Rotierende Systeme, Dynamik starrer Körper

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1 Roteede Ssteme, Dmk ste Köpe Beweguge ste Köpe wede elegt Tslto des Shwepuktes ud Rotto. Fü de Tslto des Shwepuktes gelte de she ehdelte Gesete. esuh: Bewegug uf Luftkssetsh 8 Eshu üe Keupodukt (ektopodukt, äußees Podukt) I ktesshe Koodte: α Rhtug o sekeht uf ud m Se ee Rehtsshue, (Kokeehe-Regel). Betg: sα (Göße de gü shffete Flähe) Mekegel: Detemtefom Behte: e e (ht-kommutt!) e 83

2 Awedug e Dehug: ( d dϕ ) dϕ Bespel Bespel d dϕ α d d steht jewels sekeht uf de shffete Eee (egt h hte) Eeso we eeugt des Puktes dϕ d e de lee esheug, e ee Dehug um de ee esheug um d 84 Rotto um ee fest egespte Besheug ee Rotto: d dϕ Rhtug o Rhtug de Dehhse Betg o dϕ dϕ Wkel, um de gedeht wude. dϕ dϕ d ϕ Ehet o : d, Dmeso π/36 ( d), d 36/π 57,96 85

3 Wkelgeshwdgket dϕ ht de Rhtug de Dehhse eeso we. De Betg gt de Dehgeshwdgket. Ehet: d/s, /s. Be kosttem π, T T glt: : Zet We de duh de Uspug des Koodtesstems geht, st de momete Geshwdgket ees Puktes m Astd o de (Umfgsgeshwdgket): dϕ fü ee Umdehug. d dϕ 86 Täghetsmomet Bewegugseege e Rotto: E ot α Fü Keupodukt glt: Es folgt: R m E sα k m m ( ) sα R E ot m R Be usgedehte Köpe Zelegug klee Elemete : E ot mr m R. mt m : Täghetsmomet Ehet: kg m 87

4 Msseelemete, de wete o de etfet sd, este höhee ketshe Eege, d he Umfgsgeshwdgket göße st, ud tge meh um Täghetsmomet e. Aus de Aloge wshe de Fomel eket m: Be Rottoe spelt ds Täghetsmomet de glehe Rolle we de Msse e Tsltoe. esuh: E k E ot. m mgh mgh m R m < > m m m 88 88

5 Itegle Shewese: em Geüegg m dm ehält m mt ρr d Ahme: dm ρ d Bespel: olllde ρ R π ρ h 3 4 m dr R: Astd des olumeelemets o de m. 443 π Rh dr d R m π ρ h R R MR De Dhte st kostt. m dr d dm d Gesmtmsse: ρ (Dhte): Whtg: Geshkte Whl o d! (He: Zldeshle) R M ρ π R h m h 89 Bespele fü Täghetsmomete: Zlde, Shee Hohllde (Wddke << R) Homogee Kugel R MR M R MR 5 St - m Ede St - de Mtte M Htel M ML 3 ML M: Gesmtmsse, R: Rdus, L: Gesmtläge ML esuh: Aolle o 3 Köpe (Zlde, Hohllde, Kugel) mt glehe Msse ud glehe Rde uf de Shefe Eee. 9

6 Steeshe St: (Pllel-As Theoem) Ist ds Täghetsmomet eüglh ee duh de Shwepukt ekt, egt sh fü ee dee, du pllele : m R m R m + R m ( + R + R ) + m R m dee Ds Täghetsmomet eüglh de eue : S + Msseelemet R R duh Shwepukt mr. (Defto des Shwepuktes: ) M : Astd de om Shwepukt 9 Dehmomet Itut: dϕ Um de Wkelgeshwdgket des oteede Mssepuktes u egöße, muß ee Kft F (Käftep!) tgetle Rhtug (pllel u d ) wke. Außedem hägt de W- F kug o de Läge des Heelms. ( Kuel, Dehe ees Hddes) dϕ M dϕ m d, F W emute: Dehmomet M F, geue: M F, ( M dϕ ) Gelestete Aet W: W Mϕ geue: ϕ W M 9

7 Zusmmehg Dehmomet ud Kft (log:) Mt ehält m: Sptpodukt! Es glt folglh eeso: Also: dw M dϕ dw F ds. ds dϕ dw dw F (dϕ ). ( F) dϕ M F ϕ M dϕ Sptpodukt : dϕ (olume des Sptes (,,)) (klshe etushug) ds F ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) os ϕ 93 Dehmpuls L ee Puktmsse p m : L p m( M Alog u ) L p (Defto) dϕ Mt : dϕ L m( ( )) m[ ( ) ( )],, d. L m Mt: m wd L Behte: Dmeso o L: kg m /s. Dmeso o Plkshe Kostte h: kg m /s s! SPIN L, m Doppeltes ektopodukt: ds F, ( ) ( ) ( ) (Etwklugsst) 94

8 dm R Dehmpuls L ees ste Köpes Es w: R d. dl dm ( R ); dm ρ d d L R ρ d ρ R d. ρ Also: L. Eot (Rottoseege) de ot dϕ Alete h de Zet: ( & + & ) & &. E ot { & dϕ & ϕ M ϕ. M M & & L. (Aktospp fü Deheweguge) 95 (Dehug um feste ): Alog u de Shewese des Newtoshe Aktospps de Tslto: dp d dm F m + egt sh fü Rotto um feste : dl d d M +. We ke äußees Dehmomet wkt, let de Dehmpuls ehlte: dl M L ost. (Dehmpulsehltugsst) 96

9 Bespel u Dehmpulsehltug: Zwetes Kepleshes Geset (Flähest): De Fhsthl Soe-Plet üesteht glehe Zete glehe Flähe. Fläheelemet da de Ellpse wd duh Deek geähet: da ( t ) ( t ) + α da t da t s α. sα, da Fü? t? : m p m L ost. 97 esuh u Dehmpulsehltug L ost. : Dehshemel We klee wd, muss göße wede. dl d d + Eegeethtug: ; : > : R E E, E E E : ehtete Aet gege Zetfuglkft: Kee Eegeehltug! W R R R Z R R F dr m RdR 98

10 Aloge wshe Tsltos- ud Rottoseweguge (Uteshede: F,. p : pole ektoe, M, ϕ,, L : leektoe, Smmete!) Tslto Rotto Wegelemet: Geshwdgket: Msse: Impuls: Kft: Wkelelemet: Wkelgeshwdgket: m Täghetsmomet: R dm; dm p Ketshe Eege: Ketshe Eege: L E m. E. m Newtoshes Aktospp: F m p & & Aktospp f. Dehg.: M & L Aet: Lestug: p d s Aet: Lestug: d ϕ ϕ & π ρ d p m Dehmpuls: L p F Dehmomet: M F W F ds dw P F ost.; E ost. fü,. F Ehltugssäte: / T W M d ϕ dw P M M L ost.; E ost. fü,. 99 Glehgewht: We de Summe lle Dehmomete Ahshtug gleh ull st, ttt kee Deheshleugug des Köpes uf. E eht Ruhe gl. ee Dehug ode ee glehfömge Dehug. M F (Dehhse) F 3 F F Heel: F F F F Msseshwepukt: M dm. S S S M dm d. ρ F F ρ ( ) d ( ) ρ ost. F F S S

11 esuh: Dehmomete duh Gewhtskft (Stl) (Idffeet) (Ll) Glehgewht, we ΣM. Glehgewht mme d, we Shwepukt üe/ute. Stles Glehgewht: Shwepukt ute Be Auslekug Dehmomet Rhtug u Glehgewhtslge Lles Glehgewht: Shwepukt üe Be Auslekug Dehmomet weg o de Glehgewhtslge Idffeetes Glehgewht: Shwepukt. Stles Glehgewht F F F F F M F + F F M F M F

12 Rotto um fee ht gelget ode eem Pukt gelget (Kesel) Ds Dehmomet ewkt Ädeug de Rhtug o ( M L & & ) Ds Täghetsmomet ees Köpes hägt m llgemee o de Rhtug de Dehhse eüglh de Smmetehse des Köpes. M Also ädet sh uh ds wksme Täghetsmomet. F De Rhtugshäggket des Täghetsmometes wd mt eem Teso (Mt) eshee. 3 Täghetsteso: Im llgemee Fll st de Dehmpuls ht pllel u Dehhse. M k ege: ~ L ~ ~ m m L L L m Smmetshe Teso. Stufe: L L L Atsmmetshe Teso.Stufe: ; ; ;. ; L L L ; + + +, ( Zele ml Splte ) 4 ;,

13 Täghetsellpsod (Smmetshe Teso) Tägt m fü jede möglhe duh de Shwepukt uf, so ehält m e Ellpsod. (Ohe Bewes) Rugll (polte Fom) Lse (olte Fom) Ds Ellpsod ht de Hupthse (de sekeht uede stehe). De Täghetsmomete dese Rhtuge et m Hupttäghetsmomete. 5 Mt eem ktesshe Koodtesstem etlg de Hupthse st de Täghetsteso dgol: ~, ud sd de Hupttäghetsmomete. oltes Täghetsellpsod (gößtes gl. sekehte ) poltes Täghetsellpsod (klestes gl. Zldehse) 6

14 Fee De egeehete Dehhse k u duh Käfte uf de eehlte wede, de dl L m Nh Fege de efolgt de Dehug um de Rhtug o d L Käfte wke u oh etlg de Stge (ee Rdlkäfte). L käftefee m L m Auf de wkt ke Dehmomet. Solhe eehet m ls fee m 7 Fee Rhtug de Hupthse des Täghetsellpsods sd fee. (,, ) De ekto dmt folgt L L L lso L ud dmt,, ht u ee Kompoete,.B. L ( ). Also st de käftefe. 8

15 Stltät fee Rottoe um de mt dem gößte ud mt dem kleste Täghetsmomet sd stl. Rotto um de mt dem mttlee Täghetsmomet st ht stl. (klee Stöuge fühe um Tokel). esuh: 9