Arbeitsbereich Mechanik I. Prof. Dr.-Ing. U. Weltin. Dipl.-Ing. C. Thomas / Dipl.-Ing. T. Steinweger. Vorlesungsmitschrift. Technische Mechanik I

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1 Aetseech Mechnk I Pf. D.-Ing. U. Weltn Dpl.-Ing. C. Thms / Dpl.-Ing. T. tenwege Vlesungsmtschft Technsche Mechnk I ttk tnd W /6

2 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I Inhltsezechns Vwt... Kft.... Kftekt.... Käfte m Punkt n de Eene.... Bespele (Zentle Käftessteme)... 6 lechgewcht des sten Köpes.... Mment.... Mmentenekt.... lechgewcht des sten Köpes m um.... Bespele... chwepunkt lächenschwepunkt... chweke.... Kntenpunktefhen.... tte-chntt (tte sches chnttefhen) Nullstäe tltät n lechgewchtslgen Aetsegff n de ttk lechgewchtslgen und deen tltät enelsete Kdnten... 7 Vtuelle Aet Vtuelle Vescheung Vtuelle Aet Pnzp de tuellen Vescheung... 8 Hftung und eung Culmsche eung Hftung elhftung / eleung... 9 chnttgößen m Blken... Empfhlene tetu... 8 tnd Okt

3 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I Vwt In de Vlesung Mechnk I (ttk) weden de wchtgsten undlgen de ttk eläutet. Hee weden eemplsche Bespele zum Vlesungsstff n de Vlesung geechnet. In de duch Tuten eteuten uppenüung sll de Vlesungsstff duch selständges echnen de Üungsufgen eteft weden. Zel de Venstltung st, tudenten n de ge zu esetzen, selständg sttsche Pleme des Ingeneuwesens zu fmuleen und zu lösen und dmt de fchlchen Vussetzungen fü de Telnhme n wetefühenden chlesungen zu efüllen. De stchwttge Tet de nchflgenden Vlesungsmtschft st nu zum euch wähend de Vlesung estmmt und mcht wede de Telnhme n de Vlesung nch ds egänzende tetustudum üeflüssg! ede knn ttz engehende und gündlche Püfung ncht usgeschlssen weden, dss sch Tppfehle engeschlchen hen. Zu Besetgung de Mängel tten w lle tudeenden dese ehle den Tuten de lesungsegletenden uppenüung mtzutelen, dmt dese ldgst kget weden können. tnd Okt

4 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I Kftegff Ene Kft st ene phsklsche össe de duch: α Betg chtung Angffspunkt defnet st. Wkungslne. Kftekt Betg und chtung de Kft können mthemtsch ls Vekt dgestellt weden n de Eene: e e chtungsekten Kftkmpnenten m um: e z e e z z e z e z e tnd Okt

5 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I. Käfte m Punkt n de Eene Zwe n enem Punkt P ngefende Käfte können zu ene esulteenden zusmmengefsst weden. P Bespel:,N,,N,N,9N,7N,N Betg de esulteenden:,96n.. lechgewcht m Punkt Wenn de esulteende de Käfte n enem Punkt glech Null st, entsteht n desem Punkt kene Wkung (we z. B. ene Bewegung) und mn spcht n lechgewcht: n lechgewcht n Kmpnenten: n n n n z (mum) tnd Okt

6 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I. Bespele (Zentle Käftessteme) egeen snd de ewchte,, und, de sch n de gezechneten ge m lechgewcht efnden. Welche Wnkel stellen sch n den Vendungsselen en? ) eköpeld: I sn cs II III ) lechgewcht: Käfteglechgewcht m Telsstem II cs α cs α () sn α sn α () tnd Okt 6

7 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I Enschu: Enhetskes nch Pthgs: ϕ ϕ sn cs mt : ϕ ϕ cs sn sn cs ) Auflösung: us (): cs cs α α us (): ( ) sn sn α α ()(): cs sn sn cs sn α α α α α sn α sn α α csn us (): sn α α csn csn csn tnd Okt 7

8 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I. Bespel: Zentle Käfteguppe m um egeen: lggenmst mt Amessungen und de (Wnd-) Kft z Wnd esucht: elkäfte und Kft m lggenmst ) eköpeld: z tnd Okt 8

9 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I ) lechgewcht (ektelle Dstellung): mt: e, e, e P Otsekt de st e P Betg des Otsekts ngewendet uf e, e und e Es flgt: egt sch fü (, mt e e we P, Dmt st de Kftekt und entspechend): P,, und e P, chtungsekt ( ) ( ) ( ) P, (mt ls Kuzschewese fü ): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) st tnd Okt 9

10 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I ) Auflösung: ( ) ( ) ( ) A,,, Enschu: nees lechungssstem n Mtschewese Vekt de echten ete (gegeene Belstung) Vekt de uneknnten (gesuchten) el und tkäfte, und Keffzenten- de stemmt (stemstuktu) A ösung z.b. üe uß-algthmus tnd Okt

11 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I lechgewcht des sten Köpes. Mment Defntn Käftep: glechgße, entgegengesetzt wkende Käfte uf pllelen Wkungslnen Bespel: Ws muss m nne gleche Wkung echtet weden, wenn de Kft n den Punkt P pllel eschen weden sll? P h P M M h hheelm Käftep De Enzelkft ht n Bezug zum Punkt P ene lnksdehende Wkung (estes Bld). Ds Hnzufügen zwee entgegengesetzte, glechgße Käfte m Punkt P ändet n de Wkung nchts, de umme lle Käfte st uneändet. De Enzelkft und ene de, m Astnd h hnzugefügten Käfte lden en Käftep, ds de Dehwkung de Kft ldet (mttlees Bld). De Dehwkung des Käftepes wd ls Mment M geldet (echtes Bld). Es glt: M h mt : Kftetg h : Heelm des Käfteps Defntn des Mmentes: En Mment M ht: enen Betg enen Dehsnn kene Wkungslne (d.h. ds Käftep knn hne Ändeung de Wkung n elegen tellen m Köpe ngefen) Enhet des Mments: Nm Newtn-Mete tnd Okt

12 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I enus we mn mehee Käfte n enem Punkt P zu ene esulteenden zusmmenfssen knn, knn mn deen Mmente zu enem esulteenden Mment M zusmmenfssen: h h M P M h M M h : jewels ds t de Wkungslne ene Kft zum Punkt P zw. Heelm de Kft. Dehwkung de Käfte ezüglch des Punktes P M h M h M h esulteenden ößen n M n M n h Meke: Ene Kft ht kene Dehwkung zw. Mment ez. ene Dehchse, wenn - de Wkungslne de Kft duch de Dehchse zegt - de de Kft pllel zu Dehchse st. Mmentenekt ü äumlche Pleme knn ds Mment ene Kft ezüglch enes Punktes P mt Hlfe des Keuzpduktes ufgestellt weden: M (P) mt M ( P) : Mmentenekt zgl. des Punktes P : Kft : Otsekt m Punkt P zu Wkungslne de Kft We zu lssen sch enzelne Mmentenekten zu enem esulteenden Mment zusmmenfssen: M n M n tnd Okt

13 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I Bespel: Mmentenekt ene Kft ezüglch des Kdntenuspungs esucht: esulteendes Mment ( ) M tn α cs α ls Kmpnente: ( ) cs M α ( ) z e sn M ϕ m ϕ ls enschleßendem Wnkel n Otsekt und Kft Keuzpdukt: M e z z z z,,,, : m Bespel he z z tnd Okt

14 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I. lechgewcht des sten Köpes m um En ncht geundene ste Köpe ht 6 Bewegungsmöglchketen zw. ehetsgde m um: tnsltsche ehetsgde entlng de Achsen -, - und z- ttsche ehetsgde um de Achsen -, - und z- Dmt lechgewcht möglch st, snd 6 Bndungen efdelch. Dese Bndungen lssen sch mt den lechgewchtsedngungen: n n (), M de n Kmpnenten: ( ), M ( ), M ( ) z, M z Beechnen: En ste Köpe st m lechgewcht, wenn de umme lle ngefenden Käfte und de umme lle ngefenden Mmente glech Null st! ü eene Pleme eduzet sch de Anzhl de ehetsgde enes sten Köpes uf ( Tnsltnen ttn). Dementspechend stehen lechgewchtsedngungen zu Beechnung de de Bndungen Vefügung:,, M z ( ) tnd Okt

15 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I. Bespele Veetung fü de flgenden Aufgen: gesmle: estlge: zwewetges ge, d.h. es knn ektnen üetgen. Es lässt ene Dehung, e kene Vescheung zu. ml: ektnen: A h A slge: enwetges ge, d.h. es knn nu ektn üetgen. Es lässt swhl ene Dehung ls uch ene Vescheung zu (he hzntl, e uch etkl de elege Anstellungen möglch). ml: ektn: A Bespel: Täge uf zwe gen egeen st en duch ene Kft elstete Blken, de mt enem est- und enem slge gestützt wd. Mechnsches Mdell Blken estlge slge esucht: Käfte n den gen tnd Okt

16 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I ) eköpeld: A B A B ) lechgewcht: A () M A B ( A ) hb ( ) B { h () () M (A) : Mment um Punkt A h B und h : Heelme de Käfte B und zum Punkt A ) Auflösen: us () us () B A B Bespel: Täge mt feste Enspnnung A P egeen: esucht: P, Käfte n A ) eköpeld: tnd Okt 6

17 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I ) lechgewcht: A () A P () ( A ) M M P () ) Auflösen: us (): us (): us (): A A P M P Bespel (D): Blken uf tützen 7 tn α α 7 tn β We gß snd de Käfte n den tützen? ) eköpeld: P tnd Okt 7

18 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I ) lechgewcht: ( ) ( ) / / 7 7 / 8 7 / 8, ( ) ( ) Bezugspunkt fü Mmentenglechgewcht s wählen, dss möglchst de Otsekten zu den Wkungslnen de Käfte zu Nullekten weden. He:,, wenn P ls Bezugspunkt gewählt wd. M (P), g 7 g ) Auflösen: (P) M g e e e z e e g 7 7 7e z e e e z e e e z 6 6 Mz 7 7 lechungen Uneknnte! 8 8 tnd Okt 8

19 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I Bespel (D): Tsch uf 6 tützen En Tsch uf 6 tützen wd duch ds Egengewcht de Tschpltte elstet. esucht:, K, 6 Vgehen (llgemen): ) eköpeld ) lechgewcht ) Auflösen z ) eköpeld: 6 tnd Okt 9

20 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I ) hne mmete: 6 () M g 6 6 () ewchtskft und tkäfte:,,,,,, 6 6 Zu Beechnung de Mmentenekten weden de Otsekten zgl. des Dehpunktes (he Uspung) enötgt:,,, 6 g Dus lssen sch de Mmentenekten estmmen: tnd Okt

21 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I dmt egeen sch us (): 6 und us (): M 6 Duch Üetgen n Mtschewese egt sch flgendes lechungssstem: 6 6 ) Auflösen des lechungssstems ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) us () und (8): 6 (9) us (7) mt (9) und (6): () us () mt () und(): tnd Okt

22 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I ) unte Bechtung de mmete: 6 6 csβ etennscht: csβ 6 6 sn 6sn snα snα sn sn z snα snα sn α sn α sn α mt α tnd Okt

23 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I Enschu: upepstn upepstn st de Zusmmensetzung enzelne (n de egel enfche) stfälle zum esmt- stsstem: Bespel: stfll stfll A A A A A A B B B De geektn des esmtsstems egt sch us de umme de geektnen de enzelnen stfälle: A A B A A B A A B Achtung! Ds upepstnspnzp glt nu fü lnee steme. (In de Vlesung TM I weden fst nu lnee steme etchtet.) Bespel: Ene uppe Wndee möchte tckenen ußes enen Bch üequeen. Dzu enden se zwe zufällg dt legende Äste mt den tümpfen enes uppenmtgleds. e knten de ußenden n cke und m Astnd zuennde n Ast I und de ndeen Enden de cken n Ast II und legen dese Knstuktn ( m, m) üe den Bch. eundlchewese steht m Wäscheschld de tümpfe deen zulässge Zugkft zul N. De schweste Wndee wegt 9kg. Können de Wndee den Bch tcken üequeen? (esucht st ls de mmle n den tümpfen uftetende Zugkft.) tnd Okt

24 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I chtt : Beechnung de geektnen ) eköpeld: m B A V ) lechgewcht und Auflösen: M B ( ) ( ) A A m m ( ) M A V B B m m tnd Okt

25 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I chtt : Beechnung de Käfte n den tümpfen ) eköpeld: I II eköpeld de tümpfe: ) lechgewcht und Auflösen: ( ) A ( ) M m A m m m ( ) ( ) A ( ) m ( ) ( ) ( ) M m A m m We gß st de Kft, wenn de dckste Wndee uf dem esten tumpf steht? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m ( ) ( ) m m m < tnd Okt

26 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I Ht de Wndeeguppe ene Knstuktn gewählt, de de zulässge Zugkft de tümpfe mml usnutzt? Nen! tumpf wd nu duch Duckkäfte enspucht. D de tümpfe kene Duckkäfte ufnehmen können, st Pstn ken snnlle Ot. De Äste stützen sch n dese telle gegensetg, hne dss tumpf elstet wd. eegnete st de Andnung ede tümpfe n Punkt (sehe kzze). Dmt de Knstuktn n dese Andnung de Wndee sche tägt, muss < sen. zul m ( ) m m < < zul zul De tümpfe eßen ls e m zul ( ) ( 8 ) 9 9,8 m Auch dese Knstuktn sllte de schweste Wndee ncht eteten! tnd Okt 6

27 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I chwepunkt An welche telle und mt welche Kft H muss ds gewchtslse Bett untestützt weden, dmt es sch m lechgewcht efndet? lechgewcht: ( ) H m g m g H M m g H m g H n n n n n n m m Entspechend glt fü de ndeen Kdntenchtungen: n n m m n n m z m z tnd Okt 7

28 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I Bespel: chwepunkt zusmmengesetzte lächen esucht: Kdnten, des esmtschwepunkts chwepunktstelle: Köpe m ttsche Mmente m m A t ρ ˆ 9 7 A t ρ ˆ Σ 8 8 Dmt egt sch: n m n m m n m n 8 7 tnd Okt 8

29 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Bespel: Deeckslst esucht: Käfte n A und B Aetseech Mechnk I egeen: Deecksfömge Pltte ) m ) m ) t cm (Dcke) kg ) ρ 78 (Dchte) m A B lechgewcht mt Estzkft: q() da s d H q Mt: q ( ) q [ N ] da q ( ) d m M H () q q Dmt egt sch: q ( ) d H q( ) ( ) d H H q( ) q( ) ( ) d q d q H q d q d q q q d q d geektnen: A H B A B V V H H tnd Okt 9

30 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I Altente ösung: Bestmmung de lächenlst q (äqulente Deecksfläche), de ds ewcht des Deecks epäsentet. Dzu wd zunächst de ewchtskft us dem esmtgewcht emttelt: m g ρ V g ρ t g Deecksfläche: ˆ q q q( ) q Bestmmung des chwepunktsstnds : q q( ) ( ) q d d ( ) d d q ( ) d s tnd Okt

31 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I. lächenschwepunkt da und da s da da ml: A da d d ummtn n üe ene elegen telle ( ) ( d) A da d ummtn üe n ene elegen telle ) ummtn zunächst üe : dadd d d A A dd d d ) ummtn zunächst üe A dd d d tnd Okt

32 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I Zu chwepunktseechnung fehlt nch ds sttsches Mment : da d d d d d d da de ltent: 6 6 d d d da Dmt: Bespel: Kes n ktesschen Kdnten d d da Kesglechung: d d da ( ) () csn csn csn csn d d d da A (z.b. Bnsten) ösung us Integltfel A π tnd Okt

33 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk ttsches Mment: da d d chwepunkt: da da s π π Aetseech Mechnk I ( ) d ösung us Integltfel Bespel: Kes n Plkdnten De glt flgende Zusmmenhng zwschen Kt. Kdnten ( e Plkdnten ( e,eϕ ):, e ) und cs ϕ sn ϕ cs ϕ sn ϕ e ϕ eϕ e da dϕ d π A da ddϕ dϕ A ttsches Mment: da π π csϕ ddϕ chwepunkt: s π Aus mmetegünden glt: π π π d cs d snϕ π ϕ ϕ s s da dϕ e Üe de ücktnsfmtn mt schleßlch: π s und ϕ s π s cs ϕ, snϕ fndet mn s s s s s tnd Okt

34 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I chweke Enletende gestellung: egeen st ds flgende us täen zusmmengesetzte Tgwek II I esucht: tkäfte. Kntenpunktefhen Anwendung des Kntenpunktefhens : Vgehen: ) eköpeld ) Auflgekäfte ) lechgewcht n llen Knten: ü jedem Knten ehenflge: Zuest Betchtung n Knten mt höchstens uneknnten Käften ) Pe mt letztem Knten tnd Okt

35 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I Anwendung uf Bespel n en: ) eköpeld: (knn n ds chwek engezechnet weden) ) Auflgekäfte (zunächst stfll: ; P ): A H (B) M A P A H M (A ) A P B P V B V P A P B ) lechgewchte n den Knten: Knten I: A A P A H A P A Knten II: Knten III: 6 P P P 6 P 6 Weteechnen füht uf 7. Aus mmete zu ekennt mn jedch: P 7 Kntlle (echtes ge): 7 B B 7 P tnd Okt

36 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I. tte-chntt (tte sches chnttefhen) Vgehen n de Eene:. chntt duch täe, deen Wkungslnen sch ncht n enem enzgen Punkt teffen düfen. gekäfte m esmtsstem. lechgewchtsedngungen n den Telsstemen ufstellen, möglchst s, dss mme nu ene Uneknnte ufttt (Mmentenglechgewchte) Bespel: egeen: esucht:,, A/ C B/ Beechnung de Kft (lnkes Telsstem): } A c M Beechnung de Kft (lnkes Telsstem): } A M Beechnung de Kft (lnkes Telsstem): } A tnd Okt 6

37 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I. Nullstäe Oft können n chweken fü gegeene Belstungen Nullstäe, d.h. täe, de ugenlcklch (nu fü de gegeene Belstung) kene st tgen, dentfzet weden. Auf Nullstäe knn n elen Tgweken ncht ezchtet weden, wel se de tltät des stems ehlten.) Klene Impefektnen m Tgwek (el mme hnden) fühen zu Belstungen n den Nullstäen. De flgenden egeln helfen em Auffnden de Nullstäe:. nd n enem unelsteten Knten zwe täe ngeschlssen, de ncht n gleche chtung legen ( unelstete Zweschlg ), s snd ede täe Nullstäe.. nd n enem elsteten Knten zwe täe ngeschlssen und geft ene äußee Kft n chtung enes tes n, s st de ndee t en Nullst.. nd n enem unelsteten Knten de täe ngeschlssen, n denen zwe n de gleche chtung zegen, s st de dtte t en Nullst. Dese de egeln flgen us den lechgewchtsedngungen n den Knten. egel egel egel cs ϕ cs ϕ Bespel: Nullstäe: täe 7,,, 9 (jewels egel ) tnd Okt 7

38 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I 6 tltät n lechgewchtslgen 6. Aetsegff n de ttk Mechnsche Aet: W ds Nu wenn de Aet W (gelestet duch de Kft ) unhängg n de Whl des Weges (Γ, Γ, Γ ) st, knn fü ds Agument en ttles (llständges) Dffeentl ngegeen weden: ds Γ Γ Γ dw du ds Ptenzl de Kft In ktesschen Kdnten: Mt: ds e e z e z d e d e dz e z du d d z dz Bespel: h m Msse m Edschweefeld z g Aet de (äußeen) Kft : W h dz h ü de ewchtskft glt: U Π du (U U ) U U h Π dz h h U U h tnd Okt 8

39 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I Bespel: esucht: chuenfede Ptenzelle Enege ene ede, de um de tecke elänget wd. edegesetz (Hk sches esetz): nnee Kft c c unefmte ge c c: edestefgket (tegung de Kft-Weg Kennlne) Aet de äußeen Kft: c tn α c W (Deecksfläche) W läche unte dem phen Aet de nneen Kft: du d (ückstellende Kft, dhe negt) U U U c du du } (U U ) c U c d c c d tnd Okt 9

40 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I 6. lechgewchtslgen und deen tltät Efhung: stl nstl Nch klenen töungen keht de Köpe n sene uspünglche lechgewchtslge zuück Klene töungen fühen zum Velust de lechgewchtslge Kteum: ü lechgewchtslgen nmmt de ptenzelle Enege Etemwete n. Ene Zunhme de ptenzellen Enege e klenen Auslenkungen us de sttschen lechgewchtslge füht zu stlen lechgewchtslgen, nmmt se wete, st de lechgewchtlge nstl. Tlentwcklung de ptenzellen Enege U: du d U U U ϕ ϕ U ϕ ϕ ϕ ϕ dϕ dϕ enzüegng: du ( ) ( ) ϕ... ϕ ϕ Identfzet lechgewchtslge tltät ϕ flls> du d U ϕϕ δϕ δϕ... ϕϕ dϕ dϕ töung de ptenzellen Enege e klenen töungen dϕ tnd Okt

41 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I 6. enelsete Kdnten Bescheung de Bewegung mt sg. genelseten Kdnten: mnmle Anzhl de Kdnten zu Bescheung enes stems endeutge, unhängge Bescheung elege Pstnen Bespel: Punktmsse cs cs Ene Bescheung üe st ncht endeutg, d ene gleche Höhenlge de Punktmsse n de lnken und echten ete des Pendels möglch st. Ene gleche -Pstn wd ehl und untehl de wgeechten ge engenmmen. Ene endeutge geescheung eflgt he nu duch den Dehwnkel, dhe ldet ϕ ene genelsete Kdnte. Ptenzelle Enege: U m g m g cs ϕ Tl: U ( ) du ϕϕ d ϕ d U dϕ ϕϕ ( ϕ ϕ) U( ϕ ) ϕ ϕ... lechgewcht Entschedung üe tltät de lechgewchtslge lechgewchtslgen:! du m g sn ϕ dϕ ϕ ϕ π möglche lechgewchtslgen tltät: d U fü ϕ : mg cs ϕ > dϕ ϕ ϕ d U fü ϕ π : mg cs ϕ < dϕ ϕ π ϕ π tle lechgewchtslge Instle lechgewchtslge tnd Okt

42 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I Bespel: Dppelpendel esucht: Wnkel ϕ fü lechgewcht und de tltät de lechgewchtslgen ) Ptenzelle Enege U: m U gz mgz mgz m z ϕ z ϕ z ϕ z ϕ m m ) enelsete Kdnte ϕ: z cs ϕ, z sn ϕ, z cs ϕ m m U g cs ϕ mg sn ϕ mg cs ϕ g cs ϕ mg sn ϕ ) lechgewchtslgen:! du dϕ m g sn ϕ mg! cs ϕ mg (sn ϕ cs ϕ) ) tltätsentschedung: d U mg cs ϕ sn ϕ dϕ d U d ϕ 6 ϕ sn ϕ cs ϕ tn ϕ ϕ 6, ϕ ( ) mg ( cs 6 sn6 ) > lechgewchtslge ϕ 6 stl! tnd Okt

43 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I 7 Vtuelle Aet 7. Vtuelle Vescheung Defntn: - edchte Veückung enes stems, de n Wklchket ncht hnden st (estet nu m Kpf) - Auftetende Vescheungen snd dffeentell klen ( neseung!) - Vescheungen müssen gemetsch möglch sen zw. mt de Knemtk des stem etäglch Vtuelle Vescheungen weden mt enem ngestellten δ gekennzechnet. 7. Vtuelle Aet. Pnzp de tuellen Vescheung: δ W δ Vtn de Pstn. Pnzp de tuellen Käfte: δ W δ Vtn de Kft In de ttk glt llgemen: δ W! tuelle Aet Im lechgewchtsfll ttt kene tuelle Aet uf. Im flgenden wd nu uf ds Pnzp de tuellen Vescheung engegngen. 7. Pnzp de tuellen Vescheung tellt ene Altente fü de lechgewchtsezehungen d. Allgemenes Vgehen:. Uneknnte (gesuchte) geektn uslösen und duch ene entspechende Enzelkft de en Mment esetzen. Ds stem wd heduch eweglch.. stem n gedchte usgelenkte ge skzzeen (Veückungsfgu).. Vtuelle Aet lle Käfte/Mmente ufstellen. δw δ, δw M δϕ. De umme lle tuelle Aeten st Null (Pnzp de tuellen Aet).! δw δw. Ausdücken lle tuellen Vescheungen duch ene genelsete Kdnte q (knemtsche Kpplung). 6. Uneknnte emtteln. δ q δ st ds Vtnssml, δw δ, δw M δϕ snd este Vtnen de Aet de Kft, zw. des Mmentes M. tnd Okt

44 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I Bespel: esucht: gekft m mttleen ge q ) Veückungsfgu: q q δϕ δ δ δ B B ) Vtuelle Aet: δ W Bδ B q δ q δ ) enelsete Kdnte: δϕ de δ δ δϕ δ δ δ δϕ δ B δ δ δϕ B Mt de genelseten Kdnte δϕ flgt fü de tuelle Aet: δw Bδϕ q δϕ q δϕ δϕ B q ( ) B q tnd Okt

45 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I Bespel: / M (lnks m elenk) / A B C egeen:,, M esucht: gekft n C ) Veückungsfgu: / M / δ δ ) Vtuelle Aet: δ W δ δ δ C C ) enelsete Kdnte: δ δ δ δ Mt de gen. Kdnte flgt fü de tuelle Aet: 7 Cδ C 6 esucht: gekft n B / δϕ δ δϕ B tnd Okt

46 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I δ W δ( B) δ Mt de gen. Kdnte δϕ flgt fü de tuelle Aet: δ δϕ und δ δϕ δw ( B) δϕ B esucht: Enspnnmment n A / M A M δ W MAδϕ δz Mδϕ δ enelsete Kdnte: δϕ δz δϕ δψ δϕ δ δψ δ δϕ δ δ δ δ δ δϕ δw δϕm M M A M 6 A esucht: etkle Enspnnkft n A / M A tnd Okt 6

47 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I A W δ δ δ δ enelsete Kdnte: δϕ δϕ δ δ δ δ δ δϕ δ δϕ δ A W A esucht: elenkkft / Auslösen enes elenkes: enelsete Kdnte: δ δ δ δ δ δ δ δ δ W st eweglch ( ehetsgd) Kntlle: Käfteglechgewcht fü esmtsstem n etkle chtung C B A tnd Okt 7

48 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I 8 Hftung und eung 8. Culmsche eung Enfchstes eungsgesetz : Culm (76-86) Bewegung enes Köpes mt knstnte eschwndgket uf ene uen Untelge: u Mg N Efhung sgt: ~ N Culmsche eung: µ N (µ : eewet / ekeffzent) Im eschntt muss de ekft entgegen de Bewegungschtung ls zusätzlche äußee Kft ngetgen weden. Ih Betg flgt us dem egesetzt. H µ N µ Mg Es gt nu ene Kft, fü de sch ds stem mt knstnte eschwndgket ewegt. Dese Kft wd duch ds stem estmmt! ü ndee Wete n ttt ene Beschleungung uf ( TM ). 8. Hftung Ttt kene eltewegung zwschen den Köpen uf, legt Hftung. u Mg H N Es glt: H < µ N (µ : Hftewet / Hftungskeffzent) tnd Okt 8

49 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I De Hftkft H lässt sch endeutg (Betg und chtung) us den lechgewchtsedngungen estmmen. H H H ü den enzfll (Köpe geht n Bewegung üe) glt: H µ N Im egenstz zu Hftung muss H entgegen de ttsächlchen Bewegungschtung ngetgen weden und knn ncht fe gewählt weden. Tpsche Wete fü µ und µ : µ (Hftung) µ (eung) thl thl,...,,..., efen tße,8...,,...,8 k chnee,...,,..., Bespel: Welchen Wet df nnehmen, dmt de Kste uf de schefen Eene ncht utscht! µ α eköpeld: (Annhme: Kste utscht unte) α H N tnd Okt 9

50 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I lechgewcht: : sn α H H snα : cs α N N cs α egesetz: H µ N ( sn α µ cs α) ällt de Kft unte desen Wet, egnnt de Kste de Eene hnunte zu utschen. eköpeld: (Annhme: Kste wd hchgezgen) α H N lechgewcht: : sn α H H snα : cs α N N cs α egesetz: H µ N ( µ cs α snα) De Kft muss desen Wet üestegen, um de Kste de Eene hnuf zu zehen. tnd Okt

51 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I 8. elhftung / eleung α dϕ ϕ ds d dϕ dh dϕ dn ds dϕ lechgewcht: dϕ dϕ : cs ( d) cs dh () dϕ dϕ : dn sn ( d) sn () ϕ ϕ fü klene Wnkel lneset mt snϕ ϕ, sn, csϕ dϕ d sn st n höhee Odnung klen Hftung m enzfll: dh µ dn us (): dh d µ dn d µ dn d () us (): dn dϕ dn dϕ () us () und (): µ dϕ d Integtn: α µ d ϕ µ µ d α α ln α ln ln µ α e (Etelwensche eleung) tnd Okt

52 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I De Heletung eückschtgt den ll, dss de eleung estäkend wkt ( > ). Muss de eung zusätzlch üewunden weden, ändet sch de chtung n dh und es flgt: µ α e (Vetuschung n und ) De hegeleteten Bezehungen gelten uch fü den ll ene uftetenden eltewegung, wenn de Hftewet µ duch den eewet µ esetzt wd. tnd Okt

53 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I 9 chnttgößen m Blken chnttgößen snd nnee Käfte und stellen en Mß fü de ötlche Mtelenspuchung d. Untesuchung de Tgfähgket Dmensneung de Queschntte Vefmung des Tgweks chntt duch enen elsteten Täge: q() chntt M Q z N N Q z q() z pstes chnttufe M negtes chnttufe Es wd en echtshnd-kdntensstem mt -Achse entlng des Täges und de z-achse nch unten engefüht. Üe den Nmlenekt de chnttfläche lässt sch en pstes chnttufe (Nmlenekt zegt n chtung de -Achse) und en negtes chnttufe (Nmlenekt zegt entgegen de -Achse) defneen. Als chnttgößen weden Nmlkft (N ), Quekft (Q ) und ene Begemment (M ) unte Bechtung des egenwkungspnzps ngetgen. tnd Okt

54 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I Vzechenknentn: Am psten chnttufe zegen pste chnttgößen n Achschtung des Kdntensstems. lechgewcht m Blkenelement: N() Q() M() d q() M(d)M()dM N(d)N()dN Q(d)Q()dQ ( Q() dq) z Q() q()d dq d q( ) d M M ( ) q( ) d Q( ) d dqd M( ) dm dm d Q( ) Bespel: -eld-blken z A z A A z z M M A M A 7 tnd Okt

55 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I Q < < : - pung mt A z - q Q knstnt < < : - pung mt - q Q knstnt < < : - q knst. Q lne - Q() M - - qud. Pel < < : - pung mt M A - Q knst. M lne < < : - Q knst. M lne M - (A) 7 < < : - Q lne. M qud. - M() Bespel: chnttgößen m hmen z N - A z M A Q A Q A M - A 8 N A tnd Okt

56 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I Q Q ( ) q( ) d M ( ) Q( ) - - qud. Pel M 8 - / - / - - d kusche Pel tegung tegung - / 8 - / tegung Ecke: chnttld fü Üegngsedngungen M Q N z M Q N z tnd Okt 6

57 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I Bespel: esucht: T A chnttkfteläufe N, Q, T, M Blken : N A z Q za Q A M A N A N( ) Q Q ( ) A Q za Q z ( ) TA T MA M MzA Mz ( ) ( ) ( ) M za z Blken : Betchtung m lnken chnttufe M z N N ( ) Qz Q ( ) Q z( ) T ( ) M ( ) ( ) M z tnd Okt 7

58 Technsche Mechnk I Vlesung - ttk Aetseech Mechnk I Empfhlene tetu ehüche: [] ss, D., Huge, W., chnell, W.: Technsche Mechnk I (ttk) pnge-ehuch, 998 (TU-Blthek: MD-) [] Hgedn, P.: Technsche Mechnk, Bnd I (ttk) H Deutsch, 99 (TU-Blthek: MD-) [] Assmnn, B.: Technsche Mechnk, Bnd I. Oldenug Velg, 99 (TU-Blthek: MD-9) [] Mgnus, K., Mülle, H.: undlgen de Technschen Mechnk Teune-tudenüche, 99 (TU-Blthek: MD-7) Aufgensmmlungen: [] Huge, W., ppmnn, H., Mnnl, V.: Aufgen zu Technsche Mechnk - pnge, 99 (TU-Blthek: MD-) [] chnell, W., ss, D.: mel- und Aufgensmmlung zu Technschen Mechnk I pnge, 998 (TU-Blthek: MD-) [] Mgnus, K., Mülle, H.: Üungen zu Technschen Mechnk Teune-tudenüche, 988 (TU-Blthek: MD-6) tnd Okt 8