Einführung in Petri-Netze

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Einführung in Petri-Netze"

Transkript

1 Einführung in Petri-Netze Modellierung und Analysen von Workflows Vertretung: Stephan Mennicke, Reaktive Systeme SS 2012

2 Organisatorisches In der 24. KW ( ): Vorlesung am Dienstag, 15:00 Uhr Übung am Montag, 13:15 Uhr Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 2

3 Überblick Motivation Elementare Systemnetze Analysen Siphons und Traps Invarianten Erreichbarkeit Spezielle Netzklassen Free-Choice-Netze Wohlgeformte Systemnetze Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 3

4 Ausblick Allgemein == Werbung == Seminar Reaktive Systeme im WS 2012/2013: Modellierung verteilter Systeme Elementare Systemnetze, Event-Structures, Coloured Petri Nets Algorithmen und Werkzeuge zur Analyse von Petri-Netzen Modellierung verteilter Algorithmen Workflows zur Modellierung asynchron kommunizierender Systeme Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 4

5 Literatur Wolfgang Reisig, Petrinetze Modellierungstechnik, Analysemethoden, Fallstudien, Springer Vieweg 2010 Karsten Wolf, Vorlesungsfolien Paradigmen der Programmierung (Teil 5), Universität Rostock SS 2010 Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 5

6 Warum Petri-Netze? Petrinetze sind nie, wie einige andere Methoden, eine Weile bevorzugt und dann wieder vergessen worden, sondern haben über Jahrzehnte ihren Platz in der Methodenvielfalt behalten. (Reisig, 2010) Verteilte Systeme: Lokalitätsprinzip Kein globaler Zustand Übergänge lokal bedingt und lokal wirkend Automatenmodelle ungeeignet Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 6

7 Beispiel: Parallelkomposition I Gegeben: zwei Systeme, P und Q, die unabhängig voneinander arbeiten können Gesucht: Gesamtverhalten von P parallel zu Q Klassischer Ansatz: P, Q Automaten; Produktautomatenkonstruktion (Grundvorlesung: Theoretische Informatik), z. B. a b a b = b a Komplexität: O(2 n ) (n = Anzahl Systeme) Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 7

8 Beispiel: Parallelkomposition II Idee Petri-Netze: Verteilen den Gesamtzustand des Systems in seinen Komponenten Machen Transitionen im System explizit Beispiel von eben als Petri-Netz: = a b Komplexität: O(n) Zustandsraum: O(2 n ) Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 8

9 Historie Es war einmal 1962 Maschinen: raumfüllend groß Maschinen mit mehr Leistung: mehrere Räume Grund: festgefahrene Denkmuster, z. B. Automaten Im selben Jahr: Carl Adam Petris Dissertation Kommunikation mit Automaten sollte die Denkweisen grundsätzlich verändern Problem: Seine Ideen kamen zu früh, d. h. schlechte Akzeptanz Erst in den 70er/80er Jahren als ernsthaftes Thema wahrgenommen, wobei zunächst nur Erreichbarkeitsproblematik und Sprachen im Zentrum Boom: seit den 90er Jahren; Gesamtanzahl Publikationen: im fünfstelligen Bereich Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 9

10 Beispiel: Ein Getränkeautomat Ein Nutzer soll die Möglichkeit bekommen, Geld einzuwerfen und im Gegenzug erhält er ein Getränk Als Getränke sollen Kaffee (Bohnen) und Tee (Beutel) angeboten werden, für die man jeweils einen Becher benötigt Die Kasse kann nicht unendlich viele Münzen halten Der Vorgang soll abgebrochen werden (Geldrückgabe), wenn die Kasse voll ist Der Automat kann nicht unendlich viele Becher, Bohnen oder Beutel vorhalten... Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 10

11 Syntax Netze Platz Transition Bogen % % Definition Ein Tupel N = (P, T, F) heißt Netz, falls P, T endliche Mengen mit P T = und F (P T) (T P). Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 11

12 Getränkeautomat als Netz Münzen Becher Probleme: Was ist der Zustand des Automaten? Was ist das Verhalten des Automaten? Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 12

13 Semantik Markierung p Tokens r q Definition Sei N = (P, T, F) ein Netz. Eine Multimenge m : P N heißt Markierung über N. Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 13

14 Semantik Aktivierung p r q Definition Sei N = (P, T, F) ein Netz, t T eine Transition und m eine Markierung über N. t ist genau dann aktiviert unter m, m[t, wenn für alle p P gilt: p t m(p) > 0. Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 14

15 Semantik Feuerregel Definition Sei N = (P, T, F) ein Netz und m eine Markierung über N. Gilt m[t, so kann t feuern. Durch das Feuern von t entsteht die Folgemarkierung m, m[t m, mit m(p) 1 p t \ t m (p) = m(p) + 1 p t \ t m(p) sonst! für alle p P. Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 15

16 Semantik Erreichbarkeit Definition Sei N = (P, T, F) ein Netz und m eine Markierung über N. Eine Markierung m heißt erreichbar in N von m aus, falls es Transitionen t 1,..., t n T und Markierungen m 0,..., m n über N gibt mit m 0 [t 1 m 1 [t 2... [t n m n, m = m 0 und m = m n. Wir bezeichnen mit R(N, m) die Menge aller Markierungen in N, die von m aus erreichbar sind. Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 16

17 Petri-Netze Definition Ein Tupel N = (P, T, F, m 0 ) heißt Petri-Netz, falls (P, T, F) ein Netz und m 0 eine Markierung über dem Netz ist. Wir bezeichnen mit R(N) die Menge der von m 0 erreichbaren Markierungen, d. h. R(N) = R(N, m 0 ). Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 17

18 Getränkeautomat als Petri-Netz Münzen Becher Probleme: Woher kommen die Münzen? Wohin gehen die Getränke? Was ist mit all den anderen Anforderungen? Brauchen: Verfeinerung! Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 18

19 Getränkeautomat als Petri-Netz (Verfeinerung) Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 19

20 Modellierungskonzepte für Petri-Netze 1. Konflikte Idee: Nur eine von zwei Transitionen kann schalten. 2. Unabhängigkeit Idee: Transitionen können in jeder beliebiger Reihenfolge schalten. 3. Komplementärplätze Idee: Platz hält Token genau dann wenn... Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 20

21 Erreichbarkeitsgraph Definition Sei N = (P, T, F, m 0 ) ein Petri-Netz. Der Graph (R(N), E) heißt Erreichbarkeitsgraph, falls E R(N) R(N) mit (m, m ) E genau dann, wenn es ein t T gibt mit m[t m. Häufig gelabelte Erreichbarkeitsgraphen, d. h. LTS, entweder mit Labels aus T oder es gibt eine Aktionsmenge Σ und eine Funktion l : T Σ. Ein Petri-Netz mit einer solchen Funktion heißt gelabelt. Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 21

22 Semantische Eigenschaften von Petri-Netzen 1. Lebendigkeit Eine Transition t heißt tot, falls es keine erreichbare Markierung gibt, die sie aktiviert. t heißt lebendig, falls t unter jeder erreichbaren Markierung nicht tot ist. Ein Netz heißt lebendig, wenn alle Transitionen lebendig sind. 2. Beschränktheit Ein Platz p heißt beschränkt, falls es eine Zahl k gibt, sodass in jeder erreichbaren Markierung m gilt m(p) k. p heißt dann auch k-beschränkt. Ein Netz ist k-beschränkt, falls alle Plätze k-beschränkt sind. 3. Sicherheit Ein Netz heißt sicher, falls es 1-beschränkt ist. Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 22

23 Zwei Erweiterungen 1. Kantengewichte: p 3 2 r q 2. Kapazitäten: p 2 r q Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 23

24 Analysen von Petri-Netzen Allgemein: Die meisten interessanten Probleme sind entweder unentscheidbar oder NP-vollständig Wollen die Probleme dennoch angehen! Vorteil: Petri-Netze nicht Turing-vollständig Turing-vollständige Erweiterungen: Inhibitorbögen Gefärbte Netze Unendliche Netze Sind Petri-Netze trotzdem interessant? Zustandsraumexplosion! Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 24

25 Zustandseigenschaften 1. Zustandsgleichungen: Seien n 0, n 1,..., n k Z. Dann ist für ein Netz mit k Plätzen n 1 p n k p k = n 0 eine Zustandsgleichung. Eine Markierung m erfüllt die Gleichung, falls n 1 m(p 1 ) + + n k m(p k ) = n 0. Ein Petri-Netz erfüllt eine Zustandsgleichung, falls m 0 sie erfüllt und jede weitere erreichbare Markierung. 2. Zustandsungleichungen (analog) 3. (Aussagen)logische Formeln (häufig bei sicheren Petri-Netzen) Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 25

26 Siphons und Traps Auch Falle (Trap) und Co-Falle (Siphon) genannt. Können zum Beweis von Zustandsungleichungen verwendet werden. Intuition: Trap: Wer was herausnimmt, legt auch wieder etwas hinein. Siphon: Wer etwas hineinlegt, nimmt auch etwas heraus. Rein strukturelle Konstrukte. Semantische Auswirkung. Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 26

27 Traps Definition Sei N = (P, T, F) ein Netz. Eine Menge Q P heißt Trap, falls es für jeden Platz p Q mit p t einen Platz q Q mit q t gibt. Ein Trap Q ist unter m markiert, falls es einen Platz q Q gibt mit m(q) > 0. Für Netze N mit einem Trap Q = {q 0,..., q k } gilt für alle Markierungen, m, die Q markieren, m(q 0 ) + m(q 1 ) +... m(q k ) 1. Für einen Schritt m[t m gilt, wenn es keinen Platz p in Q mit p t gibt, dann gilt für jedes q Q, m (q) m(q). Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 27

28 Siphons Definition Sei N ein Netz. Eine Menge Q P heißt Siphon, falls es für jeden Platz p Q mit p t einen Platz q Q mit q t. Sei Q = {q 0,..., q k } unter m unmarkiert, also Dann gilt für alle m[t m, m(q 0 ) + + m(q k ) = 0. m (q 0 ) + + m (q k ) = 0. Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 28

29 Die Siphon/Trap-Eigenschaft (auch Falle/Co-Falle-Eigenschaft) Sei N ein Petri-Netz. Falls jeder Siphon R von N als Teilmenge eine anfangsmarkierte Trap enthält, so besitzt N die Siphon/Trap-Eigenschaft. Theorem In jedem Petri-Netz N, das die Siphon/Trap-Eigenschaft hat, aktiviert jede erreichbare Markierung mindestens eine Transition. Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 29

30 Platzinvarianten (Intuition) Motivation: Erreichbarkeit, Verifikation, Zustandsgleichungen Platzinvarianten sind Gleichungen über allen Plätzen, also Aussagen, die für beliebige erreichbare Markierungen wahr sind. Positive Platzinvarianten sind Gleichungen mit mindestens einem positiven und sonst nicht-negativen Koeffizienten. Details (weit über 90 Minuten) Theorem (Positiver Platzinvariantensatz) Ein Platz p mit einer positiven Platzinvariante ist beschränkt. Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 30

31 Erreichbarkeit bei Petri-Netzen Ist eine Markierung m im Petri-Netz N erreichbar, d. h. gilt m R(N)? Ist R(N) endlich, dann konstruieren und schauen, ob m drin ist. Ist m erreichbar, dann kann man m auch finden, falls R(N) unendlich ist. Was ist, falls m nicht erreichbar ist? Unentscheidbar? Man kann das Problem lösen! Handwerkszeug: Platzinvarianten, Markierungsgleichungen, Transitionsinvarianten Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 31

32 Folgerungen aus Platzinvarianten Folgerung Für jede Markierung m von N gilt, wenn N eine Platzinvariante i hat mit i m i m 0, dann ist m nicht erreichbar. Theorem (Endlichkeitssatz positiver Platzinvarianten) In einem Petri-Netz N sind nur endlich viele Markierungen erreichbar, wenn jeder Platz von N eine positive Platzinvariante hat. Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 32

33 Warum eigentlich spezielle Netzklassen? Viele interessante Probleme auf Petri-Netzen lösbar, unter anderem: Zustandseigenschaften, Erreichbarkeit, Terminierung. Wegen Zustandsraumexplosion werden häufig strukturelle Eigenschaften ausgenutzt. Wegen Zustandsraumexplosion ist es schwierig, strukturelle Eigenschaften zu beweisen. Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 33

34 Free-Choice-Netze Intuition: Wenn sich zwei Transition einen Platz im Vorbereich teilen, dann teilen sie sich alle Plätze im Vorbereich. Siphon/Trap-Eigenschaft führt bei zusammenhängenden Netzen sogar zur Lebendigkeitsaussage. Falls es eine Cluster-Aufteilung des Netzes gibt, so ist ein Netz free-choice (und umgekehrt!). Über den Rangsatz für Free-Choice-Netze lässt sich eine präzise Aussage über Lebendigkeit und Beschränktheit von Netzen treffen. Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 34

35 Wohlgeformte Systemnetze Motivation: Geschäftsprozessmodellierung, Workflow-Modellierung Häufig Endmarkierungen wichtig, vgl. Endzustände. Zusätzliche Eigenschaften gefordert, denn nicht alles, was man in Petri-Netzen ausdrücken kann, muss auch ein Geschäftsprozess können. Sei N ein Petri-Netz und F P eine Endmarkierung. Dann ist N mit Zielmarkierung F wohlgeformt, wenn: 1. F eindeutig ist, 2. N überdeckt ist, d. h. es gibt keine toten Transitionen, und 3. N terminierbar ist. Entscheidung: Bilde N und prüfe auf Lebendigkeit und Beschränktheit. Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 35

36 Ausblick Übung Einführung Workflow-Netze (WFN) als eine Klasse wohlgeformter Systemnetze Eigenschaften (Workflow, Soundness, Erreichbarkeit) von WFNs Modellierung mit WFNs Reaktive Systeme SS 2012 S. Mennicke Einführung in Petri-Netze Seite 36

Einführung in Petri-Netze. Modellierung von Abläufen und Prozessen (1) Abhängigkeitsgraphen: Motivation. Petri-Netze

Einführung in Petri-Netze. Modellierung von Abläufen und Prozessen (1) Abhängigkeitsgraphen: Motivation. Petri-Netze Einführung in Petri-Netze Modellierung von Abläufen und Prozessen () Motivation Abhängigkeitsgraphen: A B 6 C 5 D Petri-Netze Markierungen Invarianten Credits: L. Priese, H. Wimmel: Petri-Netze, Theoretische

Mehr

Kapitel 4: Analyse von Petrinetzen

Kapitel 4: Analyse von Petrinetzen Kapitel 4: Analyse von Petrinetzen 1. Beispiele 2. Analyseansatz 3. Markierungsgraph 4. Beschränktheit 5. State Space Explosion: Beispiel 6. Komplementbildung 7. Zusammenhängend 8. Tot, lebendig, verklemmungsfrei

Mehr

Seminar Analyse von Petrinetz-Modellen

Seminar Analyse von Petrinetz-Modellen Seminar Analyse von Petrinetz-Modellen Vortrag: "Deadlocks und Fallen" II Steve Reich 26.11.2007 Wiederholung Falle Deadlock 1 Wiederholung Deadlock und Falle Nur Deadlock Nur Falle 2 Satz zur strukturellen

Mehr

26.01.2009. Gliederung. Nebenläufigkeit und Fairness. 1. Nebenläufigkeit Lokalitätsprinzip. 2. Betrachtungsweisen von Nebenläufigkeit. 3.

26.01.2009. Gliederung. Nebenläufigkeit und Fairness. 1. Nebenläufigkeit Lokalitätsprinzip. 2. Betrachtungsweisen von Nebenläufigkeit. 3. Gliederung Lokalitätsprinzip Nebenläufigkeit und Fairness Seminar Model lchecking WS 08/09 Interleaving Halbordnung. Fairness Jan Engelsberg engelsbe@informatik.hu berlin.de Was ist Nebenläufigkeit? In

Mehr

Petri-Netze / Eine Einführung (Teil 2)

Petri-Netze / Eine Einführung (Teil 2) Manuel Hertlein Seminar Systementwurf Lehrstuhl Theorie der Programmierung Wiederholung (1) Petri-Netz = bipartiter, gerichteter Graph Aufbau: Plätze (passive Komponenten) Transitionen (aktive Komponenten)

Mehr

Modellierung von Geschäftsprozessen Teil 6 - Petri-Netze

Modellierung von Geschäftsprozessen Teil 6 - Petri-Netze FHTW Berlin FB4, Wirtschaftsmathematik Modellierung von Geschäftsprozessen Teil 6 - Petri-Netze Dr. Irina Stobbe, 2005-2008 Thema - Überblick Petri-Netze Petri-Netze Einführung Funktionsweise Definition

Mehr

Vorlesung Methoden des Software Engineering. Martin Wirsing. Einheit C.3, 9.12.2004

Vorlesung Methoden des Software Engineering. Martin Wirsing. Einheit C.3, 9.12.2004 Block C (Formale Methoden): Petrinetze 9.12.04 1 Vorlesung Methoden des Software Engineering Block C Formale Methoden Petrinetze Martin Wirsing Einheit C.3, 9.12.2004 Block C (Formale Methoden): Petrinetze

Mehr

Einführung Low-Level-Netze High-Level-Netze Referenzen. Petrinetze. Benjamin Daeumlich 30.10.2006

Einführung Low-Level-Netze High-Level-Netze Referenzen. Petrinetze. Benjamin Daeumlich 30.10.2006 30.10.2006 Gliederung 1 2 3 4 . Geschichte Was sind? Petrinetz-Typen Geschichte Geschichte Was sind? Petrinetz-Typen 1962 eingeführt von Carl Adam Petri zuerst nur aber: oft zu einfach für Spezifikationszwecke

Mehr

Einführung - Systeme

Einführung - Systeme Systeme Petri-Netze Gliederung Einführung - Systeme System Zustand Arten von Systemen Petri-Netze Low-Level Petri-Netze High-Level Petri-Netze 2 System griechisch: σύστηµα = das Gebilde, Zusammengestellte,

Mehr

Verhaltensanalysegraph für Petrinetze

Verhaltensanalysegraph für Petrinetze Bachelorarbeit Carl von Ossietzky Universität Oldenburg 9. Januar 215 en 1 Gliederung en en 2 kurze gehen zurück auf Carl Adam Petri (1962). s 1 t 1 s 2 t 2 t 3 2 s 3 Abbildung : Beispiel Petrinetz...

Mehr

6.2 Petri-Netze. kommunizierenden Prozessen in der Realität oder in Rechnern Verhalten von Hardware-Komponenten Geschäftsabläufe Spielpläne

6.2 Petri-Netze. kommunizierenden Prozessen in der Realität oder in Rechnern Verhalten von Hardware-Komponenten Geschäftsabläufe Spielpläne 6.2 Petri-Netze WS 06/07 mod 621 Petri-Netz (auch Stellen-/Transitions-Netz): Formaler Kalkül zur Modellierung von Abläufen mit nebenläufigen Prozessen und kausalen Beziehungen Basiert auf bipartiten gerichteten

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2013/14 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Kapitel 6: Induktives Vorgehen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische

Mehr

Informationsblatt Induktionsbeweis

Informationsblatt Induktionsbeweis Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008

Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008 1. Aufgabenblatt zur Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008 (Dr. Frank Hoffmann) Lösung von Manuel Jain und Benjamin Bortfeldt Aufgabe 2 Zustandsdiagramme (6 Punkte, wird korrigiert)

Mehr

Logische Folgerung. Definition 2.11

Logische Folgerung. Definition 2.11 Logische Folgerung Definition 2.11 Sei 2A eine aussagenlogische Formel und F eine endliche Menge aussagenlogischer Formeln aus A. heißt logische Folgerung von F genau dann, wenn I ( ) =1für jedes Modell

Mehr

Software-Engineering SS03. Zustandsautomat

Software-Engineering SS03. Zustandsautomat Zustandsautomat Definition: Ein endlicher Automat oder Zustandsautomat besteht aus einer endlichen Zahl von internen Konfigurationen - Zustände genannt. Der Zustand eines Systems beinhaltet implizit die

Mehr

Petrinetze. Vorversion eines Skripts zur Vorlesung Petrinetze im SS 2002 an der Universität Paderborn. Ekkart Kindler

Petrinetze. Vorversion eines Skripts zur Vorlesung Petrinetze im SS 2002 an der Universität Paderborn. Ekkart Kindler Petrinetze Vorversion eines Skripts zur Vorlesung Petrinetze im SS 2002 an der Universität Paderborn Ekkart Kindler Version: 0.0.8 vom 18. Juli 2002 ii Vorwort Dies ist eine Vorversion eines Skripts zur

Mehr

Das Briefträgerproblem

Das Briefträgerproblem Das Briefträgerproblem Paul Tabatabai 30. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung und Modellierung 2 1.1 Problem................................ 2 1.2 Modellierung.............................

Mehr

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mehr

Formeln. Signatur. aussagenlogische Formeln: Aussagenlogische Signatur

Formeln. Signatur. aussagenlogische Formeln: Aussagenlogische Signatur Signatur Formeln Am Beispiel der Aussagenlogik erklären wir schrittweise wichtige Elemente eines logischen Systems. Zunächst benötigt ein logisches System ein Vokabular, d.h. eine Menge von Namen, die

Mehr

Motivation. Motivation

Motivation. Motivation Vorlesung Modellierung nebenläufiger Systeme Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen Was sind nebenläufige Systeme? Ganz allgemein: Systeme, bei denen mehrere Komponenten/Prozesse nebenläufig arbeiten

Mehr

Kombinatorische Optimierung

Kombinatorische Optimierung Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesungen 5 und 6 Programm

Mehr

6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum

6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum 6 ALLGEMEINE THEORIE DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES IM VAKUUM 25 Vorlesung 060503 6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum 6.1 Grundaufgabe der Elektrodynamik Gegeben: Ladungsdichte

Mehr

I. Einführung. 1. Ziel und Motivation. Ingenieur, Programmieren?? Ingenieur, Programmieren?? Technische Informatik für Ingenieure (TIfI) WS 2005/2006

I. Einführung. 1. Ziel und Motivation. Ingenieur, Programmieren?? Ingenieur, Programmieren?? Technische Informatik für Ingenieure (TIfI) WS 2005/2006 Technische Informatik für Ingenieure (TIfI) WS 2005/2006 I. Einführung Ekkart Kindler Ziel und Motivation Grundbegriffe Praxis Zwischendurch: Organisatorische Hinweise und Ablauf der Veranstaltung 1. Ziel

Mehr

4. Petri-Netze. Modellierungsaspekte bei Petri-Netzen:

4. Petri-Netze. Modellierungsaspekte bei Petri-Netzen: 4. Petri-Netze Bei Petri-Netzen handelt es sich um formale Konstrukte, die graphisch ausgestaltet sind und sich für die Modellierung und Analyse von Systemen und Prozessen eignen. Besonders gut eignen

Mehr

1 topologisches Sortieren

1 topologisches Sortieren Wolfgang Hönig / Andreas Ecke WS 09/0 topologisches Sortieren. Überblick. Solange noch Knoten vorhanden: a) Suche Knoten v, zu dem keine Kante führt (Falls nicht vorhanden keine topologische Sortierung

Mehr

Analyse von Petrinetz-Modellen: Invarianten

Analyse von Petrinetz-Modellen: Invarianten Analyse von Petrinetz-Modellen: Invarianten Dozent: P. Massuthe Referent: Evgenij Belikov Institut für Informatik Humboldt Universität zu Berlin Blockseminar Analyse von Petrinetz-Modellen 20. Januar 2009

Mehr

Kapitel 3: Petrinetze und Workflow Modellierung

Kapitel 3: Petrinetze und Workflow Modellierung Kapitel 3: Petrinetze und Workflow Modellierung 1. Modellierung 1. Ziel: Analyse 2. Modellierungssprachen: Perspektiven und Anforderungen 2. Petrinetze 1. Geschichtliches 2. Gründe und Bestandteile 3.

Mehr

Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt 4

Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt 4 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter H. Schmitt David Farago, Christoph Scheben, Mattias Ulbrich Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt

Mehr

Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik

Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik Dozent: Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke PARALLELES RECHNEN INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, FAKULTÄT FÜR INFORMATIK KIT Universität des Landes

Mehr

Mathematische Grundlagen

Mathematische Grundlagen Mathematische Grundlagen für Wirtschaftsinformatiker Prof. Dr. Peter Becker Fachbereich Informatik Hochschule Bonn-Rhein-Sieg Wintersemester 2015/16 Peter Becker (H-BRS) Mathematische Grundlagen Wintersemester

Mehr

Automatentheorie Berechnungsmodell für logische Sprachen

Automatentheorie Berechnungsmodell für logische Sprachen Automatentheorie Berechnungsmodell für logische Sprachen Thorsten Haupt Betreuer: Tim Priesnitz -Proseminar Theorie kommunizierender Systeme SS 24- Prof. Gert Smolka, PS-Lab, Universität des Saarlandes

Mehr

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56 5 Beweistechniken Übersicht 5.1 Drei wichtige Beweistechniken................................. 55 5. Erklärungen zu den Beweistechniken............................ 56 Dieses Kapitel ist den drei wichtigsten

Mehr

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also

Mehr

Bericht vom 1. Leipziger Seminar am 25. November 2006

Bericht vom 1. Leipziger Seminar am 25. November 2006 Bericht vom 1. Leipziger Seminar am 25. November 2006 Das Wythoff-Nim-Spiel Wir wollen uns ein Spiel für zwei Personen ansehen, welches sich W.A.Wythoff 1907 ausgedacht hat: Vor den Spielern liegen zwei

Mehr

Lange Nacht der Wissenschaft. Ein Klassiker. Die Mathematik der Kürzesten Wege

Lange Nacht der Wissenschaft. Ein Klassiker. Die Mathematik der Kürzesten Wege Lange Nacht der Wissenschaft Ein Klassiker Die Mathematik der Kürzesten Wege 09.06.2007 schlechte@zib.de Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin (ZIB) http://www.zib.de/schlechte 2 Überblick

Mehr

Stackelberg Scheduling Strategien

Stackelberg Scheduling Strategien Stackelberg Scheduling Strategien Von Tim Roughgarden Präsentiert von Matthias Ernst Inhaltsübersicht Einleitung Vorbetrachtungen Stackelberg Strategien Ergebnisse Seminar Algorithmische Spieltheorie:

Mehr

Studienarbeit: Komposition von Web Services. Luhme IX Christian Stahl

Studienarbeit: Komposition von Web Services. Luhme IX Christian Stahl Studienarbeit: Komposition von Web Services Luhme IX Christian Stahl Motivation Warum ist Komposition von WS wichtig? Idee von WS geschuldet Weshalb ist Komposition von WS problematisch? 1. Syntaktische

Mehr

7. Ringe und Körper. 7. Ringe und Körper 49

7. Ringe und Körper. 7. Ringe und Körper 49 7. Ringe und Körper 49 7. Ringe und Körper In den bisherigen Kapiteln haben wir nur Gruppen, also insbesondere nur Mengen mit lediglich einer Verknüpfung, untersucht. In der Praxis gibt es aber natürlich

Mehr

SYNTHESE ELEMENTARER PETRINETZE

SYNTHESE ELEMENTARER PETRINETZE SYNTHESE ELEMENTARER PETRINETZE OBERSEMINARVORTRAG VON MARTIN CANDROWICZ 27. MAI 2016 GLIEDERUNG 1. PETRINETZE 2. TRANSITIONSSYSTEME 3. MOTIVATION 4. ALGORITHMUS ZUR SYNTHESE ELEMENTARER PETRINETZE 1.

Mehr

Programmieren Formulierung eines Algorithmus in einer Programmiersprache

Programmieren Formulierung eines Algorithmus in einer Programmiersprache Zum Titel der Vorlesung: Programmieren Formulierung eines in einer Programmiersprache Beschreibung einer Vorgehensweise, wie man zu jedem aus einer Klasse gleichartiger Probleme eine Lösung findet Beispiel:

Mehr

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als

Mehr

TEILWEISE ASYNCHRONE ALGORITHMEN

TEILWEISE ASYNCHRONE ALGORITHMEN TEILWEISE ASYNCHRONE ALGORITHMEN FRANK LANGBEIN Literatur: D. Berseas, J. Tsitsilis: Parallel and distributed computatoin, pp. 48 489 URI: http://www.langbein.org/research/parallel/ Modell teilweiser asynchroner

Mehr

Anmerkungen zur Übergangsprüfung

Anmerkungen zur Übergangsprüfung DM11 Slide 1 Anmerkungen zur Übergangsprüfung Aufgabeneingrenzung Aufgaben des folgenden Typs werden wegen ihres Schwierigkeitsgrads oder wegen eines ungeeigneten fachlichen Schwerpunkts in der Übergangsprüfung

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Übung Theoretische Grundlagen

Übung Theoretische Grundlagen Übung Theoretische Grundlagen Berechenbarkeit/Entscheidbarkeit Nico Döttling November 26, 2009 INSTITUT FÜR KRYPTOGRAPHIE UND SICHERHEIT KIT University of the State of Baden-Wuerttemberg and National Laboratory

Mehr

Beweisbar sichere Verschlüsselung

Beweisbar sichere Verschlüsselung Beweisbar sichere Verschlüsselung ITS-Wahlpflichtvorlesung Dr. Bodo Möller Ruhr-Universität Bochum Horst-Görtz-Institut für IT-Sicherheit Lehrstuhl für Kommunikationssicherheit bmoeller@crypto.rub.de 6

Mehr

Zusammenfassung. Satz. 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke (in den Variablen x 1,..., x n ) 2 Seien f : B n B, g : B n B ihre Booleschen Funktionen

Zusammenfassung. Satz. 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke (in den Variablen x 1,..., x n ) 2 Seien f : B n B, g : B n B ihre Booleschen Funktionen Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Einführung in die Theoretische Informatik Woche 6 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Satz 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1

Mehr

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term

Mehr

Bin Packing oder Wie bekomme ich die Klamotten in die Kisten?

Bin Packing oder Wie bekomme ich die Klamotten in die Kisten? Bin Packing oder Wie bekomme ich die Klamotten in die Kisten? Ich habe diesen Sommer mein Abi gemacht und möchte zum Herbst mit dem Studium beginnen Informatik natürlich! Da es in meinem kleinen Ort keine

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

Grundlagen der Künstlichen Intelligenz

Grundlagen der Künstlichen Intelligenz Grundlagen der Künstlichen Intelligenz 27. Aussagenlogik: Logisches Schliessen und Resolution Malte Helmert Universität Basel 28. April 2014 Aussagenlogik: Überblick Kapitelüberblick Aussagenlogik: 26.

Mehr

11. Primfaktorzerlegungen

11. Primfaktorzerlegungen 78 Andreas Gathmann 11 Primfaktorzerlegungen Euch ist sicher aus der Schule bekannt, dass sich jede positive ganze Zahl a als Produkt a = p 1 p n von Primzahlen schreiben lässt, und dass diese Darstellung

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 15: Reguläre Ausdrücke und rechtslineare Grammatiken Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009 1/25 Was kann man mit endlichen

Mehr

Theoretische Grundlagen des Software Engineering

Theoretische Grundlagen des Software Engineering Theoretische Grundlagen des Software Engineering 11: Abstrakte Reduktionssysteme schulz@eprover.org Reduktionssysteme Definition: Reduktionssystem Ein Reduktionssystem ist ein Tupel (A, ) Dabei gilt: A

Mehr

Grundlagen des Maschinellen Lernens Kap. 4: Lernmodelle Teil II

Grundlagen des Maschinellen Lernens Kap. 4: Lernmodelle Teil II 1. Motivation 2. Lernmodelle Teil I 2.1. Lernen im Limes 2.2. Fallstudie: Lernen von Patternsprachen 3. Lernverfahren in anderen Domänen 3.1. Automatensynthese 3.2. Entscheidungsbäume 3.3. Entscheidungsbäume

Mehr

Universität Koblenz-Landau, Abteilung Koblenz FB 4 Informatik. Seminar Entscheidungsverfahren für logische Theorien. Endliche Modelle.

Universität Koblenz-Landau, Abteilung Koblenz FB 4 Informatik. Seminar Entscheidungsverfahren für logische Theorien. Endliche Modelle. Universität Koblenz-Landau, Abteilung Koblenz FB 4 Informatik Seminar Entscheidungsverfahren für logische Theorien Tobias Hebel Koblenz, am 18.02.2005 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung... 3 2 Grundlagen...

Mehr

Nichtmonotones Schließen

Nichtmonotones Schließen Was bisher geschah Wissensrepräsentation und -verarbeitung in Zustandsübergangssystemen klassischer Aussagenlogik: Entscheidungstabellen, -bäume, -diagramme Wissensrepräsentation und -verarbeitung durch

Mehr

Beispiellösungen zu Blatt 111

Beispiellösungen zu Blatt 111 µ κ Mathematisches Institut Georg-August-Universität Göttingen Beispiellösungen zu Blatt 111 Aufgabe 1 Ludwigshafen hat einen Bahnhof in Dreiecksform. Markus, Sabine und Wilhelm beobachten den Zugverkehr

Mehr

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume

Mehr

Dynamische Optimierung. Kapitel 4. Dynamische Optimierung. Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2014/15 160 / 206

Dynamische Optimierung. Kapitel 4. Dynamische Optimierung. Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2014/15 160 / 206 Kapitel 4 Dynamische Optimierung Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2014/15 160 / 206 Inhalt Inhalt 4 Dynamische Optimierung Allgemeiner Ansatz und Beispiele Stochastische dynamische

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

Bäume und Wälder. Bäume und Wälder 1 / 37

Bäume und Wälder. Bäume und Wälder 1 / 37 Bäume und Wälder Bäume und Wälder 1 / 37 Bäume Ein (ungerichteter) Baum ist ein ungerichteter Graph G = (V, E), der zusammenhängend ist und keine einfachen Kreise enthält. Bäume und Wälder 2 / 37 Bäume

Mehr

Probleme beim Arbeiten mit Variablen, Termen und Gleichungen

Probleme beim Arbeiten mit Variablen, Termen und Gleichungen Probleme beim Arbeiten mit Variablen, Termen und Gleichungen Tage des Unterrichts in Mathematik, Naturwissenschaften und Technik Rostock 2010 Prof. Dr. Hans-Dieter Sill, Universität Rostock, http://www.math.uni-rostock.de/~sill/

Mehr

Prädikatenlogik - Micromodels of Software

Prädikatenlogik - Micromodels of Software Prädikatenlogik - Micromodels of Software Philipp Koch Seminar Logik für Informatiker Universität Paderborn Revision: 30. Mai 2005 1 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 3 2 Modelle 3 2.1 Definition eines Modells.......................

Mehr

Kompetitive Analysen von Online-Algorithmen

Kompetitive Analysen von Online-Algorithmen Kompetitive Analysen von Online-Algorithmen jonas echterhoff 16. Juli 004 1 Einführung 1.1 Terminologie Online-Algorithmen sind Algorithmen, die Probleme lösen sollen, bei denen Entscheidungen getroffen

Mehr

Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit

Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 44 Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit Def.: eine Formel ϕ heißt erfüllbar, wennesein I gibt, so dass I = ϕ

Mehr

Modellierungsmethoden - Kapitel 3

Modellierungsmethoden - Kapitel 3 3. Petri-Netze Bei Petri-Netzen handelt es sich um formale Konstrukte, die graphisch ausgestaltet sind und sich für die Modellierung und Analyse von Systemen und Prozessen eignen. Besonders gut eignen

Mehr

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie. Zapper und

Wahrscheinlichkeitstheorie. Zapper und Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Slide 1 Wahrscheinlichkeitstheorie die Wissenschaft der Zapper und Zocker Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Slide 2 Münzwürfe, Zufallsbits Elementarereignisse mit Wahrscheinlichkeiten

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik Grundlagen der Theoretischen Informatik 3. Endliche Automaten (V) 21.05.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Determinierte endliche Automaten (DEAs) Indeterminierte

Mehr

Grundlagen Theoretischer Informatik I SoSe 2011 in Trier. Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de

Grundlagen Theoretischer Informatik I SoSe 2011 in Trier. Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de Grundlagen Theoretischer Informatik I SoSe 2011 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Grundlagen Theoretischer Informatik I Gesamtübersicht Organisatorisches; Einführung Logik

Mehr

2. Vorlesung. Slide 40

2. Vorlesung. Slide 40 2. Vorlesung Slide 40 Knobelaufgabe Was tut dieses Programm? Informell Formal Wie stellt man dies sicher? knobel(a,b) { Wenn a = 0 dann return b sonst { solange b 0 wenn a > b dann { a := a - b sonst b

Mehr

Theoretische Grundlagen des Software Engineering

Theoretische Grundlagen des Software Engineering Theoretische Grundlagen des Software Engineering 7: Einführung Aussagenlogik schulz@eprover.org Logisches Schließen 2 gold +1000, 1 per step, Beispiel: Jage den Wumpus Performance measure death 1000 10

Mehr

Seminar über Software Model Checking Vortrag zum Thema Predicate Abstraction

Seminar über Software Model Checking Vortrag zum Thema Predicate Abstraction Seminar über Software Model Checking Vortrag zum Thema Predicate Abstraction Robert Mattmüller Betreuer: Prof. Dr. Stefan Leue Wintersemester 2003/2004 1. Dezember 2003 1 Software Model Checking Predicate

Mehr

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Kreisbasen, Matroide & Algorithmen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales

Mehr

1 Mathematische Grundlagen

1 Mathematische Grundlagen Mathematische Grundlagen - 1-1 Mathematische Grundlagen Der Begriff der Menge ist einer der grundlegenden Begriffe in der Mathematik. Mengen dienen dazu, Dinge oder Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.

Mehr

Persönlichkeit und Persönlichkeitsunterschiede

Persönlichkeit und Persönlichkeitsunterschiede 9 Persönlichkeit und Persönlichkeitsunterschiede 1 Inhalt Die Beschäftigung mit der menschlichen Persönlichkeit spielt in unserem Alltag eine zentrale Rolle. Wir greifen auf das globale Konzept Persönlichkeit

Mehr

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.

Mehr

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz O Forster: Prizahlen 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz 81 Definition Sei eine natürliche Zahl 2 Eine ganze Zahl a heißt uadratischer Rest odulo (Abkürzung QR, falls die Kongruenz x 2 a od eine Lösung

Mehr

25 kann ohne Rest durch 5 geteilt werden! ist wahr

25 kann ohne Rest durch 5 geteilt werden! ist wahr Lehrbrief 2: Lektion 8 - C -Praxis 4-1 - 5.2 Einfache Entscheidungen mit if und die Vergleichsoperatoren Nun tauchen wir immer tiefer in die Geheimnisse von C ein und beschäftigen uns mit einem sehr wichtigen

Mehr

Inhalt. 1. Einführung in die Informatik. 2. Algorithmen Definition, Eigenschaften, Entwurf Darstellung von Algorithmen Beispiele.

Inhalt. 1. Einführung in die Informatik. 2. Algorithmen Definition, Eigenschaften, Entwurf Darstellung von Algorithmen Beispiele. 1. Einführung in die Informatik Inhalt 2. Algorithmen Definition, Eigenschaften, Entwurf Darstellung von Algorithmen Beispiele Peter Sobe 1 Darstellung von Algorithmen Aus den Einführungsbeispielen und

Mehr

Semantik von Formeln und Sequenzen

Semantik von Formeln und Sequenzen Semantik von Formeln und Sequenzen 33 Grundidee der Verwendung von Logik im Software Entwurf Syntax: Menge von Formeln = Axiome Ax K ist beweisbar Formel ϕ beschreiben Korrektkeit Vollständigkeit beschreibt

Mehr

Graphen: Einführung. Vorlesung Mathematische Strukturen. Sommersemester 2011

Graphen: Einführung. Vorlesung Mathematische Strukturen. Sommersemester 2011 Graphen: Einführung Vorlesung Mathematische Strukturen Zum Ende der Vorlesung beschäftigen wir uns mit Graphen. Graphen sind netzartige Strukturen, bestehend aus Knoten und Kanten. Sommersemester 20 Prof.

Mehr

Terme stehen für Namen von Objekten des Diskursbereichs (Subjekte, Objekte des natürlichsprachlichen Satzes)

Terme stehen für Namen von Objekten des Diskursbereichs (Subjekte, Objekte des natürlichsprachlichen Satzes) Prädikatenlogik Man kann den natürlichsprachlichen Satz Die Sonne scheint. in der Prädikatenlogik beispielsweise als logisches Atom scheint(sonne) darstellen. In der Sprache der Prädikatenlogik werden

Mehr

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 2 Optimale Codes Optimalität bezieht sich auf eine gegebene Quelle, d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Symbolen s 1,..., s q des Quellalphabets

Mehr

Gemeinsamkeiten und Unterschiede bei der Anwendung für die Analyse von Geschäftsprozessen

Gemeinsamkeiten und Unterschiede bei der Anwendung für die Analyse von Geschäftsprozessen Gemeinsamkeiten und Unterschiede bei der Anwendung für die Analyse von Geschäftsprozessen Gliederung Geschäftsprozess Einführung der Modellierungskonzepte PetriNetz und EPK Transformation von EPK in PN

Mehr

Organisatorisches. Zeit und Ort: Mo 12-14 MZH 1450 Mi 16-18 MZH 1460. Prof. Carsten Lutz Raum Cartesium 2.59 Tel. (218)-64431 clu@uni-bremen.

Organisatorisches. Zeit und Ort: Mo 12-14 MZH 1450 Mi 16-18 MZH 1460. Prof. Carsten Lutz Raum Cartesium 2.59 Tel. (218)-64431 clu@uni-bremen. Logik Organisatorisches Zeit und Ort: Mo 12-14 MZH 1450 Mi 16-18 MZH 1460 Prof. Carsten Lutz Raum Cartesium 2.59 Tel. (218)-64431 clu@uni-bremen.de Position im Curriculum: Wahlbereich Bachelor-Basis, Theoretische

Mehr

Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik

Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik Hagen Knaf Studiengang Angewandte Mathematik Hochschule RheinMain 21. Oktober 2015 Vorwort Das vorliegende Skript enthält eine Zusammenfassung verschiedener

Mehr

Wissensbasierte Systeme

Wissensbasierte Systeme WBS4 Slide 1 Wissensbasierte Systeme Vorlesung 4 vom 03.11.2004 Sebastian Iwanowski FH Wedel WBS4 Slide 2 Wissensbasierte Systeme 1. Motivation 2. Prinzipien und Anwendungen 3. Logische Grundlagen 4. Suchstrategien

Mehr

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann 22 Andreas Gathmann 3. Zusammenhang Eine der anschaulichsten Eigenschaften eines topologischen Raumes ist wahrscheinlich, ob er zusammenhängend ist oder aus mehreren Teilen besteht. Wir wollen dieses Konzept

Mehr

Modellierung biologischer. Christian Maidorfer Thomas Zwifl (Seminar aus Informatik)

Modellierung biologischer. Christian Maidorfer Thomas Zwifl (Seminar aus Informatik) Modellierung biologischer Prozesse Christian Maidorfer Thomas Zwifl (Seminar aus Informatik) Überblick Einführung Arten von Modellen Die stochastische Pi-Maschine Warum Modelle Die Biologie konzentriert

Mehr

Suche schlecht beschriftete Bilder mit Eigenen Abfragen

Suche schlecht beschriftete Bilder mit Eigenen Abfragen Suche schlecht beschriftete Bilder mit Eigenen Abfragen Ist die Bilderdatenbank über einen längeren Zeitraum in Benutzung, so steigt die Wahrscheinlichkeit für schlecht beschriftete Bilder 1. Insbesondere

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 3. Aussagenlogik Einführung: Logisches Schließen im Allgemeinen Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Beispiel:

Mehr

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte 50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien

Mehr

Satz. Für jede Herbrand-Struktur A für F und alle t D(F ) gilt offensichtlich

Satz. Für jede Herbrand-Struktur A für F und alle t D(F ) gilt offensichtlich Herbrand-Strukturen und Herbrand-Modelle Sei F eine Aussage in Skolemform. Dann heißt jede zu F passende Struktur A =(U A, I A )eineherbrand-struktur für F, falls folgendes gilt: 1 U A = D(F ), 2 für jedes

Mehr