ω r 6.2 Trägheitsmoment und Rotationsenergie r E dm = = = ω r r r r = K 6.2 Versuch: Fallmaschine Ursprung in Bewegungsebene!

Transkript

1 6. Täghetsmoment und Rottonsenege Täghetsmoment enes ssenpunktes Des glt fü sten Köpe nht meh! ellgemeneung fü sten Köpe: m Uspung n Bewegungseene! Dehhse E ot ( E ) v kn snα R R α snα E ot R Rottonsenege E K ( ) d ot R ρ Täghetsmoment K ρ ( ) R d 6. esuh: Fllmshne Potentelle Enege des Gewhtes Rottonsenege des Blkens Dehlken Geshwndgketsmessung mt htshnke Gewht g

2 6. esuhsuswetung Blken m R mgh mgh m < > m m m m g h. kg 9.8 m s.m.96 v sblken.5m vs R R R t.m t S S.66 t S 6. Täghetsmoment enes Zylndes Gesmtmsse: Täghetsmoment: ρ R πr h dr π ρ h R Rmx π ρ h R ρπ R mx d R mx dr mx h Zylndehse Dehhse d R

3 6. Täghetsmoment ene Kugel R Kugel R Kugel ρ R π π π ρ π ρ π ρ ρ d R π ρ 5 sn ϑ snϑ dϕ dϑ d R d d dd R π R π R 5 sn ϑ dϑ d sn ϑ dϑ d d 5 R 6. Rollen uf de shefen Eene E kn mv m v Ekn E pot m m g h m g h v m Endgeshwndgket st e glehe sse und Aolldus nu vom Täghetsmoment hängg

4 6. Steneshe Stz Ist ds Täghetsmoment ezüglh ene Ahse duh den Shwepunkt eknnt, egt sh fü ene ndee dzu pllele Ahse: m R m R m ( R R ) m R mr m ndee Ahse Ds Täghetsmoment ezüglh de neuen Ahse: R R Ahse duh Shwepunkt S : Astnd de Ahse vom Shwepunkt Zusmmenfssung.. 6 ehnk ste Köpe 6. Ste Köpe 6. Täghetsmoment und Rottonsenege esuh: Fllmshne esuhsuswetung esuh: Täghetsmoment em Rollen Täghetsmoment enes Zylndes Täghetsmoment ene Kugel Täghetsmomente Rollen uf de shefen Eene esuh: xwellshes Rd Steneshe Stz

5 6. Dehmoment Rottonsenege Eot de ot dt de d ot ϕ & dt dt & deot dϕ E & { ot dϕ : Dehmoment: (& ) & & & nlog zu: E kn Aktonspnzp, nlog zu: m { v& ds F F mv& m 6. Dehmoment und Kft Eot d ϕ somt glt: de dϕ de F ds Rottonsenege Außedem glt mt d s dϕ ehält mn de F ( dϕ ) Ahse dϕ dϕ ds F Keuzpodukt! Es glt folglh eenso: de ( F ) d ϕ Somt: F

6 6. Glehgewht ndffeent En sttshes Glehgewht st mme dnn vohnden, wenn en Köpe üe längee Zet sene ge und sene Fom eehält. stl ll Dzu müssen folgende zwe Bezehungen efüllt sen:. De Summe de Käfte muss veshwnden n F F... F n F. De Summe de omente muss veshwnden n... n Heelgesetze 6. Dehmpuls enes sten Köpes p kg m s Dehmpuls ene Punktmsse [ ] s Dehmpuls enes sten Köpes ( ) ( ( ) ) Dehmpuls m llgemenen nht pllel zu! v ( ) d

7 6. Beehnung des Dehmpuls Dehmpuls sse m Spegelsymmetshe sse m m Fü Köpe de spegelsymmetsh zu ene Eene n de de Dehhse legt st de Dehmpuls pllel zu Wnkelgeshwndgket. m Gesmtdehmpuls st pllel zu. m m m ( ) os( ) sn( ) os( ) R sn ( ) ρ Gesmtdehmpuls fü symmetshen Köpe ( ) R d 6. Dehmpuls und Dehmoment Fü Punktmsse uf Keshn glt: d d d p p dt dt dt Fü oteenden sten Köpe: E ot de ot d dt dt deot & d ϕ E & { d ot ϕ & ( ) ( v p) ( F ) F Bewegungsglehung fü Dehmpuls dϕ & & dt Rottonsenege Kettenegel, ektoen! dt

8 6. Dehmpulsehltung Anlog zu de Shewese des Newtonshen Aktonspnzps de Tnslton: d p d v d m F m v dt dt dt egt sh fü Rotton um feste Ahse: d d d dt dt dt Wenn ken äußees Dehmoment wkt, let de Dehmpuls ehlten: Dehmpulsehltungsstz d onst. dt Zusmmenfssung.. 6 ehnk ste Köpe 6. Ste Köpe 6. Täghetsmoment und Rottonsenege 6. Dehmoment esuh: Dehmomentshee Dehmoment Dehmoment und Kft Glehgewht esuh: Glehgewht de Dehmomentshee 6. Dehmpuls enes sten Köpes Beehnung des Dehmpuls Dehmpuls und Dehmoment Dehmpulsehltung esuh: Esenhn uf uftkssentsh esuh: Dehshemel und Hnteln esuh: Dehshemel und Rd 6.5 Anwendungen ehnshe Dehzhlegle Ultzentfugen Gszentfugen esuh: Rottonspolod

9 6.6 Dehmpuls enes sten Köpes ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d v ektoglehung n Komponenten zelegen mt : δ δ Defnton: Täghetstenso ( ) δ 6.6 NR: Täghetstenso ( ) δ δ mt ˆ ˆ : Täghetstenso veknüpft Dehhse und Dehmpuls

10 6.6 Bespel: Täghetstenso enes Qudes ˆ y x y z x z y z z x y x x z y x z y δ ( ) dx dy dz z y ρ ρ ˆ Täghetstenso enes Qudes mt homogene Dhte z y x 6.6 Dehung enes Qudes um Rumdgonle kg m m m,,, 5 ˆ m kg s d s s 5 5 Dehmpuls st nht pllel zu Dehhse Dehmpuls ewegt sh uf enem Kegel

11 Zusmmenfssung.. 6 ehnk ste Köpe 6. Ste Köpe 6. Täghetsmoment und Rottonsenege 6. Dehmoment 6. Dehmpuls enes sten Köpes 6.5 Anwendungen esuh: ehnshe Dehzhlegle esuh: Zentfugen Ultzentfugen esuh: Keze uf Dehtelle Gszentfugen esuh: Rottonspolod 6.6 Dehmpuls enes sten Köpes Täghetstenso Bespel: Täghetstenso enes Qudes Dehung enes Qudes um Rumdgonle 6.6 Täghetsellpsod Täghetstenso elut nun de Beehnung des Dehmpulses fü ede Dehhse duh den Shwepunkt Tägt mn fü ede möglhe Ahse duh den Shwepunkt uf, ehält mn enen Ellpsod. Bespel: Qude ˆ Ds Ellpsod ht de Hupthsen (de senkeht zuennde stehen). De Täghetsmomente n desen Rhtungen nennt mn Hupttäghetsmomente.

12 6.6 Hupttäghetsmomente t enem ktesshen Koodntensystem entlng de Hupthsen st de Täghetstenso dgonl, und snd de Hupttäghetsmomente. ˆ Oltes Täghetsellpsod En goßes und zwe klene Hupttäghetsmomente Poltes Täghetsellpsod Zwe goße und en klenes Hupttäghetsmoment 6.6 Fee Ahsen De engezehnete Dehhse knn nu duh Käfte uf de Ahse eehlten weden, denn d dt m Nh Fege de Ahse efolgt de Dehung um de Rhtung von d dt m Ahse Käfte wken nu noh entlng de Stnge (nnee Rdlkäfte). käftefee Ahse m Auf de Ahse wkt ken Dehmoment. Solhe Ahsen ezehnet mn ls fee Ahsen m

13 6.6 Fee Ahsen und Hupttäghetsmomente Ahsen n Rhtung de Hupthsen des Täghetsellpsods snd fee Ahsen. De ekto ht nu ene Komponente, z.b (,, ) dmt folgt ode (,, ) und somt. Also st de Ahse käftefe. 6.6 Stltät Fee Ahsen Rottonen um de Ahse mt dem gößten und mt dem klensten Täghetsmoment snd stl. Rotton um de Ahse mt dem mttleen Täghetsmoment st nht stl. (klene Stöungen fühen zum Tokeln).

14 6.7 Kesel Defnton: En Kesel st en n enem Punkt P festgehltene oteende ste Köpe De Bewegung des Kesels st estmmt duh sene ssenvetelung (Täghetstenso) de At und ge des Untestützungspunktes P (d.h. duh de uf den Kesel wkenden Käfte ) Dhe weden untesheden: symmetshe und unsymmetshe Kesel kftfee und shwee Kesel unsymmetshe Kesel: unteshedlhe Hupttäghetsmomente symmetshe Kesel: mndestens glehe Hupttäghetsmomente 6.7 esuh: Kugelkesel Bewegungsfomen mt ngeshute Ahse (shwee Kesel): - lngsme Dehung de Dehhse um vetkle ttelhse - üelgete shnelle Kesewegung de Dehhse nh Stoß Bewegungsfomen ohne Ahse (käftefee Kesel): - Dehhse de Kugel let n Ruhe - shnelle Kesewegung de Dehhse nh Stoß

15 6.7 Käftefee symmetshe Kesel symmetshe Kesel: o.b.d.a. Fguenhse käftefee Kesel: zwe Bespele zu käftefeen geung enes Kesels eungsfee dekte Untestützung des Shwepunktes Kesel nh Rozé, Klenshe Kesel eungsfee und fe eweglhe Untestützung de Fguenhse n zwe Punkten de Käfte (z.b. Shwekft) uf Kesel genu usgleht Gyoskop 6.7 Nutton des symmetshen Kesels Ausgngszustnd: Shwepunkt Fguenhse Duh kuze äußee Enwkung wd en Dehmpuls um ene elege Ahse üetgen Fguenhse Rhtungen von Dehmpuls, momentne Wnkelgeshwndgket und Fguenhse snd vesheden Nh Dehmpulsehltung st neue Dehmpuls umfest

16 6.7 Nutton De Rhtung de Fguenhse kest um de Dehmpulshtung Nutton (Fguenhse ewegt sh uf dem Nuttonskegel) De Rhtung de momentnen Dehhse kest um de Dehmpulshtung (Rstpolkegel) Fguenhse Nuttonskegel Rstpolkegel De Bewegung st notwendg, um Dehmpuls und Enege zu ehlten. 6.7 Päzesson En Kesel, uf den äußee Dehmomente (Käfte) wken, päzedet. Insesondee ment mn Dehmomente uf de Fguenhse, de de Rhtung, e nht den Betg des Dehmpulses änden. Bewegung des Dehmpulses gemäß d dt Gewht Shwepunkt F G dt

17 6.7 Päzessonsfequenz enes sym. Kesels In de Zetspnne dt ht sh ( t) um dα gedeht, dus egt sh de Päzessonsfequenz: dα P dt ( t dt) dα d t d d α wd: d P dt P P Zusmmenfssung.. 6 ehnk ste Köpe 6. Ste Köpe 6. Täghetsmoment und Rottonsenege 6. Dehmoment 6. Dehmpuls enes sten Köpes 6.5 Anwendungen 6.6 Dehmpuls enes sten Köpes Täghetstenso Dehung enes Qudes um Rumdgonle Täghetsellpsod Hupttäghetsmomente Fee Ahsen und Hupttäghetsmomente Stltät Fee Ahsen esuh: Stle Ahsen 6.7 Kesel esuh: Kugelkesel, Gyoskop Käftefee symmetshe Kesel Nutton des symmetshen Kesels Päzesson, Päzessonsfequenz esuh: Stehufkesel esuh: Künstlhe Hozont En shönes Wohenende