Beschränkungen (Constraints)

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1 Einführung in die KI Prof. Dr. sc. HansDieter Burkhard Vorlesung 2. Constraints: Grundbegriffe Constraint Propagierung Anwendungsbeispiele (Bildinterpretation, zeitliches Schließen) Beschränkungen (Constraints) Allgemeine Problemstellung: Einschränkende Bedingungen ( Constraints ) für variable Parameter sollen gleichzeitig erfüllt werden Produktionsplanung mit Anforderungen an Produkt Anforderungen an Verfahren Anforderungen an Kosten, Zeit,... Abhängigkeiten zwischen Parametern Stundenplanung Scheduling Landkarten einfärben,... Constraints 2

2 Lösung durch Suche (Probieren) Mögliches Verfahren: ZustandsraumSuche Sukzessive die Variablen mit zulässigen Werten belegen, Backtracking bei Verletzung von Einschränkungen Zustände: TeilBelegungen der Parameter mit Werten Zustandsübergang: Festlegung eines Parameterwertes (soweit ohne Verletzung von Constraints möglich) Problem der Suchverfahren: Kombinatorische Explosion Verbesserungsmöglichkeiten: Zwischenergebnisse bzgl. Beschränkungen testen Beispiel: ZiegeWolfKohlkopf Constraints 3 Lokale heuristische ZustandsraumSuche Zustände: Belegungen der Parameter mit Werten Zustandsübergang: Änderung eines Parameterwertes Heuristik: Parameterwert so ändern, dass Konflikte minimiert werden Konflikt: Anzahl verletzter Constraints Gute Resultate selbst für schwere Probleme, wenn Lösungen überall im Lösungsraum dicht verteilt sind. Andernfalls z.b. Evolutionäre Algorithmen anwenden. Beispiel: QueensProblem Constraints 4

3 Propagierung von Beschränkungen Beschränkungen nutzen zur Reduktion des Suchraums: geschicktes Kombinieren von Bedingungen Weiterreichen (Propagieren) lokaler Einschränkungen ( ConstraintPropagation ) Willkürliches Einschränken des Suchraumes (mit Möglickeit zum Backtracking) S E N D M O R E = M O N E Y Constraints 5 Beispiel aus Bereich,,Bildverstehen'' Zweidimensionales Abbild (LinienZeichnung) eines 3dimensionalen Körpers interpretieren Constraints 6

4 Bildinterpretation (Beispiel) Reale Szene: 3D Elektronisches Abbild: 2D (PixelMatrix) Filter (Vorverarbeitung) Segmentierung Identifikation von Linien Interpretation von Linien (Beschriftung) Identifikation von Objekten Beziehungen zwischen Objekten SzenenInterpretation (Re)konstruktion von Informationen Constraints 7 Farb und Kantensegmentierung Constraints 8

5 Zweidimensionales Abbild eines 3dimensionalen Körpers unter speziellen Voraussetzungen interpretieren Keine Schatten oder Bruchlinien. Verdeckte Kanten sind nicht sichtbar. Alle Eckpunkte sind Schnittpunkte genau dreier aufeinandertreffender Flächen. (Die Spitze der Cheops Pyramide ist nicht erlaubt.),,allgemeiner Beobachtungspunkt'' wird verlangt: Bei geringen Ortsveränderungen des Beobachters darf kein Schnittpunkt seinen Typ wechseln. Constraints 9 Objekte identifizieren Erkennung eines Objektes durch Interpretation der Linien Konvex Konkav Begrenzung Zuordnungen: LinienMerkmale zu Objekten Constraints 10

6 Interpretationen im Wettstreit Constraints 11 Begrenzungslinien bilden die äußeren Kanten des Objektes. Gekennzeichnet werden sie mit einem Pfeil,, ''. Die Pfeile der Begrenzungslinien sind so gerichtet, daß die Körperfläche immer rechts liegt. Innenlinien sind die Kanten im Inneren des Objektes. Es werden zwei Arten unterschieden: Konvexe Linien: Beide Grenzflächen sind vom Beobachter abgewandt, wie bei einem Würfel. In der Zeichnung sind sie mit einem,,'' versehen. Konkave Linien: Beide Begrenzungsflächen schließen den Beobachtungsstandpunkt ein. Ein Beispiel wäre der Blick in ein geöffnetes Buch. Sie sind mit einem,, '' markiert.

7 Konkav oder konvex? Linieninterpretationen sind abhängig vom Kontext Constraints 13 Würfel Constraints 14

8 Würfel Constraints 15 Würfel Constraints 16

9 Würfel Constraints 17 Würfel Constraints 18

10 4 Typen von Schnittpunkten (aufgrund der Voraussetzungen) Pfeil Gabel TStück Ecke Constraints 19 Beschriftete Schnittpunkte Bei Kanten vier Möglichkeiten,, '',,, '',,, '' und,,''. Folglich: insgesamt =208 Möglichkeiten. Davon aber nur 18 physikalisch möglich (Constraints!) Constraints 20

11 Beschriftungsverfahren Gegebene 2DZeichnung konsistent beschriften, d.h.: Beschriftung der Ecken (Variable) mit Werten aus den zulässigen (18) Typen Constraints: längs einer Kante darf sich der Kantentyp nicht ändern oder: Beschriftung ist eine Belegung der Kanten (Variable) mit Werten aus {,,, } Constraints: an den Ecken dürfen nur zulässige Typen auftreten In komplexeren Bildern weitere Constraints durch Licht/Schatten. Constraints 21 Beschriftungsverfahren Für realistische Bilder existiert stets (mindestens) eine konsistente Beschriftung. Es gibt z.t. aber auch konsistente Beschriftungen bei unrealistischen Bildern. Constraints 22

12 Suchverfahren zur Beschriftung 1. Auswahl einer Ecke, diese beschriften 2. Fortlaufend Nachbarecken beschriften solange dies möglich ist. Dabei Auswahl aus mehreren Alternativen: ausgewählte Ecke ausgewählte Beschriftung der Ecke 3. Beim Auftreten von Widersprüchen: Backtracking zu weiteren Beschriftungsalternativen unter 2. Zweckmäßig: Kein simples,,chronologisches Backtracking'' verwenden Constraints 23 Verfahren von Waltz Initial: Stammvater für Constraint Propagation Die Ecken mit allen möglichen Beschriftungen versehen Zyklus: Solange noch Änderungen möglich sind: Paare von Nachbarecken vergleichen (Constraints: Konsistenz entlang der Linien) Inkonsistente Beschriftungstypen an Ecken entfernen. Abschluss: Beschriftungen festlegen (z.b. Suche über den verbliebenen Beschriftungen). Durch Verringerung der Beschriftungen entstehen neue Inkonsistenzen, die wiederum zum Entfernen von Beschriftungen führen: Constraint Propagation Constraints 24

13 Verfahren von Waltz Constraints 25 Ecktypen Constraints 26

14 Verfahren von Waltz Constraints 27 Verfahren von Waltz Constraints 28

15 Verfahren von Waltz Constraints 29 Verfahren von Waltz Constraints 30

16 Verfahren von Waltz Constraints 31 Verfahren von Waltz Constraints 32

17 Willkürliches Streichen eines Wertes Constraints 33 Verfahren von Waltz Constraints 34

18 Verfahren von Waltz Constraints 35 Verfahren von Waltz Constraints 36

19 Resultat Constraints 37 Backtracking: Streichen anderer Werte Constraints 38

20 Backtracking: Streichen anderer Werte Constraints 39 Verfahren von Waltz Constraints 40

21 Verfahren von Waltz Constraints 41 Verfahren von Waltz Fortsetzung: Willkürliches Streichen oder Suche unter verbliebenen Möglichkeiten Constraints 42

22 2 weitere Resultate Constraints 43 Constraint Propagation Analog in anderen Problemen anwendbar Schritte: A) Wertebereiche einschränken gemäß Constraints B) Wertebereiche willkürlich einschränken (mit Backtracking) C) Suche über verbliebenen Werten A und B können mehrfach und abwechselnd angewendet werden oder in einem gemeinsamen Schritt: Größere Einschränkung des Wertebereichs als durch Constraint verlangt Constraints 44

23 Definitionen: Constraints Gegeben: Variablenmenge V = { v 1,...,v n } (Parameter) mit Wertebereichen Dom(v i ), i=1,...,n. Gesamtbereich: Dom(V) := Dom(v 1 )... Dom(v n ). Belegung β ordnet jedem v i einen Wert aus Dom(v i ) zu: β = [ β(v 1 ),..., β(v n ) ] Dom(v 1 )... Dom(v n ) Constraints 45 Definitionen: Constraints Constraint C definiert die zugelassenen Belegungen über einer VariablenTeilmenge V C = {v C 1,...,v C m} V : C Dom(v C 1)... Dom(v C m) ConstraintNetz C über V ist eine Menge C = {C 1,...,C k }, wobei jedes C j ein Constraint über einer Menge V Cj V ist. Constraints 46

24 Definitionen: Constraints Belegung β = [ β(v 1 ),..., β(v n ) ] erfüllt Constraint C über Menge V C = {v C 1,...,v C m} V, falls [ β(v C 1 ),..., β(v C m) ] C. β heißt lokale konsistente Belegung für C oder lokale Lösung für C. Belegung β erfüllt das ConstraintNetz C = {C 1,..., C k }, falls β alle C j C erfüllt. β heißt global konsistente Belegung für C oder globale Lösung für C. Constraints 47 Definitionen: Constraints v 2 Globale Lösungen für C={C,C } Lokale Lösungen für C C Lokale Lösungen für C C v 1 Constraints 48

25 Bildinterpretation Alternativen: Variable sind Ecken Wertebereiche die Ecktypen Constraints: Konsistenz entlang Linien Lösung: Beschriftete Ecken oder Variable sind Linien Wertebereiche die Linientypen Constraints: Konsistenz gemäß Ecktypen Lösung: Beschriftete Kanten Constraints 49 ConstraintErfüllung (Constraint Satisfaction) Gegeben: ConstraintNetz C = {C 1,..., C k } Gesucht: globale Lösung β Aufgabenarten: existiert Lösung? finde Lösung β? Constraints 50

26 Beispiele Finde zwei natürliche Zahlen x und y, so daß xy=7 unter der Vorausetzung x > y > 2. Als ConstraintProblem: V={x,y} Dom(x)=Dom(y)=IN C 1 Dom(y) C 1 ={y IN: y > 2} C 2 Dom(x) Dom(y) C 2 ={[x,y] IN IN: x > y } C 3 Dom(x) Dom(y) C 3 ={ [x,y] IN IN: xy=7 } C={C 1,C 2,C 3 } Eine lokale Lösung bezüglich C 1 ist x=1 und y=3. Für eine globale Lösung müssen alle drei Bedingungen erfüllt werden. Eine passende Belegung β ist x=4 und y=3. Constraints 51 Beispiele V={x,y,z}, Dom(x)=[0,1], Dom(y)=[0,1], Dom(z)=[0,1] C 1 ={[x,y] : x > y } C 2 ={[y] : y > 0.5 } C 3 ={[x,z] : xz=1 } C 4 ={[x,z] : x < z } für V 1 = {x,y} für V 2 ={y} für V 3 = {x,z} für V 4 ={x,z} Eine lokale Lösung bezüglich C 3 ist [0.5, 0.7, 0.5]. Eine globale Lösung für C={C 1,C 2,C 3,C 4 } existiert nicht: Die gegebenen Voraussetzungen sind inkonsistent. Aus C 1,C 2,C 4 folgt z >x>y> 0.5. C 3 steht dazu im Widerspr. Für C={C 1,C 2,C 3 } ist [ 0.7, 0.6, 0.3] globale Lösung. Constraints 52

27 ConstraintOptimierung (Constraint Optimization) Gegeben: ConstraintNetz C = {C 1,..., C k } Kostenfunktion c: Dom(V) R Gesucht: optimale globale Lösung β Aufgabenarten: c(β ) r? für gegebenes r R modellierbar als zusätzliches Constraint, Behandlung als ConstraintErfüllungsproblem finde c(β ). Behandlung als c(β ) r? mit unterschiedlichen r finde β. Constraints 53 Lösungsverfahren für Constraints. Satz: Es gibt kein universelles Lösungsverfahren für beliebige ConstraintProbleme Beispiel: Diophantische Gleichungen Endliche ConstraintProbleme (Dom(V) endlich) sind oft NPvollständig Constraints 54

28 ConstraintPropagierung Idee: Geeignete Einschränkungen D i der Wertebereiche Dom(v i ) finden ( zusätzliche Constraints ) Geeignet: Es gehen keine Lösungen verloren. Propagierung: Fortlaufende Einschränkungen durch abwechselnde Betrachtung unterschiedlicher Constraints führen für Wertebereiche Dom(v i ) (i=1,..,n) zu Folgen D il... D i5 D i4 D i3 D i2 D i1 Dom(v i ) Suche in D l := D l 1... D l n nach Lösung Probleme z.b.: evtl. unendliche Folge der D l evtl. D l noch zu umfangreich für Suche Constraints 55 ConstraintPropagierung: Einschränkungen Gegeben: ConstraintNetz C={C 1,...,C k } über V={v 1,...,v n } Einschränkung (der Wertebereiche): D = D 1... D n für Teilmengen D i Dom(v i ), i=1,...,n z.b. als Intervall im R n D heißt lokal konsistente Einschränkung bzgl. C j, falls gilt: i {1,...,n} d i D i β=[a 1,...,a i1,d i,a i1,...,a n ] D : β lokale Lsg. für C j D heißt global konsistente Einschränkung, falls gilt: i {1,...,n} d i D i β=[a 1,...,a i1,d i,a i1,...,a n ] D : β globale Lsg. für C D heißt inkonsistent, wenn D keine globale Lösung enthält. Constraints 56

29 Lokal konsistente Einschränkung C D 2 D C D 1 Constraints 57 ConstraintPropagierung: Einschränkungen Ebenfalls Einschränkung Innerhalb einer gegebenen Menge D = D 1... D n gibt es genau eine maximale global konsistente Einschränkung D max/global = D 1 max/global... D n max/global mit D i max/global :={d i D i β=[a 1,...,a i1,d i,a i1,...,a n ] D: β globale Lsg.} Innerhalb einer gegebenen Menge D = D 1... D n gibt es genau eine maximale bzgl. C j lokal konsist. Einschränk. D max/cjlokal = D max/cjlokal 1... D max/cjlokal n mit D max/cjlokal i :={d i D i β=[a 1,..,a i1,d i,a i1,..,a n ] D: β lok. Lsg. für C j } Constraints 58

30 ConstraintPropagierung: Einschränkungen Die Mengen D i max/global (bzw. D i max/cjlokal ) sind die Projektionen der in D enthaltenen globalen (bzw. lokalen) Lösungen auf die Wertebereiche Dom(v i ). Es gilt für beliebiges j=1,...,k : D i max/global D i max/cjlokal. Constraints 59 ConstraintPropagierung: Einschränkungen D 2 D 2 max/c lokal D max/c lokal D D max/c lokal D max/global D max/c lokal 2 D max/globall 2 C C D 1 max/c lokal D max/globall 1 D max/c lokal 1 D 1 Constraints 60

31 ConstraintPropagierung: Einschränkungen Globale Lösung existiert in D gdw. nichtleere global konsistente Einschränkungen von D existieren gdw. D max/global Es gibt keine globale Lösung in D Lokale Lösung für C j existiert in D gdw. nichtleere für C j lokal konsistente Einschränkungen von D existieren gdw. D max/cjlokal Es gibt keine lokale Lösung für C j in D gdw. D max/global = gdw. D max/cjlokal = Constraints 61 ConstraintPropagierung: Einschränkungen Zusammenhang globale Lösung/lokal konsistente Einschränkungen? Falls D max/cjlokal = für ein Constraint C j, (falls D max/cjlokal i = für ein Constraint C j und eine Variable v i ) so gilt D max/global = und es gibt keine globale Lösung in D Umkehrung gilt nicht: Auch wenn für alle Constraints C j gilt: D max/cjlokal, kann D max/global = gelten und es gibt keine globale Lösung in D Constraints 62

32 ConstraintPropagierung: Einschränkungen D 2 D max/c lokal Dmax/global = D max/c lokal 2 D D max/c lokal max/c lokal 2 D C C D 1 max/c lokal D 1 max/c lokal Frage: Wäre D max/cjlokal hinreichend für D max/global und die Existenz globaler Lösungen in D? D 1 Constraints 63 ConstraintPropagierung: Einschränkungen Als maximale global konsistente Einschränkung des ConstraintNetzes C = {C 1,...,C k } wird die maximale global konsistente Einschränkung E=E 1... E n von Dom(V)=Dom(v 1 )... Dom(v n ) bezeichnet. Dabei gilt: E i ={ d i Dom(v 1 ) β=[a 1,..,a i1,d i,a i1,..,a n ] : β globale Lsg. von C} E enthält alle globalen Lösungen, insbesondere gilt: Globale Lösungen existieren gdw. E. Für jeden Constraint C j gilt: : Falls E D für eine Einschränkung D, so E D i max/cjlokal. Constraints 64

33 Schema: ConstraintPropagierung Propagierung: Fortlaufende Einschränkungen durch abwechselnde Betrachtung unterschiedlicher Constraints führen für Wertebereiche Dom(v i ) (i=1,..,n) zu Folgen D il... D i5 D i4 D i3 D i2 D i1 Dom(v i ) Suche in D l := D l 1... D l n nach Lösung Constraints 65 Schema: ConstraintPropagierung 1. Wähle eine Menge D(0) Dom(V) als initiale Einschränkung, s:= Wähle ein (aussichtsreiches) C(s) C. WahlMöglichkeit WahlMöglichkeit 3. Wähle eine neue Einschränkung D(s) D(s1), so dass D(s) eine lokal konsistente Einschränkung bezüglich C(s) ist. Nicht notwendig maximal Möglichkeiten zum Backtracking Constraints 66

34 Schema: ConstraintPropagierung 4. Zwischenauswertung. Es können folgende Fälle auftreten: (a) Globale Lösung wird in D(s) gefunden (z.b. durch Suche). (b) Es ist keine weitere Einschränkung zu erwarten, da kein weiteres C(s) C gefunden werden konnte, so dass D(s) D(s1). (c) D(s) ist global inkonsistent (gemäß Suche, insbesondere bei D(s) = ). Daraus ergeben sich folgende Möglichkeiten zur Weiterarbeit: o Weiter bei 2. mit s:=s1, falls keiner der drei Fälle zutrifft. o Abbruch bei 4a) nicht notwendig chronologisch o Backtracking zu 2. oder 3. eines Schrittes s <s für 4b) oder 4c): Dort alternative Einschränkung wählen. kleinerer Bereich Abbruch, wenn Backtracking nicht aussichtsreich. anderer Bereich Constraints 67 Schema: ConstraintPropagierung Es ergibt sich Folge von Einschränkungen Dom(V) D(0) D(1) D(2) D(3)... D(s)... Dabei D(s) lokal konsistente Einschränkung von D(s1) bzgl. C(s), i.a. aber nicht bzgl. C(s1), C(s2), C(s3),.... Wiederholte (evtl. sogar unbegrenzte) Verwendung der C j aus C kann möglich sein. Constraints 68

35 Schema: ConstraintPropagierung Kein eigentlicher Algorithmus (prinzipielle Unlösbarkeit). Suchverfahren in der gefundenen Einschränkung (4). WahlMöglichkeit in (3): Kleine (nicht maximal konsistente) D(s): Suchverfahren einfacher. evtl. wird Lsg. verfehlt: (nichtchronologisches) Backtracking notwendig. Constraints 69 Schema: ConstraintPropagierung Satz: Voraussetzungen: D(0) = Dom(V ) D(s) jeweils maximale lokale Einschränkung von D(s1) Behauptungen: D(s) enthält stets die maximale global konsistente Einschränkung E von C : E D(s) Falls ein D(s)=, so existiert keine Lösung. Constraints 70

36 Visualisierung: ConstraintGraphen Constraint C j über V j V heißt binär, falls card(v j ) =2. ConstraintNetz C = {C 1,...,C k } aus binären Constraints C j ist darstellbar als Graph mit Knoten: Variable v i (mit Wertebereichen Dom(v i ) ) Kanten: Binäre Constraints Beispiele: LandkartenFärbung Eckenbeschriftungen bei Bildinterpretation Constraints 71 Visualisierung: ConstraintGraphen LandkartenFärbung Constraints 72

37 Vereinfachende Zerlegungen des ConstraintGraphen Nach Einfärbung von SA können andere mit verbleibenden Farben versehen werden Constraints 73 Visualisierung: ConstraintHyper Graphen Knoten: Variable v i HyperKnoten: Constraints C j über V j V Kanten: verbinden Hyperknoten für Constraints C j mit Knoten für Variable v i V j Constraints 74

38 Visualisierung: ConstraintGraphen Jedes ConstraintNetz in binäres ConstraintNetz überführbar. Unäre Constraints ( card(v j ) =1 ) in Dom(v i ) integrieren. Viele Verfahren sind auf binäre ConstraintNetze beschränkt. z.b. Vereinfachende Zerlegungen des ConstraintGraphen. Constraints 75 Übergang zu Binärem ConstraintNetz Gegeben ConstraintNetz C = {C 1,...,C k } mit Constraints C i über V Ci = {v Ci 1,...,v Ci m} C i Dom(v Ci 1)... Dom(v Ci m) Konstruieren binäres ConstraintNetz mit Variablen w 1,...,w k mit Dom(w i ) = C i Dom(v Ci 1)... Dom(v Ci m) d.h. Werte der neuen Variablen w i sind die lokal konsistenten Belegungen der Variablen v Ci 1,...,v Ci m des Constraints C i Constraints 76

39 Übergang zu Binärem ConstraintNetz Variable w 1,...,w k mit Dom(w i ) = C i Dom(v Ci 1)... Dom(v Ci m) x {1,2} y {2,4} z {4,5} xy=z x<y {(1,4,5), (2,2,4)} u v {(1,2), (1,4),(2,4)} Constraints 77 Übergang zu Binärem ConstraintNetz Belegungen der neuen Variablen müssen Gleichheiten der ursprünglichen Variablen respektieren: Binäre Constraints: B v i,j Dom(w i ) Dom(wj) definiert für die Variablen v V Ci V Cj : B v i,j:= { [b i, b j ] b i Dom(w i ) b j Dom(w j ) π v (b i ) = π v (b j ) } dabei bezeichnet π v (b i ) die Projektion von b i an der Stelle von v Constraints 78

40 Übergang zu Binärem ConstraintNetz Belegungen der neuen Variablen müssen Gleichheiten der ursprünglichen Variablen respektieren: x {1,2} y {2,4} z {4,5} xy=z x<y {(1,4,5), (2,2,4)} u π x (u)= π x (v) π y (u)= π y (v) v {(1,2), (1,4),(2,4)} Constraints 79 ConstraintPropagation im AllenKalkül AllenKalkül: Modell für Zeitliches Schließen Mögliche Ausgangspunkte: Zeitpunkte Zeitintervalle Ereignisse/Abläufe Weitere Modelle für zeitliche Abläufe: Situationenkalkül Algorithmische Logik, z.b. CTL* Automaten, PetriNetze,... Constraints 80

41 Beispiel AllenKalkül starts, in, contemporary bezeichnen Beziehungen zwischen Intervallen (aus Dissertation Andrea Miene Bremen, 2003) Constraints 81 AllenKalkül Logisch formaler Zugang für die Repräsentation von zeitlichen Abläufen auf der Basis von ZeitIntervallen Syntax Semantik Ausdrucksmöglichkeiten für Intervalle Beziehungen zwischen Intervallen (Relationen) Stattfinden von Ereignissen (OCCUR) Gültigkeit von Fakten (HOLDS)... Constraints 82

42 AllenRelationen für Zeitintervalle Syntax: Ausdrucksmöglichkeiten für binäre Relationen s(x,y), s i (x,y), f(x,y), f i (x,y), d(x,y), d i (x,y), b(x,y), b i (x,y), o(x,y), o i (x,y), m(x,y), m i (x,y), e(x,y) Logische Ausdrucksmöglichkeiten (AK, PK1,...) Verbindung zu Intervallen (HOLDS, OCCURS,...) Constraints 83 AllenRelationen für Zeitintervalle Semantik(Modelle): Intervallstrukturen Eine Intervallstruktur ist ein Paar [I,{, < }], mit 1. I nichtleere Menge (von Intervallen), 2. partielle Ordnung (transitiv, reflexiv, antisymmetrisch) über I (Teilmengenrelation) 3. < strikte partielle Ordnung (transitiv, irreflexiv) über I (Präzedenz) Präzedenz trifft zu, wenn ein Zeitintervall vollständig vor einem anderem liegt. Ein trennendes Zwischenintervall ist nicht erforderlich. Constraints 84

43 Beabsichtigte Bedeutungen STARTS(x,y) s(x,y) x y z ( z y x < z ) z ( z y z < x ) FINISHES(x,y) f(x,y) x y z ( z y z < x ) z ( z y x < z ) DURING(x,y) d(x,y) x y z ( z y x < z ) z ( z y z < x ) BEFORE(x,y) b(x,y) x < y z ( x < z z < y ) OVERLAPS(x,y) o(x,y) z ( z x z < y ) z ( z x z y ) z ( z y x < z ) MEETS(x,y) m(x,y) x < y z ( x < z z < y ) EQUALS(x,y) e(x,y) ( x y y x ) Constraints 85 Beabsichtigte Bedeutungen STARTS(x,y) s(x,y) x y z ( z y x < z ) z ( z y z < x ) FINISHES(x,y) f(x,y) x y z ( z y z < x ) z ( z y x < z ) DURING(x,y) d(x,y) x y z ( z y x < z ) z ( z y z < x ) BEFORE(x,y) b(x,y) x < y z ( x < z z < y ) OVERLAPS(x,y) o(x,y) z ( z x z < y ) z ( z x z y ) z ( z y x < z ) MEETS(x,y) m(x,y) x < y z ( x < z z < y ) EQUALS(x,y) e(x,y) ( x y y x ) Constraints 86

44 Beabsichtigte Bedeutungen (Inverse) Inverse von STARTS(x,y) s i (x,y) s(y,x) Inverse von FINISHES(x,y) f i (x,y) f(y,x) Inverse von DURING(x,y) d i (x,y) d(y,x) Inverse von BEFORE(x,y) b i (x,y) b(y,x) Inverse von OVERLAPS(x,y) o i (x,y) o(y,x) Inverse von MEETS(x,y) m i (x,y) m(y,x) Constraints 87 Axiomatik für AllenRelationen Für jedes Intervall t und jede der 13 Relationen r gibt es ein Intervall t mit r(t,t ) bzw. r(t,t) : r [( t 1 t 2 : r(t 1,t 2 )) ( t 1 t 2 : r(t 2,t 1 )) ] Axiome zum gegenseitigen Ausschluß der Relationen: o(x,y) m(x,y) usw. Axiome bzgl. der Inversen: s(x,y) s i (y,x) usw. Axiome zur Beschreibung des transitiven Verhaltens: z.b.: m(t 1,t 2 ) d(t 2,t 3 ) o(t 1,t 3 ) d(t 1,t 3 ) s(t 1,t 3 ) (siehe Tabelle, mit con d i s i f i und dur d s f ) Constraints 88

45 Constraints 89 Axiomatik für AllenRelationen Modelle der Axiome sind IntervallStrukturen für eine nichtverzweigende in beiden Richtungen unbeschränkte Zeit. Im Prinzip ist Reduktion möglich auf MEETS: Alle Relationen mittels MEETS definierbar, Axiome für MEETS. Constraints 90

46 Zeitliche Inferenzen Es sind Beziehungen zwischen Intervallen gegeben Weitere Beziehungen sollen abgeleitet werden (z.b. genaue Reihenfolge festlegen) AllenAxiome können als Constraints verwendet werden (insbesondere Tabelle) Constraints 91 Beispiel: (A, B, C, D sind Zeitintervalle) A beginnt während B B beginnt nicht vor C B liegt zeitlich völlig nach D C und D beginnen gleichzeitig Was kann über Beziehungen zwischen A und D gesagt werden? Können dafür Aussagen (Constraints) bzgl. A und B sowie B und D geeignet kombiniert werden? Führen solche Kombinationen zu verschärften Aussagen über die ursprünglichen Constraints? Constraints 92

47 Darstellung als Netz Constraints 93 Eintragen der fehlenden Relationen Constraints 94

48 Auswertung Constraints 95 AllenNetz Ein AllenNetz ist gegeben durch A = [T, C] mit T ist eine Menge von IntervallVariablen und C ist eine Abbildung C : T x T 2 {s,si,,e} {s,s i,,e} = Menge der AllenRelationen.) Dabei gilt für alle t 1,t 2 aus T x Tdie Bedingung: C(t 2,t 1 ) = Inverse der Relationen in C(t 1,t 2 ) C(t 1,t 2 ) gibt die zwischen den Intervallen t 1 und t 2 vorgegebenen Beziehungen an. Ein AllenNetz lässt sich als Graph ( Netz ) mit Knoten T und Kantenbeschriftungen C(t 1,t 2 ) darstellen. Entspricht ConstraintGraph für binäre Constraints. Constraints 96

49 Modell eines AllenNetzes A = [T, C] Voraussetzung: Gegebene Intervallstruktur [I,{, < }] Ein Modell für A = [T, C] ist eine Belegung β: T I mit: Für alle t 1,t 2 T gilt: β(t 1 ), β(t 2 ) stehen in einer durch C zugelassenen Relation d.h. r(β(t 1 ), β(t 2 )) c(t 1,t 2 ) ( r ist eindeutig aufgrund der Axiome) Globale Konsistenz: A = [T, C] ist global konsistent, wenn es ein Modell besitzt (andernfalls: global inkonsistent) Constraints 97 Betrachtung als ConstraintProblem Variable t i für Intervalle Wertbereiche Dom(t i ) : Menge I der Intervalle einer Intervallstruktur [I,{, < }] Constraints: Axiome der AllenRelationen z.b. für o(x,y) m(x,y) C = { [t x,t y ] / o(t x,t y ) m(t x,t y )} Beziehungen gemäß Problemstellung z.b. für A beginnt während B : C = { [t A,t B ] / e(t A,t B ) s(t A,t B ) s i (t A,t B ) d(t A,t B ) f(t A,t B ) o i (t A,t B ) } Constraints 98

50 Lokale Konsistenz Lokale Konsistenz bei AllenNetzen wird bezogen auf die IntervallAxiome zur Beschreibung des transitiven Verhaltens: z.b.: m(t 1,t 2 ) d(t 2,t 3 ) o(t 1,t 3 ) d(t 1,t 3 ) s(t 1,t 3 ) (siehe Tabelle) Ein Netz A = [T, C] ist lokal konsistent an der Stelle {t 1,t 2,t 3 } falls die Einschränkung A/{t 1,t 2,t 3 } = [ {t 1,t 2,t 3 },C/{t 1,t 2,t 3 } ] von A auf {t 1,t 2,t 3 } global konsistent ist. Das Teilnetz A/{t 1,t 2,t 3 } ist ein Teildreieck von A. Constraints 99 Prüfung auf lokale Konsistenz Gegeben: A = [T, C]. Überprüft werden Dreiecke {t 1,t 2,t 3 } auf lokale Konsistenz. Dabei werden die möglichen Beschriftungen der Kanten (t i,t j ) sukzessive verringert bis zur Stabilisierung. Verringerungen ergeben sich aus Inkonsistenzen bzgl. der IntervallAxiome des transitiven Verhaltens. Der Algorithmus benutzt Einen Stack K für aktuell zu prüfende Intervallpaare und Eine Abbildung R: Tx T 2 {s,si,,e} der aktuellen Beschriftungen Constraints 100

51 Prüfung auf lokale Konsistenz Initialisierung: K := Liste der Paare (t 1,t 2 ) T x T, R (t 1,t 2 ) := C (t 1,t 2 ) Äußerer Zyklus: Falls K=[ ] : EXIT(lokal konsistent), sonst: (t 1,t 2 ) := pop(k) und inneren Zyklus ausführen. Innerer Zyklus: Für alle t T die Schritte (a) und (b) ausführen: (a) Falls R(t 1,t) R(t 1,t) (R(t 1,t 2 ) x R (t 2,t ) ) : setze R(t 1,t) := R(t 1,t) (R(t 1,t 2 ) x R (t 2,t ) ), falls dann R(t 1,t) = : EXIT(lokal inkonsistent), andernfalls: push(t 1,t) (einkellern). (b) Falls R(t, t 2 ) R(t 1,t 2 ) ( R(t,t 1 ) x R (t 1,t 2 ) ) : setze R(t, t 2 ):= R(t 1,t 2 ) ( R(t,t 1 ) x R (t 1,t 2 ) ), falls dann R(t, t 2 )= : EXIT(lokal inkonsistent), andernfalls: push(t, t 2 ) (einkellern) Constraints 101 Evaluierung des Verfahrens Der Algorithmus bricht nach maximal O(n 3 ) Schritten ab. (n = Anzahl der Knoten im AllenNetz). O(n 2 ) für äußere Schleife: höchstens 13mal (Anzahl der Relationen) für jedes der n 2 Paare (t 1,t 2 ) T x T, O(n) für innere Schleife. Beim Abbruch wird das korrekte Resultat bzgl. lokaler Konsistenz geliefert. Constraints 102

52 Lokale vs. Globale Konsistenz Dieses Netz ist überall lokal konsistent (und stabil) Constraints 103 Lokale vs. Globale Konsistenz Das TeilNetz hat 2 Modelle, die aber nicht in Konsistenz zum Gesamtnetz stehen. Constraints 104

53 Anwendung des Verfahrens Es gibt lokal konsistente AllenNetze, die nicht global konsistent sind. Verfahren prüft auf lokale Konsistenz Wenn diese nicht vorliegt, ist das Netz auch global inkonsistent Bei lokaler Konsistenz kann unter den verbliebenen Möglichkeiten nach einer globalen Lösung gesucht werden. Constraints 105 Constraints: Weiteres Harte Constraints Weiche Constraints Verbindung mit logischer Programmierung: Constraintlogische Verfahren Constraints 106