Symmetrie eines Graphen zum Koordinatensystem

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1 Kapitel Elementare Funktionen Smmetrie eines Graphen zum Koordinatensstem f() = f() = (0, ) ( 0,) 0 ( 0,) Achsensmmetrie zur -Achse: f ( ) = f () 0 ( 0, ) Punktsmmetrie zum Ursprung: f () = f ( ) Bild Bild Smmetrie zur Achse = : vertausche Variable und Wert (0, ) = p() = = 0 6 f() = ( 0,) ( ) 0 ( ) w() = 6 7 Bild Bild 6 p():= w(): = = Beachten Sie den Rollentausch von Definitions- und Wertebereich. Aus dem Werk 0808 "Differentialrechnung" Auer Verlag

2 Kapitel Elementare Funktionen Umkehrfunktion Manchmal ist es sinnvoll, die unabhängige und die abhängige Variable zu vertauschen. Dazu gleich ein ziemlich vertracktes Beispiel: Pramidenbau. Ein nach wie vor nicht wirklich gelöstes Problem: Wie haben die Ägpter beim Pramidenbau die vielen tonnenschweren Marmorblöcke hochtransportiert? So wie in der Zeichnung angedeutet sicher nicht, das ist aus vielen Gründen unmöglich, selbst wenn Tausende oder Obeli alleine ziehen würden. Bild 7 Selbst mit modernster Technik kann man mit Zugmaschinen keine Steigungen über 00 % bewältigen. Beachten Sie: 00 % Steigung bedeutet. Die Steigung s in % berechnet sich als Quotient: Rampenhöhe h s = Basislänge b Und Sie wissen: s = Tangens (α) (α = Steigungswinkel). Schreibweisen: s = tan(α) (= tg(α) (selten!)) Betrachten wir eine Pramide mit 00 m Höhe und als Rampengrenzwinkel. Sie wissen sicher: tan ( ) = = 00 %, umgekehrt = Inv tan() (entspricht π ) Schreibweisen: α = Inv tan(s) (bevorzugt) = arc tan(s) = tan (s) (lieber nicht!) Berechnen wir nun die Steigung s einer Rampe der Länge l. Dazu stellen wir das Steigungsdreieck mit der Hpotenuse l und den Katheten h und b auf: s(l) = h b s(l) b = h Mithilfe des Satzes von Pthagoras (l = h + b b = l h ) gilt: s(l) (l h ) = h : h s(l) = mit Definitionsbereich D s [ m; + [ und Wertebereich W s = ]0; ]. l h h s(l) = s(l) = l l h h Interessanter für den Rampenbauer wäre die Umkehrung, die Funktion l(s). Wir lösen nach l auf und erhalten die sog. Umkehrfunktion: l(s) = h + mit Definitionsbereich D l = ]0; ] und mit h = 00. s Wertebereich W l = [00 ; + [ [ m; + [ Wir wissen, dass die Ägpter Materialrampen mit 9,9 % Steigung gebaut haben: l (0,099) = 0 eine über km lange Rampe für eine 00 m hohe Pramide! Reduzierte Darstellung: Setzen wir in den Funktionstermen vereinfachend h = und wählen die tpischen Variablenbezeichnungen und Funktion f: = + mit D f = ]0; ] und W f = [ ; + [ Vertausche und Umkehrfunktion u: = + = mit D u = [ ; + [ und W u = ]0; ]. 6 Aus dem Werk 0808 "Differentialrechnung" Auer Verlag

3 Kapitel Elementare Funktionen W u W f,8,6 ( ),,0 ( ) 0,8 0,6 WhQ G f G u 0, 0, 0 0, 0, 0,6 0,8,0,,6,8,0 Beachten Sie hier: Höhe h = m bedeutet: Eine Rampe mit hat die Länge f() =. D. h., bei einer Steigung von = 00 % ist die Rampe m lang. u( ) =. D. h., bei einer Rampenlänge von m ist die Rampe 00 % steil ( ). WhQ meint die Winkelhalbierende des. (und.) Quadranten im Koordinatensstem. Beachten Sie: Die Funktionen sind nur im jeweiligen Definitionsbereich gültig. D f D u Bild 8 Sie bemerken: Definitions- und Wertebereich von Funktion und Umkehrfunktion tauschen ihre Rolle analog zum Tausch der Variablen und. Und: Der Austausch der Variablen bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der Winkelhalbierenden des. Quadranten. Die Graphen schneiden sich daher, wenn überhaupt, auf der WhQ.,,0 0,,0,,0 0, 0 0,,0, 0,,0,,0 G f WhQ G u Formales Beispiel: f: = tan() mit D f = ] 0,π; 0,π[ und W f = ] ; + [ vertausche nun und u: = tan() mit D u = ] ; + [ und W u = ] 0,π; 0,π[ löse auf nach = arcus tan() = Inv tan() Bild 9 Aus dem Werk 0808 "Differentialrechnung" Auer Verlag 7

4 Kapitel Elementare Funktionen Aufgabe A7: Pramidenrampe, K, K, K Berechnen Sie den Schnittpunkt der Graphen in Bild 8, S. 7. Interpretieren Sie ihn. Aufgabe A8: Formale Umkehrfunktionen,, K, K, K a) Erklären Sie, weshalb eine Parabel auf D = ] ; + [ nicht umkehrbar ist und ermitteln Sie die Umkehrfunktion von = im Bereich [0; + [. b) Zeigen Sie, dass = die Umkehrfunktion von = ist. c) Ermitteln Sie die Umkehrfunktion des linken Astes der Parabel = +. d) Skizzieren Sie von Hand die Umkehrfunktion von = sin ( 0,π) + im maimal möglichen Bereich [0;?]. Geben Sie an, wo sich die Graphen von Funktion und Umkehrfunktion schneiden. Aufgabe A9: Anomalie von Wasser, K, K, K Sie wissen sicher: Wasser hat bei C seine größte Dichte. Daher steigt sowohl Eis als natürlich auch warmes Wasser nach oben. Hier ein paar Messdaten für den Volumenzuwachs ΔV von Liter Wasser (in cm ) im Temperaturbereich [0 C; 8 C]: t C ΔV cm 0, 0,0 0,00 0,0 0, Bild 0: Eis in Island: Gletschersee Jökulsárlón Beschreiben Sie das Ausdehnungsverhalten mit einem möglichst gut passenden quadratischen Term V(t) und ermitteln Sie den Term der Umkehrfunktion T(V) in den maimal mög lichen Bereichen. Berechnen Sie mit diesem Term, bei welcher Temperatur eine -Liter- Flasche Wasser mit cm freiem Volumen nach längerem Aufenthalt im Tiefkühlfach regelrecht eplodiert (leidvolle eigene Erfahrung). Aufgabe A0: Etremgeschwindigkeiten K, K, K Sie kennen sicher auch die weltberühmte Formel E = m c, mit Energie E, Masse m und Lichtgeschwindigkeit c = km s. Jede Masse hat eine Ruhemasse m o und damit eine Ruheenergie E 0 = m 0 c. Bei Beschleunigung mit der Energie E* ist die Gesamtenergie E = E 0 + E*. a) Ermitteln Sie die Funktionsterme m(e*) und E*(m) für Protonen. Drücken Sie in m(e*) die Masse in Protonenmassen und die Energie in MeV aus. b) Der Teilchenbeschleuniger CERN ( ) beschleunigt Protonen mit bis zu 7 TeV (Tera-Elektronenvolt). Berechnen Sie den Massenzuwachs in Vielfachen der Protonenmasse und nach geeigneter Recherche die Geschwindigkeit in Prozent der Lichtgeschwindigkeit. 8 Aus dem Werk 0808 "Differentialrechnung" Auer Verlag

5 Kapitel Elementare Funktionen Bild Lösung A7 Schnittstelle der beiden Graphen: + = = 0. + Substitution: z = z z mit der bekannten Formel = = ~,7. Inhaltlich und für die Prais ist dieser Schnitt ohne jede Bedeutung. Der Wert liegt auch weder im Definitionsbereich der Funktion f noch der Funktion u. Für f bedeutet diese,7 eine Rampenlänge, nämlich,7 m. Für u aber stellt,7 eine Steigung dar, nämlich 7, % entsprechend ~. Lösung A8 a) Betrachten Sie als einfachsten Fall die Normalparabel =. Die formale Umkehrung ist = = = ± und damit nicht eindeutig. b) = mit der Umkehrung = =. c) Sie wissen: Gf und Gu sind spiegelbildlich bez. der WhQ. = + = ( + ) mit den Nullstellen = 0 und = sowie dem Scheitel ( 0, 0,). Der linke Ast der um 0, nach links und 0, nach unten verschobenen Normalparabel hat den Df = ] ; 0,]. Betrachten Sie statt lange zu rechnen den Graphen Gf und spiegeln sie ihn an der WhQ: = + 0, 0, Gf 0 Gu Bild Aus dem Werk 0808 "Differentialrechnung" Auer Verlag 0808.indb :8:

6 Kapitel Elementare Funktionen d) Überlegen Sie sich einfach den Verlauf des Graphen von = sin ( 0,π) + ausgehend vom Graphen = sin () Streckung in -Richtung mit Faktor Verschiebung in -Richtung um Verschiebung in -Richtung um 0,π und spiegeln Sie diesen an der WhQ; = sin () ist im Bereich [ 0,π; 0,π] umkehrbar und daher ist f wegen der -Verschiebung um 0,π nach rechts im Bereich [0; π] umkehrbar. Schnittpunkte von G f G u sind (0 0) und ~ (,,). 0 G f G u Bild 6 Lösung A9 Ein Blick auf die Daten legt nahe: V(t) = a ((t ) C) + V 0 mit V 0 = Liter = 000 cm. Für die Bestimmung von a arbeiten Sie besser mit f() = a und den Tabellenwerten: Überlegen Sie: f() = a = 0,0 a = 0,007 f() = 6a = 0, a = 0,007 (passt wunderbar) Also: V(t) = 0,007 cm ((t ) C) C cm, formal = 0,007 ( ) Umkehrung: = 0,007 ( ) = ± 0, T(V) = 0,007 C + C mit in cm, und bei unter t ( 00 cm ) =, C gibt es in der Gefriertruhe alsbald einen Knall. Lösung A0 TeV bedeutet Tera-Elektronenvolt, also 0 ev = 0 6 MeV ( mit der elementaren Energieeinheit ev =, Joule). Protonen haben die Ruheenergie E 0 = 98,7 MeV m 0 =, kg. Nun ist ja nach E = mc generell m = E E0 + E = * mit c = 0 8 m c c s. Ein Randproblem sind die Einheiten Wir müssen die Energie in Joule ausdrücken: MeV = 0 6 ev =, J =,60 0 J und c = 0 8 m s ; damit erhalten wir automatisch die korrekte Masseneinheit kg ( SI-Sstem) m(e*) = =, , 7 +E * kg =,780 0 (98,7 + E*) kg Rechnen wir noch in Protonenmassen PM um: =, , 7, 676 +E * PM = 0,00 (98,7 + E*) PM. 0 7 Bei 7 TeV ergibt das eine Masse von, (98, ) kg =, 0 kg. Die Protonen sind damit um den Faktor 7 60 schwerer als in Ruhe. Einfacher scheint E*(m) = mc E 0, aber auch hier das Einheitenproblem Zunächst: Joule = 6, 0 8 ev, d. h. J = 6, 0 MeV. Aus dem Werk 0808 "Differentialrechnung" Auer Verlag

7 Kapitel Elementare Funktionen Wir geben zunächst rechtsseitig kg und und Joule ein und brauchen links MeV: E*(m) = m ( 0 8 ) 98,7 0 6, J = (9 0 6 m,0 0 0 ) J = 6, 0 (9 0 6 m,0 0 0 ) MeV mit m in kg. ( ) Protonenmasse, kg, also kg = E*( m)= m 0 8 m =, PM: s E*(m) = 6, 0 (9 0 6, m,0 0 0 ) MeV = 6, 0 (,0 6 0 m,0 0 0 ) MeV mit m in PM Sie haben sicher gefunden: m(v) = m 0 = (s. o.) = 7 60 m 0 v c Lösen Sie auf: Lösung A = 760 v = v ( ) c ( ) c 7 60 = 99, % c. log(00 000) = log(?) =? = 0, log(0,00) = log(?) = 0? = log(0 ) = log(?) =? = 0 log() = 0 log(?) =? = 0,0 Lösung A a) K = K 0 + % K 0 = K 0 ( + %) =,0 K 0 analog: K =,0 K =,0 K 0 und damit K n =,0 n K 0 = K 0,0 n b) K = K 0,0 Zuwachs K 0,0 K 0 in %: K 0 K,0 0,0 = =,7 %. K0,0,0 c) Verdopplung: alle,0 n = log n log (,0) = log () n = Jahre Lösung A Laut Einführung beträgt die Schallstärke bei 0 db ca. 0 W cm. Der Knall des Krebses mit 0 db = Bel ist objektiv 0 -mal stärker und erzeugt damit eine Schallstärke von 0 0 W cm = W 09. Allerdings ist die Wirkung auf winzige Luftblasen cm begrenzt. Lösung A Fachwissen laut Einführung: E ( m ) = 00 E (6 m ) mit logarithmischem Anstieg. Die 6 = Anstiege der subjektiven Helligkeit bedeuten eine Abnahme um den Faktor q mit der Eigenschaft q = 00 q = 0 = 0 0,,. a) Der 6 m -Stern ist also phsikalisch q 6 = q 7 -mal heller als das m -Objekt. b) Sirius (,6 m ) ist q,97 (,6) =,-mal objektiv heller als der Polarstern (,97 m ). Aus dem Werk 0808 "Differentialrechnung" Auer Verlag