Statistische Analyse von Kompositionsdaten. 1 Einleitung. Vera Pawlowsky-Glahn 1 & Juan José Egozcue 2

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1 Statstsche Analyse von Kompostonsdaten Vera Pawlowsky-Glahn & Juan José Egozcue Departamento de Informátca y Matemátca Aplcada, Unversdad de Grona, Campus Montlv P, E-707 Grona (Span), Emal: vera.pawlowsky@udg.edu Departamento de Matemátca Aplcada III, Unversdad Poltécnca de Catalunya, Jord Grona Salgado -, E- 080 Barcelona (Span) Unter Kompostonsdaten versteht man Daten, de als Tele enes Ganzen nur relatve Informaton benhalten. Typsche Enheten snd, unter anderen, Antele an ener Enhet, Prozentwerte, und ppm. Set J. Atchson 98 den Log-rato - Ansatz zur Bearbetung solcher Daten enführte, st vel Arbet nvestert worden, um de algebrasch-geometrsche Struktur hres Probenraumes, des Smple, zu verstehen. In desem Betrag wrd kurz de reelle Eukldsche Raumstruktur des Smple zusammengefasst, und de Folgen für de statstsche Analyse von Kompostondaten werden anhand verschedener Bespele erläutert. Compostonal data are by defnton parts of some whole whch only carry relatve nformaton. Typcal unts are parts per unt, percentages, and ppm. Snce J. Atchson ntroduced n 98 the log-rato approach for compostonal data analyss, much work has been done to understand the algebracgeometrc structure of ther sample space, the D-part smple. In ths talk, the real Eucldean space structure of the smple s summarsed, and the mplcatons for the statstcal analyss of compostonal data are llustrated wth several eamples. Enletung Probleme be der statstschen Analyse von Kompostonsdaten wurden zum ersten Mal von PEARSON 897 angesprochen. In senem Artkel On a form of spurous correlaton... wes er auf das Rsko hn, das en Wssenschaftler be der Interpretaton von Korrelatonen zwschen Quotenten engng, deren Zähler und Nenner gewsse Tele gemensam hätten. Dese Probleme lassen sch am besten anhand enes künstlch erstellten Bespeles erläutern. Zwe Wssenschaftler, A und B, untersuchen de Komposton von ewels dre dentschen Sedmentproben. A untersucht den Sand-, Lehm-, Ton-, und Wassergehalt, während B de Proben erst trocknet und nur Sand-, Lehm-, und Tongehalt untersucht. Bede Wssenschaftler messen ohne Fehler. Daher erhält B genau deselben Messwerte we A für de ersten dre Komponenten. Bede normeren anschlessend hre Werte auf ens (Tabelle ). Tabelle gbt de Korrelatonen zwschen den ver, bzw. dre Gehalten weder. Endeutg st der Bas zu negatven Werten n beden Matrzen zu erkennen, und es wrd auch deutlch, warum von Schenkorrelatonen gesprochen wrd: de Korrelaton zwschen Sand- und Lehmgehalt st für Wssenschaftler A postv, während se für Wssenschaftler B negatv ausfällt. Dese Tatsache würde dazu führen, dass bede Wssenschaftler zu wdersprüchlchen Schlussfolgerungen kämen, obwohl se dentsche Proben untersucht haben. Der Versuch, de Schenkorrelaton von der wrklchen zu trennen, beschäftgte über Jahrzente hnweg nsbesondere quanttatv orenterte Geologen we CHAYES (960), edoch ohne Lösung des Problems. Ene Zusammenstellung der verschedenen Ansätze fndet sch n AITCHISON (986). Erst de Erkenntns, dass Kompostonsdaten nur relatve Informaton benhalten, und daher nur de Analyse von Quotenten enen Snn erbrngt (AITCHISON 98), führte zum Durchbruch. De darauffolgende Untersuchung der geometrschen Elemente des Smple, we der Stchprobenraum der Kompostonsdaten bezechnet wrd, führte zur Defnton ener reellen eukldschen Raumstruktur (BILLHEIMER et al. 00, PAWLOWSKY-GLAHN & EGOZCUE 00), welche de Anwendung aller üblchen statstschen Verfahren auf de Koeffzenten n enem kartesschen Koordnatensystem ermöglchte. Ene Zusammenfassende Darstellung deser Defnton folgt n Abschntt. Geologsche Modellerung

2 8. Berg- und Hüttenmännscher Tag: GIS Geowssenschaftlche Anwendungen und Entwcklungen Tab. : Ergebnsse der Messungen von dre Sedmentproben durchgeführt von zwe Wssenschaftlern. Probe Probe A B Tab. : Korrelatonsmatrzen zu Tabelle. Korr. A Korr. B Eukldsche Raumstruktur des Smple Der Smple, d.h. der Stchprobenraum von Kompostonsdaten mt D Komponenten, wrd we folgt defnert (AITCHISON 98): D D D S = { = [,,, D] R > 0, =,,, D; = = κ} κ konstant. Folgende Operatonen geben dem Smple ene ( D -)-dmensonale eukldsche Raumstruktur (BILLHEIMER et al. 00, PAWLOWSKY-GLAHN & EGOZCUE 00), welche üblcherwese als Atchson Geometre bezechnet wrd: Perturbaton(Vektoraddton): D y = C[ y, y,, D yd ],, y S Potenzerung (Skalarmultplkaton): α = [,, D C y y, DyD], S, α R Atchson-Skalarprodukt: y D, y = y S a ln ln,, ; D y < Atchson-Dstanz: d a (, y) = ln D < y ln y,, y S Jeder eukldsche Raum hat unendlch vele orthonormale Basen, d.h. Telmengen, mt deren Hlfe sch eder Vektor des Raumes endeutg durch Koordnaten beschreben lässt. De Defnton ener geegneten Bass m Smple st am D enfachsten, wenn man ene sequenzelle bnäre Partton der Komponenten vornmmt (EGOZCUE & PAWLOWSKY-GLAHN 00). Dese besteht darn, n edem Schrtt ene vorher bestehende Gruppe n ewels zwe Untergruppen zu telen. Dese Partton führt zu enem orthonormalen, d.h. kartesschen Koordnatensystem, n dem de Proben mt üblchen statstschen Verfahren untersucht werden können. De Berechnung der Koeffzenten eder Probe gescheht mttels ener enfachen Formel, de anhand enes Bespels mt fünf Komponenten n Tabelle erläutert wrd. Jede Zele entsprcht enem Schrtt n der Partton. En Pluszechen west darauf hn, dass de Komponente der ersten Gruppe zugewesen wurde, en Mnuszechen, dass se der zweten Gruppe zugewesen wurde, und en Nullwert, dass dese Komponente n dem entsprechenden Schrtt ncht betroffen st. De Koeffzenten werden n der letzten Spalte wedergegeben, und zwar so, dass de Rolle der Anzahl der Plus- und Mnuszechen lecht zu erkennen st. De Koeffzenten snd mmer Log-Quotenten, wobe m Nenner der geometrsche Mttelwert der Komponenten der ersten Gruppe steht, m Zähler der geometrsche Mttelwert der zweten Gruppe. Der Wurzelausdruck davor, n der de Anzahl der Komponenten n den zwe Gruppen de ausschlagende Rolle spelt, st en Normerungsfaktor, um de Darstellung n enem Raum mt Enhetsvektoren als Bass zu erhalten. Se werden als Blanzelemente bezechnet, wel se das relatve Gewcht zwschen zwe Gruppen wedergeben. De Wahl der sequenzelle bnäre Partton unterlegt kenen besonderen mathematschen oder statstschen Krteren, sondern hängt von der Problemstellung ab. Geologsche Modellerung

3 Vera Pawlowsky-Glahn & Juan José Egozcue Statstsche Analyse von Kompostonsdaten Tab. : Schrtt Sequentelle bnäre Partton ener Komposton mt fünf Komponenten. Koeffzent / ( ) = ln + ( ) / = ln ( ) = ln + = ln + / De allgemene Formel zur Berechnung der Koeffzenten lautet: ( ) / r r G s ln / s r + s ( k ) =, k G wobe r, s de Anzahl der ewelgen Gruppenkomponenten darstellt. Da de Koordnaten ene Ens-zu-Ens Bezehung zwschen Kompostonen und Koeffzenten erstellen, st es m Fall von dre Komponenten enfach, geometrsche Fguren m reellen Raum der Koordnaten und m Dreecksdagramm der Komponenten darzustellen. Von Interesse snd nsbesondere Geraden, de zum Bespel als Ergebnss ener Regressons- oder Dskrmnanzanalyse berechnet wurden, oder Ellpsen, de sch be der Anpassung ener bvaraten Normalvertelung ergeben. Wchtg st, dass de Ergebnsse ener Modellerung n Koordnaten enfach als Kompostonen m Smple ausgedrückt werden können, ndem de nverse Transformaton angewendet wrd (EGOZCUE & PAWLOWSKY- GLAHN 00). Dese Tatsache erlaubt es, de für das untersuchte Problem beste Darstellung zu wählen, mt der Scherhet, dass de grundlegenden mathematschen Voraussetzungen erfüllt snd, denn de Egenschaften der Koordnaten snd auch für de Repräsentaton m Smple voll gültg. Auch statstsche Egenschaften, we Erwartungstreue und mnmale Schätzvaranz werden drekt von den Koordnaten auf den Smple übertragen (PAWLOWSKY-GLAHN & EGOZCUE 00). Erste Ansätze zur Atchson Geometre fnden sch n AITCHISON et al. (00); ene vollständge Darstellung derselben n EGOZCUE & PAWLOWSKY-GLAHN (006). Enge enfache Anwendungsbespele folgen, an denen das Verfahren veranschaulcht wrd. Se wurden mt Hlfe von CoDaPack (THIÓ-HENESTROSA & MARTÍN-FERNÁNDEZ 00, 006), MATLAB (00) und MINITAB (00) ausgearbetet. Nullwerte, welche bekanntlch en besonderes Problem be der Analyse von Kompostonsdaten darstellen, waren n den untersuchten Datensätzen ncht vorhanden. Ene genaue Erläuterung der möglchen Vorgehenswese n Anwesenhet von Nullwerten fndet sch n MARTÍN- FERNÁNDEZ et al. (00) und n MARTÍN- FERNÁNDEZ & THIÓ-HENESTROSA (006). Anwendungsbespele. Smulerte Daten Um Clustermodellerung und Dskrmnanzanalyse zu veranschaulchen, wurden zwe Probengruppen mt ewels Komponenten und 0 Proben smulert. Abb. zegt de Daten m Dreecksdagramm (lnks) und m Koordnatenraum (rechts), zusammen mt dem Mttelwert eder Gruppe, den 99%, 9% und 90% Isolnen der ewels angepassten Normalvertelung, den 99%, 9% und 90% Konfdenzberechen für den Erwartungswert eder Gruppe und der lnearen Dskrmnanzfunkton, de bede Gruppen trennt. Zwar würde man schwerlch ene Normalvertelung n der Darstellung m Dreecksdagramm erkennen, und auch de Dskrmnatonsgrenze erschent dort ncht als lnear m üblchen Snn, doch de Darstellung n kartesschen Koordnaten erlaubt dese Interpretaton ohne Schwergketen. Im Koordnatenraum erkennt man sofort, dass de beden Gruppen durch de gegebene Dskrmnanfunkton ohne Fehlklassfkaton getrennt werden; dass bede Gruppen ene unter- Geologsche Modellerung

4 8. Berg- und Hüttenmännscher Tag: GIS Geowssenschaftlche Anwendungen und Entwcklungen Abb. : Smulerte Daten. Dargestellte Elemente m Dreecksdagramm (lnks) und n Koordnaten (rechts): Daten (Gruppe : +; Gruppe : o); angepasste Normalvertelungen (Ellpsen; Strchlne); Konfdenzbereche für den Erwartungswert (Ellpsen; durchgängge Lne); Mttelwerte (); lnearer Dskrmnanzfunkton (brete Lne). Isolnen entsprechen 99%, 9% und 90% Wahrschenlchket. schedlche Dsperson vorwesen, und dass de Konfdenzbereche für de ewelgen Erwartungswerte sch ncht überschneden. En Test würde also enen sgnfkanten Untersched zwschen den Gruppenmttelwerten ergeben.. Grantgestensproben Der Datensatz besteht aus Gestensproben aus enem progressven chemschen Verwtterungsprofl aus dem Toorongo Granodort n Südaustralen (NESBITT & MARKOVICS, 997). Dese Daten wurden von VON EYNATTEN et al. (00) benutzt, um Kompostonsänderungen durch den Verwtterungsprozess zu modelleren. De Elemente und de dazugehörge Partton werden n Tabelle dargestellt. Be der Wahl der Partton war das Krterum entschedend, erst de offenschtlch mt Verwtterungsprozessen verbundenen Komponenten H O, Fe O und FeO zu trennen, um ene möglche Restvarabltät deutlcher hervorzuheben. De erste Koordnate stellt de Blanz H O vs. alle anderen Elementen dar; das zwete de Blanz {Fe O, FeO} vs de restlchen neun Elemente; das drtte de Blanz zwschen Fe O und FeO; das verte trennt CaO und Na O von SO, TO, Al O, MnO, MgO, K O und P O ; das fünfe trennt CaO von Na O; das sechste trennt Al O von SO, TO, MnO, MgO, K O und P O ; das sebte trennt K O von SO, TO, MnO, MgO und P O ; das achte trennt SO von TO, MnO, MgO und P O ; das neunte trennt TO von MnO, MgO und P O ; das zehnte trennt P O von MnO und MgO; und das letzte trennt MnO von MgO. De Koeffzenten der Proben n den so defnerten Blanzkoordnaten können dann mt üblchen statstschen Verfahren untersucht werden (Dauns--Estadella et al. 006). Tabelle gbt elementare statstsche Parameterwerte der Koordnaten weder, Tabelle 6 de Korrelatonen zwschen denselben. Tab. : Sequentelle bnäre Partton ener Grantkomposton mt Komponenten. order SO TO Al O Fe O FeO MnO MgO CaO Na O K O P O H O Geologsche Modellerung

5 Vera Pawlowsky-Glahn & Juan José Egozcue Statstsche Analyse von Kompostonsdaten Von den Werten n Tabelle snd nsbesondere de hohe Varanz der Koordnaten bs und 6 hervorzuheben (fettgedruckt). De ersten dre Koordnaten können drekt mt dem Feuchtgketsgehalt verbunden werden, während de Koordnaten ver und sechs auf das relatve Verhalten von CaO, Na O und Al O zu den restlchen Elementen hnwesen. Da dese Elemente ene besondere Rolle be Verwtterungserschenungen spelen war deses Ergebnss auch zu erwarten. De restlchen Koordnaten tragen kaum etwas zur Varabltät der Proben be. De relatv klenen Werte der Standardabwechungen wesen darauf hn, dass de entsprechenden Log- Quotenten praktsch konstant snd. Dese Tatsache, verbunden mt den Mttelwerten, erlauben z.b. folgende Schlussfolgerungen: CaO und Na O stehen etwa m Verhältns :; MgO und MnO etwa m Verhältns 0:, und dese Verhältnsse bleben m Prozessverlauf fast konstant. Be der Korrelatonsmatr n Tabelle 6 erkennt man enge recht hohe Korrelatonen, welche auf den Enfluss von der relatven Menge H O auf de Blanz Fe O zu FeO hnwesen, mt enem Wert von 0.99, auf de Blanz {CaO,Na O} zu den restlchen Elementen mt enem Wert von - 0.9, und auf de Blanz Al O zu den noch verblebenden Elementen mt enem Wert von Dese Koordnaten korreleren auch unter sch (sehe fettgedruckte Werte n Tabelle 6), was auf enen endmensonalen Prozess hnwest, d.h. auf enen Prozess, der auf ene enzge Ursache für das Gesamtverhalten der Stchprobe zurückgeführt werden kann. Koordnate 8 west ebenfalls enge hohe Korrelatonen vor, hre Varabltät st edoch so gerng, dass dese ncht von Bedeutung snd. Dese Ergebnsse führten auf ene natürlche Wese zu ener Hauptkomponentenanalyse der Koordnaten. Das Ergebns unterstützte mt über 9% erklärter Varabltät durch de erste Haupt-komponente de Annahme enes endmensonalen Entwcklungsprozesses. Dese Hauptkomponente st ene Gerade p m Smple der Elemente [SO, TO, Al O, Fe O, FeO, MnO, MgO, CaO, Na O, K O, P O, H O], de den Mttelwert μ = [6., 0.8, 9.7,.8,.8, 0.08,.,.,.,., 0.,.] zum Ausgangspunkt hat und v = [8.7, 7.6,., Tab. : Elementare statstsche Parameter der Blanzkoordnaten von Grantgestensproben Std Var Mn Ma Tab. 6: Korrelatonsmatr der Blanzkoordnaten von Grantgestensproben Geologsche Modellerung 7

6 8. Berg- und Hüttenmännscher Tag: GIS Geowssenschaftlche Anwendungen und Entwcklungen.,.0, 6.8, 6.66,.96,.6, 7.70, 6.9,.0] als Rchtungsvektor, d.h. p = μ ( α v). De Gerade p kann für verschedene Werte von α sowohl n Komponenten (Abb. ) we auch n Koordnaten (Abb. ) zusammen mt den Daten dargestellt werden. Her wurden für α Werte zwschen -. und. gewählt, wel de Ladungen der Daten n der ersten Hauptkomponente n desem Intervall legen. De Werte des Rchtungsvektors wesen darauf hn, dass H O mt.0% de grösste, relatve Änderung m Prozessverlauf hat, gefolgt von Fe O mt.%, und von Al O mt.%. In Abb. erkennt man enen Tel deser Entwcklung, aber glechzetg st nur schlecht zu erkennen, dass SO fast kenen Enfluss hat, und dass der tragende Tel des Prozesses nsbesondere n der relatven Entwcklung von Fe O zu FeO, bzw. von {CaO,Na O} m Verhältns zu den restlchen Elementen zum Ausdruck kommt. In Abb. dagegen snd dese Verhältnsse lecht zu erkennen, sowe de hohe Korrelaton zwschen den Blanzelementen. De so modellerte Tendenz entsprcht dem als Verwtterungsprozess n VON EYNATTEN et al. (00) nterpreterten Trend SO 0 % 0 0 AlO HO 0 FeO erste Hauptkomponente Abb. : Entwcklung der ersten Hauptkomponente der Komposton [SO, TO, Al O, Fe O, FeO, MnO, MgO, CaO, Na O, K O, P O, H O] und Daten der Grantgestensproben. 8 Geologsche Modellerung

7 Vera Pawlowsky-Glahn & Juan José Egozcue Statstsche Analyse von Kompostonsdaten 6 X Koordnaten X - X erste Hauptkomponente Abb. : Entwcklung der ersten Hauptkomponente der Komposton [SO, TO, Al O, Fe O, FeO, MnO, MgO, CaO, Na O, K O, P O, H O] und Daten, dargestellt n Koordnaten. Schlussfolgerung De Atchson-Geometre führt zu ener Darstellung von Kompostonsdaten n kartesschen Koordnaten, de der Analyse deser Daten mttels üblcher, klassscher, statstscher Verfahren alle Türen öffnet. Insbesondere st dabe wchtg, dass Egenschaften we Erwartungstreue und mnmale Schätzvaranz von den Koordnaten drekt auf de Kompostonen übertragen werden können. Danksagung Dese Forschung wurde vom Spanschen Mnsterum für Wssenschaft und Technologe über das Proekt MTM fnanzell gefördert. 6 Lteraturhnwese AITCHISON, J. (98): The statstcal analyss of compostonal data (wth dscusson). Journal of the Royal Statstcal Socety, Seres B, : AITCHISON, J. (986): The Statstcal Analyss of Compostonal Data. Chapman & Hall Ltd. (reprnted n 00 wth addtonal materal by The Blackburn Press). 6 S. AITCHISON, J., BARCELÓ-VIDAL, C., EGOZCUE, J. J. & PAWLOWSKY-GLAHN, V. (00). A concse gude for the algebrac-geometrc structure of the smple, the sample space for compostonal data analyss. In: Bayer, U., Burger, H. & Skala, W., Proceedngs of IAMG'0 The eghth annual conference of the Internatonal Assocaton for Mathematcal Geology, Selbstverlag der Alfred-Wegener-Stftung, Berln, DE, ssn = BILLHEIMER, D., GUTTORP, P. & FAGAN, W.F. (00): Statstcal nterpretaton of speces composton. Journal of the Amercan Statstcal Assocaton, 96: 0. CHAYES, F. (960): On correlaton between varables of constant sum. Journal of Geophyscal Research, 6: 8 9. DAUNIS-I-ESTADELLA, J., BARCELÓ-VIDAL, C. & BUCCIANTI, A. (006): Eploratory compostonal data analyss. In: Buccant, et al. (eds) Compostonal data analyss n the Geoscences: from Theory to Practce, Geologcal Socety London, SPE 6, 6-7. EGOZCUE, J. J. & PAWLOWSKY-GLAHN, V. (00): Groups of parts and ther balances n compostonal data analyss. Mathematcal Geology, 7: EGOZCUE, J. J. & PAWLOWSKY-GLAHN, V. (006): Smplcal geometry for compostonal data. In: Buccant, et al. (eds) Compostonal data analyss n the Geoscences: from Theory to Practce, Geologcal Socety London, SPE 6, -9. EYNATTEN, H. V., BARCELÓ-VIDAL, C. & PAW- LOWSKY-GLAHN, V. (00): Modellng compostonal change: the eample of chemcal weatherng Geologsche Modellerung 9

8 8. Berg- und Hüttenmännscher Tag: GIS Geowssenschaftlche Anwendungen und Entwcklungen of grantod rocks. Mathematcal Geology, :. EYNATTEN, H. V., PAWLOWSKY-GLAHN, V. & EGOZ- CUE, J. J. (00): Understandng perturbaton on the smple: a smple method to better vsualse and nterpret compostonal data n ternary dagrams. Mathematcal Geology, : 9 7. MARTÍN-FERNÁNDEZ, J.A. BARCELÓ-VIDAL, C. & PAWLOWSKY-GLAHN, V. (00): Dealng wth zeros and mssng values n compostonal data sets usng nonparametrc mputaton. Mathematcal Geology : 78. MARTÍN-FERNÁNDEZ, J. A. & THIÓ-HENESTROSA, S. (006): Rounded zeros: some practcal aspects for compostonal data. In: Buccant, et al. (eds) Compostonal data analyss n the Geoscences: from Theory to Practce, Geologcal Socety London, SPE 6, 9-0. MATEU-FIGUERAS, G., PAWLOWSKY-GLAHN, V. AND BARCELÓ-VIDAL, C. (00). Addtve logstc normal dstrbuton on the smple. Stochastc Envronmental Research and Rsk Assessment (SERRA), 9: 0. MATLAB (00): The Language of Techncal Computng (Release ) The MathWorks, Inc. MINITAB (00): Statstcal Software (Release ). MINITAB Inc.. NESBITT, H.W. & MARKOVICS, G. (997). Dstrbuton of mnerals and elements n the Toorongo Granodorte weatherng profle: relevance to the geness of slcclastc sedments. Geochmca et Cosmochmca Acta, 6: PAWLOWSKY-GLAHN, V. & EGOZCUE, J. J. (00): Geometrc approach to statstcal analyss on the smple. Stochastc Envronmental Research and Rsk Assessment (SERRA), : PAWLOWSKY-GLAHN, V. & EGOZCUE, J. J. (00): BLU estmators and compostonal data. Mathematcal Geology, : 9 7. PEARSON, K. (897): Mathematcal contrbutons to the theory of evoluton. On a form of spurous correlaton whch may arse when ndces are used n the measurement of organs. Proceedngs of the Royal Socety of London, 60: THIÓ-HENESTROSA, S. & MARTÍN-FERNÁNDEZ, J. A. (00): Dealng wth compostonal data: the freeware CoDaPack. Mathematcal Geology, 7: THIÓ-HENESTROSA, S. & MARTÍN-FERNÁNDEZ, J. A. (006): Detaled gude of CoDaPack: a freeware compostonal software. In: Buccant, et al. (eds) Compostonal data analyss n the Geoscences: from Theory to Practce, Geologcal Socety London, SPE 6, Geologsche Modellerung