Modelle der Mengenlehre

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1 Vorlesung aus dem Sommersemester 2012 Modelle der Mengenlehre Prof. Dr. Hans-Dieter Donder getext von Chris Ittner Inhaltsverzeichnis 0 Axiomatische Mengenlehre 2 1 Innere Modelle 15 2 Generische Erweiterungen 30 3 Die Souslinhypothese 38

2 0 Axiomatische Mengenlehre Axiomatische Mengenlehre Wir entwickeln die Theorie ZF(C) (Zermelo-Fraenkel Mengenlehre (mit Auswahlaxiom)). ZF C ist eine Theorie erster Stufe mit nur einem nichtlogischen Zeichen, nämlich dem zweistelligen Relationszeichen. Wir lesen x y als x ist Element von y. x y ist Abkürzung für x y. Als erstes Axiom von ZF haben wir: (A1) (Extensionalitätsaxiom) z(z x z y) x = y Die Sprache ZF ist so arm, dass wir auf systematische Weise Abkürzungen einführen. Dies geschieht auf der Metaebene durch Einführung von Klassen(-termen) wie folgt: x ist eine Klasse Ist ϕ(x) eine Formel, die eventuell schon Klassen enthält, so ist: A = {x ϕ(x)} Klasse lies: Die Klasse aller x mit ϕ(x). Wir benutzen große Buchstaben als Metavariablen für Klassen. Für Klassen erlauben wir folgende Regeln: (I) A = B x (x A x B) (II) z {x ϕ(x)} ϕ(z) (III) B {x ϕ(x)} z (B = z ϕ(z)) A B ist Abkürzung für x (x A x B). Setze noch V = {x x = x} Allklasse = {x x x} leere Klasse A B = {x x A x B} A B = {x x A x B} A = {x x A} A B = {x x A x B} Wir lesen A V also A ist Menge. Setze R = {x x x}. Es gilt (1): R V. Denn: Annahme R V. Dann R R R R.. (A2) (Nullmengenaxiom) V Setze {x 0,..., x n } = {z z = x 0... z = x n }. (A3) (Paarmengenaxiom) x, y {x, y} V 2

3 0 Axiomatische Mengenlehre Setze A = {x y A x y} A = {x y A x y} (A4) (Vereinigungsaxiom) x x V Weiter gilt (2) x y V. Beweis. x y = {x, y} V. Durch Induktion folgt dann {x 0,..., x n } V. Definition. x, y = {{x}, {x, y}}. Es gilt (3): (a) x, y V (b) x, y = u, v x = u y = v allgemeiner: n-tupel: Für Klassen A, B setze: x = x x 0,, x n+1 = x 0,..., x n, x n+1 A B = { x, y x A y B} A n = { x 1,..., x n x 1 A... x n A} A 1... A n = (((A 1 A 2 ) A 3 )...) A n R ist eine Relation, wenn R V 2. Ist R eine Relation, so schreibe oft xry statt x, y R. dom(r), rng(r), R S, R 1 wie üblich. Etwas ungewöhnlich: R A = {y x A xry} R S = { x, z y xsy yrz} Bild von A unter R F ist Funktion (F ist Relation und x, y, z ( x, y F x, z F y = z) Die übliche Notation F (x) für x dom(f ) = dasjenige y mit x, y F F A = { x, y F x A} (A5) (Ersetzungsschema) F Funktion x F x V Ohne Abkürzung: Dann Sei ϕ(x, y, w) eine Formel w [( x y z(ϕ(x, y, w) ϕ(x, z, w) y = z) u v y (y v x u ϕ(x, y, w))] 3

4 0 Axiomatische Mengenlehre Als Folgerung erhalten wir: (4) (Aussonderung): x A x V Beweis. A x = (id A) x, wobei id = { x, x xv } Also auch: x (A x A V ) und damit wegen R V auch V V Setze P(x) = {z z x} (A6) (Potenzmengenaxiom) x P(x) V Somit auch (5) u v V. Denn u v P (P(P(u v))). Schließlich (A7) (Fundierungsaxiom) x (x z x z x = ). Definition. Seien s = u, r und s = u, r (binäre) Strukturen, d.h. r u 2, r u 2. Wir schreiben: f : s s f : u u ist Bijektion und für alle a, b u: (arb f(a)rf(b)) Definition. (a) Sei s = (u, r) eine Struktur. s ist eine endlich-geordnete Struktur (EGS) r ist irreflexiv, transitiv, total und jedes a u mit a besitzt Minimum und Maximum bezüglich r. (b) u ist endlich es existiert r u 2 mit u, r EGS. (c) u ist unendlich u ist nicht endlich. Definition. A ist transitiv x A x A x, y (y x A y A) Satz 1. Sei s = u, r EGS. Dann existiert genau ein Paar f, v mit v transitiv und f : s v,. Beweis. zur Existenz: Für x u setze s x = u x, r x, wobei u x = {z zrx z = x}, r x = r u 2 x. s x ist EGS. Sei o.e u. Setze a = {x u g, ω (ω transitiv g : s x ω, )}. Sei z das Maximum von a. Man zeigt, dass z das Maximum von u ist und ist fertig. Definition. Sei s EGS. otp(s) = das transitive v mit s = v, ω = {otp(s) s EGS}. Elemente von ω heißen natürliche Zahlen (A8) (Unendlichkeitsaxoim) ω V Die Axiome (A1) (A8) bilden die Theorie ZF. 4

5 0 Axiomatische Mengenlehre Bemerkung. ω = {v v, EGS, v transitiv}. Setze 0 =, s(x) = x {x}. Es gilt: 0 ω und n w s(n) ω. Setze 1 = s(0), 2 = s(1), usw. Für m, n ω setze: m < n m n. ω, < ist geordnete Struktur. Es gilt: jedes a ω mit a besitzt Minimum. Satz 2 (Rekursionssatz für ω). Sei G: ω V B. Dann existiert genau ein F : ω B mit n F (n) = G(n, F n). Beweis. Eindeutigkeit durch Induktion. Existenz: Setze P = {g g Funktion, dom g ω, rng(g) B, n < dom g g(n) = G(n, g n)} und F = P. F tut s! Hiermit können wir rekursiv +, auf ω definieren. Es gilt dann insbesondere s(n) = n + 1. Sei R eine Relation. A ist R-abgeschlossen x A {z zrx} A Sei R eine Relation mit x {z zrx} V. Dann existiert für alle a ein b a mit b R-abgeschlossen. Denn definiere rekursiv und setze b = {F (n) n ω}. Definition. Sei R eine Relation. F (0) = a (a) x ist R-minimal in A, wenn x A und F (n + 1) = F (n) {z y F (n) zry} {z zrx} A = (b) R ist fundiert jedes a besitzt R-minimales Element. (c) R ist stark fundiert R ist fundiert und x {z zrx} V. Beispiel. ist stark fundiert. Bemerkung. Sei R stark fundiert und A eine Klasse. Dann besitzt A ein R-minimales Element. Beweis. Sei x A. Wähle ein R-abgeschlossenes b mit x b und setze a = A b. Sei z ein R-minimales Element von a. Dann ist z ein R-minimales Element von A. Für stark fundierte Relation R A 2 gilt das Induktionsprinzip, d.h. es gelte: Dann gilt x A ϕ(x). x A ( z (zrx ϕ(z)) ϕ(x)) 5

6 0 Axiomatische Mengenlehre Beweis. Annahme: non x A ϕ(x). Setze Z = {x A ϕ(x)}. Also Z. Sei a ein R-minimales Element von Z Satz 3 (Rekursionssatz für stark fundierte Relationen). Sei R A 2 stark fundiert und G: A V B. Dann existiert genau ein F : A B mit x A F (x) = G(x, F {z zrx}) Beweis. Eindeutigkeit durch Induktion. Zur Existenz: Setze P = { f f Funktion, dom f A, rng f B, dom f ist R-abgeschlossen und x dom f f(x) = G(x, f {z zrx}) } Setze F = P. Wir zeigen: F ist wie gewünscht. Hierzu zeige: (i) f, f P, dom f = dom f f = f (ii) f P, v R-abgeschlossen f v P (iii) f, f P f (dom f dom f) = f (domf domf) (iv) a A f P a dom f (i)-(iii) sind leicht. Zu (iv): Beweis durch R-Induktion. Sei a A gegeben. Für bra sei c b die kleinste R- abgeschlossene Menge mit b c b. Nach Induktionsvoraussetzung (und (i), (iii)) existiert für alle bra genau ein f b P mit dom f b = c b. Setze h = {f b bra}. Nach (iii) ist h P, da dom h = {c b bra} ist R-abgeschlossen. Setze nun f = h { a, G(a, h {z zra}) }. Dann ist f P, a dom f. Aus (i)-(iv) folgt alles. Satz 4 (Mostowskischer Isomorphiesatz). Sei R A 2 stark fundiert und extensional, d.h. x, y A ({z zrx} = {z zry} x = y) Dann existiert genau ein Paar F, X mit X transitiv und F : A, R X,. Zusatz: Es gilt x A F (x) = F {z zrx} Beweis. Zur Existenz: Definiere nach Rekursionssatz F : A V so, dass x A F (x) = F {z zrx}. Setze X = rng(f ). Dann ist X transitiv. Zeige, dass F injektiv ist. Die Isomorphiebedingung folgt sofort. Definition. Sei A, R eine Struktur, d.h. R A 2. (a) A, R ist wohlgeordnete Struktur (WS) A, R ist geordnete Struktur und R ist fundiert. 6

7 0 Axiomatische Mengenlehre (b) A, R ist stark wohlgeordnete Struktur (SWS) A, R ist geordnete Struktur und stark fundiert. Bemerkung. Sei A, R SWS. Dann besitzt jedes Z A mit Z ein Minimum. Bemerkung. Sei A, R geordnete Struktur. Dann ist A, R extensional. Somit können wir nach Satz 4 definieren: Sei S = A, R SWS. Setze otp(s) = das transitive X mit S = X, Setze On = {otp(s) s WS}. Elemente von On heißen Ordinalzahlen. Variablen hierfür α, β, γ, δ,.. Definition. v heißt konnex x, y v(x = y oder x y oder y x). Es gilt On = {v v transitiv und konnex}. Beweis. : klar nach Definition. : Sei v transitiv und konnex. Es genügt zu zeigen, dass v, WS. Dann ist v = otp( v, ) On. Wegen Fundiertheitsaxiom genügt es aber hierfür zu zeigen, dass v 2 transitiv ist. Sei hierzu x, y, z v mit x y und y z. Wegen Fundiertheit ist dann x = z und z x nicht möglich. Wegen v konnex also x z. Hiermit sieht man dann leicht: ω On ω On α s(α) On Für α, β On definiere: α < β α β α β (α < β oder α = β) Bemerkung. α β α β. Wir benötigen: (*) Sei a α, a α, a transitiv. Dann gilt a α. Also: α β α β. Satz 5. (a) On ist transitiv (b) On, < ist SWS (c) On V (d) α, β (α < β s(α) β) 7

8 0 Axiomatische Mengenlehre Beweis. zu (a): Sei α On und x α. Dann ist x konnex, da x α wegen α transitiv. Also genügt es zu zeigen, dass x transitiv ist. Sei hierzu y x und z y. Dann sind z, y α wegen α transitiv. Also, da α, geordnete Struktur, z x. Zu (b): Da < stark fundiert ist, ist nur zu zeigen, dass On, < eine geordnete Struktur ist. Irreflexivität und Transitivität sind klar. Zur Totalität: Sei α, β On. Zu zeigen: α β oder β α -Annahme: nicht. Dann ist α β α, β, α β α, α β β. Aber α β ist transitiv. Also nach (*) α β α β, was ein Widerspruch ist. Zu (c): -Annahme On V. Dann On = otp( On, < ) On.. Zu (d): : α β s(α) = α {α} β : s(α) = α {α} β α β Bemerkung. Falls a On, so existiert γ On mit a γ. Denn setze einfach γ = a, falls a kein Maximum besitzt. Definition. Sei α On. α ist Limesordinalzahl (α 0 und γ < α δ γ < δ < α) Notation. lim(α) Beispiel. lim(ω) Es gilt dann: α = 0 oder β α = s(β) oder lim(α) Damit erhält man folgendes Induktionsprinzip und Rekursionsprinzip für Ordinalzahlen: (transfinite Induktion) Es gelte: (a) ϕ(0) (b) α (ϕ(α) ϕ(s(α)) (c) Falls lim(λ), so: ( α < λ ϕ(α) ϕ(λ)) Dann gilt α ϕ(α). (transfinite Rekursion) Seien G i : On V B, i = 0, 1 und b B. Dann existiert genau ein F : On B mit (i) F (0) = b (ii) F (s(α)) = G 0 (α, F (α)) (iii) F (λ) = G 1 (λ, F λ) falls lim(λ). Man kann dann Ordinalzahloperationen +, auf On rekursiv definieren durch: α + 0 = α α + s(β) = s(α + β) 8

9 0 Axiomatische Mengenlehre α + λ = sup γ<λ (α + γ), falls lim(λ) α 0 = 0 α s(β) = α β + α α λ = sup γ<λ α γ, falls lim(λ) Haben also insbesondere s(α) = α + 1. Spielen keine große Rolle. Sind nicht kommutativ. ω = 1 + ω ω + 1 ω = 2 ω ω 2 = ω + ω Definiere nun rekursiv V α α On durch: V 0 = V α+1 = P(V α ) V λ = V α falls lim(λ) α<λ Satz 6. (a) V β ist transitiv. (b) α β V α V β (c) α < β V α V β (d) V α On = α Beweis. Simultan durch Induktion über β: β = 0: klar. β β + 1: zu (b): V β V β+1, denn: a V β a V β a V β+1 zu (a): a V β+1 a V β V β+1 zu (c): Sei α < β + 1. Falls α < β, so V α V β V β+1 Außerdem nach Def. V β V β+1. zu (d): : γ V β+1 On γ V β On = β γ β : β V β V β+1, β V β+1. Also β + 1 = β {β} V β+1 lim(λ) (a), (b), (c) sind klar. zu (d): V γ On = γ<λ (V γ On) = γ<λ γ = λ. Satz 7. V = α On V α Beweis. : klar. : Zeige durch -Induktion a α a V α Sei a gegeben. Wegen Induktionsvoraussetzungen können wir f : a On definieren durch f(x) = min{γ x V γ }. Wähle α On mit rng(f) α. Dann gilt a V α, also a V α+1 9

10 0 Axiomatische Mengenlehre Somit können wir eine Rangabbildung rn: V On definieren durch Es gilt dann für Klasse A: rn(a) = min{α a V α } A V {rn(x) x A} ist beschränkt in On Definition. x y es existiert Bijektion f : x y (x, y sind gleichmächtig) x y es existiert Injektion f : x y (Schröder-Bernstein) x y und y x x y Satz 8 (Cantor). x P(x), x P(x) Beweis. Erster Teil ist klar, da f(z) = {z} eine Injektion von x nach P(x) liefert. Für den zweiten Teil zeigen wir sogar, dass es kein surjektives g : x P(x) gibt. Sei hierzu g : x P(x). Setze a = {z x z g(z)} x Dann ist a rng(g). Denn: Annahme: a = g(z 0 ) mit z 0 x. Dann z 0 a z 0 g(z 0 ) z 0 a Definition. Card = {κ α < κ κ α} ist die Klasse der Kardinalzahlen. Bemerkung. ω + 1 Card. Aber: α ω α + 1 Card Bemerkung. κ Card α < κ κ α. Definition. Sei A On. A ist abgeschlossen, wenn für alle b A: sup b A. Bemerkung. Card ist abgeschlossen. Beweis. Sei = b Card und κ = sup b. Annahme κ Card. Dann existiert α < κ mit κ α. Wähle λ b mit α < λ. Dann λ κ, also auch λ α im Widerspruch zu λ Card. Satz 9. x α α x Beweis. Sei x gegeben. Setze a = { u, r u x, u, r WS}. (beachte: a V ). Dann existiert α mit otp(s) < α für alle s a. Wir zeigen α x. Annahme: Doch. Sei also f : α x injektiv. Setze u = rng(f) und definiere r u 2 durch: yrz f 1 (y) < f 1 (z) Setze s = u, r. Dann ist f : α, < u, r. Aber s a, also otp(s) < α, was ein Widerspruch ist. 10

11 0 Axiomatische Mengenlehre Somit ist Card unbeschränkt in On, denn: Sei γ gegeben, setze A = {α α γ}. Dann ist A. Setze κ = min A. Dann ist κ Card, κ > γ. Definition. Für ein κ Card w setze kardinaler Nachfolger von κ κ + = min{λ Card λ > κ} Definition. Definiere ω α α On rekursiv durch: Dann ist Card ω = {ω α α On}. Satz 10. Es sind äquivalent (1) u r u 2 u, r WS. (2) u α u α (3) x, y (x y oder y x) ω 0 = ω ω α+1 = ω α + ω λ = sup ω α, falls lim(λ) α<λ Beweis. (1) (2): Sei u, r WS, α = otp( u, r ). Sei f : u, r α, <. Liefert u α. (2) (3): Seien x, y gegeben. Gemäß (2) wähle α, β mit x α, y β. Dann α β oder β α. Sei ohne Einschränkung α β. Dann x α β y, d.h. x y (3) (1): Sei u gegeben. Nach Satz 9 existiert α mit α u. Also nach (3) angewandt auf u, α gilt u α. Sei f : u α injektiv. Definiere r u 2 durch zrz f(z) < f(z). Dann u, r WS. Definition. Sei u V und f : u V. f ist Auswahlfunktion für u x u (x f(x) x) (AC): u f (f ist Auswahlfunktion für u). Satz 11. Es sind äquivalent: (1) (AC) (2) u α u α 11

12 0 Axiomatische Mengenlehre Beweis. (2) (1): Sei u gegeben. Gemäß (2) sei g : u α Bijektion. Definiere f : u V durch { 0 falls x = f(x) = g 1 (min g x) sonst f ist Auswahlfunktion für u. (1) (2): Sei u gegeben. Sei g : P(n) { } u eine Auswahlfunktion für P(u) { }. Setze D = {h u rng(h) }. Definiere G: D u durch G(h) = f(u rng(h). Nach Rekursionssatz existiert F : Γ u mit Γ = On oder Γ On und (i) α < Γ F (α) = G(F α) (ii) Γ = On oder (Γ On und F D) F ist injektiv, denn nach (i): α < Γ F (α) rng(f α) Somit wegen u V ist Γ On. Dann wegen (ii) ist F D, d.h. aber u rng(f ) =, d.h. rng(f ) = u. Somit ist u Γ, Γ On. (A9) (Auswahlaxiom) (AC) Sei ZF C die Theorie (A1)-(A9). Wird arbeiten nun in ZF C. Wegen Satz 11 können wir dann definieren: x = min{α On x α} x = die Mächtigkeit von x. Es gilt x Card. Weiterhin ist Card = {α α = α}. Ferner gilt x y x y und x y x = y. Bemerkung. Sei f : x y surjektiv. Dann gilt y x. Wir definieren nun Kardinalzahloperationen. Setze κ + λ = (κ {0}) (λ {1}) κ λ = κ λ Warnung: ist verschieden von Ordinalzahladdition bzw. Ordinalzahlmultiplikation. Im folgenden ist immer +, wie oben gemeint. Satz 12. Für alle x Card ω gilt κ κ = κ. Beweis. Definiere Relation < auf On On durch α, β < γ, λ max{α, β} < max{γ, λ} oder (max{α, β} = max{γ, λ} und α < γ) oder (max{α, β} = max{γ, λ} und α = γ und β < λ) Man sieht leicht, dass L = On On, < eine SW S ist. Dann ist aber (!) otp(l) = On, denn otp(l) On, otp(l) ist transitiv und echt Klasse. Sei also F : L On, <. Es gilt also ( ) F ( γ, λ ) = F { α, β < γ, λ } 12

13 0 Axiomatische Mengenlehre Wir zeigen nun: ( ) für alle κ Card ω F κ κ κ. Dann sind wir fertig, denn da F injektiv ist, folgt aus ( ) für κ Card ω κ κ = κ κ κ, was genügt, da κ κ κ trivial ist. Wir zeigen ( ) durch Induktion, d.h. wir zeigen durch Induktion über ν, dass F (ω ν ω ν ) ω ν gilt. ν = 0 Seien m, n ω. Setze q = max{m, n} + 1. Dann gilt { r, s, r, s < m, n } q q und daher nach ( ) F ( r, s ) F (q q). Also ist F ( m, n ) endlich und daher F ( r, s ) ω. ν ν + 1 Seien γ, ρ < ω ν+1 und setze µ = max{γ, ρ} + 1. Dann gilt wieder F ( γ, ρ ) F (γ γ). Aber γ γ = γ γ ω ν ω ν. Aber nach Ind. vor. ist ω ν ω ν = ω ν. Insgesamt also F ( γ, ρ ) ω ν, d.h. F ( γ, ρ ) < ω ν+1. lim(λ) Dann F (ω λ ω λ ) = α<λ F (ω α ω α ) α<λ ω α = ω λ Korollar. Seien κ, λ Card {0}, max{κ, λ} ω. Dann κ + λ = κ λ = max{κ, λ}. Beweis. Setze τ = max{κ, λ}. Dann τ κ + λ, κ λ τ τ = τ. Bemerkung. Sei I V. Dann gilt a i I sup{ a i i I} i I Beweis. Setze κ = sup{ a i i I} Für i I sei f i : a i a i bijektiv. Definiere g : i I a i I κ wie folgt: Sei x i I a i. Wähle ein i mit x a i und setze g(x) = i, f i (x). g ist injektiv. Also i I a i I κ = I κ. Definition. Sei λ Limesordinalzahl. Setze cf(λ) = min{ a a λ ist unbeschränkt in λ} Konfinalität von λ. Also trivialerweise cf(λ) λ. λ ist regulär, wenn cf(λ) = λ. Satz 13. Sei τ = cf(λ). Dann existiert f : τ λ mit (i) f ist streng monoton (ii) falls γ < τ Limesordinalzahl, so ist f(γ) = sup α<γ f(α). (iii) f ist konfinal d.h. rng(f) ist unbeschränkt in λ. Beweis. Sei a λ unbeschränkt mit a = τ. Sei g : τ a eine Bijektion. Definiere nun f : τ λ rekursiv. Setze f(0) = 0. Für α < τ setze f(α + 1) = max{g(α), f(α) + 1}. Ist γ < λ Limesordinalzahl, so ist f γ beschränkt in λ, da f γ < τ. Wir können also setzen f(γ) = sup α<γ f(α). f tut s. 13

14 0 Axiomatische Mengenlehre Bemerkung. Ist f wie in Satz 13 und C = rng(f), so ist otp(c) = τ und C abgeschlossen und unbeschränkt in λ. Korollar (zu Satz 13). cf(λ) ist regulär. Beweis. Sei τ = cf(λ) und f wie in Satz 13. Sei b τ unbeschränkt in τ. Dann ist f b unbeschränkt in λ. Also b = τ. Offenbar ist jede reguläre Ordinalzahl eine unendliche Kardinalzahl. Aber die Umkehrung ist falsch, da z.b. cf(ω ω ) = ω, da {ω n n ω} unbeschränkt in ω ω ist Satz 14. Sei κ Card ω. Dann ist κ + regulär. Beweis. Sei a κ + mit a κ. Dann gilt a a sup{ α α a} κ κ = κ. Also ist a beschränkt in κ +. Satz 15 (König). Seien I V und κ i i I, τ i i I zwei Folgen mit κ i Card und τ i < κ i (τ i On). Dann gilt: (τ i {i}) < κ i i I i I Beweis. Setze A = i I τ i {i}, B = i I κ i. Es genügt zu zeigen, dass es kein surjektives h: A B gibt. Sei also h: A B. Wir zeigen rng(h) B. Für i I setze a i = {h( γ, i )(i) γ < τ i } κ i. Dann gilt a i τ i < κ i. Also κ i a i. Definiere nun f i I κ i durch f(i) = min(κ i a i ). Dann ist f rng(h), denn sei g rng(h), etwa g = h( γ, i ). Dann g(i) = h( γ, i )(i) a i, aber f(i) a i. Also f g. Korollar. Voraussetzugen wie oben. Dann gilt: τ i < κ i i I i I Zur Erinnerung: u v = {f f : u v} Für κ, λ Card setze κ λ = λ κ Es gilt also (charakteristische Funktion!) 2 κ = P(κ) Man zeigt leicht, dass für κ, τ, ρ Card (κ τ ) ρ = κ τ ρ Folgerung Sei κ Card ω. Dann ist 2 κ = κ κ. Beweis. 2 κ κ κ (2 κ ) κ = 2 κ κ = 2 κ Wir erhalten nun folgende Verstärkung des Satzes von Cantor. Satz 16. Für alle κ Card ω ist cf(2 κ ) > κ. 14

15 1 Innere Modelle Beweis. Sei g : κ 2 κ. Wir zeigen, dass g nicht konfinal ist. Nun gilt für alle α < κ g(α) < 2 κ. Also nach obigem Korollar 2 κ = (2 κ ) κ = 2 κ κ = 2 κ Somit ist g nicht konfinal. α<κ g α < α<κ Satz 17. Für alle κ Card ω gilt κ cf(κ) > κ. Beweis. Setze τ = cf(κ). Sei g : τ κ konfinal, also κ = α<κ g(α). Nach obigem Korollar gilt: κ = g(α) < κ = κ τ α<τ 1 Innere Modelle α<τ Definition (Relativierung einer Klasse). Sei W eine Klasse. Für eine ZF -Formel ϕ definiere durch Rekursion über den Aufbau ϕ W wie folgt: Erweitere dies auf Klassen A durch (x = y) W ist gleich x = y (x y) W ist gleich x y (ϕ ψ) W ist gleich ϕ W ψ W ( ϕ) W ist gleich ϕ W ( x ϕ) W ist gleich x (x W ϕ W ) {x ϕ(x)} W ist gleich {x W ϕ W (x)} Für Aussagen ϕ bedeutet ϕ W intuitiv ϕ gilt in W. Schreibe später oft W = ϕ statt ϕ W. Definition. Sei W eine Klasse. W ist ein inneres Modell von ZF, wenn gilt: (a) W ist transitiv, On W (b) für alle ZF -Axiome ϕ gilt ZF ϕ W Bemerkung. V ist ein inneres Modell von ZF, denn ϕ ϕ V. Bemerkung. Sei W ein inneres Modell von ZF und M = M, E ein Modell von ZF. Setze N = {a M M = a W } und N = N, E N 2. Dann ist N ein Modell von ZF. Bemerkung. Sei W ein inneres Modell von ZF und ZF ϕ. Dann ZF ϕ W. Beweis. Sei M = M, E = ZF. Setze wieder N = {a M M = a W }. Dann N = N, E N 2 = ZF. Also N = ϕ. Dann aber M = ϕ W, was zu zeigen war. 15

16 1 Innere Modelle Bemerkung. Sei W inneres Modell von ZF und ZF ϕ W. Dann gilt: ZF widerspruchsfrei ZF + ϕ widerspruchsfrei. Beweis. (1. Variante) Sei ZF +ϕ widerspruchsvoll. Dann ZF +ϕ ϕ, d.h. ZF ϕ ϕ. Also ZF ϕ W ϕ W, da W inneres Modell von ZF. Also wegen ZF ϕ W gilt auch ZF ϕ W, d.h. ZF ϕ W ϕ W, d.h. ZF ist widerspruchsvoll. Beweis. (2. Variante) Sei M = M, E = ZF. Setze wieder N = {a M M = a W }. Dann N = N, E N 2 = ZF + ϕ, d.h. ZF + ϕ ist widerspruchsfrei. Definition. Eine ZF -Formel ϕ heißt Σ 0 -Formel, wenn alle in ϕ vorkommenden Quantoren beschränkt sind, d.h. von der Form x y ψ (Bzw. x y ψ). Beispiel. x y ( z x z y), z = x y ( w z (w x w y) w x (w y w z)) sind Σ 0 -Formeln. Bemerkung. Falls ϕ beliebige Formel, so ist ϕ v eine Σ 0 -Formel. Lemma 1. Sei ϕ( x) eine Σ 0 -Formel, und W sei transitiv. Dann gilt: x W (ϕ( x) ϕ W ( x)) Beweis. Induktion über den Aufbau. Nur Quantorenschritt interessant: Sei also ϕ( x, y) gleich z y ψ(z, x, y). Seien x, y W. Dann ist ϕ W ( x, y) ϕ( x, y) klar nach Induktionsvoraussetzung. Es gelte also ϕ( x, y). Dann existiert also z y mit ψ(z, x, y). Wegen y W und W transitiv also auch z W. Also nach Ind.-Vor.: ψ W (z, x, y). Somit auch ϕ W ( x, y). Definition. ϕ heißt Π 1 -Formel (Bzw. Σ 1 -Formel), falls ϕ von der Form x ψ( x) (Bzw. x ψ( x)) mit ψ( x) Σ 0 -Formel. Korollar (Zu Lemma 1). Sei W eine transitive Klasse. (a) Ist ϕ( x) Π 1 -Formel, so: x W (ϕ( x) ϕ W ( x)) (b) Ist ϕ( x) Σ 1 -Formel, so: x W (ϕ W ( x) ϕ( x)) Definition. Σ 0 -Aussonderung sei das Schema: Falls ϕ(x, z) Σ 0 -Formel, so: u z x {x u ϕ(x, z)} V Beschränkung sei das Schema: Falls ϕ(x, y, z) ZF -Formel, so: z ( u v x u ( y ϕ(x, y, z) y v ϕ(x, y, z))) Bemerkung. Σ 0 -Aussonderung und Beschränkung sind in ZF ableitbar. 16

17 1 Innere Modelle Beweis. Klar für Σ 0 -Aussonderung. Zur Beschränkung: Sei ϕ(x, y, z) gegeben und z fest. Sei u gegeben. Setze a = {x u y ϕ(x, y, z)}. Definiere g : a On durch Sei d = sup(rng(g)) und setze v = V α g(x) = min{γ y V γ ϕ(x, y, z)} Definition. ZF sei die Theorie mit den Axiomen (A1)-(A4), (A7), (A8), Σ 0 -Aussonderung und Beschränkung (also keine Ersetzung und kein Potenzmengenaxiom). Bemerkung. In ZF kann man zeigen: u, v u v V, u, v u v V sowie u, v u v V. Lemma 2. In ZF ist das Ersetzungsaxiom ableitbar (also auch die volle Aussonderung). Beweis. Wir zeigen zuerst (in ZF ) ( ) Sei ϕ( x) eine ZF -Formel. Dann u 1,..., u n { x u 1... u n ϕ( x)} V Bew. von ( ): Induktion über den Aufbau. ϕ atomar: also ϕ von der Form x i x j oder x i = x j. Sei u 1,..., u n gegeben. Setze W = { x u 1... u n ϕ( x)}. Dann ist W = {z u 1... u n x 1 u 1... x n u n (z = x 1,..., x n x i x j } (Bzw. x i = x j ). Also wegen u 1... u n V und Σ 0 -Aussonderung ist W V ϕ gleich ϕ 1 ϕ 2 : Dann ist { x u 1... u n ϕ( x)} = { x u 1... u n ϕ 1 ( x)} { x u 1... u n ϕ 2 ( x)} Also V nach Ind.-vor. und Bemerkung. ϕ gleich ψ: Dann ist { x u 1... u n ϕ( x)} = u 1... u n { x u 1... u n ψ( x)} Also V nach Ind.-vor. und Bemekrung. ϕ gleich y ψ( x, y): Wegen Beschränkung existiert dann v V mit Nach Ind.-vor. ist x 1 u 1... x n u n ( x ψ( x, y) y v ψ( x, y)) a = { x, y u 1... u n v ψ( x, y)} V Somit gilt: { x u 1... u n ϕ( x)} = dom g = {z u 1... u n y v z, y a} nach Σ 0 -Aussonderung. Wir zeigen nun Ersetzung: Sei also F eine Funktion. Weiterhin sei u V. Mit Beschränkung wähle dann ein v V mit x u ( y F (x) = y y v F (x) = y) Dann ist F u = {y v x u F (x) = y} ( ) V. 17

18 1 Innere Modelle Korollar. Wir können bei ZF das Ersetzungsaxiom durch Σ 0 -Aussonderung und Beschränkung ersetzen Satz 3. Sei W eine Klasse. Dann sind äquivalent: (1) W ist inneres Modell von ZF (2) W erfüllt folgende Bedingungen: (I1) W ist transitiv. (I2) x W y W x y (I3) Sei ϕ(x, z) Σ 0 -Formel. Dann z W u W {x u ϕ(x, z)} W Beweis. (1) (2): (I1) ist klar. Zu (I2): Beachte, dass On W = On W = On, da x On ist Σ 0 -Formel mit Def. On = {x x transitiv und konnex}. Da W inneres Modell ist, können wir in W die V α -Hierarchie bilden. Setze dann W α = Vα W W. Dann gilt W = α On W α und W α W β für α β. Ist also x V mit x W, so existiert α mit x W α. Also W α W. Zu (I3): Sei ϕ(x, z) Σ 0 -Formel und z W. Dann wegen W transitiv nach Lemma 1 für x W ϕ(x, z) ϕ W (x, z). Also für u W wegen W transitiv {x u ϕ(x, z)} = {x u W ϕ W (x, z)} W (2) (1): Zeige zuerst, dass On W. Setze Γ = On W. Dann ist Γ transitiv. Also Γ = On oder Γ On. Somit ist z.z. Γ On. -Ann.: Γ On. Dann existiert nach (I2) ein y W mit Γ y. Dann aber Γ = On W = {x y x On} W nach (I3). Also wäre Γ Γ.. Noch z.z.: Für alle ZF -Axiome ϕ gilt ϕ W. Beachte, dass wegen W transitiv für x W x W = W gilt. (Ext) und (Fund) sind Π 1 -Aussagen, also klar, da W transitiv. (Null) klar, da On W. Zu (Paar): z.z. x, y W {x, y} W. Seien x, y W gegeben. Dann {x, y} W. Nach (I2) existiert dann z W mit {x, y} z. Dann {x, y} = {w z w = x w = y} W nach (I3). Zu (Ver) z.z. x W x W. Sei x W. Also x W. Nach (I2) existiert z W mit x z. Dann also x = {w z u x w u} W nach (I3). Zu (Pot) z.z. (!) x W P(x) W W. Sei also x W. Nach (I2) existiert z W mit P(x) W z. Dann P(x) W = {w z w x} W nach (I3). Statt Ersetzung zeige Σ 0 -Aussonderung und Beschränkung. Zu Σ 0 -Aussonderung: Sei ϕ(x, z) Σ 0 -Formel. Z.z. z W u W {x u ϕ W (x, z)} W. Aber nach Lemma 1 ist z, u W {x u ϕ w (x, z)} = {x u ϕ(x, z)}. Also folgt Beh. aus (I2). Zu Beschränkung. ϕ(x, y, z) ZF -Formel. Z.z.: ( ) z W u W v W x u y W ϕ W (x, y, z) y v ϕ W (x, y, z) 18

19 1 Innere Modelle Seien hierzu z, u W. Nach Beschränkung in V existiert v V mit x u( y W ϕ W (x, y, z) y v (y W ϕ W (x, y, z)) Nach (I2) existiert v W mit v W v. Dieses v tut s. Satz 4 (Reflektionsprinzip). Seien ϕ 1,..., ϕ n ZF -Formeln. Es gilt: α β α x V β n ( i=0 ϕ i ( x) ϕ V β i ) ( x) D.h. V β reflektiert ϕ 0,..., ϕ n. Beweis. Sei α gegeben. Definiere rekursiv β n n < ω wie folgt: β 0 = α β n+1 = das kleinste γ > β n mit der Eigenschaft: Falls y θ(y, z) Teilformel von einem ϕ i, so: z V βn ( y θ(y, z) y V γ θ(y, z)) Setze β = sup n β n. Wir zeigen: Für alle Teilformeln ψ( z) von einem ϕ i gilt: ) z V β (ψ( z) ψ V β ( z) Dann sind wir fertig. Durch Induktion über den Aufbau: Klar für atomar,,. Sei also ψ von der Form y θ(y, z). Dann natürlich nach Ind.-Vor. ψ V β ( z) ψ( z) Sei andererseits y θ(y, z). Wähle n mit z V βn (beachte: V β = n V β n ). Dann gilt nach Def. von β n+1, dass y V βn+1 θ(y, z). Also nach Ind.-Vor. y V β θ V β(y, z). Bemerkung. Man kann Logik in ZF machen. Speziell: falls L = Sprache von ZF, so gilt Menge der L-Formeln V ω. Schreibe u = ϕ( a) für u, u 2 = ϕ( a) Dies ist eine dreistellige Relation. Manchmal identifizieren wir L-Formeln mit ihren Gödelnummern ω. Bemerkung. Für ϕ ZF -Formel in der Metasprache sei auch ϕ die Übersetzung nach ZF. Es gilt dann: a u (ϕ u ( a) u = ϕ( a)) 19

20 1 Innere Modelle Notation. A <ω = {f n f : n A} = Klasse aller endlichen Folgen aus A. Setze noch T C(x) = {y x y, y transitiv} transitive Hülle von x Es gilt T C(x) = n ω T C n(x), wobei T C 0 (x) = x, T C n+1 (x) = T C n (x) {z y T C n (x) z y} Definition. OD = { x α p α <ω ϕ x = {y V α V α = ϕ(y, p)} } Klasse aller ordinalzahldefinierbarer Mengen. HOD = {x T C({x}) OD} Klasse aller erblich ordinalzahldefinierbarer Mengen. Bemerkung. ( ) x HOD (x OD und x HOD) Beweis. : Sei x HOD, d.h. T C({x}) OD. Also x OD. Außerdem für y x T C({y}) T C({x}) OD, d.h. y HOD. : Sei rechte Seite erfüllt. Dann T C({x}) = {x} y x T C({y}) OD, d.h. x HOD Lemma 5. ϕ(x, y) ZF -Formel. Dann gilt p On <ω ({x ϕ(x, p)} V {x ϕ(x, p)} OD) Beweis. Sei p On <ω mit {x ϕ(x, p)} V. Wähle α mit {x ϕ(x, p)} V α und p α <ω. Nach Reflektionsprinzip existiert β α mit V β reflektiert ϕ. Dann aber {x ϕ(x, p)} = {x V β ϕ V β (x, p)} = {x V β V β = ϕ(x, p)} OD Satz 6. HOD ist inneres Modell von ZF. Beweis. Wir zeigen (I1)-(I3). Zu (I1): HOD ist offenbar transitiv. Zu (I2): Wegen Lemma 5 ist für alle α On V α HOD OD, denn V α HOD = {x x V α HOD}. Also nach ( ) V α HOD HOD. Sei nun x HOD. Dann existiert α mit x V α. Also x V α HOD HOD Zu (I3): Sei ϕ(x, z) Σ 0 -Formel. Z.z.: z HOD u HOD {x u ϕ(x, z)} HOD Seien also z 1,..., z n, u HOD. Setze a = {x u ϕ(x, z)}. Wegen HOD transitiv ist a u HOD. Wegen ( ) ist also nur z.z., dass a OD. Nun sind aber z 1,..., z n, u OD. 20

21 1 Innere Modelle Somit existieren ϕ 1,..., ϕ n, ψ und α 1,..., α n, γ On und p i α i <ω, q γ <ω mit z i = {y V αi V αi = ϕ i (y, p i ) (i = 1,..., n)} und u = {y V γ V γ = ψ y,q } Dann gilt aber n a = {x w 1... w n v ( w i = {y V αi V αi = ϕ i (y, p i )} i=1 v = {y V γ V γ = ψ(y, q)} x u ϕ(x, w 1,..., w n ))} Dies ist aber eine Definition für a in dem Parameter p 1,..., p n, q, α 1,..., α n, γ, ϕ 1,..., ϕ n, ψ On <ω). Nach Lemma 5 ist also a OD. Lemma 7. Es existiert eine starke Wohlordnung auf ω On <ω. Beweis. Definiere < auf On <ω durch p < q [max p < max q oder (max p = max q und dom(p) < dom(q)) oder (max p = max q und dom(p) = dom(q) und i ( j < i p(j) = q(j) und p(i) < q(i)))] Definiere < auf ω On <ω durch m, p < n, q (p < q oder (p = q und m < n)) Korollar. Es existiert Bijektion H : On w On <ω Satz 8. Es existiert surjektives F : On OD. Beweis. Sei ϕ n n < ω Aufzählung aller ZF -Formeln. Definiere G: ω On <ω OD durch { {x Vp(m) V p(m) = ϕ n (x, p m)} falls dom(p) = m + 1 G(n, p) = sonst Nach oben Sei H : On ω On <ω bijektiv. Setze F = G H. Korollar. Es existiert surjektives G: On HOD. Beweis. Sei F : On OD surjektiv. Setze { F (α) falls F (α) HOD G(α) = sonst a = {x V α V α = ϕ(x, q) mit q α < ω} Es existiert n mit ϕ = ϕ n. Definiere q On <ω durch (Sei dom(q) = n). Setze p = q { m, α }. Dann ist G(n, p) = a. Satz 9. AC HOD 21

22 1 Innere Modelle Beweis. Sei nach Korollar zu Satz 8 G: On HOD surjektiv. Setze für α On g α = G α. Dann nach Lemma 5 g α OD. Aber g α HOD. Also nach ( ) g α HOD für alle α. Es genügt z.z., Dass der Wohlordnungssatz in HOD gilt. Sei also u HOD. Dann existiert α mit u rng(g α) = rng(g α ). Definiere dann r u 2 durch xry min{γ x = g α (γ)} < min{γ y = g α (γ)} Offenbar ist r eine Wohlordnung von u. Aber r HOD, da g α HOD Korollar. ZF widerspruchsfrei ZF C widerspruchsfrei. Ohne Beweis: ZF C ϕ ZF ϕ HOD. Relativierung: Sei a V. Setze OD(a) = { x α > rn(a) ϕ p α <ω q T C({a}) <ω x = {y V α V α = ϕ(y, p, q) } HOD(a) = {x T C({x}) OD(a)} HOD(a) ist inneres Modell von ZF, a HOD(a), aber i.a. gilt AC nicht in HOD(a). Bemerkung. I. a. gilt nicht: W 0, W 1 innere Modelle W 0 W 1 inneres Modell. Dennoch werden wir zeigen, dass ein kleinstes inneres Modell L existiert. Dann gilt dort automatisch AC. Denn sei W kleinstes inneres Modell. Dann W = HOD W. Definition. Sei X V. a X heißt definierbar in X, falls existiert Formel ϕ(x, z) und d X <ω mit a = {b X X = ϕ(b, d)}. Def(X) = {a X a definierbar in X} Menge aller definierbaren Teilmengen. Das konstruktible Universum L: Definiere L α α On rekursiv durch L 0 = L α+1 = Def(L α ) L λ = L = L α α On α<λ L α falls lim(λ) Lemma 10. (a) L α ist transitiv (b) γ α L γ L α (c) γ < α L γ L α (d) On L α = α Beweis. Simultan durch Induktion über α. 22

23 1 Innere Modelle α = 0 erfüllt. α α + 1 Zu (b): Nur z.z. L α L α+1. Sei a L α. Dann wegen L α transitiv a L α. Also gilt a = {b L α L α = b a}, d.h. a Def(L α ) = L α+1. Zu (a): x L α+1 = Def(L α ) x L α L α+1 Zu (c): Nur noch z.z.: L α L α+1. Aber L α = {a L α L α = a = a}, d.h. L α Def(L α ) = L α+1. Zu(d): : β On L α+1 β On L α = α β α + 1. : α L α L α+1. Aber auch α L α+1, da L α transitiv. lim(γ) (a), (b), (c) klar. Zu (d): On L λ = On γ<λ L γ = γ<λ On L γ = γ<λ γ = λ Satz 11. L ist inneres Modell von ZF. Beweis. Zu (I1): wegen Lemma 10(a) ist L transitiv. Zu (I2): Sei b L. Definiere g : b On durch g(x) = min{γ x L γ }. Setze α = sup{rng(g)}. Dann b L α. Aber L α L α+1 L. Zu (I3): Sei ϕ(x, z) Σ 0 -Formel. Seien u, b L. Dann existiert nach Lemma 10 ein α mit u, b L α. Dann aber {x u ϕ(x, { ( b)} = x L α L α = x u ϕ(x, )} b) Def(L α ) = L α+1 L Satz 12. Es existiert F : ω On <ω L mit surjektiv. α 0 F ω α <ω : ω α <ω L α Beweis. Sei < die Wohlordnung von ω On <ω aus dem Beweis von Lemma 7. Wir definieren F durch Rekursion über <. Sei hierzu ϕ i i < ω Aufzählung aller ZF -Formeln. Sei g : ω ω ω <ω surjektiv. Sei F (n, ) =. Sei nun n, p ω Om <ω mit p. Sei γ = max(p). Sei p = q0 γ q1... γ q i mit q k γ <ω. Sei g(n) = m, r. Setze F (n, p) = {b L γ L γ = ϕ m (x, F (r(0), q 0 ),..., F (r(i), q i ))} Setze f α = F ω α <ω. Zeige durch Induktion: α 0 f α : ω α <ω L α surjektiv. α = 1 klar α α + 1, α 0 es gilt rng(f α+1 ) L α+1 Sei also a L α+1. Dann existiert Formel ϕ und b 0,..., b i L α mit a = {c L α L α = ϕ(c, b 0,..., b i )}. Sei ϕ = ϕ m. Nach Ind.-Vor. existieren n k, q k ω α <ω mit F (n k, q k ) = b k. Sei r = n 0,..., n i und wähle n mit g(n) = m, r. Setze p = q 0 α q 1... α q i. Dann gilt F (n, p) = a. lim(λ) klar. 23

24 1 Innere Modelle Korollar. Es existiert ein surjektives G: On L. Beweis. Sei H : On ω On <ω surjektiv und F wie oben. Setze G = F H. Frage. Folgt AC L?. Dies führt zur Frage (V =L) L?, d.h. L L = L? Absolutheiten Wir verwenden folgende Sprechweise: W Modell von ZF bedeutet: (W V und W = ZF oder W V und für alle ZF -Axiome ϕ gilt ϕ W ) Definition. Sei ϕ( x) eine ZF -Formel. (a) ϕ ist absolut für W x W ( ) ϕ( x) ϕ W ( x) (b) ϕ ist absolut für alle transitiven ZF -Modelle W ist ϕ absolut für W Beispiel. Ist ϕ( x) Σ 0 -Formel, so ist ϕ absolut. Definition. (a) Sei ϕ( x) ZF -Formel. ϕ ist ZF 1 (kurz: 1 ) es existiert Π 1 -Formel ψ 1 ( x) und Σ 1 -Formel ψ 2 ( x) mit ZF x (ϕ( x) ψ 1 ( x) ψ 2 ( x)) (b) F ist 1 -Funktion auf A F ist 1 und Lemma 13. Sei ϕ( x) 1. Dann ist ϕ absolut. ZF F ist Funktion dom(f ) = A Beweis. Seien ψ 1 ( x) Π 1 -Formel und ψ 2 ( x) Σ 1 -Formel mit ZF x (ϕ( x) ψ 1 ( x) ψ 2 ( x)) Sei W transitives ZF -Modell. Dann ( ) x W ϕ W ( x) ψ2 W ( x) ψ 2 ( x) ϕ( x) ψ 1 ( x) ψ1 W ( x) ϕ W ( x) Abgeschlossenheit von 1 (1) Falls ϕ, ψ 1, so auch ϕ und ϕ ψ (2) Falls ϕ 1, so auch z y ϕ 1 24

25 1 Innere Modelle Beweis. Seien ψ 1 Π 1, ψ 2 Σ 1 mit ZF ϕ ψ 1 ψ 2. Dann ist aber z y ψ 1 äquivalent zu Π 1 -Formel. Sein nun ψ 2 gleich x θ mit θ Σ 0 -Formel. Dann wegen Beschränkung gilt in ZF z y x θ v z y x v θ Also ist in ZF z y ϕ auch äquivalent zu Σ 1 -Formel (3) Sei ϕ( x) 1, F i 1 -Funktionen auf V n. Dann ist ϕ(f 1 ( x),..., F n ( x)) 1 Beweis. Arbeite in ZF. Sei ϕ ψ 1 ψ 2. Dann ϕ(f 1 ( x),..., F n ( x)) z 1,..., z n (F 1 ( x) = z 1... F n ( x) = z n ψ 2 (z 1,..., z n )) z 1,..., z n (F 1 ( x) = z 1... F n ( x) = z n ψ 1 (z 1,..., z n )) Sei ϕ(r) gleich r ist fundierte Relation. Dann ist ϕ 1. Setze ψ 1 (r) gleich r V 2 x (x z x y x z, y r). ψ 1 ist Π 1. Setze ψ 2 (r) gleich r V 2 f (rng(r) On dom(r) rng(r) dom(f) y, z dom(f) ( y, z r f(y) f(z)) ψ 2 ist Σ 1 und ZF r (ϕ ψ 1 ψ 2 ) Lemma 14 (Absolutheit der On-Relation). Sei G 1 -Funktion auf V. Dann existiert 1 - Funktion F auf On mit α F (α) = G(F α). Beweis. Arbeite in ZF. Setze P = {f f ist Funktion, dom(f) On, α dom(f) f(α) = G(f α)} P ist 1. Setze F = P. Wie im Beweis des Rekursionssatzes folgt, dass F eine Funktion auf On ist. Aber F ist 1, denn: F (x) = y f (f P f(x) = y) f (f P x dom(f) f(x) = y) Ziel: F (α) = L α ist 1. Hierzu brauchen wir: G(a) = Def(a) ist 1. Hierzu die Gödelfunktionen: F 1 (x, y) = {x, y} F 2 (x, y) = x y F 3 (x, y) = { u, v u x v y u v} F 4 (x, y) = x y F 5 (x, y) = x y F 6 (x, y) = x F 7 (x, y) = dom(x) F 8 (x, y) = { u, v v, u x} F 9 (x, y) = { u, v, w u, w, v x} F 10 (x, y) = { u, v, w v, w, u x} 25

26 1 Innere Modelle Bemerkung. F 1 -F 10 sind Σ 0 -Formeln. Definition. Sei H eine Funktion. H ist einfach, wenn H die Komposition von F 1 -F 10 ist. Für n 1 definiere n-stellige Funktion H n durch H n (x 1,..., x n ) = x 1... x n H n ist einfach, denn H 2 = F 2 und H n+1 (x 1,..., x n+1 ) = F 2 (H n (x 1,..., x n ), x n+1 ). Satz 15. Sei ϕ(z 1,..., z n ) Σ 0 -Formel mit höchstens z 1,..., z n frei (n 1). Definiere F ϕ, z durch F ϕ, z (x 1,..., x n ) = { z 1,..., z n x 1... x n ϕ(z 1,..., z n )} Dann ist F ϕ, z einfach. Beweis. o.e. enthalte ϕ kein =, denn ersetze x = y durch z (z x z y). Außerdem enthalte ϕ kein x x, denn ersetze x x durch u x u = x. Wir machen Induktion über den Aufbau. ϕ ist atomar: Wir machen Induktion über n. Sei zuerst n = 2. (a) ϕ gleich z 1 z 2. Dann ist F ϕ, z = F 3, also einfach. (b) ϕ gleich z 2 z 1 : Dann ist F ϕ, z (x 1, x 2 ) = F 8 (F 3 (x 2, x 1 ), x 1 ) also einfach. Sei nun n > 2 und ϕ gleich z i z j (also i j). (c) i, j n: Setze z = z 1,..., z n 1. Dann ist F ϕ, z = F ϕ, z (x 1,... x n 1 ) x n = F 2 (F ϕ, z (x 1,..., x n 1 ), x n ) also einfach nach Ind.-Vor. (d) i, j n 1: Setze z = z 1,..., z n 2, z n, z n 1. Dann ist also einfach nach (c). F ϕ, z ( x) = F 9 (F ϕ, z ( x), x n ) (e) {i, j} = {n 1, n}: Setze z = z n 1, z n. Setze G( x) = F ϕ, z (x n 1, x n ) (x 1... x n 2 ). G ist einfach, denn G( x) = F 2 ( Fϕ, z (x n 1, x n ), H n 2 (x 1,..., x n 2 ) ). Aber F ϕ, z ( x) = F 10 (G( x), x 1 ). ϕ gleich ψ: Dann F ϕ, z ( x) = (x 1,..., x n ) F ψ, z ( x) = F 4 (H n ( x), F ψ, z ( x)), also nach Ind.-Vor. ϕ gleich ϕ 1 ϕ 2 : Dann F ϕ, z ( x) = F ϕ1, z( x) F ϕ2, z( x) = F 5 (F ϕ1, z( x), F ϕ2, z( x)), also nach Ind.-Vor. 26

27 1 Innere Modelle ϕ gleich z n+1 (z n+1 z i ψ(z 1,..., z n+1 )): Setze z = z 1,..., z n+1 und ψ gleich z n+1 z i ψ(z 1,..., z n+1 ). Dann ist also einfach. F ϕ, z ( x) = (x 1... x n ) dom(f ψ, z (x 1,..., x n, x i )) = F 5 (H n ( x), F 7 (F ψ, z ( x, F 6(x i, x 1 )), x 1 )) Korollar. Sei ϕ(z 1,..., z n, v, x) Σ 0 -Formel. Setze Dann ist F einfach. Beweis. Setze z = z 1,..., z n, c, x. Dann ist also einfach. F (z 1,..., z n, v) = {x v ϕ(z 1,..., z n, v, x)} F (z 1,..., z n, v) = rng ( F ϕ, z ({z 1 },..., {z n }, {v}, v ) ) = F 7 ( F8 ( Fϕ, z (F 1 (z 1, z 1 ),..., F 1 (z n, z n ), F 1 (v, v), v), z 1 ), z1 ) Korollar. Im Kriterium für innere Modelle können wir die Bedingung (I3) ersetzen durch (I3) : F i W 2 W (i = 1,..., 10). Beweis. Zeige unter Vor. (I1), (I2): (I3) (I3). : Ist W inneres Modell, so ist (I3) erfüllt. : folgt aus obigem Korollar. Definition. Bemerkung. cl ist 1 -Funktion auf V. cl(x) = {y x y abgeschlossen unter F 1 -F 10 } Beweis. Definiere rekursiv cl 0 (x) = x; cl n+1 (x) = 10 i=1 F i cl n(x) 2. Dann ist cl(x) = n ω cl n(x). Lemma 16. Sei d transitiv. Dann gilt: Def(d) = cl(d {d}) P(d) Beweisskizze. Zeige zuerst: ( ) Sei d transitiv. Dann gilt: a Def(d) es existiert Σ 0 -Formel ϕ und b 1,..., b n d mit a = {c d ϕ(c, b 1,..., b n, d)} Bew von ( ): : Sei a Def. Dann existiert ψ und b 1,..., b n d mit a = {c d d = ψ(c, b 1,..., b n )} = {c d ψ d (c, b 1,..., b n )}. ψ d (c, b 1,..., b n ) ist Σ 0. Also fertig. : Sei ϕ(x, y, z) Σ 0 -Formel. Zeige durch Induktion über den Aufbau von ϕ: es existiert eine Formel ϕ (x, y) mit: für alle b 1,..., b n d: {c d ϕ(c, b, d)} = {c d d = ϕ (c, b)}. Dann sind wir fertig. Dazu wieder o.e. ϕ enthält kein = und kein w w (vgl. Satz 15). 27

28 1 Innere Modelle Ist ϕ atomar, so definiere ϕ wie folgt: ϕ gleich y i y i oder x y i : Setze ϕ gleich ϕ ϕ gleich y i z (bzw. x z): Setze ϕ gleich y i = y i (x = x) ϕ gleich y i x: Setze ϕ gleich ϕ ϕ gleich z y i (bzw. z x): Setze ϕ gleich y i y i (x x) Weiterhin (ϕ 1 ϕ 2 ) gleich ϕ 1 ϕ 2 (ϕ 1 ϕ 2 ) gleich ϕ 1 ϕ 2 ( ϕ) gleich ϕ ( w y i ψ) gleich w y i ψ ( w x ψ) gleich w x ψ ( w y i ψ) gleich w y i ψ ( w x ψ) gleich w x ψ Mit einem sehr mühseligen, aber einfachen Beweis zeigt man: ( ) Sei ϕ(w, z) Σ 0 -Formel und 1 i 10. Dann existiert Σ 0 -Formel ψ mit: x, y z (ϕ(f i (x, y), z) ψ(x, y, z)) Somit gilt dies auch analog für jedes einfaches H. Nun zum eigentlichen Beweis: : Sei a Def(d). Dann existiert nach ( ) eine Σ 0 -Formel ϕ und b 1,..., b n d mit a = {c d ϕ(c, b 1,..., b n, d)}. Nach Korollar zu Satz 15 existiert aber dann ein einfaches H mit a = H(b 1,..., b n, d). Also a cl(d {d}). : Sei a cl(d {d}) P(d). Dann existiert einfaches H und b 1,..., b n d mit a = H(b 1,..., b n, d). Nach ( ) existiert Σ 0 -Formel ψ mit: y H(b 1,..., b n, d) ψ(y, b 1,..., b n, d) Also a = {c d ψ(c, b 1,..., b n, d)}. Somit a Def(d) nach ( ). Lemma 17. Definiere G durch G(a) = Dann ist G 1 -Funktion auf V. Beweis. Es gilt { a falls a nicht transitiv Def(a) G(x) = y (x ist nicht transitiv y = x) Also ist G 1, da cl 1. sonst (x ist transitiv z y (z x z cl(x {x})) z cl(x {x}) (z x z y)) 28

29 1 Innere Modelle Satz 18. L α α On ist 1 -Funktion auf On. Beweis. Sei G wie in Lemma 17. Definiere H : V On durch G ( dom(f)), falls f Funktion, dom(f) Nachfolgerordinalzahl H(f) = rng(f), falls f Funktion, dom(f) Limesordinalzahl, sonst Dann ist H 1. Aber L α α On ist die Lösung der Rekursion mit H. Also ist L α α On 1 nach Lemma 14. Korollar. Sei W tranistives ZF -Modell, Γ = On W. Dann ist L W = L Γ (wobei L On = L). Beweis. Wegen W transitiv ist On W = On W. Wegen W ZF -Modell ist Γ = On oder lim(γ). Also L W = {L W α α On W } = {L α α On W } = L Γ. Korollar. L ist das kleinste innere Modell von ZF. Beweis. Sei W inneres Modell von ZF. Dann nach oben L = L W W. Satz 19. Sei ϕ eine Aussage. Dann (ZF + V = L) ϕ ZF ϕ L Beweis. : ZF (V =L) L, denn: V L = L und L L = L nach obigem Korollar., da ZF + V =L (ϕ ϕ W ) Korollar. ZF konsistent ZF + V =L konsistent. Satz 20. Sei V =L. Dann existiert surjektives F : On V. Also V = HOD. Beweis. Korollar zu Satz 18. Lemma 21. Sei κ > ω regulär. Dann L κ = ZF. Beweis. Alles klar bis auf Beschränkung. Dies folgt aber wie folgt: Ist f : x L κ mit x L κ, so wegen x < κ (nach Satz 12) existiert α < κ mit rng(f) L α und L α L κ Definition. Sei M V und A M. A ist ein elementares Submodell von M (in Zeichen A M), wenn für alle Formeln ϕ( x) und a A gilt: (A = ϕ( a) M = ϕ( a)) Satz (Löwenheim-Skolem (in ZF C)). Sei M V und A M. Dann existiert B mit A B, B M, und B max{ω, A }. 29

30 2 Generische Erweiterungen Satz 22 (Kondensationslemma). Sei L κ = ZF und X L κ. Dann existiert genau ein α mit X ist isomorph zu L α. Beweis. Wegen L α transitiv folgt Eindeutigkeit. Zur Existenz: X = Extensionalitätsaxiom, da, L κ = Extensionalitätsaxiom. Also ist X, X 2 extensional und natürlich ist X 2 fundiert. Somit existiert nach dem Mostowskischen Isomorphiesatz ein transitives W, das isomorph zu X ist. Da W isomorph zu X ist und X L κ, erhalten wir W = ZF + V =L. Also W = L α, wobei α = On W. Satz 23. V =L GCH Beweis. Sei V =L. Nach Satz 12 gilt für alle α ω L α = α. Somit genügt es z.z. ( ) Für alle Kardinalzahlen κ ω gilt P(κ) L κ + Sei κ ω gegeben. Weiterhin sei a κ. Sei a L γ mit γ > ω und setze τ = γ +. Also τ regulär und a L τ. Wegen τ regulär gilt L τ = ZF. Nach dem Satz von Löwenheim-Skolem existiert ein elementares Submodell X L τ mit κ {a} X und X = κ. Sei nach Kondensationslemma σ : X L α. Beachte, dass für σ gilt σ(b) = σ b X. Wegen κ transitiv und κ X folgt also sofort σ κ = id κ. Außerdem ist σ(a) = σ (a X) = σ a = a. Also ist a = σ(a) L α. Aber es gilt X = L α = α. Also α < κ +. Somit a L α L κ +. Relativierung von L. Sei A eine Klasse. Definiere rekursiv L α [A] α On, wie folgt: L 0 [A] = L α+1 [A] = Def( L α [A],, A L α [A] ) L λ [A] = α<λ L α [A], falls lim(λ) Setze L[A] = α On L α[a]. L[A] ist inneres Modell von ZF C. L[A] ist das kleinste innere Modell W von ZF mit x W A x W Es ist L α [A] On = α. 2 Generische Erweiterungen Motivation. Sei ZF widerspruchsfrei. Wir müssen insbesondere zeigen, dass ZF + V L widerspruchsfrei ist. Der Einfachheit halber nehmen wir stärker an, dass sogar ein abzählbares, transitives M mit M = ZF existiert. Sei o.e. M = V = L, sonst fertig. Dann ist aber M = L α für ein abzählbares α. Insbesondere ist P(ω) M abzählbar. Also ist R = {a ω a M} =. Wenn wir nun ein a R finden mit L α [a] = ZF, so sind wir fertig. Denn setze M = L α [a]. Dann a M. Aber M = a L, denn L M = L α und a L α. Wir werden zeigen, dass wenn a generisch über M ist, L α [a] ein Modell von ZF C ist. Definition. Eine Bedingungsmenge P ist eine Struktur P, P, 1 P mit 30

31 2 Generische Erweiterungen (B1) P ist reflexiv und transitiv. (B2) für alle p P p P 1 P, d.h. 1 P ist ein größtes Element von P. Ist P aus dem Kontext klar, so schreiben wir oft, 1 statt P, 1 P. Sei P eine Bedingungsmenge. Elemente von P heißen Bedingungen. Lies p q als p ist Erweiterung von q. Definition. Seien p, q P. p, q sind verträglich es existiert r P mit r p und r q (d.h. p, q haben gemeinsame Erweiterung). Andernfalls sind p, q unverträglich. Sei D P. D ist dicht in P für alle p P exisitert q D mit q p Definition. Sei P eine Bedingungsmenge. G P heißt F -generisch, falls gilt: (G1) 1 G, p G und p q q G (G2) p, q G r G r q, p (G3) D D dicht in M D G (d.h. G trifft jede dichte Teilmenge aus M) Bemerkung. G P erfülle nur (G2), (G3) und G sei nichtleer. Setze G{p P q G q p} (Menge der Abschwächungen). Dann ist G F -generisch. Beispiel. (1) Setze P = {p p: n 2, n ω}. p q iff p q. P = P,, } ist eine Bedingungsmenge. Setze für m ω D m = {p P: m (p)} (Folgen mit Länge m). D m ist dicht. Setze F 0 = {D m : m ω}. Ist G P F 0 -generisch, so ist G wegen (G2) eine Funktion und G: ω 2. Für h: ω 2 setze D n = {p P m ω p(m) k(m)}. D m ist auch dicht (weil man zwei Werte zur Verfügung hat). Für A ω 2 setze F A = {D k k A}. Ist G (F 0 F A )-generisch, so für f G = G gilt f G : ω 2 und es is f v h, für alle k A. (2) Setze P = {p p : n ω 1, n ω} und wieder p q p q. = P,, ist eine P Bedingungsmenge. Wieder für m ω D m = {p m dom(p)} ist dicht in P. Setze wieder F 0 = {D m m ω}. Ist G F 0 -generisch, so G: ω ω 1 }. Setze für α ω 1 E α = {p P α rng(p)}. E α ist dicht in P. Setze F = {D m m ω} {E α α ω 1 }. Es existiert keine F -generische Menge G, denn falls G F -generisch ist, so ist G: ω ω 1 surjektiv. Aber ω 1 ist überabzählbar. Lemma 1. Seien P eine Bedingungsmenge, p P und F abzählbar. Dann existiert ein F -generisches G P mit p G. Beweis. Sei D n n ω eine Aufzählung von {D F D dicht in P} {P}. Konstruiere rekursiv eine -absteigende Folge p n n ω durch P 0 < P. P n+1, ein q D n mit q p. Setze G = {p n n ω}. G erfüllt (G2),(G3) und p G, also sind wir mit der Bemerkung fertig. 31

32 2 Generische Erweiterungen Konvention. Sei nun im Folgenden immer: M abzählbares, transitives ZF C-Modell, P M Bedingungsmenge, G P und 1 G Definition. Definiere die Relation G auf M durch: a G b p G a, p b. G ist fundiert, denn a G b rng(a) < rng(b). Aber G ist nicht extensional. Wegen G positiv, können wir rekursiv K G : M V definieren durch K G (b) = { c G, a } a G b}. Setze M[G] := {K G (b) b M} K G ist nicht injektiv. Ist K g (t) = x, so sagen wir t ist ein Name für x. Lemma 2. (a) Es existiert eine Funktion ˆ: K M mit ˆ ist definierbar in M und für n K, a M ist K g (ˆn) = a. (b) Es existiert G M mit K G (Ĝ) = G. Beweis. zu (a) Definiere ˆ rekursiv in M durch ˆb = { â, 1 a b}. Zeige durch - Induktion, dass K G (ˆb) = b. K G (ˆb) = {K G (c) c G ˆb} = {KG (â) a b} = {a a b} = b zu (b) Setze G = { ˆp, p p P} M. Dann gilt K G (Ġ) = {K G(c) c G Ġ} = {K G (ˆp) p G} = {p p G} = G Bemerkung. Sowohl ˆ als auch Ġ hängen von G ab. Ġ wie oben heißt der kanonische Name von G. Satz 3. (a) M[G] ist transitiv, M M[G], G M[G], On M = On M[G] (b) Sei N transitives Modell von ZF mit M N und G N. Dann ist M[G] N. Beweis.... Korollar. Sei M[G] = ZF. Dann ist M[G] das kleinste, transitive Modell N von ZF mit M N und G N. Definition (Semantisches Forcing). Sei ϕ(x 1,..., x n ) eine ZF -Formel und sei p P, a 1,..., a n M. p ϕ(a 1,..., a n ) M-generischen G P mit p G gilt M[G] = ϕ(k G (a 1 ),..., K G (a n )) Lies dies als p erzwingt ϕ(a 1,..., a n ). Wesentliche Eigenschaften: Erweiterungslemma. p ϕ( a) und q p q ϕ( a) Definierbarkeitslemma. Sei ϕ(x 1,..., x n ) ZF -Formel. Dann ist { p, a 1,..., a n p P und p ϕ(a 1,..., a n )} definierbar in M. Wahrheitslemma. Sei G P M-generisch, ϕ( x) ZF -Formel und a 1,..., a n M. Dann gilt: M[G] = ϕ(k G (a 1 ),..., K G (a n )) p G p ϕ(a 1,..., a n ) 32

33 2 Generische Erweiterungen Satz 4. Sei G P M-generisch. Dann is M[G] ein Modell von ZF C. Beweis.... Definition. N ist generische Erweiterung von M es existiert eine Bedingungsmenge P M und M-generisches G P mit N = M[G]. Ist also N generische Erweiterung von M, so N = ZF C. Satz 5. Es existiert eine generische Erweiterung N von M mit N = a ω a L. Beweis.... Somit folgt also: Existiert ein abzählbares, transitives Modell von ZF C es existiert abzälbares, transitives Modells von ZF C + P(ω) L Wir möchten zeigen: ZF C widerspruchsfrei ZF C + P(ω) L widerspruchsfrei Sei hierzu ϕ gleich P(ω) L und sei P wie in Beweis zu Satz 5. Annahme: ZF C+ϕ ist widerspruchsvoll. Dann existieren endlich viele ZF C-Axiome ψ 1,..., ψ n mit {ψ 1,..., ψ n, ϕ} widerspruchsvoll. Der Beweis von Satz 4 zeigt aber dann: Es existieren endlich viele ZF C-Axiome θ 1,..., θ m mit der Eigenschaft: (*) Falls M abzählbares transitives Modell von {θ 1,..., θ m }, G P M-generisch, so M[G] = {ψ 1,..., ψ n, ϕ}. Nach Reflektionsprinzip existiert aber δ mit V δ = θ 1... θ m. Nach Löwenheim-Skolem sei X V δ abzählbar. Dann existiert π : X M mit M transitiv. Dann ist aber M ein abzählbares transitives Modell von {θ 1,..., θ m }. Sei G P M-generisch. Dann nach (*) M[G] = {ψ 1,..., ψ n, ϕ}. Dies ist ein Widerspruch zu {ψ 1,..., ψ n, ϕ} widerspruchsvoll. Also ist ZF C widerspruchsvoll. Wir wollen nun eine generische Erweiterung N mit N = CH konstruieren. Problem. Kardinalzahlen erhalten sollen bleiben. Bemerkung. Es gilt immer Card M[G] Card M. Definition. (a) A P ist Antikette p, q A (p q p, q unverträglich ) (b) P erfüllt die abzählbare Antikettenbedingung (abz. AB), wenn jede Antikette von P abzählbar ist. Satz 6. P erfülle die abz. AB in M. Sei G P M-generisch. Dann gilt für alle Limesordinalzahlen α M cf M[G] (α) = cf M (α). Insbesondere ist jede Kardinalzahl von M auch eine Kardinalzahl in M[G]. 33

34 2 Generische Erweiterungen Beweis. Zu insbesondere : Aus der Behauptung folgt, dass jede reguläre Ordinalzahl von M auch regulär in M[G] ist. Also ist jede Nachfolgerkardinalzahl von M eine Kardinalzahl von M[G] und daher gilt dies für jede Kardinalzahl. Zur Behauptung: Sei ρ M Limesordinalzahl. Offenbar ist cf M[G] (ρ) cf M (ρ). Somit ist für τ := cf M (ρ) nur z.z.: Ist γ < τ und f M[G] mit f : γ ρ, so ist f nicht konfinal. Dies ist trivial für τ = ω. Sei also τ > ω. Sei also f M[G] mit f : γ ρ für ein γ < τ. Wähle d M mit f = K G (d). Nach Wahrheitslemma existiert dann p G mit p d: ˆγ ˆρ. Arbeite nun in M. Definiere eine Folge B α α < γ durch (Menge der möglichen Werte an der Stelle d) B α = {ν q pq d(ˆα) = ˆν} (1) α < γ B α ω Beweis. Sei α < γ. Definiere h: B α {q P q p} so, dass h(ν) d(ˆα) = ˆν. Dann gilt: (2) ν, µ B α, ν µ h(ν), h(µ) unverträglich Beweis. indirekt. Sei r h(ν), h(µ). Dann nach Erweiterungslemma r (d: ˆγ ˆρ d(ˆα) = ˆν d(ˆα) = ˆµ Verlasse jetzt kurz M und sei H P M-generisch mit r H. Dann M[H] = K H (d): γ ρ und ν = K H (d)(α) = µ. Also ν = µ. Da P die abzählbare Antikettenbedingung erfüllt, ist also rng(h) abzählbar. Wegen (α) ist aber h auch injektiv. Also ist B α abzählbar. Wegen cf(ρ) = τ > ω ist also nach (1) für jedes α < γ B α beschränkt in ρ. Wir können also Funktion f : γ ρ definieren durch f(α) = sup(b α ). Wegen γ < cf(ρ) ist dann f nicht konfinal. Somit genügt es z.z.: (3) f f Beweis. Sei α < γ. Setze ν = f(α). Dann M[G] = K G (d)(α) = ν, d.h. M[G] = K G (d)(k G (ˆα)) = K G (ˆν). Also existiert r G mit r d(ˆα) = ˆν. Wähle q G mit q p, r. Dann auch q d(ˆα) = ˆν. Also ν B α und f(α) = ν sup(b α ) = f(α). Lemma 7 ( -System Lemma). Sei F eine überabzählbare Menge von endlichen Teilmengen von S. Dann existiert S und überabzählbares F F mit für alle A, B F (A B A B = )