Stirlingzahlen erster und zweiter Art

Transkript

1 Stirlingzahlen erster und zweiter Art Proseminararbeit von Sven Kurras zur Analysis bei Prof. Hilgert version.2 4. Juli 25 Universität Paderborn

2 Inhaltsverzeichnis Motivation und Roter Faden 3 2 Notationen und Grundlagen 4 2. verwendete Notationen formale Potenzreihe vs. analytische Potenzreihe kommutativer, topologischer Ring der formalen Potenzreihen Schreibweise und Rechenregeln für Koezienten formaler Potenzreihen Erzeugendenfunktionen Stirlingzahlen der zweiten Art 3. kombinatorische Bedeutung der Stirlingzahlen zweiter Art Konstruktion einer Rekursionsgleichung Herleitung einer Erzeugendenfunktion explizite Formel Tabellen und Graken Stirlingzahlen zweiter Art als Koezienten der fallenden Fakultät Basiswechselmatrix im P ol n (C, C) Stirlingzahlen der ersten Art Übergang von zweiter zu erster Art im P ol n (C, C) Tabellen und Graken Aufstellen einer Rekursionsgleichung Ableiten einer Rekursionsgleichung des Betrags kombinatorische Bedeutung der Stirlingzahlen erster Art Konstruktion der Rekursionsgleichung des Betrags Weitere Eigenschaften der Stirlingzahlen Eigenschaften der Stirlingzahlen erster Art und ihrer Beträge Eigenschaften der Stirlingzahlen zweiter Art Zusammenhänge zwischen den Stirlingzahlen erster und zweiter Art Ausblick 35 7 Quellenverzeichnis 36 2

3 Motivation und Roter Faden Es gibt eine ganze Reihe von Zahlenfamilien und -folgen, die in den seltsamsten Zusammenhängen auftauchen und grundlegende Strukturen in der Mathematik aufdecken. Dabei können sie trotz zuerst leicht scheinender Konstruktionsvorschrift vor schwere Probleme stellen, so z.b. die vollkommenen Zahlen, die Ulam-Folge, oder die Primzahlen. Die Stirlingzahlen erster und zweiter Art wurden von James Stirling (schottischer Mathematiker, *22. April 692 Garden, 5. Dezember 77 Edinburgh) entdeckt und untersucht. Ausgangssituation waren dabei wohl die kombinatorischen Probleme, die in den Abschnitten 3. und 4.5 vorgestellt werden, und von denen ausgehend dort jeweils eine die Stirlingzahlen denierende Rekursionsformel konstruiert wird. Die Stirlingzahlen tauchen in einer ganzen Reihe von Identitäten, insbesondere in der Kombinatorik, auf. Darüberhinaus gibt es einen erstaunlichen Zusammenhang zwischen ihnen im C-Vektorraum der Polynomfunktionen P ol n (C, C), auf welchen in den Kapiteln 3.7 und 4. näher eingegangen wird. Roter Faden In dieser Ausarbeitung wird begonnen mit der kombinatorischen Problemstellung für die Stirlingzahlen zweiter Art, und daraus eine Rekursionsgleichung für sie konstruiert. Aus dieser wird dann mit dem in Abschnitt 2.5 vorgestellten Verfahren eine Erzeugendenfunktion hergeleitet und diese weiter in eine explizite Formel für die Stirlingzahlen zweiter Art hin entwickelt. Dann wird über den besonderen Zusammenhang zwischen den Stirlingzahlen erster und zweiter Art - nämlich ihrer Rolle in Basiswechselmatrizen zwischen der kanonischen Basis und der Basis der fallenden Fakultäten im P ol n (C, C) - die Brücke von den Stirlingzahlen der zweiten zu denen der ersten Art geschlagen. Dort angekommen, werden die Schritte quasi rückwärts vorgenommen: Eine Rekurrenz wird aus dem Hut gezaubert und bewiesen, ihre kombinatorische Herkunft geklärt, und schlieÿlich aus der kombinatorischen Problemstellung heraus die Rekurrenz erneut entwickelt. Schlieÿlich werden im Kapitel 5 einige der zahlreichen Identitäten, in denen Stirlingzahlen auftreten, bewiesen und abschlieÿend wird noch ein kurzer Ausblick auf verwandte Zahlenfamilien gegeben. Diese Ausarbeitung ist sicherlich feingranularer als der Detailgrad, der im Referat vorgestellt werden kann, und möchte daher als (hoentlich interessante) Lektüre verstanden werden, sowie für mich als Trainingseinheit dienen, Gedanken strukturiert in Worten schriftlich niederzulegen, und dabei schöne neue LATEX-Kommandos zu basteln... bzw. erfunden, aber das ist eine Glaubensfrage. 3

4 2 Notationen und Grundlagen 2. verwendete Notationen (2.) Trotz DIN 5473 bezeichne im Folgenden N die Menge der natürlichen Zahlen ohne die Null, also N : {, 2, 3,...}. Die Erweiterung von N um die Null wird durch N : {,, 2, 3,...} gekennzeichnet. (2.2) Für n N bezeichne [n] die Menge {, 2,..., n}. Somit gilt beispielsweise [4] {, 2, 3, 4} (2.3) Für n i {,, 2,..., 9} bezeichne {n n 2 n 3..n k } die Menge {n, n 2, n 3,..., n k }. Somit gilt beispielsweise {324} {, 3, 2, 4} (2.4) Für n i {,, 2,..., 9} bezeichne (n n 2 n 3..n k ) die Folge (n, n 2, n 3,..., n k ). Somit gilt beispielsweise (324) (, 3, 2, 4) (2.5) x n bezeichne die fallende Fakultät, also: x n x(x )(x 2)(x 3)...(x n + ). x n bezeichne die steigende Fakultät, also: x n x(x + )(x + 2)(x + 3)...(x + n ). 2.2 formale Potenzreihe vs. analytische Potenzreihe In diesem Abschnitt werden die formalen Potenzreihen informell vorgestellt. Die aus der Analysis bekannten Potenzreihen werden dabei als analytische Potenzreihen bezeichnet. Formale Potenzreihen haben dasselbe Erscheinungsbild wie die analytischen: A(x) a k x k k Trotzdem gibt es einige Unterschiede: Formale Potenzreihen lassen sich eher als algebraische anstelle analytischer Objekte bezeichnen, denn alle algebraischen Operationen können bedenkenlos durchgeführt werden; insbesondere braucht man sich nicht um die Konvergenz der Reihe zu scheren. Dadurch gehen zwar einige der analytischen Untersuchungen verloren, aber es bleiben genügend Anwendungen übrig, um formale Potenzreihen sinnvoll einzusetzen. Auÿerdem ergeben sich durch die erweiterten Freiheiten im Umgang mit formalen Potenzreihen nun neue Betrachtungsmöglichkeiten: z.b. lässt sich die der Reihe zugrundeliegende Folge der Koezienten unabhängig vom Konvergenzverhalten untersuchen. Da bei formalen Potenzreihen die Eigenschaften der unendlichen Summe nicht beachtet werden, kann man diese auch lediglich als einen Träger betrachten, an dem die Folgenglieder aufgeknüpft sind; hierfür wird gerne das Wäscheleinenmodell verwendet. Formale Potenzreihen werden daher im Allgemeinen nicht als eine Funktion von x betrachtet (hierfür müÿte man ja wieder das Konvergenzverhalten untersuchen). Allerdings kann das gezielte Einsetzen für x durchaus erwünschte algebraische Umformungen ermöglichen. Hier ein Überblick: siehe später in Abschnitt 2.5 4

5 analytische Potenzreihe Intention: analytische Betrachtung der unendlichen Summe als Funktion von x Werte für Einsetzungen von x sind von vordergründigem Interesse Konvergenzbetrachtungen allgegenwärtig formale Potenzreihe Intention: andere Schreibweise der Folge (a n ) n N für algebraische Manipulationen Einsetzen von Werten für x im Allgemeinen nur für algebraische Tricks Konvergenzverhalten wird meist ignoriert Formale Potenzreihen können wie im folgenden Kapitel vorgestellt addiert und multipliziert werden und bilden mit diesen Operationen einen kommutativen Ring. 2.3 kommutativer, topologischer Ring der formalen Potenzreihen In diesem Abschnitt konstruieren wir den kommutativen, topologischen Ring der formalen Potenzreihen und beweisen abschlieÿend eine wichtige Eigenschaft: eine Formel für den Wert der geometrischen Reihe. Denition der Operationen Wir starten mit einem beliebigen kommutativen Ring R. Gedanklich können wir hier stets R C setzen, da C als Körper auch ein kommutativer Ring ist, und uns in späteren Kapiteln die Festlegung auf C genügt. Wir konstruieren nun zunächst R[[X]], den kommutativen Ring der formalen Potenzreihen und versehen ihn dann mit einer Metrik d, so dass (R[[X]], d) ein kommutativer, topologischer Ring ist (ebenso bezeichnet man dann auch R[[X]] selbst als solchen). Darüber können wir dann den Reihenbegri einführen und die geometrische Reihe betrachten. Sei F ol(r) der Folgenraum über R. Für diesen denieren wir für alle a n, b n R, n N eine Addition und eine Multiplikation wie folgt: + : (a n ) n N + (b n ) n N (a n + b n ) n N ( ) : (a n ) n N (b n ) n N a k b n k Mit dieser Addition ist (F ol(r), +) oensichtlich eine abelsche Gruppe (da gliedweise, und R kommutativer Ring). Ohne Beweis gelte: die Multiplikation ist kommutativ, assoziativ, besitzt als neutrales Element (,,,,,...) und die beiden Operationen sind distributiv. Damit erhalten wir, dass (F ol(r), +, ) ein kommutativer Ring ist, den wir mit R[[X]] bezeichnen. k n N grundlegende Festlegungen Wir identizieren a R als (a,,,,,,...) F ol(r). Damit ist R ein (kommutativer) Unterring. Auÿerdem denieren wir X : (,,,,,,...) Quelle: [WoF] 5

6 Leicht nachzurechnen ist, dass folgende Rechenregeln gel- resultierende Rechenregeln ten: X (,,,,,,...) X (,,,,,,...) X 2 (,,,,,,...) X 3 (,,,,,,...)... Sowie: ax k (a,,,,,,...)(,...,,,,...) (,...,, a,,...) (ax) k ((, a,,,,,...)) k (,..., a k,,...) a k X k Das liefert, dass sich jede Folge der Form (a, a, a 2,..., a N,,,,...) aus F ol(r) schreiben lässt als: N a k X k k Festlegung einer Metrik Nun denieren wir noch eine Metrik d : F ol(r) 2 Q durch d((a n ) n N, (b n ) n N ) 2 k, wobei k der kleinste Index in N ist, für den gilt a k b k. Auÿerdem sei für alle F F ol(r) : d(f, F ). (Dass d eine Metrik ist, wird hier nicht bewiesen.) Da eine Metrik eine Topologie impliziert, ist R[[X]] folglich ein (kommutativer) topologischer Ring. Reihenbegri im R[[X]] Für wachsendes N werden durch N i a nx n die Folgenglieder ( von (a n ) n N sukzessive aufgebaut. Somit konvergiert für N die Folge N ) ( i a N ) nx n gegen (a n ) n N, da gilt: d( i a nx n, (a n ) n N ) 2 N, und n N n N somit deren Abstand für N in Q gegen Null geht. Soviel zur Konstruktion des topologischen Ringes der formalen Potenzreihen. Nun eine elementare Eigenschaft: Wert der geometrischen Reihe im R[[X]] Satz 2.6 : Im R[[X]] gilt für alle r R die Formel für die geometrische Reihe: ( rx) (rx) k (2.6) k Beweis : Obige Rechenregeln liefern (rx) k (,..., r k,,...) (, r, r 2, r 3, r 4,...) k k 6

7 Ebenso erhalten wir: rx (, r,,,,...) (, r,,,,...) Multiplizieren wir diese beiden Ergebnisse (da die Multiplikation kommutativ ist, genügt dies für eine Reihenfolge zu untersuchen), (, r,,,,...)(, r, r 2, r 3, r 4,...) (, r r, r 2 r 2, r 3 r 3,...) (,,,,...) so erhalten wir das neutrale Element der Multiplikation. Damit ist (, r, r 2, r 3, r 4,...) aber das Inverse zu (, r,,,,...), also: (rx) k ( rx) k Anm: Allgemein ist jedes Element aus R[[X]] mit a eine Einheit. (ohne Beweis) 2.4 Schreibweise und Rechenregeln für Koezienten formaler Potenzreihen Um später der Übersichtlichkeit halber Schreibaufwand einzusparen, führen wir hier eine neue Schreibweise ein. Ist f(x) eine Funktion, die durch eine Potenzreihe darstellbar ist, so bezeichne [x n ]f(x) bzw. [x n ]{f(x)} den Koezienten von x n in der f(x) darstellenden Potenzreihe. Somit gilt z.b.: [x n ]e x n!, da e x n x n n! [ /4 t r ]{/( 2t)} 2 r+2, da ( 2t) r (2t) r 2 r+2 /4 t r r n [x n ]{f(x)}x n f(x), da f(x) a n x n a n [x n ]f(x) n Aus dieser Schreibweise ergeben sich vier zunächst ungewohnt anmutende Rechenregeln: (i) [x n ]{x a f(x)} [x n a ]{f(x)} (x ) (2.7) (ii) [βx n ]{f(x)} (/β)[x n ]{f(x)} (β ) (2.8) (iii) [x n ]{βf(x)} β[x n ]{f(x)} (β ) (2.9) (iv) [x n ]{f(x) + g(x)} [x n ]{f(x)} + [x n ]{g(x)} (2.) 7

8 Beweis : (i) Sei a n : [x n ]{x a f(x)} und x. Dann gilt: x a f(x) n a n x n x f(x) x a Def. a n [x n a ]{f(x)} (ii) Sei a n : [βx n ]f(x) und β. Dann gilt: n a n x n n f(x) n a n (βx n ) a n x n a f(x) n (βa n )x n βa n [x n ]{f(x)} β a n β [xn ]{f(x)} (iii) Sei a n : [x n ]{βf(x)} und β. Dann gilt: βf(x) n a n x n β f(x) β a nx n n β a n [x n ]{f(x)} a n β[x n ]{f(x)} (iv) Sei c n : [x n ]{f(x) + g(x)} mit f(x) n a nx n und g(x) n b nx n. Dann gilt: V or. f(x) + g(x) c n x n n f(x) + g(x) V or. a n x n + b n x n n n Koeff.V gl. n N : c n a n + b n c n [x n ]{f(x)} + [x n ]{g(x)} 8

9 2.5 Erzeugendenfunktionen Es gibt eine unendliche Vielzahl von Eigenschaften, die eine Zahlenfolge aufweisen kann: Z.B. kann sie konvergieren, monoton oder unimodal sein, logarithmisch konvex, alternierend, oder irgendwelche anderen Eigenschaften aufweisen. Viele solcher Eigenschaften lassen sich mit einer Erzeugendenfunktion untersuchen. Dabei erscheint eine Erzeugendenfunktion in den meisten Fällen als eine Potenzreihe der Form A(x) : n a nx n, in der die a n für die Folgenglieder der zu untersuchenden Folge stehen. Das Konvergenzverhalten dieser Reihe ist hierbei nicht das vordergründige Interesse, was einem die Freiheit der Möglichkeiten einer formalen Potenzreihe erlaubt. Bildlich möchte man sich folgendes vorstellen: Die Folgenglieder entsprechen in einem Wäschekorb geordnet liegenden Wäschestücken. Mit dem Herleiten der Erzeugendenfunktion werden diese schön nebeneinander auf eine Wäscheleine gehängt. In diesem Bild entspricht die Wäscheleine der Potenzreihe. Durch diese Form der Darstellung lassen sich die Wäschestücke aus einem anderen Blickwinkel in ihrer Gesamtheit betrachten, und es können Eigenschaften erkannt werden, die bei der im Korb liegenden Wäsche nicht auallen. In vielen Fällen ist der Ausgangspunkt eine Folge, die durch eine Rekursionsgleichung gegeben ist. Daraus lässt sich häug eine Erzeugendenfunktion herleiten. Dabei gelangt man auf eine Darstellung der Form A(x) R(x), worin R(x) ein beliebiger von x abhängiger Ausdruck sein kann, den man im Laufe der Herleitung durch algebraische Umformungen aus der Rekursionsgleichung gewonnen hat. Somit sind wegen A(x) n a nx n R(x) die Folgenglieder der Ausgangsfolge die Koezienten der Potenzreihenentwicklung von R(x). Bildlich entspricht damit R(x) dem Blick auf die Gesamtheit der Wäschestücke. Anders: In dem Ausdruck R(x) sind nun sämtliche die Struktur der Folge betreenden Informationen codiert. Die so gefundene Erzeugendenfunktion kann nun Ausgangspunkt vieler oben erwähnter Untersuchungen sein. So lässt sich aus Erzeugendenfunktionen oft eine explizite Formel für das n-te Folgenglied bestimmen, es können alternative rekursive Vorschriften entwickelt werden, Durchschnittsbetrachtungen und andere statistische Daten der Folge ermittelt, Unimodalität, Konvexität, etc. überprüft, Identitäten nachgewiesen, Problemstellungen auf andere reduziert, und vieles mehr untersucht werden. Zwar existieren für einige der Eigenschaften einfachere Methoden, allerdings sind diese meist auf einen stark eingegrenzten Teil möglicher Rekursionsgleichungen beschränkt und nur für die jeweilige Eigenschaft geeignet. Das Besondere an Erzeugendenfunktionen ist die Vielzahl der betrachtbaren Typen von Rekurrenzen und die breite Basis für mögliche Untersuchungen derer Eigenschaften. Kochrezept zum Finden einer Erzeugendenfunktion Es gibt eine Art Kochrezept, welches bei den meisten Folgen greift. Ausgangspunkt ist die durch eine Rekurrenz de- nierte Zahlenfolge (a i, a j, a k,...), welche anhand einer Erzeugendenfunktion untersucht werden soll. Der Ablauf ist dann:. Wäsche überprüfen Sicherstellen, dass der Denitionsbereich der freien Variable für welche die gegebene Rekursionsgleichung wahr ist, klar deniert ist. Im Normalfall ist dies n mit n N. 2. Wäscheleine spannen Der zu suchenden Erzeugendenfunktion einen Namen geben, 9

10 und sie als eine Funktion in Termen der unbekannten Zahlenfolge ausdrücken. Beispielsweise sei eine Erzeugendenfunktion A(x) der Folge (a n ) n N deniert als die Potenzreihe n a nx n 3. Wäsche aufhängen Multiplizieren beider Seiten der Rekurrenz mit x n und anschlieÿendes Aufsummieren über alle Werte von n, für die die Gleichung erfüllt ist. 4. Wäsche zurechtzuppeln Beide Seiten der so erhaltenen Gleichung explizit in Termen der Erzeugendenfunktion A(x) ausdrücken. 5. Blickwinkel verändern Die resultierende Gleichung zur erzeugenden Funktion A(x) hin auösen. Damit haben wir die Erzeugendenfunktion. Sollten wir nun eine exakte Formel für die durch die Rekurrenz denierte Folge wünschen, dann müssen wir A(x) auf irgendeine Art und Weise in eine Potenzreihe hin entwickeln. Wenn A(x) eine rationale Funktion ist (also Quotient zweier Polynome), dann ist eine sichere Vorgehensweise, den Quotienten in Partialbrüche zu entwickeln und dann jeden der resultierenden Summanden einzeln zu behandeln. Es bietet sich an, die Partialbruchentwicklung im Hinblick darauf zu betreiben, die Summanden als Werte der geometrischen Reihe (wie in (2.6) behandelt) zu erhalten. 3 Stirlingzahlen der zweiten Art 3. kombinatorische Bedeutung der Stirlingzahlen zweiter Art Die Stirlingzahlen zweiter Art stammen aus der Kombinatorik und damit der diskreten Mathematik. Die grundlegende Fragestellung ist: Auf wieviele Arten lässt sich eine Menge M mit n Elementen in eine Familie von k paarweise disjunkten, nichtleeren Teilmengen zerlegen, so dass deren Vereinigung wieder M ergibt? Diese etwas ungelenk anmutende Formulierung lässt sich prägnanter formulieren, sobald wir den Begri Partition verwenden. Eine Partition einer Menge M bezeichnet eine Familie von nichtleeren, paarweise disjunkten Mengen, deren Vereinigung wieder M ist. Eine Partition von M kann auch als eine Äquivalenzrelation auf M aufgefasst werden. Die Mengen, in die M partitioniert wird, werden daher auch die Klassen dieser Partition genannt. Zum Beispiel lässt sich [5] auf viele Arten partitionieren. Eine davon ist {23}{4}{5}. In dieser Partition sind 3 Klassen. Weder die Reihenfolge der Elemente innerhalb der Klasse, noch die der Klassen selbst spielt eine Rolle, lediglich die Aufteilung der Elemente in die Klassen ist relevant. Hier eine Liste aller Partitionen von [4] mit genau 2 Klassen. {2}{34}; {3}{24}; {4}{23}; {23}{4}; {24}{3}; {34}{2}; {}{234}; Es gibt demnach genau 7 Partitionen von [4] mit 2 Klassen. Nun können wir die Frage erneut formulieren: Wie viele Partitionen von [n] mit genau k Klassen gibt es?

11 Wir schreiben S(n, k) für diese Zahl. Sie wird Stirlingzahl der zweiten Art genannt. Das obige Beispiel zeigt, dass S(4, 2) 7. Oensichtlich können wir stets von S(n, k) erwarten, dass S(n, k) N. Es gibt eine hierzu verwandte Fragestellung, die ebenfalls mit Hilfe der Stirlingzahlen zweiter Art beantwortet werden kann: Wieviele verschiedene surjektive Abbildungen von N nach K gibt es, wenn N und K endliche Mengen sind? Die Parallele erklärt sich folgendermaÿen: Sei n : N und k : K. Gilt n < k, so gibt es keine surjektive Abbildung f : N K, also ist deren Anzahl. Gelte nun n k. Wir teilen nun N in Klassen ein, wobei die gemeinsame Eigenschaft von Elementen einer Klasse ist, dass sie auf dasselbe Element aus K abbilden. Eine solche Aufteilung von N in Klassen entspricht wegen der Forderung nach Surjektivität eben einer Partitionierung von N in genau k Klassen. Die Anzahl möglicher Partitionierungen hierfür beträgt S(n, k). Sei nun eine davon beliebig, aber fest gewählt. Jede der k Klassen wird auf je eines der k Elemente aus K abgebildet. Dabei muss unterschieden werden, welche Klasse auf welches Element abbildet, weil dies für verschiedene Abbildungen steht. Also müssen alle der hierfür möglichen k! Kombinationen als verschiedene Abbildungen gezählt werden. Somit erhält man als Antwort auf die Frage: Es gibt genau k! S(n, k) surjektive Abbildungen von N nach K. (Anm: Indessen ist die Anzahl injektiver Abbildungen von N nach K für n < k leicht mit k! (k n)! zu beantworten.) 3.2 Konstruktion einer Rekursionsgleichung Wir suchen nun nach einer Rekurrenz für S(n, k). Es seien n, k N mit n k gegeben. Stellen wir uns nun die Familie aller möglichen Partitionen von [n] in genau k Klassen vor. Es gibt derer S(n, k) Stück. Diese werden wir nun folgendermaÿen auf zwei Stapel aufteilen: Auf den ersten Stapel legen wir solche Partitionen, bei denen eine ihrer Klassen gleich {n} ist; also Partitionen, in denen n alleine in einer Klasse auftaucht. Auf den zweiten Stapel legen wir alle anderen Klassen, also solche, in denen die Zahl n nur mit anderen Zahlen gemeinsam in einer Klasse erscheint. Sicherlich ist die Gesamtzahl der Partitionen die Summe der Partitionen beider Stapel. Die Frage ist also, wie viele solcher Partitionen nden sich jeweils auf den Stapeln, rekursiv ausgedrückt in Abhängigkeit der Stirlingzahlen? Abzählen des ersten Stapels Nehmen wir den ersten Stapel: Dort beinhaltet jede Partition eine Klasse mit einem alleinstehenden n darin. Stellen wir uns vor, wir entfernten nun genau diese Klasse {n} aus allen Partitionen dieses Stapels. Dadurch würden wir genau die komplette Familie aller Partitionen von [n ] in k Klassen erhalten. Von diesen gibt es S(n, k ) Stück. Somit muss der erste Stapel ebenfalls genau S(n, k ) Partitionen beinhalten, da wir durch das Entfernen von {n} zwar die Gesamtanzahl aller Klassen, nicht aber die Anzahl der Partitionen verändert haben. Abzählen des zweiten Stapels Kommen wir nun zum zweiten Stapel. Dort kommt die Zahl n in einer Klasse stets mit anderen Zahlen zusammen vor. Also, wenn wir nun die Gängige Bezeichnungen für S(n, k) sind auch S2(n, k) und n (k) k, manchmal auch S n

12 Zahl n überall entfernten, würden wir die Anzahl der Klassen nicht verändern. Aber nach dem Löschen von n aus allen Klassen aller Partitionen hielte dieser Stapel ausschlieÿlich noch Partitionen von Zahlen aus [n ] in k Klassen. Dabei würden die Partitionen aber nicht nur einmal, sondern mehrmals auftauchen. Zum Beispiel in der Partitionierung von [4] würde der zweite Stapel vor dem Löschvorgang folgende Partitionen enthalten: {2}{34}; {3}{24}; {4}{23}; {24}{3}; {34}{2}; {}{234}; Nachdem wir die '4' überall entfernt haben erhielten wir: {2}{3}; {3}{2}; {}{23}; {2}{3}; {3}{2}; {}{23}; Dies ist genau die Liste aller Partitionen von [3] in 2 Klassen, wobei jede Partition genau 2 Mal aufgelistet ist. Demnach enthält diese Liste genau 2 S(3, 2) Partitionen. Analog erhalten wir im allgemeinen Fall: Jeweils k Partitionen unterscheiden sich nur durch das Vorkommen der Zahl n, da n in jeder derer k Klassen genau einmal vorkommt. Damit gibt es nach dem Löschen von n eine jede Partition genau k Mal. Auÿerdem sind dies nun eben genau die Partitionen von [n ] in k Klassen. Demnach nden sich auch vor dem Entfernen von n auf dem zweiten Stapel genau ks(n, k) Partitionen. Zusammenrechnen Die Familie von S(n, k) Partitionen wurde somit in zwei Stapel aufgeteilt. Der erste davon enthält S(n, k ) Partitionen und der zweite ks(n, k) Partitionen. Demnach muss es wahr sein, dass gilt: S(n, k) S(n, k ) + ks(n, k) Nach Konstruktion ist dabei der Gültigkeitsbereich n, k mit n k. Per Vereinbarung können wir diesen auf alle Tupel (n, k) N N erweitern: Wir setzen S(n, k), falls k > n, da in diesem Fall keine Partitionierung in disjunkte, nichtleere Klassen existieren kann. Weiterhin sei für n > : S(n, ) und S(, ). Mit diesen Konventionen erhalten wir also: Satz 3. : Mit den Festlegungen n : S(n, ) δ n,, sowie k > n : S(n, k) gilt für alle n k : S(n, k) S(n, k ) + ks(n, k) (3.) 3.3 Herleitung einer Erzeugendenfunktion Um aus der Rekurrenz (3.) eine Erzeugendenfunktion herzuleiten, gehen wir nun strikt nach dem auf Seite 9 vorgestelltem Kochrezept vor: Wäsche überprüfen Wir haben im vorigen Abschnitt die Gültigkeitsbereiche beider Variablen exakt auf N gesetzt, daher sollten hier keine Probleme zu erwarten sein. δ i,j bezeichnet hier das Kroneckersymbol 2

13 Wäscheleine spannen Wir haben zwar die Gültigkeitsbereiche deniert, jedoch stehen wir noch vor dem Problem, dass wir zwei potentielle Laufvariablen für unsere Potenzreihe zur Auswahl haben, da unsere Rekursionsgleichung von 2 Variablen abhängt. Daher können wir nun im Wesentlichen auf eine von 2 Arten weiter vorgehen: (i) Wir halten n fest, multiplizieren (3.) mit x k und summieren über alle k: A n (x) k S(n, k)x k (ii) oder wir halten k fest, multiplizieren (3.) mit x n und summieren über alle n: B k (x) n S(n, k)x n Für welchen Fall entscheiden wir uns? Im Fall (i) gibt es eine mögliche Problemquelle, welche das weitere Vorgehen erschweren könnte. Der Faktor k im zweiten Summanden der rechten Seite von (3.) würde nach Multiplikation von x k und Aufsummieren über alle k zu einem Ausdruck der Art k ks(n, k)xk führen. Das k innerhalb der Summe wäre also abhängig vom Laundex. Demgegenüber stünde nach Verfahren (ii) ein Ausdruck der Form n ks(n, k)xn, wobei das k als von der Summe unabhängiger Faktor auftritt, und so einfach aus der Summe herausgezogen werden kann. Es sei angemerkt, dass mit den aus dieser Entscheidung resultierenden verschiedenen Erzeugendenfunktionen auch verschiedene Phänomene unterschiedlich gut erfasst werden können. So eignet sich z.b. der erste Fall sehr gut zum Nachweis der Unimodalität der Stirlingzahlen für festes n. Der zweite Fall führt uns hingegen zu einer expliziten Formel für die Stirlingzahlen. Solche Einschätzungen sind im Voraus natürlich nur schwer zu treen, aber da wir auf eine explizite Formel hinarbeiten, entscheiden wir uns dank unserer hellseherischen Fähigkeiten für die zweite Variante. Wäsche aufhängen Wir multiplizieren nun beide Seiten der Rekursionsgleichung mit x n : S(n, k)x n (S(n, k ) + ks(n, k)) x n und summieren dann über alle n auf: (S(n, k ) + ks(n, k)) x n n S(n, k)x n n Wäsche zurechtzuppeln Wir suchen nun nach B k (x) (k ) mit B k (x) n S(n, k)xn. Für den Sonderfall k erhalten wir: B (x) n S(n, )x n S(, )x + n S(n, )x n + 3

14 Für den Fall k > müssen wir die Erzeugendenfunktion B k (x) in Termen der Erzeugendenfunktion selbst ausdrücken. B k (x) n S(n, k)x n S(, k) + n (S(n, k ) + ks(n, k)) x n k> (S(n, k ) + ks(n, k)) x n n Blickwinkel verändern n n S(n, k )x n + n ks(n, k)x n S(n, k )x n + k S(n, k)x n n x S(n, k )x n + kx S(n, k)x n n n x S(n, k )x n + kx S(n, k)x n n x B k (x) + kx B k (x) Dieses Ergebnis können wir nun umstellen zu: n B k (x) x B k (x) + kx B k (x) x B k (x) kx B k (x) (k ; B (x) ) Ersetzen wir rekursiv B k (x), B k 2 (x),... bis hin zu B (x), so folgt: B k (x) Also: x kx x (k )x B k (x) n S(n, k)x n x (k 2)x... x 2x x k ( x)( 2x)( 3x)...( kx) x x (k ; B (x) ) (k ) (3.2) Mit (3.2) haben wir eine Erzeugendenfunktion der Stirlingzahlen zweiter Art gefunden. 3.4 explizite Formel Wir nutzen nun die eben hergeleitete Erzeugendenfunktion, um eine explizite Formel der Stirlingzahlen zweiter Art zu entwickeln. D.h wir suchen eine Funktion f : N N N, (n, k) S(n, k) Dafür entwickeln wir zunächst die Erzeugendenfunktion in eine Potenzreihe, deren Koef- zienten sich durch nicht-rekursive Terme berechnen lassen. Es ist günstig, die geometrische Reihe anzuwenden zu versuchen, und im Hinblick darauf eine Partialbruchzerlegung zu betreiben. Siehe hierfür ggf. erneut den Hinweis zum Ende des Kochrezeptes auf Seite 9 4

15 Finden einer geeigneten Partialbruchzerlegung Für verschiedene Typen von Brüchen gibt es verschiedene Ansätze für Partialbruchzerlegungen. Für den Bruch aus Formel (3.2) bietet sich als Lösungsstrategie an, eine Partialbruchzerlegung folgender Form zu nden: k α j ( jx) j Denn sollten wir damit Erfolg haben, können wir die Summanden als Werte von geometrischen Reihen interpretieren und gemäÿ (2.6) entsprechend ersetzen. Wir suchen also nach den α i in folgender Beziehung: [k]:{,2,...,k} k α j ( x)( 2x)( 3x)...( kx) ( jx) j a [k] ( ax) α j ( jx) j [k] (3.3) Setzen wir nun r {, 2,..., k} fest, aber beliebig. Um α r zu bestimmen, multiplizieren wir beide Seiten von (3.3) mit ( rx). Das liefert: ( rx) a [k] ( ax) α j ( rx) ( jx) j [k] a [k]\{r} ( ax) j [k]\{r} α j ( rx) ( jx) + α r Wir setzen nun x /r, wodurch die Zähler in der Summe auf der rechten Seite der Gleichung sämtlich zu Null werden. x/r α r a [k]\{r} ( a/r) a [k]\{r} r a r r k a [k]\{r} a [k],a<r (r a) r k (r a) a [k],a>r (r a) r k (r )! (k r)! ( ) k r Also erhalten wir für α r : r k α r ( ) k r (r )!(k r)! ( r k) (3.4) 5

16 Aus Gleichung (3.2) erhalten wir mit n k, k : { S(n, k) [x n ] (2.7) [x n k ] a [k] { x k a [k] } ( ax) } ( ax) (3.3) [x n k ] (2.9) (2.) ) (3.4) k r α r ( rx) k [x n k α r ] ( rx) r k α r [x n k ] ( rx) r k α r r n k r k ( ) k r r k (r )!(k r)! rn k r k ( ) k r r n r!(k r)! r (3.5) *) Setzen wir für x X (siehe (2.6)), dann bezeichnet [X n k ] r n k von X n k in der geometrischen Reihe zu j : n k. ( rx) den Koezienten ( rx) j (rx)j j rj X j mit Diese Gleichung ist nach Voraussetzung nur gültig für n k. Lässt sich der Gültigkeitsbereich erweitern? Für n k liefert diese Formel, also einen inkorrekten Wert. Auch für n <, k > werden der Denition nicht entsprechende Werte geliefert (Werte ungleich ). Allerdings gilt die Formel oensichtlich für n, k, da dann die Summe per Konvention gleich wird. Interessanterweise ist diese Formel darüberhinaus auch gültig, falls < n < k. In diesem Fall werden zwar in der Summe k rationale Zahlen jeweils ungleich Null aufaddiert; deren Summe ergibt aber 'ganz von selbst'. Diese Behauptung gilt es nun zu beweisen. Dafür nutzen wir Induktion über n für festes k: 6

17 n, k > S(, k) k ( ) k r r r!(k r)! r k ( ) k r (r )!(k r)! r (k )! (k )! k (k )! ( )k k (k )! k ( ) k r (k )! (r )!(k r)! r k ( ) k ( ) k r r r ( ) k ( ) k r r r ( ) k ( ) r r r ( )k (k )! Wir haben also als Induktionsvoraussetzung: (analog zu eben) k ( ) k r r n r!(k r)! r k ( ) k r r r!(k r)! rn r k ( ) k ( ) k r (k )! r r r n n n +, k > n + 7

18 I.V. k ( ) k r r n+ r!(k r)! r k ( ) k r r n (r )!(k r)! r k ( ) k ( ) k r r n (k )! r r k ( ) k ( ) k r (r + ) n (k )! r r k ( ) ( ) k n ( ) k r r i (k )! r i r i ( ) n k ( ) k ( ) k r r i i (k )! r i r ( ) n i i Die I.V. ist hier anwendbar, da k > n + i +, also k > n i Damit haben wir den Gültigkeitsbereich von Gleichung (3.5) auf n >, k erweitert. Damit erhalten somit: Satz 3.6 : Für n >, k ist eine explizite Formel für die Stirlingzahlen zweiter Art gegeben durch: k S(n, k) ( ) k r r n (3.6) r!(k r)! r 3.5 Tabellen und Graken Hier eine Übersicht der Stirlingzahlen zweiter Art S(n, k). Aus Gründen der Übersichtlichkeit fehlende Einträge tragen dabei den Wert : n \ k

19 Die folgenden Graken zeigen die Werte der Stirlingzahlen zweiter Art. Die Werte für S(n, k) sind dabei logarithmisch gestaucht. Andernfalls wüchsen sie derart schnell, dass sie sich nicht vernünftig darstellen lieÿen. Die Matrix der Stirlingzahlen zweiter Art grasch veranschaulicht. Hellgrau steht für Wert Null, der Schwärzegrad für gröÿere Werte. Es zeigt sich in logarithmischer Stauchung ein gleichmäÿiger Anstieg für festes k und steigendes n. 9

20 Für festes n und steigendes k ist hier die logarithmische Konvexität gut zu erkennen. 3.6 Stirlingzahlen zweiter Art als Koezienten der fallenden Fakultät Stirlingzahlen spielen u.a. eine Rolle im Umgang mit fallenden Fakultäten. Stellt man beispielsweise x n als Summe von fallenden Fakultäten dar, so erhält man nach umständlichem Ausrechnen : x 4 a x + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 a + a x + a 2 x(x ) + a 3 x(x )(x 2) + a 4 x(x )(x 2)(x 3)... (multipliziere aus und bestimme die a i ) x + x + 7x 2 + 6x 3 + x 4 Führt man dies für einige Potenzen durch, so stellt man fest, dass zu gelten scheint: Satz 3.7 : Für alle n N gilt: x n S(n, k)x k (3.7) k Beweis : Denn: Zunächst ein hilfreiches Mini-Lemma: Es gilt: xx k x k+ + kx k (3.8) x x k + k xx k (x k)x k + kx k xx k x k+ + kx k Nun der Beweis für (3.7) per Induktion: Für n lässt sich die Behauptung einfach überprüfen, denn es gilt: x S(, )x 2

21 Für n n + erhalten wir: x n+ x x n I.V. x (3.8) S(n, k)x k k S(n, k)xx k k k S(n, k) [x k+ + kx k] S(n, k)x k+ + k n+ S(n, k )x k + k S(n, n)x n+ + x n+ + x n+ + (3.) x n+ + S(n, k)kx k k S(n, k)kx k k S(n, k )x k + k S(n, k)kx k + S(, )x k [S(n, k )x k + S(n, k)kx k] k [S(n, k ) + ks(n, k)] x k k S(n +, k)x k k S(n +, n + )x n+ + n+ S(n +, k)x k k S(n +, k)x k + S(n +, )x k Damit ist die Gleichung (3.7) bewiesen. Auÿerdem lässt sie sich auf sämtliche Linearkombinationen erweitern: x j a j x j j j S(j, i)x i i a j j i j i j S(j, i)x i j a j S(j, i)x i 2

22 3.7 Basiswechselmatrix im P ol n (C, C) Betrachten wir den C-Vektorraum der Polynomfunktionen n-ten Grades P ol n (C, C). Für f P ol n (C, C) gilt also mit a i C: f(x) a n x n + a n x n a x + a P ol n (C, C) hat die Dimension n + und die kanonische Basis: B (x, x, x 2, x 3,..., x n ) Eine alternative Basis ist durch die Folge der fallenden Fakultäten gegeben: B f (x, x, x 2, x 3,..., x n ) Um eine Basiswechselmatrix von B nach B f zu bestimmen, müssen wir nun zunächst die Basisvektoren von B, hier also die Einheitsvektoren, bzgl. der neuen Basis B f darstellen. Der j-te Einheitsvektor ist gleich x j, denn: e j :. (j-te Zeile). x + x x j 2 + x j + x j x n x j Somit müssen wir nun die Vektoren e j als Linearkombination der Basisvektoren aus B f darstellen, und deren Koezienten bestimmen. Wir suchen also nach den a i in: j e j x j a i x i i Nach zuvor bewiesener Beziehung (3.7) gilt aber eben: a i S(j, i) Demnach gilt für Darstellung der e j bzgl. der Basis B f, in Zeichen κ Bf (e j ): S(j, ) S(j, ) κ Bf (e j ) S(j, 2). S(j, n) Für κ Bf (e ) bis κ Bf (e 4 ) erhalten wir so beispielsweise: 22

23 κ Bf (e ) κ Bf (. ) S(, ) S(, ) S(, 2) S(, 3). S(, ). κ Bf (e 2 ) κ Bf (. ) S(, ) S(, ) S(, 2) S(, 3). S(, ). κ Bf (e 3 ) κ Bf (. ) S(2, ) S(2, ) S(2, 2) S(2, 3). S(2, ). κ Bf (e 3 ) κ Bf (. ) S(3, ) S(3, ) S(3, 2) S(3, 3). S(3, ) 3. Da die Spalten von T B B f (n) eben aus den Koordinaten der Basisvektoren von B in ihrer Darstellung bzgl. der Basis B f sind, können wir T B B f (n) nun leicht bestimmen. Hier z.b. für n, also für Polynome 9. Grades: T B B f (n) (S(j, i)) i,j,,...,n Nutzen Wir können nun also sehr leicht zu einer beliebigen gegebenen Polynomfunktion n-ten Grades eine Darstellung bzgl. der Basis der fallenden Fakultäten berechnen, indem wir einfach ihren Koezientenvektor mit der Basiswechselmatrix T B B f (n) multiplizieren. Da die Einträge in der Matrix für sich betrachtet von n unabhängig sind, stimmen die 23

24 Einträge von T B B f (n ) und T B B f (n 2 ) für n > n 2 an den gemeinsamen Stellen stets überein. Man kann also durchaus auch T B B f (n ) heranziehen, um mit Polynomen des Grades n 2 zu arbeiten, sofern man in den zu multiplizierenden Vektoren die fehlenden Koordinaten mit Wert ergänzt. Beispiele Die Funktion lässt sich umformen zu Denn: f (x) 3x 2 + 2x + f (x) 3x 2 + 5x Ein weiteres, etwas umfangreicheres Beispiel: Die Funktion ( π ) f 2 (x) 3x 7 4x 6 2x 4 + x i x 2 + ( π ) 2 2i x + 42 lässt sich umformen zu f 2 (x) 3x x x x x 3 + ( π 2 + 2i + 54 ) x 2 2x + 42 Denn: 42 π 2 2i π 2 + 2i π i Stirlingzahlen der ersten Art Nun werden wir erstmals den Stirlingzahlen erster Art begegnen. Der Zusammenhang zwischen Stirlingzahlen erster und zweiter Art wird dabei über die Basiswechselmatrizen zwischen der kanonischen Basis und der Basis der fallenden Fakultäten im C-Vektorraum der Polynomfunktionen P ol n (C, C), wie im letzten Kapitel erläutert, hergestellt. 4. Übergang von zweiter zu erster Art im P ol n (C, C) Im vorigen Abschnitt haben wir die Basiswechselmatrix T B B f (n) betrachtet. Eine Basiswechselmatrix ist invertierbar und das Inverse von TB B f (n) liefert T B f B (n), also die Basiswechselmatrix zum entgegengesetzten Basiswechsel, denn es gilt: ( T B B f (n)) T B f B (n) So erhalten wir beispielsweise für T B f B () 24

25 ( T B f () T ()) B B B f In dieser Matrix entspricht der Eintrag in der i-ten Zeile und j-ten Spalte der Stirlingzahl erster Art. Für diese schreiben wir s(j, i). Legt man die Bedeutung der Matrix als Basiswechselmatrix zugrunde, erhalten wir, dass somit die Stirlingzahlen erster Art den Koezienten der x n in der Ausmultiplizierung einer fallenden Fakultät entsprechen. So liefern die Einträge (, 5) bis (5, 5) beispielsweise die Lösungskoezienten a i der Gleichung: x 5 x(x )(x 2)(x 3)(x 4) a + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x x 5x x 3 x 4 + x 5 Allgemein also gilt demnach analog zu (3.7): x n s(n, i)x i (4.) i (4.) folgt direkt aus der Konstruktion über die Basiswechselmatrizen. Auch lässt sich 4. auf sämtliche Linearkombinationen erweitern: j x j s(j, i)x i a j x j j i a j j i j i j s(j, i)x i j a j s(j, i)x i Eine weitere Eigenschaft folgt aus der Tatsache, dass die beiden Matrizen zueinander invers sind : und min(m,n) m min(m,n) m s(m, k)s(k, n) δ m,n (4.2) S(m, k)s(k, n) δ m,n (4.3) wobei δ m,n das Kronecker-Delta bezeichne. Die zugrundeliegende Beziehung gilt allgemein für invertierbare Matrizen. Man ndet für s(n, k) auch die Bezeichnungen S(n, k) und n k. Diese werden jedoch häug auch für den Betrag der Stirlingzahlen erster Art, s(n, k), verwendet, ebenso wie selten auch s(n, k) selbst. Leider gibt es diesbzgl. keine stringente Konvention. 25

26 4.2 Tabellen und Graken Hier eine Übersicht der Stirlingzahlen erster Art s(n, k). Aus Gründen der Übersichtlichkeit fehlende Einträge tragen dabei den Wert : n \ k Die folgenden Graken zeigen die Werte der Stirlingzahlen erster Art. Die Werte für s(n, k) sind dabei logarithmisch gestaucht. Andernfalls wüchsen sie derart schnell, dass sie sich nicht vernünftig darstellen lieÿen. Die Matrix der Stirlingzahlen erster Art grasch veranschaulicht. Grau steht für Wert Null, dunklere Töne für höhere Werte, hellere Töne für negative Werte. 26

27 Es zeigt sich in logarithmischer Stauchung ein (alternierender) gleichmäÿiger Anstieg für festes k und steigendes n. Für festes n und steigendes k zeigt sich hier die (alternierende) logarithmische Konvexität. 4.3 Aufstellen einer Rekursionsgleichung Satz 4.4 : Mit den Festlegungen n : S(n, n) und n > : S(n, ) erfüllen die Stirlingzahlen erster Art für n k die Rekurrenz: s(n +, k) s(n, k ) ns(n, k) (4.4) 27

28 Beweis : Sei n, k N mit n k. Allgemein gilt dann: Gleichung (4.) liefert nun: (x n)x n (x n)x n x n+ xx n nx n n+ s(n +, k)x k x k ) s(n, k)x k n k s(n, k)x k+ n k n+ s(n, k)x k k s(n, k)x k k s(n, k )x k n k2 n+ s(n, k )x k n k Koeff.V gl. s(n +, ) s(n, ) ns(n, ) s(n +, 2) s(n, ) ns(n, 2) s(n +, 3) s(n, 2) ns(n, 3) s(n, k)x k k s(n, k)x k k. s(n +, n) s(n, n ) ns(n, n) s(n +, n + ) s(n, n) *) An dieser Stelle denieren wir für n > : s(n, ) : und s(, ) : Insbesondere ergibt sich s(n, n) induktiv durch die Beziehung s(n+, n+) s(n, n) und die Denition s(, ). Somit haben wir die Gleichung (4.4) für alle n k unter Zuhilfenahme der denierenden Erweiterungen bewiesen. 4.4 Ableiten einer Rekursionsgleichung des Betrags In der Kombinatorik spielen die Beträge der Stirlingzahlen eine gesonderte Rolle. Diese werden daher durch eine eigene Schreibweise gekennzeichnet : Für den Betrag gilt (hier ohne Beweis): S(n, k) : s(n, k) S(n, k) ( ) n k s(n, k) (4.5) Für die Beträge der Stirlingzahlen erster Art leitet sich aus (4.4) eine dieser sehr ähnliche Rekursionsgleichung ab: Gängige Bezeichnung für S(n, k) ist auch n k. Beide werden manchmal aber auch nicht für den Betrag, sondern für die Stirlingzahlen erster Art selbst, s(n, k), verwendet. Auch kann es vorkommen, dass mit s(n, k) der Betrag bezeichnet wird. 28

29 Satz 4.6 : Mit den Festlegungen n : S(n, n) und n > : S(n, ) erfüllen die Beträge der Stirlingzahlen erster Art für n k die Rekurrenz: S(n +, k) S(n, k ) + ns(n, k) (4.6) Beweis : Nach Denition gilt: S(n, k) s(n +, k) s(n, k ) ns(n, k) Wegen (4.5) alterniert das Vorzeichen für festes n > und wachsendes k, also gilt mit k > : sgn(s(n, k )) sgn(s(n, k)) und mit s(n, ) : s(n, k ) + n s(n, k), falls s(n, k ) <, s(n, k) > s(n +, k) s(n, k ) + n s(n, k), falls s(n, k ) >, s(n, k) < 4.5 kombinatorische Bedeutung der Stirlingzahlen erster Art Vermutlich wurden die Stirlingzahlen erster Art nicht auf demselben Weg 'entdeckt', der in dieser Ausarbeitung bis hierhin verfolgt wurde. Ein Indiz dafür ist die Nummerierung und die besondere Rolle, welche ihre Beträge in der Kombinatorik spielen. Wahrscheinlich war die Ausgangslage ganz ähnlich der in Kapitel 3. betrachteten: Es gab eine kombinatorische Problemstellung, aus der eine Rekurrenz hergeleitet wurde. Diese führte schlieÿlich auf die Beträge der Stirlingzahlen. Was ist nun das besondere an S(n, k)? Der Betrag der Stirlingzahl erster Art S(n, k) bezeichnet die Anzahl der Möglichkeiten, n Elemente in genau k Zyklen einzuteilen. Ein Zyklus von n geordneten Elementen ist die Familie der n (aus den insgesamt n! möglichen) Permutationen, die entstehen, indem man das erste Element entfernt und hinten anfügt. Dabei ist die Reihenfolge der Elemente also zu beachten. Die zwei möglichen Zyklen mit je 3 Elementen (und damit der Länge 3) aus [3] sind z.b. Zyklus : (23) (23) (32) Zyklus 2: (32) (32) (23) Dies liefert also, dass es genau 2 Möglichkeiten gibt, 3 Elemente in einen Zyklus einzuteilen, demnach S(3, ) 2. Zur Veranschaulichung untersuchen wir nun S(4, ), S(4, 2) und S(4, 3). Es gilt S(4, ) 6, S(4, 2) und S(4, 3) 6. Die Reihenfolge, in der die Zyklen genannt werden, ist nicht von belang. Korrekterweise müÿte man daher eigentlich {(x...x i )(y...y j )...(z...z k )} schreiben. Der Übersichtlichkeit halber lassen wir die umgebenden Mengenklammern weg und schreiben lediglich (x...x i )(y...y j )...(z...z k ). S(4, ) bezeichnet also die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, 4 Elemente in genau Zyklus einzuteilen. Die 6 Möglichkeiten hierfür sind: (234) (234) (342) (423) 29

30 (243) (243) (432) (324) (324) (324) (243) (432) (342) (342) (423) (234) (423) (423) (234) (342) (432) (432) (324) (243) S(4, 2) bezeichnet die Anzahl der Möglichkeiten, 4 Elemente in genau 2 Zyklen einzuteilen. Die Möglichkeiten sind: ()(234) ()(342) ()(423) ()(243) ()(432) ()(324) (2)(34) ()(34) ()(43) (2)(43) ()(43) ()(34) (3)(24) ()(24) ()(42) (3)(42) ()(42) ()(24) (4)(23) ()(23) ()(32) (4)(32) ()(32) ()(23) (2)(34) (2)(43) (2)(43) (2)(34) (3)(24) (3)(42) (3)(42) (3)(24) (4)(23) (4)(32) (4)(32) (4)(23) Für S(4, 3) erhalten wir die folgenden 6 Möglichkeiten: ()(2)(34) ()(2)(43) ()(3)(24) ()(3)(42) ()(4)(23) ()(4)(32) (2)(3)(4) (2)(3)(4) (2)(4)(3) (2)(4)(3) (3)(4)(2) (3)(4)(2) 3

31 4.6 Konstruktion der Rekursionsgleichung des Betrags Wenn man sich die Ergebnisse aus vorigem Kapitel ansieht, stellt man fest, dass es wohl einen rekursiven Zusammenhang zwischen den Stirlingzahlen erster Art gibt. Z.B. durch das Aufteilen von [4] in zwei Zyklen, wobei der eine die Länge und der andere die Länge 3 hat, erhält man für deren Anzahl 4 mal die Anzahl der Zyklen von 3 Elementen, also 8. Solcherart Betrachtungen lassen hieraus die Rekursionsgleichung (4.6) konstruieren, ähnlich wie wir dies in Abschnitt 3.2 für die Stirlingzahlen zweiter Art getan haben: Wir setzen für n > : S(n, n), denn es gibt genau eine Möglichkeit, [n] in n Zyklen zu zerlegen, indem jedes Element einen eigenen Zyklus bildet. Auÿerdem denieren wir für n > : S(n, ) und S(, ). Nehmen wir an, wir hätten bereits eine Aufteilung von [n] in k Zyklen und eine in k Zyklen gegeben, derer es S(n, k) bzw. S(n, k ) verschiedene gibt. Wir untersuchen nun, wieviele Aufteilungen sich daraus für n + Elemente in k Zyklen ergeben, wollen also S(n +, k) bestimmen: Das n + -ste Element können wir entweder als einen eigenständigen einelementigen Zyklus an eine vorhandene Aufteilung anfügen, oder aber in einen Zyklus einer vorhandenen Aufteilung einfügen. Diese beiden Fälle zusammen liefern die Gesamtzahl der Möglichkeiten. Abzählen im. Fall Im ersten Falle werden wir einen weiteren Zyklus erzeugen, daher betrachten wir die gegebenen Aufteilungen von [n] in k Zyklen, derer es S(n, k ) Stück gibt. Den neuen Zyklus (n + ) können wir nun einfach zu jedem der vorhandenen Aufteilungen hinzufügen, also gibt es dafür S(n, k ) Möglichkeiten. D.h. es gibt S(n, k ) Möglichkeiten, [n + ] derart in k Zyklen zu zerlegen, dass (n + ) alleine einen eigenen Zyklus bildet. Abzählen im 2. Fall Im zweiten Fall müssen wir nun das n+-ste Element in einen vorhandenen Zyklus einfügen, was die Anzahl der Zyklen nicht verändert. Daher betrachten wir die gegebene Aufteilung in S(n, k) Zyklen. Jede davon hat folgende Gestalt: (a...a j )(a j +...a j2 )...(a jk +...a n ) } {{ } k Zyklen Wir können nun das n+-ste Element vor ein jedes der a i einfügen und erhalten dadurch wieder paarweise verschiedene Aufteilungen in Zyklen. Für jede der S(n, k) Aufteilungen von [n] in k Zyklen haben wir hierfür n Möglichkeiten. Dies liefert insgesamt ns(n, k) Aufteilungen von [n+] in [k] Zyklen, in denen (n+) nicht als eigener Zyklus auftaucht. Zusammenrechnen Diese beiden Fälle zusammenaddiert liefern die Anzahl aller Möglichkeiten, denn es gibt nur diese beiden Fälle zu unterscheiden. Wir erhalten also für die Anzahl der Möglichkeiten, [n + ] in k Zyklen zu zerlegen: Dies stimmt mit (4.6) überein. S(n +, k) S(n, k ) + ns(n, k) 3

32 5 Weitere Eigenschaften der Stirlingzahlen Es gibt eine ganze Reihe von Identitäten, in denen Stirlingzahlen auftauchen. In den folgenden Abschnitten werden zahlreiche davon erwähnt, und einige bewiesen. Eine Auflistung weiterer ndet sich z.b. im Internet unter [WoS], [WoS2]. Tiefergehende Eigenschaften werden im Buch 'generatingfunctionology' von Herbert S. Wilf erklärt und bewiesen. Dieses ist kostenlos als.pdf erhältlich [GF]. 5. Eigenschaften der Stirlingzahlen erster Art und ihrer Beträge Satz 5. : Für alle n N gilt: S(n +, ) n! (5.) Beweis : Dies folgt per Induktion direkt aus der Rekursionsgleichung (4.6). n : S( +, )! n n + : S(n + 2, ) (4.6) S(n +, ) +(n + )S(n +, ) I.V. (n + )n! (n + )! } {{ } Satz 5.2 : Für alle n gilt: s(n +, ) ( ) n n! (5.2) Beweis : Dies folgt direkt aus (5.) und (4.5) Satz 5.3 : Für alle n N gilt: S(n, k) n! (5.3) k Beweis : n : Wieder bietet sich hier Induktion an. S(, k) S(, )! k 32

33 n n + : n+ S(n +, k) k n> (4.6) n+ S(n +, k) k n+ S(n, k ) + ns(n, k) k n+ k n+ S(n, k ) + n S(n, k) + n k k S(n, k) S(n, k) k I.V. n! + nn! ( + n)n! (n + )! Satz 5.4 : Für n gilt: S(n, k) S(n +, ) (5.4) k Beweis : Folgt direkt aus (5.3) und (5.). Desweiteren gelten auch folgende Eigenschaften, werden hier jedoch nicht bewiesen: Satz 5.5 : Für alle n 2 gilt: s(n, k) k Satz 5.5 : Für alle n gilt: ( ) n s(n, n ) 2 Satz 5.5 : Für m n gilt: s(n, m) n k m s(n +, k + ) km 5.2 Eigenschaften der Stirlingzahlen zweiter Art Hier eine Auswahl von Eigenschaften der Stirlingzahlen zweiter Art. 33

34 Satz 5.5 : Für alle n N gilt: S(n, 2) 2 n (5.5) Beweis : Einsetzen in die explizite Formel (3.6) liefert: S(n, 2) ( ) n 2n + ( )!! 2!! + 2n 2 n Ohne Beweis seien hier noch erwähnt: Für alle n N gilt: S(n, n ) ( ) n 2 Für alle n 2 gilt: Für alle n, m N gilt: ( ) m (m )!S(n, m) m m k n ( ) m + nk! S(n, k) k + k k Zudem existiert eine weitere Rekursionsgleichung: S(n, k) k n m S(m, k ) mk 5.3 Zusammenhänge zwischen den Stirlingzahlen erster und zweiter Art Ein interessanter Zusammenhang ist in Kapitel 4. dadurch gegeben, dass die Matrix mit den Stirlingzahlen erster Art als Einträgen und die Matrix mit den Stirlingzahlen zweiter Art als Einträgen zueinander invers sind. Diese Matrizen als Basiswechselmatrizen betrachtet zeigen die Rolle der Stirlingzahlen beim Basiswechsel zwischen der kanonischen Basis und der der fallenden Fakultäten im C-Vektorraum der Polynomfunktionen. Aus den Eigenschaften des Inversen einer Matrix folgen dort zudem (4.2) und (4.3): und min(m,n) m min(m,n) m s(m, k)s(k, n) δ m,n S(m, k)s(k, n) δ m,n Folgerungen aus vorher genannten Eigenschaften sind: S(n, n) s(n, n) S(n, n) 34

35 S(n, n ) s(n, n ) S(n, n ) Weitere Zusammenhänge, die hier nicht bewiesen werden, sind: 6 Ausblick s(n, i) S(n, i) ki j ki j k s(n, k)s(k, j)s(j, i) k S(n, k)s(k, j)s(j, i) ( ) n 2 n m ( )( ) k + n 2n m s(n, m) ( ) k S(k m + n, k) k + n m n k m k n m ( )( ) k + n 2n m S(n, m) ( ) k s(k m + n, k) k + n m n k m k Eng verwandt mit der Stirlingzahlen zweiter Art sind die Bellzahlen, bzw. Bellschen Zahlen B n, benannt nach dem Mathematiker Eric Temple Bell (883-96). Diese bezeichnen die Gesamtzahl von Möglichkeiten, eine n-elementige Menge zu partitionieren, und berechnen sich somit zu: B n S(n, k) k Trotz der augenscheinlich engen Verwandtschaft mit den Stirlingzahlen zweiter Art haben die Bellzahlen eine ganze Reihe eigener interessanter Eigenschaften. Siehe dazu [WoB] und [GF] (Seiten 25, 8). In der Wahrscheinlichkeitsrechnung tauchen die Stirlingzahlen ebenfalls auf. Über Dobinskis Formel 2 sind sie eng mit der Poisson-Verteilung verwoben. An dieser Stelle sei nochmals auf das angenehm zu lesende Buch [GF] verwiesen, welches an vielen Stellen Eigenschaften der Stirlingzahlen behandelt. Darüberhinaus werden auch zahlreiche weitere kombinatorische Zusammenhänge untersucht, wobei die Intention stets im Vermitteln der Möglichkeiten von Erzeugendenfunktionen liegt. 2 [Dob], [WoD] 35

36 7 Quellenverzeichnis Diese Ausarbeitung entstand ausschlieÿlich auf der Basis von Quellen, die sich im Internet nden lassen. Dank der Qualität, die mittlerweile von einigen mathematikbezogenen Internetseiten erreicht wird - insbesondere englischsprachiger - macht diese Form der Recherche Freude und liefert schnell gesuchte (und ungesuchte) Informationen. Generell ist ein sehr guter Anlaufpunkt. Als etwas weniger umfangreich, aber oft auch ergänzend ist und manchesmal auch zu empfehlen. Ansonsten liefern Suchmaschinen Links zu vielen Dokumenten wie Vorlesungsskripten, Mitschriften, Forschungsarbeiten, etc. Sehr hilfreich bei konkreten Problemen ist auch die deutschsprachige Plattform in deren Foren man auf äuÿerst kompetente Hilfe hoen darf. Folgende Quellen wurden in der Ausarbeitung referenziert: [GF] wilf/downldgf.html [WiB] [WoB] [WoD] [WoF] [WoS] [WoS2] [Dob] Darüberhinaus wurden folgende Quellen für die Erstellung der Ausarbeitung genutzt: [] [2] [3] [4] [5] [6] [7] schork/fermionic.ps (S. -5) [8] einar/preprints/chrompart.ps (S. f, 8) [9] adamchik/articles/stirling.pdf (S., 6, 9) [] (S. 4, 9-25) [] herrmama/res/ds.pdf (S. 4) [2] (S. 3) 36