Mathematik für Ingenieure III Teil A: CE, EEI, ET, IuK, ME Blatt 4 Wintersemester 2009/2010

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1 Universiä Erlangen-Nürnberg Deparmen Mahemaik PD Dr. Markus Bause Mahemaik für Ingenieure III Teil A: CE, EEI, ET, Iu, ME Bla 4 Winersemeser 9/ A Zu Anwendungen der Transformaionsregel für Volumeninegrale) Gegeben sei ein gerader reiskegel im R. Die Spie von liege im Punk,, h) mi h > in der Ebene habe der Grkreis von die Gleihung x + y a, a > ). Die Massendihe ρ von sei gegeben durh ρx, y, ) : h h. Berehnen Sie das Trägheismomen Θ bgl. der Ahse die Shwerpunkkoordinaen x S von. Hinweis: Is l eine Ahse im R is d l x) der euklidishe Absand von x x, y, ) u l, so is Θ l : ρx) d l x) dx. Eine analoge Überragung eines Resulas aus der Vorlesung gil für den Shwerpunk. Für die Zylinderkoordinaen: gil x r os ϕ, r a h, h y r sin ϕ, ϕ π, h de ) x, y, ) r. r, ϕ, ) x a h a y 4 Punke) Is l eine Ahse im R is d l x) der euklid. Absand von x x, y, ) u l, so wird durh Θ l : ρx) d lx) dx das Trägheismomen des örpers bgl. der Ahse l beshrieben. Hier gil: l Ahse d l x + y r os ϕ + r sin ϕ r. Somi Θ π ρx)r dx h πa4 h 5 h a h π h h a h r dr d h ) 5 d πa4 h. ρr, ϕ, ) r r dr d dϕ Für die Shwerpunkkoordinaen x S x S, y S, S ) gil: x S ρx)x dx, wobei M die Masse von is. M Es gil: M ρx) dx. Für den reiskegel dann π h a h M ρx) dx ρr, ϕ, ) r dr d dϕ π h a h πa h 4. h r dr d dϕ Offensihlih gil aus Symmeriegründen: x S y S. Für x s ergib sih S ρx) dx M somi M π h h 5 Bemerkung: a h h x S r dr d dϕ,, h 5 ). a) Der Shwerpunk von lieg der egelgrflähe wesenlih näher als der Spie. b) Der Shwerpunk von häng nih vom Radius des Grkreises ab. Beides is anshaulih klar!

2 A Zum urveninegral.. Ar) a) Gegeben sei die urve ) ) os)/, < <. sin)/ Berehnen Sie das urveninegral ds x + y ). / b) Berehnen Sie das Linieninegral I vx) dx { für die Randkurve der Ellipse x, y) R } x a + y b < im mahemaish posiiven Sinn durhlaufen) das Vekorfeld vx) ) xy x. y Zu b) Mi der Parameerdarsellung der Randkurve ) a os ), π b sin Wegen π I π π sin os d v )) ċ) d π a b os sin os sin ) d. ] π 4 sin4 I. a b os sin ) a b os sin π os sin d ) a sin d b os ] π 4 os4, Zu a) Mi ċ) os sin sin + os + Punke) A Zum urveninegral. Ar) Gegeben sei das Vekorfeld fx, y) x y, y) mi x, y) R. Berehnen Sie das urveninegral f ds längs des Halbkreises, ) T,, ) :, ) T ),. sowie ċ) 4 os + sin ) + 4 sin os ) 4 + ), ċ) x ) + y ) os ds + x + y ) / d + + sin + d + ) /] ). Berehnen Sie nun Inegral ro fx) dx über den Halbreis mi ro f : x f y f. Was fäll auf? 4 Punke) Es gil f ds f)) ċ d + ) ) d + f)) ċ d ) ) ) ) d ) ) ) ) ) + ) d 4 5.

3 Mi ro fx, y) x y dem von eingeshlossenem reis gil Es gil ro fx) dx x x y dydx x x ) dx 4 5. ro fx) dx f ds. Diese Aussage werden wir späer als Sa von Sokes kennenlernen. Z Zu Anwendungen der Transformaionsregel für Volumeninegrale) Besimmen Sie für das Ellipsoid x y x a + y b + R a, b,, R > ) das Volumen sowie die Trägheismomene beüglih der drei oordinaenahsen. Dabei sei die Dihe ρ vorausgese. Benuen Sie dabei die verallgemeineren ugelkoordinaen x a r os ϕ sin θ, y b r sin ϕ sin θ, r os θ. Die Funkionaldeerminane der oordinaen laue: x, y, ) r, ϕ, θ) a os ϕ sin θ a r sin ϕ sin θ a r os ϕ os θ de b sin ϕ sin θ b r os ϕ sin θ b r sin ϕ os θ os θ r sin θ a b r sin θ. Das Volumen des Ellipsoides is somi: V E dx dy d a b R/ R π π r ϕ π 4π R/ a b. θ Das Trägheismomen beüglih der x-ahse is I x y + ) dx dy d E R π π r ϕ θ a b r sin θ dθ dϕ dr r b sin ϕ sin θ + os θ ) a b r sin θ dθ dϕ dr Mi π : π sin θ dθ os θ sin θ dθ π sin ϕ dϕ π I x π R π r R r os θ) sin θ dθ ] π os θ, ϕ a b r 4 b sin ϕ 4 + ) dϕ dr a b r 4 4 π b + 4 π ) Wegen der Symmerie des Ellipsoids os θ + ] π os θ 4, dr 4 5 π R5/ a b b + ) I y 4 5 π R5/ a b a + ) I 4 5 π R5/ a b a + b ). Z Zum urveninegral. Ar) Besimmen Sie für die Zykloide ) x) : x) y) das urveninegral y ds. Mi ẋ) ) sin), π, os) ) os ẋ sin os ) + sin os π y ds os ) os d. Aus os sin /) erhäl man dann π ) π ) )) y ds 4 sin d 4 sin os d ) 4 os + )] π os 8 ).

4 Z4 Zum urvenineral. Ar) Berehnen Sie für das Feld Ex) x einer Punkladung im Ursprung x berehne die Linieninegrale I k Ex) dx, k,, längs der urven k os : x) sin, π : x), π. os sin Berehnung von I : Mi x) sin ẋ) os sowie I π x) os + sin + ) / + ) / d + / ) u u + u) /] 4π 4π du + u) / ). + 4π Berehnung von I : Mi x), ẋ), x) + ) / I π Z5 Zum urveninegral. Ar) ) d + / ). wie oben + 4π Berehnen Sie das urveninegral x + y ) dx + x y ) dy ]. Hierbei sei a) die Randkurve des Dreieks ABC mi A :, ), B :, ), C :, ) b) die Randkurve des Einheiskreises. Zu a) Es gil AB... AB BC CA : Die urve AB] besi folgende Paramerisierung: x :, ] R :, ), also x, y, ẋ :, ] R :, ). Hiermi BC CA AB... : Analog ergib sih + ) d + ) d. x :, ] R :, ), also x, y, ẋ :, ] R :, ) BC... : Analog ergib sih ) + ] ) d + + d + d ] + d ) d x :, ] R :, ), also x, y, ẋ :, ] R :, ) CA Somi gil... ) ) d + d x + y ) dx + x y ) dy ]. Zu b) besi folgende Parameerdarsellung: x :, π] R : os, sin ), ẋ :, π] R : sin, os ). ] +.

5 Dami x + y ) dx + x y ) dy ] π π os + sin ) sin ) + os sin ) os d }{{}}{{} os π sin d + os os d }{{}}{{} durh sharfes Hinshauen π π os os d bw. durh Rehnung π π os d os d } {{ } sin sin ] π. Z6 Zu orienieren urveninegralen) os os ) d Durh ) R n, a b, mi C sei eine urve definier. Die Funkion ϕ : D R sei ein Skalar- v : D R n ein Vekorfeld, ) D. Durh ϕ ds : v ds : b a b a ϕ)) ċ) d v)) ċ) d werden orieniere Linieninegrale definier, wobei enweder, oder sei. Gegeben seien die Felder ϕx) xy + y vx) x, y, y) für x R die urve : ) os, sin, ), π. Berehnen Sie ϕ ds, v ds, v ds v ds. Es gil ċ) sin, os, ) ϕ)) sin os + sin sin + os ), v)) os, sin, sin ). Hiermi ϕ ds v ds π π v ds π π sin + os ) sin os d π sin + os ) d sin os + os ) d sin + os ) d π π. π π π π 4π. os sin sin os d sin sin + ) sin os ] d os sin sin os d sin π π π + os ) sin d sin + os ) d sin os ) d π π π + π.

6 v ds π os sin sin, os, ) d sin π π π sin os d sin d sin d π π π π π π π. π os d sin os d sin os d π π π os d sin d sin d Abgabe: In den Übungsgruppen in der Wohe vom.. bis 7..9.