4 Gewöhnliche Dierentialgleichungen

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1 4 Gewöhnliche Dierentialgleichungen 4.1 Allgemeines Definition: Eine Differentialgleichung (DG) ist eine Gleichung, die einen Zusammenhang zwischen einer Funktion und einer oder mehreren ihrer Ableitungen ausdrückt. Für mehrere, miteinander zusammenhängende und/oder voneinander abhängige Funktionen kann ein Satz von DGen vorliegen, der dann ein System von Differentialgleichungen bildet. Definition: Eine gewöhnliche Differentialgleichung 38 ist eine DG für eine Funktion, die von einer Variablen abhängt. Darin treten nur gewöhnliche Ableitungen auf. Beispiele: (1) N = dn ( dt = k N; (2) F(r) = p = d m dr ) dt dt Zu (1): DG zur naïven Beschreibung der Zeitabhängigkeit der Teilchenzahl N(t) bei Wachstums- (k > 0) oder Zerfallsprozessen (k < 0); zu (2): das Newtonsche Gesetz für die Bewegung eines Teilchens der Masse m in einem Kraftfeld F(r) = (F x (r), F y (r), F z (r)) T ist ein gekoppeltes System von DGen für die Komponenten der Bahnkurve r(t) = (x(t), y(t), z(t)) T des Teilchens. Definition: Eine partielle Differentialgleichung 39 ist eine DG für eine Funktion, die von mehreren Variablen abhängt. Darin treten partielle Ableitungen auf. Beispiele: (1) Φ = 2 Φ = div grad Φ = 0; (2) Ĥ ψ = h 2 2m ψ e2 Z 4πε 0 r ψ = E ψ Zu (1): diese DG heisst Laplace-Gleichung, ihre Lösungen sind skalare Funktionen des Ortes, Φ(r), r R n, die auch harmonische Funktionen genannt werden; zu (2): die zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung für das Ein-Elektronen-Atom mit Kernladungszahl Z (H, He +, Li 2+,...), ihre Lösungen, ψ(r), r R 3, sind Eigenfunktionen des Hamilton-Operators Ĥ des Ein-Elektronen-Atoms zu Eigenwerten E, und beschreiben vollständig (im Sinne der Quantenmechanik) dessen stationären Zustände. Definition: Die Ordnung einer DG ist die höchste Ordnung der auftretenden Ableitungen. Beispiele: Die DG N = k N ist eine gewöhnliche DG 1. Ordnung für N(t); das Newtonsche Gesetz F(r) = p ist ein gekoppeltes System von gewöhnlichen DGen 2. Ordnung für die Komponenten von r(t); die Laplace-Gleichung Φ = 0 ist eine partielle DG 2. Ordnung für Φ(r). Definition: Die lineare gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung ist eine DG der Form { n Ly = a k (x) dk dx k y = a n (x)y (n) a 1 (x)y + a 0 (x)y = g(x). Sie heisst homogen, falls g(x) = 0 ist, und andernfalls inhomogen. Die gesuchte Funktion y sowie alle ihre Ableitungen treten nur linear auf. Definition: Die allgemeine Lösung einer gewöhnlichen DG der Ordnung n ist die Menge aller Funktionen, welche die DG erfüllen. Diese hängt im allgemeinen von n frei wählbaren Parametern ab (es sind n Integrationen zur Lösung der DG erforderlich, und bei jeder Integration tritt eine Integrationskonstante auf). Durch Rand- oder Anfangsbedingungen lässt sich aus der allgemeinen Lösung eine spezielle Lösung so auswählen, dass die gestellten Bedingungen erfüllt werden. Beispiel: Die allgemeine Lösung der DG N = k N ist N(t) = C e kt (k R, C R). Die Anfangsbedingung N(0) = N 0 legt C fest: N 0 = N(0) = C e k 0 = C. Eine abklingende Exponentialfunktion findet sich z. B. beim radioaktiven Zerfall (N(t) = N 0 e kt, k = ln (2)/T 1/2, T 1/2 Halbwertszeit, t Zeit), beim Lambert-Beer-Gesetz der Abschwächung der Intensität elektromagnetischer Strahlung durch Absorption (I(d) = I 0 e kd, k = ln (10) c ε λ, c Stoffmengenkonzentration, ε λ dekadischer Extinktionskoeffizient, 38 engl.: ordinary dierential equation (ODE). 39 engl.: partial dierential equation (PDE). c D. Andrae (25. Juni 2014) 54

2 d Länge des Lichtwegs im absorbierenden Medium), oder im Ortsteil der Zustandsfunktion zum Grundzustand 1s 1 2 S des Ein-Elektronen-Atoms (ψ(r) = N e kr, k = Z/a 0, N 2 = (Z/a 0 ) 3 /π, a 0 52, 9 pm Bohrscher Radius, Z Kernladungszahl, r Abstand des Elektrons vom Kern). In allen diesen Fällen ergeben sich die genannten Funktionen aus einer zugehörigen DG unter Berücksichtigung von Rand- oder Anfangsbedingungen. 4.2 Gewöhnliche Dierentialgleichungen 1. Ordnung Implizite Form: F(x, y, y ) = 0. Explizite Form: y = f(x, y) = P(x, y)/q(x, y). Alternative Schreibweise als Differentialform: P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0. Achtung! Der Quotient P/Q und die Gleichung P dx + Q dy = 0 sind nicht vollständig festgelegt. Mit einer beliebigen Funktion µ(x, y) 0 kann im ersten Fall erweitert und im zweiten Fall multipliziert werden. Die graphische Darstellung von y = f(x, y) in der xy-ebene heisst Richtungsfeld der DG. Punkte P(x y) mit y = const liegen auf Isoklinen (Kurven gleicher Steigung). Ob, und wenn ja wie, eine DG in geschlossener Form gelöst werden kann, hängt entscheidend von ihrer Form oder ihrem Typ ab. Hat man den Typ einer DG festgestellt, so kann man anschliessend das dazu passende Lösungsverfahren anwenden. Für gewöhnliche DGen 1. Ordnung sind nachfolgend die wichtigsten Typen und die zugehörigen Lösungsverfahren angegeben Direkte Integration Typ: y = f(x) Allgemeine Lösung durch direkte Integration über x (mit F (x) = f(x)): x y = y dx = f(x) dx = f(ξ) dξ + C = F(x) + C (Zur Erinnerung: Das unbestimmte Integral ist definiert als die Menge aller(!) Stammfunktionen. Die allg. Lösung der DG y = f(x) = 0 ist also y = C, worin y = 0 nur als ein Spezialfall enthalten ist!) Beispiele: Jede gute Tabelle von Ableitungen liefert viele Beispiele. Solch eine Tabelle braucht nur in umgekehrter Richtung gelesen zu werden, um die DG y = f(x) zu lösen Trennung der Variablen Typ: y = g(x)/h(y) (separierbare DG) Zunächst Trennung der von den Variablen x und y abhängigen Ausdrücke durch Umformung zu h(y)y = g(x), anschliessend Integration über x: h(y)y dx = h(y) dy = g(x) dx Nach erfolgreicher Ausführung der Integration (wobei nur eine Integrationskonstante bleibt) kann die Lösung oft nur in impliziter Form F(x, y) = G(x) H(y) = C angegeben werden (G (x) = g(x), H (y) = h(y)). Beispiel: Gesucht sei die Lösungskurve der DG y = xy durch den Punkt P(x 0 y 0 ). Bestimmung der allgemeinen Lösung der DG: dy y = x dx ln y = 1 2 x2 + C y = C exp (x 2 /2) (C = C) ±e c D. Andrae (25. Juni 2014) 55

3 Punktprobe zur Bestimmung von C: y 0 = C exp (x 0 2 /2) C = y 0 exp ( x 0 2 /2). Die gesuchte Lösungskurve ist y = y 0 exp ((x 2 x 0 2 )/2). Zwei wichtige Spezialfälle: (1) Lineare DG 1. Ordnung, homogen (F (x) = f(x)) y + f(x)y = 0 y y = f(x) ln y = F(x) + C y = C e F(x) (C = ±e C) Beispiele: (1) Die allgemeine Lösung der DG y ky = 0 (f(x) = k, F(x) = kx) ist y = C e +kx. (2) Die allgemeine Lösung der DG y = ny/x (n N, f(x) = n/x, F(x) = n ln x ) ist y = C x n. (2) Variablentrennung nach Substitution: y = f(u) mit u = u(x, y) Nach Wechsel von y(x) zu u(x) (durch Substitution) erfolgt die Lösung durch (i) Trennung der Variablen x und u, (ii) Integration über x, und (iii) Rücksubstitution. Es sei z. B. u = y/x (y = xu) und f(u) u. Dann ergibt sich (Φ (u) = 1/(f(u) u)): ( y ) y = f x xu + u = f(u) du dx f(u) u = x ( y ) Φ(u) = Φ = ln x + C x Die Lösbarkeit des Integrals über u (also die Bestimmung von Φ(u)) hängt natürlich von der Form von f(u) ab. Unter Verwendung der inversen Funktion Φ 1 kann formal noch aufgelöst werden zu: y = x Φ 1 (ln x + C). Falls f(u) = u, so folgt zunächst xu = 0 bzw. u = 0, woraus über u = y/x = C wieder y = C x wird (wie zuvor, s. o.) Variation der Konstanten Typ: Ly = ( d dx + f(x)) y = y + f(x)y = g(x) 0 (Lineare DG 1. Ordnung, inhomogen) Bei Kenntnis der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen DG (y = Ce F(x) mit F (x) = f(x), s. o.) kann durch Variation der Konstanten (C C(x)) die allgemeine Lösung für den inhomogenen Fall berechnet werden. Einsetzen von y = C(x) e F(x) in die DG: Ly = y + f(x)y = C (x) e F(x) C(x)f(x) e F(x) + f(x)c(x) e F(x) = C (x) e F(x) = g(x) Daraus ergibt sich zunächst C(x) durch direkte Integration, x C (x) = e F(x) g(x) C(x) = e F(x) g(x)dx = e F(ξ) g(ξ)dξ + C ; und schliesslich eine allgemeine Formel für die Lösung der inhomogenen linearen DG 1. Ordnung: { x y = L 1 g(x) = e F(x) C(x) = e F(x) dx e F(x) g(x) = e F(x) e F(ξ) g(ξ)dξ + C = e F(x) x e F(ξ) g(ξ)dξ + C e F(x) = y sp + y hom Dies gilt auch für den homogenen Fall (g(x) = 0), es bleibt dann nur y hom übrig. Beispiel: Für die allgemeine Lösung der DG y ky = g(x) kann sofort der Ansatz y = C(x) e kx geschrieben werden (Lösung y hom = C e kx für den homogenen Fall ist bekannt, s. o.). Einsetzen führt auf die in x und C separierbare DG C (x) = g(x) e kx, die für das jeweils vorliegende g(x) zu lösen ist und dann die allgemeine Lösung liefert. Alternativ kann der spezielle Teil der Lösung, zum jeweils vorgegebenen g(x), direkt aus y sp = e kx x kξ e g(ξ) dξ bestimmt werden (sofern die Integration ausgeführt werden kann). Für g(x) = x 2 y hom ist y sp = e kx x kξ e ξ 2 dξ = (1/k 3 )(k 2 x 2 + 2kx + 2), für g(x) = e kx y hom ist y sp = e kx x kξ kξ e e dξ = x e kx. c D. Andrae (25. Juni 2014) 56

4 4.2.4 Wahl eines geeigneten Ansatzes Die gezielte Bestimmung der speziellen Lösung y sp einer inhomogenen linearen DG mit konstanten Koeffizienten, { n d L k y = a k dx k y = g(x), ist mit Hilfe eines geeignet gewählten Ansatzes, in Form einer Linearkombination der Inhomogenität g(x) und allen ihren Ableitungen, möglich: Einsetzen des Ausdrucks y = j c j d j g dx j in die DG liefert ein LGS zur Bestimmung der Koeffizienten c j. Damit ist dann y sp ebenfalls bestimmt. Falls g(x) oder dessen Ableitungen in y hom auftreten, muss man von der Funktion x m g(x) anstatt von g(x) ausgehen (m geeignet gewählt), um mit dieser Methode Erfolg zu haben. Beispiel: Zur Bestimmung der speziellen Lösung der DG y ky = x 2 wählt man y = c 0 x 2 + c 1 x + c 2. Einsetzen in die DG, Sortieren der Terme und Koeffizientenvergleich, y ky = (2c 0 x + c 1 ) k(c 0 x 2 + c 1 x+c2) = kc 0 x 2 +(2c 0 kc 1 )x+c 1 kc 2 = x 2, liefert ein LGS zur Bestimmung der drei Koeffizienten c j : kc 0 = 1, 2c 0 kc 1 = 0, c 1 kc 2 = 0, mit der Lösung c 0 = 1/k, c 1 = 2/k 2, c 2 = 2/k 3, womit, wie zuvor, y sp = (1/k 3 )(k 2 x 2 + 2kx + 2) ist Exakte Dierentialgleichung 1. Ordnung Wird auch bezeichnet als totale oder vollständige DG 1. Ordnung. Typ: y = P(x, y)/q(x, y) oder P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0, wobei gilt P/ y = P y = Q x = Q/ x (Integrabilitätsbedingung) Weil die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist, gilt P = F/ x = F x und Q = F/ y = F y, und die zur DG gehörende Differentialform Pdx + Qdy ist das totale Differential df einer noch unbekannten Funktion F(x, y): 0 = P(x, y) dx + Q(x, y) dy = F F dx + dy = F dr = df F(x, y) + C = 0 x y Es bleibt nur noch, diese Funktion F(x, y) zu bestimmen. Dies kann ausgehend entweder von F x = P(x, y) oder von F y = Q(x, y) erfolgen, z. B.: F = dx F x x = P(x, y)dx = P(ξ, y)dξ + C(y) F y = x P(ξ, y)dξ + dc = Q(x, y) y dy Die letzte Gleichung ist eine DG zur Bestimmung von C(y), die in den Variablen y und C separierbar ist. Beim Lösen dieser DG tritt eine Integrationskonstante (wieder mit C benannt) auf. Beispiel: Gesucht sei die allgemeine Lösung der DG y = tan y/ tan x. Dies lässt sich auch schreiben in der Form P(x, y) dx + Q(x, y) dy = cos x sin y dx + sin x cos y dy = 0. Wegen P y = cos x cos y = Q x ist die Integrabilitätsbedingung erfüllt, so dass ein F mit F x = P und F y = Q sicher existiert. Es gilt also: F = P(x, y) dx = cos x sin y dx = sin x sin y + C(y) F dc dc = sin x cos y + = Q(x, y) = sin x cos y y dy dy = 0 C(y) = C Die allgemeine Lösung der gegebenen DG ist also gegeben durch F(x, y) = sin x sin y + C = 0. c D. Andrae (25. Juni 2014) 57

5 Wenn die Integrabilitätsbedingung P y = Q x nicht erfüllt ist, so kann nach einem integrierenden Faktor µ(x, y) gesucht werden, so dass µpdx + µqdy ein totales Differential wird. Mit dem integrierenden Faktor muss dann die Integrabilitätsbedingung, jetzt in der Form (µp) y = (µq) x, erfüllt sein. Dies ist nun jedoch eine partielle DG für µ(x, y), deren Behandlung über diese Vorlesung weit hinaus geht. Oft ist es aber möglich, einen integrierenden Faktor µ durch Wahl eines geeigneten Ansatzes (z. B. µ = x k y l ) zu bestimmen Lösung durch Potenzreihenansatz Falls eine geschlossene Form der Lösung einer DG unmöglich ist, so kann versucht werden, eine Lösung in der Umgebung einer Stelle x = x 0 in der Form einer Potenzreihe in x x 0 zu erhalten. Besonders praktisch ist der Potenzreihenansatz bei nicht geschlossen lösbaren, aber linearen DGen, weil der lineare Differentialoperator L (in der DG) mit dem ebenfalls linearen Summationsoperator Σ (im Potenzreihenansatz) kommutiert. Strenggenommen ist zu fordern, dass alle auftretenden Reihen innerhalb des betrachteten Konvergenzradius gleichmässig und absolut konvergent sind. Davon gehen wir hier stets aus. Mit dem Ansatz y = a k (x x 0 ) k, y = ka k (x x 0 ) k 1 = ka k (x x 0 ) k 1 = wird dann schliesslich auch aus der DG selbst eine Potenzreihe in x x 0, 0 = F(x, y, y ) =... = k=1 f j ({a k )(x x 0 ) j j=0 (l+1)a l+1 (x x 0 ) l Um dies für alle x (genauer: für alle x im Konvergenzbereich der Reihe um x = x 0 ) zu erfüllen, müssen alle Koeffizienten f j verschwinden. Daraus folgt die Forderung f j ({a k ) = 0 für alle j, woraus sich die Koeffizienten a k rekursiv berechnen lassen. Der erste Koeffizient, a 0, spielt die Rolle des erforderlichen einen freien Parameters in der allgemeinen Lösung der DG. Beispiel: Die allgemeine Lösung der DG y y = 0 ist y = C e x. Mit einem Potenzreihenansatz, y = k a kx k (es wurde x 0 = 0 gewählt), erhält man auf etwas anderem Weg dasselbe Ergebnis. Es ist 0 = y y = ka k x k 1 a k x k = = (l + 1)a l+1 x l a k x k = l=0 k=1 l=0 ka k x k 1 a k x k ((k + 1)a k+1 a k ) x k Dies soll für alle x gelten (innerhalb des Konvergenzradius R, aber hier gilt bekanntlich R = ). Also muss die Bedingung (k + 1)a k+1 a k = 0 (für alle k) erfüllt werden. Dies führt zur Rekursionsformel a k+1 = a k /(k + 1) (k 0), mit a 0 als freiem Parameter (a 1 = a 0, a 2 = a 1 /2 = a 0 /2, a 3 = a 2 /3 = a 0 /6,..., a k = a 0 /k!). Die so erhaltene Lösung, y = a 0 xk /k!, ist zur oben angegebenen allgemeinen Lösung vollkommen äquivalent (zumindest innerhalb des Konvergenzbereichs der Reihenentwicklung, welcher in diesem Fall aber x R ist). In allgemeineren Fällen kann auch einmal der verallgemeinerte Potenzreihenansatz y = (x x 0 ) p a k (x x 0 ) k (p R) erforderlich sein, um eine DG zu lösen. Neben den Koeffizienten a k ist dann auch der Exponent p dadurch zu bestimmen, dass dieser Ansatz die DG löst. c D. Andrae (25. Juni 2014) 58