Das Parallelenpostulat von Proklos

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1 Das arallelenpostulat von rolos Manfred Hörz Eulid ab als fünftes ostulat an: Und dass, wenn eine erade Linie beim Scnitt mit zwei eraden Linien bewirt, dass innen auf derselben Seite steende Winel zusammen leiner als zwei Recte werden, dann die zwei eraden Linien bei Verlänerun ins unendlice sic treffen auf der Seite, auf der die Winel lieen, die zusammen leiner als zwei Recte sind. rolos zeite dann, dass dieses ostulat mit dem arallelenpostulat äquivalent ist. Vorausesetzt sind natürlic die Definitionen des Eulid, die vier übrien ostulate und die Größenaxiome. Diese seien ier aneeben: Definitionen: 1. Ein unt ist, was eine Teile at, 2. Eine Linie breitenlose Läne. 3. Die Enden einer Linie sind unte. 4. Eine erade Linie (Strece) ist eine solce, die zu den unten auf ir leicmäßi liet. 5. Eine Fläce ist, was nur Läne und Breite at. 6. Die Enden einer Fläce sind Linien. 7. Eine ebene Fläce ist eine Fläce, die zu den eraden Linien auf ir leicmäßi liet. 8. Eine ebener Winel ist die Neiun zweier Linien in einer Ebene eeneinander, die einander treffen, one einander erade fortzusetzen. 9. Wenn die den Winel umfassenden erade sind, eißt der Winel eradlini. 10. Wenn eine erade Linie, auf eine erade Linie estellt, einander leice Nebenwinel bilden, dann ist jeder der beiden leicen Winel ein Recter; und die steende erade Linie eißt senrect zu (Lot auf) der, auf der sie stet. 11. Stumpf ist ein Winel, wenn er rößer als ein Recter ist, 12. Spitz, wenn leiner als ein Recter. 13. Eine Grenze ist das, worin etwas endit. 14. Eine Fiur ist, was von einer oder mereren Grenzen umfasst wird. 15. Ein Kreis ist eine ebene, von einer einzien Linie (die Umfan (Boen) eißt) umfasste Fiur mit der Eienscaft, dass alle von einem inneralb der Fiur eleenen unte bis zur Linie (zum Umfan des Kreises) laufenden Strecen einander leic sind; 16. Und Mittelpunt des Kreises eißt dieser unt. 17. Ein Durcmesser des Kreises ist jede durc den Mittelpunt ezoene, auf beiden Seiten vom Kreisumfan berenzte Strece; eine solce at auc die Eienscaft, den Kreis zu albieren. 18. Ein Halbreis ist die vom Durcmesser und dem durc in abescnittenen Boen umfasste Fiur; (und Mittelpunt ist beim Halbreis derselbe unt wie beim Kreis). 19. Geradlinie Fiuren sind solce, die von Strecen umfasst werden, dreiseitie die von drei, vierseitie die von vier, vielseitie die von mer als vier Strecen umfassten. 20. Von den dreiseitien Fiuren ist ein leicseities Dreiec jede mit drei leicen Seiten, ein leicscenlies jede mit nur zwei leicen Seiten, ein sciefes jede mit drei unleicen Seiten.

2 21. Weiter ist von den dreiseitien Fiuren ein rectwinlies Dreiec jede mit einem recten Winel, ein stumpfwinlies jede mit einem stumpfen Winel, ein spitzwinlies jede mit drei spitzen Wineln. 22. Von den vierseitien Fiuren ist ein Quadrat jede, die leicseiti und rectwinli ist, ein länlices Rectec jede, die zwar rectwinli, aber nict leicseiti ist, ein Rombus jede, die zwar leicseiti, aber nict rectwinli ist, ein Romboid jede, in der die eenüber lieenden Seiten sowol als Winel einander leic sind und die dabei weder leicseiti noc rectwinli ist; die übrien vierseitien Fiuren sollen Trapeze eißen arallel sind erade Linien, die in derselben Ebene lieen und dabei, wenn man sie nac beiden Seiten ins unendlice verlänert, auf einer einander einander treffen. ostulate: Gefordert soll sein: 1. Dass man von jedem unt nac jedem unt die Strece zieen ann, 2. Dass man eine berenzte erade Linie zusammenänend erade verlänern ann, 3. Dass man mit jedem Mittelpunt und Abstand den Kreis zeicnen ann, 4. Dass alle recten Winel einander leic sind, 5. Und dass, wenn eine erade Linie beim Scnitt mit zwei eraden Linien bewirt, dass innen auf derselben Seite entsteende Winel zusammen leiner als zwei Recte werden, dann die zwei eraden Linien bei Verlänerun ins unendlice sic treffen auf der Seite, auf der die Winel lieen, die zusammen leiner als zwei Recte sind. Axiome: 1. Was demselben leic ist, ist auc einander leic. 2. Wenn Gleicem Gleices inzuefüt wird, sind die Ganzen leic. 3. Wenn von Gleicem Gleices weenommen wird, sind die Reste leic. 4. (Wenn Unleicem Gleices inzuefüt wird, sind die Ganzen unleic.) 5. (Die Doppelten von demselben sind einander leic.) 6. (Die Halben von demselben sind einander leic.) 7. Was einander dect, ist einander leic. 8. Das Ganze ist rößer als der Teil. 9. (Zwei Strecen umfassen einen Fläcenraum.) Ic möcte nun noc die Aufaben (A) und Lemmata (L) one Beweis, aber mit den verwendeten Definitionen (Def), ostulaten () und Axiomen (Ax), sowie den benutzen Aufaben und Lemmata aneben. Wenn das ostulat 5 verwendet wird, werde ic das ausdrüclic vermeren. A1. Über einer eebenen Strece ein leicseities Dreiec zu erricten. (3, 1, Def15, Ax1, Def20) A2. An einem eebenen unte eine einer eebenen Strece leice Strece inzuleen. (A1, 2, Ax3, Ax1) A3. Wenn zwei unleice Strecen eeben sind, auf der rößeren eine der leineren leice Strece abzutraen. (A2) L1. Wenn in zwei Dreiecen zwei Seiten zwei Seiten entsprecend leic sind und die von den

3 leicen Strecen umfassten Winel einander leic sind, dann muss in inen auc die Grundlinie der Grundlinie leic sein, das Dreiec muss dem Dreiec leic sein, und die übrien Winel müssen den übrien Wineln entsprecend leic sein, nämlic immer die, denen leice Seiten eenüber lieen. (Ax9, Ax7) L2. Im leicscenlien Dreiec sind die Winel an der Grundlinie einander leic; auc müssen die bei Verlänerun der leicen Strecen unter der Grundlinie entsteenden Winel einander leic sein. (Def20, A3, L1, Ax3) L3. Wenn in einem Dreiec zwei Winel einander leic sind, müssen auc die den leicen Wineln eenüber lieenden Seiten einander leic sein. (Ax8) L4. Es ist nict mölic, über derselben Strece zwei weitere Strecen, die zwei festen Strecen entsprecend leic sind, an denselben Enden wie die ursprünlicen Strecen ansetzend, auf derselben Seite in versciedenen unten zusammen zu brinen. (L2, Ax8) L5. Wenn in zwei Dreiecen zwei Seiten zwei Seiten entsprecend leic sind und auc die Grundlinie der Grundlinie leic ist, dann müssen in inen auc die von leicen Strecen umfassten Winel einander leic sein. (L4, Ax7) A4. Einen eebenen eradlinien Winel zu albieren. (A1, L5) A5. Eine eebene Strece zu albieren. (A1, A4, L1) A6. Zu einer eebenen eraden Linie rectwinli von einem auf ir eebenen unte aus eine erade Linie l zu zieen. (A1, L5, Def10) l A7. Auf eine eebene unberenzte erade Linie von einem eebenen unte, der nict auf ir liet, aus das Lot zu fällen. (A5, L5, Def10) l L6. Wenn eine erade Linie, auf eine erade Linie estellt, Winel bildet, dann muss sie entweder zwei Recte oder solce, die zusammen zwei Recten leic sind, bilden. (Def10, A6, Ax2, Ax1) L7. Bilden an einer eraden Linie in einem unte auf ir zwei nict auf derselben Seite lieende erade Linien Nebenwinel, die zusammen zwei Recten leic sind, dann müssen diese eraden Linien einander erade fortsetzen. (2, L6, 4, Ax1, Ax3, Ax8) L8. Zwei erade Linien bilden, wenn sie einander scneiden, Sceitelwinel, die einander leic sind. (L6, 4, Ax1, Ax3) L9. An jedem Dreiec ist der bei Verlänerun einer Seite entsteende Außenwinel rößer als

4 jeder der beiden eenüber lieenden Innenwinel. (A5, L8, L1, Ax8) L10. In jedem Dreiec sind zwei Winel, beliebi zusammen enommen, leiner als zwei Recte. (L9, L6) L11. In jedem Dreiec liet der rößeren Seite der rößere Winel eenüber. (L9, L2, Ax8) L12. In jedem Dreiec liet dem rößeren Winel die rößere Seite eenüber. (L2, L11) L13. In jedem Dreiec sind zwei Seiten, beliebi zusammen enommen, rößer als die letzte. (L2, L12) L14. Sind in einem Dreiec über einer seiner Seiten von iren Enden aus zwei Strecen inneralb zusammen ebract, so müssen die zusammen ebracten Strecen leiner sein als die beiden übrien Dreiecsseiten zusammen, dabei aber den rößeren Winel umfassen. (L13, L9) A8. Aus drei Strecen, die drei eebenen leic sind, ein Dreiec zu erricten; ierbei müssen (weil in jedem Dreiec zwei Seiten, beliebi zusammen enommen, rößer sind als die letzte) stets zwei, beliebi zusammen enommen, rößer sein als die letzte. (L13) A9. An eine eebene erade Linie in einem unte auf ir einen einem eebenen eradlinien Winel leicen eradlinien Winel anzutraen. (A8, L5) L15. Wenn in zwei Dreiecen zwei Seiten zwei Seiten entsprecend leic sind, der von den leicen Strecen umfasste Winel aber im ersten Dreiec rößer ist als im zweiten, dann muss auc die Grundlinie im ersten Dreiec rößer sein als im zweiten. (A9, L1, L2, Ax8, L12) L16. Wenn in zwei Dreiecen zwei Seiten zwei Seiten entsprecend leic sind, die Grundlinie aber im ersten Dreiec rößer ist als im zweiten, dann muss auc der von den leicen Strecen umfasste Winel im ersten Dreiec rößer sein als im zweiten. (L1, L15) L17. Wenn in zwei Dreiecen zwei Winel zwei Winel entsprecend leic sind und eine Seite einer Seite, nämlic entweder die den leicen Wineln anlieenden oder die einem der leicen Winel eenüber lieenden Seiten einander leic sind, dann müssen auc die übrien Seiten den übrien Seiten (entsprecend) leic sein und der letzte Winel dem letzten Winel. (L1, Ax8, L9) L18. Wenn eine erade Linie beim Scnitt mit zwei eraden Linien, l einander leice (innere) Wecselwinel bildet, müssen diese eraden Linien einander parallel sein. (Def23, L9) L19. Wenn eine erade Linie beim Scnitt mit zwei eraden Linien bewirt, dass ein äußerer Winel dem auf demselben Seite innen eenüber lieenden leic oder innen auf derselben Seite lieenden Winel zusammen zwei Recten leic werden, dann müssen diese eraden Linien einander parallel sein. (L8, L18, L6, 4, Ax1) L20. Beim Scnitt einer eraden Linie mit (zwei) parallelen eraden Linien werden (innere) Wecselwinel einander leic, jeder äußere Winel wird dem innen eenüber lieenden leic, und innen auf derselben Seite entsteende Winel werden zusammen zwei Recten leic. (L6,

5 ost5, Def23, L8, L6) L21. Derselben eraden Linie parallele sind auc einander parallel. (L20, L18) A10. Durc einen eebenen unt eine einer eebenen eraden Linie parallele erade Linie zu zieen. (A9, L18). ( arallelenaxiom one Eindeutieit ) Die übrien Aufaben und Lemmata füre ic nun nict mer an, da sie für das oben enannte roblem nict relevant sind. A10 besat, dass zu einer Geraden und einem nict auf ir eleenen unt es eine parallele Gerade ibt. Das arallelenpostulat () fordert aber die Eindeutieit der arallelen. Ic formuliere noc einmal das 5. ostulat von Eulid (5) und das arallelenpostulat von rolos und will dann versucen deren Äquivalenz zu beweisen. Ic enne leider den Beweis von rolos nict. 5: Und dass, wenn eine erade Linie beim Scnitt mit zwei eraden Linien bewirt, dass innen auf derselben Seite entsteende Winel zusammen leiner als zwei Recte werden, dann die zwei eraden Linien bei Verlänerun ins unendlice sic treffen auf der Seite, auf der die Winel lieen, die zusammen leiner als zwei Recte sind. C A a b B Die Gerade scneide die Gerade in A im Winel α und die Gerade in B im Winel β. Gilt α+β<180 dann ibt es einen unt C, der sowol auf als auc auf liet. : Zu einer Geraden und einem unt, der nict auf liet, ibt es enau eine Gerade, die durc et und parallel zu liet, die also einen emeinsamen unt mit besitzt. 5 : Wie bereits esat, folt nac Eulid auc one 5, dass es zu einer Geraden und

6 einem unt eine arallele ibt. Es ist also nur noc die Eindeutieit zu zeien. Nac A7 elint es, von auf das Lot zu fällen. Sei L der Lotfußpunt auf. Das Lot scließt einen recten Winel α mit ein, der nac L20 (mit Verwendun von 5) einen leicroßen Wecselwinel α beim Scnitt von mit dem Lot besitzt. b a a a L Anenommen, es äbe eine zweite arallele durc, die demnac einen Scnittwinel γ mit einscließt. Die Gerade scließt demnac mit dem Lot den Winel β=α γ=90 γ auf der Seite ein, auf der sic in Rictun neit, und der demnac leiner als 90 ist. Also ist α+β<180 bezülic des Lotes als Basisseite und den Scenel als Teile von und. Nac 5 scneiden sic die Geraden und bei inreicender Verlänerun und das bedeutet, dass eine arallele zu sein onnte. Also ibt es nur eine arallele und demnac ist ezeit. 5 : Zunäcst soll ezeit werden, dass aufrund von die arallelenrelation transitiv ist: Es sei und. Anenommen es älte dann ={ S }. S Läe S auf, dann wäre im Widerspruc zur Voraussetzun nict parallel zu. Also S. Da und beide parallel zu nac Voraussetzun sind und S sowol auf als auc auf liet, äbe es zwei arallelen und zu, die durc S een, im Widerspruc zur Eindeutieit der arallele emäß. Also ist = und damit ilt die Transitivität. Seien nun und l zwei Geraden, die die Gerade so scneiden, dass die Summe der Basiswinel leiner als 180 sei emäß der Voraussetzun von 5: α+β<180. l a b

7 Der Scenel auf l des Winels α besitzt einen unt. Durc werde die nac eindeutie arallele zu elet. Wäre nun l parallel zu, so müsste laut Transitivität auc l parallel zu sein, da parallel zu. Das ann aber nict sein, da l ={ }. Also ann l nict parallel zu sein, somit ibt es bei entsprecender Verlänerun einen unt, in dem sie sic scneiden. Damit ist 5 bewiesen.