Lösungen IV.1. 1) a) F b) F c) Z d) F e) R f) Z g) Z h) F i) Z j) F

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1 Lösungen IV. ) a) F b) F c) Z d) F e) R f) Z g) Z h) F i) Z j) F ) a) () a () a + () a () a () a + () a b) () W = {,, } () W = {,, } () W = {,, 9} () W = {,, } () W = {,, } () W = {,, 8} ) a) b) Jost Gabi Rolf Henner Renate Ingrid Rudi Jost Gabi Rolf Henner Gabi Rolf Henner c) d) Rudi Jost Jost Gabi Rolf Henner Ingrid Rudi Renate Jost Gabi Dirk Ingrid Rudi Renate Jost Gabi Dirk ) a) nein (hängt vom Alter ab) b) nein (verschiedene Personen haben selben Namen) c) ja d) nein e) ja f) nein g) ja H) ja i) ja k) ja l) nein m) ja ) a) ja b) nein c) ja d) nein ) A: Zeit, Geschwindigkeit; B: Zeit, Geschwindigkeit; C: Masse, Kosten; D: Zeit, Anzahl 7) a) km/h =, 7 m/s etwa, Sprünge pro Sekunde b) v [km/h] l [m],,,,8, n [Sprünge/s],,,,, c) l n v v d) l ist gleich; n ist bei schnellerem Läufer größer e) n l v v

2 Endkontroll-Blatt: ) Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung (jedem Wert aus der Ausgangsmenge wird eindeutig ein Wert der Zielmenge zugeordnet). ) a) ja b) nein c) ja d) nein e) ja f) ja g) nein h) ja i) ja j) ja k) ja ) a) ja b) nein c) ja d) ja e) ja f) nein g) ja h) ja Lösungen IV. Proportionalitäten: ) a) ja (ohne Mengenrabatt) b) nein c) ja (bei konstanter Geschwindigkeit) d) ja (bei konstanter Geschwindigkeit, konstanter Steigung) e) ja (bei gleicher Zeit) f) ja (bei gleichem Durchfluss) g) ja h) nein i) nein k) nein ) a) b) c) 8, 7 d), 9 ) a) Kiwis a, Kiwi a, Kiwis a,9,89 b) = =,, kg kg c),7 = c Dosen c =,9,9 9 Dosen = 9, Dose Dose d) Preis in 8 Menge in g

3 ) a) b) Kosten in V K,7,,8,7,, 8, Volumen in Liter c) Liter = Liter + Liter Kosten:,8 +,7 = 7, (oder: Liter = Liter,8 = 7, ) 8 Liter = Liter + Liter Kosten:,8 +, = 9, (oder: 8 Liter = 8 Liter Kosten: 8,7 = 9, ) d) K = P V; hier: K =,7 V; =,7 V V 7, Liter Liter Liter ) a) allgemein: K = P m;. Ware: K =, kg m;. Ware: K =, kg m b) ab Stück gibt es Mengenrabatt: der Preis sinkt von, Stück auf, Stück ) a) ist mehr wert als $, aber weniger als b) $ bzw

4 c) in New York: ; in London: d) 7) a) = + b) = c) =??? $,,7 $,8,,, lineare Funktionen: ) a) Pilatus-Bahn (geht auf sehr kurzer Länge sehr hoch hinauf) b) m Pilatus,8 =,8%; m Zugspitz,7 = 7,%; Steigung von % entspricht Steigungswinkel c) kleiner (z. B. entspricht dann nur einer Steigung von etwa 7,7%) ) f d 9 a c b e - - h g l i m - - k

5 ) a) A unter, B auf, C über b) A über, B auf, C unter c) A auf, B unter, C über ) g : = ; g : = ; g : = ; g : = ; g : =, + ; g : = ) a) Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten (. Winkelhalbierende) b) Winkelhalbierende des II. und IV. Quadranten (. Winkelhalbierende) c) parallel zur -Achse im Abstand nach oben d) parallel zur -Achse im Abstand nach unten e) parallel zur -Achse im Abstand nach rechts f) parallel zur -Achse im Abstand nach links Die Geraden in e und f sind keine Funktionsgraphen. b) = + c) = + d) = ) a) = b) = c) = 8 7) a) =, b) = c) = d) = 8) a) = b) = c) =, +, d) = + 9) a) S ( ); S ( ) b) S (, ); S ( ) c) S ( ); S ( ) d) S ( ); S ( ) e) S (,7 ); S (,) ) a) =, b) = 7 c) = d) = e) =, + 7 ) a) = + b) = c) =, + d) =, e) = + f) = g) =, h) =, + i) = + k) = l) =,,7 m) = ) a) a n 9 8 b) Wörter pro Monat (Steigung!) c) Wörter: Formel hier nicht anwendbar! d) bis zum. Monat, also 7 Jahre Monate ) a) Füllung V in Litern Zeit t in min Liter b) V = t + 9 Liter, Liter t + 9, Liter c) etwa 9 Liter d) 7 min min min

6 ) a),8 Mio. m pro Tag; so weit wie möglich geleert: 9 Mio. m t in Tagen 8 V in Mio. m 9 8,9 9,9,88 7,8 9,8 c) V =,8 Mio. m /Tag t + 9 Mio. m d) etwa, Tage e) etwa 8,8 Tage bzw. 7, Tage f), % bzw., % ) a) Luftdruck ist in größerer Höhe niedriger Wasser kann leichter verdampfen b) =,9 C/m + C c) etwa 9, C; etwa 99, C (Schwebheim: m) d) etwa 9 m (Zugspitze) e) Höhe: etwa 799 m noch etwa 8 m ) a) etwa, cm b) 9 s bzw. 8 s etwa % darüber c) Geschwindigkeit nicht immer gleich; Kurve muss am Anfang steiler, am Ende flacher als Gerade verlaufen d) h = t + ; sie treffen sich nach etwa 7 s, in einer Höhe von etwa 8, m, also etwa im. Stockwerk 7) a) S( ) b) S( ) c) S(,) d) S( ) e) f) S(,8,) 8) a) in h h in cm h in cm T() = bzw. T() = h = bzw. h = c) 7, h bzw. h bzw. h 8 8 9) a) = bzw. = + S( ) 8 8 c) = bzw. = + S( d ) d d ) um : Uhr, km von Bahnhof A ) a), h =,9 s b) m bzw. m ) a) L = ] ; [ b) L = ] ;[ c) L = [ ; [ d) L = ] ;] e) L = ] ;[ f) L = ]; [ Terme aufstellen mit Hilfe von linearen Funktionen:. Gerade PQ: =,7 + b =,7l + A = l b =,7l + l. Gerade CD: =, + 9 P =,( a) + 9 =,a + A(a) = ( a) P =,a + a +. Gerade durch ( ) und (8 ): =,7 + obere rechte Ecke des Fensters hat =,7a + Höhe des Fensters ist h =,7a + A(a) = a h = a,a ) a) f () = ; f, () = b) = a c) a =, d) < a Lösungen IV. ; f () = ; f () = ) a) g, () =, ; g () = ; g () = ; g () = + b) k =, c) k = d) k > e) k = f) B( ) +

7 Graphen zu ) G(f ) G(f ) G(f,) G(f ) Graphen zu ) G(g, ) G(g ) G(g ) ausführliche Lösung zu : siehe Übungen zu Kurvenscharen in Analsis I / ) a) g () = ; g () = G(g ) -,,,,, G(g ) - - G(g ) - -7

8 b) S ( ); S ( ) c) S(/ 8/) d) A = ) a) b t = t t + + b) = c) t, = ± d) g () = + ; g () = + e) S( ) t G(g - ) - -, - -,,, - - G(g ) ) a) g () = ; g () = ; g () = + b) S( ) c) g m () =, unabhängig von m G(g ) G(g ) G(g - ) - -,,, - - ) a) f () = + ; f : = ; f () = b) = ; = ; = ; S ( ); S ( ); S ( ) c) A =,; A = ; A =, d) t = t; S t (t t); A(t) =, t + t e) A(t) = t = ; t = ; A ma = t =

9 Graphen zu ), G(f ) G(f ). Winkelhalbierende,,, -, - -,,,,, G(f ) - Lösungen IV. Arbeitsblatt: ) = g() = ) 7 ; f () = ) f (f()) = ; f(f ()) = 9 9 G(f) G(f ) ) f () = m b m m = m Übungen: ) a) siehe Folie c) Graph darf nicht über/unter sich selbst verlaufen b) 7.., : oder :; oder 8.., : oder 8: oder : oder :; oder 9.., : oder 9:

10 ) a) f () = + 8 b) f () = + G(f b ) G( f b ) G(f a ) - - G( f a ) - - Lösungen IV. ) a) S( ) b) S( ) c) S( ) d) S( ) e) S(,,7) f) S( ) g) S( 8) b b b D h) S(,,) i) S + c bzw. S a a a a ) a) S( ) b) S(, 7) c) S( ) d) S( ) e) S( ) f) S( ) g) S( ) h) S( ) i) S( 8) ) a) S( ) b) S( ) c) S( ) d) S(,) e) S( ) f) S( ) g) S(,) h) S( ) i) S( 8,) ) a) S( ) b) S( ) c) S( ) d) S( ) e) S( ) f) S( ) ) a) S(,,) b) S c) S(,) d) S(,,) e) S( ) f) S ) a) S( 8); Nullstellen; S ( ); W = [ 8; [; = b) S( 9); Nullstellen; S ( ); W = ] ;9]; = c) S ; Nullstellen; S ( ); W = [ ; [; = d) S( ); keine Nullstellen; S ( 8); W = ] ; ]; = e) S(, ); Nullstellen; S (,9); W = ] ;]; =, 8 8 f) S ; Nullstellen; S (,78); W = [ ; [; = 7) a) f() = + (f() =, ) b) f() = 9 ( + ) (f() = ( + ) ) c) f() = d) f() = ( ) ( f() = ( + ) )

11 Graphen zu ) a-d, f 7 G(f c ) G(f b ) G(f a ) - -7 G(f f ) G(f d ) - - -

12 Graphen zu ) e, g-h G(f h ) G(f g ) G(f e ) -8-9 G(f i ) - - -

13 Graphen zu ) 8 G(f c ) 7 G(f e ) G(f b ) G(f d ) G(f f ) G(f a ) - -7

14 Graphen zu ) 8 7 G(f) G(s) G(r) G(h) G(p) - - G(g) - -7

15 8) a) f() = ( ) + b) f() = ( + ) c) f() = ( + ) d) f() = ( ) + e) f() = ( + ) + f) f() = ( ) 9) a) f() = + b) f() = + c) f() = + ) a) = ( ) + b) =, ( + ) + c) = ( ) ) a) = + b) =, +, c) = + 7 d) = + e) = + + f) = + ) a) Ma.: 9 b) Ma.: c) Min.:, d) Ma.: e) Min.: 8 f) Min.:, ) a) min =,; min =, b) min = ; min = c) ma = ; ma = d) min = ; min = e) min = ; min = 9, f) min = ; min = g) min = ; min = h) min = ; min =,9 i) ma =,; ma =, ) a) min = 7; min = 7 b) ma = ; ma = 9 c) min = ; min = d) min =,; min =, e) ma =,; ma =, f) ma = ; ma = g) ma =,; ma =, h) min = ; min = i) min = ; min =, ) a) fällt in ] ;], steigt in [; [ b) fällt in ] ; ], steigt in [ ; [ c) fällt in ] ; ], steigt in [ ; [ d) steigt in ] ;], fällt in [; [ e) fällt in ] ; ], steigt in [ ; [ f) steigt in ] ;], fällt in [; [ g) steigt in ] ;,], fällt in [,; [ h) fällt in ] ;,], steigt in [,; [ i) fällt in ] ;,], steigt in [,; [ ) a) = ; = b) = ; = c) =,; = ; d) keine Lösung 7 7) a) S ( ); S (,,) b) S ( ); S ( ) c) S ( ); S 9 d) B( ) e) B( ) f) keine gemeinsamen Punkte 8) a) g : = ; B( ) b) h : = ; B(,) c) k : = ; B( ) = S Parabel d) t 8, : = 8,; B(,) e) l : = ; B( 7) und l : = ; B( ) f) keine Lösung 9) a) f() = 8 7 b) H = 7 ) a) S( 7,) m hoch b) = ; = 7 m lang c) -Achsenabschnitt, m d) C(,); Smmetrie D(,) CS: =,,; DS: =, + 7, ) f() = ( ) + = ( ) = ) a) = ; P() = b) G() = + +, + 7 d) etwa 7 kg 8 ) a) A(a) = ( a) P =... = a + a 8 a + 8; DA = D g = ;

16 Graph zu ) Graphen zu ) 9 8 G G Graph zu ) 9 A G K,, a

17 Lösungen IV. ) L ma = 8 W 87, Umdrehungen / min ) A ma =, m AB = 8, m ) PQ min = = ( PQ min = = ) ) A() =,8; A() =,; A ma =, a = ) minimale Kosten, nämlich 97,, Sandkastenbreite von m ) a) A() = 7; A() = 8; A() = ; A min =,87 =,7 7) größter Bauplatz, nämlich m, eine Länge von m und eine Breite von m 8) größter Gewinn, nämlich, = 9) a) 9,9 bzw. 9,8 bzw. 9,7 bzw. ( ) ; bzw. bzw. bzw. + ; 98 bzw. 9 bzw. 8 bzw. ( + + ) b) größte Einnahmen =,, nämlich Lösungen IV.7 ) a) + < < < ; + oder b) + < : keine Lsg.; + alle R c) + < < <,; + oder, ) (vgl. III.!) a) L = ];[ b) L = ] ; [ ]; [ c) L = [ ;] d) L = ] ;] [; [ e) L = [ ;] f) L = ] ; [ ]; [ g) L = ]; [ h) L = ] ;,8] [,; [ i) L = R\{} k) L = {} l) L = [,;,8] m) L = ];[ n) L = ] ; [ ] ; [ o) L = ] ; [ p) L = ] ; ] [ ; [ (vgl. n) q) L = R\{,} r) L = [ ;] s) L = [ ; ) a) L = ] ;,[ b) L = R ) L = ];[ ) L = ] ;[ ]; [ ( ];[ ) ) keine Lösung ( ; 8) a + a a ; ) 7) ] 8 ;8 + [ Lösungen IV.8 ) a) f () = ; f () = ; f () = + ; f () = + b) Maimum t < ; Minimum t > (weder noch t = ) c) allgemein: S( t) t = (<, also Maimum) ( ];[ ) d) keine Lösung (t =, damit Scheitel bei =, dann aber Maimum, kein Minimum!) e) Normalparabel t = ; Gerade t = 79 ]

18 Graphen zu ) G(f ) G(f ) - -, -,,, - - G(f ) G(f ) ) a) k < :, = ± k ; k = :, = ; k > : keine Nullstelle; S k ( k) G(f ) G(f ) G(f ) b) es gibt keinen Wert von a Nullstellen; S a (a ) c) t < :, = ± t ; t > : keine Nullstelle (t = ausgeschlossen!); S t ( ) - k ± k ( k) k ± k + k ) b), = = = Graph berührt -Achse nur k = oder k = ; Graph schneidet -Achse k < oder k > k k c) S k k

19 Graphen zu ) b G(f ) G(f ) G(f ) Graphen zu ) c G(f ) 8 G(f ) G(f ) ) a) mit den Ergebnissen aus Teil c): S ( ); S (-,,); S (,,7); S ( ); alles Normalparabeln G(f ) G(f ) G(f ) G(f )

20 ) a) a > b) a <,7 (und a laut Angabe!) c) < a < (und a ) d) a e) < a < f) < a < + g) < a < (und a ) h) a < oder a > ) a) S a ( a + a + ) b) a < oder a > : W = [ a + a + ; [; < a < : W = ] ; a + a + ]; c) f,() =,7 +, ; f () = + ; f () = + ; f () = G(f ) G(f ) -,,,, - G(f ) G(f, ) - ) a) S k ( k k + k ) c) P(,) b), = k ± k + k ein gemeinsamer Punkt k = oder k = ; zwei k < oder k > ; keiner < k < d) p () = + ; p () = + ; p () = ; p () = ; p () = G(p ) G(p ) G(p ) - - G(p ) G(p )

21 7) a) AB: = + ; c = b) P( ) c) n: =,,; Q(,,) d) G(g ) B Q A P Normale - Tangente - 8) a) T t ( t t ); am kleinsten t =,7 b) T 9 t t t t ; am kleinsten t = Lösungen IV.9 ) s; s s; s 7 s; s ) a) m; m; m; m b) s,89 s; s,8 s; s,77 s; s ) f() = ( f() = ; f() = ) a) a b) a, c) a, +, d) a, + e) a, f) a, g) a h) a ) c) f () = + ; D = [ ; [ g) f () = ( ) ; D = [; [ h) f () = + ; D = R i) f () = ; D = ] ;] ) a) ] ;] oder [; [ (oder Teilmengen davon!); f () = + bzw. = ; D = ] ;] 7) f () = + ; D = R + ; f( f ()) = f (f()) =

22 Lösungen IV. a) Begriff ) a) S in % 8 8 b) E() = < 8, 8 <, < 8, 8 E() in 8 8 in ) a) b) < 8 S() =,7 +, 8 <,9 E() =,7,9 +, < 8 8 <

23 E() in 7 in ) u(t) = t <,, t <,, t <,9,9 t <,, t, u in V 8,,,,,,,7,8,9,,, t in ms ) a) u(t) = ( t + ) t + ( t ) + t [;] t ];[ t [;[ ) h() = ( ) + <

24 Graph zu ) b, u in V,, -, - -, - -, - -,,,,,, t in s ) a) a =,; b =,8; c = 8; d = ; h = b) α, 7 c) Betragsfunktionen + < ) a) f() = + < d) f() = 8 8, g) f() = + < <, i) f() = + < < l) f() = + +, < < b) f() = e) f() = h) f() = k) f() = m) f() = < < c) f() = f) f() = + +,, , < <, < <, < < < < ) a) L = [,;,] b) L = ] ;,] [,7; [ c) L = ];[ d) L = ] ; [ ]; [ e) L = [ ;] f) L = ] ;[ ]; [ g) L = R h) L = {} i) L = {} k) L = ] ;[ 7 l) L = ] ; [ m) L = ] ;,[ n) L = ] ; ] [ ; [ o) L = ] ;[ 9 9

25 ) a) b) c) d) e) f)

26 g) h) a) Verknüpfung mit den Grundrechenarten Lösungen IV. f() Summe; Differenz; Produkt; Quotienten; f() + g(); f() g(); f() g(); ; D(h) = D(f) = D(g); g() D(h) = D(g)\{ g() = } h () = + ; D(h ) = R; h () = + + ; D(h ) = R; h () = 8; D(h ) = R; h () = ; D(h ) = R\{; } b) Verkettung ) a,8 9, ) a) u(v()) = + ; v(u()) = + 7 b) u(v()) = + ; v(u()) = c) u(v()) = ; v(u()) = d) u(v()) = + ; v(u()) = ( + ) = + + e) u(v()) = 9 ; v(u()) = ( ) f) u(v()) = ( ) ; v(u()) = g) u(v()) = i) u(v()) = ; v(u()) = h) u(v()) = + ; v(u()) = ; v(u()) = ( ) j) u(v()) = + ; v(u()) = + ( + ) k) u(v()) = ; v(u()) = 9 l) u(v()) = + ; v(u()) = + π π m) u(v()) = sin ; v(u()) = sin o) u(v()) = cos π ; v(u()) = π cos o) u(v()) = sin ; v(u()) = sin( )

27 ) a) (fo g)() = + ; D = [,;] (go f)() = + ; D = [,;,] b) (fo g)() = ( ) ; D = [ ;] (go f)() = ; D = [; ] c) (fo g)() = ; D = R\{} (go f)() = ; D =R\{ ;} ) a) u() = ; v() = + b) u() = + ; v() = c) u() = ; v() = sin d) u() = ; v() = e) u() = cos(); v() = f) u() = ; v() = g) u() = ; v() = + h) u() = ; v() = i) u() = ; v() = j) u() = ; v() = sin() k) u() = ; v() = cos l) u() = ; v() = c) Auswirkungen auf den Graph ) a) f() = + ( + ; + ; + ; cos() + ) b) f() = ( ; ; ; cos() ) c) f() = ( ) ( ( ) ; ( ) ; ; cos( ) ) d) f() = ( +,) ( ( +,) ; ( +,) ; +, ; cos( +,) ) e) f() = ( ) + ( ( ) + ; ( ) + ; + ; cos( ) + ) ) a) f() = ( ( ); ; ; cos() ) b) f() = () ( () ; () ; ; cos() ) 7) a) um nach rechts verschoben, mit in -Richtung gestreckt b) um nach links verschoben, mit, in -Richtung gestaucht (bzw. in -Richtung) c) um nach links verschoben, mit in -Richtung gestreckt d) mit in -Richtung gestreckt, mit in -Richtung gestreckt, an -Achse gespiegelt d) Spezialfall: Die allgemeine Sinusfunktion 8) a) Amplitude: ; Periodenlänge: π; Verschiebung: um,π nach rechts π π b) Amplitude: ; Periodenlänge: ; Verschiebung: um nach links; an Achse gespiegelt c) Amplitude: ; Periodenlänge: 8; Verschiebung: ; an Achse gespiegelt d) Amplitude: ; Periodenlänge: π; Verschiebung: ; an Achse gespiegelt e) Amplitude:,7; Periodenlänge: π; Verschiebung: um π nach links f) Amplitude: Periodenlänge: ; Verschiebung: π g) Amplitude:,; Periodenlänge:,π; Verschiebung: um nach rechts; an Achse gespiegelt h) Amplitude:,; Periodenlänge: ; Verschiebung: ; an Achse gespiegelt a)

28 b) c) d) e)

29 f) g) h)