Physik 4, Formelsammlung, Prof. Förster

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1 Physik 4, Formelsammlung, Prof. Förster Christoph Hansen Dieser Text ist unter dieser Creative Commons Lizenz veröffentlicht. Ich erhebe keinen Anspruch auf Vollständigkeit oder Richtigkeit. Falls ihr Fehler findet oder etwas fehlt, dann meldet euch bitte über den kontakt. Inhaltsverzeichnis 1 Brechung Licht als Welle Einzelspalt Doppelspalt Gitter Optische Instrumente Matrizenoptik Eigenschaften des Mikroskops Strahlensatz Thermodynamik Stephan-Bolzmann-Gesetz und Newtonsches Abkühlugsgesetz diverse Formeln zur Thermodynamik Energie von Photonen Lorentzverteilung Elektron im Magnetfeld De Broglie Wellenlänge Impulsunschärfe Röntgenbremsstrahlung Kristallgitter Wärmeleitung Der Formkoeffizient Wärmeübergangskoeffizient thermischer Widerstand Wärmekapazität Quantenmechanik Schrödingergleichungen Kastenpotential mit unendlich hohen Wänden Energieniveaus eins Teilchens Wellen an Potenzialbarrieren Teilchen im dreidimensionalen Potenzial: Transfermatrizen Verhalten des Elektrons im Potential Zeemann Effekt

2 C. Hansen Quantenzahlen

3 C. Hansen 3 1 Brechung Das Brechungsgesetz nach Snellius ist: sin(α sin(θ = n 1 n 2 Zusammenhang geometrische und optische Wellenlänge: geo = L opt = L n Für den Phasenunterschied, müssen wir den optischen Weg einfach noch mit der Wellenzahl multiplizieren: Phasensprünge: φ = L n 2π λ = 4πnL λ Phasensprünge treten immer dann auf, wenn das Licht wenn das Licht von einem optisch dünneren Medium (1, in ein optisch dichteres Medium (2 wechselt n 1 < n Licht als Welle Warum wird Licht gebrochen? Eine Lichtwelle erzeugt ein elektrisches Wechselfeld, wodurch jeden Atom im Ausbreitungsmaterial zu einem Dipol wird. Dadurch entsteht eine Sekundärwelle, die sich mit der Primärwelle zu einer resultierenden Welle vereinigt. Wegen der Dipoleigenschaften der Atom wird die resultierende elektrische Welle ein klein wenig abgelenkt. Wie stark die Welle abgelenkt wird, hängt davon ab wie viel Energie in die Dipolentstehung gesteckt werden kann. Damit hängt die Ablenkung als von der Frequenz des Lichtes ab, denn je höher die Frequenz, desto höher die Energie, desto höher die Ablenkung. Dispersion Normale Dispersion bedeutet, wenn der Brechungsindex mit der Frequenz ansteigt. Anormale Dispersion bedeutet, wenn der Brechungsindex mit der Frequenz abfällt. Brechungsindex in Abhängigkeit der Resonanzfrequenz n = 1 + Nq2 e ɛ 0 m e 1 ω 2 0 ω2 die Dämpfungskonstante γ ist hier Null Totalreflexion Der Winkel ist: θ c = arcsin ( n2 n 1

4 C. Hansen Einzelspalt Intensität in Abhängigkeit des Winkels I(φ = I 0 sin 2 (φ/2 φ 2 /4 mit φ = 2π λ d sin(θ Minima und Maxima Die Bedingung für Minima ist: d sin(θ min = mλ Für Maxima gilt: d sin(θ max = (2m + 1 λ 2 Mit d als Breite des Spalts. 1.3 Doppelspalt Intensität in Abhängigkeit des Winkels mit γ = k 2 b sin α und δ = k 2 a sin α Minimum und Maximum ( 2 sin γ I(α = I 0 cos 2 δ γ Die Bedingung für Minima ist: a sin(θ max = (m λ Für Maxima gilt: Mit a als Abstand der Spalte. a sin(θ min = mλ 1.4 Gitter Gangunterschied: d = n λ = g sin(φ

5 C. Hansen 5 φ ist hierbei der Ablenkwinkel und n die Ordnung des Hauptmaximums. Für Hauptmaxima gilt dann: λ = g sin(φ n Das Auflösungsvermögen berechnet sich so: λ λ = nn Dabei ist n wieder die Ordnung des Maximums und N die Anzahl der ausgeleuchteten Linien. Auflösungsvermögen optischer Instrumente Kohärenzlänge ( n λ α = 1.22 d Unter Kohärenzlänge versteht man die Länge auf der zwei Wellenzüge synchron zueinander verlaufen und noch interferieren können. Man schreibt: l c = τ c c und l c = λ2 λ Frequenzbandbreite f = c λ λ 2 2 Optische Instrumente Brennpunkt eines Hohlspiegels x = R y2 R 2 Mit R als Radius des Spiegels und y als Abstand des Strahls von der optischen Achse. Linsenschleiferformel D = 1 f = (n 1 ( 1 R 1 1 R 2 Bei einer sphärischen Linse ist der Radius R 2 negativ. Bei einer Zerstreuungslinse ist der Radius R 1 negativ. Zusammenhang Gegenstand-, Bild, und Brennweite (dünne Linsen 1 f = 1 b + 1 g b = g f g f f = gb b + g Es gilt zudem: 1 f = 1 f f f n

6 C. Hansen 6 Vergrößerung einer Linse Es gilt auch: M = f f S 1 dabei ist S 1 der Abstand des Gegenstandes von der Linse M = b g = B G Linsenfehler 1 Chromatische Aberration Verschiedenfarbige Anteile eines Lichtstrahls werden unterschiedlich stark gebrochen 2 sphärische Aberration Strahlen am Linsenrand werden stärker gebrochen als Strahlen in der Linsenmitte 3 Vignettierung an den Bildrändern ist weniger Licht als in der Bildmitte. Die Bildränder erscheinen abgeschattet, dunkler. 2.1 Matrizenoptik ungehinderte Ausbreitung über Distanz d: Brechung an ebener Fläche: T = ( 1 d 0 1 ( 1 0 B = 0 Dabei entsprechen n 1, n 2 den Brechzahlen vor und nach der Grenzfläche. sphärisch gekrümmte Fläche R = r ist hier der Krümmungsradius der Fläche. dünne Linse n 1 n n n 1 r ( n1 L = ( f 1 f > 0 falls die Linse fokussiert und f < 0, wenn die Linse defokussierend wirkt. ebener Spiegel S = ( n 2

7 C. Hansen 7 sphärischer Spiegel ( 1 0 K = 2 r Eigenschaften des Mikroskops a die nummerische Apertur ist mit für die minimale Auflösung des Teleskops verantwortlich, die sich nach der Formel d min = 1.22λ 2A N berechnet. Je besser, also je größer die nummerische Apertur ist, desto besser ist die Auflösung des Mikroskops. b der Objektivdurchmesser verändert die Auflösung c Eine Feldlinse wir in einem Fernrohr verwendet und am Ort des Zwischenbildes installiert. Sie lenkt die zusätzlich die äußersten Strahlen des Zwischenbildes ins Auge und trägt somit zur Schärfung und zur Verbreiterung des Sichtfeldes bei. Siehe Abbildung 1 Dioptrien Abbildung 1: Dioptrien ist der Kehrwert der Brennweite. Es gilt D = 1 f. 2.3 Strahlensatz manchmal hilfreich: Abbildung 2:

8 C. Hansen 8 3 Thermodynamik 3.1 Stephan-Bolzmann-Gesetz und Newtonsches Abkühlugsgesetz Das Stephan-Bolzmann-Gesetz lautet: P = ɛσat 4 ɛ gibt an wie viel Prozent die Fläche tatsächlich absorbiert. In den meisten Fällen wir mit ɛ = 1 gerechnet. σ ist die Stephan-Bolzmann-Konstante Das Newton sche Abkühlungsgesetz gilt nur für Temperaturen nah der Umgebungstemperatur und lautet: T = T U + (T A T U e t τ

9 C. Hansen diverse Formeln zur Thermodynamik Ich glaube zwar nicht, das wir diese Formeln brauchen, aber ich packe sie mal dazu: 3.3 Energie von Photonen E = hν = hc λ mit λ = c ν 3.4 Lorentzverteilung Diese Verteilung braucht man bei folgendem Szenario: Man hat ein Messgerät, das auf eine bestimmten Frequenz eingestellt ist, aber auch einen Fehler hat. Man erhält mit der Verteilung dann eine Kurve, die abhängig vom Fehler beschreibt wie genau man bei der eingestellten Frequenz messen kann. Dazu nutzt man folgende Formel: L = s π ( s 2 + (x x 0 2

10 C. Hansen 10 s beschreibt den Fehler und x 0 die eingestellte Frequenz. Das Integral von bis ist normiert. Zwischen Messwert und der Lorentzverteilung gibt es folgenden Zusammenhang: Messwert = = 2hs c 2 M ν L dν x 3 s 2 + (ν x 2 (e kx kt 1 dx 3.5 Elektron im Magnetfeld Ein Ladung, das sich im Magnetfeld kreisförmig bewegt verliert Energie durch Strahlung. Diese Energie ist pro Umlauf: q 4 v 2 B 2 E = 6π ɛ 0 m 2 c De Broglie Wellenlänge Für beliebige Teilchen gilt: λ = h p p ist dabei der relativistische Impuls: p = mv 1 ( p = E v 2 c c 3.7 Impulsunschärfe Die Impulsunschärfe ist direkt an das plank sche Wirkungsquantum gekoppelt und lautet: E t h 3.8 Röntgenbremsstrahlung Es gilt: E kin = e U e ist die Elementarladung und U die Bremsspanung. Die minimale Wellenlange ist dann: λ min = hc eu 3.9 Kristallgitter Ich empfehle sich hier nochmal die Aufgabe 3 von Aufgabenblatt 7 anzuschauen!!

11 C. Hansen 11 Die reziproken Gittervektoren ergeben sich aus den Basisvektoren nach dieser Formel: g 1 = 2π a 2 a 3 V g 2 = 2π a 3 a 1 V g 3 = 2π a 1 a 2 V Dabei ist V das Volumen, das durch die Basisvektoren aufgespannt wird. Eine bestimmte Ebene im Kristallgitter wird so bestimmt: m 1 : m 2 : m 3 = 1 h : 1 k : 1 l Es wird dabei auf die Länge der Basisvektoren normiert. 4 Wärmeleitung Die Wärmemenge die ein Stoff aufnimmt erhält man so: Q = m c w T Der Wärmestrom ist einfach die Wärmemenge, die über einen bestimmten Zeitraum fließt. Die Wärmeleitfähigkeit, hängt vom Wärmestrom, der Länge, der Fläche und der Temperaturdifferenz ab: λ = Q l A T 4.1 Der Formkoeffizient Es gibt viele Formen in denen es schwierig ist eine einfache Gleichung für den Wärmestrom aufzustellen. Dort kann man sehr einfach mit dem Formkoeffizienten rechnen: Q = λf (T i T a Der Formkoeffizient eines Rohres ist z.b. FR = l 1 ln( ra r i 4.2 Wärmeübergangskoeffizient Q = αa (T 1 T 2 t Q = αa (T 1 T 2 Der Wärmeübergangswiderstand ergibt sich so: R S = 1 αa mehrere Schichten hintereinander: 1 R = 1 R R n innerhalb eines Mediums ist der Wärmeübergangskoeffizient (auch Wärmeduchlasswiderstand α = l λ Die Wärmemenge ist dann: Q = R A t T

12 C. Hansen thermischer Widerstand Aus dem Wärmestrom kann man den thermischen Wiederstand einfach zusammensetzen: R th = Ṫ Q 4.4 Wärmekapazität Die Wärmekapazität ergibt sich aus der spezifischen Wärmekapazität des Stoffes, dem Volumen und der Dichte: C = c sp V ρ Die Zeit nach der sich ein thermisches Gleichgewicht einstellt, berechnet sich so: τ = R th C 5 Quantenmechanik 5.1 Schrödingergleichungen Die zeitunabhängige Schrödigergleichung lautet: Die zeitabhängige Schrödigergleichung lautet: Eψ = 2 2 ψ 2m x 2 + V 0ψ i ψ t = 2 2 ψ 2m x 2 + V 0ψ 5.2 Kastenpotential mit unendlich hohen Wänden Um sinnvolle Berechnungen über Aufenthaltswahrscheinlichkeiten anzustellen muss man die Wellenfunktion normieren. Die normierte Funktion sieht so aus: 2 ( nπ ψ n (x = L sin L x Eine Kurve, die die Aufenthaltswahrscheinlichkeit beschreibt, erhalten wir indem wir das Quadrat dieser Funktion über den fraglichen Bereich integrieren: P = b a 2 ( nπ L sin L x 2

13 C. Hansen Energieniveaus eins Teilchens Die Energie eines Teilchens ist in der Quantenmechanik gequantelt. Das heißt, dass das Teilchen nur bestimmte Energienniveaus annehmen kann. Die Energie ist dann: E n = 2 8m T l 2 n2 Dabei gibt l die Länge bzw Breite des Potenzials an und n das Niveau. 5.4 Wellen an Potenzialbarrieren Wenn eine Welle auf ein Potenzial V 0 trifft, dann wird sie entweder verstärkt (Potenzial negativ oder abgeschwächt (Potenzial positiv. Dabei tritt in jedem Fall eine Reflexion und eine Transmission auf. Dazu muss man die Wellenvektoren kennen: Wellenvektor vor der Barriere: k 1 = Wellenvektor nach der Barriere: k 2 = 2mT E 2 2mT (E V 0 2 Der Trans- bzw. Reflexionskoeffizient ist dann: R = k 1 k 2 k 1 + k 2 T = 1 R 2 Die Geschwindigkeit und des Ort eine Teilchens können wir in der Quantenmechanik nur mit der heisenberg schen Unschärferelation bestimmen: x = x p Für x wird so wie der Wert besser passt entweder 1 2 oder 1 2h eingesetzt. Die Energie kann man dann so berechnen: E = p2 2m T 5.5 Teilchen im dreidimensionalen Potenzial: Das Teilchen hat hier mehr Freiheitsgrade und es können mehrere Teilchen gleichzeitig verschiedene Energieniveaus n 1 3 belegen. Daraus resultiert die sogenannte Entartung. Diese gibt an wie viele Kombinationen es mit den gegebenen Energieniveaus gibt. Die Energie berechnet sich nach: E n = (n n2 2 + n m T l 2 Die Wellenfunktion ändert sich dann zu folgendem: ψ = C } n1 {{,n 2,n } 3 sin Normierungs f aktor ( n1 πx a sin ( n2 πy a ( n3 πz sin a

14 C. Hansen 14 In diesem Zusammenhang kann auch die Teilchenstromdichte s als auch die Stromdichte j von Bedeutung sein: s = ρ v j = n q v 5.6 Transfermatrizen Mit der Hilfe von Transfermatrizen kann man sehr einfach bestimmen wie sich, bei einer bestimmten eingegangen (oder ausgegangenen Welle, die ausgehende (oder eingehende Welle verhält. Bei einer einfachen Barriere müssen wie Wellenfunktionen und Ableitungen stetig sein: (1 ψ I (0 = ψ II (0 ψ I (0 = ψ II (0 Für den ersten Übergang (2 ψ II (a = ψ III (a ψ II (a = ψ III (a Für den zweiten Übergang Aus den beiden Gleichungen von (1 können wir nun dieses Gleichungssystem aufstellen: A + B = C + D ik 1 A ik 1 B = κc + κd aus (2 stellen wir äquvalent auf: Ce κa + De κa = Fe ik 1a + Ge ik 1a κce κa + κde κa = ik 1 Fe ik 1a ik 1 Ge ik 1a Die Matrizen lauten dann: Die Transfermatrix für Die Transfermatrix für ( ( A e ik 1 x e m 1 = ik ( 1x A B ik 1 e ik 1x ik 1 e ik 1x B ( C erhalten wir aus dem linken Teil der Gleichungen (2: D ( ( C e κx e m 2 = κx D κe κx κe κx ( C D ( F erhalten wir aus dem rechten Teil der Gleichungen (2: G ( ( F e ik 1 x e m 3 = ik ( 1x F G ik 1 e ik 1x ik 1 e ik 1x G Wir stellen die Matrizen wie die Gleichungen auf: ( ( A C m 1 x=0 = m B 2 x=0 D m 2 x=a ( C D = m 3 x=a ( F G

15 C. Hansen 15 Wir formen um, sodass wir einsetzen können: ( ( A = m 1 C B 1 x=1 m 2 x=0 D ( ( c = m 1 F D 2 x=1 m 3 x=0 G Durch einsetzen erhalten wir: ( ( A = m 1 B 1 x=1 m 2 x=0 m 1 F 2 x=1 m 3 x=0 } {{ } G T M 1 Damit haben wir unsere Transfermatrix T M Verhalten des Elektrons im Potential Wie beeinflusst man die Zeit des Elektrons im Potential? Dazu gibt es drei Faktoren, die man beeinflussen kann: 1 Breite des Potential zwischen den Barrieren Wenn die Barrieren weiter auseinander sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit, das sich das Elektron in der Nähe der Barriere aufhält geringer. Man muss allerdings darauf achten, das man sie nicht zu weit auseinander stellt (einige nm, da es sonst keine Resonanz- Tunnelstruktur mehr ist. 2 Breite der Barriere Wenn die Barriere an sich breiter wird (Wellenfunktion sinkt darin mit e cx, dann sinkt damit die Wahrscheinlichkeit, dass das Elektron überhaupt auf die andere Seite der Barriere tunneln kann. 3 Energie des Elektron an sich Wenn man ein Elektron mit sehr hoher Energie (hohe Amplitude in der Wellenfunktion hat, dann kann es entweder sein, das es das Quantenbauteil überhaupt nicht mitbekommt und einfach hindurchfliegt oder es wird in einem sehr hochenergetischen Energieniveau gefangen. In letzterem Fall kann die Amplitude sehr viel weiter gesenkt werden, bis sie auf Null ist. Dadurch ist die Wahrscheinlichkeit von Elektronen mit einer hohen Energie durch die Barriere zu tunneln höher als von Elektronen mit niedrigerer Energie. Berechnen können wir die Zeit mit der Unschärferelation t = 2 E Wenn wir Γ 0 als Unsicherheitsfaktor der Lorentzfunktion betrachen, dann können wir die Zeit auch so berechnen: t = 2Γ Zeemann Effekt Die Energie beim Zeemann Effekt ergibt sich aus: E mag = q 2m q B m l

16 C. Hansen 16 Dabei gilt folgender Zusammenhang zwischen dem Niveau l und der magnetischen Quantenzahl m l : Wenn l = x, dann ist m l = ( x,..., 0,...x Bei einer Aufspaltung gelten folgende Regeln für Übergange von einem Niveau l = 1 auf ein anderes z.b. l = 0: l = ±1 m l = ±1 oder m l = Quantenzahlen Bei den Quantenzahlen gelten folgende Zusammenhänge: l = n 1 m < l