Verstehensorientierter Analysisunterricht von der Anschauung zur Theorie

Transkript

1 Verstehensorientierter Analysisunterricht von der Anschauung zur Theorie Innsbruck, 27 September 2013 Hans-Wolfgang Henn TU Dortmund, Fakultät für Mathematik, IEEM

2 Enzensberger beim ICM 1998 in Berlin Die analytische Geometrie wird vorwiegend als eine Sammlung von Rezepten behandelt, ebenso die Infinitesimalrechnung. Es ist so, als würde man Menschen in die Musik einführen, indem man sie jahrelang Tonleitern üben lässt. Das hat zur Folge, dass man gute Noten erzielen kann, ohne eigentlich verstanden zu haben, was man tut.

3 Grundkurs Leistungskurs Balance schaffen zwischen Instruktion und Konstruktion, zwischen Kalkül und Semantik, zwischen Anschauung und Theorie, zwischen Vermitteln und Entdecken, zwischen konvergenten Routineaufgaben und divergenten offene Aufgaben,

4 Zugang zur Differenzialund Integralrechnung ausgehend von inhaltlichanschaulichen Überlegungen. Theorie entsteht als Präzisierung und als Überwindung der Grenzen der Anschauung.

5 Objekte einer Suche, einer Handlung Wie groß ist die durchschnittliche Beschleunigung in den ersten 300 Sekunden? Wie groß ist sie zwischen 300 und 600 Sekunden nach dem Start? Wie weit ist der ICE nach 500 Sekunden gefahren? Wie groß ist die durchschnittliche Geschwindigkeit in den ersten 700 Sekunden?

6 Objekte einer Suche, einer Handlung übrigens auch in der Hochschule Erster Zugang zu Differential- und Integralrechnung und zum Hauptsatz inhaltlich-anschaulich (ohne Kalkül) über Änderungsraten. Beispiel ICE-Graphik, führt zu Ableitung: Übergang von den mittleren zu den lokalen Änderungsraten (geometrische Verankerung: Tangente) Integral: Rekonstruktion einer Funktion aus ihren Änderungsraten (geometrische Verankerung: Flächeninhalt) Hauptsatz ergibt sich von selbst Dann schrittweise Exaktifizierung

7 Anschaulicher Zugang zur Ableitung Zentrale Idee: Änderungsraten

8 Anschaulicher Zugang zur Ableitung

9 Anschaulicher Zugang zur Ableitung Dx= 50 s

10 Anschaulicher Zugang zur Ableitung Von mittleren Änderungsraten zu lokalen Änderungsraten zur Ableitungsfunktion Begriffsbildung hängt nicht von der konkreten Funktion ab!

11 Adäquate Grundvorstellungen: Lokale Änderungsraten und lokale Linearität (Tangenten)

12 Anschaulicher Zugang zur Ableitung Graphisches Ableiten qualitativ quantitativ

13 Anschaulicher Zugang zur Ableitung Graphisches Ableiten Das kann auch der Computer! DGS und konkrete Funktion f, h mit Schieberegler: D (x) h f(x h) f(x) h

14 Anschaulicher Zugang zum Integral Zentrale Idee: Rekonstruktion

15 Anschaulicher Zugang zum Integral Grundvorstellung Rekonstruktion und Grundvorstellung Flächeninhalt

16 Anschaulicher Zugang zum Integral Untersummen und Obersummen, nicht Links- und Rechtssummen

17 Anschaulicher Zugang zum Integral

18 Anschaulicher Zugang zum Integral

19 Anschaulicher Zugang zum Integral

20 Anschaulicher Zugang zum Integral Bilden von Untersummen und Obersummen, Geht per Hand und per Computer

21 Anschaulicher Zugang zum Integral Bestandsfunktionen als Rekonstruktionen aus Änderungsraten

22 Anschaulicher Zugang zum Integral Bestandsfunktionen als Rekonstruktionen aus Änderungsraten

23 Anschaulicher Zugang zum Integral quantitatives Integrieren

24 Anschaulicher Zugang zum Integral quantitatives Integrieren Nach dem händischen Tun kann das ebenfalls (z.b.) das DGS

25 Anschaulicher Zugang zum Integral Stille Post

26 Anschaulicher Zusammenhang von Ableiten und Integrieren Damit ist der Hauptsatz inhaltlich gewonnen!

27 Von der Anschauung zur Theorie

28 Von der Anschauung zur Theorie

29 Von der Anschauung zur Theorie Grenzen des anschaulichen Zugangs 1 sin, für x 0 x f( x) 0, für x 0 Wenn wir unsere Konzepte Ableiten und Integrieren auch auf solch unanschauliche Funktionen anwenden möchten, müssen wir also eine zwar in der Anschauung verankerte, aber nicht mehr nur auf der Anschauung fußende Theorie Differenzial- und Integralrechnung entwickeln. (Büchter & Henn, 2010, S. 103)

30 Von der Anschauung zur Theorie Warum muss man (etwa im LK) exaktifizieren? Funktioniert dieser anschauliche Zugang immer? Nein, siehe z. B. f(x) = sin(1/x). Knackpunkt : anschaulicher Zugang zum Grenzwertbegriff. Existenz von Grenzwerten Vollständigkeit der Zahlengeraden Jetzt erst entsteht die Notwendigkeit, über die reellen Zahlen nachzudenken.

31 Von der Anschauung zur Theorie Und wo bleibt der Kalkül? Jetzt haben wir eine tolle Theorie, die aber zu keinen konkreten Integralen führt! Anschaulicher Zugang: Da gab es doch einen Zusammenhang zwischen Ableitung und Integral! Stammfunktionen und Richtungsfelder Übersicht über alle Stammfunktionen F von f Hauptsatz der D-I-Rechnung Ableitungsregeln Integrationsregeln Kalkül wesentlich für den Aufbau, Winter GE 2 (aber nicht zu Einführung)

32 Von der Anschauung zur Theorie ACHTUNG: Grundvorstellungen oder Kalkülkompetenz Integrierbarkeit Stammfunktion aus einfachen Funktionen

33 Von der Anschauung zur Theorie ACHTUNG: Grundvorstellungen oder Kalkülkompetenz Integrierbarkeit Stammfunktion aus einfachen Funktionen Betrachten Sie die Gauß sche Phi-Funktion mit Ist sie integrierbar? ( x) e 1 x 2 2 Was kann der Computer? Stichwort Risch-Algorithmus. Was soll händisch gekonnt werden?

34 Von der Anschauung zur Theorie ACHTUNG: Grundvorstellungen oder Kalkülkompetenz Was sind Tangenten?

35 Von der Anschauung zur Theorie ACHTUNG: Grundvorstellungen oder Kalkülkompetenz Was sind Tangenten?

36 Von der Anschauung zur Theorie ACHTUNG: Grundvorstellungen oder Kalkülkompetenz Was sind Tangenten? Genau ein Schnittpunkt ist eher verfälschend als vereinfachend. Auch in der S1 sollte die Schmiegeeigenschaft diskutiert werden.

37 Von der Anschauung zur Theorie ACHTUNG: Grundvorstellungen oder Kalkülkompetenz Was sind Tangenten? Adäquate Grundvorstellungen entwickeln: bestpassende Gerade lokal linear Für Funktionsgraphen mit Hilfe der Ableitung präzise Definition durch die übliche normative Festlegung. Was ist bei Kurven?

38 Von der Anschauung zur Theorie ACHTUNG: Grundvorstellungen oder Kalkülkompetenz Was sind Tangenten? Adäquate Grundvorstellungen entwickeln: bestpassende Gerade lokal linear Für Funktionsgraphen mit Hilfe der Ableitung präzise Definition durch die übliche normative Festlegung. Was ist bei Kurven? Problem: Die Präzisierung liefert auch wenig anschauliche Tangenten:

39 Von der Anschauung zur Theorie ACHTUNG: Grundvorstellungen oder Kalkülkompetenz Kompetenz mit Funktionen

40 Von der Anschauung zur Theorie ACHTUNG: Grundvorstellungen oder Kalkülkompetenz Kompetenz mit Funktionen Gegeben sind die Funktionen g mit g(x) = 2 x und f mit f(x) = x 2. Die obigen beiden Abbildungen zeigen jeweils die Graphen von f und g (die Achsen schneiden sich jeweils im Ursprung (0/0)). Welcher Graph ist jeweils der von g bzw. der von f? Geben Sie auf den Achsen jeweils geeignete Einheiten an. Begründen Sie ihre Antworten!

41 Von der Anschauung zur Theorie y-achsenschnittpunkte (0/0) von f und (0/1) von g Gemeinsame Schnittpunkte (2/4) und (4/16) für x > 0

42 Von der Anschauung zur Theorie ACHTUNG: Grundvorstellungen oder Kalkülkompetenz Qualitative Kurvendiskussion Für die zweimal in differenzierbare Funktionen f und g gelte f(0) =-1 und g(0)=1. Wenn die Funktion f für x 0 linksgekrümmt, die Funktion g für x 0 rechtsgekrümmt ist, dann müssen sie sich doch, wie die Skizze andeutet, schneiden, oder?

43 Von der Anschauung zur Theorie Die Sonne lacht in Madrid Das Schaubild zeigt die tägliche Tageslichtdauer in Madrid (in Stunden); auf der x-achse sind die Zahl d der Tage ab Beginn des Monats aufgetragen. * Welchen Monat zeigt das Schaubild? * Warum ergibt sich eine Gerade? * Zeichne ein analoges Schaubild für ein ganzes Jahr.

44 Von der Anschauung zur Theorie Die Sonne lacht in Madrid

45 Von der Anschauung zur Theorie Die Sonne lacht in Madrid 2 f(x) 6 cos (x 10) x in Tagen, f(x) in Stunden Die Tangente im Frühlingspunkt approximiert den Graphen in einem weiten Bereich.

46 Problemkreis Anwendungen Wechselspiel von Theorie und Anwendung ( in der Tradition Newtons); Winter sche GE Aus inhaltlichen Fragen entsteht dann neue Theorie, einige Beispiele aus unserem Buch:

47 Problemkreis Anwendungen Wichtig für Schule: Authentische Beispiele, Anwendungen ernst nehmen Modellieren lernen ab der Grundschule, Realität Math (Mathematisieren) und Math Realität (Anwenden, Interpretieren, Validieren) sind wesentliche, oft vernachlässigte Teile des Modellierungskreislaufs, Nicht nur Pseudoanwendungen Math Math

48 Problemkreis Anwendungen Wichtig für Schule: Authentische Beispiele, Anwendungen ernst nehmen Modellieren lernen ab der Grundschule, Realität Math (Mathematisieren) und Math Realität (Anwenden, Interpretieren, Validieren) sind wesentliche, oft vernachlässigte Teile des Modellierungskreislaufs, Nicht nur Pseudoanwendungen Math Math

49 Problemkreis Computer Computereinsatz in der Schule ist aus Sicht der Winter schen GE unverzichtbar. Unterstützung von Modellbildungen und Simulation (1. GE) Aufbau adäquater GV durch dynamische Visualisierungen ( 2. GE) Heuristisch-experimentelles Arbeiten beim Problemlösen ( 3. GE) Computereinsatz muss Mehrwert ergeben und nicht nur durch krumme Zahlen und verzwickte Integrale motiviert sein. Auch heute noch werden (Gym-) Lehrer an der Uni nicht für den Computereinsatz ausgebildet. Diese Qualifikation erwirbt man aber nicht so nebenbei.

50 Problemkreis Abitur Zentralabitur (ZA) nicht der Hammer ist der Mörder : Das ZA verbietet nicht sinnvollen Unterricht. Was ist guter Unterricht? Problem: Das ZA wurde vom deskriptiven zum normativen Modell. ZA-Aufgaben sind Leitbilder erwünschter Mathematikaufgaben. Problem GK-LK- & Computer-Abitur: Derzeitige Differenzierung absolut unbefriedigend. Dichotomie: Leistungsfähigkeit der Hardware ändert sich ständig Einsatz von Computern in zentralen Prüfungen soll aufs Kleinste reguliert werden.

51 Problemkreis Abitur (unrealistischer) Vorschlag: Zentraler Teil: ohne jegliches Hilfsmittel: (Grundbildungsorientiert wie bei den LSE 9) Lokaler Teil: Die Lehrkraft verwendet die Themen und die Hilfsmittel, die Gegenstand des konkreten Unterrichts waren.

52 Problemkreis Abitur (unrealistischer) Vorschlag: Zentraler Teil: ohne jegliches Hilfsmittel: (Grundbildungsorientiert wie bei den LSE 9) Lokaler Teil: Die Lehrkraft verwendet die Themen und die Hilfsmittel, die Gegenstand des konkreten Unterrichts waren. Gute Ansatz: Zentralmatura in Österreich

53 Vielen Dank für Ihre Teilnahme an dieser Fortbildungsveranstaltung!