Kapitel 5 Dynamik ausgedehnter, dht starrer Körper
|
|
- Reiner Lenz
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Kptel 5 Dnmk usgedehnte, dht ste Köpe
2 Volumen, Msse, Dchte des usgedehnten sten Köpes bshe betchtet : Mssenpunkte, ohne Ausdehnung jett betchtet : usgedehnte Köpe, be (noch) ncht defomeb pnpelles Vogehen : Zelegung des Köpes n Volumen-Elemente Summton übe Volumenelemente Volumen : Msse : Dchte : V ΔV M Δm ρ Δm ΔV
3 us : M Δm ΔV N N ΔV ΔV ρ ΔV egbt sch fü nfntesml t klene Volumenelementen : V M lm ΔV 0 N ρ ΔV ( ) dv V dv V Anmekung : Volumen-Elemente können n veschedenen Koodnten-sstemen beechnet weden Ktessche Kood. dv d d d Zlnde-Kood. dv d dϕϕ d Kugel-Kood. dv d snϑ dϑ d ϕ 3
4 Mthemtsche Zwschenbemekung : Volumen-ntegl n ktesschen Kood. c b Volumenelemente snd klene Qude mt dv d d d V dv V V d d d 4
5 Auswetung V des ntegls : d d d Bespel : fü ds Volumen enes Qude egbt sch us dem ntegl : V d d d ( )( ) ( ) b c bechte : Sondefll be de ntegton des Volumens enes Qudes n ktesschen Koodnten : ntegtonsgenen snd konstnt; m Allgemenen hängen de ntegtonsgenen vonennde b,.b. (,) d Msse : M ρ(,, ) d d Be konstnte Dchte : M ρ0 V dv 5
6 Mthemtsche Zwschenbemekung : Volumen-ntegl n Zlnde-Kood. dl d dl dϕ dl 3 d Volumenelemente snd klene Rngsegmente mt dv d dϕ d 6
7 Auswetung des ntegls : V ϕ ϕ d d ϕ d Bespel : fü ds Volumen enes Zlndes egbt sch us dem ntegl : V R π h R d d ϕ d π h π R bechte : Sondefll be de ntegton des Volumens enes Zlndes n Zlnde- Koodnten : ntegtonsgenen snd konstnt; m Allgemenen hängen de ntegtonsgenen t vonennde b h 7
8 Mthemtsche Zwschenbemekung : Volumen-ntegl n Kugel-Kood. ähnlch we bem Zlnde snd de Volumenelemente n Kugelkoodnten Rngsegmente; lledngs st de Rdus des Rngs bhängg von de Höhe bw. dem Wnkel ϑ 8
9 betchte Schntte n de,-ebene (lnks) und de,-ebene (echts) : dl dϕ snϑ dϕ dl 3 dϑ 3 dl d 9
10 Volumenelemente dv d snϑ dϑ dϕ Auswetung des ntegls : V ϕ ϑ d ϑ dϑ sn ϕ ϑ dϕ Bespel : fü ds Volumen ene Kugel egbt sch us dem ntegl : V R π π 3 R 4 d snϑ dϑ dϕ π π R 3 3 bechte : Sondefll be de ntegton des Volumens ene Kugel n Kugel- Koodnten : ntegtonsgenen snd konstnt; m Allgemenen hängen de ntegtonsgenen vonennde b 0
11 Mssenschwepunkt enes usgedehnten Köpes Summton übe lle Mssenelemente : v N Δm N S N N Δm ρ ΔV Δm füft fü nfntesml lkl klene Elemente : S dm M M V V ρ ( ) dv fü konstnte Dchte : ρ 0 S dv M V V V dv
12 Bewegung (Rotton) enes usgedehnten, sten Köpes Allgemene Aussgen : de Bewegung enes sten Köpes lässt sch stets elegen n Tnslton des Schwepunktes und Rotton des Köpes (m Beug uf den Schwepunkt) vollständge Beschebung de Bewegung gefodet Angbe von : Bhnkuve Schwepunkt : { ( t), ( t), ( )} ( t) S S S t ( t) ( t), ( t), ( t) S Vton Kesfequen/Dehchse : { } bechte : Betg und Rchtung des Vektos können veen! 6 Koodnten 6 Fehetsgde de Bewegung des sten Köpes be Feung des Schwepunkts bleben 3 Fehetsgde be usätlche Feung de Dehchse blebt en Fehetsgd (Rottonswnkel)
13 Käfte m sten Köpe betchte Kft, de n enem feen, sten Köpe ngeft F H F S,s Dehmoment : D s F H F F ( ) ( ) H S F S FH,,, S DS O betchte Kft F, de m Volumenelement dv des Köpes ngeft; w elegen de Kft F n en Käftep F,F H soweenekftf H ; de Betäge de Käfte snd glech; de Käfte F H und F H gefen m Schwepunkt n; F und F H wken we de Käfte n ene Blkenwge mt Mttelpunkt m Vkt Vekto S Rtt Rotton; de Kft F H bewkt offenschtlch htlhk kene Rtt Rotton (d m ndeen Ende de gedchten Blkenwge de gleche Kft F n de gleche Rchtung eht), sonden veschebt den Schwepunkt des Köpe Tnslton 3
14 Dehmomente, veuscht duch de Schwekft Dehmoment n dm : D gesmtes Dehmoment : D g dm g D g ρ ( ) dv g V g dm ρ ( ) dm V V dv SP dm F g dm M mt de Defnton S des Schwepunkts : D M g S folgt : 0 V dm d w be de Lgeung m SP u Begnn gewählt htten : S 0 dh d.h. be Lgeung m Schwepunkt heben sch lle Dehmomente uf de Lge des Köpes st stbl 4
15 Täghetsmoment Dnmk de Dehbewegung wd wesentlch bestmmt duch de Vetelung de Msse Köpe mt glechen Gesmt-Mssen, be unteschedlche Msse/Dchte- Vetelung egen unteschedlche Dnmk Defnton des Täghetsmomentes betchte de knetsche Enege enes Mssenelements dm : dm es se : mt : und ud: ẑ v,,, und dem Abstnd u Dehchse :,,,,,, E Δ m [ ( ) ] kn,,, 5
16 d : E,, 0 Δm, Δm, ( ) kn, d.h. de Enege hängt ledglch vom senkechten Abstnd u Dehchse b ntegton übe lle Mssenelemente lefet : E E kn ot, V dm Rottons- Enege äquvlent u knetschen Enege de Tnsltonsbewegung E kn ½mv defneen w (ls Entspechung u Msse m) ds Täghetsmoment : bechte : Täghetmoment wd bestmmt duch de Abstndsvetelung de Mssen um Dehchse dm, V Rtt Rottonsenege : E ot 6
17 Dehmpuls usgedehnte ste Köpe fü enen Mssenpunkt nkt glt : fü enelne Mssenelemente : ode : mt : L Δm L m v L Δ m v L Δm, mt dem senkechten Antel von bgl. de Dehchse gesmte Dehmpuls : L L Δm, V dm L Rtt Rottonsenege : L E ot Täghetsmoment 7
18 Veglech de phsklschen Gößen be Tnslton und Rotton Tnslton Rotton Ot Geschwndgket v d/dt Beschleungung d /dt Msse m mpuls p Kft F Wnkel ϕ Wnkelgeschwndgket dϕ/dt Wnkelbeschleungung d ϕ/dt Täghetsmoment Dehmpuls L Dehmoment D 8
19 kn. Enege : mpuls/dehmpuls : Tnslton p E kn mv m p m v Rotton L E ot L Kft/Dehmoment : F m m & & D L & & ϕ Bewegungsglechung lh & (be de Schwngung) : m D & ϕ Dϕ 9
20 Dehmpuls und Dehmoment be veende Mssenvetelung betchte de Dehbewegung g enes sten Köpes, be dem sch wähend de Dehung de Mssenvetelung ändet (ncht be de Gesmt-Msse; ohne Enfluß äußee Käfte),.B. Eskunstläufe be Pouette, Dehstuhl, Ändeung de Mssenvetelung füht u Ändeung des Täghetsmoments be : Dehmpuls blebt konstnt (d kene äußeen Dehmomente wken) us : L const. folgt,.b. be Vekleneung von Ehöhung de Rottonsgeschwndgket 0
21 Anmekung : Zu Enegebln bem Dehstuhlvesuch Hnteln usgesteckt :, Hnteln ngeogen : <, > vegleche Enegen : E ot, L < E ot, L Fge : Wohe kommt de Enege?! F Abet gegen Zentfuglkft : ( ) W d m ( ) ZF, d
22 mt : ( ) ) ( (glt ekt fü Punktmssen) ( ) ) ( (g f ) ( ) ) ( ) (, d m W d m d m 3 4 d m d m m ( )..., 4 E m ot mt Msse m ewetet : ( ) 0 < E W mt Msse m ewetet : ( ) 0,, < E W ot d.h. be Bewegung von nch > wd Enege benötgt, be de umgekehten Bewegung von nch wd Enege gewonnen
23 De Stene sche St De Stene sche St beschebt de Relton wschen dem Täghetsmoment A beogen uf belebge Achse A und dem Täghetsmoment S beogen uf ene u A pllele Achse S duch den Schwepunkt us Kenntns von S lässt sch mttels des Stene schen Stes A beechnen R dm es glt : A ( ) A V dm dm V S M V V V dm dm SP R us Defnton des Schwepunkts : V dm M S 0 d de Schwepunkt ls Uspung gewählt wude A S A S M Stene sche St 3
24 Rollbewegungen betchte enen ollenden Zlnde uf ene schefen Ebene : Dehmoment : F D & ϕ m & (äquvlent u ) & wksmes Dehmoment duch Schwekft : D M g snα Täghetsmoment t bgl. des Auflgepunktes A (nch Stene schem St) : S M ( ) Bewegungsglechung Rotton : M g snα S M M g snα S M es folgt fü de Tnsltons- bewegung des Schwepunkts : v& & & 4
25 ode (en weng umgescheben) : g snα S M je göße Täghetsmoment, umso klene de Tnsltonsbeschleungung ode : je gösse de Rottonsenege, umso klene de Tnsltonsenege Köpe mt gleche Gesmtmsse, be unteschedlchem Täghetsmoment ollen unteschedlch schnell de schefe Ebene heunte ltentve Heletung : betchte de Enege-Ehltung : E pot Eot Ekn M g ssnα (wenn de Köpe de Stecke s uf de schefen Ebene uückgelegt ht) mt : v kn M v und : E ot E kn je gösse ds Täghetsmoment, umso göße st de Rottonsenege umso klene de vefügbe Tnsltonsenege (d.h. de eechte Endgeschwndgket) 5
26 Rollbewegungen : Ds Mwell sche Rd Dehmoment : D F M g Täghetsmoment fü Dehung um Abollpunkt : S M M R M Beechnung de Tnsltons-Beschleungung us : v v& & & ϕ de Bewegung des Mwell-Rdes stellt ene Schwngung n de Wnkelkoodnte d; Rückstellmoment : D ϕ& & && ϕ D F v 6
27 Enseten n den Ausduck fü de Beschleungung lefet : D M g... g M R M R gα de Fllbeschleungung g wd lso um den Fkto α hebgesett, so dss mn de Beschleungung m Epement gut beobchten knn. betchte Enege-Ehltung : ΔE M g h E ( h) E ( h) pot tns d.h. nch Fllstecke h ht sch de Enege n Tnslton und Rotton ufgetelt ΔE tns ( h) M v M g h R es egbt sch : v v( h) R E ot ( h) M g h R Δ ( h) de gößte Buchtel wd n Rotton umgewndelt ot 7
28 Bewegungsglechung de Rotton betchte Dehmpuls enes Mssenpunkts n enem Sstem von Mssen : L p ( v ), Δm,, Δm & L Δ m v& F Δ, D ( ), t Veglech de beden Glechungen lefet : Summe übe Dehmomente (bw. Mssenpunkte) : D D Δ m, & D & ϕ äquvlent u : F m & & p, & & Δm dm &, D t t ϕ Lösung fü D const. : ( ) 0 äquvlent u lnee, beschleungte Bewegung n t ϕ 8
29 Dehschwngungen um feste Achse Annhme : Rückstellmoment se popotonl u Auslenkung us de Ruhelge D D ϕ vegleche Hook sches Geset de lneen Bewegung : F D Rchtmoment t D Bewegungsglechung : && ϕ D 0 ϕ mt dem Täghetsmoment 0 des Dehtsches 0 && ϕ D 0 ϕ α ϕ Lösung de Schwngungs-Glechung Glh : ( t ) ϕ sn ( α t ) ϕ 0 mt Ampltude ϕ 0 und Egenfequen α 9
30 Schwngungsdue : π D 0 T 0 ππ ν α be beknntem Rückstellmoment D knn us Messung de Schwngungsdue T 0 ds Täghetsmoment 0 beechnet weden; ode : be beknntem Täghetsmoment 0 des leeen Dehtsches knn us Messung von T 0 ds Rückstellmoment D beechnet weden; wd ene unbeknnte Msse uf den Dehtsch gelegt ( gesmtes Täghetsmoment 0 ), knn us Messung von T und uvo bestmmten D ds unbeknnte Täghetsmoment beechnet weden nch : 0 T π D 30
31 Huptchsen fü Täghetsmomente betchte enen Köpe mt Rottonschse duch den Schwepunkt; ds Täghetsmoment hängt von de Rchtung de Dehchse b nte mn m w weden m Folgenden fnden : es gbt ene Achse m (bw. mn )bgl. dee ds Tä Täghetsmoment t mml (bw. mnml) wd; fü ene belebge Achse m,, de senkecht uf m und mn steht, legt ds Täghetmoment wschen m und mn ;deachsen m, mn stehen th senkecht ufennde; f 3
32 Mthemtsche Zwschenbemekung : Wchtge Vektobeehungen (elevnt fü de folgende Dskusson) D A B C A ( B C ) D A, ( B C) Annhme : B und C spnnen ene Ebene (,) )uf ˆ B ( B C ) us : C ˆ ( B C ) B C ( ) ˆ D muss n de (,) )-Ebene legen D λ B λ B C C ( ) ( Rechnung egt : D A B C AC B AB)C 3
33 Allgemenes um Täghetsmoment Betg enes Mssenelements dm um Dehmpuls L : dl dm Umfomung mt de uvo ( v ) dm [ ( ) ] A B C dl [ ] ( ) hegeleteten Vekto-Relton lefet : dm dv [ ] ρ( ) Gesmtdehmpuls : L ( ) dv n usfühlche L ρ ( ) dv ( ) ( ) Schebwese : ρ dus lssen sch de Komponenten L, L, L dekt beechnen 33
34 [ ] ( ) es folgt fü de -Kpt. : L ρ dv ( ) L dv dv ρ ρ ρ dv de Stuktu de Glechung suggeet de Fom : L Veglech de Koeffenten egbt : ( ) ρ dv ρ ρ dv ρ dv entspechende Glechungen egeben sch fü L, L bw.., 34
35 usmmengefsst ehält mn : L L L n Mtfom : bechte : st ene Mt L ~ mt dem Täghetstenso ~ be belebge Dehchse tgen lle Täghetsmomente jk u Dehmpuls be Anmekung: ~ A M B beschebt Tnsfomton von Vekto B duch Mt M n Vekto A 35
36 Mthemtsche Zwschenbemekung : Abbldung mttels enes Tensos (Mt) 0 0 ' speell : ' ' denttät ' ' denttät 0 0 ' b speell : ' b b Steckung b ' ' b ' M M M llgemen : ' ' M M M M M M Dehung & Steckung ' M M M
37 L L L de Beehung egt, dss dr.d.r. L und ncht pllel uennde snd L Fge : wnn legt L pllel u? Lösung :.B. lle Nchtdgonl-Elemente k 0 ( k) und ddgonl-elemente lel Köpe muss offenschtlch Smmete besten dnn glt : L mt dem sklen Wet 37
38 Anmekung um Täghets-Tenso : ~ gbt Zusmmenhng n wschen Dehmpuls L und Wnkelgeschwndgket fü gegebenen Köpe n gegebenen Koodntensstem KS (,,) Dehung des Koodntensstems ändet de Wete m Tenso vgl. : mth. Dstellung ene Mt hängt von Whl de Enhetsvektoen b es gbt en Koodntensstem KS (,, ), n de de Täghets-Tenso dgonl wd : ~ ' ' ' ' ' ' n KS glt dnn : L L L ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 38
39 ene Tnsfomton T, de Enhetsvektoen n KS so nch KS übefüht, dss de Täghets-Tenso dgonl wd, heßt Huptchsentnsfomton KS T KS' T 0 ' ' ' ' ' ' mthemtsche Anlse egbt : de Huptchsen snd Smmete-Achsen des Köpes bgl. de Huptchsen wd de Täghetstenso dgonl jede Komponente L des Dehmpulses n KS st dnn popotonl u Komponente de Wnkelgeschwndgket : L 39
40 Bespel : Smmetechsen (Huptchsen) enes Qudes ' ' ' 40
41 Täghetsellpsod Rottonsenege be belebge Dehung : ( )( ) m v m Δ Δ ( )( ) ( ) AB B A B A B A w nuten de Beehung : ( )( ) ( ) AB B A B A B A w nuten de Beehung : ( ) ( ) ϑ ϑ cos sn B A B A B A mt : ( ) ( ) ϑ ϑ cos sn B A B A AB mt : ( ) [ ] m v m Δ Δ ntegton übe lle Mssenelemente lefet de gesmte Rottonsenege : ( ) [ ] ( ) dm dm dm E ot 4
42 Betäge de enelnen Komponenten usgescheben : ( ) ( ) ( ) dm dm E ot us-mulpleen und soteen de Teme lefet : ( ) ( ) ( ) dm dm dm E ot dm dm dm w dentfeen de Elemente jk des Täghetstensos und scheben : jk g E ot E 4
43 betchte : E ot foml lässt sch de Glechung scheben ls : E ot T ~ ~ ; T ( ) mt :,, Z ; Z.. tgen lle Täghetsmomente t jk u Rtt Rottonsenege be b 43
44 es se ene belebge Dehchse gewählt; de Rchtung de Dehchse st duch Wnkel α,β,γ bgl. de,,-achsen festgelegt Komponenten de Wnkelgeschwndgket ndgket : cosα cos β cosγ γ β α engesett n de Fomel fü de Rottonsenege E ot 44
45 E ot ( ) ( ) cosα cos β ( cosγ ) ( cosα )( cos β ) ( cosα )( cosγ ) ( cos β )( cosγ ) E ot α, β, γ lefet duch Veglech mt : ( ) ds Täghetsmoment bgl. de Achse, n Abhänggket von α,β,γ : ( α, β, γ ) cos α cos β cos γ cosα cos β cosα cosγ cos β cosγ bechte : (α,β,γ) st ene skle Göße 45
46 .B. Spelfälle : π π,,0 π π,0, π π 0,, 3 π π π,, ( ) 3 4 Anmekung : be Auschtung de Dehchse n e -Rchtung st nu elevnt mn legt ds Koodntensstem (KS) günstgewese unächst so, dss de Dehchse mt de Rchtung ene Achse des KS übeenstmmt bechte : be Enwkung von Dehmomenten knn sch Rchtung de Dehchse änden! 46
47 Rchtungen (α,β,γ), unte denen (α,β,γ) Etemwete nnmmt, heßen Hupttäghetschsen de ugehögen Täghetsmomente heßen Hupttäghetsmomente h tt b t f üh h 0 0 ~ HA 0 0 de Hupttäghetschsen h st dgonl : 0 0 w htten beets fühe gesehen : de Täghetstenso n de Bss d.h. es glt fü lle Ncht-Dgonlelemente : 0 engesett n de Fomel fü (α,β,γ) egbt sch : HA ( ) α β, γ cos α cos β cos γ, Tä Täghets- h Ellpsod Täghetsmoment fü Dehung um Achse, de defnet st übe Wnkel (α,β,γ) bgl. Hupttäghetschsen ( (α,β,γ) enthält kene Teme jk (j k) 47
48 de Rottonsenege egbt sch n de Bss de Huptchsen u : E ot ( cos cos cos ) HA α β γ ( ) Beeche konstnte Rottonsenege be Vton de Komponenten,, (bw. de Wnkel α,β,γ) snd defnet duch : E ot const ( ) Täghets. Täghets- Ellpsod des st offenschtlch de Glechung de Obefläche ene Ellpse, n den Vblen ; vgl. n we Dmensonen : R b,, ; g Spelfll : : E ot const ( ). Glechung ene Kugel 48
49 Mthemtsche Zwschenbemekung : Huptchsentnsfomton Bestmmung de Huptchsentnsfomton : T ' ' ' ' ' ' w suchen de Enhetsvektoen n enem Koodntensstem KS, so dss de Täghetsmt (Tenso) n desem Koodntensstem Dgonlfom ht Suche nch Egenweten und Egenvektoen ene Mt Egenwete (Hupttäghetsmomente) egeben sch us de Egenwetglechung : ~ e H H e H ( ~ ~ ) E e 0 H H ~ det E ~ ( ) 0 H 49
50 H det H 0 H Polnom 3. Gdes 3 Lösungen fü H Hupttäghetsmomente,, Anmekung : mest tbenennung de Hupttäghetsmomente ttäht t mt t, b, c De de Egenvektoen (Hupttäghetschsen) egeben sch nch Enseten de de Lösungen fü H n de Egenwetglechung 3 Glechungen fü 3 Vkt Vektokomponentenk t jd jedes Egenvektos ~ eh, eh, ~ eh, b b eh, b ~ e e H, c c H, c 50
51 Benennung de Hupttäghetschsen (,b,c) : Konventon : b c unte Beug uf de Huptchsen wd : ( α β, γ ) cos α cos β cos γ HA, b c Dehmpuls : L L L b b b Lc cc 5
52 fü de Enege egbt sch : E ( ) ot b b c c E ot L Lb L b c Rottonsenege c smmetsche Kesel : b c smmetsche Kesel : b ode b c ode c bechte : jede ottons-smmetsche Köpe st en smmetsche Kesel be : ncht jede smmetsche Kesel muss Rottonssmmete besten (.B. Wüfel st smmetsche Kesel, bestt be kene Rottonssmmete) L L Lb Lc Spelfll : b c E ( ) Sphäsche h Kesel ot 5
53 Bespele : Asmmetsche Kesel Qude mt b > c es glt fü den Qude : < < < b < c uch hm detomgen, ncht-lneen Molekül glt : b c 53
54 Bespele : Smmetsche Kesel Qude mt b > c polte lt Kesel oblte Kesel < b c b < c 54
55 E ot L Lb L c Täghetsellpsod b c () (b) () Täghetsellpsod fü den polten Kesel. Ds Täghetsellpsod st en lng gestecktes Rottonsellpsod, dessen Smmetechse länge st ls sen Duchmesse. (b) Täghetsellpsod fü den oblten Kesel. Ds Täghetsellpsod st en gestuchtes Rottonsellpsod. Anmekung : fü enen sphäschen Kesel st ds Täghetsellpsod ene Kugel, d.h. Täghetsmoment und Rottonsenege snd fü jede Rottons-Rchtung glech 55
56 Bespel : Hntelmodell enes lneen, wetomgen Molekül c b Huptchsen b c sm. Kesel und : << b,c L L b, c E ot, >> Eot, b c, mn bucht vel (themsche) Enege, um Rotton um Achse nuegen Rotton um st be ncht etem hohen Tempetuen engefoen es wd ken Dehmpuls bgl. de Achse ngeegt L 0 E ot ( L L ) b c L Rotton enes wetomgen Moleküls wd dduch h b c und Gesmtdehmpuls L bescheben 56
57 Rotton um fee Achsen bshe betchtet : Rotton um fest fete Dehchse jett : Rotton um ene fee (d.h. ncht m Köpe fete) Achse epementell egt sch, dss Rotton um de Achsen des klensten und gößten Täghetsmoments stbl st, wähend be Rotton um ndee Achsen klenste Stöungen u nstbltäten (d.h. Tokel-Bewegungen, Umkppen de Achse) fühen () (b) (c) Betchte Rotton enes Qudes (sm. Kesel), de n Fden ufgehängt st; () stble Rotton um Achse gößten Täghetsmoments ; (b) nstble Rotton um Achse des mttleen Täghetsmoments b ;(c) Rotton (b) spngt um n seh stble Rotton um Achse mt dem gößten Täghetsmoment 57 c
58 Ene geschlossene Kette hängt n enem Fden und wd u Rotton gebcht. Duch de Zentfuglkft wetet se sch u enem Kes uf, de sch dnn hoontl stellt, wel dduch de Rotton um de Achse des gößten Täghetsmomentes efolgt und dmt de Rottonsenege be vogegebenem Dehmpuls L mnml wd. Auch he fällt de Rottonschse ncht mt de Fdenchtung usmmen. Köpe ht Tenden u Rotton um Achse mt gößtem Täghetsmoment Rottonsenege E ot / wd mnml F ZF klenste Stöungen fühen du, dss de Köpe (.B. duch Zentfuglkäfte) n dese Lge geteben wd F ZF 58
59 Eule sche Glechungen wenn Dehmpuls und Dehchse ncht pllel snd, dnn st de Bewegung des Köpes komplet betchte Bewegung n umfesten Koodntensstem R : D dl dt dt R ds Koodntensstem K, ds duch Huptchsen des Köpes gebldet wd, otet mt gegenübe dem umfesten Sstem R dl dt dl dt ( ) L K R dl dt ( ) D L K 59
60 betchte.b. Komponente D des Dehmoments m Beug uf Huptchsen : D dl d L blc cl dt dt & ( ) ( ) c b ( ) c b b ähnlche Glechungen egeben sch fü D b und D c D & c b ( ) D & ( ) b b D & c c b c b c c b ( ) b c Eule sche Glechungen de Eule schen Glh Glechungen bescheben de Vton de Rtt Rotton (Rchtung und Geschwndgket) ene belebgen Dehbewegung be Wkung enes etenen Dehmoments D (be käftefee Bewegung st D 0); de Beschebung efolgt m Koodntensstem de Huptchsen 60
61 Bespel : Käftefee, sphäsche Kesel mt : D D b D c 0 und : b c b c b ( ) & b c c c b & ( ) c & b ( ) b & c & & c b de Dehchse blebt n Rchtung und Geschwndgket glech (kene etlche Veändeung de,b,c ) bechte : fü enen smmetschen Kesel entstehen 3 gekoppelte Dffeentl- Glechungen fü bc,b,c komplete Vton de Rotton 6
62 Bespel : Wckelstene de Rotton enes belebg ggefomten Köpes knn äußest komplet sen (we uch schon de Kompletät de Eule schen Glechungen egt) b.b. bem keltschen Wckelsten De keltsche Wckelsten besteht us enem ehn bs wng Zentmete lngen, n de Untesete ellpsod gefomten Stück Sten, Hol, Plstk ode ndeem Mtel. Deht mn enen uf de bgeundeten Sete legenden Wckelsten uf ene ebenen Untelge, so egt e je nch Dehchtung en unteschedlches Vehlten: n ene Rchtung deht sch hde Wckelsten stbl, bs e duch Rb Rebung um Stehen kommt. n de ndeen Dehchtung wd de Wckelsten jedoch sch lngsme, wobe e entlng de Längschse u wckeln nfängt. Nchdem de Dehung komplett n ene Wckelschwngung übegegngen t st, fängt de Wckelsten n, entgegengesett sene uspünglchen Dehchtung u oteen. Ekläung des Vehltens (nu qulttv) : De Msse enes Wckelstens st unglech vetelt, ws duch Fomgebung, ode engelssene/ufgesette Gewchte eecht wd. De entstehende Unwucht sogt fü de Wckelbewegung. Wähend jede Schwngung kppt de Wckelsten lecht n Rchtung senes Übegewchts, so dss ene Dehung n sene Vougschtung stttfndet. 6
63 Dnmk des käftefeen, smmetschen Kesels de sm. Kesel west de elevnte Achsen/Rchtungen uf : Rchtung des Dehmpulses L, momentne Dehchse, Fguenchse c k ken äußees äß Dehmoment t(d 0) dl/dt 0 Vkt Vekto L st umfest wenn c de Smmetechse st, dnn st b wenn n Rchtung de Hupt- und Fguen-Achse c legt, glt : L 0 L Lb bb 0 Lc cc cc L cˆ stble Rotton t um umfeste Achse (d Achse c äumlch stbl st) bechte : m llgemenen Fll llst tl ncht htpllel l u (.B. wenn lle 0 und ncht lle,b,c glech snd) 63
64 Enwkung enes Kftstosses : Nutton es se nfngs: L c (, 0, ) L (L, 0, L ) L L Schlg gegen Fguenchse c mt Kftstoß F dt -Achse dl F dt L L F dl L : von Uspung u Schlgstelle d L ˆ L' L dl L ' L d : dl L mt : Kftstoß ändet Rchtung de Fguenchse n -Rchtung be : Kftstoß bewkt Ändeung dl n Rchtung Dehmpuls L legt ncht meh n -Ebene (Fguenchse hngegen schon) Dehmpuls und Fguenchse (bw. Dehchse) snd ncht meh pllel 64
65 Fge : We läuft Bewegung nch dem Schlg wete b? nch dem Schlg: Dehmpuls L ncht meh pllel u bw. c be : Dehmpuls L st wede etlch konstnt (d Ehltungsgöße) L Dehung des Koodntensstems bs Dehmpuls L n -Ebene legt : L c c c L dl Momentufnhme : c ˆ' L 65
66 w betchten jett de Komponenten L c (d.h. L c) und L (d.h. L c) de Dehmpulskomponenten bescheben Komponenten de Rotton : L c ' c ; L ' L c L Dehungen entspechend L c und L müssen so koodnet blufen, dss glt : L c ' L ' L' const. c L 66
67 Vesuche, ds koekte Vehlten von L und L c u eten : betchte Dehung von L c, wähend L ehlten blebe Vekto wäe ncht ehlten betchte Dehung von L, wähend L c ehlten blebe Vekto L wäe ncht ehlten L L c L L L 67
68 Vesuche, ds koekte Vehlten von L und L c u eten : betchte snchone Dehung von L c und L, so dß Vekto L ehlten blebt de Spten des Dehmpuls-Vektos L c (bw. Dehchse c) und des Dehmpuls- Vkt Vektos L h ) L c L c (bw. Dehchse ) bescheben snchon duchlufene Kese, u deen Zentum L egt Dehmpuls-Vekto L blebt ehlten L (momentne) Dehchse und Fguenchse c nuteen um Dehmpuls L L 68
69 (momentne) Dehchse und Fguenchse c nuteen um Dehmpuls L L c L bechte : unmttelb schtb m Epement st nu de Nutton de Fguenchse, ncht de momentnen Dehchse h bechte :delänge desvektos (d.h. de Rottonsgeschwndgket) blebt be de Nutton ehlten Enegeehltung 69
70 Enwkung enes äußeen Dehmoments : Päesson Päesson : Rekton des Kesels uf etenes Dehmoment,.B. Lgeung ußehlb Schwepunkt Dehmoment duch Gewchtskft Pä Päesson : Dehmpuls-Vekto Vkt Ländet Rchtung; Betg L blebt be konstnt W. Pul und N. Boh beobchten enen päedeenden Kesel (be de Eöffnung des nsttuts fü Theoetsche Phsk n Lund, 95) 70
71 w betchten den Fll : : von Uspung um Schwepunkt D L c c F Mg wkt ständg ständge Ändeung des Dehmpulses : dl D 0 dl ; dl F ; dl L Rchtungsändeung von des Dehmpulses L Bewegung von L uf Kes : Päesson S L F dl 7
72 D Mg dϕ D Mg snα dl Ddt, g d L L' dϕ Lsnα dϕ D L& L' d & ϕ L ' mt Päessonsfequen P bechte : P Keselfequen K P dl α S F dϕ L dl dl L sn α D Mg snα P L ' Lsnα Mg K Päessons- Fequen 7
73 Bespel : Päesson de Edchse De Ede ht kene ekte Kugelfom, sonden duch de Abplttung des Edellpsods enen Äqutowulst von km. Dduch bewken de Geetenkäfte von Mond und Sonne en Dehmoment, welches de Edchse ufuchten vesucht und u Päesson de Edchse füht (lunsole Päesson). Fü enen vollen Kegelumluf l benötgt t de Edchse c Jhe (Pltonsches Jh). De Edpäesson (d.h. Vton de Rchtung de Edchse) knn mn.b. n de schenben Wndeung von F-Stenen (.B. Nod- Polsten) beobchten. 73
74 Bespel : Päesson n de Quntenmechnk (Ausblck) Ken Elekton Elekton Atomken bestt Egen-Dehmpuls (Kenspn) Elektonen besten Bhn-Dehmpuls h L und Egen-Dehmpuls (Spn) S * Dehbewegung ggeldene Telchen bewken Stöme mgnetsche Momente * ndeesets eeugen Dehbewegungen (bw. Stöme) uch Mgnetfelde Mgnetfelde und mgnetsche Momente wechselwken mtennde veschedene Dehmpulse wechselwken mtennde Päesson (messb ls Veschebungen/Aufspltungen von Obtl-Enegen bw. Übegängen) 74
75 Bespel : Keseldnmk m Fhd emöglcht.b. Steuen enes Fhds duch Gewchtsvelgeung Schwepunkt Kft F -mg F F D 0 L const. 75
76 F F D F 0 dl 0 Dehmpuls L ändet Rchtung Vedehung des Rdes Kuve 76
77 Bespel : Kdnsche Aufhängung Kesel L Fguenchse des Kesels knn n belebge Rchtung gedeht weden; de Schwepunkt des Kesels befndet mme n de Mtte des Kdn-Rhmens 3D-Aufhängung m Schwepunkt Käftefee Lgeung (egl, welche Oenteung de Fguenchse des Kesels n de Aufhängung ht) 77
78 Bespel : Kesel-Kompss w betchten unächst enen voll kdnsch ufgehängten Kesel, d.h. de Dehchse knn sch n de Dmensonen belebg enstellen; de Kesel befnde sch m Äquto; Blck längs de Dehchse des Kesels n Rchtung uf den Nodpol; d de Kesel kdnsch ufgehängt st, deht sch de Plttfom mt de Ede käftefe Dehmpuls L L L N L N T 0 Std T 3 Std T 6 Std 78
79 w feen jett de Lgeung des Kesels n ene Rchtung/Dmenson, so dss de Vekppung de Keselplttfom um ene Achse Edobefläche ncht meh möglch st Feung ene Dehchse Feung Dehmoment D duch Ebene pllel u Achse de Vekppung Vekppung de Plttfom Ed Edobefläche fläh pllel u L D 0 L L dl D dt L dl D dt dl Päesson von L N D 0 sobld L Edchse A L chtet sch pllel u A us L egt mme nch Noden Kesel-Kompss 79
80 Fühe Kesel-Kompss, elegt Modene Keselkompss (Schntt) De Efnde des Keselkompss H. Anschüt-Kämpfe mt enem unbeknnten Hen bem Segeln 80
3.2 Die Kennzeichnung von Partikeln 3.2.1 Partikelmerkmale
3. De Kennzechnung von Patkeln 3..1 Patkelmekmale De Kennzechnung von Patkeln efolgt duch bestmmte, an dem Patkel mess bae und deses endeutg beschebende physka lsche Gößen (z.b. Masse, Volumen, chaaktestsche
MehrMagnetfeldmessung an Zylinderspulen (MZ) 1. Einleitung. 2. Aufgabenstellung. Physikalisches Praktikum Versuch: MZ
Technsche Unvestät Desden Fchchtung Physk A. Schwb C. Schöte 09/006 Physklsches Pktkum Vesuch: MZ Mgnetfeldmessung n Zylndespulen MZ 1. Enletung Nch dem Duchflutungsgeset st jede stomduchflossene ete von
MehrWärmeübertragung. Grundsätzlich sind drei verschiedene Möglichkeiten der Wärmeübertragung möglich: Wärmeleitung, Konvektion und Strahlung:
ämeübetgung Unte ämeübetgung vesteht mn sämtlche Eschenungen, e enen äumlchen nspot von äme umfssen. De ämeübegng efolgt mme ufgun enes empetugefälles, un zw mme von e höheen zu neeen empetu (.Huptstz).
MehrDefinition: Unter dem vektoriellen Flächenelement einer ebnen Fläche A versteht man einen Vektor A r der
Obeflächenntegale Vektofluß duch ene Fläche - betachtet wd en homogenes Vektofeld v (B Lchtbündel) - das Lcht falle auf enen Spalt Defnton: Unte dem vektoellen Flächenelement ene ebnen Fläche vesteht man
MehrLineare Gleichungssysteme und ihre Lösung
III Lnee Glechungssysteme und he Lösung In den Kpteln II. und II. wude de Bedeutung von Lneen Glechungssysteme (LGS) fü Poleme de Anlytschen Geomete deutlch. eshl stellt sch de Fge nch systemtschen Lösungsvefhen.
MehrHochschule für Technik und Informatik HTI Burgdorf. Elektrotechnik. 1. Elektrisches Feld... 3
ene achhochschule Hochschule fü Technk und Infomatk HTI ugdof Zusammenfassung lektotechnk uto: Nklaus uen Datum: 8. Septembe 004 Inhalt. lektsches eld... 3.. Gundlagen... 3... Lnenntegal... 3... lächenntegal...
MehrEinschub: Der Fluss eines Vektorfeldes am Beispiel des Strömungsfeldes
Enschub: De Fluss enes Vektofeldes am Bespel des Stömungsfeldes Vektofeld: Jedem Punkt m Raum ode n enem begenzten Gebet des Raumes wd en Vekto zugeodnet. Bespele: Gatatonsfeld t elektsches Feld Magnetfeld
MehrSeminar über Algorithmen. Load Balancing. Slawa Belousow Freie Universität Berlin, Institut für Informatik SS 2006
Semna übe Algothmen Load Balancng Slawa Belousow Fee Unvestät Beln, Insttut fü Infomatk SS 2006 1. Load Balancng was st das? Mt Load Balancng ode Lastvetelung weden Vefahen bescheben, um be de Specheung,
Mehr5 Rigorose Behandlung des Kontaktproblems Hertzscher Kontakt
5 Rigoose Behndlung des Kontktpoblems Hetsche Kontkt In diesem Kpitel weden Methoden u exkten Lösung von Kontktpoblemen im Rhmen de "Hlbumnäheung" eläutet. Wi behndeln dbei usfühlich ds klssische Kontktpoblem
Mehr4. Energie, Arbeit, Leistung
4 43 4. Enege, Abet, Letung Zentale Gößen de Phyk: Bepel: Bechleungung F Annahe: kontante Kaft F Bechleungung: a Enege E, Enhet Joule ( [J] [] [kg / ] zuückgelegte eg: at E gbt zwe gundätzlche Foen on
MehrLeistungsmessung im Drehstromnetz
Labovesuch Lestungsmessung Mess- und Sensotechnk HTA Bel Lestungsmessung m Dehstomnetz Nomalewese st es ken allzu gosses Poblem, de Lestung m Glechstomkes zu messen. Im Wechselstomkes und nsbesondee n
MehrKernphysik I. Kernmodelle: Schalenmodell
Kenphysk I Kenmodee: Schaenmode Schaenmode Töpfchenmode und Femgasmode snd phänemonoogsche Modee mt beschänktem Anwendungsbeech. Se weden an de Expemente angepasst z.b. de Konstanten fü de Teme n de Massenfome
Mehr4. Energie, Arbeit, Leistung, Impuls
34 35 4. Energe, Arbet, Lestung, Ipuls Zentrale Größen der Physk: Energe E, Enhet Joule ( [J] [N] [kg /s ] Es gbt zwe grundsätzlche Foren on Energe: knetsche Energe: entelle Energe: Arbet, Enhet Joule
Mehr1.1 Grundbegriffe und Grundgesetze 29
1.1 Grundbegrffe und Grundgesetze 9 mt dem udrtschen Temperturkoeffzenten 0 (Enhet: K - ) T 1 d 0. (1.60) 0 dt T 93 K Betrchtet mn nun den elektrschen Wderstnd enes von enem homogenen elektrschen Feld
MehrWärmedurchgang durch Rohrwände
ämeuchgng uch Rohwäne δ - L Rohlänge Bl: Sonäe ämeleung uch ene enschchge zylnsche n Fü e ämeleung gl llgemen: λ x Fü ene ünne konzensche Schch es Rohes von e Dcke gl: &Q λ Fläche: f(): 2 π L (Mnelfläche)
MehrStrahlensatz, Zentrische Streckung, Vierstreckensatz (Anwendung, Beweis, Konstruktion)
Gymnsum Strhlenstz, Zentrsche Streckung, Verstreckenstz 1. Berechne us den jewels gegebenen Größen de gesuchten Streckenlängen: Gegeben: ) AB = cm ; ZA = 3cm ; ZA ' = 5cm A 'B' Gesucht: b) ZA = 3,5cm ;
MehrInstitut für Technische Chemie Technische Universität Clausthal
Insttut für Technsche Cheme Technsche Unverstät Clusthl Technsch-chemsches Prktkum TCB Versuch: Wärmeübertrgung: Doppelrohrwärmeustuscher m Glechstrom- und Gegenstrombetreb Enletung ür de Auslegung von
MehrEinführung in Moderne Portfolio-Theorie. Dr. Thorsten Oest Oktober 2002
Enfühung n Modene Potfolo-Theoe D. Thosten Oest Oktobe Enletung Übeblck Gundlegende Fage be Investtonen: We bestmmt sch ene optmale Statege fü ene Geldanlage?. endte und sko. Dvesfkaton 3. Enfühung n Modene
MehrDie Lagrangepunkte im System Erde-Mond
Die Lgngepunkte i Syste Ede-ond tthis Bochdt Tnnenbusch-ynsiu Bonn bochdt.tthis@t-online.de Einleitung: Welche Käfte spüt eine Rusonde, die sich ntiebslos in de Nähe von Ede und ond ufhält? Zunächst sind
MehrFunds Transfer Pricing. Daniel Schlotmann
Danel Schlotmann Fankfut, 8. Apl 2013 Defnton Lqudtät / Lqudtätssko Lqudtät Pesonen ode Untenehmen: snd lqude, wenn se he laufenden Zahlungsvepflchtungen jedezet efüllen können. Vemögensgegenstände: snd
MehrKennlinienaufnahme des Transistors BC170
Kennlnenufnhme des Trnsstors 170 Enletung polre Trnsstoren werden us zwe eng benchbrten pn-übergängen gebldet. Vorrusetzung für ds Funktonsprnzp st de gegensetge eenflussung beder pn-übergänge, de nur
MehrPhysikalische Grundlagen der Biomechanik
Physkalsche Gundlagen de Bomechank Dplomabet zu Elangung des Magstegades an de Natuwssenschaftlchen Fakultät de Leopold-Fanzens-Unvestät Innsbuck engeecht be Hen A. Unv.-Pof. D. Chstoph LEUBNER Insttut
MehrMessen kleiner Größen
Messen klener Größen Negungssensoren Elektronsche Negungssensoren Flüssgketsssteme Pendelssteme Sesmsche Ssteme btstung ener Gsblse btstung ener Flüssgkets -oberfläche Vertklpendel Horzontl -pendel Beschleungungsmesser;
Mehr12 LK Ph / Gr Elektrische Leistung im Wechselstromkreis 1/5 31.01.2007. ω Additionstheorem: 2 sin 2 2
1 K Ph / Gr Elektrsche estng m Wechselstromkres 1/5 3101007 estng m Wechselstromkres a) Ohmscher Wderstand = ˆ ( ω ) ( t) = sn ( ω t) t sn t ˆ ˆ P t = t t = sn ω t Momentane estng 1 cos ( t) ˆ ω = Addtonstheorem:
Mehr1.6 Energie 1.6.1 Arbeit und Leistung Wird ein Körper unter Wirkung der Kraft F längs eines Weges s verschoben, so wird dabei die Arbeit
3.6 Energe.6. Arbe und Lesung Wrd en Körper uner Wrkung der Kraf F längs enes Weges s verschoben, so wrd dabe de Arbe W = F s Arbe = Kraf Weg verrche. In deser enfachen Form gülg, wenn folgende Voraussezungen
MehrGrundlagen der Elektrotechnik II (GET II)
Grundlgen der Elektrotechnk (GET ) Vorlesung m 8.07.005 Do. :5-3.45 Uhr;. 603 (Hörsl) Dr.-ng. ené Mrklen E-Ml: mrklen@un-kssel.de Tel.: 056 804 646; Fx: 056 804 6489 UL: http://www.tet.e-technk.un-kssel.de
Mehr7. VEKTORRECHNUNG, ANALYTISCHE GEOMETRIE
Vektoechnung Anltische Geometie 7. VEKTORRECHNUNG ANALYTISCHE GEOMETRIE 7.1. Vektoen () Definition Schiet mn einen Punkt P 1 im Koodintensstem in eine ndee Lge P so ist diese Schieung duch Ange des Upunktes
Mehr1 Definition und Grundbegriffe
1 Defnton und Grundbegrffe Defnton: Ene Glechung n der ene unbekannte Funkton y y und deren Abletungen bs zur n-ten Ordnung auftreten heßt gewöhnlche Dfferentalglechung n-ter Ordnung Möglche Formen snd:
Mehrκ = spezifischer Leitwert Q I = bzw. t dq I dt 2. Widerstand Die Einheit des Widerstandes R ist das Ohm [ Ω ]=[V/A]. l A
Fomelsammlung EM. Allgemenes De Enhet de Stomstäke st das Ampee [A]. De Enhet de adung Q st das oulomb [][As]. Q bzw. t dq dt De Enhet de Spannung st das Volt [V]. W st das Enegegefälle zwschen zwe Punkten
MehrAufgaben zu Kreisen und Kreisteilen
www.mthe-ufgben.com ufgben zu Keisen und Keisteilen Keisfläche: ( Rdius des Keises) Keisumfng: U Keisingfläche: ( ußen innen ) Keisusschnitt / Keissekto: Öffnungswinkel, b Keisbogen α bzw. b 60 α α b 60
MehrSignaltransport in Koaxialkabeln
Sgnaltanspot n Koaxalkabeln Inhaltsvezechns SIGNALTRANSPORT IN KOAXIALKABELN... 1 SKRIPT... 1 1. VERWENDUNGSZWECK UND AUFBAU DES KOAXIALKABELS...1. ERSATZSCHALTBILD DES KOAXIALKABELS....1 Beechnung des
MehrProf. Dr. Johann Graf Lambsdorff Universität Passau. Pflichtlektüre: WS 2007/08
y, s. y Pof. D. Johann Gaf Lambsdoff Unvestät Passau y* VI. Investton und Zns c* WS 2007/08 f(k) (n+δ)k Pflchtlektüe: Mankw, N. G. (2003), Macoeconomcs. 5. Aufl. S. 267-271. Wohltmann, H.-W. (2000), Gundzüge
MehrW08. Wärmedämmung. Q = [λ] = W m -1 K -1 (1) d Bild 1: Wärmeleitung. Physikalisches Praktikum
W08 Physklsches Prktkum Wärmedämmung En Modellhus mt usechselbren Setenänden dent zur Bestmmung von Wärmedurchgngszhlen (k-werten) verschedener Wände und Fenster soe zur Ermttlung der Wärmeletfähgket verschedener
Mehr2.6.5 Drehimpuls. (2.285) i. m h
.6 Dynamk des staen Köpes, Dehbewegungen 5 kann somt be flachen Köpen lecht den Schwepunkt emtteln: Man untestützt den Köpe so lange an unteschedlchen Stellen, bs man den Punkt gefunden hat, an dem de
Mehr2. Nullstellensuche. Eines der ältesten numerischen Probleme stellt die Bestimmung der Nullstellen einer Funktion f(x) = 0 dar.
. Nullstellensuche Enes der ältesten numerschen Probleme stellt de Bestmmung der Nullstellen ener Funkton = dar. =c +c =c +c +c =Σc =c - sn 3 Für ene Gerade st das Problem trval, de Wurzel ener quadratschen
Mehr3. Lineare Algebra (Teil 2)
Mathematk I und II für Ingeneure (FB 8) Verson /704004 Lneare Algebra (Tel ) Parameterdarstellung ener Geraden Im folgenden betrachten wr Geraden m eukldschen Raum n, wobe uns hauptsächlch de Fälle n bzw
MehrBoost-Schaltwandler für Blitzgeräte
jean-claude.feltes@educaton.lu 1 Boost-Schaltwandler für Bltzgeräte In Bltzgeräten wrd en Schaltwandler benutzt um den Bltzkondensator auf ene Spannung von engen 100V zu laden. Oft werden dazu Sperrwandler
MehrFunktionsgleichungen folgende Funktionsgleichungen aus der Vorlesung erhält. = e
Andere Darstellungsformen für de Ausfall- bzw. Überlebens-Wahrschenlchket der Webull-Vertelung snd we folgt: Ausfallwahrschenlchket: F ( t ) Überlebenswahrschenlchket: ( t ) = R = e e t t Dabe haben de
MehrFür jeden reinen, ideal kristallisierten Stoff ist die Entropie am absoluten Nullpunkt gleich
Drtter Hauptsatz der Thermodynamk Rückblck auf vorherge Vorlesung Methoden zur Erzeugung tefer Temperaturen: - umgekehrt laufende WKM (Wärmepumpe) - Joule-Thomson Effekt bs 4 K - Verdampfen von flüssgem
Mehr14 Überlagerung einfacher Belastungsfälle
85 De bsher betrachteten speellen Belastungsfälle treten n der Technk. Allg. ncht n rener orm auf, sondern überlagern sch. Da de auftretenden Verformungen klen snd und en lnearer Zusammenhang wschen Verformung
MehrKonkave und Konvexe Funktionen
Konkave und Konvexe Funktonen Auch wenn es n der Wrtschaftstheore mest ncht möglch st, de Form enes funktonalen Zusammenhangs explzt anzugeben, so kann man doch n velen Stuatonen de Klasse der n Frage
MehrMethoden der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung
Methoden der nnerbetreblchen Lestungsverrechnung In der nnerbetreblchen Lestungsverrechnung werden de Gemenosten der Hlfsostenstellen auf de Hauptostenstellen übertragen. Grundlage dafür snd de von den
MehrClassical Gas. . œ# 3 2. &4 3 œ &4 4. œ œ. œ œ 1. œ 2. œ œ œ œ œ. œ œ œ. w œ œ œ œ# œ œ œ œ. œ œ. & œ œ œ œ œ œ œ w. œ œ œ œ œ# œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ w
Clsscl Gs Mson Wlls rr: Cleens Huber / "Clsscl Gs" von Mson Wlls urde 9 zu Weltht I Ornl rd de Gtrre von ene Orchester t breten läsersound unterstützt uch ls Soloverson st ds Stück beknnt eorden und ehört
Mehr4. Musterlösung. Problem 1: Kreuzende Schnitte **
Unverstät Karlsruhe Algorthmentechnk Fakultät für Informatk WS 05/06 ITI Wagner 4. Musterlösung Problem 1: Kreuzende Schntte ** Zwe Schntte (S, V \ S) und (T, V \ T ) n enem Graph G = (V, E) kreuzen sch,
MehrStandortplanung. Positionierung von einem Notfallhubschrauber in Südtirol. Feuerwehrhaus Zentrallagerpositionierung
Standortplanung Postonerung von enem Notfallhubschrauber n Südtrol Postonerung von enem Feuerwehrhaus Zentrallagerpostonerung 1 2 Postonerung von enem Notfallhubschrauber n Südtrol Zu bekannten Ensatzorten
Mehr18. Dynamisches Programmieren
8. Dynamsches Programmeren Dynamsche Programmerung we gerge Algorthmen ene Algorthmenmethode, um Optmerungsprobleme zu lösen. We Dvde&Conquer berechnet Dynamsche Programmerung Lösung enes Problems aus
MehrI MECHANIK. 1. EINFÜHRUNG Grundlagen, Kinematik, Dynamik (Wiederholung der Schulphysik)
Physik EI1 Mechnik - Einfühung Seie I MECHNIK 1. EINÜHRUNG Gundlgen, Kinemik, Dynmik (Wiedeholung de Schulphysik) _Mechnik_Einfuehung1_Bneu.doc - 1/9 Die einfühenden Kpiel weden wi zunächs uf dem Niveu
MehrDer technische Stand der Antriebstechnik einer Volkswirtschaft läßt sich an ihrem Exportanteil am Gesamtexportvolumen aller Industrieländer messen.
- 14.1 - Antrebstechnk Der technsche Stand der Antrebstechnk ener Volkswrtschaft läßt sch an hrem Exportantel am Gesamtexportvolumen aller Industreländer messen. Mt 27,7 % des gesamten Weltexportvolumens
MehrUnter der Drehgruppe verstehen wir diegruppe der homogenen linearen Transformationen
Darstellunstheore der SO() und SU() Powtschnk Alexander. Defnton Darstellun Ene Darstellun ener Gruppe G st homomorphe Abbldun von deser Gruppe auf ene Gruppe nchtsnulärer lnearer Operatoren auf enem Vektorraum
MehrSpiele und Codes. Rafael Mechtel
Spele und Codes Rafael Mechtel Koderungstheore Worum es geht Über enen Kanal werden Informatonen Übertragen. De Informatonen werden dabe n Worte über enem Alphabet Q übertragen, d.h. als Tupel w = (w,,
MehrTrade Barrier Reef. Hindernisse auf Weltmärkten. LISTENREGELN ZUM NPU? Die Pläne der EU-Kommission
Kompaktwssen fü den Außenhandel Ausgabe 4/2013 LISTENREGELN ZUM NPU? De Pläne de EU-Kommsson 6 DOS & DON TS Ogansaton ene Zoll- und Außenwtschaftsabtelung ES KÖNNTE BESSER SEIN! Felx Neugat (DIHK) zu Lage
MehrQuantitative BWL 2. Teil: Finanzwirtschaft
Quattatve BWL. el: Fazwtschaft Mag. oáš Sedlačk Lehstuhl fü Fazdestlestuge Uvestät We Quattatve BWL: Fazwtschaft Ogasatosches Isgesat wd es 6 ee gebe (5 Ehete + Klausu Klausu fdet a D 7. Jaua 009 statt
MehrLeseprobe. Jürgen Koch, Martin Stämpfle. Mathematik für das Ingenieurstudium ISBN: Weitere Informationen oder Bestellungen unter
Lesepobe Jügen Koch, Matn Stämpfle Mathematk fü das Ingeneustudum ISBN: 978-3-446-46- Wetee Infomatonen ode Bestellungen unte http://www.hanse.de/978-3-446-46- sowe m Buchhandel. Cal Hanse Velag, München
MehrZero-sum Games. Vitali Migal
Sena Gaphentheoe und Kobnatok Wnteseeste 007/08 Zeo-su Gaes Vtal Mgal 1 Inhaltsvezehns 1. Enletung... 3. Dastellung von Spelen... 3 3. Stategen... 4 4. Spele t unvollständge Infoaton... 9 1. Enletung Als
MehrSeminar Analysis und Geometrie Professor Dr. Martin Schmidt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf. - Fixpunktsatz von Schauder -
Unverstät Mannhem Fakultät für Mathematk und Informatk Lehrstuhl für Mathematk III Semnar Analyss und Geometre Professor Dr. Martn Schmdt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf - Fxpunktsatz von Schauder - Ncole
MehrAufgabe 8 (Gewinnmaximierung bei vollständiger Konkurrenz):
LÖSUNG AUFGABE 8 ZUR INDUSTRIEÖKONOMIK SEITE 1 VON 6 Aufgabe 8 (Gewnnmaxmerung be vollständger Konkurrenz): Betrachtet wrd en Unternehmen, das ausschleßlch das Gut x produzert. De m Unternehmen verwendete
MehrG Bereitstellungsmenge des internationalen öffentlichen Umweltgutes
Insttut für Volkswrtschftslehre und Ökonometre Fkultät Wrtschftswssenschften II cht-koopertve Lösungen und hre Egenschften. Modellrhmen Zur Verenfchung betrchten wr en Zwe-Länder-Szenro. Ene Verllgemenerung
MehrLehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007
Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 5 Mehrdmensonale Zufallsvarablen Be velen Problemstellungen st ene solerte Betrachtung enzelnen
MehrKinematik und Dynamik der Rotation - Der starre Körper (Analogie zwischen Translation und Rotation eine Selbstlerneinheit)
Kinematik und Dynamik de Rotation - De stae Köpe (Analogie zwischen Tanslation und Rotation eine Selbstleneinheit) 1. Kinematische Gößen de Rotation / Bahn- und Winkelgößen A: De ebene Winkel Bei eine
Mehrnonparametrische Tests werden auch verteilungsfreie Tests genannt, da sie keine spezielle Verteilung der Daten in der Population voraussetzen
arametrsche vs. nonparametrsche Testverfahren Verfahren zur Analyse nomnalskalerten Daten Thomas Schäfer SS 009 1 arametrsche vs. nonparametrsche Testverfahren nonparametrsche Tests werden auch vertelungsfree
MehrKapitel 4 Energie und Arbeit
Kapitel 4 negie und Abeit Kaftfelde Wenn wi jedem unkt des Raums eindeutig einen Kaft-Vekto zuodnen können, ehalten wi ein Kaftfeld F ( ) Häufig tauchen in de hysik Zental-Kaftfelde auf : F( ) f ( ) ˆ
MehrPolygonalisierung einer Kugel. Verfahren für die Polygonalisierung einer Kugel. Eldar Sultanow, Universität Potsdam, sultanow@gmail.com.
Verfahren für de Polygonalserung ener Kugel Eldar Sultanow, Unverstät Potsdam, sultanow@gmal.com Abstract Ene Kugel kann durch mathematsche Funktonen beschreben werden. Man sprcht n desem Falle von ener
Mehr1 - Prüfungsvorbereitungsseminar
1 - Prüfungsvorberetungssemnar Kaptel 1 Grundlagen der Buchführung Inventur Inventar Blanz Inventur st de Tätgket des mengenmäßgen Erfassens und Bewertens aller Vermögenstele und Schulden zu enem bestmmten
Mehr1.1 Das Prinzip von No Arbitrage
Fnanzmärkte H 2006 Tr V Dang Unverstät Mannhem. Das Prnzp von No Arbtrage..A..B..C..D..E..F..G..H Das Framework Bespele Das Fundamental Theorem of Fnance Interpretaton des Theorems und Zustandsprese No
MehrKurz Skript zur Elektrochemie
Kurz-Skrpt Elektrocheme Kurz Skrpt zur Elektrocheme Ds her vorlegende Skrpt enthält de theoretschen Grundlgen, de zum Verständns der elektrochemschen Versuche notwendg st. Zel st es, enen Überblck über
MehrAbitupüfung Mthemtik Bden-Wüttembeg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgben Aufgbe : ( VP) Bilden Sie die este Ableitung de Funktion f mit f() ( ) e weit wie möglich. und veeinfchen Sie so Aufgbe : ( VP) Beechnen
MehrDie Ausgangssituation... 14 Das Beispiel-Szenario... 14
E/A Cockpt Für Se als Executve Starten Se E/A Cockpt........................................................... 2 Ihre E/A Cockpt Statusüberscht................................................... 2 Ändern
Mehr6.5. Rückgewinnung des Zeitvorgangs: Rolle der Pole und Nullstellen
196 6.5. Rückgewnnung des Zetvorgangs: Rolle der Pole und Nullstellen We n 6.2. und 6.. gezegt wurde, st de Übertragungsfunkton G( enes lnearen zetnvaranten Systems mt n unabhänggen Spechern ene gebrochen
MehrEinführung: Sequence Alignment
lgorthmsche nendungen - Prktkum WS 7/8 ynmsche Progrmmerung / reedy-lgorthmen ufgen 8 - Hener Klocke Fchhochschule Köln Informtk Prktkum: ynmsche Progrmmerung / reedy-lgorthmen ufgen 8 9 ufge Kptel ynmsche
MehrWechselstrom. Dr. F. Raemy Wechselspannung und Wechselstrom können stets wie folgt dargestellt werden : U t. cos (! t + " I ) = 0 $ " I
Wechselstrom Dr. F. Raemy Wechselspannung und Wechselstrom können stets we folgt dargestellt werden : U t = U 0 cos (! t + " U ) ; I ( t) = I 0 cos (! t + " I ) Wderstand m Wechselstromkres Phasenverschebung:!"
MehrAuswertung univariater Datenmengen - deskriptiv
Auswertung unvarater Datenmengen - desrptv Bblografe Prof. Dr. Küc; Statst, Vorlesungssrpt Abschntt 6.. Bleymüller/Gehlert/Gülcher; Statst für Wrtschaftswssenschaftler Verlag Vahlen Bleymüller/Gehlert;
MehrFORMELSAMMLUNG STATISTIK (I)
Statst I / B. Zegler Formelsammlng FORMELSAMMLUG STATISTIK (I) Statstsche Formeln, Defntonen nd Erläterngen A a X n qaltatves Mermal Mermalsasprägng qanttatves Mermal Mermalswert Anzahl der statstschen
MehrStochastische Prozesse
INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 2009 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Blatt 2 Prv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dpl.-Math. W. Lao Übungen zur Vorlesung Stochastsche Prozesse Musterlösungen Aufgabe 7: (B. Fredmans Urnenmodell)
Mehre r a Z = v2 die zum Mittelpunkt der Kreisbahn gerichtet ist. herbeigeführt. Diese Kraft lässt sich an ausgelenkter Federwaage ablesen.
Im (x 1, y 1 ) System wikt auf Masse m die Zentipetalbeschleunigung, a Z = v2 e die zum Mittelpunkt de Keisbahn geichtet ist. Folie: Ableitung von a Z = v2 e Pfeil auf Keisscheibe, Stoboskop Die Keisbewegung
MehrVersicherungstechnischer Umgang mit Risiko
Verscherungstechnscher Umgang mt Rsko. Denstlestung Verscherung: Schadensdeckung von für de enzelne Person ncht tragbaren Schäden durch den fnanzellen Ausglech n der Zet und m Kollektv. Des st möglch über
Mehr4. Chemische Bindung
4. Chemische Bindung 4... Vlenzindungs-Modell: Oktettegel Die Bildung enegetisch egünstigte Elektonenkonfigutionen (die esondes stil sind) wid ngestet Eine esondes stile Konfigution ist die Edelgskonfigution
Mehrα Winkel der Schrägen
Glechföge Bewegung eg Gechwndgket t π d n t Glechföge echleungte Bewegung Bewegung ohne nfng- t gechwndgket t t t d n t eg Gechwndgket et Duchee Dehhl eg Bechleungung et Gechwndgket - n - - - chefe Eene
MehrFachhochschule Bochum
Fachhochschule Bochum PofDMan Senbeg PofDEckehad Mülle Skp zu Volesung Physk Tel fü Mechaonke, Elekoechnke, Infomake und Maschnenbaue Sand: Physkalsche Gößen und Enheen Begffe SI-Enheen 3 Schebwese physkalsche
MehrMULTI ASSET TREND III INDEX
MULTI ASSET TREND III INDEX De Mult Asset Tend III Index (de "Index") (ISIN: DE000A11RDD4; WKN: A11RDD4) st en von de UnCedt Bank AG ode hem Rechtsnachfolge (de "Indexsponso") entwckelte und gestaltete
MehrLineare Regression (1) - Einführung I -
Lneare Regresson (1) - Enführung I - Mttels Regressonsanalysen und kompleeren, auf Regressonsanalysen aserenden Verfahren können schenar verschedene, jedoch nenander üerführare Fragen untersucht werden:
MehrSeite 2. Anatomische, physikalische und funktionelle. Modelle des menschlichen Körpers. Delaunay Algorithmus 2D/3D.
Anatomsche, physkalsche und funktonelle Modelle des menschlchen Köpes Gundlagen de Modelleung Vsualseung Venetzung Vsualseung Was soll dagestellt weden? Medznsche Blddaten (CT, MT, Photogaphe,...) Anatome
MehrStatische Magnetfelder
Statische Magnetfelde Bewegte Ladungen ezeugen Magnetfelde. Im Magnetfeld efäht eine bewegte Ladung eine Kaft. Elektische Felde weden von uhenden und bewegten Ladungen gleichemaßen ezeugt. Die Kaft duch
MehrBeim Wiegen von 50 Reispaketen ergaben sich folgende Gewichte X(in Gramm):
Aufgabe 1 (4 + 2 + 3 Punkte) Bem Wegen von 0 Respaketen ergaben sch folgende Gewchte X(n Gramm): 1 2 3 4 K = (x u, x o ] (98,99] (99, 1000] (1000,100] (100,1020] n 1 20 10 a) Erstellen Se das Hstogramm.
MehrVERGLEICH VON TESTVERFAHREN FÜR DIE DEFORMATIONSANALYSE
VERGLEICH VON TESTVERFAHREN FÜR DIE DEFORMATIONSANALYSE Karl Rudolf KOCH Knut RIESMEIER In: WELSCH, Walter (Hrsg.) [1983]: Deformatonsanalysen 83 Geometrsche Analyse und Interpretaton von Deformatonen
MehrVektoranalysis Teil III
Vektoanalyss Tel III Segfed Pety Fassung vom 5 Janua 13 I n h a l t De Dvegen enes Feldvektos 1 Vobeetende Betachtungen: Fluss, Schüttung, Quelldchte De Dvegen enes Feldvektos 4 3 echengesete fü Dvegenen
MehrSIMULATION VON HYBRIDFAHRZEUGANTRIEBEN MIT
Smulaton von Hybrdfahrzeugantreben mt optmerter Synchronmaschne 1 SIMULATION VON HYBRIDFAHRZEUGANTRIEBEN MIT OPTIMIERTER SYNCHRONMASCHINE H. Wöhl-Bruhn 1 EINLEITUNG Ene Velzahl von Untersuchungen hat sch
MehrEinführung in Origin 8 Pro
Orgn 8 Pro - Enführung 1 Enführung n Orgn 8 Pro Andreas Zwerger Orgn 8 Pro - Enführung 2 Überscht 1) Kurvenft, was st das nochmal? 2) Daten n Orgn mporteren 3) Daten darstellen / plotten 4) Kurven an Daten
MehrStatistik und Wahrscheinlichkeit
Regeln der Wahrschenlchketsrechnung tatstk und Wahrschenlchket Regeln der Wahrschenlchketsrechnung Relatve Häufgket n nt := Eregnsalgebra Eregnsraum oder scheres Eregns und n := 00 Wahrschenlchket Eregnsse
MehrMOD-01 LAGRANGE FORMALISMUS -- TEIL 1
MOD- LAGRAGE FORMALISMUS -- EIL. Zustandsfunktonen Defnton -: Zustandsfunkton Ene Zustandsfunkton W( () t, t) = W(, t) bzw. W ( ) st jede belebge skalare Funkton der Zustandsgrößen () t und der Zet t,
MehrOptische Systeme. Inhalte der Vorlesung. Hausaufgabe: Reflexion mit Winkel. Vergleichen Sie Ihre Rechnung mit einem Experiment! n = tan. sin.
Inhalte der Vorlesung 3. Optsche Systeme Martna Gerken 05..007. Grundlagen der Wellenoptk. De Helmholtz-Glechung. Lösungen der Helmholtz-Glechung: Ebene Wellen und Kugelwellen.3 Das Huygenssche Prnzp.4
MehrFlußnetzwerke - Strukturbildung in der natürlichen Umwelt -
Flußnetzwerke - Strukturbldung n der natürlchen Umwelt - Volkhard Nordmeer, Claus Zeger und Hans Joachm Schlchtng Unverstät - Gesamthochschule Essen Das wohl bekannteste und größte exsterende natürlche
Mehr6. Modelle mit binären abhängigen Variablen
6. Modelle mt bnären abhänggen Varablen 6.1 Lneare Wahrschenlchketsmodelle Qualtatve Varablen: Bnäre Varablen: Dese Varablen haben genau zwe möglche Kategoren und nehmen deshalb genau zwe Werte an, nämlch
MehrMechanisches Trennen 9 AUSWAHL MECHANISCHER TRENNEINRICHTUNGEN... 37
Mechansches Tennen 1 SEDIMENTIEREN... KLASSIEREN... 6 3 FLOCKUNG UND FLOTATION... 8 3.1 FLOCKUNG (FIOCCULATION, COAGULATION)... 8 3. FLOTATION (FLOTATION)... 8 4 ZENTRIFUGIEREN... 9 4.1 PRINZIP UND AUFBAU
MehrIonenselektive Elektroden (Potentiometrie)
III.4.1 Ionenselektve Elektroden (otentometre) Zelstellung des Versuches Ionenselektve Elektroden gestatten ene verhältnsmäßg enfache und schnelle Bestmmung von Ionenkonzentratonen n verschedenen Meden,
MehrStandardnormalverteilung / z-transformation
Standardnormalvertelung / -Transformaton Unter den unendlch velen Normalvertelungen gbt es ene Normalvertelung, de sch dadurch ausgeechnet st, dass se enen Erwartungswert von µ 0 und ene Streuung von σ
MehrVerbrennungsprozesse. Quelle: Kugeler, Energietechnik. Fakultät für Ingenieurwissenschaften Energietechnik. KJ mol. KJ mol. KJ mol.
Verbrennungsprozesse usgehend von desem enfchen Blnzmodell können nhnd der stöchometrschen Umsetzungen der enzelnen Komponenten enes Brennstoffs m Verbrennungsprozess Stoffblnzen erstellt werden, lso z.b.
MehrI, U : Momentanwerte für Strom und Spannung I 0, U 0 : Scheitelwerte für Strom und Spannung
Wechselsrom B r A B sn( sn( Wrd de eerschlefe über enen Wdersand kurzgeschlossen fleß en Srom: sn( sn(, : Momenanwere für Srom und Spannung, : Scheelwere für Srom und Spannung ~ sn( sn( Effekvwere für
MehrFallstudie 4 Qualitätsregelkarten (SPC) und Versuchsplanung
Fallstude 4 Qualtätsregelkarten (SPC) und Versuchsplanung Abgabe: Lösen Se de Aufgabe 1 aus Abschntt I und ene der beden Aufgaben aus Abschntt II! Aufgabentext und Lösungen schrftlch bs zum 31.10.2012
Mehr1 BWL 4 Tutorium V vom 15.05.02
1 BWL 4 Tutorum V vom 15.05.02 1.1 Der Tlgungsfaktor Der Tlgungsfaktor st der Kehrwert des Endwertfaktors (EWF). EW F (n; ) = (1 + )n 1 T F (n; ) = 1 BWL 4 TUTORIUM V VOM 15.05.02 (1 ) n 1 Mt dem Tlgungsfaktor(TF)
MehrPhysik_3_1_Wechselwirkungen.doc, Prof. Dr. K. Rauschnabel, HHN, :04:00
. Wechselwkungen und Felde Mehee (, ) Köpe können tenande wechselwken, z.b. duch Käfte unte de Enfluß ene Kaft veänden sch Ipuls, Enege, de enzelnen Köpe, Ipulsehaltung, Enegeehaltung Gesatpuls, Gesatenege,
Mehr