P105. ü j (t) = c 2[ u j 1 (t) 2u j (t) + u j+1 (t) ] mit u 0 (t) = u n+1 (t) = 0.

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1 Prof Dr Michael Eisermann Höhere Mahemaik 3 (verief Kapiel P Auonome Sseme, Gleichgewich und Sabiliä Wie is es möglich, daß die Mahemaik, lezlich doch ein Produk menschlichen Denkens unabhängig von der Erfahrung, den wirklichen Gegebenheien so wunderbar ensprich? Alber Einsein ( Inhal dieses Kapiels Lineare DGSseme mi konsanen Koeffizienen Gekoppele Oszillaoren und sehende Wellen Lösungen miels Eigenvekoren und Eigenfunkionen Lösungen miels Haupvekoren und Haupfunkionen Von kompleen zu reellen Lösungen Gleichgewichslagen und Sabiliä Dnamik zweidimensionaler auonomer Sseme Räuber-Beue-Modell nach Loka Volerra Lie Ableiung und erse Inegrale Sabiliäsanalse nach Lapunov 3 Fazi: Differenialgleichungssseme Zusammenfassung und Versändnisfragen Redukion der Ordnung und Mehodenvergleich Dnamik, Fipunke und Sabiliä Invariane Mengen dank Tangenialbedingung P WiSe 7/8 wwwiguni-sugarde/eiserm/lehre/hm3 58 Lineare DGSseme mi konsanen Koeffizienen #Differenialgleichungen sind die Sprache der Naurgeseze Im vorigen Kapiel O haben wir Differenialgleichungssseme der Form ( f(, ( mi Anfangsdaen ( unersuch: Gib es immer eine Lösungsfunkion? mehrere oder nur eine? Der #Eisenz- und Eindeuigkeissaz OB anwore umfassend: Es genüg, dass f seig differenzierbar is Es lebe die Analsis! P Überblick Nachdem Eisenz- und Eindeuigkei geklär sind, wenden wir uns der prakischen Berechnung zu: Wie finde man eine Lösung? gar alle? #Lineare Differenialgleichungssseme ( A( ( mi A( K n n erlauben eine vollsändige Lösungsheorie (O3B: Der Lösungsraum is ein #Vekorraum der Dimension n Es genüg also, eine #Basis aus n linear unabhängigen Lösungsfunkionen zu finden Für #konsane Koeffizienen A K n n is die Lösung besonders einfach: Es genüg, eine Basis des Raums K n aus #Eigenvekoren der Mari A zu finden Falls dies nich geling, so führen allgemeiner #Haupvekoren ses zum Ziel Es lebe die lineare Algebra! Differenialgleichungssseme P Erinnerung In vielen Anwendungen geh es sa einer Größe ( R um mehrere Größen (,, n ( R, deren Enwicklung und Wechselwirkung sich durch #gekoppele Differenialgleichungen beschreiben läss: ( ( f, (,, n (, n( ( f n, (,, n ( Mi (,, n und f (f,, f n bündeln wir dies prägnan und übersichlich als eine #vekorwerige Differenialgleichung: ( f(, ( Gegeben is hierzu die seige Funkion f : R K n G K n Gesuch sind alle Funkionen : I K n auf einem (maimalen Inervall I, die (, ( G und die Gleichung ( f(, ( für alle I erfüllen Im Fall n haben wir eine gewöhnliche Differenialgleichung in einer Dimension Beispiele und Mehoden haben wir in Kapiel M ausgeführ Differenialgleichungssseme Die Berechnung einer #Basis des Lösungsraumes is nich leich, aber wir können immerhin eplizie Lösungsformeln angeben und in Beispielen ausrechnen Hierzu benöigen wir geeignee Techniken aus der Analsis, insbesondere die allgegenwärige Inegraion P3 Erinnerung Lineare Differenialgleichungssseme mi #konsanen Koeffizienen sind der einfachse Fall Die Inegraion ri hierbei in den Hinergrund, ihre Lösung geling uns vollsändig mi der linearen Algebra: Wir können die Lösungen direk ausschreiben dank Eigen- & Haupvekoren Dieses Kapiel handel deshalb (wie das vorige im Wesenlichen von #Marizenrechnung in ihrer vollen Schönhei: Wir mobilisieren nahezu alle Techniken: Vekorraum, Basis, Dimension, lineare Abbildung, Kern und Bild, Darsellung durch Marizen, zugehörige Rechenmehoden, Deerminane, charakerisisches Polnom, Eigenvekoren und Diagonalform, Haupvekoren und Jordan Form Hier lohn sich erneu Ihre Invesiion in die mahemaischen Grundlagen der HM/! Langzeiverhalen und Sabiliä von Lösungen Anfangsdaen sind of zufälligen kleinen Schwankungen unerworfen, ewa durch kleine äußere #Sörungen oder ungenaue #Messdaen Die #Sabiliäsheorie unersuch die Auswirkung von Sörungen, die als Abweichung von Gleichgewichszusänden dnamischer Sseme aufreen, ewa in der Technischen Mechanik Zur Vereinfachung berachen wir #auonome Sseme ( f(( Hier häng die reche Seie f( nich eplizi von der Zei ab Ein #Fipunk (Ruhelage zeichne sich durch f( aus: Bei Sar in ( verharr das Ssem in dieser Ruhelage P Überblick Die Ruhelage is #insabil, wenn eine zufällige kleine Sörung im weieren zeilichen Verlauf immer größer wird und von wegführ Sie is (asmpoisch #sabil, wenn kleine Sörungen beschränk bleiben (bzw abklingen und das Ssem langfrisig in die Ruhelage zurückkehr #Kleine Auslenkungen ( + u( aus der Ruhelage befolgen in erser Näherung u( A u ( mi Jacobi Mari A f ( K n n, ein lineares Differenialgleichungsssem mi konsanen Koeffizienen! Hierdurch erhalen lineare DGSseme ihre zenrale Bedeuung Differenialgleichungssseme Ein #lineares Differenialgleichungsssem is von folgender Form: ( a ( ( + a ( ( + + a n ( n ( + b ( ( a ( ( + a ( ( + + a n ( n ( + b ( n( a n ( ( + a n ( ( + + a nn ( n ( + b n ( Solche Gleichungssseme bündeln wir prägnan zu einer Gleichung: ( A( ( + b( Hier heiß A Koeffizienenmari und b reche Seie des DGSsems P Erinnerung Bei linearen DG sind zwei srukurelle Aspeke grundlegend (Saz O3B: Der Lösungsraum der Differenialgleichung ( A( ( + b( is ein #Vekorraum (b bzw ein #affiner Raum (b Dieser Raum ha immer genau #Dimension n, dank Eisenz und Eindeuigkei der Lösung zu gegebenen Anfangsdaen Dies srukurier und vereinfach das Problem, alle Lösungen zu finden! Differenialgleichungssseme Die #Mari-Eponenialfunkion ep : K n n GL n K K n n is A k ep(a : E + A + k! A + 3! A3 + 4! A4 + k Sie lös lineare Differenialgleichungen mi konsanen Koeffizienen: Zu jedem K n ha die vekorwerige Differenialgleichung ( A ( mi ( genau eine Lösung : R K n, nämlich ( ep [ ( A ] Diese allgemeine Lösungsformel is einfach und übersichlich P4 Erinnerung In einfachen Fällen kann man die Mari-Eponenialfunkion direk ausrechnen, insbesondere für #Diagonalmarizen?? und Marizen in #Jordan Form?? Wir wollen dies in diesem Kapiel nuzen lernen Die direke Berechnung der Mari-Eponenialfunkion is zwar im Prinzip immer möglich aber prakisch gesehen leider schwierig Eigen- & Haupvekoren können dies dramaisch vereinfachen!

2 Gekoppele Oszillaoren und sehende Wellen P5 Gekoppele Oszillaoren und sehende Wellen P6 Wir unersuchen die Ausbreiung einer Welle, zum Beispiel einer Druck- oder Schallwelle, zunächs als diskrees, endlich-dimensionales Modell: mi Federn verbundene Massenpunke In diesem schönen Beispiel können wir alles eplizi berechnen und anschaulich inerpreieren Zudem können wir unsere Mehoden der linearen Algebra und Analsis erproben und schärfen #Aufgabe: Formulieren und lösen Sie folgendes dnamische Ssem: k m k k k m m u ( u ( u n ( Linear sind n Massen m > durch n + Federn k > verbunden ( Formulieren Sie das Differenialgleichungsssem erser Ordnung ( Welche Srukur ha der Lösungsraum? (Form und Größe (3 Finden Sie alle Lösungen zum Produkansaz u j ( e iαj e iω Auch späer bei PDE nüz diese Trennung der Variablen (R3 (4 Gewinnen Sie hieraus eine reelle Basis des Lösungsraumes Wie können Sie garanieren, wirklich eine Basis gefunden zu haben? Gekoppele Oszillaoren und sehende Wellen Die Bandmari B n kodier hierbei die geomerische Anordnung: B n : R n n ( Wir suchen : R R n mi ẏ( A ( und A E c B Die Menge aller Lösungen : R R n is ein #R Vekorraum Dank des E&E Sazes ha dieser Vekorraum die #Dimension n Genauer: Dank Eisenz und Eindeuigkei gehör zu jedem Sarwer ( (u(, u( R n genau eine Lösungsfunkion : R R n Diese Informaion srukurier und erleicher unsere Rechnung: Wir müssen jez nur noch n linear unabhängige Lösungen finden Das DGSsem schein komplizier, aber wir können es eplizi lösen! Eigenfunkionen: Grundschwingung (l n, l P7 P9 #Lösung: ( Auslenkung u j ( R aus der Ruhelage, lineare Rücksellkraf F j k(u j+ u j + k(u j u j, Newons Bewegungsgesez F j mü j Mi c k/m gil demnach ü j ( c [ u j ( u j ( + u j+ ( ] mi u ( u n+ ( Dies gil für jeden der Massenpunke j,, n im Inneren der Kee Randbedingung: Die beiden Enden u u n+ sind hierbei fiier Diese #Bewegungsgleichung is zweier Ordnung in n Unbekannen Wir reduzieren sie äquivalen zu erser Ordnung in n Unbekannen: d u( u( n E n u( d u( ü( c B n n u( Mi (u, u is dies eine homogene lineare Differenialgleichung ẏ( A ( mi der angegebenen Koeffizienenmari A R n n Hier is n die (n n Nullmari und E n die (n n Einheismari Gekoppele Oszillaoren und sehende Wellen (3 Einsezen des Produkansazes u j ( e iω e iαj ergib: ω e iω e iαj c [ e iω e iα(j e iω e iαj + e iω e iα(j+] also ω c (e iα + e iα c (e iα/ e iα/ 4c sin(α/ Zu jedem α erhalen wir ω ±c sin(α/ Reelle Lösungen sind: { sin(αj cos(ω, cos(αj cos(ω, u j ( sin(αj sin(ω, cos(αj sin(ω, Randbedingungen: Die beiden linken Lösungen erfüllen u (, und u n+ ( für α lπ/(n + und l,, n #Eigenfunkionen: } { u l,j ( sin(α l j cos(ω l αl lπ/(n +, mi v l,j ( sin(α l j sin(ω l ω l c sin(α l / (4 Dies sind n linear unabhängige Lösungen, also eine #Basis! Je zwei unabhängige Eigenfunkionen, u l ω l u l, v l ω l v l Die doppelen Eigenwere ω < ω < < ω n sind verschieden Daher sind die zugehörigen Eigenfunkionen linear unabhängig Eigenfunkionen: Oberschwingung (l n, l P8 P Dies is eine sehende Welle; Randbedingungen u ( u n+ ( Eigenfunkionen: Grundschwingung (l n 7, l P 4 3 Auch dies is eine sehende Welle; die Frequenz ω > ω wird größer Eigenfunkionen: erse Oberschwingung (l n 7, l P 5 5 Dieses Phänomen kenn jedes Kind vom Seilspringen Probieren Sie es! 5 5 Von der Inuiion zur Präzision: Nun können wir alles ausrechnen!

3 Eigenfunkionen und Eigenvekoren Jedes Differenialgleichungsssem ( A ( läss sich prägnan und effizien durch die Koeffizienenmari A n n beschreiben Eigenvekoren von A liefern uns Eigenfunkionen als Lösungen: Lemma PA (Lösung eines DGSsems durch Eigenfunkionen Gegeben sei eine Mari A n n Zu lösen sei das DGSsem ( A ( Eine #Eigenfunkion is eine Lösung ( e λ v mi λ und v n : Hier gil einerseis ( λ e λ v und andererseis A ( A e λ v Wegen e λ is dies äquivalen zur Eigenvekorgleichung Av λv Für Eigenvekoren forder man Av λv und zudem v Ebenso fordern wir für Eigenfunkionen ( e λ v ses Hier zahlen sich erneu Ihre Kennnisse der linearen Algebra aus: Eigenvekoren von Marizen beherrschen Sie bereis sei der HM Mi dieser Technik lösen Sie nun Differenialgleichungssseme! Algorihmus zur Berechnung von Eigenvekoren ( Beispiele: (a V (R, K is ein K Vekorraum Die Ableiung : V V is eine K lineare Abbildung Für jede Zahl λ K is die Eponenialfunkion e λ ein Eigenvekor von zum Eigenwer λ, denn e λ λ e λ Dies sind die einzigen Lösungen (dank Saz?? P3 P5 Erinnerung (b Auch auf der Polnomalgebra K[] { a + a + + a n n } is die Ableiung : K[] K[] eine K lineare Abbildung Eigenvekoren sind hier die konsanen Funkionen c K {}, denn es gil c c Für jedes Polnom P K[] vom Grad n ha die Ableiung P den Grad n, is also sicher kein Vielfaches von P, also kein Eigenvekor (c Auch auf der Algebra V 3 { a + + a n n } is die Ableiung : V 3 V 3 eine K lineare Abbildung Diese ha keine Eigenvekoren! Das sind lehrreiche und mahnende Beispiele: Es gib also durchaus lineare Abbildungen ohne Eigenwer (c oder mi unendlich vielen (a Solche Komplikaionen sind ausgeschlossen für jede lineare Abbildung f : V V auf einem endlich-dimensionalen Vekorraum oder einem ungerade-dimensionalen R Vekorraum, wie folgende Rechnung zeig Eigenfunkionen und Eigenvekoren Saz PB (Lösung eines DGSsems durch Eigenfunkionen Gegeben sei eine Mari A n n Zu lösen sei das DGSsem ( A ( Der Vekorraum aller Lösungen : R n ha Dimension n Eigenvekoren v,, v l n mi Av k λ k v k liefern Eigenfunkionen,, l : R n mi k ( e λ k v k Genau dann sind die Eigenfunkionen,, l #linear unabhängig, wenn die Eigenvekoren v,, v l n linear unabhängig sind Genau dann sind,, n eine #Basis des Lösungsraumes der DG, wenn die Vekoren v,, v n eine Basis des Raumes n sind Lezeres heiß auch #Fundamenalssem aus Eigenfunkionen Eigenvekoren von A ensprechen Eigenfunkionen von A, aber es sind verschiedene Objeke: Bie sauber unerscheiden! Anwendungsbeispiel zu Eigenfunkionen ( Wir berechnen das #charakerisische Polnom von A: p A ( de(a E de ( + ( + Die #Eigenwere sind demnach λ und λ Wir suchen #Eigenvekoren Zu λ lösen wir (A λ Ev : v, eine Lösung v Zu λ lösen wir ensprechend (A λ Ev : v, eine Lösung v P7 Wir erhalen das #Fundamenalssem bzw die #Fundamenalmari: ( e, ( e e Y ( e Beide Lösungen sind linear unabhängig, denn de Y ( e P9 Algorihmus zur Berechnung von Eigenvekoren #Aufgabe: Sei V ein Vekorraum über dem Grundkörper K R, ( Was is ein Eigenvekor & -wer einer K linearen Abb f : V V? ( Finden Sie alle EV / EW der Ableiung d/d : V i V i auf V (R, K { f : R K f is beliebig of differenzierbar }, P4 Erinnerung V { a + a + + a n n n N, a, a,, a n K } (R, K, V 3 { a + + a n n n N, a,, a n K } (R >, K Gib es lineare Abbildungen ohne Eigenwer? mi unendlich vielen? Gib es solche eremen Fälle auch für lineare Abbildung f : V V auf einem endlich-dimensionalen Vekorraum? oder R Vekorraum? (3 Erklären Sie den Zusammenhang lineare Abbildung Mari und Eigenvekor / Eigenwer Deerminane charakerisisches Polnom #Lösung: ( Ein #Eigenvekor der K linearen Abbildung f : V V is ein Vekor v V {} mi der Eigenschaf f(v λv für ein λ K Wir nennen dann λ einen #Eigenwer von f, und v einen Eigenvekor zum Eigenwer λ (Der Vekor v besimm den Skalar λ eindeuig Algorihmus zur Berechnung von Eigenvekoren P6 Erinnerung (3 Is V endlich-dimensional, so können wir eine Basis B (v,, v n wählen Jede lineare Abbildung f : V V können wir dann durch ihre Mari A B (f B K n n darsellen Für v u v + + u n v n gil f(v λv genau dann, wenn Au λu gil Dami wird das Problem berechenbar, denn für Marizen können wir die #Deerminane nuzen: v V, v : f(v λv u K n, u : Au λu u K n, u : (A λeu u K n, u : u ker(a λe ker(a λe {} de(a λe Für jede Mari A K n n is p A ( : de(a E K[] ein Polnom vom Grad n über K Wir nennen es das #charakerisische Polnom Unsere Rechnung zeig: Die Nullsellen des Polnoms p A sind genau die Eigenwere von A Dami können wir EW und EV berechnen! Zur Wiederholung siehe Kimmerle Sroppel, Lineare Algebra, 5 Anwendungsbeispiel zu Eigenfunkionen #Aufgabe: Lösen Sie das Differenialgleichungsssem mi AWP { ( ( + (, (, ( ( (, ( ( Welche Srukur ha der allgemeine Lösungsraum? ( Besimmen Sie ein Fundamenalssem aus Eigenfunkionen (3 Wie erhalen Sie hieraus eine allgemeine Lösung : R R? Sabiliä: Wie verhalen sich die Lösungen für? (4 Lösen Sie dami speziell das Anfangswerproblem! #Lösung: ( Dies is eine homogene lineare Differenialgleichung: ( A ( mi A Die Lösungen : R R bilden einen R Vekorraum der Dimension Die Lösungen haben wir zuvor (O39 schon durch scharfes Hinsehen erhalen Mi den Werkzeugen der linearen Algebra können wir diesen Trick jez zu einer ssemaischen Mehode ausbauen! Anwendungsbeispiel zu Eigenfunkionen (3 #Allgemeine Lösung unseres DGSsems ( A (: ( c + c e e c e Y ( c (4 #Spezielle Lösung zu den gegebenen Anfangsdaen:! ( c + c Zu lösen is hierzu das LGS Y ( c (, also c Y ( (: c! c 3/ / c Die gesuche #Lösung des Anfangswerproblems is demnach: ( 3 e 3 e 3 + e Probe: ( (,, e +, e c c P8 P

4 Von Eigenvekoren zu Haupvekoren Eine Mari A n n is #diagonalisierbar, wenn es eine Basis B (v,, v n des n aus #Eigenvekoren gib, also Av k λ k v k Saz??: Jede smmerische / hermiesche Mari is diagonalisierbar! Bezüglich dieser Basis ha die Abbildung v Av die Diagonalgesal λ B (A B λ diag(λ, λ,, λ n λ n Nich jede Mari is diagonalisierbar! Tpisch is der #Jordan Block: λ B λ n n, B λe λ Es gib nich genug Eigenvekoren: ker(b λ e is eindimensional Sadessen haben wir Be k λe k + e k, also eine #Haupvekorkee: B λ B λ B λ B λ e e e n Von Eigenvekoren zu Haupvekoren Definiion P (Haupvekoren Sei A n n eine Mari und λ ein Skalar Eine #Haupvekorkee A λ A λ A λ A λ v v v l beseh aus Vekoren v,, v l n mi (A λv k v k Die Vekoren v, v,, v l sind linear unabhängig Wie Eigenvekoren sind auch Haupvekoren zu verschiedenen Eigenweren unabhängig Saz PD (Jordan Basis einer Mari Zu A n n eisier eine Basis B des n aus Haupvekorkeen Bezüglich dieser Basis B beseh v Av aus Jordan Blöcken: B λ k B (A B B mi B k λ k B m λ k Algorihmus zur Berechnung von Haupvekoren P P3 P5 Sei A n n eine reelle / komplee n n Mari Das charakerisische Polnom p A ( de(a E [] zerfäll über in Linearfakoren: p A ( ±( λ n ( λ l n l mi λ,, λ l und n,, n l N ; hierbei gele λ i λ j für i j Daher eisier zu A n n eine Basis des n aus Haupvekorkeen Ebenso: Sei A R n n eine reelle Mari, und das charakerisische Polnom p A ( de(a E R[] zerfalle in Linearfakoren über R Dann eisier zu A R n n eine Basis des R n aus Haupvekorkeen Wir berechnen im Folgenden Haupvekoren zu jedem Eigenwer λ λ k Zusammen liefern diese die gewünsche Basis aus Haupvekorkeen Dieser Algorihmus beweis somi die Richigkei des obigen Sazes PD (Den Nachweis der Richigkei aller Schrie führen wir hier nich Das Verfahren beseh aus zwei Schrien: Im ersen Schri finden wir sufenweise eine Basis aus Haupvekoren der Sufe s,,, r Im zweien Schri ordnen wir diese Haupvekoren zu Keen Algorihmus zur Berechnung von Haupvekoren v r v v v r m r Haupvekoren r Sufe (A λe v m Haupvekoren Sufe v m Eigenvekoren ( Sufe # Schri: Wir ordnen unsere Haupvekoren zu Keen Wir bilden eine Basis sodass (A λev s i vs i in jeder Sufe s P7 Ausführlich gehen wir nach obigem Schema von oben nach unen vor: Die oberse Sufe v r,, vr m r wurde im Schri bereis berechne m s+ in Sufe s + bereis berechne, so erhalen wir Is v s+,, v s+ v s i : (A λevs+ i und ergänzen zur Basis v s,, vs m s der Sufe s Von Eigenvekoren zu Haupvekoren P Für jede Mari A n n ha das charakerisische Polnom genau n komplee Nullsellen, also p A ( de(a E (λ (λ n Saz??: Für A smmerisch / hermiesch sind alle Eigenwere reell, für jeden simmen algebraische und geomerische Vielfachhei überein, Eigenvekoren zu verschiedenen EW sehen senkrech aufeinander, somi gib es eine Orhonormalbasis des K n aus Eigenvekoren von A Sind alle Nullsellen λ,, λ n verschieden, so is A diagonalisierbar Bei mehrfachen Nullsellen müssen wir genauer hinschauen: In diesem Fall kann A diagonalisierbar sein, muss es aber nich Jordan Block: p B ( (λ n ha die Nullselle λ mi Vielfachhei n Der zugehörige Kern ker(b λe e ha aber nur Dimension : Die geomerische Vielfachhei ( is kleiner als die algebraische (n Deshalb eisier keine Basis des n aus Eigenvekoren von B! Anders gesag: Für die Mari B eisieren nich genug Eigenvekoren, um eine Basis zu bilden Mi der Verallgemeinerung zu Haupvekoren können wir dieses Problem allgemein lösen Die Mari komm zwar nich in Diagonalform, wird aber immerhin so einfach wie möglich Von Eigenvekoren zu Haupvekoren Wir nennen v k einen #Haupvekor k er Sufe Das bedeue: (A λe k v k aber (A λe k v k Die Eigenvekoren v von A sind genau die #Haupvekoren Sufe: (A λe v aber v (A λe v P4 Ein Vekor v mi (A λev v is dann #Haupvekor Sufe Ein Vekor v 3 mi (A λev 3 v is dann #Haupvekor 3 Sufe, usw Daher heißen Haupvekoren auch #verallgemeinere Eigenvekoren Jeder k fache Eigenwer λ erlaub mindesens einen und höchsens k linear unabhängige Eigenvekoren; alle Möglichkeien können aufreen Hingegen eisieren immer k linear unabhängige Haupvekoren! Hieraus folg Saz PD: Es gib eine Basis aus Haupvekorkeen Zur Veriefung siehe Kimmerle Sroppel, Lineare Algebra, Z4 Sei K ein Körper, zb R oder, und sei A K n n eine Mari über K Dann gelen folgende Implikaionen: Das char Polnom ha n verschiedene Nullsellen in K Die Mari is über K diagonalisierbar Es eisier eine Basis des K n aus Eigenvekoren von A Das char Polnom ha n Nullsellen in K Die Mari is über K rigonalisierbar Die Mari is über K jordanisierbar Es eisier eine Jordan Basis des K n aus Haupvekorkeen von A Algorihmus zur Berechnung von Haupvekoren b kr Haupvekoren r Sufe b k Haupvekoren Sufe b b b k Eigenvekoren ( Sufe # Schri: Wir finden sufenweise eine Basis aus Haupvekoren P6 Besimme eine Basis b,, b k des Kerns V ker(a λe Im Falle k n haben wir eine Basis aus Eigenvekoren Andernfalls: Ergänze zu einer Basis b,, b k des Kerns V ker(a λe V Im Falle k n haben wir eine Basis aus Haupvekoren Andernfalls: Ergänze zu einer Basis b,, b kr des Kerns V r ker(a λe r Schließlich gil k r n und wir haben eine Basis aus Haupvekoren Algorihmus zur Berechnung von Haupvekoren P8 Die Abbildung (A λe bilde die Sufe s + injekiv in die Sufe s ab Insbesondere is demnach die Sufe s + niemals breier als die Sufe s Im Schri sind die v s+,, vm s+ s+ in Sufe s + linear unabhängig, und somi auch ihre Bilder vi s : (A λevs+ i in Sufe s Es genüg, diese Vekoren in die besehende Basis einzuauschen gemäß dem Basisausauschlemma von Seiniz Anders gesag: Wir wählen einen Haupvekor höchser Sufe und bilden seine Kee Wir ergänzen durch linear unabhängige Keen bis eine #Basis des Haupraumes H λ ker(a λe r aus Haupvekorkeen gefunden is Diese Konsrukion führen wir für jeden Haupraum H λk ker(a λ k n k aus und erhalen so die ersehne #Jordan Basis zu unserer Mari A Der Begriff und die Berechnung von Haupvekoren mag zunächs komplizier erscheinen, er is aber kaum komplizierer als der Begriff und die Berechnung von Eigenvekoren Hier lohn sich erneu Ihre langfrisige Invesiion in die mahemaischen Grundlagen der HM/! Für Ausführungen und Beispiele siehe Kimmerle Sroppel, Lineare Algebra, Z4

5 Haupfunkionen und Haupvekoren Eine wichige Anwendung von Eigen- und Haupvekoren is die eake Lösung linearer Differenialgleichungssseme ( A (: Saz PE (Lösung eines DGSsems durch Haupfunkionen Gegeben sei A n n Zu lösen sei das DGSsem ( A ( Hierzu sei A λ A λ A λ A λ v v v l eine #Haupvekorkee Diese lös das DGSsem durch die #Haupfunkionen,, l mi [ ] k ( e λ v k + v k + v k + + k (k! v Die Haupvekoren v,, v l n sind linear unabhängig, daher auch die zugehörigen Haupfunkionen,, l : R n, denn k ( v k Wie die Haupvekoren bilden auch die Haupfunkionen eine Kee: A λ A λ A λ A λ l also A k λ k + k, λ λ λ λ l also k λ k + k Anwendungsbeispiel zu Haupfunkionen #Aufgabe: Finden Sie ein Fundamenalssem aus Haupfunkionen zu ( λ A mi A und ( λ B mi B λ λ Wie verhalen sich die Lösungen für und λ <? λ >? λ? #Lösung: ( Die Mari A ha den doppelen Eigenwer λ Eigenvekoren besimmen wir durch (A λv : v, mögliche Lösungen v, v Wir erhalen das Fundamenalssem bzw die Fundamenalmari: ( e λ, ( e λ e λ Y ( e λ Jede andere Basis (v, v des wäre hier ebenso möglich Sie führ zum Fundamenalssem ( e λ v, ( e λ v Eigenvekoren von A ensprechen Eigenfunkionen von A, aber es sind verschiedene Objeke: Bie sauber unerscheiden! Von kompleen zu reellen Lösungen Zur Vereinfachung haben wir bisher alles komple berache Voreil: Jede Mari A n n ha n Eigenwere λ,, λ n Für eine reelle Mari A R n n werden wir im Allgemeinen nich n reelle Eigenwere finden: Wir brauchen auch komplee Eigenwere! Für reelle DGSseme wollen wir aber meis nur reelle Lösungen! Diesen Zusammenhang wollen wir nun klären Lemma PF (Konjugaion von Lösungen Sei A n n Zu lösen sei das DGSsem ( A ( Is : R n Lösung von A, so is Lösung von A Genau dann is die Mari reell, A R n n, wenn A A gil In diesem Fall is mi A auch A eine Lösung Somi sind Re ( + und Im i ( reelle Lösungen Anwendungsbeispiel: komple und reell #Aufgabe: Zu lösen sei das Differenialgleichungsssem { +, (,, ( P9 P3 P33 ( Finden Sie ein komplees Fundamenalssem und ( ein reelles (3 Sabiliä: Wie verhalen sich die Lösungen für? (4 Lösen Sie schließlich das AWP #Lösung: In Mari-Schreibweise gil A mi A Das charakerisische Polnom der Mari A is: λ de(a λe de ( λ + λ + 4λ + 5 λ Die Nullsellen sind λ / ± 4 5 ± i Eigenvekoren? i Zu λ + i: v i, eine Lösung v i i Zu λ i: v i, eine Lösung v i P35 Haupfunkionen und Haupvekoren P3 Is A diagonalisierbar, so können wir unsere Differenialgleichungen vollsändig enkoppeln (PB: Wir finden eine Basis (v,, v n des n aus Eigenvekoren, Av k λ k v k Diese liefer uns sofor eine Basis aus Eigenfunkionen,, n : R n mi k ( e λ k v k Is A nich diagonalisierbar, so doch immerhin noch jordanisierbar: Es eisier eine Basis des Raumes n aus Haupvekoren, und diese liefern eine Basis des Lösungsraumes L aus Haupfunkionen Dami is das zunächs schwierige analische Problem, ein DGSsem ( A ( zu lösen, zurückgeführ auf das einfachere algebraische Problem, Haupvekoren der Mari A zu berechnen Das is miuner mühsam aber lezlich Rouinearbei Es kann insbesondere von ompuer-algebra-ssemen ausgeführ werden Wir erkennen hieran Sabiliä und Langzeiverhalen der Lösungen: Für Re(λ < gil eponenielles Abklingen, k ( für Für Re(λ > gil eponenielles Wachsum, k ( für Für Re(λ is beschränk, aber,, l wachsen polnomiell Anwendungsbeispiel zu Haupfunkionen ( Auch die Mari B ha den doppelen Eigenwer λ Eigenvekoren: v, eine Lösung v Wir suchen daher noch einen Haupvekor v über v : v v, eine Lösung v Wir erhalen das Fundamenalssem bzw die Fundamenalmari: ( ( e λ, ( e λ e λ e Y ( λ e λ Andere Wahlen sind möglich: Jeder Vekor v (a, mi a is Eigenvekor, und jeder Vekor v (b, a lieg darüber als Haupvekor ( ( e λ a, ( e λ a + b a e λ (a + b e Y ( λ a a e λ Haupvekoren von A ensprechen Haupfunkionen von A, aber es sind verschiedene Objeke: Bie sauber unerscheiden! Von kompleen zu reellen Lösungen Saz PG (reelle Lösungen Gegeben sei A R n n Zu lösen sei das DGSsem ( A ( Sei A λ A λ A λ v v l eine Haupvekorkee zu λ σ + iω Dann is A λ A λ v v l eine Haupvekorkee zu λ σ + iω Somi ha das DGSsem folgende l #reelle Lösungen Re k ( e σ Re (e [v iω k + v k + ] v k + + k (k! v, Im k ( e σ Im (e [v iω k + v k + ] v k + + k (k! v P3 P34 Im Falle ω sind diese l Lösungen linear unabhängig (Im Falle ω erhalen wir nur eine Kee von l linear unabhängige Lösungen Wir erkennen hieran Sabiliä und Langzeiverhalen der Lösungen, wie oben erklär, je nach Vorzeichen σ > oder σ < oder σ Anwendungsbeispiel: komple und reell ( Komplees Fundamenalssem des DGSsems: u ( e ( +i e + cos + i sin, u i sin + i cos ( e ( i i ( Reelles Fundamenalssem des DGSsems: ( Re u ( e cos, sin ( Im u ( e sin cos (3 Die allgemeine reelle Lösung kling eponeniell ab: ( Y ( c e cos sin c mi sin cos c c ( c c R (4 Spezielle Lösung zu den gegebenen Anfangsdaen: c! ( ( e cos + sin cos sin Dies lös das Anfansgwerproblem Machen Sie die Probe! P36

6 Anwendungsbeispiel: gekoppele Schwingungen #Aufgabe: Zu lösen sei folgende Bewegungsgleichung: 3 k+k k 4 m m 3 k m k+k3 m 4 ( Finden Sie ein komplees Fundamenalssem und ( ein reelles (3 Sabiliä: Wie verhalen sich die Lösungen für? (4 Lösen Sie schließlich das AWP ( (,,, #Lösung: Wir erkennen das Modell von zwei gekoppelen Oszillaoren: k m k m k 3 ( ( Dieses Ssem kann man nach obigem Schema lösen: char Polnom, Eigenwere, Eigenvekoren, Diese Daen müssen nich müsahm neu berechne werden, denn hier kennen wir die Lösung bereis! Eigen-/Haupfunkionen und Sabiliä #Aufgabe: (Klausur Sepember 3 Wir unersuchen das lineare Differenialgleichungsssem ( A ( mi der Koeffizienenmari A sowie v / i, v 3, v 4 ( Berechnen Sie die Vekoren Av, Av, Av 3, Av 4 und schreiben Sie jeden als Linearkombinaion bezüglich der Basis B (v, v, v 3, v 4 ( Schreiben Sie die Abbildung A als Mari B B (A B und lesen Sie das char Polnom p A ( ( λ ( λ ( λ 3 ( λ 4 ab (3 Besimmen Sie zu ( A ( ein reelles Fundamenalssem,, 3, 4 : R R 4 mi Anfangsweren ( (,,, (v + v und ( (,,, i (v v sowie 3 ( v 3 und 4 ( v 4 (4 Sabiliä: Wenn Sie zufällig (seig vereil einen Sarvekor ( R 4 nahe Null wählen und die zugehörige Lösung von ( A ( verfolgen, wie verhäl sich ( für? Eigen-/Haupfunkionen und Sabiliä #Lösung: ( Die vorgeschlagene Rechnung ergib folgendes: i iv i v Av +v, Av +v 3 iv, +v 3 +v 4 +v 4 v v Av 3 +v, Av 4 +v 3 +v +v 3 +v 4 +v 4 Diese einfache Rechnung bescher uns wervolle Informaionen: Der Vekor v is ein Eigenvekor von A zum Eigenwer +i Der Vekor v is ein Eigenvekor von A zum Eigenwer i Der Vekor v 3 is ein Eigenvekor von A zum Eigenwer, darüber lieg der Haupvekor v 4 zweier Sufe Diese Vekoren sind linear unabhängig: Sie bilden eine Basis des 4 Eigen-/Haupfunkionen und Sabiliä Unsere Vorarbei ( sezen wir in unsere #Lösungsformeln ein: (3 Zwei komple-konjugiere Lösungen R 4 sind e i v und e i v Die gegebenen reellen AWP führen zu reellen Lösungen: cos (! (v + v ( ] [e i v + e i v sin, (! i (v v ( i [e i v e i v ] sin cos Eigen- & Haupvekor zum Eigenwer liefern direk reelle Lösungen: + 3 ( e v 3, 4( e (v 4 + v P37 P39 P4 P43 Anwendungsbeispiel: gekoppele Schwingungen ( Wir kennen ein Fundamenalssem kompleer Eigenfunkionen: e iω iω iω, e iω iω iω, eiω iω iω, e iω iω iω Die Frequenzen sind hierbei ω k /m und ω (k + k /m Diese Lösung bescher uns nebenbei die Eigenvekoren der Mari A Eigenwere ±iω und ±iω, char Polnom p A ( ( + ω ( + ω ( Wir erhalen ein Fundamenalssem reeller Eigenfunkionen: cos(ω sin(ω cos(ω cos(ω sin(ω cos(ω ω sin(ω ω sin(ω, ω cos(ω ω cos(ω, ω sin(ω ω sin(ω, sin(ω sin(ω ω cos(ω ω cos(ω (3 Für bleib jede Lösung c + + c 4 4 beschränk (4 Das AWP ( (,,, wird gelös durch ( ( + 3 ( Eigen-/Haupfunkionen und Sabiliä P38 P4 Es is für diesen Aufgabenp nich sinnvoll, blind und sur nach Schema loszurechnen: char Polnom, Eigenwere, Eigenvekoren, Dieser lange Weg is nöig, wenn man außer der Mari nichs weiß Diese Daen müssen jedoch nich müsahm neu berechne werden, wenn alle wesenlichen Daen bereis vorliegen! Hierzu dienen ( und ( Es is hier (wie fas immer im Leben geschicker und effiziener, die bereis vorliegende Informaion zu versehen und auszunuzen Zu (3: Hier können und sollen Sie unsere Lösungsformeln anwenden Zu (4: Der Sarpunk ( is ein Fipunk dieses dnamischen Ssems, der weiere Verlauf is offensichlich ( für alle Anfangsdaen sind of zufälligen kleinen Schwankungen unerworfen, ewa durch kleine äußere Sörungen oder ungenaue Messdaen Wir berachen daher einen zufälligen Sarwer ( nahe Null Enscheidend is das Langzeiverhalen von ( für : Gil Abklingen (? eponeniell? Gil Beschränkhei < a ( b <? Gil Wachsum k (? eponeniell? polnomiell? Eigen-/Haupfunkionen und Sabiliä Der Haupvekor Sufe zeig, dass A nich diagonalisierbar is! Das Ergebnis aus ( wird besonders übersichlich gebündel, wenn wir A bezüglich unserer Basis B (v, v, v 3, v 4 schreiben ( Bezüglich der Basis B (v, v, v 3, v 4 finden wir die #Jordan Form: i B B (A B i Die Marizen B sind #konjugier Hieraus folg das char Polnom p A ( p B ( ( i( + i( 4 + Alernaiv könne man p A ( de(a E enwickeln, fakorisieren, Eigen/Haupvekoren finden Das is länglich und viel mühsamer Hier gil wie allgemein immer: Es is geschicker und effiziener, die bereis vorliegende Informaion zu versehen und auszunuzen Eigen-/Haupfunkionen und Sabiliä Jede Funkion,, 3, 4 : R R 4 lös die Gleichung A : Man seze sie ein und mache die Probe! Sie erfüllen zudem die gewünschen #Anfangsbedingungen ( (,,, (v + v und ( (,,, i (v v sowie 3 ( v 3 und 4 ( v 4 (4 Zur Sabiliä unersuchen wir das Verhalen für Die Lösungen,, 3 sind beschränk, hingegen gil 4 ( Für jede Lösung ( c ( + c ( + c 3 3 ( + c 4 4 ( mi c 4 gil somi ( für Der Fipunk is demnach insabil Bei zufälliger Wahl des Sarwers ( sind mi Wahrscheinlichkei alle Koeffizienen c, c, c 3, c 4 ungleich Null, also gil ( Der Sarpunk ( is ein Fipunk dieses dnamischen Ssems Er is jedoch nich sabil, denn eine zufällige Sörung wird im Verlauf immer größer und führ von weg (Eine seige Vereilung ensprich einer Wahrscheinlichkeisdiche ϕ : R 4 R mi R 4 ϕ( d Im vorliegenden Beispiel is das Wachsum 4 ( für nich eponeniell, sondern nur linear, also vergleichweise langsam P4 P44

7 Eigen-/Haupfunkionen und Sabiliä #Aufgabe: (Klausur Februar 3 Wir unersuchen das lineare Differenialgleichungsssem ( A ( mi der Koeffizienenmari A sowie v und w i ( Berechnen Sie u Av und Au sowie Aw Besimmen Sie hieraus eine Basis B des 4 besehend aus Haupvekorkeen von A ( Schreiben Sie die Abbildung A als Mari B B (A B und lesen Sie das char Polnom p A ( ( λ ( λ ( λ 3 ( λ 4 ab (3 Besimmen Sie zu ( A ( ein reelles Fundamenalssem,, 3, 4 : R R 4 mi Anfangsweren u, v, e, e 4 R 4 (4 Sabiliä: Wenn Sie zufällig (seig vereil einen Sarvekor ( R 4 nahe Null wählen und die zugehörige Lösung von ( A ( verfolgen, wie verhäl sich ( für? Es gelen alle Tipps und Warnungen der vorigen Aufgabe Eigen-/Haupfunkionen und Sabiliä Unsere Vorarbei ( sezen wir in unsere #Lösungsformeln ein: (3 Eigen-&Haupvekor zum Eigenwer liefern reelle Lösungen: + ( e u, ( e (v + u + Zwei komple-konjugiere Lösungen R 4 sind e i w und e i w Hieraus erhalen wir zwei reelle Lösungen als Real-/Imaginäreil: cos [ ] 3 ( Re e i w [ ] e i w + e i w, sin [ ] 4 ( Im e i w i [ ] e i w e i w Haupvekoren sind Dein Freund! sin cos #Aufgabe: Wir lösen das Differenialgleichungsssem ( A (, 3 A 3, u, v ( Welche Beziehung gil zwischen Eigenweren, r(a und de(a? Das char Polnom is hier p A ( (λ 5 Besimmen Sie λ ( Is u Haupvekor? Welcher Sufe? Lösen Sie A mi ( u (3 Is v Haupvekor? Welcher Sufe? Lösen Sie A mi ( v (4 Besimmen Sie eine Basis des R 5 aus Haupvekorkeen und dami ein Fundamenalssem der Differenialgleichung A #Lösung: ( Es gil r(a λ + + λ n und de(a λ λ n Das is offensichlich für A n n diagonal oder in Jordan Form, und jede Mari A n n läss sich in diese Form konjugieren (PD Hier is λ fünffacher Eigenwer: Es gil 5λ r(a, also λ Haupvekoren sind Dein Freund! P45 P47 (3 Wir besimmen ebenso die #Sufe des Haupvekors v: 3 A A 4 A A A : v 5 : v 4 : v 3 : v : v Hieraus erhalen wir die spezielle Lösung von A mi ( v: / + 4 /4! ( e + / 3 +4 / 3 /3! / 3 /3! + 4 /4! 5 + / 3 /3! (4 #Basis des Lösungsraums: Die oben gefundene Haupvekorkee A λ A λ v v 5 liefer die Haupfunkionen,, 5 : R R 5 : [ ] k ( e λ v k + v k + v k + + k (k! v P49 P5 Eigen-/Haupfunkionen und Sabiliä #Lösung: ( Die vorgeschlagene Rechnung bescher uns folgendes: i Av u, Au, Aw iw, Aw iw P46 Somi is u ein EV zum EW, und hierüber v ein Haupvekor Sufe Weiers is w ein EV zum EW i Da A reell is, gil Aw Aw iw iw Somi is w ein EV zum EV i Das bescher uns die Basis u, v, w, w ( Bezüglich der Basis B (u, v, w, w finden wir die #Jordan Form: B B (A B i i Wir lesen die Eigenwere,, i, i ab Das char Polnom is p A ( p B ( ( ( ( i( + i 4 + Alernaiv kann man de(a E direk enwickeln Versuchen Sie es! Eigen-/Haupfunkionen und Sabiliä Jede Funkion,, 3, 4 : R R 4 lös die Gleichung A : Man seze sie ein und mache die Probe! Sie erfüllen die gewünschen #Anfangsbedingungen: ( u, ( v, 3 ( e, 4 ( e 4 (4 Zur Sabiliä unersuchen wir das Verhalen für Die Lösungen, 3, 4 sind beschränk, hingegen gil ( Für jede Lösung ( c ( + c ( + c 3 3 ( + c 4 4 ( mi c gil somi ( für Der Fipunk is demnach insabil Bei zufälliger Wahl des Sarwers ( sind mi Wahrscheinlichkei alle Koeffizienen c, c, c 3, c 4 ungleich Null, also gil ( Der Sarpunk ( is ein Fipunk dieses dnamischen Ssems Er is jedoch nich sabil, denn eine zufällige Sörung wird im Verlauf immer größer und führ von weg (Eine seige Vereilung ensprich einer Wahrscheinlichkeisdiche ϕ : R 4 R mi R 4 ϕ( d Im vorliegenden Beispiel is das Wachsum ( für nich eponeniell, sondern nur linear, also vergleichweise langsam Haupvekoren sind Dein Freund! ( Es gil A E Wir besimmen zunächs die #Sufe des Haupvekors u: u A A A A : u 4 : u 3 : u : u Hieraus erhalen wir die spezielle Lösung von A mi ( u: + 3 /3! ( e + / + / 3 /3! + / Haupvekoren sind Dein Freund! #Aufgabe: (Wir unersuchen weierhin die Daen der vorigen Aufgabe (5 Sabiliä: Wie verhalen sich hier pische Lösungen für? (6 Welche Dimension ha der Haupraum 4 Sufe U ker(a λe 4? (7 Wählen Sie zufällig (seig vereil einen Vekor w R 5 und berechnen Sie seine Sufe Mi welcher Wk is er fünfer Sufe? #Lösung: (5 Für gil (, pischerweise e 4 /4! (6 Zu (A E 4 v 5 gehör die Haupvekorkee der Länge 5: A v A v A v 3 A v 4 A v 5 Der Unerraum U Rv + Rv + Rv 3 + Rv 4 ha also Dimension 4 (7 Mi % Wahrscheinlichkei is w ein Haupvekor 5 Sufe! Fas jeder Vekor v R 5 is hier von 5 Sufe: Alle Haupvekoren der Sufe 4, 3,, und der Nullvekor liegen in der Hperebene U Wenn wir also zufällig (seig vereil einen Vekor w R 5 wählen, dann lieg w mi Wahrscheinlichkei im Unerraum U P48 P5 P5

8 Gleichgewichslagen und Sabiliä P Gleichgewichslagen und Sabiliä P Die Abbildungen der vorigen Folie zeigen anschauliche Beispiele von Fipunken und illusrieren ihre Sabiliä bzw Insabiliä Anfangsdaen sind of zufälligen kleinen Schwankungen unerworfen, ewa durch kleine äußere Sörungen oder ungenaue Messdaen Der Fipunk is sabil / arakiv Der Fipunk is insabil / repulsiv Wir wollen das Langzeiverhalen in der Nähe von Fipunken versehen Hier gil ( f ((, für ( + u( also u ( f ( u( kriischer Fipunk (höhere Ordnung Gil Abklingen u(? eponeniell? Gil Beschränkhei < a u( b <? Gil Wachsum u(? eponeniell? polnomiell? Insabile Fipunke sind pischerweise Opfer des Schmeerlingseffeks: Sie zeigen eine erem sensible Abhängigkei von den Anfangsdaen! Tpischerweise können kleine Sörungen eponeniell anwachsen! Beispiele wie ( ( zeigen, dass dies asächlich vorkomm Für die mögliche Eplosion kleiner Abweichungen gib der Saz?? eine eponenielle Schranke (uner rech milden Bedingungen Technische Anwendungen erfordern meis sabile Gleichgewiche! Dnamik eindimensionaler auonomer Sseme P3 Dnamik eindimensionaler auonomer Sseme ( Wir unersuchen ( a ( mi ( und a R Welches asmpoische Verhalen haben die Lösungen für? ( Welches Verhalen erwaren Sie für eine nich-lineare Gleichung ( f (( mi ( und f (? Is ein Fipunk? Für kleine Auslenkungen ( + u( können wir linearisieren: Welche lineare Differenialgleichung u ( a u( erhalen Sie? #Aufgabe: P4 a a> insabiler Fipunk ( Dieses AWP ha als eindeuige Lösung ( ea Die Dnamik eindimensionaler linearer Sseme is sehr einfach: a > sreck; Sörungen werden eponeniell versärk Der einzige Fipunk is #insabil a < sauch: Sörungen werden eponeniell gedämpf Der einzige Fipunk is #sabil Im Falle a is jeder Sarpunk ein Fipunk a a #Lösung: a a< sabiler Fipunk ( Nich-lineare Sseme sind wesenlich komplizierer! In der Nähe eines Fipunkes können wir linearisieren und annähernd eine #lineare Dnamik erwaren Diese Technik wird im Folgenden ausgeführ P5 Wir berachen ein #auonomes Differenialgleichungsssem: n Hierbei sei f : R G R ein seig differenzierbares Vekorfeld Die reche Seie f ( häng nich eplizi von der Zei ab, daher #auonom Zu jedem Sarpunk G eisier eine eindeuige Lösung : [, T [ G für T > mi ( und ( f (( für [, T [ Für das maimale T gil enweder T oder f ( G { } für % T < Jeder Sarpunk mi f ( is ein #Fipunk (Gleichgewichslage Sei : [, T [ G die Lösung zum Sarpunk ( mi ( f (( für alle [, T [ Genau dann herrsch Konsanz ( für alle [, T [, wenn f ( gil (Ruhelage Die #Sabiliäsheorie unersuch die Auswirkung von Sörungen, die als Abweichung von Gleichgewichszusänden dnamischer Sseme aufreen, ewa in der Technischen Mechanik nich-linear ( f (( linear u ( A u( Linearisierung vereinfach die ursprüngliche Gleichung enorm! Jede Lösung dieser Approimaion is von der Form u( ea u Zu Eigenweren λ σ ± iω gehören #Eigenfunkionen der Form u( eσ cos(ωv + sin(ωv Der allgemeine Fall von #Haupfunkionen wurde oben ausgeführ Dami erkennen wir die #Sabiliä des Fipunkes: Re(λ < sauch; kleine Sörungen werden eponeniell gedämpf Der Fipunk is #sabil, wenn Re(λ < für alle Eigenwere gil Die #Jacobi Mari A f ( Rn n von f beschreib das Verhalen um den Fipunk : Wir erhalen als Näherung die lineare Differenialgleichung u ( A u( Hierdurch erhalen lineare Differenialgleichungssseme mi konsanen Koeffizienen ihre zenrale Bedeuung! P7 Dnamik zweidimensionaler auonomer Sseme sabiler Fipunk zenrale Epansion oder Spiral-Konrakion Spiral-Epansion < < > nodale Konrakion ellipische Transformaion parabolische Konrakion lineare Konrakion Diskriminane (r A de A 4 P8 insabiler Fipunk de zenrale Konrakion oder Erinnerung?? : Hier bedeue B, dass die Mari A zu B konjugier is, das heiß, es gil B T AT für eine geeignee Basiswechselmari T GL R Dies beschreib den Übergang zur neuen Basis aus Eigen-/Haupvekoren, in der sich das Problem wesenlich einfacher darsell Der Grenzfall Re(λk bedarf genauerer Analse (höhere Ordnung Wir unersuchen das Ssem u ( A u( zu einer Mari Ap R Polnom de(a E a + q, Eigenwere λ, a ± a q Spur r(a a, Deerminane de(a q, Diskriminane a q #Aufgabe: Skizzieren Sie die Dnamik je nach Lage der Eigenwere (4 Fälle und unersuchen Sie das Verhalen von u( für Gil Abklingen u(? eponeniell? Gil Beschränkhei < a u( b <? Gil Wachsum u(? eponeniell? polnomiell? #Lösung: Wir unerscheiden zunächs reelle und komplee Eigenwere: a b a < q: komple-konjugier λ, a ± ib, A b a λ a > q: zwei reelle Eigenwere λ < λ, A λ λ λ a q: ein doppeler Eigenwer λ, A oder λ λ Re(λ > sreck; kleine Sörungen werden eponeniell versärk Der Fipunk is #insabil, wenn Re(λ > für einen Eigenwer gil u f ( f ( + u f ( + f ( u A u Für kleine Auslenkungen ( + u( können wir #linearisieren: Dnamik zweidimensionaler auonomer Sseme P6 Kleine Auslenkungen aus der Ruhelage folgen näherungsweise dem linearen DGSsem mi konsaner Ssemmari A f ( : ( f (( n Sabiliä von Fipunken > Sabiliä von Fipunken nodale Epansion r parabolische Epansion Scherung oder Ideniä lineare Epansion Michael Eisermann Universiä Sugar hperbolische Transformaion hperbolische Transformaion

9 Wirbelpunk: ellipische Transformaion P9 Insabiler Srudel: Spiral-Epansion P Komplee Eigenwere λ, ±ib Komplee Eigenwere λ, a ± ib, a > Allgemeiner ( Fall b b Konkrees ( Beispiel A Fundamenalmari cos sin e A sin cos Allgemeiner ( Fall a b b a Konkrees ( Beispiel 3 A 3 Fundamenalmari cos sin e 3 sin cos Sabiler Srudel: Spiral-Konrakion Insabiler Knoen: nodale Epansion Komplee Eigenwere λ, a ± ib, a < Allgemeiner ( Fall a b b a Konkrees ( Beispiel 3 A 3 P Fundamenalmari cos sin e 3 sin cos P3 Sabiliä und Eigenwere P Die ersen drei Fälle komple-konjugierer Eigenwere zeigen bereis den Einfluss auf das Langzeiverhalen und die Sabiliä der Lösungen: Re(λ < sauch; kleine Sörungen werden eponeniell gedämpf Der Fipunk is #sabil, wenn Re(λ < für alle Eigenwere gil Re(λ > sreck; kleine Sörungen werden eponeniell versärk Der Fipunk is #insabil, wenn Re(λ > für einen Eigenwer gil Wir diskuieren die verbleibenden Fälle reeller Eigenwere λ λ : Im Falle λ < λ unerscheiden wir fünf Fälle je nach Lage zu : Die Mari A is hierbei wegen λ λ immer diagonalisierbar Im Falle λ λ unerscheiden wir drei Fälle je nach Lage zu : Im einfachsen Falle is diag(λ, λ diagonalisierbar (drei Fälle; andernfalls nuzen wir Haupvekoren und die Jordan Form (drei Fälle Dank unserer gründlichen Vorarbei zu Eigen- und Haupvekoren können wir alle 4 Fälle vollsändig lösen und übersichlich darsellen Dami geling die Klassifikaion zweidimensionaler linearer Dnamik Sabiler Knoen: nodale Konrakion P4 Zwei reelle Eigenwere < λ < λ Allgemeiner ( Fall λ λ Konkrees ( Beispiel 5 A Fundamenalmari e e A / e Zwei reelle Eigenwere λ < λ < Allgemeiner ( Fall λ λ Konkrees ( Beispiel A 5 Fundamenalmari e e A e / Saelpunk: hperbolische Transformaion P5 Zwei reelle Eigenwere λ < < λ Allgemeiner ( Fall λ λ Konkrees ( Beispiel A Fundamenalmari e e A e Eigenwere und Eigenvekoren P6 Die hier illusrieren Beispiele zeigen die pische ebene Dnamik um den Fipunk (, R im ellipischen und im hperbolischen Fall: Die Eigenwere gegen Auskunf über Dnamik und Sabiliä! Sind beide Eigenwere posiiv, so erhalen wir eine Epansion, pischerweise zwei Eigenräume / Achsen: langsam und schnell Sind beide Eigenwere negaiv, so erhalen wir eine Konrakion, pischerweise zwei Eigenräume / Achsen: langsam und schnell Is einer negaiv und einer posiiv, so erhalen wir eine sabile und eine insabile Richung, wie im hperbolischen Fall gezeig Die nächsen Folien zeigen schließlich alle Rand- und Sonderfälle Zur Vereinfachung nehmen wir (, und (, als die Eigenvekoren der Ssemmari A an; für die qualiaive Beschreibung genüg dies Unsere Darsellung wird hierdurch einfacher und übersichlicher Im Allgemeinen liegen diese beiden Achsen beliebig in der Ebene; sie sind pischerweise verdreh und sehen nich senkrech aufeinander Nach Koordinaenwechsel enseh das hier gezeige, einfache Bild Die Aufgabe auf Seie P4 zeig ein realisisches Beispiel

10 Lineare Epansion P7 Lineare Konrakion P8 Zwei reelle Eigenwere λ < λ Zwei reelle Eigenwere λ < λ Allgemeiner ( Fall λ Allgemeiner ( Fall λ Konkrees ( Beispiel A Konkrees ( Beispiel A Fundamenalmari e A e Fundamenalmari e e A Zenrale Epansion P9 Zenrale Konrakion P Doppeler Eigenwer λ > Doppeler Eigenwer λ < Diagonalisierbarer Fall λ λ Diagonalisierbarer Fall λ λ Konkrees ( Beispiel A Konkrees ( Beispiel A Fundamenalmari e e A e Fundamenalmari e e A e Insabiler Knoen: parabolische Epansion P Sabiler Knoen: parabolische Konrakion P Doppeler Eigenwer λ > Nich-diagonalisierbar λ λ Konkrees ( Beispiel A Fundamenalmari ( e e A e e Doppeler Eigenwer λ < Nich-diagonalisierbar λ λ Konkrees ( Beispiel A Fundamenalmari ( e e A e e Scherung P3 Doppeler Eigenwer λ Nich-diagonalisierbar Konkrees ( Beispiel A Fundamenalmari e A Diagonalisierbar oder nich diagonalisierbar? P4 Für jede Mari A R mi doppelem Eigenwer λ gil λ R sowie λ λ enweder oder λ λ Im ersen Fall eisier eine Basis des R aus Eigenvekoren von A Die Mari A wird hierdurch diagonalisier Es gil dann: e e λ Andernfalls eisier eine Haupvekorkee der Länge Diese nuzen wir als Basis des R und erhalen obigen Jordan Block Es gil dann: e e λ Dank unserer gründlichen Vorarbei zu Eigen- und Haupvekoren können wir alle 4 Fälle vollsändig lösen und übersichlich darsellen Nach demselben Schema können wir n dimensionale auonome Sseme analsieren: Fipunke, Linearisierung, Eigenwere, Sabiliä

11 Räuber-Beue-Modell nach Loka Volerra Räuber-Beue-Modell: { ẋ α β : f (, ẋ α + β : f (, Größe Bedeuung Beispiel Zei Jahre ( Anzahl der Beueiere Hasen/Mio ( Anzahl der Raubiere Luchse/Tsd α > Reprodukionsrae der Beue (ohne Räuber 8/Jahr β > Serberae der Beue pro Räuber 4/Jahr α > Serberae der Räuber (ohne Beue 6/Jahr β > Reprodukionsrae der Räuber pro Beue /Jahr Dieses DGSsem beschreib die Enwicklung großer Beue- und Räuberpopulaionen, also zwei Gruppen von Lebewesen, wobei die zweie sich von der ersen ernähr Beispiel: Fangaufzeichnungen der Hudson Ba ompan zeigen über 9 Jahre einen 9jährigen Zklus Formulier und unersuch wurde dieses Modell 95 von Alfred Loka und unabhängig 96 von Vio Volerra, seiher dien es als Grundlage der Populaionsdnamik in der Biologie Die quadraischen Terme ensprechen dem Massenwirkungsgesez der hemie, siehe?? Epidemien folgen einer ähnlichen Dnamik, man unersuch und nuz dies für Impfungen Mechanische Sseme mi nich-linearen Rückkopplungen gehorchen ähnlichen Gleichungen Räuber-Beue-Modell nach Loka Volerra (Länge/ P5 P7 Räuber-Beue-Modell nach Loka Volerra Räuber-Beue-Modell: { ẋ 8 4 : f (, ẋ 6 + : f (, #Aufgabe: ( Skizzieren Sie den Zusandsraum und das Vekorfeld Eisier zu jedem Sarwer ( R eine Lösung (? eindeuig? ( Was folg aus (? aus (? Wo liegen Fipunke? Skizzieren Sie Lösungen zu ( 3 und (, 8,, (3 Is das Ssem linear? Wie / Können Sie Lösungen berechnen? (4 Linearisieren & lösen Sie für kleine Sörungen des Gleichgewichs Wie lange dauer eine Periode? Wie verlässlich is das lineare Modell? (5 Das Poenial Φ : β α ln + β α ln erfüll Φ (6 Erse Loka Volerra Regel, Periodiziä der Lösungen: Beide Populaionensgrößen enwickeln sich periodisch (7 Zweie Loka Volerra Regel, Konsanz der Mielwere: Die zeilichen Mielwere sind α /β und α /β (8 Angenommen, der Mensch häl die Beueiere für Schädlinge Im Zusand (3, werden sie gejag und auf (, reduzier Erfolg? Räuber-Beue-Modell nach Loka Volerra ( P6 P8 Jedem Maimum der Beuepopulaion folg eins der Jägerpopulaion ( Räuber-Beue-Modell: Linearisierung #Lösung: ( Wir nuzen den E&E-Saz: f is seig differenzierbar α f β f α β β α + β β α + β Zu jedem ( R eisier genau eine Lösung mi ẋ( f(( ( Aus ( folg ( und ( e α ( für alle Aus ( folg ( und ( e α ( für alle Die Fipunke ẋ f(! sind (, und (α /β, α /β (3, (3 Dieses Ssem is nich linear! Lösungen können wir (hier wie meis nur numerisch berechnen Wie skizzier, Runge Kua sei Dank!?? (4 Wir linearisieren um (α /β, α /β Für ( + u( gil: u ẋ f( f( + u f( + f ( u A u Die Jacobi Mari A R beschreib das Verhalen um den Fipunk: ( A f ( f α /β α β /β α /β α β /β Räuber-Beue-Modell: Poenialfläche Poenial Φ β α ln + β α ln P9 P3 Räuber-Beue-Modell: Linearisierung Nich-linear is schwer, doch #lineare Sseme lösen wir leich: α β p A ( de(a E de /β + α α β /β α Eigenwere: λ +i α α +iω, λ i α α iω ( ( α β Eigenvekoren: v /β i α β, v /β α β /β +i α β /β Eigenfunkionen: u ( e λ v, u ( e λ v Für unser reelles Ssem verlangen wir #reelle Lösungen: ( ( cos(ω α β Re u ( /β sin(ω sin(ω α β, Im u ( /β α β /β cos(ω α β /β Die Kreisfrequenz ω α α bedeue Periodendauer T π/ω Im Beispiel is α 8 und α 6, also ω 69 und T 97 Plausibel: Für kleine Sörungen deck sich das mi obigen Skizzen Große Sörungen und Langzeiverhalen erfordern weiere Argumene! Räuber-Beue-Modell: Periodiziä (5 Für das Poenial Φ : β α ln + β α ln gil P3 P3 Φ β ẋ α ẋ / + β ẋ α / (β α / (α β + (β α / ( α + β (6 Jede Lösung in R > schließ sich deshalb nach einer Zei T > : Dank Saz PA ha sie Periode T (Diese häng vom Sarwer ab (7 Die zeilichen Mielwere der Populaionsgrößen sind ˆ T : ( d und : T T Aus den beiden Differenialgleichungen folg: β α T α β T ˆ T β ( α d T ˆ T α β ( d T ˆ T ˆ T ˆ T ( d ẋ ( [ ln ( d ( T ẋ ( [ ln ( d ( T ] T ] T Das bedeue α /β und α /β Ersaunlich: Der Mielwer der Beuepopulaion häng nich von deren Reprodukionsrae ab!

12 Poeniale: Lösungen als Niveaulinien P33 Das Poenial und seine Niveaulinien Φ(, cons sind der Schlüssel zur eaken Lösung des Räuber-Beue-Modells, wie zuvor schon des hamonischen Oszillaors O und des mahemaischen Pendels?? Dasselbe nuzen wir sei Kapiel M für eake Differenialgleichungen Wir wollen daher unsere guen Erfahrungen mi dieser Mehode zusammenfassen und zu einem allgemeingüligen Saz bündeln Zu lösen sei das #auonome Differenialgleichungsssem (ẋ( ( f ẏ( ( Hierbei sei f : R G R ein seiges Vekorfeld in der Ebene Wir haben zudem ein Poenial Φ : R G R, das enlang jeder Lösung zeilich konsan is, das heiß, die Ableiung verschwinde: d d Φ ( ( ( Φ ( ẋ + Φ ( ẏ grad Φ Geomerisch: Genau dann is Φ : G R ein Poenial, wenn das Vekorfeld f und das Gradienenfeld grad Φ überall senkrech sehen Periodiziässaz: gefangen im Poenialopf ( f ( P35 In Anwendungen verhalen sich viele dnamische Sseme periodisch: harmonischer Oszillaor, mahemaisches Pendel, Loka Volerra, ec Der folgende Saz erklär dies ganz allgemein für zweidimensionale Sseme mi Poenial: Kompake Niveaulinien sind geschlossen! Saz PA (Periodiziässaz zweidimensionaler Dnamik Sei f : R G R ein seiges Vekorfeld und Φ : G R seig differenzierbar Zu a b sei K { (, G a Φ(, b } kompak und liege ganz im Inneren G des Definiionsbereichs G In jedem (, K sei (f(,, grad Φ(, eine Orhogonalbasis, also f(, und grad Φ(, und f(, grad Φ(, Dann sind Niveaulinien von Φ : K R geschlossene Lösungskurven: Jeder Sarwer ((, ( K führ zu einer eindeuigen periodischen Lösung (, : R G mi (ẋ, ẏ f(, Das heiß, es gib T >, sodass (( + T, ( + T ((, ( für alle R gil Die Voraussezungen sind geomerisch anschaulich und in unseren Anwendungen leich zu prüfen Wir erhalen periodische Lösungen! Ein einfaches nich-lineares DGSsem insabiler Fipunk, hperbolisch Ein einfaches nich-lineares DGSsem #Lösung: (a Fipunke sind die Nullsellen des Vekorfeldes: ẋ 4! ẏ 3! P37 ẋ 4 ẏ 3 (Länge/5, ma sabiler Fipunk, nodal P39 Die erse Gleichung bedeue 4, einsezen in die zweie ergib: {, 3} Die beiden einzigen Fipunke sind daher (, 3 und (3, Probe! (b Wir berechnen die Jacobi Mari in jedem der beiden Fipunke: 4 f f 3 { f de <, r : 3 3 insabil! genauer: hperbolisch { f 3 de + >, r 4 < : 3 sabil! genauer: nodale Konrakion Vergleich mi der obigen Skizze: Das ensprich der Anschauung! Poeniale: Lösungen als Niveaulinien #Beispiel: Zu f ( ( α β α +β P34 nuze g ( f ( ( α β α β Es gil f g aber leider ro(g Der inegrierende Fakor / liefer g ( ( β α / β α / mi ro( g, also g grad Φ Dami finden leich das ersehne Poenial Φ ( β α ln + β α ln Jede Lösung [, ] R : ((, ( ha konsanes Poenial und is somi gefangen auf ihrer #Niveaulinie { (, Φ(, cons } Die oben genannen Beispiele illusrieren dies sehr eindrücklich: Ein solches Poenial is hilfreich und liefer uns die Lösungskurven als Niveaulinien (zunächs implizi und zeilich nich paramerisier Man nenn dies auch ein #erses Inegral der Differenialgleichung Diese radiionelle Bezeichnung samm aus Zeien als man versuche, alle Differenialgleichungen durch solcherar Inegraion zu lösen Dami wir wirklich eine Niveaulinie erhalen (und kein Plaeau oder schlimmeres, fordern wir grad Φ(, Dami die Lösung nirgends sehen bleib, fordern wir f(, M > Diese beiden bilden die geomerischen Voraussezungen des folgenden Periodiziässazes Periodiziässaz: gefangen im Poenialopf P36 #Beweis: Zu c [a, b] is die Niveaulinie { (, G Φ(, c } eine glae Kurve in R (dank des Sazes über implizie Funkionen Nach Konsrukion is abgeschlossen, wegen K also kompak Jede kompake Kurve is eine Kreislinie oder Vereinigung von endlich vielen disjunken Kreislinien (dank der Klassfikaion der Kurven Für (, K gil f(, Die Absolugeschwindigkei f : K R is seig Dank Kompakhei nimm sie ihr Minimum an Demnach is die Mindesgeschwindigkei posiiv, M : min f(, f( m, m > Jede der Kurven ha endliche Länge l( Bei Mindesgeschwindigkei M > wird sie also in endlicher Zei T l(/m < durchlaufen Jeder Sarwer ((, ( K mi Φ((, ( c führ schließlich zu einer periodischen Lösung: Jede Lösung ((, ( verbleib in und läuf nich aus G hinaus; sie sez sich unendlich for für alle R Die Lösung R G : ((, ( durchläuf ewig die Kreislinie Nach der Zei T > kehr sie zwingend zurück in den Ausgangszusand ((T, (T ((, ( Dank des Eindeuigkeissazes OB folg hieraus die Periodiziä (( + T, ( + T ((, ( für alle R Ein einfaches nich-lineares DGSsem #Aufgabe: Wir unersuchen folgendes Differenialgleichungsssem: { ẋ 4 ẏ 3 ( Skizzieren Sie das zugehörige Vekorfeld und einige Flusslinien (a Finden Sie alle Fipunke Es gib genau zwei: (, 3 und (3, (b Linearisieren Sie um jeden Fipunk: Welche Dnamik gil hier? Leichere Teilfrage: Is der Fipunk sabil oder insabil? Was bedeuen die Eigenvekoren und die Eigenwere? ( Erklären Sie (qualiaiv anhand Ihrer Skizze für jeden Sarpunk ((, ( R das Verhalen der Lösung ((, ( für (a Gib es zu jedem Sarwer eine Lösung? Is sie eindeuig? (b Für welche Sarwere konvergier die Lösung gegen (3,? (c Für welche Sarwere konvergier die Lösung gegen (, 3? (d Für welche Sarwere divergier die Lösung? gegen? Is dieses Verhalen sabil? Wird das Ziel in endlicher Zei erreich? Ein einfaches nich-lineares DGSsem P38 Die Vergrößerung um die Fipunke zeig annähernd lineares Verhalen: Die beiden Eigenvekoren ensprechen den Haupachsen der Dnamik: ( ±/ 3 v, λ ( ± 3 v, λ Die zweie Jacobi Mari is smmerisch, die EV daher orhogonal 9 P4