Grundwissen Seite 1 von 45 Klasse9

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1 Grundwissen Seite von 5 Klasse9 IN = {; 2; ; ; 5; 6; } Menge der natürlichen Zahlen Beispiele: 5 ist eine natürliche Zahl kurz: 5 IN 5 ist ein Element von IN Natürliche Zahlen -2 ist keine natürliche Zahl kurz: -2 IN -2 ist kein Element von IN 0 ist keine natürliche Zahl kurz: 0 IN 0 ist kein Element von IN Jede natürliche Zahl (außer der Zahl ) hat eine natürliche Zahl als Vorgänger. 257 ist der Vorgänger von 258 ZAHLEN Jede natürliche Zahl hat eine natürliche Zahl als Nachfolger. 25 ist der Nachfolger von 2 Somit gibt es unendlich viele natürliche Zahlen. Ebenso: IN 0 = {0; ; 2; ; ; 5; 6; } Menge der natürlichen Zahlen und Null Seite 0 {; ; 5; 7; 9; ; ; 5; } Menge der ungeraden natürlichen Zahlen {2; ; 6; 8; 0; 2; ; 6; } Menge der geraden natürlichen Zahlen {; ; 9; 6; 25; 6; 9; 6; } Menge der Quadratzahlen Multipliziert man eine natürliche Zahl mit sich selbst, erhält man eine Quadratzahl. Beispiele: 2 2 = oder 9 9 = 8 Zahlen mit besonderen Eigenschaften Beispiele für Vielfachenmengen: V 5 = {5; 0; 5; 20; 25; } Menge aller Vielfachen der Zahl 5 V 7 = {7; ; 2; 28; 5; } Menge aller Vielfachen der Zahl 7 Beispiele für Teilermengen: T 8 = {; 2; ; 8} Menge aller Teiler der Zahl 8 T 2 = {; 2; ; ; 6; 8; 2; 2} Menge aller Teiler der Zahl 2 ZAHLEN {2; ; 5; 7; ; ; 7; 9; } Menge der Primzahlen Jede Primzahl hat genau zwei Teiler, und sich selbst. Jede natürliche Zahl (außer und den Primzahlen) kann man als Produkt von Primzahlen schreiben. Beispiele: 20 = = 2 5 Primfaktorzerlegung 90 = = 2 7 Seite 2 Der Wert, den eine Ziffer hat, hängt von der Stelle ab, an der sie innerhalb einer Zahl steht. Daher spricht man von einem Stellenwertsystem. Die Zahl Zehnerstufen Mrd HM ZM M HT ZT T H Z E Ziffer Die Zahlen ; 0; 00; 000; nennt man Stufenzahlen unseres Zehnersystems. Zehnersystem (Dezimalsystem) ZAHLEN Seite 6

2 Grundwissen Seite 2 von 5 Klasse9 Die römischen Zahlzeichen haben unabhängig davon, an welcher Stelle sie stehen, immer den gleichen Wert (also kein Stellenwertsystem): I = V = 5 X = 0 L = 50 C = 00 D = 500 M = 000 Beispiele: = XXXI 75 = LXXV 62 = MCCCLXII Steht ein kleineres Zeichen vor einem größeren, so wird subtrahiert. Beispiele: = IV 29 = XXIX 96 = XCVI Römische Zahlzeichen ZAHLEN Seite 26 Z = { ; -; -; -2; -; 0; ; 2; ; ; } Zahlengerade: Menge der ganzen Zahlen Ganze Zahlen negative ganze Zahlen null natürliche Zahlen Anordnung der ganzen Zahlen: (positive ganze Zahlen) Von zwei ganzen Zahlen ist diejenige größer, deren Bildpunkt auf der Zahlengeraden weiter rechts liegt. ZAHLEN -5 < - und - < bzw. - > -5 und > - Betrag einer ganzen Zahlen: Er gibt die Entfernung des Bildpunktes einer Zahl vom Nullpunkt der Zahlengeraden an. -5 und +5 haben beide den Betrag 5 (Man nennt -5 Gegenzahl von +5 und umgekehrt.) Der Betrag von -7 ist 7, kurz: -7 = 7 +,2 =,2 0 = 0 Allgemein: a = a, wenn a positiv ist a = 0, wenn a Null ist a = -a, wenn a negativ ist Seite 52 Wenn man ein Ganzes in 2; ; ; 5... gleich große Teile zerlegt, so erhält man Bruchteile, und zwar zwei Halbe, drei Drittel, vier Viertel, fünf Fünftel.... Man schreibt für einen solchen Teil,,,, und nennt diese Brüche Stammbrüche. Zerlegt man ein Ganzes z. B. in acht gleich große Teile und fasst dann fünf dieser 5 Teile zusammen, so erhält man den Bruch. 8 5 Zähler (Er gibt an, wie viele dieser Teile zusammengefasst werden.) Bruchstrich 8 Nenner (Er gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze zerlegt wird.) Stammbrüche ZAHLEN Seite 0 Brüche ZAHLEN Seite 2

3 Grundwissen Seite von 5 Klasse9 Scheinbrüche: Ihr Zähler ist 0 oder ein Vielfaches ihres Nenners. Beispiele: 0 ( 0) ; ( ) ; ( ) ; ( 6 ) ; ( 7 ) ; Brüche mit besonderen Eigenschaften Echte Brüche: Ihr Zähler ist kleiner als ihr Nenner. Beispiele: 0 7 ; ; ; ; ; Unechte Brüche: Ihr Zähler ist mindestens so groß wie ihr Nenner. ZAHLEN Beispiele: ; ; ; ; ; ; ; ; Unechte Brüche, die keine Scheinbrüche sind, lassen sich als gemischte Zahlen schreiben. Beispiele: 9 ; 2 8 ; ; ; ; Erweitern eines Bruchs: Zähler und Nenner des Bruchs mit der gleichen natürlichen Zahl multiplizieren (Es wurde mit 7 erweitert.) Kürzen eines Bruchs: Zähler und Nenner des Bruchs durch die gleiche natürliche Zahl dividieren :6 2 :6 7 (Es wurde mit 6 gekürzt.) Beim Erweitern wie beim Kürzen ändert der Bruch seinen Wert nicht. Die Form eines Bruchs, bei der sein Zähler und sein Nenner teilerfremd sind, heißt Grundform dieses Bruchs; ein Bruch in Grundform ist vollständig gekürzt". Brüche, deren Nenner Zehnerstufenzahlen sind, können als Dezimalzahlen geschrieben werden. Beispiele: , 7 ; 0, 75 ; 5 9 0, 05 ; 2 2, Stellenwerttafel: H Z E Komma z h t Zahl Gelesen 2, 0 9 2,09 einundzwanzig Komma null drei neun Bei den Ziffern 0,, 2, und rundet man ab! Beispiele: (Z) 00 (H) 5,76 5,7 (z auf zehntel gerundet) Bei den Ziffern 5, 6, 7, 8 und 9 rundet man auf! Beispiele: (Z) (H) (T) 2,856 (E) 2,856 2,9 (z) 2,856 2,86 (h) Seite 6 Erweitern und Kürzen ZAHLEN Seite 26 Dezimalzahlen ZAHLEN Seite 2 Runden ZAHLEN Seite 20 Seite 52

4 Grundwissen Seite von 5 Klasse9 Alle positiven und alle negativen Brüche bilden mit der Zahl 0 zusammen die Menge QI der rationalen Zahlen; diese enthält somit auch alle ganzen Zahlen (und deshalb auch alle natürlichen Zahlen). Rationale Zahlen Spiegelt man den Bildpunkt einer rationalen Zahl (z.b. 0,7) am Nullpunkt, so erhält man den Bildpunkt ihrer Gegenzahl (hier: + 0,7). Die Entfernung des Bildpunkts einer Zahl vom Nullpunkt der Zahlengeraden gibt den Betrag dieser Zahl an. Die Bildpunkte einer Zahl und ihrer Gegenzahl sind vom Ursprung stets gleich weit entfernt; Zahl und zugehörige Gegenzahl besitzen den gleichen Betrag. ZAHLEN negative rationale Zahlen null positive rationale Zahlen Anordnung der rationale Zahlen: Von zwei rationalen Zahlen ist diejenige größer, deren Bildpunkt auf der Zahlengeraden weiter rechts liegt. Beispiele: 5 < 6 und 2 < 2 und 0 < 6 Seite 2 Unter der Quadratwurzel aus x (kurz: Wurzel aus x bzw. x ) versteht man für x 0 diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich x ist. Quadratwurzeln 2 2 Es gilt: x 0 und ( x) x und x x falls x 0 Es gilt: x 2 x Betrag von x für beliebige rationale Zahlen x Der Term bzw. die Zahl unter dem Wurzelzeichen nennt man Radikand. Das Berechnen des Wertes einer Quadratwurzel nennt man Wurzelziehen bzw. besser: Radizieren. ZAHLEN Beispiele: , ( 25) ( x ) 2 x x für x 0 0 für x 0 ( x ) für x 0 x für x 0 für x x für x *NEU* delta9 Seite 0f

5 Grundwissen Seite 5 von 5 Klasse9 Es gibt Zahlen, welche sich nicht als Bruch ( n z mit z Z, n IN ) darstellen lassen. Ihre Darstellung ist daher weder endlich (abbrechend) noch periodisch. Man nennt diese Zahlen irrationale Zahlen. Beispiele:, ist eine irrationale Zahl. Reelle Zahlen 9 0, 0,... ist eine rationale Zahl, denn sie ist periodisch. 52 =9 ist eine rationale Zahl (natürliche Zahl), denn sie ist abbrechend. ZAHLEN, ist eine irrationale Zahl, denn sie bricht nie ab uns ist auch nicht periodisch! Die Menge der rationalen Zahlen und der irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge IR der reellen Zahlen. IR QI Z IN *NEU* delta9 Seite 2f Seite 8f Anteile kann man besser vergleichen, wenn sie in Prozent (geschrieben: %) angegeben werden: Prozentbegriff % bedeutet 0, % bedeutet 7 0, % bedeutet 57 0, ZAHLEN Häufige Prozentsätze: % 0,0 ; 20% 0, 20 ; % 0,25 ; 50% 0, Seite 0f % 0,75 ; 00% 00 00

6 Grundwissen Seite 6 von 5 Klasse9 Prozentsatz Grundwert Prozentwert Prozentrechnung Rechnung: 20%( ) von 0 Euro sind genau 8 Euro 0:00 20 = 0:5 = 8 5 Das Ganze, dessen Anteile verglichen werden, bildet den Grundwert. Jeden Anteil am Ganzen kann man (in Bruchform oder) in Prozent angeben; er stellt den Prozentsatz dar. ZAHLEN Der jeweilige Teil des Ganzen bildet den Prozentwert. In einem Lostopf sind 80 Lose, darunter sind 2 Gewinne! Wie viel Prozent sind Nieten? Grundwert: 80 Prozentwert: 8 Prozentsatz (Anteil in %): % Seite 96ff Wird der Grundwert (z. B. der Preis eines Fernsehers) um p Prozent erhöht, p so steigt er auf das ( )- Fache des ursprünglichen Werts. 00 p Man nennt ( ) den Wachstumsfaktor. 00 Ein Fernseher (20 ) wird um 0% teurer: 0 Neuer Preis: 20 ( ) = 20, = Wird der Grundwert (z. B. der Preis einer Waschmaschine) um p Prozent p vermindert, so nimmt er auf das ( ) - Fache des ursprünglichen Werts ab. 00 p Man nennt ( ) den Abnahmefaktor. 00 Eine Waschmaschine (90 ) wird um 5% billiger: 5 Neuer Preis: 90 ( ) = 90 0,85 = 6,50 00 delta7 Seite ff

7 Grundwissen Seite 7 von 5 Klasse9 STRICHRECHENARTEN: Fachbegriffe Addition: = 6. Summand plus 2. Summand Wert der Termname: Summe Summe Subtraktion: 5 = 0 Minuend minus Subtrahend Wert der Termname: Differenz Differenz PUNKTRECHENARTEN: Multiplikation: 5 8 = 90. Faktor mal 2. Faktor Wert des Termname: Produkt Produkts Division: 8 : 2 = 9 Dividend geteilt durch Divisor Wert des Termname: Quotient Quotienten Potenzieren: 2 2 = Basis hoch Exponent Wert der Potenz Termname: Potenz Rechnung: 2² = 2 2 = Weiteres 5 = = 625 Zehnerpotenz: 7 0 = = RECHENARTEN Seite /02/2/ : 27 = Überschlagsrechnungen: Schriftliches Rechnen in IN RECHENARTEN = = = : 0 = 5 Beachte: 0 a = 0 0 : a = 0 (a 0) a : 0 ist NICHT möglich!!! Seite 6/0/06/6

8 Grundwissen Seite 8 von 5 Klasse9 Gleichnamige Brüche addieren/subtrahieren: Beispiele: ; Ungleichnamige Brüche addieren/subtrahieren: Beispiele: ; REGEL: Ungleichnamige Brüche werden vor der Addition bzw. Subtraktion gleichnamig gemacht. (Hauptnenner) Der Summenwert bzw. Differenzwert der Zähler wird durch den gemeinsamen Nenner dividiert. Dezimalzahlen addieren/subtrahieren: Beispiele:,28 + 5,06 = 8, 7,805,500 = 2,9765 Multiplikation von Brüchen: Beispiele: ; REGEL: Produkt der Zähler dividiert durch das Produkt der Nenner. ( Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner ) Tipp: Nach Möglichkeit vor dem Ausmultiplizieren kürzen! Rechnen in QI + RECHENARTEN Seite 75/79/8 Multiplikation von Dezimalzahlen: Beispiele:,6 2,7 =,72 NR: 6 27 = 72 2,5,8 = 7,950 NR: 25 8 = 7950 REGEL: Zunächst den Produktwert der Zahlen ohne Komma bilden. Das Endergebnis hat so viele Dezimalen, wie die beiden Faktoren zusammen besitzen. Division durch einen Bruch: Beispiele: : ; : REGEL: Man dividiert durch einen Bruch indem man mit seinem Kehrbruch multipliziert Division durch eine Dezimalzahl: Beispiele:,56 :, = 5,6 : =,0 REGEL: Ausgleichende Kommaverschiebung: Der Divisor muss eine natürliche Zahl sein. Dividieren! Wird das Komma des Dividenden überschritten, so setzt man im Quotientenwert das Komma! Seite 9/98/ 00/02/0/ 06/08/

9 Grundwissen Seite 9 von 5 Klasse9 Summanden mit gleichem Vorzeichen: (+8) + (+5) = = + ( 8) + ( 5) = 8 5 = (+,8) + (+2,5) =,8 + 2,5 = +, (,8) + ( 2,5) =,8 2,5 =, gemeinsames Vorzeichen der Summanden Summenwert der Beträge der Summanden Rechnen in QI Summanden mit verschiedenen Vorzeichen: (+8) + ( 5) = 8 5 = + ( 8) + (+5) = = (+,8) + ( 2,5) =,8 2,5 = 0,7 (,8) + (+2,5) =,8 + 2,5 = +0,7 Vorzeichen des Summanden mit dem größeren Betrag Unterschied der Beträge der Summanden Beachte: Bei verschiedenen Vorzeichen, aber gleichem Betrag ist der Summenwert 0. (+8) + ( 8) = 8 8 = 0 ( 5) + (+5) = = 0 (+,5) + (,5) =,5,5 = 0 ( 2,7) + (+2,7) = 0 Zwei rationale Zahlen werden subtrahiert, indem man zum Minuenden die Gegenzahl des Subtrahenden addiert. (+) ( 5) = (+) + (+5) = +8 = 8 (+,) ( 7,5) = (+,) + (+7,5) = +50,9 = 50,9 ( 5,7) (+5,8) = ( 5,7) + ( 5,8) = 5,7 5,8 = 90,5 RECHENARTEN Überschlagsrechnung: ( 5,7) (+5,8) 50 0 = 90 Faktoren mit gleichem Vorzeichen: (+5) (+) = +5 ( 5) ( ) = +5 (+,9) (+2,) = +,7 (,9) ( 2,) = +,7 positives Vorzeichen ( Plus") Faktoren mit verschiedenen Vorzeichen: Produktwert der Beträge der Faktoren (+7) ( ) = 2 ( 7) (+) = 2 (+,9) ( 2,) =,7 (,9) (+2,) =,7 negatives Vorzeichen ( Minus") Produktwert der Beträge der Faktoren Zwei ganze Zahlen (nicht Null) werden dividiert, indem man ihre Beträge dividiert. Falls Dividend und Divisor das gleiche Vorzeichen besitzen, erhält das Ergebnis ein positives Vorzeichen, sonst ein negatives. ( 8) : ( ) = 6 ( 8) : (+) = 6 ( 2,26) : ( 2,8) = ( 22,6) : ( 28) = +,7 Überschlagsrechnung: ( 2,26) : ( 2,8) ( 20) : ( 0) = Seite 76/ 78/8/86 Merke: 0 b = 0 für alle b QI 0 : b = 0 für alle b QI, b 0

10 Grundwissen Seite 0 von 5 Klasse9 a x b x ( a b) x (2 9) 7 7 Rechen mit Quadratwurzeln a x b x ( a b) x 5 2 (5 2) x y x y x x x x x² x x x z z 2 2 RECHENARTEN Dabei gilt: a, b IR x, y IR + 0 z IR + Achtung: 0 a 0 für alle a IR 0 : a 0 für alle a IR \{ 0 } a : 0 ist für KEINEN Wert a aus IR möglich! *NEU* delta9 Seite 20ff Bruchterme sollten möglichst so vereinfacht werden, dass im Nenner des Endergebnisses keine Wurzeln mehr stehen. Dazu wird geschickt erweitert: Rationalmachen des Nenners Beispiele: Es wurde mit der Wurzel des Nenners erweitert ( 6 8) ( 6 8) ( 6 8) Binomische Formel RECHENARTEN 8 ( ( 8 8 ) ( ) 8 ) ( 5 8 ) *NEU* delta9 Seite 20ff. Binomische Formel

11 Grundwissen Seite von 5 Klasse9 Kommutativgesetz: Der Wert einer Summe (eines Produkts) ändert sich nicht, wenn man die Summanden (Faktoren) vertauscht. a + b = b + a a b = b a Rechenregeln und Rechengesetze Assoziativgesetz: Der Wert einer Summe (eines Produkts) ändert sich nicht, wenn man Summanden (Faktoren) mit Klammern zusammenfasst oder vorhandene Klammern weglässt. a + ( b + c ) = ( a + b ) + c a ( b c ) = ( a b ) c Distributivgesetz: a ( b + c ) = a b + a c Rechenvorteile ( b + c ) : a = b : a + c : a (a 0) Beispiele: 5 7,8 = 5 (7 + 0,8) = ,8 = 5 + = 9 ( Ausmultiplizieren ) = 8 ( ) = 8 9 = 72 ( Ausklammern") = (00 ) 5 = = = 527 ( Zerlegen") Rechenregeln: Die Terme, die in Klammern stehen, werden zuerst berechnet. 5,9 (25, 7,6) = 5,9 7,8 = 8, Potenzrechnungen werden vor Punktrechnungen" ausgeführt.,2 2 5 =,2 2 =, Punktrechnungen" werden vor Strichrechnungen" ausgeführt. 5,5,5 (8 78) = 5,5,5 6 = 5,5 9 = 6,5 RECHENARTEN Seite //66/ 0/0// 20/6/ Seite 7/82/9/ 02/20/82/ 8/88 Potenzen: a n = a a a a a (n Faktoren ; n>) a = a und a 0 = a -n = n a ( n IN ; a IR \ {0} ) Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Beispiele: 6 = = ,7 = 0,7 0,7 0,7 = 0,9 0,7 = 0, 0 7 = 0 29 = = 2 - = = = = 0, RECHENARTEN Potenz Wert 8 2 0,5 0, 25 0, Seite 2 :2 :2 :2 :2 :2 :2

12 Grundwissen Seite 2 von 5 Klasse9 Zahlen mit sehr großem bzw. mit sehr kleinem Betrag kann man mithilfe von Zehnerpotenzen übersichtlich darstellen: Beispiele: = 8, = 8,7 0 7 Komma um 7 Stellen nach links 0,0005 =,5 0,000 =,5 0 - Komma um Stellen nach rechts Allg.: a 0 +n Für den Betrag a des Faktors vor der Zehnerpotenz gilt < a < 0. Multiplizieren und Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis x a x b = x a+b bzw. x a : x b = x a-b x IR \ {0} und a,b Z Wissenschaftliche Schreibweise Gleitkommadarstellung" RECHENARTEN Seite 2 Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten Beispiele: 2 = 2+ = 6 = : 7 - = 7 2-(-) = 7 5 = 6807 Potenzieren einer Potenz (x a ) b = x ab x IR \ {0} und a,b Z RECHENARTEN Beispiele: ( 2 ) = 8 = 6556 ( -2 ) -2 = = 8 Multiplizieren und Dividieren von Potenzen mit gleichem Exponenten x x a y a = (xy) a bzw. x a : y a a = ( ) x, y IR \ {0} und a,b Z y Beispiele: = ( 2) 5 = 6 5 = : 2-2 = (:2) -2 = 2-2 = 0,25 Seite Die nichtnegative reelle Zahl, deren n-te Potenz x ist, nennt man die n-te Wurzel aus x. Schreibweise: n x Allgemeine Wurzel Es gilt also: x IR + 0 n n n x 0 und x und x n x n I N \ {} Bezeichnungen: Der Term unter der Wurzel heißt Radikand. n heißt Wurzelexponent. (Der Wurzelexponent 2 wird meistens weggelassen!) x n Beispiele: 8 2 (weil 2³ = 8) 25 5 (weil 5³ = 25) 8 (weil = 8) RECHENARTEN *NEU* delta9 Seite 0ff Allgemeine Wurzeln lassen sich auch als Potenzen darstellen: n n m n m n x x und x x Dabei gilt: x IR + 0, n I N \ {}, m Z Beispiele: , (2 ) 8 (2 ) Potenzen mit rationalen Exponenten RECHENARTEN *NEU* delta9 Seite ff

13 Grundwissen Seite von 5 Klasse9 Multiplizieren und Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis x a p b q a b p q x x x IR + und a,b Z und p,q I N Potenzgesetze für rationale Exponenten Beispiele: , ,7 0, ; Potenzieren einer Potenz x a p b q x a b p q 5 2 x IR + und a,b Z und p,q I N Beispiele: ; RECHENARTEN Multiplizieren und Dividieren von Potenzen mit gleichem Exponenten x a p a p a p a a a p p y x y bzw. x : y x : yp x,y IR + und a Z und p I N Beispiele: : :0, 0 *NEU* delta9 Seite ff Tabelle Schüler Hans Gregor Soopphhi iiee Otto Laura Lucas Stimmen Anteil (%) 6,25% 2,5% 2,88% 25%,25%,% Tabellen und Diagramme Säulendiagramm Klassensprecherwahl 6e Bilddiagramm Hans Gregor Soopphhi iiee Otto Laura Lucas ZAHLEN 2 0 Hans Gregor Sophie Otto Laura Lucas Seite 22 Blockdiagramm (Streifendiagramm) Kreisdiagramm Seite

14 Grundwissen Seite von 5 Klasse9 Vorgänge, deren Ergebnis zufällig, d.h. nicht voraussagbar ist, nennen wir Zufallsexperimente. Beispiele: Werfen einer Münze ; Ziehen von Kugel (Lottozahlen) ; Glücksrad drehen ; Spielwürfel werfen Ein Spielwürfel wird 25-mal geworfen: Treffer (T) wäre z.b. eine Sechs, eine Niete (N) wäre dann eine, 2,, oder 5. Ergebnisse: Strichliste Tabelle Augenzahl Anzahl Augenzahl Anzahl 6 6 keine 6 keine 6 2 Zufallsexperimente Seite 62 Alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments fasst man zu einer Ergebnismenge (man spricht auch von einem Ergebnisraum) zusammen. Diese wird häufig mit dem Buchstaben bezeichnet. Start Geschwisterfolge bei zwei Kindern (Junge/Mädchen) Mögliche Ergebnisse: JJ; JM; MJ; MM Ergebnismenge = {JJ; JM; MJ; MM} J M Die möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments lassen sich durch ein Baumdiagramm übersichtlich darstellen. Ein Zufallsexperiment nennt man einstufig oder mehrstufig, je nachdem, ob man es in einem oder mehreren Schritten durchführt. Werden bestimmte Ergebnisse eines Zufallsexperiments zusammengefasst, so erhält man ein Ereignis. Beispiele: Experiment: Werfen eines Würfels Ereignis E : Werfen einer geraden Augenanzahl Die Ergebnisse, die zu diesem Ereignis gehören, heißen günstige Ergebnisse. Die Augenanzahlen 2 und und 6. E = { 2; ; 6} Ein Ereignis, für das alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments günstig sind, heißt sicheres Ereignis. J M E 2: Werfen einer natürlichen Zahl E 2 = { ; 2; ; ; 5; 6} = J M Ergebnismenge Seite 92 ff *NEU* delta9 Seite ff Ereignisse Ein Ereignis, das bei diesem E : Werfen der Zahl -5 Zufallsexperiment nicht eintreten kann, E = { } = Ø heißt unmögliches Ereignis. Alle für ein Ereignis E ungünstigen Gegenereignis zu E Ergebnisse bilden zusammen dessen E : Werfen einer ungeraden Gegenereignis E. Ereignisse werden häufig in Mengenform angegeben. Augenanzahl E = { ; ; 5} Seite 9 ff

15 Grundwissen Seite 5 von 5 Klasse9 Ein Spielwürfel wird n-mal (z.b. 25-mal) geworfen und es erscheint dabei k-mal (z.b. -mal) die Augenzahl 6. Absolute Häufigkeit der Sechser : (Anzahl der Sechser ) Relative Häufigkeit der Sechser : 6 6% (Anteil der Sechser ) Allgemein: Relative Häufigkeit k "Anzahl, wie oft ein bestimmtes Ergebnis eingetreten ist" n "Anzahl, wie oft das Experiment durchgefüh rt wurde" Relative Häufigkeit Seite 6 Seite 96 ff Führt man ein Zufallsexperiment sehr oft durch, so ändert sich die relative Häufigkeit, mit der ein Ereignis E eintritt, schließlich nur noch sehr wenig: Wahrscheinlichkeit Die relative Häufigkeit des Ereignisses E schwankt um eine feste Zahl. Diese Zahl bezeichnet man als die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E. Die relative Häufigkeit eines Ereignisses E ist ein Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses. Experiment: Werfen einer Münze Anzahl n der Würfe Anzahl k der Adler Relative Häufigkeit (Wahrscheinlichkeit) ,8 = 8 % ,57 = 5,7 % Seite 96 ff Das arithmetische Mittel berechnet man so: Man addiert alle Einzelwerte und teilt diesen Summenwert durch die Anzahl aller Einzelwerte. Arithmetisches Mittel Beispiele: Einzelwerte 2 kg,, kg, 5, kg und 5,9 kg Das arithmetische Mittel (Mittelwert): 2kg,kg 5,kg 5,9kg 57,kg,25kg,kg Einzelwerte 5 mal Note, 2 mal Note 2, 6 mal Note Das arithmetische Mittel (Mittelwert): (5 2 6) 7 2,0 2 delta7 Seite 28

16 Grundwissen Seite 6 von 5 Klasse9 Zufallsexperimente, bei denen jedes der möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich ist, nennt man Laplace-Experimente. Laplace- Experimente Sind bei einem Laplace-Experiment 2 (; ; 5; 6;... n) verschiedene Ergebnisse möglich, so beträgt die Wahrscheinlichkeit für jedes dieser Ergebnisse: ( ; ; ;...; ). 2 5 n Dementsprechend nennt man einen idealen Spielwürfel einen Laplace-Würfel (L-Würfel), eine ideale Münze Laplace-Münze (L-Münze). Bei Laplace-Experimenten kann man die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses E direkt berechnen: Laplace-Wahrscheinlichkeit P(E) = = Anzahl der Ergebnisse, bei denen das Ereignis E eintritt Anzahl aller möglichen Ergebnisse des Zufallsex periments Anzahl der günstigen Ergebnisse " Anzahl aller möglichen Ergebnisse " Seite 02 ff Es sollen z. B. vier Stellen besetzt werden. Gibt es für die Besetzung der.stelle 2. Stelle. Stelle. Stelle n n 2 n n verschiedene Möglichkeiten, so gibt es insgesamt n, n 2 n n verschiedene Besetzungsmöglichkeiten. Zählprinzip Wie viele verschiedene fünfstellige natürliche Zahlen kann man aus den Ziffern ; ; 5; 7; 0 bilden, wenn jede dieser Ziffern a) genau einmal vorkommen darf? Lösung: Anzahl der möglichen Zahlen: 2 = 96 Null darf nicht vorne stehen! Bleiben noch Mögliche b) auch mehr als einmal vorkommen darf? Lösung: Anzahl der möglichen Zahlen: = 2500 Auf wie viele Arten kann man vier verschiedene Bücher nebeneinander in ein Regal stellen? Lösung: Anzahl der Möglichkeiten: 2 = 2 Seite 98 ff

17 Grundwissen Seite 7 von 5 Klasse9 Besonders bei mehrstufigen Zufallsexperimenten sind Baumdiagramme zur Veranschaulichung sehr nützlich. Ein Glücksrad (s. Bild) wird dreimal hintereinander gedreht. Das entsprechende Baumdiagramm mit den einzelnen Wahrscheinlichkeiten sieht so aus: N: Niete P(N) = 75% G: Gewinn P(G) = 25% N G N G N G N G NNN NNG NGN NGG GNN GNG GGN GGG Ergebnismenge = { NNN, NNG, NGN, NGG, GNN, GNG, GGN, GGG } ) Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten an Zweigen von einem Knoten aus ergibt jeweils. Im Beispiel gilt immer: 2) Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf dem Pfad, der zu diesem Ergebnis führt. 27 Im P(NNN) 2,2% 6 P(GNG),7% 6 ) Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten derjenigen Ergebnisse, die zu diesem Ereignis führen. Im P("Genau N N ein Niete") P(GGN ;GNG; NGG) Viele Zufallsexperimente kann man durch ein so genanntes Urnenmodell simulieren: G Start NIETE 9 6,% Eine Urne enthält verschiedenfarbige, aber sonst nicht unterscheidbare Kugeln. Man zieht daraus nun n-mal hintereinander jeweils eine Kugel blind. a) Ziehen mit Zurücklegen: Nach dem Notieren der Farbe wird die gezogene Kugel in die Urne zurückgelegt. (Der Urneninhalt ändert sich somit nicht!) b) Ziehen ohne Zurücklegen: Die gezogene Kugel wird nicht wieder in die Urne zurückgelegt. (Der Urneninhalt ändert sich somit ständig!) N G G GEWINN Baumdiagramme Pfadregeln *NEU* delta9 Seite ff Urnenmodelle *NEU* delta9 Seite 8 ff

18 Grundwissen Seite 8 von 5 Klasse9 Terme mit Variablen Ein Term ist ein Rechenausdruck, der außer Zahlen und Rechenzeichen auch veränderliche Größen, so genannte Variable, enthalten kann. Für die Platzhalter wie z. B., O oder bzw. Variable wie z. B. a, b, c, x, y oder z darf man verschiedene Zahlen einsetzen, die in der so genannten Grundmenge G angegeben sind. Wird in einen Term für die Variable eine Zahl aus der Grundmenge eingesetzt, so lässt sich der zugehörige Termwert berechnen. Terme G = {-2; 0; } T (x) = x² + T 2( ) = einsetzen: T (-2) = (-2)² + T 2(-2) = (-2) + 7 = + = 6 + = 29 = = 0 einsetzen: T (0) = 0² + = 0 + = T 2(0) = = = 7 einsetzen: T () = ² + = + = 7 T 2() = + 7 = + 7 = 0 Vereinbarung: Man kann den Malpunkt bei Termen weggelassen, wenn es zu keinen Verwechslungen kommen kann. Beispiele: 7 y = 7y (a + 2z) = (a + 2z) a b = ab x (5s - a) = x(5s - a) (a + b) (a - b) = (a + b)(a - b) Wenn bei jeder möglichen Einsetzung für die Variablen der eine Term stets den gleichen Wert hat wie der andere, so nennt man die beiden Terme äquivalent, Man kann einen Term mit Hilfe von Rechengesetzen in einen anderen ihm äquivalenten Term umformen. Beispiele: 7 y und y 7 sind äquivalente Terme 7 + a und a sind äquivalente Terme Addieren und Subtrahieren Gleichartige Glieder werden wie folgt addiert bzw. subtrahiert: Die gemeinsame Variable wird beibehalten. Die Koeffizienten werden addiert bzw. subtrahiert. delta7 Seite Seite 78 Rechnen mit Termen (I) Beispiele: 6a + 2a = 8a 00x + 2x = 2x 7s s = s 5y 9y = -y Auflösen von Klammern bei der Addition und Subtraktion Steht vor einer Klammer ein Pluszeichen, so kann man die Klammer weglassen, ohne dass sich der Wert des Terms ändert. Beispiele: 8a + (7a + 2a) = 8a + 7a + 2a = 7a 8a + (7a 2a) = 8a + 7a 2a = a 8a + ( 7a + 2a) = 8a + ( 7a) + 2a = 8a 7a + 2a = a Steht vor der Klammer ein Minuszeichen, so wird beim Auflösen der Klammer in der Klammer jedes Pluszeichen zu minus und jedes Minuszeichen zu plus. delta7 Seite Seite Beispiele: 8a (7a + 2a) = 8a 7a 2a = -a = -a 8a (7a 2a) = 8a 7a + 2a = a 8a ( 7a + 2a) = 8a + 7a 2a = a

19 Grundwissen Seite 9 von 5 Klasse9 Multiplizieren und Dividieren So multipliziert man ein Produkt mit einer Zahl: Es wird nur einer der Faktoren mit dieser Zahl multipliziert! Rechnen mit Termen (II) Beispiele: (8 y) = (8 ) y = 2 y = 2y (a b) a = (a a) b = a² b = a²b Wie dividiert man ein Produkt durch eine Zahl? Indem man nur einen der Faktoren durch diese Zahl dividiert. Beispiele: (5 a) : = (5 : ) a = 5 a = 5a (a b) : a = (a : a) b = b = b Multiplizieren und Dividieren von Summen und Differenzen Man multipliziert eine Summe mit einem Faktor, indem man jedes Glied der Summe mit diesem Faktor multipliziert und dann die Produkte addiert (Bei Differenz ebenso). 8 (2 + x - y) = x - 8 y = x - 2y Man dividiert eine Summe durch einen (von null verschiedenen) Divisor, indem man jedes Glied der Summe durch diesen Divisor dividiert und dann die Quotienten addiert (Bei Differenz ebenso). (2 + x - 6y) : 2 = 2 : 2 + x : 2 6y : 2 = 6 + 2x - y Ausmultiplizieren von Klammern Man multipliziert eine Summe (Differenz) mit einer Summe (Differenz), indem man jedes Glied der ersten Summe (Differenz) mit jedem Glied der zweiten Summe (Differenz) unter Beachtung der Vor- und Rechenzeichen multipliziert und dann die Teilprodukte addiert bzw. subtrahiert. Beispiele: (5y + ) (y + 9) = 20y 2 + 5y + 2y + 27 = 20y y + 27 (5y ) (y + 9) = 20y 2 + 5y 2y 27 = 20y 2 + y 27 (5y + ) (y 9) = 20y 2 5y + 2y 27 = 20y 2 y 27 (5y ) (y 9) = 20y 2 5y 2y + 27 = 20y 2 57y + 27 Ausklammern Durch Ausklammern eines Faktors wird aus einer Summe (Differenz) ein Produkt. Beispiele: 6x + 8y = 6(x + y) 5xyz + 20 xyw = 5xy(z + w) 5w 2s = ( ) (5w + 2s) = (5w + 2s) Terme der Form a + b oder a b nennt man Binom. (a + b)² = a² + 2ab + b² Plus-Formel (a b)² = a² 2ab + b² Minus-Formel (a + b)(a b) = a² b² Plus-Minus-Formel delta7 Seite Seite Binomische Formeln *NEU* delta9 Seite 52ff

20 Grundwissen Seite 20 von 5 Klasse9 Bruchterm: Die Variable tritt auch im Nennerterm des Bruchs auf. 5x 2 x 7 Die Nullstellen des Nennerterms gehören nicht zur Definitionsmenge des Bruchterms. ID = IR \ {7} Bruchterme Bruchterme können wie Brüche erweitert und gekürzt werden. Erweitern: Der Zähler und der Nenner eines Bruchterms werden mit der gleichen Zahl (mit dem gleichen Term) multipliziert. 8 8(x ) 8(x )a... x 2x 2x(x ) 2x(x )a mit 2 mit (x+) mit a erweitert. Kürzen: Beachte: Der Zähler und der Nenner eines Bruchterms werden durch die gleiche Zahl (durch den gleichen Term) dividiert. 25x²y(a ) 25x²y 5x²y 5xy 0x(a )z 0xz 2xz 2z mit a+ mit 5 mit x gekürzt. Die größtmögliche Definitionsmenge kann sich beim Erweitern bzw. Kürzen eines Bruchterms ändern. Addition und Subtraktion von Bruchtermen - wie bei Brüchen: Gleichnamige Bruchterme werden addiert (subtrahiert), indem man ihre Zähler addiert (subtrahiert) und den gemeinsamen Nenner beibehält. 8x 2 x 8x 2 x 5x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 ID = IR \ {-2} Ungleichnamige Bruchterme werden vorher gleichnamig gemacht. x 2x (x ) 2x 9x 2x x 2 x x x x x x ID = IR \ {0} Multiplikation und Division von Bruchtermen - wie bei Brüchen: Bruchterme werden miteinander multipliziert, indem man das Produkt ihrer Zähler durch das Produkt ihrer Nenner dividiert. (KÜRZEN!) 8x 8x 2 6 x 2 x (x 2) x (x 2) x 2 ID = IR \ {0; -2} Ein Bruchterm wird durch einen zweiten dividiert, indem man den ersten Bruchterm mit dem Kehrbruch des zweiten multipliziert. 5 x x 6 5 x x 5 x : x x x x 6 x 6 ID = IR \ {-; 2} Seite 8-2

21 Grundwissen Seite 2 von 5 Klasse9 Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die miteinander durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind. x + = 2x - 7 Setzt man für die Variable eine Zahl in die Gleichung ein, so + = 2-7 kann sich eine wahre oder eine falsche Aussage ergeben. 7 = falsch Die (vorgegebene) Menge aller Zahlen, die zum Einsetzen in die Gleichung zur Verfügung stehen, heißt Grundmenge G. G = IN Die Zahlen der Grundmenge G, die beim Einsetzen in die Gleichung eine wahre Aussage liefern, heißen 0 + = Lösungen dieser Gleichung. = Die Lösungen einer Gleichung fasst man zur Lösungsmenge IL dieser Gleichung zusammen. IL = {0} Wenn kein Element der Grundmenge G beim Einsetzen in die G = {; 2; } Gleichung eine wahre Aussage ergibt, dann ist die Lösungs- x + = 2x - 7 menge die leere Menge, geschrieben { } (oder Ø). IL = { } Gleichungen heißen äquivalent, wenn sie die gleiche Lösungsmenge besitzen. Äquivalenzumformungen sind Umformungen, bei denen sich die Lösungsmenge der Gleichung nicht ändert. Mit ihnen vereinfachen wir komplizierte Gleichungen! Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn man x + = 7 zu den beiden Seiten dieser Gleichung dieselbe Zahl x + = 7 + bzw. denselben Term addiert. x + = 0 von den beiden Seiten dieser Gleichung dieselbe Zahl x + = 0 - bzw. denselben Term subtrahiert. x = 6 beide Seiten dieser Gleichung mit derselben x = 6 2 (von null verschiedenen) Zahl multipliziert. 6x = 2 beiden Seiten dieser Gleichung durch dieselbe 6x = 2 :6 (von null verschiedene) Zahl dividiert. x = 2 Beispiele: a) Grundmenge: G = IN Gleichung: x + 2 = 2 Neue Gleichung: x = 8 Lösungsmenge: IL = { } weil 8 IN b) G = Z c) G = QI x = x + = x +x x = 28 : 8x + = x = 7 Z 8x = :8 IL = { 7 } x = 0,25 IL = { 0,25 } ACHTUNG: Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl dividiert, so muss man das Ungleichheitszeichen umdrehen! d) - x < 2 :(-) e) - x > - (-) x > -6 x < IL = { x x > 6 } Mengenschreibweise IL = { x x < } = ] 6 ; + [ Intervallschreibweise = ] - ; ] Hinter der Gleichung steht hinter einem Strich die Äquivalenzumformung... Gleichungen Grundbegriffe delta7 Seite 0-05 Lösen von (Un-) Gleichungen (I) delta7 Seite 06-9 Seite 62-65

22 Grundwissen Seite 22 von 5 Klasse9 Gleichungen, bei denen die Variable in mindestens einem der Nenner auftritt nennt man Bruchgleichung. 2 6 x x Lösen von Gleichungen (II) Graphische Lösung: Man zeichnet zuerst die Funktionsgraphen der beiden Gleichungsseiten. Dann liest man die x-koordinaten aller gemeinsamen Punkte ab. Bruchgleichungen Im Die Graphen der Funktionen 2 6 f: f(x) = und g: g(x) = x x haben nur den Punkt A (0,75 l 2, 6 ) gemeinsam, die Bruchgleichung hat also die Lösungsmenge IL = {0,75}. Definitionsmenge angeben: ID = IR \ {0; } Rechnerische Lösung: Beide Seiten der Bruchgleichung mit einem gemeinsamen Nenner (am besten mit dem Hauptnenner) aller Bruchterme multiplizieren und anschließend kürzen. 2 6 x x 2 ( x) x 6 ( x) x x x HN: (-x) x Vereinfachte Gleichung wie üblich lösen. 2 ( - x) = 6 x TV Prüfen, ob die ermittelte Lösung zur 6-2x = 6x +2x Definitionsmenge gehört. 6 = 8x :8 x = 0,75 Probe machen: LS: ,75 0,75 2,25 LS = RS Lösungsmenge angeben: IL = {0,75}. Weiteres 2x 2 x 0 x 6 2x ID = IR \ {0; 6} HN: 2x(x-6) ( 2x 2)2x(x 6) (x 0)2x(x 6) x 6 2x (2x + 2)2x = (x - 0)(x - 6) x² + x = x² - 2x - 0x x² x = -6x x 68x = 80 :68 x = 5 IL = {5}. Probe: LS = (2 5+2):(5-6) = 2:(-) = -2 RS = ( 5-0):(2 5) = -20:0 = -2 LS = RS Seite 2-28

23 Grundwissen Seite 2 von 5 Klasse9 Gleichungen der Form ax² + bx + c = 0 a IR \ {0} ; b, c IR 0,5x² +,5x 5 = 0 nennt man quadratische Gleichungen. Lösen von Gleichungen (III) Graphische Lösung: Man kann die Lösungen der Gleichung als Nullstellen des Funktionsgraphen von f(x) = 0,5x² +,5x 5 deuten. Im Der Graph der Funktion f(x) hat die beiden Nullstellen ( 5 0) und (2 0) und die Gleichung somit die Lösungsmenge IL = { 5; 2}. Quadratische Gleichungen Rechnerische Lösung mit Linearfaktoren: (x )(x + 5) = 0 ergibt ausmultipliziert die Gleichung x² + 5x x 5 = 0. Bei der Linearfaktorzerlegung links kann man die Lösungen x = und x 2 = 5 ablesen! Somit kann man oft Lösungen erraten: Beispiele: x² 2x + 20 = 0 x² 8x = 0 x² 9 = 0 (x 0)(x 2) = 0 x(x 8) = 0 (x 7)(x + 7) = 0 IL = {0; 2} IL = {0; 8} IL = { 7; 7} Rechnerische Lösung mit der Lösungsformel: Die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 (a 0) lautet: x / 2 b b² ac G = IR 2a Der Radikand b² ac wird auch Diskriminante D genannt. Ist D < 0, so gibt es KEINE Lösung. Ist D = 0, so gibt es genau eine Lösung. Im Falle D > 0 existieren zwei Lösungen. Beispiele: x² 2x + 20 = 0 D = ( 2)² 20 = 80 = 6 > 0 also gibt es zwei Lösungen! ( 2) (6 ) x / x = 6 + = 0 und x 2 = 6 = 2 also IL = {0; 2} x² 0x + 75 = 0 D = ( 0)² 75 = = 0 x / 2 also gibt es genau eine Lösung! ( 0) also IL = {5} Die Gleichung 2x² + x 7 = 0 hat wegen D = ² ( 2) ( 7) = 9 56 = 7 < 0 keine Lösung, also IL = {} *NEU* delta9 Seite 70ff

24 Grundwissen Seite 2 von 5 Klasse9 Der Zusammenhang zwischen zwei Größen kann durch eine Zuordnung beschrieben werden: Gibt es dabei zu jedem zulässigen Wert der ersten Größe genau einen Wert der ihr zugeordneten zweiten Größe, so nennt man die Zuordnung eine Funktion f. Funktionen können z. B. durch Terme, durch Tabellen oder durch Schaubilder (Graphen) beschrieben werden. Häufig wird die erste Größe, die unabhängige Variable, mit x bezeichnet. Die zweite Größe, die von x abhängige Variable, bezeichnet man als Funktionswert von x. Die Menge aller Werte von x heißt Definitionsmenge D f, die Menge aller Funktionswerte heißt Wertemenge W f. Werte von x, für die der Funktionswert 0 ist, heißen Nullstellen der Funktion. Zuordnungsvorschrift: Jeder rationalen Zahl wird der um verminderte Wert ihres Quadrats zugeordnet. Funktionen (I) Fachbegriffe Funktion f: f (x) = x 2 - Funktionsgleichung Funktionsterm x 0 +0, y = f(x) - -,75-0 Definitionsmenge: Wertemenge: ID f = IR W f = [-; + [ Nullstellen: x /2 = + 2, da f (+2) = 0 ist. f: f(x) = mx + t m, t IR ; ID f = IR Der Graph G f einer linearen Funktion ist eine Gerade g, die die y-achse im Punkt T( 0 t ) schneidet. Man nennt t den y-achsenabschnitt der Geraden g; m ist die Steigung der Geraden g. Für die Nullstelle X N von f gilt f(x N) = 0. Man spricht auch von der Gleichung der Geraden g und schreibt g: y = mx + t. Funktionsgraph Steigende Geraden m > 0 Seite 0ff Funktionen (II) Lineare Funktionen Verläuft die Gerade durch die Punkte P (x p l y p) und Q (X Q l y Q), X Q x p, so gilt für die Geradensteigung Fallende Geraden m < 0 yq yp m =. x x Q P Zur x-achse parallele Geraden m = 0 Seite 7ff

25 Grundwissen Seite 25 von 5 Klasse9 Wird dem Doppelten, dem Dreifachen, dem Vierfachen,... dem k-fachen (k IR ) einer Größe x das Doppelte, das Dreifache, das Vierfache,... das k-fache einer Größe y zugeordnet, so sind x und y zueinander proportionale Größen. Bei dieser Zuordnung gilt y m mit festem m (m, x, y 0); x sie kann also durch die Funktionsgleichung y = mx beschrieben werden. Die Funktion f: f(x) = mx ; m IR, ID f = IR heißt proportionale Funktion. Funktionen (III) Funktionen der direkten Proportionalität Der Graph einer proportionalen Funktion ist eine Gerade durch den Ursprung des Koordinatensystems; dabei ist m die Steigung dieser Geraden. Das rechtwinklige Dreieck mit waagrechter Kathete der Länge LE und senkrechter Kathete der Länge m LE heißt Steigungsdreieck. Seite 8ff Zwei Größen x und y heißen zueinander indirekt proportional, wenn gilt: Verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht..., halbiert, drittelt... man den Wert der einen Größe x, so halbiert, drittelt, viertelt..., verdoppelt, verdreifacht... sich der Wert der anderen Größe y. Funktionen (IV) Dem k-fachen von x entspricht der k-te Teil von y und umgekehrt (k IR \ {0}). Das Produkt xy von zwei zueinander indirekt proportionalen Größen hat stets den gleichen Wert: x y = a ; a IR \ {0}, d. h. y = x a. Funktionen der indirekten Proportionalität Jede Funktion f: f(x) = x a a IR \ {0} ; ID f = IR \ {0}, beschreibt die indirekte Proportionalität der beiden von null verschiedenen Variablen x und y. Der zugehörige Funktionsgraph heißt Hyperbel. Die x-achse ist eine waagrechte Asymptote, die y-achse eine senkrechte Asymptote des Funktionsgraphen. Seite 2ff

26 Grundwissen Seite 26 von 5 Klasse9 Ist der Funktionsterm ein Bruchterm, bei dem die Variable mindestens im Nenner vorkommt, so spricht man von einer gebrochenrationalen Funktion. Funktionen (V) Die Definitionsmenge enthält diejenigen Werte der Variablen, für die der Nenner nicht gleich null wird. Definitionslücken: Nullstellen des Nennerterms 5 g(x) ID g = IR \ {} x Die Funktion g hat die Definitionslücke. g hat keine Nullstelle. Der Graph schneidet die y-achse im Punkt S( 0 -,25 ). Waagrechte Asymptote: y = 0 Senkrechte Asymptote: x = Gebrochenrationale Funktionen Wertetabelle: x g(x) - -,25 -,67-2, ,5 0x 20 f (x) ID f = IR x² Die Funktion f hat keine Definitionslücke. f hat die Nullstelle N(2 0). Der Graph schneidet die y-achse im Punkt S( 0-5 ). Waagrechte Asymptote: y = 0 Senkrechte Asymptote: Keine Seite 2ff x f(x) ,88

27 Grundwissen Seite 27 von 5 Klasse9 Normalparabel nennt man den Graphen der quadratischen Funktion f(x) = x². Funktionen (VI) ID f = IR W f = IR + 0 Nullstelle N( 0 0 ) Tiefster Punkt: Scheitel S( 0 0 ) Verschiebung der Normalparabel in y-richtung in x-richtung Streckung / Spiegelung f(x) = x² + a f(x) = (x + a)² f(x) = ax² Der Graph der quadratischen Funktion f(x) = ax² + bx + c heißt Parabel. Dabei gilt: ID f = IR ; a IR \ {0} ; b, c IR Der Graph hat einen Schnittpunkt mit der y-achse s y( 0 c ). Es gibt zwei, einen oder keinen Schnittpunkt(e) mit der x-achse (Nullstellen). Der tiefste / höchste Punkt der Parabel heißt Scheitel(punkt). Der Graph ist symmetrisch zu einer Parallelen zur y-achse durch den Scheitel. Der Graph der Parabel zur Funktionsgleichung f(x) = ax² + bx + c ist für a < nach unten geöffnet enger als die Normalparabel a = nach unten geöffnet kongruent zur Normalparabel < a < 0 nach unten geöffnet weiter als die Normalparabel 0 < a < nach oben geöffnet weiter als die Normalparabel a = nach oben geöffnet kongruent zur Normalparabel a > nach oben geöffnet enger als die Normalparabel Quadratische Funktionen Durch quadratische Ergänzung kann man jeden Funktionsterm einer Parabel auf die Scheitelform f(x)= a(x d)² + e bringen. Der Scheitel ist dann S( d e ). f(x) = 0,5x² 0,5x = 0,5 [ x² x + (0,5)² (0,5)² ] Ausklammern = 0,5 [ (x 0,5)² 0,25 ] = 0,5 (x 0,5)² 0,25 Binomische Formel = 0,5(x 0,5)²,25 Somit: G f ist weiter als die Normalparabel und nach oben offen (a=0,5)! Scheitel S( 0,5,25 ) S y( 0 ) ID f = IR und W f = [,25 ; [ Nullstellen: 0,5x² 0,5x = 0 Mit Lösungsformel: N ( 0 ) und N 2( 2 0 ) Quadratisch ergänzen *NEU* delta9 Seite 58ff

28 Grundwissen Seite 28 von 5 Klasse9 Zwei lineare Gleichungen, die zwei Variable I) y + x = 9 enthalten, bilden ein lineares Gleichungssystem. II) y = x - 2 Zu jeder der beiden Gleichungen existieren unendlich viele Lösungen. Sie lassen sich durch Punkte des Graphen der entsprechenden linearen Funktion veranschaulichen. Lineare Gleichungs- Systeme (I) I) y + x = 9 g(x) = x II) y = x 2 f(x)= x 2 Die Koordinaten x s =,5; y s = 2,5 des Schnittpunkts S (,5 l 2,5) der zugehörigen Geraden erfüllen als einzige beide Gleichungen. Mit zwei Variablen Sie bilden zusammen die (einzige) Lösung des Gleichungssystems, dessen Lösungsmenge also IL = {(,5 2,5)} ist. Ein lineares Gleichungssystem besitzt keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen, je nachdem, ob die zugehörigen Geraden zueinander parallel sind, einander schneiden oder zusammenfallen. Die Lösung kann graphisch gefunden werden, indem man die zugehörigen Geraden in ein Koordinatensystem einträgt und die Koordinaten ihres Schnittpunkts abliest. Das Gleichsetzungsverfahren:. Auflösen beider Gleichungen y x nach derselben Variablen und y x 2 2. Gleichsetzen der beiden neuen rechten Seiten. Lösen der so erhaltenen Gleichung, x x 2 x + 9 = 9x 6 +x, +6 die nur noch eine Variable enthält 5 = 0x :0 x =,5. Einsetzen der Lösung in eine der beiden Gleichungen und Ermitteln des Werts y =,5 2 = 2,5 der anderen Variablen 5. Angeben der Lösungsmenge IL = {(,5 2,5)} Seite 7ff

29 Grundwissen Seite 29 von 5 Klasse9 Das Einsetzungsverfahren:. Auflösen einer der Gleichungen y + x = 9 nach einer der Variablen y = x 2 Lineare Gleichungs- Systeme (II) 2. Einsetzen des gefundenen Terms (x 2) + x = 9 in die andere Gleichung 9x 6 + x = 9 0x 6 = 9. Lösen der so erhaltenen Gleichung, 0x = 5 die nur noch eine Variable enthält x =,5. Einsetzen der Lösung in eine der beiden Gleichungen y =,5 2 = 2,5 und Ermitteln des Werts der anderen Variablen 5. Angeben der Lösungsmenge IL = {(,5 2,5)} Mit zwei Variablen Das Additionsverfahren: Unterscheiden sich bei einem Gleichungssystem die Koeffizienten einer Variablen nur durch das Vorzeichen, so ist es günstig, die beiden Gleichungen zu addieren, da dann eine der beiden Variablen wegfällt". I 2x + 7y = 5 In Gleichung I eingesetzt: II 5x 7y = y = 5 I + II 7x = l :7 7y = 2 x = 2 y = IL = {(2 )} Verallgemeinerung (siehe unten): Wenn keine der beiden Variablen sofort durch bloßes Addieren wegfällt", muss man eine der Gleichungen (oder beide Gleichungen) vor dem Addieren zunächst mit einem geeigneten Faktor (bzw. mit geeigneten Faktoren) multiplizieren. Natürlich führt jedes dieser drei Verfahren zur gleichen Lösungsmenge. I x y = 2 5 In Gleichung II eingesetzt: II 5x 7y = 6 5x 7 ( ) = 6 I 5x 55y = 5 5x + 28 = 6 II 5x 2y = 89 _ 5x = 5 I + II 76y = 0 l :( 76) x = 7 y = IL = {(7 )} Seite 7ff

30 Grundwissen Seite 0 von 5 Klasse9 Ein lineares Gleichungssystem kann auch aus drei linearen Gleichungen mit drei Variablen (I) 2x + y + 2z = bestehen. (II) x + y + z = 2 (III) 5x + y z = 0 Ein lineares Gleichungssystem besitzt keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Lösungsverfahren: Zuerst eliminiert man aus zwei Gleichungen eine der drei Unbekannten. Das entstandene Gleichungssystem mit zwei Unbekannten ist dann wie gewohnt zu lösen. Am Ende berechnet man noch den Wert der dritten Unbekannten. z. B. mit dem Einsetzverfahren: aus (II) folgt x = 2 y z Einsetzen in I) ergibt 2( 2 y z) + y + 2z = 8y 8z + y + 2z = 5y 6z = 7 (I*) Einsetzen in III) ergibt 5( 2 y z) + y z = y 20z + y z = 0 7y 2z = 0 (III*),5 (I*) ergibt 7,5y 2z = 2,5 (I**) (III*) (I**) 0,5y =,5 y = -29 (in I*) z = 2 (in II) x = 2 (-29) (2) = 22 IL = {(22;-29;2)} Aus I und III wird x eliminiert Lineare Gleichungs- Systeme (III) Mit drei Variablen z. B. mit dem Additionsverfahren: I + 2 III) 2x + 9y = x + y = Es werden zwei Gleichungen II + III) 2x + 6y = -2 ohne z erzeugt (IV) (V) 6 (IV) - (V) x = 22 (I) x 2y - z = (II) -x + y + 2z = 2 (III) -2x + y + 2z = 6 Es werden zwei Gleichungen ohne x erzeugt (I)+(II) -y + z = 2 (I)+(III) 0 = 8 IL = {} *NEU* delta9 Seite 9ff

31 Grundwissen Seite von 5 Klasse9 Euro: = 00 ct Cent: ct = 0,0 Beispiele: 25 ct =,25 2 ct =,2 0 ct = 0, 5 ct = 50 ct 0 km km 00 m 0m m dm cm mm Geld GRÖSSEN Seite Länge km = 000 m m = 0 dm = 00 cm = 000 mm Kilometer (km) Meter (m) GRÖSSEN dm = 0 cm = 00 mm cm = 0 mm Dezimeter (dm) Zentimeter (cm) m = 0,00 km dm = 0, m cm = 0, dm = 0,0 m mm = 0, cm = 0,0 dm = 0,00 m Seite 6 t 00 kg 0 kg kg 00 g 0 g g 00 mg 0 mg mg Masse GRÖSSEN t = 000 kg Tonne (t) kg = 0,00 t kg = 000 g Kilogramm (kg) g = 0,00 kg g = 000 mg Gramm (g) mg = 0,00 g Milligramm (mg) a = 2 Monate d = 2 h (Tag) a = 52 Wochen h = 60 min (Stunde) a = 65 d (Schaltjahr: 66 d) min = 60 s (Minute, Sekunde) Seite 8 Zeit GRÖSSEN Seite 50 km² 0 ha ha 0 a a 0 m² m² 0 dm² dm² 0 cm² cm² 0 mm² mm² Fläche km 2 = 00 ha = a = m 2 Quadratkilometer ha = 00 a = m 2 Hektar a = 00 m 2 Ar m 2 = 00 dm 2 = cm 2 = mm 2 ; Quadratmeter dm 2 = 00 cm 2 = mm 2 Quadratdezimeter cm 2 = 00 mm 2 Quadratzentimeter GRÖSSEN ha = 0,0 km 2 a = 0,0 ha = 0,000 km 2 m 2 = 0,0 a = 0,000 ha = 0,00000 km 2 dm 2 = 0,0 m 2 cm 2 = 0,0 dm 2 = 0,000 m 2 mm 2 = 0,0 cm 2 = 0,000 dm 2 = 0,00000 m 2 Quadratmillimeter Seite 78

32 Grundwissen Seite 2 von 5 Klasse9 m km,6 s h km 5 m h 8 s m 0,28 s Geschwindigkeit Volumen 00 m³ 0 m³ m³ 00 dm³ 0 dm³ dm² 00 cm³ 0 cm³ cm³ 00 mm³ 0 mm³ mm³ km³ = m³ Kubikkilometer m³ = 000 dm³ = cm³ = mm³ Kubikmeter dm³ = 000 cm³ = mm³ Kubikdezimeter cm³ = 000 mm³ Kubikzentimeter m³ = 0, km³ dm³ = 0,00 m³ cm³ = 0,00 dm³ = 0, m³ mm³ = 0,00 cm³ = 0, dm³ = 0, m³ Kubikmillimeter hl = 00 l Hektoliter 0 hl = 000 l = 000 dm³ = m³ l = dm³ = 0,0 hl Liter ml = cm³ = 0,00 l Milliliter GRÖSSEN Seite 52/60 Gehört zum Doppelten, Dreifachen, Vierfachen... einer Größe das Doppelte, Dreifache, Vierfache... einer anderen Größe, so kann man von einem Vielfachen der einen Größe auf das entsprechende Vielfache der anderen Größe schließen. Beispiele: ) Herr Maier zahlt für 25 Liter Benzin 29,75. Wie viel kosten 0 Liter? Lösung: 25 Liter kosten 29,75. Liter kostet (29,75 : 25 =),9 ( Schluss auf die Einheit"). 0 Liter kosten dann (0,9 =) 7,60. Eiskugeln Preis 0,70 2,0 2,80 8 5,60 2) Frau Maier erbt 0600 (das sind 5% des gesamten Vermögens) von ihrem Opa. Wie groß war das Vermögen? Lösung: 5% des Vermögens entsprechen % seines Monatsgehalts entspricht (0600 : 5 =) 680 ( Schluss auf die Einheit"). 00% des Vermögens entsprechen somit ( =) Dreisatz RECHNEN MIT GRÖSSEN Seite 220

33 Grundwissen Seite von 5 Klasse9 Addieren und Subtrahieren von Größen in Kommaschreibweise Alle Größen müssen in der gleichen Maßeinheit angegeben werden. Es wird stellenweise addiert bzw. subtrahiert. Im Endergebnis wird das Komma an die entsprechende Stelle gesetzt. Beispiele: 2,950 kg,860 kg + 0,8 kg - 0,07 kg 2,767 kg,787 kg Multiplizieren von Größen mit natürlichen Zahlen Die Maßzahl sollte eine natürliche Zahl sein. Notfalls die Größe in eine kleinere Einheit umwandeln. Die beiden natürlichen Zahlen multiplizieren. Den Produktwert in eine größere Maßeinheit umwandeln (unter Verwendung der Kommaschreibweise). 8 2,8 kg = g = g = 22,72 kg Multiplizieren von Größen mit Zehnerstufenzahlen Das Komma bei der gegebenen Größe um so viele Stellen nach rechts verschieben, wie die Zehnerstufenzahl Nullen besitzt. RECHNEN MIT GRÖSSEN 000 5,8572 km = 5857,2 km (Das Komma ist um drei Stellen nach rechts gerückt.) Dividieren von Größen durch natürliche Zahlen Die Maßzahl sollte eine natürliche Zahl sein. Notfalls den Dividenden in eine kleinere Einheit umwandeln. Die beiden natürlichen Zahlen dividieren. Den Quotientenwert in eine größere Maßeinheit umwandeln (unter Verwendung der Kommaschreibweise). 9,76 : = 976 ct : = 52 ct =,52 Dividieren von Größen durch Zehnerstufenzahlen Das Komma im Dividenden um so viele Stellen nach links verschieben, wie die Zehnerstufenzahl Nullen besitzt. Seite 52ff Beispiele: 85,7 km : 00 = 8,57 km. (Das Komma ist um zwei Stellen nach links gerückt.) Beispiele: Maßstab Maßstab : 0 : : Länge der Strecke in Wirklichkeit Länge der Strecke in der Abbildung Vergrößerung oder Verkleinerung? 90 m 6 km mm (90 m : 0 =) m (6 km : =) 20 cm ( mm 2 =) 26 mm Verkleinerung Verkleinerung Vergrößerung RECHNEN MIT GRÖSSEN Seite 6

34 Grundwissen Seite von 5 Klasse9 Quadrat Rechteck Raute Parallelogramm Trapez Kreis Geometrische Grundfiguren Seite Ecke Radius Durchmesser Diagonale Mittelpunkt Seite 72 Würfel Quader Zylinder Kugel Geometrische Grundkörper Kante Ecke Fläche Prisma Kegel Pyramide Seite 72 y-achse x-koordinate P ( -,5,5 ) Q ( 2 2 ) R ( - -2 ) S ( - ) Koordinatensystem x-achse y-koordinate Seite 86

35 Grundwissen Seite 5 von 5 Klasse9 Strecke [AB] mit den Endpunkten A und B A B und der Streckenlänge AB =,2 cm Gerade CD C D Strecke, Gerade, Halbgerade Halbgerade (Strahl) [EF mit Anfangspunkt E E F Seite 7 Geraden, Halbgeraden oder Strecken, die miteinander g h einen rechten Winkel bilden, stehen aufeinander senkrecht. Senkrecht, parallel Schreibweise: g h A Zwei Geraden a und b (der Zeichenebene) heißen zueinander parallel, wenn es eine dritte Gerade k gibt, die auf jeder der beiden senkrecht steht. Schreibweise: a b a b Abstand d der Geraden a und b: d = AB B k Seite 76 Schenkel Rechte Winkel ( 90 ) am Geodreieck Winkel (I) Scheitel Schenkel Die Größe eines Winkels wird in Grad ( ) gemessen. Winkel messen: Seite 82

36 Grundwissen Seite 6 von 5 Klasse9 Winkel (II) Bezeichnungen Nullwinkel = 0 Spitzer Winkel < 90 Rechter Winkel = 90 Stumpfer Winkel < 80 Seite 82 Gestreckter Winkel = 80 Überstumpfer Winkel 80 < < 60 Vollwinkel = 60 g h S Q P = PSQ = (h;g) Scheitelwinkel sind gleich groß: = und = Nebenwinkel ergeben zusammen 80 : + = 80 delta7 Seite 8 g h g h Wechselwinkel an parallelen Geraden sind gleich groß: = oder = oder = Stufenwinkel an parallelen Geraden sind gleich groß: = oder = delta7 Seite 2 Die Winkelsumme der Innenwinkel jedes Dreiecks beträgt 80 ; ++ = 80 jedes Vierecks beträgt 60 ;+++=60 delta7 Seite 6 / 52 jedes n-ecks beträgt (n-2) 80 (n>2)

37 Grundwissen Seite 7 von 5 Klasse9 Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn man sie so falten kann, dass ihre beiden Teile genau aufeinander passen; die Faltkante heißt dann Symmetrieachse. Zueinander symmetrische Strecken sind gleich lang. AC A*C * r = r* Zueinander symmetrische Winkel sind gleich groß und haben entgegengesetzten Drehsinn. = * Jeder Punkt der Symmetrieachse ist von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. C=C* A M A* k k* Achsensymmetrie Seite 92 Die Verbindungsstrecke zueinander symmetrischer Punkte wird von der Symmetrieachse rechtwinklig halbiert. AM MA * delta7 Seite 0 ff Wenn eine Figur bei einer Drehung um 80 um einen Punkt Z (Symmetriezentrum) mit sich zur Deckung kommt, so heißt diese Figur punktsymmetrisch. Zueinander punktsymmetrische Strecken sind gleich lang und zueinander parallel. PR P * R * PR P * R * Zueinander punktsymmetrische Winkel sind gleich groß und haben gleichen Drehsinn. = * R* z R P Punktsymmetrie Seite 92 Die Verbindungsstrecke zueinander symmetrischer Punkte wird vom Symmetriezentrum halbiert. ZR ZR * P* delta7 Seite 2 ff Drachenviereck Parallelogramm Gleichschenkliges Trapez Symmetrische Vierecke Seite 72 Raute Quadrat Rechteck delta7 Seite 28 ff

38 Grundwissen Seite 8 von 5 Klasse9 Lassen sich zwei Figuren vollständig miteinander zur Deckung bringen, so heißen sie deckungsgleich oder zueinander kongruent. Kongruenzsätze für Dreiecke Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den Längen der drei Seiten übereinstimmen (sss-satz). in den Längen von zwei Seiten und in der Größe von deren Zwischenwinkel übereinstimmen (sws-satz). in der Länge einer Seite und in den Größen der beiden dieser Seite anliegenden Winkel übereinstimmen (wsw-satz). in den Längen zweier Seiten und in der Größe des der längeren dieser beiden Seiten gegenüberliegenden Winkels übereinstimmen (SsW-Satz). sss sws wsw Ssw Kongruenz delta7 Seite 8 ff Spitze Dreiecke mit einer Symmetrieachse heißen gleichschenklig. Besondere Dreiecke Schenkel Basiswinkel Schenkel Basis Eigenschaften: Zwei Seiten sind gleich lang (Schenkel). Die der Basis anliegenden Winkel (Basiswinkel) sind gleich groß. Die Symmetrieachse halbiert den Winkel an der Spitze und halbiert die Basis rechtwinklig. Gleichseitige Dreiecke haben drei gleich lange Seiten. delta7 Seite60 ff Eigenschaften: Alle Innenwinkel messen 60. Jedes gleichseitige Dreieck besitzt drei Symmetrieachsen; sie halbieren die Innenwinkel und halbieren die Dreiecksseiten rechtwinklig. Thaleskreis Kathete Kathete Hypotenuse Dreiecke, bei denen ein Innenwinkel 90 misst, heißen rechtwinklig. Eigenschaften: Der Scheitel des rechten Winkels liegt auf dem Kreis über der Hypotenuse als Durchmesser (Thaleskreis). Wenn die Ecke C eines Dreiecks ABC auf dem Kreis über der Seite [AB] als Durchmesser liegt, dann ist das Dreieck ABC rechtwinklig und C der Scheitel des rechten Winkels. delta7 Seite 66 ff

39 Grundwissen Seite 9 von 5 Klasse9 Ein alter und berühmter Satz aus der Geometrie zeigt die Beziehung zwischen der Länge der Hypotenuse und den Längen der Katheten im rechtwinkligen Dreieck: Satz des Pythagoras: c² = a² + b² In Worten : In einem rechtwinkligen Dreieck haben die beiden Quadrate über den beiden Katheten zusammen den gleichen Flächeninhalt wie das Quadrat über der Hypotenuse! Kathetensatz : a² = c p b² = c q b b c b b. c c a a c a a Satz von Pythagoras Höhensatz Kathetensatz Höhensatz : h² = q p Satz des Pythagoras Kehrsatz: Gilt für die Längen a, b und c in einem Dreieck die Gleichung c² = a² + b², so ist das Dreieck rechtwinklig. *NEU* delta9 Seite 29 ff Länge der Gegenkathe te des Winkels Tangens eines Winkels Länge der Ankathete des Winkels Länge der Gegenkathe te des Winkels Sinus eines Winkels Länge der Hypotenuse Länge der Ankathete des Winkels Kosinus eines Winkels Länge der Hypotenuse a tan b a sin c b cos c b tan a b sin c a cos c b ist Gegenkathete von a ist Gegenkathete von und Ankathete vonund Ankathete von Es gilt: sin tan cos und (sin )² + (cos )² = Außerdem: sin cos (90 - ) und cos sin (90 - ) sin 0 = /2 0 /2 = /2 /2 2 /2 = /2 cos /2 /2 2 /2 0 tan 0 / - Tangens Sinus Kosinus eines Winkels *NEU* delta9 Seite 25 ff tan, sin, cos Beziehungen Besondere Winkel *NEU* delta9 Seite ff

40 Grundwissen Seite 0 von 5 Klasse9 Wird eine Originalfigur im Maßstab a (a Q + \ {}) vergrößert bzw. verkleinert, so nennt man die Bildfigur und die Originalfigur zueinander ähnlich. Der Maßstab a heißt Ähnlichkeitsfaktor. Für zueinander ähnliche Figuren gilt: Einander entsprechende Winkel sind stets gleich groß. Längenverhältnisse einander entsprechender Strecken sind stets gleich. Ähnlichkeit Ähnlichkeitssätze für Dreiecke Wenn zwei Dreiecke ABC und A'B'C' in allen Längenverhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen, dann sind sie zueinander ähnlich. Wenn zwei Dreiecke ABC und A'B'C' in den Größen aller Winkel übereinstimmen, dann sind sie zueinander ähnlich.. Strahlensatz Wenn zwei Halbgeraden bzw. zwei Geraden a und b von zwei zueinander parallelen Geraden g und h geschnitten werden, dann verhalten sich die Längen irgendwelcher zwei Abschnitte auf der einen (Halb-) Geraden ebenso wie die Längen der entsprechenden beiden Abschnitte auf der anderen (Halb-) Geraden. Seite 60 ff Strahlensätze x u x u oder y v p q 2. Strahlensatz Wenn zwei Geraden a und b von zwei zueinander parallelen Geraden g und h geschnitten werden, dann verhalten sich die Längen der Parallelstrecken wie die Längen der vom Punkt W bis zu ihnen hin verlaufenden Abschnitte auf der einen Geraden: : s u oder t u v s z x p Es gilt auch der Kehrsatz des. Strahlensatzes: Werden zwei Geraden a und b, die einander im Punkt W schneiden von zwei Geraden g und h so geschnitten, dass das Verhältnis der Längen irgendwelcher zweier Abschnitte auf der Geraden a stets gleich dem Verhältnis der Längen der entsprechenden beiden Abschnitte auf der Geraden b ist, dann sind die beiden Geraden g und h zueinander parallel. Der Kehrsatz des 2. Strahlensatzes gilt nicht. Seite 5 ff

41 Grundwissen Seite von 5 Klasse9 Alle Punkte (der Zeichenebene), die von zwei Punkten A und B gleich weit entfernt sind, liegen auf der Mittelsenkrechten (dem Mittellot) m [AB] ihrer Verbindungsstrecke. Die drei Mittelsenkrechten m [AB], m [BC] und m [CA] eines Dreiecks ABC schneiden einander stets in einem Punkt M, dem Mittelpunkt des Umkreises dieses Dreiecks. Die Punkte A, B und C sind von M gleich weit entfernt. A hc hb H ha C B Eine Gerade, die einen Dreiecksinnenwinkel halbiert, heißt Winkelhalbierende dieses Dreiecks. Jedes Dreieck besitzt somit drei Winkelhalbierende w w und w ; sie schneiden einander in einem Punkt W, der von den drei Seiten den gleichen Abstand d besitzt. W ist der Mittelpunkt des Innkreises. A m[ac] M m[ab] m[bc] B Eine Gerade, die durch einen Eckpunkt eines Dreiecks geht und die gegenüberliegende Seite oder deren Verlängerung rechtwinklig schneidet, heißt Höhe dieses Dreiecks. Jedes Dreieck besitzt somit drei Höhen h a, h b und h c; sie schneiden einander in einem Punkt H. A C d w w W d d C w B Besondere Linien im Dreieck delta7 Seite80 delta7 Seite 8 delta7 Seite 88 Eine Gerade heißt Sekante eines Kreises, wenn sie diesen Kreis in zwei Punkten schneidet. Die Verbindungsstrecke zweier Kreispunkte heißt Sehne ( [PQ] ). P M Q Kreis und Gerade Eine Gerade heißt Tangente eines Kreises, wenn sie mit diesem genau einen Punkt gemeinsam hat. Dieser Punkt heißt Berührpunkt (B). Eine Gerade heißt Passante eines Kreises, wenn sie mit diesem Kreis keinen Punkt gemeinsam hat. B Durchmesser Berührradius delta7 Seite 70 ff