Flachheitsbasierte Regelung Adaptiver Optik

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Minna Lange
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1 Flachheitsbasierte Regelung Adaptiver Optik Thomas Ruppel Institut für Systemdynamik Universität Stuttgart Elgersburger Arbeitstagung Feb. 2008

2 Systemdynamische Grundlagen Adaptiver Optik Der Planet Neptun mit und ohne Adaptiver Optik (UC Sata Cruz) 2

3 Gliederung Systemdynamische Grundlagen Adaptiver Optik Modale Wellenfrontapproximation elektromagnetischer Felder Eigenschaften geeigneter Modalfunktionen Dynamische Eigenschaften monolither Membranspiegel Flachheitsbasierte modale Trajektoriengenerierung Modale Regelung Optischer Systeme 3

4 Systemdynamische Grundlagen Adaptiver Optik 4

5 Grundlagen zur Wellenfrontsensorik Ansatz für monochromatisches Licht ( 2 + n2 c 2 ω2 )u(~r )=( 2 + k 2 )u(~r )=0, Einführung des Eikonals: Wellengleichung µ 2 n2 2 c 2 t 2 v(~r, t)=0 (1) v(~r, t) =u(~r )e iwt ikw (~r ) u(~r )=û(~r ) e k = 2π λ 0 Regelgröße Eikonalgleichung mit û(~r ) û(~r ) 0 W (~r ) 2 = n 2 (2) 5

6 Modale Wellenfrontapproximation (n =1) o.b.d.a. Prinzip des Shack Hartmann Sensors y µ x y W(x, y) W (x, y) = µ 1 δx f δy δy (3) δx x Optischer Sensor f 6

7 xy = S = Modale Wellenfrontapproximation δ x1. δ xn δ y1. δ yn δ x11... δ xm δ x1n... δ xmn δ y11... δ ym δ y1n... δ ymn R c( xy ) C = c 1.. c N C = R c S aus (3) c c M c 1N... c MN Rekonstruktor-Gleichung R c = C (S T S ) 1 S (5) 7

8 Wahl der Modalfunktionen Optik W (x, y) = P N i=1 c ig i (x, y) xy = δ x1. δ xn Numerik δ y1. δ yn g i (x, y) R c( xy ) c 1... c N Aktuatordynamik Zernike Polynome Disk Disk Harmonische Polynome Dynamische Eigenmoden 8

9 Optik: Zernike Polynome Z m n (r, Θ) = R m n (r) = ( R m n (r)sin(mθ) : m<0 Rn m : m =0 R n +m (r)cos(mθ) : m>0 (n m)/2 X s=0 n 0 ( 1) s (n s)! s![(n + m)/2 s]! [(n m)/2 s]! rn 2s 9

10 Numerik: Disk Harmonische Polynome d nm (r, Θ) = ( 2R nμ (r)cos(μθ) : m>0 R n0 (r) : m =0 2Rnμ (r)sin(μθ) : m<0 n 0 μ = m R nm = a nm J m (k nm r) J m (.) Bessel Funktion s erster Art 1 a nm = [1 (m/k nm ) 2 ][J m (k nm )] 2 [Verrall et al. 98] a 00 =1 10

Methoden d 2 dt 2 q n(t)+k n1 d dt q n(t)+k n0 q n (t) =p T n u(t)

11 Aktuatorik: Dynamische Eigenmoden der Spiegelmembran D n (r, Θ,t)=q n (t)f n (r, Θ) n 0 f n (r, Θ) bestimmbar über Finite Elemente Methoden d 2 dt 2 q n(t)+k n1 d dt q n(t)+k n0 q n (t) =p T n u(t) (4) [Riccardi et al. 93] f n (r, Θ)des P45 (Large Binocular Telescope) 11

12 Dynamische Modalfunktionen Optik W (x, y, t) = P N i=1 c i(t)g i (x, y) xy (t) = Aktuatordynamik führt zu erweiterter Messdynamik δ x1 (t). δ xn (t) g i (x, y, t) Numerik δ y1 (t). δ yn (t) R c( xy ) c 1 (t). c N (t) Aktuatordynamik Zernike Polynome Disk Disk Harmonische Polynome Dynamische Eigenmoden 12

13 Beeinflussung der Aktuatordynamik d 2 dt q d n(t)+k 2 n1 dt q n(t)+k n0 q n (t) =p T u(t) n aus (4) Verformung der Spiegelmembran erfolgt über eine unterlagerte Positionsregelung Eingang u(t) enspricht Aktuator-Sollpositionen 13

14 Aktuatordynamik ohne modale Vorsteuerung q p (t 1 )=1μm q p (t 0 )=0μm Sprungantwort des dynamisch agilsten Modes (Piston) 14

15 Entwurf einer modalen Vorsteuerung d 2 dt q d n(t)+k 2 n1 dt q n(t)+k n0 q n (t) =p T u(t) n Piston Mode aus (4) q p (t 0 ) = 0 μm q p (t f ) = 1 μm q p (t 0 ) = 0 μm/s q p (t f ) = 0 μm/s q p (t 0 ) = 0 μm/s 2 q p (t f ) = 0 μm/s 2 u p (t 0 ) = 0 μm/s u p (t f ) = 0 μm/s ü p (t 0 ) = 0 μm/s 2 ü p (t f ) = 0 μm/s 2 t 0 = 0 ms t f = 1 ms u(t) =p 1 n 10 Randbedingungen Polynom 9. Ordnung benötigt Modellinversion ( q n(t)+k n1 q n (t)+k n0 q n (t)) 15

16 Entwurf einer modalen Vorsteuerung = Gleichungssystem zur Bestimmung der Polynomkoeffizienten k p1 2k p k p1 6k p t f t 2 f t 3 f t 4 f t 5 f t 6 f t 7 f t 8 f t 9 f 0 1 2t f 3t 2 f 4t 3 f 5t 4 f 6t 5 f 7t 6 f 8t 7 f 9t 8 f t f 12t 2 f 20t 3 f 30t 4 f 42t 5 f 56t 6 f 72t 7 f η 0 η 1 η 2 η 3 η 4 η 5 η 6 η 7 η 8 η 9 ν 0 ν 1 ν 2 ν 3 ν 4 ν 5 ν 6 ν 7 ν 8 ν 9 {z } Λ a p0 a p1 a p2 a p3 a p4 a p5 a p6 a p7 a p8 a p9 Λ 1 : t f 6=0 16

17 Entwurf einer modalen Vorsteuerung q p (t) u(t) =p 1 n Modellinversion ( q n(t)+k n1 q n (t)+k n0 q n (t)) u(t) u(t) berücksichtigt lokale Aktuatordynamik und dynamische Kopplungen zwischen Aktuatoren 17

18 q p (t 1 )=1μm q p (t 0 )=0μm Aktuatordynamik mit modaler Vorsteuerung Antwort des dynamisch agilsten Modes (Piston) 18

19 - Vorfilter Modale Trajektoriengenerierung Modale Regelung Optischer Systeme q soll (t) MIMO Entkopplung Inverse Modaltransformation z i,soll (t) - e(t) Lokale Positionsregler u(t) Thermische Strukturänderung Spiegelmembran MIMO verkoppelt Unterlagerte lokale Positionsregelung z i (t) Atmosphärische Turbulenz Modale Wellenfrontrekonstruktion Wellenfrontsensor Geschlossener optischer Regelkreis baut auf modalen Eigenschwingungsformen der Spiegelmembran auf. 19

20 Inverses Problem im optischen Regelkreis Wellenfrontsensor M<N unabhängige Sensoren Rekonstruktion R c = C (S S T ) 1 S Inverses Problem Wie gut löst der Wellenfrontsensor die dynamischen Moden des Spiegels auf? Verformbarer Spiegel N gekoppelte Aktuatoren Sollte für die Wellenfrontrekonstruktion und Signalgenerierung der gleiche Rekonstruktor R c verwendet werden? Sind dynamisch rekonfigurierbare Wellenfrontsensoren hilfreich? 20

21 - Vorfilter Modale Trajektoriengenerierung q soll (t) MIMO Entkopplung Inverse Modaltransformation Modale Dualität? z i,soll (t) - e(t) Lokale Positionsregler u(t) Thermische Strukturänderung Spiegelmembran MIMO verkoppelt Unterlagerte lokale Positionsregelung z i (t) Atmosphärische Turbulenz Modale Wellenfrontrekonstruktion Wellenfrontsensor Modale Dynamik atmosphärischer Turbulenz Modale Dynamik der Spiegelmembran Informationsverlust? 21

22 Fazit und Ausblick Modale flachheitsbasierte Regelung von Spiegelmembranen ermöglicht strukturelle Entkopplung unterlagerter Aktuatorik Modale Trajektoriengenerierung für Zustandswechsel ist numerisch gut konditioniert bei festen Transitionszeiten Dualität dynamischer Spiegelmoden und rekonstruierbarer externer Störungen bedarf weiterer Untersuchungen Auslegungskriterien und Rekonstruktorwahl für Sensorik offen Regelungskonzepte für verteilte MIMO-Systeme bei Mehrspiegel-Riesenteleskopen mit konzentrierter Sensorik 22

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