einer Kreuzung Nord-Süd-Ampel und Ost-West-Ampel Abbieger-Ampel vernachlässigen wir Folgende Stellen gibt es: Rot Rot/Gelb Gelb Rot Rot/Gelb Gelb Grün Grün Nord-West Ampel 5.4 Petrinetze

116 WS 24/5 Beispiel: Ampelschaltung Wir wollen eine Ampelschaltung modellieren. Zwei Ampeln an einer Kreuzung Nord-Süd-Ampel und Ost-West-Ampel Abbieger-Ampel vernachlässigen wir Folgende Stellen gibt es: Rot Rot/Gelb Gelb Rot Rot/Gelb Gelb Grün Grün Nord-West Ampel 6.4 Petrinetze

117 WS 24/5 Beispiel: Ampelschaltung Wir wollen eine Ampelschaltung modellieren. Zwei Ampeln an einer Kreuzung Nord-Süd-Ampel und Ost-West-Ampel Abbieger-Ampel vernachlässigen wir Folgende Stellen gibt es: Rot Rot/Gelb Gelb Rot Rot/Gelb Rot Rot/Gelb Gelb Gelb Grün Grün Grün Nord-West Ampel.4 Petrinetze Ost-West Ampel 7

118 WS 24/5 Beispiel: Ampelschaltung Wir wollen eine Ampelschaltung modellieren. Zwei Ampeln an einer Kreuzung Nord-Süd-Ampel und Ost-West-Ampel Abbieger-Ampel vernachlässigen wir Folgende Stellen gibt es: Rot Rot/Gelb Gelb Rot Rot/Gelb Rot Rot/Gelb Gelb Gelb Grün Grün Grün Nord-West Ampel.4 Petrinetze Ost-West Ampel 8

119 WS 24/5 Zweites Beispiel Was könnte folgendes Petri-Netz modellieren? Was könnten die einzelnen Token repräsentieren? Münze einwerfen Münze zurück Einwurfschlitz Einwurf möglich a Signal Kasse b Entnahmefach Entnehmen Speicher 9.4 Petrinetze

120 WS 24/5 Zweites Beispiel Was könnte folgendes Petri-Netz modellieren? Was könnten die einzelnen Token repräsentieren? Münze einwerfen Münze zurück Einwurfschlitz Einwurf möglich a Signal Kasse b Entnahmefach Entnehmen Speicher Antwort: Es könnte sich z.b. um einen Getränkeautomaten handeln. Dabei können die Token einerseits Münzen oder auch Getränkeflaschen repräsentieren. 2.4 Petrinetze

121 WS 24/5 Methodik Kein Standard zu Erstellung von Petri-Netzen vorhanden. Vorgeschlagenes Vorgehen (aus [Bal]):. Stellen und Transitionen auf hohem Abstraktionsniveau identifizieren. 2. Beziehungen ermitteln. 3. Verfeinerung und Ergänzung. 4. Festlegung der Objekte. 5. Schaltregeln identifizieren. 6. Netztyp festlegen. 7. Anfangsmarkierung festlegen. 8. Analyse, Simulation. 2.4 Petrinetze

122 Performanzanalyse, z.b.: Simulation in BPM one WS 24/ Petrinetze Wil van der Aalst: Process Mining: Discovery, Conformance and Enhancement of Business Processes Kap. 2.3: S. 56 Fig. 2.9