Theorie der Elektrotechnik ( )

Transkript

1 gäd Utlag u olsug Thoi d lktotchik vo Uiv.-Pof. Dipl.-Ig. D.tch. Oská Bíó

2 Ihalt. Di Mawllsch Glichug. itilug d lktodamik. Gudlag d Ntwkthoi.3 giumwadlug im lktomagtisch Fld.4 idutig Lösbakit d Mawllsch Glichug. Statisch ud statioä Fld. Radwtpoblm fü das Skalapottial. Aaltisch Lösugsmthod d Laplacsch Glichug.. Mthod d fiktiv Ladug Spiglugspiip.. Tug d aiabl Spaatiosmthod..3 Kofom Abbildug.3 Numisch Lösugsmthod d Radwtpoblm fü das Skalapottial.3. Mthod d fiit Diff.3. aiatiospoblm d lktostatik.3.3 Das Ritsch fah.3.4 Di Mthod d fiit lmt.4 Itgalglichug fü das Skalapottial.4. lmt d Pottialthoi.4. Itgalglichug fü di Obflächladugsdicht.4.3 Mthod d Radlmt

3 .5 Radwtpoblm fü das ktopottial.5. b D Poblm.5. Rotatiossmmtisch D Poblm.5.3 3D Poblm 3. Quasistatioä Fld 3. iig aaltisch Lösug ds Radwtpoblms fü das magtisch ktopottial 3.. Stom i udlichm litdm Halbaum 3.. Stom i udlich ausgdht litd Platt 4. lktomagtisch Wll 4. b Wll 4. lktomagtisch Wll im udlich homog Raum 4.. Lösug d Mawllsch Glichug mit tadit Pottial 4.. D Htsch Dipol 4.3 Gfüht Wll 4.3. TM- ud T-Wll 4.3. Wll i chtckig Hohllit

4 . Di Mawllsch Glichug: I. D oth J t II. B ot t III. divb I. divd ρ vallgmit Duchflutugssat Iduktiosgst Qullfihit d magtisch Iduktio Gaußschs Gst. Folgglichug: Kotiuitätsgst: divj ρ. t di Divg d I. Mawllsch Glichug di I. Mawllsch Glichug: D div J divd ρ. t

5 I Spaugsqull folgt i Ladugstug i Folg vo ichtlktisch.b. chmisch ogäg. Di igpägt Fldstäk ist i fiktiv äquivalt lktisch Fldstäk wlch di glich Ladugstug hvouf wüd: i J _ P u P u al Spaugsqull: idal Spaugsqull: Fldgöß i Spaugsqull q P P d Γ: Quschitt γ : spifisch Litfähigkit u q ir q P P P P d u JΓ d γγ P d P J u u q ir q γ u γ J γ P P J d γ

6 Matialglichug:. J H B D γ µ ε gi- ud Listugsdicht: B H D w w m w. γ J p B D d d B H D. Ω Ω Ω Ω pd P wd W gi ud lustlistug i im olum Ω:

7 . itilug d lktodamik. Statisch ud statioä Fld t oth J ot divb divd ρ divj. lktostatischs Fld: ot divd ρ D ε. statioäs Magtfld: oth J divb B µ H. statioäs Stömugsfld: ot divj J γ.

8 D. Quasistatioäs Fld J >> t oth J B ot t divb B µ H J γ.

9 3. lktomagtisch Wll D oth J t B ot t divb divd ρ D ε B µ H J γ.

10 . Gudlag d Ntwkthoi Ntwksigal: u d i Γ J dγ Q Ω Γ ρdω divddω D dγ Ω Ω Γ Φ Γ Γ B dγ. Ntwklmt: Widstad: u Ri idal Kodsato: i du C dt di idal Spul: u L. dt

11 Di Kichhoffsch Kotgl: i Γ Ω i D auf Γ da Γ ki t Kodsato schidt. i 3 i 4 Itgatio ds Kotiuitätsgsts üb Ω: ρ D D divj dω div J dω J dγ J d Γ. t t t Ω Ω Γ Γ i ν ν

12 Di Kichhoffsch Maschgl: u qµ u L u Rµ u C ur u Cµ u Lµ Γ u q C Γ u Lm u u u Cm Rm qm Itgatio ds Iduktiosgsts üb Γ: B d ot dγ d B dγ. t dt Γ m C Γ u qµ ur µ ucµ ulµ µ Γ

13 .3 giumwadlug im lktomagtisch Fld oth H ot D J t B H t H ot oth B H t I. MGl. - II. MGl. H D J t H ot oth H H H H H H div c c

14 Itgatio üb i olum Ω: Ω Ω Ω Ω Ω Ω d div d d t t H J D B H H B H B H B H µ t t t w d t t m B J J J J J J p γ γ γ D D D ε t t t w d t t D fü lia Mdi Γ Ω Γ Ω d d div H H Gaußsch Sat

15 Potigsch Sat: d dt w m w dω dω JdΩ H Ω Ω J γ Ω Γ dγ cht Sit: Usach fü di Abahm d gi im olum S H Potigsch kto: Listug duch ihitsfläch Γ S dγ ist di Listug wlch duch Stahlug das olum Ω vläßt.

16 .4 idutig Lösbakit d Mawllsch Glichug Di Lösug d Mawllsch Glichug i im olum Ω mit dm Rad Γ ist fü t > t idutig voausgstt dass di. Afagsbdigug H af af Ω t t H t t ud di. Radbdigug fü di Tagtialkompot H t ta t od t t ta t Γ t H t t füllt sid. Sowohl di Fuktio H af af Hta t ud ta t als auch di igpägt Fldstäk müss bkat si. Lia Matialigschaft wd agomm.

17 Bwis: Aahm: s isti wi Lösug: H ud H. Di Diff d bid: H H H füll di Mawllsch Glichug dis sid lia. Dabi sid di Afagsbdigug ud Radbdigug homog bw.. So gilt fü si d Potigsch Sat: d dt Ω µ J Ω H ε d dω γ Ω Γ H dγ Da wg d Radbdigug twd od H i di Nomalichtug ig hat S H ki Nomalkompot. So ist das Obflächitgal Null.

18 d dt Ω µ ε dω H J γ Ω dω Di cht Sit ka i gativ wd d.h. dass d Ausduck dss gativ Zitablitug a d lik Sit stht i uhm ka. ist wg d Afagsbdigug im Zitpukt t glich Null ud da offsichtlich icht gativ ist ka auch icht abhm. Dah muss imm Null si: Ω dω µ H ε Daaus folgt H d.h. ud H.. H q.. d.

19 . Statisch ud statioä Fld Mawllsch Glichug : t oth J ot divb divd ρ divj. lktostatischs Fld: statioäs Magtfld: statioäs Stömugsfld: ot oth J ot divd ρ divb divj D ε. B µ H. J γ.

20 . Radwtpoblm fü das Skalapottial lktostatischs Fld ud statioäs Stömugsfld: ot gad : lktischs Skalapottial Statioäs Magtfld w J: oth H gadψ ψ : magtischs Skalapottial Difftialglichug: divd ρ div εgad ρ divb div µgadψ divj div γgad vallgmit Laplac- Poissosch bw. Laplacsch Glichug.

21 Di Lösug d Laplac-Poissosch Glichug im udlich l εε Raum: ρ dω. 4πε Ω Im ladugsfi Gbit gilt auch fü das lktostatisch Fld di vallgmit Laplacsch Glichug: div εgad.

22 Radbdigug: Diichltsch Radbdigug: bkat auf Γ ψ D ψ Bdutt di ogab vo t od H t. bkat auf Γ D ΓD wid im lktostatisch Fld ud statioä Stömugsfld tpischwis duch lktod gbildt. Hi gilt t kostat. Statioäs Magtfld: Gfläch u hochpmablm Gbit magtisch Wad µ.. µ µ µ H t H is da H t H tis

23 Numasch Radbdigug: ε σ bkat auf ΓN γ auf ΓN ψ µ b bkat auf ΓN. Bdutt di ogab vo D J bw. B. Im statioä Stömugsfld ist Γ N di Gfläch um ichtlitd Gbit. Falls σ im lktostatisch Fld ud b im statioä Magtfld ist Γ N i Fläch paalll u d Fldlii. Sost ist D B bkat auf Γ N.

24 Radwtpoblm:. auf auf i N D gad div Γ Γ Ω σ ε ρ ε lktostatischs Fld:. auf auf i N D b gad div Γ Γ Ω ψ µ ψ ψ ψ µ statioäs Magtfld:. auf auf i N D gad div Γ Γ Ω γ γ statioäs Stömugsfld:

25 idutigkit d Lösug ds Radwtpoblms: Wg d Aalogi icht s u d Fall lktostatik u bhadl. Bwis: Aahm: s isti wi Lösug: ud. Di Diff d bid: füllt das Radwtpoblm div εgad i Ω auf ΓD ε auf Γ Idtität. Gsch Sat: div ε gad ε gad div εgad. N.

26 Itgatio üb i olum Ω mit dm Rad Γ: Ω ε gad dω Ω div εgad dω Γ εgad dγ. Wg ds Radwtpoblms fü ist di cht Sit Null εgad ε. Daaus folgt gad kostat i Ω. Da ab auf Γ i Ω. D q.. d.

27 . Aaltisch Lösugsmthod d Laplacsch Glichug Laplacsch Glichug: divgad divgadψ. lktostatischs Fld: ρ ε kostat ε statioäs Magtfld: J µ kostat µ statioäs Stömugsfld: γ kostat. ist i hamoisch Fuktio. s gibt udlich vil hamoisch Fuktio!

28 Diichltsch od Numasch Radbdigug : kostat auf Γ D Ω i Ω Ω auf Γ N Aaltisch Mthod: Bitstllug vo hamoisch Fuktio ud Auswahl djig wlch di Radbdigug füllt. Dis gibt di ichtig Lösug da si idutig ist.

29 .. Mthod d fiktiv Ladug Spiglugspiip Di Pottialfuktio i Puktladug ist i all Pukt ds Raums bis auf di Stll d Ladug hamoisch. Q [ ] 4 Q πε

30 [ ] 3 4 Q πε 3 4 Q πε [ ] Q πε Q πε. w πε Q Bwis: q.. d.

31 I wi Dimsio b Poblm ist di Pottialfuktio i udlich lag Liiladug hamoisch. τ τ πε l [ ] τ l l πε [ ]

32 πε τ [ ] πε τ [ ] πε τ [ ] πε τ q.. d.

33 Wg d Liaität d Laplacsch Glichug wid si duch di Pottialfuktio i blibig Ladugsvtilug füllt i ladugsfi Gbit. füllug d Radbdigug: i fiktiv Ladugsvtilug ihalb d lktod soll Äquipottialfläch hab wlch mit d lktod übistimm. Bispil: i Puktladug: kotisch Kuglobfläch Kuglkodsato i udlich lag Liiladug: kotisch Zlidobfläch Zlidkodsato Liidipol: ichtkotisch Zlidobfläch Spiglug a b: udlich ausgdht litd b Mhfach Spiglug a b: abgwiklt lktod α 8 /

34 .. Tug d aiabl Spaatiosmthod Laplac Opato im allgmi othogoal Koodiatsstm: gadu u div u h h h u h h h u h h h h h h u u u u u u u u u φ φ si si si φ θ θ θ θ θ φ θ u u u u

35 Spaatiosmthod: Asat: X X X s wid vsucht di Laplacsch Glichug i patill Difftialglichug fü auf di gwöhlich Difftialglichug fü jwils X X ud X 3 uückufüh. Aus d allgmi Lösug dis Glichug hält ma spill Lösug d Laplacsch Glichug mit Hilf ds obig Asats. Wg d Liaität d Laplacsch Glichug wid si duch i blibig Liakombiatio dis Lösug füllt. Di Lösug is kokt Radwtpoblms ist dijig Liakombiatio wlch di Radbdigug ds Poblms füllt. Dis ist da möglich w di Radbdigug tlag i kostat Obfläch ggb sid.

36 Katsisch Koodiat D Fall: Asat: Y X Laplacsch Glichug:. d Y d X d X d Y Divisio duch XY gibt: Dis ist u da möglich w kostat. kostat g f g f d Y d Y d X d X

37 Di gwöhlich Difftialglichug sid da: d X d fx d Y d gy wobi g f. f p g p : X C cos p C si p p p Y C3 C4 C 3 cosh p C 4 sih p i Lösug: p p A ± ± cos p B ± ± si p i wit Lösug hält ma duch das tausch vo ud : p p A ± ± cos p B ± ± si p

38 Bispil: a b f Radbdigug:. 4 ; 3 ; ; a f b... / si sih a p p p π : si sih a a B π π Foui-Rih vo f : 3 4 füllt.. si a b f π a a b B b π π si sih b a b B π sih. si sih sih a a b a b π π π

39 Zlidkoodiat D Fall: Asat: φ R Φ φ Laplacsch Glichug: d dr d Φ φ Φ φ R. d d dφ Multiplikatio mit ud Divisio duch RΦφ gibt: φ. d dr R d d f d Φ φ Φ φ dφ g φ. Dis ist u da möglich w f kostat g φ kostat.

40 Di gwöhlich Difftialglichug sid da: d d dr d fr d Φ φ dφ gφ φ wobi g f. Da Φφ mit π piodisch si muss ist u g - : ga Zahl möglich: Φ φ C cos φ C si φ. 3 4 > D Fall gibt Φ φ C C. 3 4φ Dis ist u da piodisch w C 4. D Fall C 4 ist da sivoll w im Poblmgbit φ < π gilt. ma Ω φ φma

41 d dr d d a : R. dr C R C l d C. b > : Asat: R α dr α dr α d dr α α α α d d d d α α α ± : R C C α Lösug: ± ± ± ± l 3 4φ cos φ si φ C C C C A B

42 Bispil: Zlidkodsato a i R i R a Rotatiossmmti: φ C l C. Radbdigug: i a C C l R C l Ra a i l R R a i C i C C. i l Ra a l l R R a i R i. a l Ri i l l R R a i R a. Di glich Lösug hält ma mit Hilf d Mthod d fiktiv Ladug.

43 Bispil: Dilktisch Zlid im homog Fld > R φ φ ε Radbdigug: Homogs Fld: cos. φ Bwis: cos φ siφ. φ φ cosφ siφ cos φ si φ φ siφ φ cosφ cosφ siφ siφ cosφ. q.. d. i φ w < R φ a φ w > R. lim φ < A cos φ B si φ i lim a a φ cosφ cosφ i i A cos φ B si φ. a a i

44 Rad- ud Gflächbdigug: φ φ φ φ R R R R a i a i R R R D R D a i a i φ φ ε a i a i a i R B R B R A R A R A R R A > > R A R A R A A a i a i ε ε. a i R B R B ε Lösug: R A A a i ε ε ε > A A a i. a B i B

45 . cos cos cos φ ε ε φ φ φ ε φ R a i Das Fld ihalb ds Zlids ist homog.

46 ..3 Kofom Abbildug Btacht wi i blibig gulä kompl Fuktio: w u jv j. Si stllt i Abbildug d - b i di u-v b da: w w v w C C u Di Abbildug ist kofom: im Kli wikltu.

47 Rgulä kompl Fuktio hab di igschaft lim lim j w j w w w w v v j u u lim lim j v v j j u u. v u j v j u

48 Cauch-Rima Glichug:. u v v u u u v u v u. v v u v u v Sowohl d Raltil als auch d Imagiätil i gulä kompl Fuktio sid Lösug d widimsioal Laplacsch Glichug.

49 D Ral- od Imagiätil i gulä kompl Fuktio ist di Lösug is Poblms w tlag d lktod kostat ist. Fldlii Äquipottiallii Allgmi: C w. C u : u u u kostat Lii Äquipottiallii v : v v v v u kostat Lii Fldlii v kostat Lii Fldlii v kostat Lii Äquipottiallii u u

50 Bispil: Zlidkodsato a i u R i R a kostat kostat jφ w l l l jφ u l l v φ : Kis. acta. Di Radbdigug kö füllt wd w w C l C. u C l. Aus d Radbdigug: C a l Ri i l l R R Di glich Lösug hält ma mit Hilf d Mthod d fiktiv Ladug od mit d Spaatiosmthod. a i R a.

51 Bispil: Zwi aufiad omal sthd b jφ w l l l jφ U v kostat φ kostat u l l v φ : adial Lii. acta. Di Radbdigug kö füllt wd w w C l v C φ C. U U Aus d Radbdigug: φ acta. π π C.

52 .3 Numisch Lösugsmthod d Radwtpoblm fü das Skalapottial Nachtil d aaltisch Mthod: Spill Gomti Homog Matiali Numisch Mthod: Disktisiug d Gomti Bücksichtigug vo ihomog Matiali

53 Disktisiug d Gomti : kostat auf Γ D Ω Ω div εgad ε σ auf i Ω Numisch Mthod: Pottial wid i diskt Kot ähugswis bstimmt. Das Fld wid duch umisch Difftiatio bcht. Diichltsch Radbdigug wd akt i Kot füllt Numasch Radbdigug kö u ähugswis füllt wd. Γ N

54 .3. Mthod d fiit Diff Nu widimsioal b Poblm wd bhadlt allgmiug auf 3D Poblm licht möglich. Homog Matiali wd agomm: Laplacsch Glichug. allgmiug auf stückwis homog Matiali möglich. Äquidistats Gitt allgmiug auf ichtäquidistats Gitt möglich. Ω Γ h h

55 a b c d A... 4! 3!!! h h h h A a... 4! 3!!! h h h h A b... 4! 3!!! ± h h h h A c... 4! 3!!! ± h h h h A d 4 4 h O h A d c b a h h 4 d c b a A

56 Di Glichug 4 A a b c d d.h. b A a b c d A 4 c a d tspicht d Nähug ds Mittlwtsats d Pottialthoi sih.4.: Kugl M R M dγ 4πR Kugl

57 Bücksichtigug d Radbdigug: Diichltsch Radbdigug auf Γ D : g bkat. 4 i f g h 4 i f h Γ N Numasch Radbdigug auf Γ N : g h f i m Γ D h l o k 4 o k l m ε σ im Pukt o. k: fiktiv Gittpukt außhalb vo Ω h k m hσ ε o ε σ k m h ε 4 o l m hσ ε

58 ε Bispil: h U σ ε h 4 5 ε σ h ε σ 8 σ 5 7 hσ ε hσ ε Kot : Kot : Kot 3: Kot 4: U 4 5 U U U 4 U hσ 4 5 ε Kot 5: Kot 6: Kot 7: Kot 8: U 4 U 7 8 hσ ε

59 / / ε σ ε σ h U h U U U U Glichugssstm i Matifom: Spälich bstt Mati.

60 .3. aiatiospoblm d lktostatik Das Radwtpoblm ds lktostatisch Flds div εgad ρ i Ω auf ΓD ε σ auf ΓN ist folgdm aiatiospoblm äquivalt: Fid auf Γ D so dass das Fuktioal W Ω εgad um Miimum wid. dω Ω ρdω Γ N σdγ

61 Phsikalisch Bdutug ds Fuktioals Ω εgad dω DdΩ : Ω lktisch Fldgi W Ω ρdω σdγ : Γ N Pottill gi d Ladug W p W W W p ist di Wikug! Das aiatiospoblm tspicht dm Piip d klist Wikug.

62 .3.3 Das Ritsch fah Da das aiatiospoblm ud das Radwtpoblm äquivalt sid ist i Nähugslösug ds aiatiospoblms bfalls i Nähugslösug ds Radwtpoblms. Das aiatiospoblm ka mit Hilf d Ritsch Mthod ähugswis glöst wd. i Nähugslösug soll i folgd Fom gsucht wd: D j j w j w D j j blibig Fuktio mit D auf Γ j... : umisch Paamt : j... : Basisfuktio mit füllt di Diichltsch Radbdigug fü w j auf j Γ D. blibig! D

63 Di ubkat Paamt j j... wd aus d Bdigug bstimmt dass di Nähugslösug das Fuktioal miimit. Di otwdig Bdigug dafü sid: W i i.... Dis sid Glichug das Ritsch Glichugssstm aus wlch di Ubkat j j... bcht wd kö.

64 W εgad dω ρ dω σ dγ i i Ω i Ω i Γ N Ω gad i εgad dω Ω i ρdω Γ N i σdγ. i i D j j w j w i. Das Ritsch Glichugssstm: gadw gadw dω gadw gad dω w dω j i ε j i ε D iρ j Ω Ω Ω Γ N wσdγ i Smmtisch Mati! i....

65 .3.4 Di Mthod d fiit lmt Fiit lmt MthodFM Disktisiug d Gomti Dickslmt: ifachst Möglichkit Ubkat: Pottialwt i d Kot Pottial i d lmt: Polom idig Odug fiit lmt Ω

66 Lia Itpolatio d Pottialfuktio i d lmt

67 Fomfuktio i i N i k j j N j k N k k k k i N i j i N j j i N k j i N i j N j k N k j i k k i j

68 N j N j im Kot j i all ad Kot j j j N j : Aahl d Kot j : Kotwt ds Pottials

69 Basisfuktio:.... j N w j j Γ D D j j j j j j j j j N N N. j j j D N

70 Ritsch Glichug: j Ω j Ω gadn gadn i i εgadn εgad D j dω dω Ω N ρdω i Γ N N σdγ i i.... I Matifom: [ A ]{ } { b }. ij j i A ij gadn εgadn dω Ω i j b i Ω gadn i εgad D dω Ω N ρdω i Γ N N σdγ. i

71 Ni N j A ij Ω gadn i εgadn j dω i j Ni N j A ij Ω gadn i εgadn j dω. j i Spälich bstt Mati.

72 8-kotig ickslmt

73 -kotig Hadlmt

74 Fom- ud Basisfuktio fü -kotig Hadlmt

75 .4 Itgalglichug fü das Skalapottial Das Radwtpoblm fü das Skalapottial ka auch i d Fom vo vschid Itgalglichug dagstllt wd. Itgalglichug fü Fuktio i aiabl: : gsucht Fuktio f : bkat Fuktio K : K d Itgalglichug bkat λ : bkat Kostat. b a K d f b λ K d f a Fdholmsch Itgalglichug. At Fdholmsch Itgalglichug. At

76 Radwtpoblm fü das lktisch Skalapottial fü d Fall vo homog Matiali εε : divgad ρ i Ω ε Laplac-Poissosch Dgl. auf ΓD Diichltsch Radbdigug σ auf ε Γ N Numasch Radbdigug. W ud auf dm gsamt Rad bkat wä köt ma das Pottial i im blibig Pukt i Ω mit Hilf d Itgaldastllug dikt bch.

77 Gsch Fuktio: Lösug d Laplac-Poissosch Dgl. δ G dfiit duch : Diacsch Impulsfuktio im Pukt δ od 3 3 w d w w d w Ω Ω R R δ δ im gsamt didimsioal Raum..4. lmt d Pottialthoi

78 Di Lösug d Laplac-Poissosch Glichug im udlich l Raum εε ist: ρ ε 4πε R 3 ρ dω. Somit ist di Gsch Fuktio ρ εδ : δ G dω 4π 4π R 3 Dis ist das Pottial i Puktladug d Göß ε im Pukt. i Puktladug d Göß Q im Pukt tspicht d Ladugsdicht ρ Qδ.

79 Gsch Sat: div φgadψ gadφ gadψ φ ψ div ψgadφ gadψ gadφ ψ φ φ ψ ψ φ div φgadψ div ψgadφ φ ψ ψ φ dω Ω Γ ψ φ φ ψ dγ φ ψ G dω dω dγ dγ

80 Ω Ω d G G δ Γ Γ d G G Itgaldastllug: Ω Ω d 4 π Γ Γ Γ Γ d d 4 4 π π

81 Nbgbis Mittlwtsat d Pottialthoi: Ist i Lösug vo da ist d Mittlwt vo mittlt üb di Obfläch i Kugl mit blibigm Radius R ist glich dm Wt vo im Mittlpukt d Kugl. Bwis D Mittlpukt si di Fläch Γ si di Kugl mit Radius R: R dω dγ 4πR 4π RR Ω Γ dγ dγ 4πR 4πR Γ Γ gad dγ divgaddω Γ Ω gl.: Mthod d fiit Diff R

82 ist d aus dm Radwtpoblm bkat Göß: Ω Ω d 4 ρ πε Γ Γ Γ Γ D N d d 4 4 σ πε π Γ Γ Γ Γ N D d d 4 4 σ πε π bkat ubkat schid Itgalglichug fü di ubkat Göß D N Γ Γ auf ud auf hlitba.

83 .4. Itgalglichug fü di Obflächladugsdicht ifachst Fall: lktodpoblm i kostat i... m. Γ Ω m... Ω Γ m Ω m Ω i i Γ i Γ N Γ D i Itgaldastllug: m i 4π 4πε i Γ m i i Γ i Γ ρ. i dγ σ dγ. dγ gad dγ Γi Γi Ωi dω falls Ωi.

84 Itgalglichug fü di Obflächladugsdicht auf d lktod: 4πε m i Γ i σ dγ i fü Γ i i... m. Im D Fall ist di Gsch Fuktio l. π Di lktodkotu si di Kuv C i. Itgalglichug fü di Liiladugsdicht auf d lktod: πε m τ l dγ i fü Ci i i C i... m. Fdholmsch Itgalglichug. At.

85 .4.3 Mthod d Radlmt Bouda lmt Mthod BM Numischs fah u Lösug vo Itgalglichug Disktisiug d lktod: 3D Poblm - Obfläch D Poblm - Kuv Ubkat: Obflächladugsdicht i d lmt Radlmt Γ

86 ifachst Aahm: σ ist kostat i jdm lmt. Di Aahl d lmt si di Ubkat sid σ j j.... I jdm lmt wid i Aufpukt P i i... gwählt i wlchm di füllug d Itgalglichug gfodt wid.... P P P...

87 Lias Glichugssstm fü di ubkat Obflächladugsdicht Γ j : j-ts lmt i : Pottial i P i : 4πε σ j j Γ P j i dγ i i.... Im D Fall sid di ubkat Liiladugswt C j : j-ts Liisgmt i : Pottial i P i : πε τ l j j C P j i ds Nichtsmmtisch voll bstt Mati. i i.... Nach Lösug ds Glichugssstms ka das Pottial im blibig Aufpukt im Poblmgbit mittls Itgaldastllug bcht wd.

88 .5 Radwtpoblm fü das ktopottial Statioäs Magtfld: div B B ota A: magtischs ktopottial Statioäs Stömugsfld: div J J ott T: Stömugsvktopottial Difftialglichug: oth J ot ota J µ ot ot ott. γ

89 .5. b D Poblm. : B B J B J Statioäs Magtfld: J Fldlii vo B A A. A A A ot A B

90 Difftialglichug fü das ikompotig ktopottial im b D Fall: A A A A A ot ot µ µ µ µ µ ] [. div gada µ J gada div µ vallgmit Laplac-Poissosch Glichug.

91 Magtisch Fluß mit Hilf vo A: B Φ Γ B dγ Im b D Fall: Γ ota dγ Γ PQ : Obfläch d Läg duch di Pukt P ud Q C A d. C dγ Γ A d kostat Φ A d PQ C PQ A P A Q Γ PQ A P P Q A Q C PQ

92 Flußlii magtisch Fldlii vlauf paalll u B. B Q Fü wi blibig Pukt auf i Flußlii gilt Φ PQ AP - AQ. P A P A Q A kostat auf Flußlii! A A d da P d d Bd Bd d Flußlii: Äquipottiallii vo A. B B. Ist di Diff ds ktopottialwts wisch wi bachbat Flußlii kostat ist di Dicht d Flußlii dm Btag vo B popotioal.

93 Stom mit Hilf vo T: J I Γ J dγ Im b D Fall: Γ ott dγ Γ PQ : Obfläch d Läg duch di Pukt P ud Q C T d. C dγ Γ T d kostat I PQ T d C PQ T P T Q Stomlii: Äquipottiallii vo T. T P P Q T Q C PQ Γ PQ

94 . : J J J Statioäs Stömugsfld: T T. T T T ot T J gadt div γ vallgmit Laplacsch Glichug.

95 Radbdigug: Diichltsch Radbdigug: A bkat auf Γ Bdutt di ogab vo B od J : Γ D B.B. fü das Magtfld: ota t T A D T bkat auf Γ D. ot A gada gada A t gada : Tagtialablitug vo A! t Mists ist A kostat od T kostat: D Schitt vo Γ D mit i kostat b ist i Flußlii od Stomlii. Di Diff d Wt vo A od T gb d Fluß od d Stom po Lägihit wisch d Lii a.

96 Numasch Radbdigug: auf bkat N A Γ α µ. auf bkat N T Γ γ Bdutt di ogab vo H t od t :.B. fü das Magtfld: t gada A ot H µ µ. A gada gada µ µ µ Auf Gfläch u hochpmabl Gbit bw. auf lktod ist di Numasch Radbdigug homog:. od T A γ µ

97 Radwtpoblm fü di ikompotig ktopottialfuktio im b D Fall: statioäs Magtfld: div gada J i Ω µ A A auf Γ A µ α auf Γ D N. statioäs Stömugsfld: T div gadt i Ω γ T auf Γ T γ auf Γ D N. Ählich Radwtpoblm wi fü di Skalapottialfuktio.

98 Dualität wisch d Radbdigug fü das Skalapottial ud das ikompotig ktopottial im b D Fall Flusslii Magtisch Wad: ψ kostat A. µ Flusslii: ψ µ A kostat. Magtisch Wad

99 .5. Rotatiossmmtisch D Poblm. : B B J B J φ φ Statioäs Magtfld: A φ A A ot A B φ. A A

100 Difftialglichug fü das ikompotig ktopottial im otatiossmmtisch Fall: ot[ ot A µ φ ] A µ φ A µ A A ϕ ϕdiv gada. µ µ µ A A div gada µ µ µ A A µ µ J

101 Fluss im otatiossmmtisch D Fall: Γ PQ : Kglstumpfmatlobfläch duch di Pukt P ud Q C PQ Q AP φ P AQ φ Q φ kostat Γ PQ P φ kostat Φ A d π [ A P A Q]. PQ C PQ P Flusslii: Äquipottiallii vo A. Stömugsfld: Äquipottiallii vo T sid di Stomlii. Q

102 .5.3 3D Poblm Di ktopottialfuktio sid icht idutig: B J ot A ot A gadu ot T ot T gadu u ist i blibig Skalafuktio u ist i blibig Skalafuktio. Difftialglichug: oth J ot ota J µ ot ot ott γ Radbdigug: ogab vo B od vo H t. ogab vo J od vo t.

103 I 3D Poblm bih sich di Radbdigug auf di Nomal- ud Tagtialkompot d Fldgöß od ds ktopottials. A A A ta t... ta t A A A. A A A A ta t A A A Γ Statt ta t wid A vwdt.

104 ogab vo B od vo J mit Hilf ds ktopottials: div A ota A ot B B divv h hh h3 3 v h h v h h v h A ud T hab ki Nomalkompot bi d Bildug ih Divg wid icht i d Nomalichtug diffit. div T J. Duch di ogab vo A bw. T wd B bw. J bstimmt: Diichltsch Radbdigug.

105 ogab vo H t od vo t mit Hilf ds ktopottials: s soll H bw. voggb wd : H ota µ ott : γ Numasch Radbdigug.

106 Radwtpoblm fü di ktopottialfuktio im 3D Fall: statioäs Magtfld: ot ota J i Ω µ A a auf Γ D ota µ α auf Γ N. statioäs Stömugsfld: ot ott i Ω γ T τ auf Γ D ott γ auf Γ N. Di Radwtpoblm hab ki idutig Lösug.

107 Spialfall: ktopottial vo voggb Stomdicht im udlich l Raum µ µ ud Γ : otota µ J A ota od ota. Ldiglich BotA ist idutig bstimmt icht ab A. A wid idutig w auch diva bstimmt wid: ichug. Di Wahl diva ist di Coulomb-ichug.

108 Di ichug macht A idutig: diva div A gadu u gadu A A gadu gadu. Radwtpoblm fü A: otota µ diva A. J otota gaddiva A µ J A. ktoill Laplac-Poissosch Difftialglichug.

109 Di Coulomb-ichug folgt aus d vktoill Laplac- Poissosch Difftialglichug: otota gaddiv A A µ J A. div otot gaddiv div diva Lösug vo A A µ J diva diva A µ J A :. dω A. 4 µπ J Ω

110 Biot-Savatschs Gst: Ω Ω Ω Ω Ω Ω d d gad d ot ot J J J A B π µ π µ π µ. 4 Ω Ω d J H π

111 3. Quasistatioä Fld D Mawllsch Glichug J >> : t I litd Mdi Ω l : I ichtlitd Mdi Ω i : oth J B ot t divb oth divb J B µ H J γ. J ist ubkat: itabhägigs quasistatioäs Fld B µh. J ist bkat: itabhägigs statioäs Magtfld

112 Bispil: Ω i Jt Ω l

113 Rad- ud Gflächbdigug: ΓB : Ω i B b Γ : ichtlitds Gbit Γ li: H B sid sttig Ω l litds Gbit J ΓHi : H α Γ : H Hl

114 Difftialglichug i Ω l Wiblstomgbit: oth ot l l divb B l l µ H J l l B t H l l νb l J Zusammfassug l γ l Difftialglichug i Ω i wiblstomfis Gbit: oth divb B i i i J i i µ H H νb i i Radbdigug: H l auf Γ Hl l auf Γ H i K auf Γ Hi B i b auf Γ B. Afagsbdigug i t: B l Gflächbdigug auf Γ li : H B l l l l H B i i i i l i Ωl Bi Bi B i Ω i

115 Kompl Schibwis fü ithamoisch Göß: Zitfuktio: B ˆ t Bcos ωt ϕ B ˆ t Bcos ωt ϕ B ˆ t Bcos ωt ϕ spill fü lia Polaisatio: B t Bˆ cos ω t ϕ Kompl Amplitud kompl Schitlwt: B Bˆ Zitablitug: im Zitbich Multiplikatio mit jω im Fqubich t Mawllsch Glichug fü kompl Amplitud quasistatioä Fall: jϕ oth J ot jωb divb.

116 * * * * * H B J H H H ω j div ot ot Potigsch Sat fü kompl Amplitud im quasistatioä Fall: S d d j d Γ Ω Ω Γ Ω Ω H H B J * * * ω S: kompl Listug di duch d Rad Γ is Gbit Ω hiiflißt.

117 Bwis: Zitfuktio ds Potigsch ktos: S t t H t ˆ cos ωt ϕ ˆ H cos ωt ϕ H ˆ Hˆ [ cos ϕ ϕ cosω ϕ ] H t ϕ H ˆ Hˆ cos ϕ ϕ H [ cos ωt ϕ ] Wikatil ˆ Hˆ si ϕ ϕ H t ϕ Wiklistug: Blidlistug: Blidatil Γ [ si ω ] P ˆ Hˆ cos ϕ ϕ H dγ Q ˆ Hˆ si ϕ ϕ H dγ Γ

118 Γ Γ d j jq P S H H H ] si [cos ˆ ˆ ϕ ϕ ϕ ϕ Γ Γ Γ Γ d d H H j j j H H ϕ ϕ ϕ ϕ ˆ ˆ ˆ ˆ. * Γ Γ d H q.. d. Kompl Potigsch kto: * H S * J J Ω Ω Ω Ω d d P γ. * Ω Ω Ω Ω d d Q H H B µ ω ω Wiklistug: Blidlistug:

119 3. iig aaltisch Lösug ds Radwtpoblms fü das magtisch ktopottial Im litd Gbit Ω l : div B B ota ot B t ot ota t Difftialglichug: A ot t gad A oth J ot ota γ γgad µ t divj A div γgad div γ. t Radbdigug: A. A. t

120 Spialfall: µ kostat γ kostat ithamoisch Fall. Coulomb-ichug: diva div γgad jωdiv γa jωdiva Difftialglichug i Ω l : A jωµγa vktoill Diffusiosglichug. b D Poblm: A jωµγa skala Diffusiosglichug.

121 3.. Stom i udlichm litdm Halbaum : A A A j ω J A j J ωγ γ B d da A ot A B µ γ J J B B. H d da B H µ µ

122 d A Diffusiosglichug: jωµγa. d j ωµγ p p d A p A d jωµγ j j δ ωµγ δ: idigtif. p A A A p lim A < A : A p A A δ j δ

123 Fldgöß: jωa jωa p J jωγa jωγa da B pa d p da p H A µ d µ p p Bstimmug d Kostat A : Stom duch i Litstück d Bit b wid als ggb agomm..

124 b I l Γ C I b H d d C Γ Γ H J pb I A I A pb µ µ δ δ γ ωµ j jp I b p I pb j δ δ γ j I b p J. δ δ δ δ µ j j b I H I b B δ δ b I J δ J Btag d Stomdicht immt potill ab Stomvdägug Ski ffct:

125 Impda ds Litstücks d Bit b ud Läg l: Γ Γ d Z I S H * H H H * * *. ist sost fü. * * b pl I bl b I I b p bl H Z I γ γ b l j jx R Z γδ. b l X b l R γδ γδ b l δ I Glichstomwidstad

126 3.. Stom i udlich ausgdht litd Platt h b b h I A p d A d. δ ωµγ ωµγ j j j p Diffusiosglichug: A j ω J A j J ωγ γ B d da B. H d da H µ

127 Lösug d Diffusiosglichug: p p A A A C cosh p C sih p. Di Stomdicht J jωγa si J J- : C. muss i gad Fuktio A C cosh p. Fldgöß: jωa jωc cosh p J jωγa jωγc cosh p da B pc sih p d da p H C sih p µ d µ

128 Bstimmug d Kostat C : Stom duch i Litstück d Bit b wid als ggb agomm. Γ h h J dγ C H d b I H Γ C h b H h pb ph H h b C sih I µ µ I C. ph pbsih b

129 cosh sih cosh sih p ph b pi p ph pb I j γ ωµ cosh sih p ph b pi J γ sih sih p ph b I B µ. sih sih p ph b I H

130 Impda ds Litstücks d Bit b ud Läg l: Γ Γ d Z I S H * H H H * * *. ist sost fü fü h h bl h H h bl h H h Z I * * b l h I Γ. sih cosh * * bl b I ph b ph pi bl h H h γ

131 ph pl cosh Z ph γb sih Nidig Fqu: ph j h j ωµγ h. δ ph << ph cosh sih ph ph. l Z : wi Glichstom i d gsamt Höh h. γ bh ph ph ph Hoh Fqu: >> cosh sih. Z pl l j γb γδb : Widstad wi Glichstom ob ud ut i Schicht d Dick δ Rakta glich goß wi Widstad.

132 4. lktomagtisch Wll Das vollstädig Sstm d Mawllsch Glichug: D B oth J ot t t divb divd ρ D ε B µ H J γ bschibt lktomagtisch Wll. im akuum: D B t t H t t Das itvädlich lktisch ud magtisch Fld ug iad ggsitig: lktomagtischs Fld

133 4. b Wll Mawllsch Glichug im akuum µ µ ε ε i Abwshit vo Ladug ud Stöm ρ J : ot ε H ot µ H t t div H div. H ototh gaddivh H ε otεµ t t Ählich: εµ H H t εµ t. ktoill 3D Wllglichug

134 Aahm:. I jd kostat b ist das lktomagtisch Fld kostat: b Wll: H H t εµ t ktoill D Wllglichug. εµ : All Kompot ds lktomagtisch Flds H H H füll di skala D Wllglichug: f f t εµ. Lösug: f t v c. v µε

135 Wll mit Ausbitugsgschwidigkit glich d Lichtgschwidigkit: t t t t t t c c c H t H t H t H t H t H t. c c c Zusammhag wisch ud H: oth ε t H H H b Wll:. c t

136 oth H. c t c t c t H H H H H H c t t c H ε H ε; H. µ ε Ählich aus d II. Mawllsch Glichug: µ ± H. ε Ob oich: Ausbitug i d positiv -Richtug Ut oich: Ausbitug i d gativ -Richtug.

137 S t t c Ausbitugsichtug S H t H t c Ausbitugsichtug H t H t c t t c Di Richtug ds Potigsch kto stimmt mit d Ausbitugsichtug übi. µ µ S H H H ± H ± H ε ε µε µ ε ε S H ± [ ] ± ± µ µ µε ε. S± c ε µ H

138 Allgmi Matialigschaft: µεγ kostat. Mawllsch Glichug i Abwshit vo Ladug ρ : ot γ ε H ot µ H t t div H div. H H ototh gaddivh H γ ot ε otγµ εµ t t t Ählich: H H Hγµ εµ t t γµ εµ t t.

139 Fü b Wll:. µε µγ t t H H H µε µγ. t t öllig Aalogi mit d Litugsglichug: u u u LC RC LG RGu t t i i i LC RC LG RGi. t t u i H R L µ G γ C ε.

140 Zithamoisch Fall kompl Schibwis H : kompl Amplitud. Lösug wg d Aalogi: p p p H. Z p Z Ausbitugskoffiit: p jωµ γ jωε α jβ jωµ Wllimpda: Z. γ jωε Gdämpft Wll di sich i d positiv ud gativ -Richtug ausbit.

141 lustloss Mdium: γ. p jωµ jωε jω µε α β ω µε. Z jωµ µ jωε ε. v ω c β µε µε µε µε c. c Optik: v : Bchugsid Mawllsch Rlatio: ε ; ε da fü optisch duchsichtig Mdi µ.

142 4. lktomagtisch Wll im udlich homog Raum Aahm: di Stomdicht J ud di Ladugsdicht ρ sid im gsamt Raum i jdm Zitpukt bkat: J t ud ρ t sid ggb Di Matialigschaft µ ud ε sid im gsamt Raum kostat.b. µ µ ε ε lustloss Mdium: γ.. B. At: homogs Mdium.B. akuum od Luft: µ ε J t lktomagtischs Fld: t Ht

143 4... Lösug d Mawllsch Glichug mit tadit Pottial Mawllsch Glichug: D B oth J ot t t div B divd ρ B µ H D ε. Pottial: B ota H ota µ A A gad Dε εgad. t t

144 A otota gaddiva A µ Jµε µεgad t t. Di Divg vo A ka fi gwählt wd: diva µ ε t : A A µε µ J t. Lo-ichug. A diva ρ div gad. t t ε Mit d Lo-ichug: Ihomog 3D Wllglichug µε t ρ. ε

145 Im statisch Fall übgh dis Glichug i di t ρ Laplac-Poissosch Glichug A µ J ε mit d bkat Lösug dω A 4 µπ J Ω ρ dω. 4πε Ω I Bich wo di Stomdicht ud di Ladugsdicht vschwid hält ma di Wllglichug A A µε µε. t t

146 Di Lösug d ihomog Wllglichug im udlich fi Raum sid µ J t dω c t 4π Ω A ρ t dω t c 4 πε Ω c. µε A t ud t sid di tadit Pottial.

147 Im ithamoisch Fall: A J ud ρ sid kompl Amplitud. Im Zitbich: ˆ J t J cos[ ω t ϕ ]. c c jω Im Fqubich: ˆ jϕ c jk J J k ω ω µε c : Wllahl Phasfakto. jk µ J dω A 4π Ω jk ρ dω. 4πε Ω

148 Mit Hilf d Lo-ichug ka limiit wd: diva µ ε lautt im Fqubich diva jωµ ε. t diva. jωµ ε jωa gad jωa gaddiva jωµ ε ω µε A gaddiva. jωµ ε B ota k A gaddiva. jωµ ε

149 4... D Htsch Dipol l d it Iˆ cos ωt im Dipol äquivalt: π l λ d l. k Qt Qˆ si ωt l it Q t ˆ ka als kompl Schitlwt ds Stoms btachtt wd. I Î jωqˆ Kuglkoodiatsstm: Î θ φ θ φ

150 jk µ J dω A 4π Ω J dω Il ˆ. θ θ cosθ si θ. θ Di Itgatio tfällt da d Itgad kostat ist: jk µ Il A θφ cosθ θ si θ. 4π ˆ

151 Magtfld: θ φ siθ siθ A H ota φ [ Aθ ]. µ µ θ µ θ A A θ H Il ˆ jk k si. j θφ 4π H H θ H φ ˆ jk Il jk si θ. 4π jk

152 lktischs Fld: k A gaddiva. jωµ ε A si ˆ θ Aθ µ Il jk jk diva cos θ siθ θ 4π diva µ ˆ Il jk jk k cos θ 3 4π diva µ ˆ Il jk jk si θ 3 θ 4π gaddiva gaddiva θ θ ˆ jk Il µ cos θ π ε jk Il ˆ µ jk jk[ ] si θ φ. 4 π ε jk jk

153 Nahfld: k π. λ ˆ jk ˆ jk Il Il Hφ jk siθ si θ. 4π jk 4π φ J ˆ Il Biot-Savat: H dω H. 4π 4π jk jk θ 3 π ε jk πε Ω Il ˆ µ Ql ˆ cos cos θ Il ˆ µ Ql ˆ [ ] si si θ. jk jk θ jk θ 3 4 π ε jk jk 4πε p cosθ Statischs Dipolfld: 3 πε p si θ. θ 3 4πε

154 Ffld: k π. λ ˆ jk ˆ jk ˆ jk Il Il ji l Hφ jk siθ jβ siθ si θ. 4π jk 4π λ Il ˆ µ cos jk θ π ε jk ˆ ˆ jk Il µ Il µ θ jk [ ] si jk siθ 4 π ε jk jk 4π ε jk θ H F θ F φ µ Z π Ω Ω ε 377. jiˆ l λ µ ε jk si θ.

155 F θ θ si θ F θ F θ θ θ ma si θ : Stahlugschaaktistik. θ θ ma θ

156 Ausgstahlt Listug: Kugl R λ : Ffld. R P dγ. S * * * S H H θ φθ φ H θ φ. ˆ I * l µ H θ φ si θ. 8 λ ε R dγ Rd R d R d d θ siθ φ si θ θ φ. Kugl Iˆ ππ Iˆ π l µ π 3 l µ 3 P si θdθdφ si θdθ 8 λ ε 4 λ ε 4 ˆ 3 I π l µ R Iˆ. 3 λ ε l R 8 : Stahlugswidstad. s s π λ

157 4.3 Gfüht Wll Litug: tasvsal Abmssug wstlich kli als di Wllläg. D π π λ ω µε k f µε v f. D W dis Bdigug icht füllt ist: Wlllit..B.: Hohllit b µε a Mtalloh γ

158 Aahm: Siusfömig Zitabhägigkit: all Göß sid kompl Amplitud Matialigschaft sid kostat: µ ε kostat lustloss Mdium: γ Ki fi Ladug vohad: ρ.

159 4.3. TM- ud T-Wll Wllglichug fü di Pottial A ud : Im Zitbich: A A µε µε. t t Im Fqubich: ω µε A A ω µε k ω µε : k A A.

160 lktomagtischs Fld falls A A : A A H ot A µ µ µ µ A [ k A gaddiv A] jωµε H A A A k A jωµε [ ]. : di logitudial Kompot ds Magtflds ist Null. Das Magtfld ist tasvsal: TM-Wll.

161 Altativ u d Pottial A ud : D otf otf ε oth jωd ot H jωf H jωfgadψ F B jωµ F µ gadψ. : lktischs ktopottial ψ: magtischs Skalapottial. ot jωb: ototf gaddivf Fjωµε jωfgadψ. Lo-ichug: divf jωµεψ. ω µε F F divb ψ ω µεψ. k F F : Wllglichug.

162 Mit Hilf d Lo-ichug ka ψ limiit wd: divf jωµεψ ψ divf. jωµε H jωf gadψ jωf gaddivf jωµε ω µεf gaddivf jωµε. D otf H F F jωµε k gaddiv.

163 lktomagtischs Fld falls F F : F F ot F ε ε ε ε F H [ k F gaddiv F] jωµε F F F kf jωµε [ ]. : di logitudial Kompot ds lktisch Flds ist Null. Das lktisch Fld ist tasvsal: T-Wll.

164 Di allgmi Lösug d Mawllsch Glichug i homog Mdi ka als di Suppositio vo TMud T-Wll dagstllt wd. Di ikompotig ktopottialfuktio laub damit di Bschibug ds lktomagtisch Flds mit Hilf vo wi Skalafuktio.

165 4.3. Wll i chtckig Hohllit a b Aahm: Wllausbitug i d positiv -Richtug. TM-Wll: A A j A j T-Wll: F F F β. Radbdigug: fü ud a fü ud b. a d Wäd ds Hohllits.

166 Radbdigug fü di Pottial: TM-Wll: jβ β. A A A [ ] k A jωµε A A jωµε Diichltsch R.B. A fü a ud b [ jβ jβ β k A]. T-Wll: F F F F ε ε. fü ud a fü ud b Numasch R.B.

167 TM-Wll: k A A k ω µε. j A A β : A A β A k A. Lösug mit Spaatiosmthod: A X Y. d X dy Y X k X Y d d d X dy β k. X d Y d β f g Dis ist u da möglich w f kostat g kostat.

168 Ma hält di folgd gwöhlich Difftialglichug: d X dy fx gy. d d Lösug: f k g k : X Ccos k Csi k Y C cos k C si k. π Radbdigug: X X a C k m m... a π Y Yb C k.... b

169 TM m -Wll: mπ π jβ C CC : A Csi si. a b H A A : µ µ Cπ si mπ cos π jβ H µ b a b Cmπ mπ π jβ H cos si µ a a b H. A A [ jβ jβ β k A ]: jωµε Cβ mπ mπ π jβ cos si ωµε a a b Cβ π mπ π jβ si cos ωµε b a b Ck β mπ π si si jβ. jωµε a b

170 T-Wll: k F F k ω µε. j F F β : F F β F kf. Lösug mit Spaatiosmthod: F X Y. d X dy Y X k X Y d d d X dy β k. X d Y d β f g Dis ist u da möglich w f kostat g kostat.

171 Ma hält di folgd gwöhlich Difftialglichug: d X dy fx gy. d d Lösug: f k g k : X Ccos k Csi k Y C cos k C si k. Radbdigug: dx dx a π C k m m... d d a dy dy b π C k.... d d b

172 T m -Wll: mπ π jβ C CC : F Ccos cos. a b F F : ε ε Cπ cos mπ si π jβ ε b a b Cmπ mπ π jβ si cos ε a a b. H F F [ jβ jβ β k F ]: jωµε Cβ mπ mπ π jβ H si cos ωµε a a b Cβ π mπ π jβ H cos si ωµε b a b C β k mπ π cos cos jβ H. jωµε a b

173 füllug d Spaatiosglichug: f g β k. k k β k mπ a mπ π k k k a b ω µε. π β ω µε m.... b Bi ggb Wt vo ud m Wllfom ist di Kisfqu icht blibig: β daf icht gativ wd! Wä jβ α β < hätt ma β ± jα jβ α : u Dämpfug ki Wllausbitug.

174 mπ π π m β ω µε ω. a b µε a b f m f g µε a b. π f g f g : Gfqu. i bstimmt Wllfom ist u fü Fqu üb d Gfqu ausbitugsfähig.