Allgemeine Funktionsgleichungen. Eine allgemeine Funktionsgleichung besteht aus Parametern (Koeffizienten) und der zugehörigen Funktionsvariablen.

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1 Allgemeine Funktionsgleichungen Eine allgemeine Funktionsgleichung besteht aus Parametern (Koeffizienten) und der zugehörigen Funktionsvariablen. Beispiele: Lineare Funktion: f(x) = a*x +b Quadratische Funktion: f(x) = Kubische Funktion: Funktion 4ten Grades: Ziel der Einheit: Bestimmung der Parameter mithilfe von genannten Eigenschaften der Funktionen. Definition Gleichungssystem Ein Ausdruck der Form a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b heißt Gleichung mit n Unbekannten x i (i = 1,2,...,n). Die a i und das b werden als Parameter bezeichnet. Die Unbekannten und die Parameter sind in der Regel aus den reellen Zahlen. Mehrere Gleichungen zu demselben Ausgangsproblem werden als Gleichungssystem bezeichnet. Dabei ist m die Anzahl der Gleichungen und n die Anzahl der Unbekannten. Ein Gleichungssystem vereinfacht das Herausfinden der konkreten Werte der Unbekannten. 1

2 Allgemeine Funktionsgleichungen Beispiel 1: Eine lineare Funktion soll durch die Punkte (0 0) und (4 1) gehen. Bestimme die Funktionsgleichung mithilfe eines Gleichungssystems. Lösung: Schritt 1: Überlegen, wie viele Gleichungen benötigt werden. Hier: 2, da der Grad der Funktion = 1 ist. Schritt 2: Aus der Aufgabe die nötigen Gleichungen bilden. Schritt 3: Gleichungssystem in Classpad eingeben, lösen. Hier: Beispiel 2: Gesucht ist eine Funktion, die folgende Eigenschaften hat: I Der Graph der Funktion verläuft durch P(0 3) II Der Graph der Funktion verläuft durch Q(4 2) III An der Stelle x=0 hat der Graph eine Steigung von 0 IV An der Stelle x=4 hat der Graph eine Steigung von 0 Gesucht ist also eine Funktion dritten Grades. kann weggelassen werden 2

3 Gleichungssystem, ab ins ClassPad 3

4 Die Funktionenschar Eine Funktionenschar ist zunächst eine gewöhnliche Funktion, mit der Ausnahme, dass nicht alle Parameter endgültig bestimmt sind. Beispiel: f t (x) = tx 3 +7x 2 5. Zusätzlich muss noch der Definitionsbereich für t angegeben werden, also die Zahlen, die ich für t einsetzen darf. Die Funktionsvariable steht ganz normal in der Klammer hinter dem f. Der Scharparameter wird bei Rechenoperationen wie eine Zahl behandelt, so würde die Ableitung nach x wie üblich f' t (x) = 3tx 2 +14x lauten. Ich muss jetzt aber insbesonderem dem ClassPad sagen, nach welcher Variablen er ableiten soll. Kurze Übungen (mit CP): Die Verbindung von zwei Teilen mit einer Funktion (Trassierung) Aufgabe: Zwei Radwege in Bergedorf sollen miteinander verbunden werden. Abgeordnete Per Arndt hat dazu Bergedorfer Architekturbüros aufgefordert, Vorschläge für die Radwegführung zu machen. Als bekennende Mathematikliebhaberin sind ihre Bedingungen die folgenden: 1. Der neue Radweg soll einem Funktionsgraphen ähneln 2. Der Verbindungsweg soll ein angenehmes Fahren ermöglichen Nach vier Wochen erhält sie insgesamt vier Vorschläge (siehe nächste Seite). 4

5 1. Erfüllt der Verbindungsweg die beiden Bedingungen? Wenn ja, welchem Funktionsgraph ähnelt der Weg? (Einzelarbeit) 2. Überlege, warum der Entwurf geeignet sein könnte und warum vielleicht nicht. (Einzelarbeit) 3. Berichtet euch gegenseitig von euren Überlegungen. Würdet ihr insgesamt eine Empfehlung für den Verbindungsweg aussprechen? (Gruppe gleich) 4. Stellt euch gegenseitig die verschiedenen Ideen vor. Entscheidet euch anschließend für eine Idee, die ihr als Gruppe der Oberbürgermeisterin empfehlen würdet. (Gruppe gemischt) (siehe nächste Seite für die grafische Betrachtung der Aufgabe) 5

6 Skript Interpolation Grafische Betrachtung: Gegeben ist die Funktion f(x) = 2x2+11x. Durch Einsetzen von x=2 in f finden wir heraus, dass sie durch den Punkt P(2 30) geht. Unsere gesuchte Funktion g soll an der Stelle x=2 sprungfrei an f "andocken", also muss g(2) = 30 gelten unsere erste Bedingung. Da g zusätzlich noch knickfrei an f anschließen soll, muss f'(2) = g'(2) gelten, knickfrei bedeutet also, dass die Steigung der neuen und der bekannten Funktion in dem Anschlusspunkt identisch sein muss. Das ist unsere zweite Bedingung. Das Gleichungssystem lösen wir per Hand oder mit dem ClassPad. Heraus kommt schließlich g(x) = 19x 8. Lassen wir beide Graphen zeichnen, erkennen wir, dass beide Bedingungen, die für die Stelle x = 2 gelten sollten, erfüllt sind. 6

7 Skript Interpolation Lösung zu d) auf nächster Seite Aufgabe 9d Lösung aufgrund von Rundungen ungenau! 7

8 Der Modellierungskreislauf Realsituation vereinfachen Real modell bewerten/ validieren mathematisch darstellen mathematische Lösung lösen mathematisches Modell 8