7 1mod10. Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg. Runde 1. Aufgabe 1. Wie heißen die beiden letzten Ziffern von 7?

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1 990 Rude ufabe 990 Wie eiße die beide letzte Ziffer vo 7?. Lösu ie erste act Poteze vo 7 sid: ie beide letzte Ziffer wiederole sic mit der Periodeläe vier. ultipliziert ma ämlic eie merstellie Zal mit 7, so etsceidet über die letzte beide Stelle des Produkts 7 die ultiplikatio der letzte beide Stelle vo mit 7. esalb wiederolt sic die dzifferfole 07, 49, 43, ud 0. Immer we der xpoet vo 7 durc vier teilbar ist, erält ma die dziffer 0. a 990 bei ivisio durc 4 de Rest eribt, besitzt 7 da die dziffer Lösu etractet ma die Poteze vo 7 modulo 00, so erält ma wee 7 4 = 40 it 988 = folt daraus 4 7 mod0 0 ud ( ) mod 00 ud ie letzte beide Ziffer vo sid 4 ud mod mod 00 LW 990 Rude Seite vo

2 ufabe Im Ier eies Rectecks ist ei Pukt P esuct, so dass die Wikel P, P, P ud P leic roß sid. Für welce Rectecke ibt es midestes eie solce Pukt? Lösu Wie ka ma solce Pukte kostruiere? Nac der ufabestellu sid die Wikel P ud P leic roß. us Symmetrierüde liet der Pukt P desalb auf der ittelsekrecte vo. I der Plafiur sid die Wikel mit dem leice Wikelmaß jeweils durc ekezeicet. ie Wikel P ud P eräze sic zu 90. P esalb ilt P = 90. a die Wikelsumme i jedem reieck 80 beträt, muss der Wikel P im reieck P ei recter Wikel sei. Nac der Umkeru des Satzes vo Tales liet P also auf dem Taleskreis über. (us Symmetrierüde liet P auc auf dem Taleskreis über.) Kostruktio P ist der Scittpukt des Taleskreises über ud der ittelsekrecte auf. i Scittpukt ka ur da existiere, we der Radius r des Taleskreises midestes so roß ist wie die albe Läe der Strecke. emac ibt es zwei Pukte, we > eie Pukt, we keie Pukt, we = < ist. LW 990 Rude Seite vo

3 ufabe 3 ie Lose eier Lotterie abe die Nummer bis Jede Nummer kommt ur eimal vor. i aberläubiscer Spieler ält Nummer für lückbried, we die Summe der erste drei Ziffer leic der Summe der letzte drei Ziffer ist. Zeie, dass die Summe aller lückbriede Losummer durc 3 teilbar ist. Vorbemerku ud eeue a offebar ict jede lückbriede Nummer (z.. 33) durc 3 teilbar ist, versuct ma, mölicst escickt lückbriede Nummer zusammezufasse, dere Summe durc 3 teilbar ist. ei dieser Zusammefassu muss jedoc sicerestellt sei, dass jede Glückszal eau eimal berücksictit wird. ie Ziffer eies Glücksloses werde mit a, b, c, d, e, f bezeicet. it dieser eeu ilt = abcdef ud a + b + c = d + e + f. abei köe utersciedlice ucstabe auc für leice Ziffer stee. ie Nummer eies Glücksloses wird als Glückszal bezeicet.. Lösu a utersceide die beide Fälle abc Fall I ( abc = def ) = def ud abc def. ie Glückszal lässt sic da i der Form = abcdef = abcabc = 000 abc + abc = 00 abc screibe. a der Faktor 00 durc 3 teilbar ist, ist jede Glückzal mit der iescaft abc = def durc 3 teilbar. Fall II ( abc def ) Zu jeder Glückszal = abcdef ibt es da eie vo ir versciedee Glückszal m = defabc. ddiert ma diese beide, so erält ma: + m = 000 abc + def def + abc ( ) ( ) = 00 abc + def = 3 77 bc + def ildet ma die Summe aller Glückszale, so sid etweder bereits die eizele Summade (Fall I) durc 3 teilbar, oder ma ka jeweils zwei Summade zu eier durc 3 teilbare Teilsumme zusammefasse (Fall II). amit ist aber auc die Summe dieser Zale durc 3 teilbar.. Lösu Nimmt ma die Losummer als Glücksummer izu, wodurc die Summe der Glückszale ict verädert wird, so ibt es zu jeder Glückszal = abcdef eau eie Zal ' = a'b'c'd'e'f' so, dass sic die etsprecede Ziffer vo ud ' jeweils zu 9 eräze. iese Parterzal ' ist ebefalls eie Glückszal, wie die folede Umformu zeit: Voraussetzu: eauptu: eweis: a + b + c = d + e + f a' + b' + c' = d' +e' + f' LW 990 Rude Seite 3 vo

4 ( ) ( ) ( ) 7 ( a b c) 7 ( d e f ) ( 9 d) ( 9 e) ( 9 f) a' + b' + c' = 9 a + 9 b + 9 c = + + = + + = + + = d' + e' + f' ie Summe vo ud ' eribt jeweils ud ist wee = durc 3 teilbar. Fordert ma zusätzlic < , so ist ' > ud ma erält jede Glückszal etweder als oder * eau eimal. a die Summe aus Glückszal ud Parterzal jeweils durc 3 teilbar ist, ilt dies auc für die Gesamtsumme. LW 990 Rude Seite 4 vo

5 ufabe 4 I der Fiur elte: ud sid parallel ud sid ortooal ist doppelt so la wie = 6 estimme durc eometrisce Überleue. Plafiur sei der ittelpukt de Strecke. Nac ufabestellu ilt da = = = (*). Lösu a der Wikel ei recter Wikel ist, liet ac der Umkeru des Satzes vo Tales auf dem Halbkreis über der Strecke mit dem ittelpukt. esalb ilt zusamme mit (*) = = = ie reiecke ud sid desalb leicscekli mit de ase ud. ls Wecselwikel a de Parallele ud sid die Wikel ud leic roß. s elte desalb die i der folede Fiur eietraee Wikelmaße. LW 990 Rude Seite 5 vo

6 er Kreis um mit Radius et durc die Pukte ud. etractet ma die Strecke als See i diesem Kreis, so ist der ittelpuktswikel doppelt so roß wie der Radwikel. s ilt desalb = ud damit = 3.. Lösu Wie bei der erste Lösu zeit ma, dass die Strecke, ud leic la sid. esalb sid die reiecke ud leicscekli mit de ase bzw.. ls Sceitelwikel zum Wikel ist der asiswikel ebefalls 90. amit elte i de leicsceklie reiecke die eietraee Wikelmaße. us der Wikelsumme im reieck folt die ediu wieder =. araus folt = = 80 ud damit LW 990 Rude Seite 6 vo

7 3. Lösu ie Ortooale zu durc ud die Ortooale zu durc sceide sic im Pukt F. s etstet F das Recteck F mit der iaoale. a die iaoale eies Rectecks leic la sid ud sic eeseiti albiere, ilt F = = = = = amit at ma die Gleicsceklikeit der reiecke, ud ezeit. ie erecu vo ka da wie i de beide vorereede Lösue erfole. 4. Lösu urc de ittelpukt der Strecke wird die Parallele zu ezeicet. Sie sceidet im Pukt '. iese Parallele ist wee der Ortooalität der Gerade ud auc ortooal zu. ' Nac dem erste Stralesatz ist da ' der ittelpukt der Strecke ud ' damit auc die ittelsekrecte der Strecke. as reieck ist desalb leicscekli ud es ilt =. Nac ufabestellu ist da auc = = =. us der Gleicsceklikeit der reiecke ud sowie de Stufewikel ud a de Parallele ud folt wie i de Lösue ud die iescaft =. LW 990 Rude Seite 7 vo

8 ufabe 5 Weise für alle atürlice Zale eiscließlic 0 ac: We 3 + eie Quadratzal ist, da lässt sic + als Summe vo drei Quadratzale darstelle. Vorbemerku lle Variable stee für Zale aus N o.. Lösu Für kleie Werte vo erebe sic die i der Tabelle zusammeefasste ölickeite für die arstellu als Summe vo drei Quadratzale. I dieser Tabelle fällt auf: jeweils zwei der drei Quadrate i der Zerleu sid leic; die ase der drei Quadrate utersceide sic um ; addiert ma die drei ase aus jeder Zerleu ud quadriert die Summe, so erält ma Zerleu i Quadrate 0 = = = = = ie eobactu let die Vermutu ae, dass sic der Term + i der Form a + a + a+ ( ) ( ) a + a + a darstelle lässt ud leiczeiti a+ a+ ( a+ ) = 3+ bzw. ( ( )) a+ a+ a = 3+ ilt. ( ) bzw. Zum Nacweis dieser iescaft werde zwei Fälle utersciede. Gilt durc 3 teilbar sei, weil dies sost auc für + oder 3r darstelle. Fall ( q = 3r+, r 0) q 3 + = q, so ka q ict elte müsste. ie Zal q lässt sic da i der Form 3r Fall ( q = 3r, r ) 3 + = ( ) 3r = 9r + 6r + 3 = 9r = 3r + 6r + r + = 3r + r + + = ( ) r + r + r+ 3 + = ( ) 3r 3 + = 9r 6r + 3 = 9r = 3r 6r r + = 3r r + + = ( ) r + r + r amit ist ezeit, dass sic + i beide Fälle als Summe vo drei Quadratzale darstelle lässt. LW 990 Rude Seite 8 vo

9 . Lösu Voraussetzu: 3 + ist eie Quadratzal. s ibt also eie Zal m mit 3 + = m. o eauptu: + lässt sic als Summe vo drei Quadratzale a, b ud c darstelle. eweis: us 3 + = m folt ( ) ( + ) m = = m m 3 3 Vo de beide Faktore m + ud m ist eau eier durc 3 teilbar, weil sost keie atürlice Zal wäre. ie Zal m lässt sic also i der Form 3k + (k > 0) oder 3k (k > ) darstelle. Setzt ma diese Terme für m ei, so erält ma Für + eribt sic daraus die arstellu ud + = 3k + k+ bzw. 9k + 6k = bzw. 3 + = 3k k+ + = + + ( + ) bzw. + = k + k + ( k ) k k k 9k 6k =. 3 amit ist die Zal + i beide Fälle als Summe vo drei Quadratzale aus N o darestellt. LW 990 Rude Seite 9 vo

10 ufabe 6 I eiem reelmäßie Neueck seie s die Seiteläe, d die Läe der kürzeste ud die Läe der läste iaoale. eweise: s = d. Vorüberleue ) Verbidet ma i eiem reelmäßie Neueck de ittelpukt des Umkreises mit de eu ckpukte, so etstee eu leicsceklie reiecke mit eiem 40 Wikel a der Spitze ud zwei asiswikel vo jeweils 70. ) ie aße der Iewikel des Neuecks betrae jeweils 40. 3) rei aufeiader folede Pukte des Neuecks bilde ei leicsceklies reieck mit der Seiteläe s als Scekelläe, eiem Wikel vo 40 a der Spitze ud asiswikel vo 0. 4) as reelmäßie Neueck ist acsesymmetrisc zu jeder Gerade durc eie der eu ckpukte ud de ittelpukt des Umkreises. 70 s s s. Lösu Im reelmäßie Neueck betracte wir die Teilfiur aus de Pukte,,, * ud. Spieelt ma diese Fiur a der Gerade (), so werde ud bzw. ud * aufeiader abebildet. ie Verbidusstrecke ud * sid desalb ortooal zu () ud damit zueiader parallel. ie Parallele zu (*) durc de Pukt sceidet die Strecke im Pukt P. as Viereck *P ist damit ei Paralleloramm. us de Vorbemerkue ) bis 3) ud de Parallelorammeiescafte vo *P erebe sic außerdem die i die Fiur eietraee Wikelmaße. as reieck P ist leicseiti mit der Seiteläe s, da es bei ud zwei -Wikel besitzt ud wee der Wikelsumme vo 80 auc das dritte Wikelmaß beträt. P 0 0 * araus eribt sic weiter: = P + P = s + d s = d.. Lösu Nac der rweiteru des Radwikelsatzes sid die Wikel, * ud * leic roß, da sie Radwikel über de leiclae See, * bzw. * sid. Nac iescaft 3) ist ei 0 -Wikel. amit beträt das Wikelmaß vo. tspreced folt, dass auc * ei -Wikel ist. Zusamme mit der csesymmetrie des Vierecks * folert ma wie bei der. Lösu die ezieu s = d. 0 d * LW 990 Rude Seite 0 vo

11 ei de beide folede Lösue wird vorausesetzt, dass die Iewikelmaße vo bzw. 0 des leicsceklie Trapezes * bereits bekat sid. iese Wikeleiescafte lasse sic etspreced der erste Lösu erleite. 3. Lösu ie Gerade () ud () sceide sic im Pukt Q. us de Wikeleiescafte des leicsceklie Trapezes folt umittelbar, dass die reiecke Q ud Q* leicseiti mit de Seiteläe bzw. d sid. I der Fiur ilt Q = + Q = s + d. dererseits ilt auc Q = =. araus folt wieder = s + d ud damit s = d. d * 4. Lösu Nac dem Kosiussatz ilt im reieck * * = + * * cos0 ( ) = s + d s d 0,5 = s + d + s d Im reieck * ilt ac dem Kosiussatz Q * = + * * cos = + s s 0,5 = s + d s urc Gleicsetze erält ma s + d + s d = + s s s + sd = d ( ) ( ) ( + d s= + d d a + d 0 ist, erält ma durc ivisio s = d. ) LW 990 Rude Seite vo