Lernbaustein 3 Darstellen, Interpretieren und Anwenden von Funktionen (Lernbereich 1) 1 Grundlagen und Vorkenntnisse zum Funktionsbegriff

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1 Vorwort 3 Lernbaustein 3 Darstellen, Interpretieren und Anwenden von Funktionen (Lernbereich 1) 1 Grundlagen und Vorkenntnisse zum Funktionsbegriff 1.1 Einführung des Funktionsbegriffs Allgemeine Verwendung des Wortes Funktion Produktmenge, Zuordnung, Relation Definition und Darstellungsarten einer Funktion Definition der Funktion Darstellungsarten einer Funktion Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten Potenzfunktionen mit geradem Exponenten Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten Potenzfunktionen mit Faktor a 17 2 Ganzrationale Funktionen 2.1 Aufbau und Definition der ganzrationalen Funktionen Definition der ganzrationalen Funktion Ganzrationale Funktionen verschiedenen Grades Ganzrationale Funktionen 0. Grades: Konstante Funktionen Ganzrationale Funktionen 1. Grades: Lineare Funktionen Ganzrationale Funktionen 2. Grades: Quadratische Funktionen ,2.4 Ganzrationale Funktionen 3. Grades Ganzrationale Funktionen 4. Grades Allgemeine Kriterien des Kurvenverlaufs ganzrationaler Funktionen 50 3 Umkehrfunktionen 3.1 Definition der Umkehrfunktion Beispiel für eine lineare Umkehrfunktion Definition und Darstellungsarten der Umkehrfunktion Die Umkehrung der quadratischen Funktion Umkehrbarkeit und Eineindeutigkeit 58 Bibliografische Informationen digitalisiert durch

2 4 Gebrochenrationale Funktionen 4.1 Aufbau und Definition der gebrochenrationalen Funktionen Einfache gebrochenrationale Funktionen: Hyperbeln «-ter Ordnung Gebrochenrationale Funktionen als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen Unstetigkeitsstellen: Pole und Lücken Asymptote, Verhalten für x > ± Untersuchung gebrochenrationaler Funktionen (Kurvendiskussion) 70 5 Weitere Funktionen 5.1 Wurzelfunktionen Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen Wiederholung der Grundlagen Rechnen mit Logarithmen Lösungen von Exponentialgleichungen Exponentialfunktionen Definition und Beispiele Eigenschaften der Exponentialfunktionen Exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme Die Zahl e und die e-funktion Logarithmusfunktionen Spezielle Funktionen Die Betragsfunktion Die Gaußfunktion Die Vorzeichenfunktion 97 6 Folgen, Reihen und Grenzwerte 6.1 Folgen und Reihen Grundproblematik Definition von Folgen und Reihen Arithmetische Folgen und Reihen Geometrische Folgen und Reihen Grenzwert von Folgen und Rechnen mit Grenzwerten Entwicklung der Grenzwertdefinition Rechnen mit Grenzwerten Monotonie und Stetigkeit Monotone Folgen und ihre Eigenschaften Exakte Bestimmung der Zahl e Grenzwerte von Funktionen Stetigkeit 128

3 Untersuchen von ganzrationalen Funktionen mithilfe der Differenzialrechnung (Lernbereich 2) 7 Differenzialrechnung 7.1 Die Ableitung einer Funktion Problemstellungen Steigung und Tangente Geschwindigkeit und Beschleunigung Ökonomische Änderungsraten Ableitung einer Funktion an der Stelle x Ableitungsfunktion Differenzialrechnung für ganzrationale Funktionen Ableitungsregeln Untersuchung ganzrationaler Funktionen (Kurvendiskussion) Monotonieverhalten Lokale (relative) Extrempunkte Wendepunkte Diskussion des Graphen einer ganzrationalen Funktion Das Newton-Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen Bestimmen von ganzrationalen Funktionen aus vorgegebenen Eigenschaften 167 Lernbaustein 4 Anwenden der Differenzialrechnung (Lernbereich 1) 8 Weiterführung der Differenzialrechnung 8.1 Erweiterung der Ableitungsregem Die Notwendigkeit weiterer Regeln Die Quotientenregel Die Kettenregel Untersuchung gebrochenrationaler Funktionen (Kurvendiskussion) Optimierung: das Lösen von Extremwertproblemen 9.1 Extremwertprobleme: Einführung Ein allgegenwärtiges Problem Einstiegsaufgabe Dualisierung der Einstiegsaufgabe Elementare Beispiele für Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen Optimaler Ausbau eines Dachbodens Herstellung eines Behälters größten Inhalts Minimaler Materialverbrauch Flächengestaltung 188

4 9.2.5 Zusammenfassung der Vorgehensweise zur Lösung einer Extremwertaufgabe Extremwertprobleme bei ökonomischen Funktionen Preisabsatzfunktionen und Erlösfunktionen Kostenfunktionen Gewinnfunktionen 197 Berechnen von Flächeninhalten und Volumina mithilfe der Integralrechnung (Lernbereich 2) 10 Integralrechnung 10.1 Stammfunktion Definition der Stammfunktion Integrationsregeln: Bestimmung von Stammfunktionen bestimmter Grundfunktionen Stammfunktionen und unbestimmtes Integral Bestimmtes Integral als (orientierte) Maßzahl einer Fläche Berechnung des Flächeninhalts der Fläche zwischen Funktionsgraph und x-achse Fläche zwischen zwei Kurven Integralfunktion als Funktion der oberen Grenze Anwendungen der Integralrechnung Konsumentenrente und Produzentenrente Volumenberechnungen von Rotationskörpern Beispiele für Rotationskörper Herleitung der Volumenformel Berechnung verschiedener Volumina Physikalischer Arbeitsbegriff Anwendungen in Wirtschaft und Verwaltung 236 Wahlpflichtthemen (Lernbereich 3) 11 Lösen praxisbezogener Problemstellungen mithilfe der Finanzmathematik 11.1 Zinseszinsrechnung Geometrisch-degressive Abschreibung Rentenrechnung Rentenendwert Rentenbarwert Kapitalaufbau und Kapitalabbau Annuitätentilgung 266

5 12 Grundkurs der beschreibenden Statistik 12.1 Aufgabe und Grundbegriffe der beschreibenden (= deskriptiven) Statistik Anliegen und geschichtliche Entwicklung der beschreibenden Statistik Beispiele für verschiedene Arten von Statistiken Definitionen und Grundbegriffe Merkmale und ihre Einteilung Skalen Qualitative und quantitative, diskrete und stetige Merkmale Bearbeitung des Zahlenmaterials Tabellarische Aufbereitung von Stichproben Urliste Strichliste, Klasseneinteilung und absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit Zum Begriff der relativen Häufigkeit Relative Summenhäufigkeit Grafische Darstellungen Grafische Darstellungen bei qualitativen Merkmalen Grafische Darstellungen bei quantitativen Merkmalen Lageparameter und Streuungsparameter einer Häufigkeitsverteilung Lageparameter Median (Zentralwert) Arithmetisches Mittel Geometrisches Mittel und Modalwert Streuungsparameter Variabilität von Stichprobenwerten Empirische Varianz (Streuung) und empirische Standardabweichung Korrelationsrechnung und Regressionsrechnung Beziehungen, Ursachen, Wirkungen oder nur Korrelationen? Regressionsrechnung Korrelationsrechnung Irrtümer und Täuschungen oder: Wie lügt man mit Statistik? 308 Anhang Kurzlösungen 318 Literaturverzeichnis 351 Bildquellenverzeichnis 351 Sachwortverzeichnis 352