Konzept diskreter Zufallsvariablen

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1 Statistik 1 für SoziologInnen Konzept diskreter Zufallsvariablen Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec

2 Beispiel: Zufallsvariable 3 Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Jede Münze kann entweder Kopf oder Zahl zeigen. Man ist nur an der Zahl der Köpfe interessiert. Elementarereignis Wahrscheinlichkeit KKK 1/8 KKZ 1/8 KZK 1/8 ZKK 1/8 KZZ 1/8 ZKZ 1/8 ZZK 1/8 ZZZ 1/8 2 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

3 Beispiel: Zufallsvariable 3 Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Jede Münze kann entweder Kopf oder Zahl zeigen. Man ist nur an der Zahl der Köpfe interessiert. Anzahl Kopf Elementarereignis Wahrscheinlichkeit KKK 3 1/8 KKZ 2 1/8 KZK 2 1/8 ZKK 2 1/8 KZZ 1 1/8 ZKZ 1 1/8 ZZK 1 1/8 ZZZ 0 1/8 3 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

4 Beispiel: Zufallsvariable Jedem Elementarereignis wird eine Zahl zugeordnet (Anzahl der beobachteten Köpfe) Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Zahl ergibt sich durch Summation der Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse, die mit dieser Zahl verknüpft sind: Anzahl Kopf Wahrscheinlichkeit 1/8 3/8 3/8 1/8 4 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

5 Beispiel aus Buch von Agresti General Social Survey Question: What do you think is the ideal number of children for a family to have? Ideal Number Probability 0,01 0,03 0,60 0,23 0,12 0,01 If you randomly pick out a person from the USpopulation the probability of each allowed answer will follow the above table. 5 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

6 Diskrete Zufallsvariable (Random Variable) Eine Variable X, die jedem möglichen Ereignis e E eines Zufallsexperimentes eine Zahl X(e) zuordnet, wird als Zufallsvariable bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen X ist die Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu allen durch X definierten Ereignissen. 6 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

7 Wahrscheinlichkeitsfunktion Die Funktion f(x), die jeder Zahl x die Wahrscheinlichkeit P(X=x) zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Zufallsvariablen X: f(x) = P(X = x) Seien x 1, x 2,..., x i,... die Realisationsmöglichkeiten der diskreten Zufallsvariablen X, so wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion oft kurz als p i geschrieben: f(x i ) = P(X = x i ) = p i i=1, 2,... 7 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

8 Beispiel: Zufallsvariable Jedem Elementarereignis wird eine Zahl zugeordnet (Anzahl der beobachteten Köpfe) Anzahl Kopf Wahrscheinlichkeit P{X=2} = 3/8 P{X 2} = 1 - P{X > 2} = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 1-1/8 =7/8 P{0 < X 1} = 3/8 1/8 3/8 3/8 1/8 P{X > 1} = 1 - P{X 1} = 3/8 + 1/8 = 1-1/8-3/8 = 4/8 8 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

9 Verteilungsfunktion Um die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen X zu definieren, genügt es Ereignissen des Typs {X x} Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen. Daraus lassen sich bereits für alle anderen durch X definierten Ereignisse die Wahrscheinlichkeiten ermitteln. Die Funktion F(x), die jedem x die Wahrscheinlichkeit P(X x) zuordnet nennt man die theoretische Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X: F(x) = P(X x) 9 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

10 Beispiel: Diskrete Zufallsvariable Anzahl Kopf Wahrscheinlichkeitsfunktion 1/8 3/8 3/8 1/8 Verteilungsfunktion 1/8 4/8 7/8 8/8 P{X 0} = 1/8 P{X 1} = 4/8 P{X 2} = 7/8 P{X 3} = 8/8 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 Verteilungsfunktion Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

11 Eigenschaften der Verteilungsfunktion F(x) nimmt nur Werte zwischen 0 und 1 an, d.h. es gilt 0 F(x) 1 F(x) steigt für wachsendes x monoton an x 1 < x 2 F(x 1 ) F(x 2 ) F(x) 1 für x F(x) 0 für x - 11 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

12 f(x) F(x) im diskreten Fall Zwischen der Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) und der Verteilungsfunktion F(x) gelten im Fall der diskreten Zufallsvariable X mit den Realisationsmöglichkeiten x 1, x 2,..., x i,...: Fx) ( fx ( i ) xi x F(x i ) - F(x i-1 ) = f(x i ) F(x i ) = P(X x i ) = = P(X < x i ) + P(X = x i ) = = F(x i-1 ) + P(X = x i ) 12 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

13 Beispiel: Diskrete Zufallsvariable Bei einem Wissenstest muss ein Kandidat bei jeder Frage ein Zuordnungsproblem der folgenden Art lösen: 1) Erste Türkenbelagerung 2) Schlacht von Hastings 3) Entdeckung Amerikas a) 1066 b) 1492 c) 1529 Der Ereignisraum kann wie folgt dargestellt werden: a b c a c b b a c b c a c a b c b a Die Anzahl der richtigen Antworten bei dieser Frage ist, da die korrekte Lösung (c a b) lautet, wie folgt: Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

14 Beispiel: Diskrete Zufallsvariable Geht man davon aus, dass der Kandidat die Fragen nach einem Zufallsprinzip beantwortet (jede der 6 Antworten mit gleicher Wahrscheinlichkeit wählt), ergibt sich für die Wahrscheinlichkeitsfunktion der richtigen Antworten folgendes: Anzahl richtige Antworten Wahrscheinlichkeit /6 3/6 0 1/6 14 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

15 Beispiel: Diskrete Zufallsvariable Stellt man den Kandidaten wiederholt eine Problemstellung des obigen Typs, kann man wohl davon ausgehen, daß der Kandidat im Mittel pro Problem eine richtige Antwort treffen wird: x i p i x i p i 0 2/ /6 3/ /6 3/6 Summe 1 1 Dieses gewogene Mittel nennt man den Erwartungswert einer Zufallsvariablen. 15 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

16 Erwartungswert Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit den Realisationsmöglichkeiten x i und der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsfunktion p i =P(X=x i ), i=1,2,... Dann heißt E(X) der Erwartungswert von X. EX ( ) xp i i Gewichtete Summe der Merkmalsausprägungen, wobei die Gewichte die Wahrscheinlichkeiten sind. i 16 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

17 Beispiel Würfelwurf Wir betrachten einen idealen (unverfälschten) Würfel, welcher folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion besitzt: Würfel x i p i x i p i 1 1/6 1/6 2 1/6 2/6 3 1/6 3/6 E(X) = 3,5 4 1/6 4/6 5 1/6 5/6 6 1/6 6/6 Summe 1 3,5 17 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

18 Arithmetisches Mittel Bei 12 Würfen mit dem Würfel wurde folgendes Ergebnis beobachtet: 5, 3, 4, 5, 5, 2, 6, 1, 4, 1, 3, 6 Der Durchschnitt (das Arithmetische Mittel) dieser 12 Augenzahlen ist 3,75. Das arithmetische Mittel (oder der Durchschnitt) x der Zahlen x 1,..., x n ist definiert als: x 1 ( n x x x n ) n n i 1 x i 18 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

19 Beispiel Würfelwurf Das Ergebnis des Würfelwurfs lässt sich auch in einer Häufigkeitstabelle zusammenfassen: x i n i h i x i h i x i n i 1 2 2/12 2/ /12 2/ /12 6/ /12 8/ /12 15/ /12 12/12 12 Summe / /12 = 3,75 19 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

20 Arithm. Mittel versus Erwartungswert Erwartungswert ist ein theoretischer Wert (theoretischer Lageparameter), der die zentrale Tendenz einer diskreten Zufallsvariable charakterisiert, indem die Merkmalsausprägungen mit ihrer Wahrscheinlichkeit multipliziert und dann summiert werden. Das arithmetische Mittel ist ein empirischer Wert (empirischer Lageparameter), der die zentrale Tendenz einer realen Beobachtung (Stichprobe) charakterisiert, indem die Merkmalsausprägungen mit ihrer relativen Häufigkeit multipliziert und dann summiert werden. 20 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

21 Inferenzstatistisches Prinzip In der Inferenzstatistik (schließenden Statistik) versucht man durch den systematischen Vergleich von empirischen Häufigkeitsverteilungen mit hypothetischen theoretischen Modellen Schlußfolgerungen über den datengenerierenden Prozeß ziehen zu können. Dieser Vergleich kann auf verschiedenen Ebenen erfolgen: Vergleich der theoretischen und der empirischen Verteilung (z.b. Säulendiagramm versus Wahrscheinlichkeitsfunktion) Vergleich von Maßzahlen (z.b. Mittelwert versus Erwartungswert) 21 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

22 Anwendung beim Zuordnungstest In 3 Schulklassen (A, B, C) mit je 30 Schülern wird der zuvor beschriebene Zuordnungstest durchgeführt: Korrekt Prob Theorie A B C 0 2/ / / Erwartungswert bei zufälligem Antwortverhalten 1 richtige Lösung pro Schüler Mittelwert in Klasse(A): 1/3 Mittelwert in Klasse B: 9/10 Mittelwert in Klasse C: 22/10 22 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

23 Vergleich empirische theoretische Verteilung Theorie A Theorie B Theorie C Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

24 Eigenschaften des Erwartungswertes Linearität: Additivität: E(aX b) ae(x) b E(X Y) E(X) E(Y) Beachte : aber E(X X) E(2X) X X 2X 24 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

25 Zufallsvariable Augenzahl beim Würfelwurf Augenzahl (X) P(X=x) x.p(x=x) 1 0,167 0, ,167 0, ,167 0, ,167 0, ,167 0, ,167 1,000 3,5 E(X) = 3,5 25 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

26 Zufallsvariable Doppelte Augenzahl (2X) Augenzahl (2X) P(X=x) x.p(x=x) 2 0,167 0, ,167 0, ,167 1, ,167 1, ,167 1, ,167 2,000 7 E(X) = 3,5 E(2X) = 2*3,5=7 26 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

27 Summe Augenzahl von 2 Würfen 27 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

28 Zufallsvariable X+X Summe Augenzahl von 2 Würfen ,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0, ,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0, ,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0, ,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0, ,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0, ,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 z.b.: P(X+X=7)=6/36 28 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

29 Zufallsvariable X+X Augenzahl Y=X+X P(Y=y) y.p(y=y) 2 0,028 0, ,056 0, ,083 0, ,111 0, ,139 0, ,167 1, ,139 1, ,111 1, ,083 0, ,056 0, ,028 0,333 7,000 0,180 0,160 0,140 0,120 0,100 0,080 0,060 0,040 0,020 0,000 P(Y=y) E(X) = 3,5 E(2X) = 2*3,5 = 7 E(X+X) =7= E(2X) 29 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

30 Varianz einer ZV Misst die theoretisch zu erwartende Schwankung eines zufälligen Phänomens V(X) E(X²) E(X)² V(X) [x E(X)]²p(x ) i i i Analoge Eigenschaften wie bei der empirischen Varianz Y a bx V(Y) b²v(x) 30 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

31 Varianz beim Roulette (Varianz.XLS) Unterschiedliche Strategien haben den selben Erwartungswert aber eine verschiedene Varianz! 31 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

32 Varianz beim Roulette (Varianz.XLS) 250 Drücken Sie F Simulation Spiel auf Dutzend Simulation Spiel auf 1 Zahl Theorie 32 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable