Einführung in Petri-Netze

Transkript

1 Einführung in Petri-Netze Modellierung und Analysen von Workflows Vertretung: Stephan Mennicke, Reaktive Systeme SS 2012

2 Organisatorisches In der 24. KW ( ): Vorlesung am Dienstag, 15:00 Uhr Übung am Montag, 13:15 Uhr Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 2

3 Überblick Motivation Elementare Systemnetze Analysen Siphons und Traps Invarianten Erreichbarkeit Spezielle Netzklassen Free-Choice-Netze Wohlgeformte Systemnetze Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 3

4 Ausblick Allgemein == Werbung == Seminar Reaktive Systeme im WS 2012/2013: Modellierung verteilter Systeme Elementare Systemnetze, Event-Structures, Coloured Petri Nets Algorithmen und Werkzeuge zur Analyse von Petri-Netzen Modellierung verteilter Algorithmen Workflows zur Modellierung asynchron kommunizierender Systeme Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 4

5 Literatur Wolfgang Reisig, Petrinetze Modellierungstechnik, Analysemethoden, Fallstudien, Springer Vieweg 2010 Karsten Wolf, Vorlesungsfolien Paradigmen der Programmierung (Teil 5), Universität Rostock SS 2010 Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 5

6 Warum Petri-Netze? Petrinetze sind nie, wie einige andere Methoden, eine Weile bevorzugt und dann wieder vergessen worden, sondern haben über Jahrzehnte ihren Platz in der Methodenvielfalt behalten. (Reisig, 2010) Verteilte Systeme: Lokalitätsprinzip Kein globaler Zustand Übergänge lokal bedingt und lokal wirkend Automatenmodelle ungeeignet Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 6

7 Beispiel: Parallelkomposition I Gegeben: zwei Systeme, P und Q, die unabhängig voneinander arbeiten können Gesucht: Gesamtverhalten von P parallel zu Q Klassischer Ansatz: P, Q Automaten; Produktautomatenkonstruktion (Grundvorlesung: Theoretische Informatik), z. B. a b a b = b a Komplexität: O(2 n ) (n = Anzahl Systeme) Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 7

8 Beispiel: Parallelkomposition II Idee Petri-Netze: Verteilen den Gesamtzustand des Systems in seinen Komponenten Machen Transitionen im System explizit Beispiel von eben als Petri-Netz: = a b Komplexität: O(n) Zustandsraum: O(2 n ) Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 8

9 Historie Es war einmal 1962 Maschinen: raumfüllend groß Maschinen mit mehr Leistung: mehrere Räume Grund: festgefahrene Denkmuster, z. B. Automaten Im selben Jahr: Carl Adam Petris Dissertation Kommunikation mit Automaten sollte die Denkweisen grundsätzlich verändern Problem: Seine Ideen kamen zu früh, d. h. schlechte Akzeptanz Erst in den 70er/80er Jahren als ernsthaftes Thema wahrgenommen, wobei zunächst nur Erreichbarkeitsproblematik und Sprachen im Zentrum Boom: seit den 90er Jahren; Gesamtanzahl Publikationen: im fünfstelligen Bereich Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 9

10 Beispiel: Ein Getränkeautomat Ein Nutzer soll die Möglichkeit bekommen, Geld einzuwerfen und im Gegenzug erhält er ein Getränk Als Getränke sollen Kaffee (Bohnen) und Tee (Beutel) angeboten werden, für die man jeweils einen Becher benötigt Die Kasse kann nicht unendlich viele Münzen halten Der Vorgang soll abgebrochen werden (Geldrückgabe), wenn die Kasse voll ist Der Automat kann nicht unendlich viele Becher, Bohnen oder Beutel vorhalten... Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 10

11 Syntax Netze Platz Transition Bogen % % Definition Ein Tupel N = (P, T, F) heißt Netz, falls P, T endliche Mengen mit P T = und F (P T) (T P). Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 11

12 Getränkeautomat als Netz Münzen Becher Probleme: Was ist der Zustand des Automaten? Was ist das Verhalten des Automaten? Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 12

13 Semantik Markierung p Tokens r q Definition Sei N = (P, T, F) ein Netz. Eine Multimenge m : P N heißt Markierung über N. Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 13

14 Semantik Aktivierung p r q Definition Sei N = (P, T, F) ein Netz, t T eine Transition und m eine Markierung über N. t ist genau dann aktiviert unter m, m[t, wenn für alle p P gilt: p t m(p) > 0. Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 14

15 Semantik Feuerregel Definition Sei N = (P, T, F) ein Netz und m eine Markierung über N. Gilt m[t, so kann t feuern. Durch das Feuern von t entsteht die Folgemarkierung m, m[t m, mit m(p) 1 p t \ t m (p) = m(p) + 1 p t \ t m(p) sonst! für alle p P. Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 15

16 Semantik Erreichbarkeit Definition Sei N = (P, T, F) ein Netz und m eine Markierung über N. Eine Markierung m heißt erreichbar in N von m aus, falls es Transitionen t 1,..., t n T und Markierungen m 0,..., m n über N gibt mit m 0 [t 1 m 1 [t 2... [t n m n, m = m 0 und m = m n. Wir bezeichnen mit R(N, m) die Menge aller Markierungen in N, die von m aus erreichbar sind. Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 16

17 Petri-Netze Definition Ein Tupel N = (P, T, F, m 0 ) heißt Petri-Netz, falls (P, T, F) ein Netz und m 0 eine Markierung über dem Netz ist. Wir bezeichnen mit R(N) die Menge der von m 0 erreichbaren Markierungen, d. h. R(N) = R(N, m 0 ). Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 17

18 Getränkeautomat als Petri-Netz Münzen Becher Probleme: Woher kommen die Münzen? Wohin gehen die Getränke? Was ist mit all den anderen Anforderungen? Brauchen: Verfeinerung! Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 18

19 Getränkeautomat als Petri-Netz (Verfeinerung) Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 19

20 Modellierungskonzepte für Petri-Netze 1. Konflikte Idee: Nur eine von zwei Transitionen kann schalten. 2. Unabhängigkeit Idee: Transitionen können in jeder beliebiger Reihenfolge schalten. 3. Komplementärplätze Idee: Platz hält Token genau dann wenn... Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 20

21 Erreichbarkeitsgraph Definition Sei N = (P, T, F, m 0 ) ein Petri-Netz. Der Graph (R(N), E) heißt Erreichbarkeitsgraph, falls E R(N) R(N) mit (m, m ) E genau dann, wenn es ein t T gibt mit m[t m. Häufig gelabelte Erreichbarkeitsgraphen, d. h. LTS, entweder mit Labels aus T oder es gibt eine Aktionsmenge Σ und eine Funktion l : T Σ. Ein Petri-Netz mit einer solchen Funktion heißt gelabelt. Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 21

22 Semantische Eigenschaften von Petri-Netzen 1. Lebendigkeit Eine Transition t heißt tot, falls es keine erreichbare Markierung gibt, die sie aktiviert. t heißt lebendig, falls t unter jeder erreichbaren Markierung nicht tot ist. Ein Netz heißt lebendig, wenn alle Transitionen lebendig sind. 2. Beschränktheit Ein Platz p heißt beschränkt, falls es eine Zahl k gibt, sodass in jeder erreichbaren Markierung m gilt m(p) k. p heißt dann auch k-beschränkt. Ein Netz ist k-beschränkt, falls alle Plätze k-beschränkt sind. 3. Sicherheit Ein Netz heißt sicher, falls es 1-beschränkt ist. Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 22

23 Zwei Erweiterungen 1. Kantengewichte: p 3 2 r q 2. Kapazitäten: p 2 r q Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 23

24 Analysen von Petri-Netzen Allgemein: Die meisten interessanten Probleme sind entweder unentscheidbar oder NP-vollständig Wollen die Probleme dennoch angehen! Vorteil: Petri-Netze nicht Turing-vollständig Turing-vollständige Erweiterungen: Inhibitorbögen Gefärbte Netze Unendliche Netze Sind Petri-Netze trotzdem interessant? Zustandsraumexplosion! Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 24

25 Zustandseigenschaften 1. Zustandsgleichungen: Seien n 0, n 1,..., n k Z. Dann ist für ein Netz mit k Plätzen n 1 p n k p k = n 0 eine Zustandsgleichung. Eine Markierung m erfüllt die Gleichung, falls n 1 m(p 1 ) + + n k m(p k ) = n 0. Ein Petri-Netz erfüllt eine Zustandsgleichung, falls m 0 sie erfüllt und jede weitere erreichbare Markierung. 2. Zustandsungleichungen (analog) 3. (Aussagen)logische Formeln (häufig bei sicheren Petri-Netzen) Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 25

26 Siphons und Traps Auch Falle (Trap) und Co-Falle (Siphon) genannt. Können zum Beweis von Zustandsungleichungen verwendet werden. Intuition: Trap: Wer was herausnimmt, legt auch wieder etwas hinein. Siphon: Wer etwas hineinlegt, nimmt auch etwas heraus. Rein strukturelle Konstrukte. Semantische Auswirkung. Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 26

27 Traps Definition Sei N = (P, T, F) ein Netz. Eine Menge Q P heißt Trap, falls es für jeden Platz p Q mit p t einen Platz q Q mit q t gibt. Ein Trap Q ist unter m markiert, falls es einen Platz q Q gibt mit m(q) > 0. Für Netze N mit einem Trap Q = {q 0,..., q k } gilt für alle Markierungen, m, die Q markieren, m(q 0 ) + m(q 1 ) +... m(q k ) 1. Für einen Schritt m[t m gilt, wenn es keinen Platz p in Q mit p t gibt, dann gilt für jedes q Q, m (q) m(q). Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 27

28 Siphons Definition Sei N ein Netz. Eine Menge Q P heißt Siphon, falls es für jeden Platz p Q mit p t einen Platz q Q mit q t. Sei Q = {q 0,..., q k } unter m unmarkiert, also Dann gilt für alle m[t m, m(q 0 ) + + m(q k ) = 0. m (q 0 ) + + m (q k ) = 0. Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 28

29 Die Siphon/Trap-Eigenschaft (auch Falle/Co-Falle-Eigenschaft) Sei N ein Petri-Netz. Falls jeder Siphon R von N als Teilmenge eine anfangsmarkierte Trap enthält, so besitzt N die Siphon/Trap-Eigenschaft. Theorem In jedem Petri-Netz N, das die Siphon/Trap-Eigenschaft hat, aktiviert jede erreichbare Markierung mindestens eine Transition. Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 29

30 Platzinvarianten (Intuition) Motivation: Erreichbarkeit, Verifikation, Zustandsgleichungen Platzinvarianten sind Gleichungen über allen Plätzen, also Aussagen, die für beliebige erreichbare Markierungen wahr sind. Positive Platzinvarianten sind Gleichungen mit mindestens einem positiven und sonst nicht-negativen Koeffizienten. Details (weit über 90 Minuten) Theorem (Positiver Platzinvariantensatz) Ein Platz p mit einer positiven Platzinvariante ist beschränkt. Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 30

31 Erreichbarkeit bei Petri-Netzen Ist eine Markierung m im Petri-Netz N erreichbar, d. h. gilt m R(N)? Ist R(N) endlich, dann konstruieren und schauen, ob m drin ist. Ist m erreichbar, dann kann man m auch finden, falls R(N) unendlich ist. Was ist, falls m nicht erreichbar ist? Unentscheidbar? Man kann das Problem lösen! Handwerkszeug: Platzinvarianten, Markierungsgleichungen, Transitionsinvarianten Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 31

32 Folgerungen aus Platzinvarianten Folgerung Für jede Markierung m von N gilt, wenn N eine Platzinvariante i hat mit i m i m 0, dann ist m nicht erreichbar. Theorem (Endlichkeitssatz positiver Platzinvarianten) In einem Petri-Netz N sind nur endlich viele Markierungen erreichbar, wenn jeder Platz von N eine positive Platzinvariante hat. Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 32

33 Warum eigentlich spezielle Netzklassen? Viele interessante Probleme auf Petri-Netzen lösbar, unter anderem: Zustandseigenschaften, Erreichbarkeit, Terminierung. Wegen Zustandsraumexplosion werden häufig strukturelle Eigenschaften ausgenutzt. Wegen Zustandsraumexplosion ist es schwierig, strukturelle Eigenschaften zu beweisen. Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 33

34 Free-Choice-Netze Intuition: Wenn sich zwei Transition einen Platz im Vorbereich teilen, dann teilen sie sich alle Plätze im Vorbereich. Siphon/Trap-Eigenschaft führt bei zusammenhängenden Netzen sogar zur Lebendigkeitsaussage. Falls es eine Cluster-Aufteilung des Netzes gibt, so ist ein Netz free-choice (und umgekehrt!). Über den Rangsatz für Free-Choice-Netze lässt sich eine präzise Aussage über Lebendigkeit und Beschränktheit von Netzen treffen. Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 34

35 Wohlgeformte Systemnetze Motivation: Geschäftsprozessmodellierung, Workflow-Modellierung Häufig Endmarkierungen wichtig, vgl. Endzustände. Zusätzliche Eigenschaften gefordert, denn nicht alles, was man in Petri-Netzen ausdrücken kann, muss auch ein Geschäftsprozess können. Sei N ein Petri-Netz und F P eine Endmarkierung. Dann ist N mit Zielmarkierung F wohlgeformt, wenn: 1. F eindeutig ist, 2. N überdeckt ist, d. h. es gibt keine toten Transitionen, und 3. N terminierbar ist. Entscheidung: Bilde N und prüfe auf Lebendigkeit und Beschränktheit. Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 35

36 Ausblick Übung Einführung Workflow-Netze (WFN) als eine Klasse wohlgeformter Systemnetze Eigenschaften (Workflow, Soundness, Erreichbarkeit) von WFNs Modellierung mit WFNs Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 36