Wortähnlichkeit: Praktische Implementierung
|
|
|
- Alexandra Bergmann
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Wortähnlichkeit: Praktische Implementierung Benjamin Roth Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung Ludwig-Maximilian-Universität München Benjamin Roth (CIS) Wortähnlichkeit: Praktische Implementierung 1 / 16
2 Wort-Ähnlichkeitsmodell Demo Benjamin Roth (CIS) Wortähnlichkeit: Praktische Implementierung 2 / 16
3 Wort-Ähnlichkeitsmodell: Schritte Welche Schritte müssen gemacht werden, um ein Wortähnlichkeitsmodell zu Implementieren? (Dh um auf Basis eines Korpus die ähnlichsten Wörter zu einem Anfrage-Wort zurückzuliefern) Benjamin Roth (CIS) Wortähnlichkeit: Praktische Implementierung 3 / 16
4 Wort-Ähnlichkeitsmodell: Schritte Vorverarbeitung (Tokenisierung, ) Vokabular definieren, Zuweisung Wort Numerierung Co-Okkurrenzen (Zusammenauftreten) von Wörtern zählen Co-Okkurrenz-Matrix X erstellen Zeile: (Ziel-)Wort, Spalte: (Kontext-)Wort Wert: Häufigkeit des gemeinsamen Vorkommens Gewichtung der Matrix Positive Pointwise Mutual Information (PPMI): Misst wie sehr Zusammenauftreten von statistisch erwarteter Häufigkeit abweicht Benjamin Roth (CIS) Wortähnlichkeit: Praktische Implementierung 4 / 16
5 Wort-Ähnlichkeitsmodell: Schritte Singular Value Decomposition (Singulärwertzerlegung; SVD): Die Matrix wird in ein Produkt aus drei Matrizen zerlegt: X = UΣV T Σ ist eine Diagonalmatrix, mit absteigend sortierten, nicht-negativen Werten Größe eines Wertes Anteil/Wichtigkeit bei der Rekonstruktion von X U: Matrix Zeile: Wort, Spalte: Kontext-Repräsentation Die Spalten enthalten die Kontextinformation, komprimiert und nach Wichtigkeit sortiert! V: Matrix Ebenso optimierte Repräsentation des Kontextes Ähnlichkeit berechnen Vektor für Anfragewort: Entsprechende Zeile in UΣ Kosinus-Ähnlichkeit mit Vektoren für alle anderen Wörter berechnen (dh mit allen Wörtern in UΣ) Warum nicht nur U verwenden? Benjamin Roth (CIS) Wortähnlichkeit: Praktische Implementierung 5 / 16
6 Singulärwertzerlegung: Wiederholung Benjamin Roth (CIS) Wortähnlichkeit: Praktische Implementierung 6 / 16
7 Singulärwertzerlegung in Python: Naiver Ansatz Idee bei SVD: Betrachte nur die n (zb 50) wichtigsten Singular Vectors statistisches Rauschen wird entfernt, indem andere Dimensionen ignoriert werden besserer Ähnlichkeitsvergleich, weniger Ausreißer import numpy as np U, sigma, V = nplinalgsvd(x) U_trunc = U[:,:n] sigma_trunc = sigma[:n] V_trunc = V[:,:n] Problem des obigen Ansatzes? Benjamin Roth (CIS) Wortähnlichkeit: Praktische Implementierung 7 / 16
8 Singulärwertzerlegung in Python: Naiver Ansatz import numpy as np U, sigma, V = nplinalgsvd(x) U_trunc = U[:,:n] sigma_trunc = sigma[:n] V_trunc = V[:,:n] Problem des obigen Ansatzes? Die Co-Okkurrenz-Matrix ist sparse (99% oder mehr der Einträge sind 0) Die Matrizen U und V sind dense, bei ihrer Bechnung wird also ein um den Faktor 100 (oder mehr) größerer Speicherplatz benötigt Die trunkierten (abgeschnittenen) Matrizen sind zwar wieder sehr klein, weil nur ein Bruchteil der Spalten beibehalten wird; die Berechnung des Zwischenschrittes ist oft aber aus Speicherplatzgründen so nicht möglich Benjamin Roth (CIS) Wortähnlichkeit: Praktische Implementierung 8 / 16
9 Singulärwertzerlegung in Python: Effizienter Ansatz Es gibt spezielle Methoden, die nur die n größten Singulärwerte und die dazugehörigen Vektoren berechnen (Bzw direkt die trunkierte Matrix UΣ, die von Interesse ist) Diese Methoden sind auch für die Berechnung von Sparse-Matrizen optimiert Für unsere Zwecke: sklearndecompositiontruncatedsvd from sklearndecomposition import TruncatedSVD svd = TruncatedSVD(n_components=n) U_sigma_trunc = svdfit_transform(x) Benjamin Roth (CIS) Wortähnlichkeit: Praktische Implementierung 9 / 16
10 Ähnlichste Wörter: Naiver Ansatz 1 Nachschlagen von Vektor für Anfragewort: Zeile in X oder U_sigma_trunc, je nach dem ob die Co-Okkurrenz-Information mit oder ohne SVD verwendet werden soll 2 Iterieren über alle Wörter w im Vokabular 1 Nachschlagen von Vektor für w 2 Kosinus-Ähnlichkeit berechnen, und zusammen mit w an Liste anhängen 3 Liste nach Ähnlichkeit sortieren Benjamin Roth (CIS) Wortähnlichkeit: Praktische Implementierung 10 / 16
11 Ähnlichste Wörter: Naiver Ansatz class DenseSimilarityMatrix: def init (self, U_sigma_matrix, word_to_id): selfword_matrix = U_sigma_matrix selfword_to_id = word_to_id selfid_to_word = {w:i for i,w in selfword_to_iditems()} def most_similar_words(self, query, n): q_row = selfword_to_id[query] q_vec = selfword_matrix[q_row,:] dot_q_q = q_vecdot(q_vect) sims_words = [] for w in selfword_to_id: w_row = selfword_to_id[w] w_vec = selfword_matrix[w_row,:] dot_w_w = w_vecdot(w_vect) dot_q_w = q_vecdot(w_vect) sim = dot_q_w / mathsqrt(dot_q_q * dot_w_w) sims_wordsappend((sim, w)) return [w for s,w in sorted(sims_words, reverse=true)[:n]] Benjamin Roth (CIS) Wortähnlichkeit: Praktische Implementierung 11 / 16
12 Ähnlichste Wörter: Naiver Ansatz Problem mit obigem Ansatz? Aus theoretischer Sicht nicht viel einzuwenden Trotzdem in der Praxis extrem ineffizient (Faktor > ): Erstellen von Einzelobjekten für jeden Vektor Erweitern der Liste Kosinus-Berechnung separat für jeden Vektor Matrix-Multiplikation ist eine der am meisten optimierten Operationen in mathematischen Programm-Bibliotheken Wann immer möglich, sollte man Matrizen als Ganzes multiplizieren! Benjamin Roth (CIS) Wortähnlichkeit: Praktische Implementierung 12 / 16
13 Ähnlichste Wörter: Effizienter Ansatz Vermeide Nachschlagen (Lookup) der Vektoren für Einzelwörter im Vokabular Für Kosinus-Berechnung brauchen wir: Dot-Produkt Vektoren aller Wörter mit Anfrage-Vektor: Effiziente Operation: Multiplikation von Matrix mit Vektor! Dot-Produkt Anfrage-Vektor (Einmalige Operation) Dot-Produkt aller Vektoren im Vokabular Effiziente Operation: Komponentenweise Multiplikation der Matrix mit sich selbst Sumierung des Ergebnisses Beispiel: Whiteboard komponentenweise Anwendung von Wurzel und Bruchrechnung Benjamin Roth (CIS) Wortähnlichkeit: Praktische Implementierung 13 / 16
14 Ähnlichste Wörter: Effizienter Ansatz (für Numpy Dense Arrays) def most_similar_words(self, word, topn): row = selfword_to_id[word] vec = selfword_matrix[row,:] m = selfword_matrix dot_m_v = mdot(vect) # vector dot_m_m = npsum(m ** 2, axis=1) # vector dot_v_v = vecdot(vect) # float sims = dot_m_v / (mathsqrt(dot_v_v) * npsqrt(dot_m_m)) return [selfid_to_word[id] for id in (-sims)argsort()[:topn]] Für Scipy Sparse-Matrizen ist die Syntax etwas verschieden Hinweis: vec ist ein Zeilenvektor, vect ergibt den dazugehörigen Spaltenvektor (Dot-Produkt ist definiert für Zeilen- mit Spaltenvektor) Benjamin Roth (CIS) Wortähnlichkeit: Praktische Implementierung 14 / 16
15 Ähnlichste Wörter: Effizienter Ansatz vargsort() liefert die Indizes der sortierten Einträge eines Vektors: >>> v=nparray([5,1,1,4]) >>> vargsort() array([1, 2, 3, 0]) Benjamin Roth (CIS) Wortähnlichkeit: Praktische Implementierung 15 / 16
16 Zusammenfassung Singulärwertzerlegung (SVD) Wiederholung Anwendung auf Co-Okkurrenzmatrizen Effiziente Berechnung der trunkierten SVD Ähnlichkeitsberechnung mit Matrix-Multiplikation Benjamin Roth (CIS) Wortähnlichkeit: Praktische Implementierung 16 / 16
KLAUSUR ZUM BACHELORMODUL PROBEKLAUSUR COMPUTERLINGUISTISCHE ANWENDUNGEN PROBEKLAUSUR, DR. BENJAMIN ROTH KLAUSUR AM
KLAUSUR ZUM BACHELORMODUL PROBEKLAUSUR COMPUTERLINGUISTISCHE ANWENDUNGEN PROBEKLAUSUR, DR. BENJAMIN ROTH KLAUSUR AM VOR NACH MATRIKELNUMMER: STUDIENGANG: B.Sc. Computerlinguistik, B.Sc. Informatik, Magister
1 12. Vorlesung: Singulärwertzerlegung,
#!/usr/bin/env python3 # -*- coding: utf-8 -*- # """ # Created on Fri Jan 5 23:57:22 2018 # # @author: christianehelzel # """ 1 12. Vorlesung: Singulärwertzerlegung, 1.1 Teil 2 Datenkompression in der
Singulärwertzerlegung
LMU München Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung WS 10-11: 13.12.2010 HS Matrixmethoden im Textmining Dozent: Prof.Dr. Klaus U. Schulz Referat von: Erzsébet Galgóczy Singulärwertzerlegung 1
Latent Semantic Indexing: Einführung und Experiment
Latent Semantic Indexing: Einführung und Experiment Jonathan Geiger, Felix Hieber HS: Information Retrieval Dr. Haenelt 12.01.2009 WS 08/09 Motivation Grundsätzlich stecken zwei Ideen hinter, eine praktischer
Latent Semantic Analysis. Christian Ebert & Fritz Hamm. Lineare Algebra IV: Diagonalisierungen. Latent Semantic. Analysis/Indexing. 12.
12. Januar 2012 Eigenwerte & Diagonalisierungen I Sei V ein K-Vektorraum und A ein Endomorphismus/eine n n Matrix über K {R, C} Erinnerung 1 Gilt A x = λ x, x 0 V, λ K, heißt λ Eigenwert und x Eigenvektor
Multiplikation von Matrizen
Multiplikation von Matrizen Die Regeln der Multiplikation von Zahlen können nicht direkt auf die Multiplikation von Matrizen übertragen werden. 2-E Ma Lubov Vassilevskaya Multiplikation ccvon Matrizen
9. Vorlesung Lineare Algebra, SVD und LSI
9. Vorlesung Lineare Algebra, SVD und LSI Grundlagen lineare Algebra Vektornorm, Matrixnorm Eigenvektoren und Werte Lineare Unabhängigkeit, Orthogonale Matrizen SVD, Singulärwerte und Matrixzerlegung LSI:Latent
Skipgram (Word2Vec): Praktische Implementierung
Skipgram (Word2Vec): Praktische Implementierung Benjamin Roth Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung Ludwig-Maximilian-Universität München beroth@cis.uni-muenchen.de Benjamin Roth (CIS) Skipgram
Einführung in die Computerlinguistik Information Retrieval: tf.idf
Einführung in die Computerlinguistik Information Retrieval: tf.idf Dr. Benjamin Roth & Annemarie Friedrich Centrum für Infomations- und Sprachverarbeitung LMU München WS 2016/2017 Referenzen Dan Jurafsky
MLAN1 1 MATRIZEN 1 0 = A T =
MLAN1 1 MATRIZEN 1 1 Matrizen Eine m n Matrix ein rechteckiges Zahlenschema a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a m1 a m2 a m3 amn mit m Zeilen und n Spalten bestehend aus m n Zahlen Die Matrixelemente
Algorithmen und Datenstrukturen (für ET/IT)
Algorithmen und Datenstrukturen (für ET/IT) Sommersemester 2015 Dr. Tobias Lasser Computer Aided Medical Procedures Technische Universität München Programm heute 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen 8 Such-Algorithmen
Am Dienstag, den 16. Dezember, ist Eulenfest. 1/45
Am Dienstag, den 16. Dezember, ist Eulenfest. 1/45 Grundbegriffe der Informatik Einheit 12: Erste Algorithmen in Graphen Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009
WiMa-Praktikum 1. Woche 8
WiMa-Praktikum 1 Universität Ulm, Sommersemester 2017 Woche 8 Lernziele In diesem Praktikum sollen Sie üben und lernen: Besonderheiten der For-Schleife in Matlab Wiederholung des Umgangs mit Matrizen und
Algorithmen und Datenstrukturen (für ET/IT)
Algorithmen und Datenstrukturen (für ET/IT) Sommersemester 2017 Dr. Stefanie Demirci Computer Aided Medical Procedures Technische Universität München Programm heute 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen 8
1 Wiederholung: Definition von Arrays
#!/usr/bin/env python3 # -*- coding: utf-8 -*- """ Created on Mon Nov 6 13:31:07 2017 @author: christianehelzel """ # 5. Vorlesung Created on Mon Nov 6 13:31:07 2017 @author: christianehelzel 1 Wiederholung:
Tensoren in der Datenanalyse
Tensoren in der Datenanalyse Edgar Tretschk Universität des Saarlandes 2. Dezember 2015 1 Inhalt 1 Grundlagen 2 Singulärwertzerlegung 3 Ziffernerkennung 4 Bewegungsabläufe 2 Tensoren als mehrdimensionale
1 Autorennen ( = 11 Punkte)
Einführung in die wissenschaftliche Programmierung Klausur 11.02.2016 Seite 1/8 Name, Vorname, Unterschrift: Matrikelnummer: 1 Autorennen (3 + 3.5 + 4.5 = 11 Punkte) Eine Physikerin beobachtet die Geschwindigkeit
1 Berechnung von Summen (ca = 10 Punkte)
Einführung in die wissenschaftliche Programmierung Klausur 26.02.2013 Seite 1/8 Name, Vorname, Unterschrift: Matrikelnummer: 1 Berechnung von Summen (ca. 5 + 4 + 1 = 10 Punkte) Gegeben sind natürliche
47 Singulärwertzerlegung
47 Singulärwertzerlegung 47.1 Motivation Wir haben gesehen, dass symmetrische Matrizen vollständig mithilfe ihrer Eigenwerte und Eigenvektoren beschrieben werden können. Diese Darstellung kann unmittelbar
Am Dienstag, den 16. Dezember, ist Eulenfest. 1/48
Am Dienstag, den 16. Dezember, ist Eulenfest. 1/48 Grundbegriffe der Informatik Einheit 12: Erste Algorithmen in Graphen Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009
Python Einführung. Monica Selva Soto. 24 März Mathematisches Institut
Mathematisches Institut mselva@math.uni-koeln.de 24 März 2009 Übungen zur Numerik 1 Vorlesung Übungen praktische Aufgaben Webseite: (Anmeldung, Übungsblätter) http://www.mi.uni-koeln.de/~mselva/numerik1.php
A = ( a 1,..., a n ) ii) Zwei Matrizen sind gleich, wenn die Einträge an den gleichen Positionen übereinstimmen. so heißt die n n Matrix
Matrizen Definition: i Eine m n Matrix A ist ein rechteckiges Schema aus Zahlen, mit m Zeilen und n Spalten: a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn Die Spaltenvektoren dieser Matrix seien mit a,, a n bezeichnet
Programmiervorkurs für die Numerik Teil 2/4
line 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4 Programmiervorkurs für die Numerik Teil 2/4 Christian Power Mathematisches Institut Universität Tübingen -8-6 -4-2 0 05.10.2016 2 4 6 8-8 -6-4 -2 0 2 4 6 8 Wiederholung
Sortieren und Suchen. Jens Wächtler Hallo Welt! -Seminar LS 2
Sortieren und Suchen Jens Wächtler 17.05.2017 Hallo Welt! -Seminar LS 2 Überblick Sortieren kurze Wiederholung Binäre & Ternäre Suche Binäre Suche in einer Liste Bisektionsverfahren (Nullstellensuche)
Computer Vision. Klaus Diepold Lehrstuhl für Datenverarbeitung. 18. Juni l 1 z x. l 2. (R,T) Koordinatentransformation. Bild 1: Stereo Setup.
Computer Vision Klaus Diepold Lehrstuhl für Datenverarbeitung 8. Juni 008 3 3-D Stereo Vision Grundlegender Aufbau eines Steroekamerasystems ist in dargestellt. Q P y z x x x l z x C e e C l q y (R,T)
Schriftlicher Test (120 Minuten) VU Einführung ins Programmieren für TM. 23. Januar 2017
Familienname: Vorname: Matrikelnummer: Aufgabe 1 (3 Punkte): Aufgabe 2 (1 Punkt): Aufgabe 3 (2 Punkte): Aufgabe 4 (4 Punkte): Aufgabe 5 (2 Punkte): Aufgabe 6 (2 Punkte): Aufgabe 7 (4 Punkte): Aufgabe 8
Skript Lineare Algebra
Skript Lineare Algebra sehr einfach Erstellt: 2018/19 Von: www.mathe-in-smarties.de Inhaltsverzeichnis Vorwort... 2 1. Vektoren... 3 2. Geraden... 6 3. Ebenen... 8 4. Lagebeziehungen... 10 a) Punkt - Gerade...
Zugriff auf Matrizen. Anhängen von Elementen. Punktweise Operatoren. Vektoren und Matrizen in MATLAB II
Zugriff auf Matrizen. Anhängen von Elementen. Punktweise Operatoren. Vektoren und Matrizen in MATLAB II Matrixzugriff Wir wollen nun unsere Einführung in die Arbeit mit Vektoren und Matrizen in MATLAB
Programmierkurs Python II
Programmierkurs Python II Stefan Thater & Michaela Regneri Universität des Saarlandes FR 4.7 Allgemeine Linguistik (Computerlinguistik) Sommersemester 213 Übersicht Vektoren elementar Information Retrieval
3.3 Entwurf von Datentypen
3.3 Entwurf von Datentypen Durch das Erzeugen von Datentypen entwickelt der Programmierer eine eigene Sprache, mit der über die Daten gesprochen werden kann. Deshalb muss man beim Entwickeln einer Idee
Minimaleinführung in Python 3
Minimaleinführung in Python 3 Python ist eine einfach zu lernende, aber mächtige Programmiersprache mit effizienten abstrakten Datenstrukturen und einem einfachen, aber effektiven Ansatz zur objektorientierten
Lineare Algebra und Geometrie II, Übungen
Lineare Algebra und Geometrie II, Übungen Gruppe (9 9 45 ) Sei A 2 Bestimmen Sie A und A Finden Sie weiters Vektoren u, v R 2 mit u und Au A, beziehungsweise v und Av A Zunächst die Berechnung der Norm
a 11 a 12 a 1(m 1) a 1m a n1 a n2 a n(m 1) a nm Matrizen Betrachten wir das nachfolgende Rechteckschema:
Matrizen Betrachten wir das nachfolgende Rechteckschema: a 12 a 1(m 1 a 1m a n1 a n2 a n(m 1 a nm Ein solches Schema nennt man (n m-matrix, da es aus n Zeilen und m Spalten besteht Jeder einzelne Eintrag
Octave/Matlab-Übungen
Aufgabe 1a Werten Sie die folgenden Ausdrücke mit Octave/Matlab aus: (i) 2 + 3(5 11) (ii) sin π 3 (iii) 2 2 + 3 2 (iv) cos 2e (v) ln π log 10 3,5 Aufgabe 1b Betrachten Sie (i) a = 0.59 + 10.06 + 4.06,
Matrizen. Jörn Loviscach. Versionsstand: 12. April 2010, 19:00 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung.
Matrizen Jörn Loviscach Versionsstand: 12. April 2010, 19:00 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung. 1 Matrix Ein rechteckige Anordnung von mathematischen Objekten
Matrix: Eine rechteckige Anordnung reeller Zahlen a ij (i = 1,..., n i ; j = 1,..., m) in Zeilen und Spalten. Die a ij heiÿen Elemente von A.
Matrizenrechnung Matrix: Eine rechteckige Anordnung reeller Zahlen a ij i = 1,..., n i ; j = 1,..., m in Zeilen und Spalten. Die a ij heiÿen Elemente von A. a 11 a 12... a ij... a 1m a 21 a 22.........
Matrizen. Jörn Loviscach
Matrizen Jörn Loviscach Versionsstand: 7. April 2010, 14:27 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung. Videos dazu: http://www.youtube.com/joernloviscach 1 Matrix Ein
Matrizen. Jörn Loviscach. Versionsstand: 14. April 2009, 00:25
Matrizen Jörn Loviscach Versionsstand: 14. April 2009, 00:25 1 Matrix Ein rechteckige Anordnung von mathematischen Objekten (typischerweise Zahlen) heißt Matrix (Mehrzahl: Matrizen) [matrix, matrices].
D-INFK Lineare Algebra HS 2016 Özlem Imamoglu Olga Sorkine-Hornung. Musterlösung 13
D-INFK Lineare Algebra HS 6 Özlem Imamoglu Olga Sorkine-Hornung Musterlösung 3. a) Wir berechnen 3 A T A = 3 Bei der Berechnung des charakteristischen Polynoms erkennt man leicht, dass man das Monom (
Arrays. Gilbert Beyer und Annabelle Klarl. Einführung in die Informatik. Zentralübung zur Vorlesung Einführung in die Informatik
Arrays Zentralübung zur Vorlesung Einführung in die Informatik http://www.pst.ifi.lmu.de/lehre/wise-11-12/infoeinf WS11/12 Inhalte der heutigen Vorlesung: Arraytypen Speicherdarstellung von Arrays Auswertung
Vektoren und Matrizen
Vektoren und Matrizen Die multivariate Statistik behandelt statistische Eigenschaften und Zusammenhänge mehrerer Variablen, im Gegensatz zu univariaten Statistik, die in der Regel nur eine Variable untersucht.
SPRACHTECHNOLOGIE IN SUCHMASCHINEN IR-GRUNDLAGEN
SPRACHTECHNOLOGIE IN SUCHMASCHINEN IR-GRUNDLAGEN HAUPTSEMINAR SUCHMASCHINEN COMPUTERLINGUISTIK SOMMERSEMESTER 2016 STEFAN LANGER STEFAN.LANGER@CIS.UNI -MUENCHEN.DE Übung (Gruppenarbeit, 10-15 min.) Sie
1 Eine Einführung in die objektorientierte Programmierung
#!/usr/bin/env python3 # -*- coding: utf-8 -*- # """ # Created on Fri Jan 12 09:34:34 2018 # # @author: christianehelzel # """ import matplotlib.pyplot as plt 1 Eine Einführung in die objektorientierte
Numerik I. Aufgaben und Lösungen
Universität zu Köln SS 2009 Mathematisches Institut Prof Dr C Tischendorf Dr M Selva, mselva@mathuni-koelnde Numerik I Musterlösung Übungsblatt 4, Kondition (5 Punkte) Aufgaben Lösungen (4 Punkte) Zeigen
Matrizen. a12 a1. a11. a1n a 21. a 2 j. a 22. a 2n. A = (a i j ) (m, n) = i te Zeile. a i 1. a i 2. a i n. a i j. a m1 a m 2 a m j a m n] j te Spalte
![Matrizen. a12 a1. a11. a1n a 21. a 2 j. a 22. a 2n. A = (a i j ) (m, n) = i te Zeile. a i 1. a i 2. a i n. a i j. a m1 a m 2 a m j a m n] j te Spalte](/thumbs/71/64996309.jpg "Matrizen. a12 a1. a11. a1n a 21. a 2 j. a 22. a 2n. A = (a i j ) (m, n) = i te Zeile. a i 1. a i 2. a i n. a i j. a m1 a m 2 a m j a m n] j te Spalte")
Mathematik I Matrizen In diesem Kapitel werden wir lernen was Matrizen sind und wie man mit Matrizen rechnet. Matrizen ermöglichen eine kompakte Darstellungsform vieler mathematischer Strukturen. Zum Darstellung
Mathematische Grundlagen
Mathematische Grundlagen 1 / 16 Vektorraum u R n, u = (u 1,..., u n ), u k R Euklidisches Skalarprodukt Euklidische Vektornorm (u, v) = u k v k u 2 = (u, u) = n u 2 k Vektoren u, v R n heißen orthogonal,
D 1 D 2 D 3 D 4 D 5... D m S S S S n
Page-Rank Wir wollte in einem Corpus von Texten, wie z.b. Bücher, Webseiten, Anleitung usw., nach bestimmten Inhalten aus einer Menge von Schlüsselworten suchen Sei S = {S,S,...,S n,s n } eine eine alphabeitsch
Praktikum zur Vorlesung: Numerische Mathematik für Lehramt SS Matlab: Fortsetzung. Jan Mayer. 4. Mai 2006
Praktikum zur Vorlesung: Numerische Mathematik für Lehramt SS 2006 Matlab: Fortsetzung Jan Mayer 4. Mai 2006 Manipulation von Matrizen und Vektoren [M,N]=size(A); speichert die Dimension einer Matrix bzw.
Dipl.-Volksw. Markus Pullen Wintersemester 2012/13
Statistische Auswertungen mit R Universität Kassel, FB 07 Wirtschaftswissenschaften Dipl.-Volksw. Markus Pullen Wintersemester 2012/13 Beispiele 2. Sitzung Wertzuweisungen zu Objekten, Vektoren, Matrizen,
Singular Value Decomposition
Singular Value Decomposition (Singulärwertzerlegung) Seminar Robust Design Vitali Müller 2 Inhalt Was ist die SVD? Interpretationen Anwendungsmöglichkeiten Berechnung 3 Datenmatrix Experiment mit n Objekten
MATRIZEN. Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen, als ein Schema betrachtet. a 11 a a 1n a 21. a a 2n A = a m1 a m2...
MATRIZEN Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen, als ein Schema betrachtet A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn A ist eine m n Matrix, dh: A hat m Zeilen und n Spalten A besitzt
Einführung in die Programmierung (MA8003)
Theorie 1.2: Vektoren & Matrizen II, Funktionen, Indizierung Dr. Lorenz John Technische Universität München Fakultät Mathematik, Lehrstuhl für Numerische Mathematik M2 04.10.2016 Theorie 1.2: Inhalt 1
Einführung in Python Teil II Bibliotheken für wissenschaftliches Rechnen
Einführung in Python Teil II Bibliotheken für wissenschaftliches Rechnen Valentin Flunkert Institut für Theoretische Physik Technische Universität Berlin Fr. 28.5.2010 Nichtlineare Dynamik und Kontrolle
Einführung in die Programmierung (MA8003)
Theorie 1.2: Vektoren & Matrizen II, Funktionen, Indizierung Dr. Laura Scarabosio Technische Universität München Fakultät Mathematik, Lehrstuhl für Numerische Mathematik M2 04.10.2017 Theorie 1.2: Inhalt
Reduced-Rank Least Squares Modelle
16.12.2008 Wiederholung Gegeben: Matrix A m n Paar Rechter Eigenvektor x, Eigenwert λ: A x = λ x mit x R n \ 0, λ N Paar Linker Eigenvektor y, Eigenwert λ: y T A = λ y T Singulärwertzerlegung (SVD): A
Nachtrag: Vergleich der Implementierungen von Stack
Nachtrag: Vergleich der Implementierungen von Stack In der letzten Vorlesung hatten wir zwei Implementierung der Klasse Stack: eine Implementierung als Liste (Array): liststack eine Implementierung als
Tag-basierte Ähnlichkeitsbestimmung bei ARTigo
Tag-basierte Ähnlichkeitsbestimmung bei ARTigo Crowdsourcing, Swarm Intelligence, Data Mining Referentin: Elena Levushkina Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung ARTigo Online-Spiel zur Verschlagwortung
Angewandte Multivariate Statistik Prof. Dr. Ostap Okhrin
Angewandte Multivariate Statistik Angewandte Multivariate Statistik Prof. Dr. Ostap Okhrin Ostap Okhrin 1 of 46 Angewandte Multivariate Statistik A Short Excursion into Matrix Algebra Elementare Operationen
mit "Skalarprodukt" aus i-tem "Zeilenvektor" und j-tem "Spaltenvektor"
Zusammenfassung Matrizen Transponierte: Addition: mit Skalare Multiplikation: Matrixmultiplikation: m x p m x n n x p mit ES "Skalarprodukt" aus i-tem "Zeilenvektor" und j-tem "Spaltenvektor" "Determinante"
Casio fx-cg20 Matrix eingeben, editieren, löschen und einfache Matrizenrechnungen
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 13.02.2014 Casio fx-cg20 Matrix eingeben, editieren, löschen und einfache Matrizenrechnungen Matrix eingeben Bevor die Daten einer Matrix eingegeben werden können,
Schriftlicher Test zu C (90 Minuten) VU Einführung ins Programmieren für TM. 1. Oktober 2012
Familienname: Vorname: Matrikelnummer: Aufgabe 1 (2 Punkte): Aufgabe 2 (3 Punkte): Aufgabe 3 (2 Punkte): Aufgabe 4 (3 Punkte): Aufgabe 5 (2 Punkte): Aufgabe 6 (1 Punkte): Aufgabe 7 (2 Punkte): Aufgabe
MATLAB Sommersemester 2018 Dr. Ulf Mäder
MATLAB Sommersemester 2018 Dr. Ulf Mäder Dr. Ulf Mäder - IMPS Folie 1 MATLAB - Befehle Allgemeine Form Zuweisungen Zwei Arten von Befehlen Anweisungen >> = Einfache Spezialform
Überbestimmte Gleichungssysteme
Siebente Vorlesung, 8. Mai 2008, Inhalt Überbestimmte Gleichungssysteme Kleinste Quadrate: einfaches Beispiel, elementare Herleitung Normalengleichungen Transformation mit QR-Zerlegung und SVD Nichtlineare
Informatik I: Einführung in die Programmierung 3. Werte, Typen, Variablen und Ausdrücke
Informatik I: Einführung in die Programmierung 3. Werte,, n und Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Peter Thiemann 30. Oktober 2018 1 30. Oktober 2018 P. Thiemann Info I 3 / 39 Bits Der Computer repräsentiert
oder A = (a ij ), A =
Matrizen 1 Worum geht es in diesem Modul? Definition und Typ einer Matrix Spezielle Matrizen Rechenoperationen mit Matrizen Rang einer Matrix Rechengesetze Erwartungswert, Varianz und Kovarianz bei mehrdimensionalen
In allen Fällen spielt die 'Determinante' einer Matrix eine zentrale Rolle.
Nachschlag:Transposition von Matrizen Sei Explizit: Def: "Transponierte v. A": (tausche Zeilen mit Spalten d.h., spiegle in der Diagonale) m Reihen, n Spalten n Reihen, m Spalten z.b. m=2,n=3: Eigenschaft:
Kapitel 4. Determinante. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 4 Determinante 1 / 24
Kapitel 4 Determinante Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 4 Determinante 1 / 24 Was ist eine Determinante? Wir wollen messen, ob n Vektoren im R n linear abhängig sind bzw. wie weit sie davon entfernt
In den USA verwendet man statt dessen eckige Klammern, was sich in der Software niederschlägt (mit Ausnahmen wie Wolfram Alpha):
3 Matrizen Jörn Loviscach Versionsstand: 20. März 2012, 16:02 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung. Videos dazu: http://www.j3l7h.de/videos.html This work is licensed
1 9. Vorlesung. 1.1 Wiederholung:
#!/usr/bin/env python3 # -*- coding: utf-8 -*- # #Created on Thu Nov 30 11:23:24 2017 # #@author: christianehelzel # 1 9. Vorlesung 1.1 Wiederholung: Bestimme zu einer gegebenen Matrix eine Zerlegung der
Kapitel 6: Matrixrechnung (Kurzeinführung in die Lineare Algebra)
Kapitel 6: Matrixrechnung (Kurzeinführung in die Lineare Algebra) Matrix: (Plural: Matrizen) Vielfältige Anwendungen in der Physik: - Lösung von linearen Gleichungsystemen - Beschreibung von Drehungen
3 Invertierbare Matrizen Die Inverse einer (2 2)-Matrix Eigenschaften invertierbarer Matrizen... 18
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik 2 Dr. Thomas Zehrt Vektoren und Matrizen Inhaltsverzeichnis Vektoren(Wiederholung bzw. Selbststudium 2. Linearkombinationen..............................
In den USA verwendet man statt dessen eckige Klammern, was sich in der Software niederschlägt (mit Ausnahmen wie Wolfram Alpha):
3 Matrizen Jörn Loviscach Versionsstand: 28. März 2015, 21:32 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen beim Ansehen der Videos: http://www.j3l7h.de/videos.html This work is licensed
Multimedia Programmierung mit Python
Multimedia Programmierung mit Python Nils Werner Stefan Balke 12. August, 2015 Grundlagen Hallo Welt print("hallo Welt") $ python hallo.py 3 Einfache Variablen a = 1 b = 1.5 s = "Hallo" # Ganzzahl # Dezimalzahl
[Nächste Frage: wie wissen wir, ob Spaltenvektoren eine Basis bilden? Siehe L6.1] , enthält eine Basis v. V, nämlich und somit das ganze V.
![[Nächste Frage: wie wissen wir, ob Spaltenvektoren eine Basis bilden? Siehe L6.1] , enthält eine Basis v. V, nämlich und somit das ganze V.](/thumbs/62/48189191.jpg "[Nächste Frage: wie wissen wir, ob Spaltenvektoren eine Basis bilden? Siehe L6.1] , enthält eine Basis v. V, nämlich und somit das ganze V.")
Kriterien für Invertierbarkeit einer Matrix Eine lineare Abbildung falls und nur falls ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, (i) für jede Basis, die Bildvektoren auch eine Basis, bilden; (intuitiv
1 Lineare Unabhängigkeit Äquivalente Definition Geometrische Interpretation Vektorräume und Basen 6
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik Dr. Thomas Zehrt Vektorräume und Rang einer Matrix Inhaltsverzeichnis Lineare Unabhängigkeit. Äquivalente Definition.............................
Matrixprodukt und Basiswechsel bei Abbildungen
Matrixprodukt und Basiswechsel bei Abbildungen 1 Erster Teil: Das Matrixprodukt Wie multipliziert man eine Matrix mit einer Matrix? 2 Zur Erinnerung: Wie multipliziert man einen Zeilenvektor mit einem
Rang einer Matrix. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Rang einer Matrix 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Unterdeterminante einer nichtquadratischen Matrix M ist eine nichtquadratische 2,3-Matrix: M = 6 2 3 0 5 7 Durch Streichen einer der drei Spalten kann man
Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen
Signalverarbeitung und Musikalische Akustik - MuWi UHH WS 06/07 Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen Universität Hamburg Vektoren entstanden aus dem Wunsch, u.a. Bewegungen, Verschiebungen
image.png Die Dokumentation von Python, welche ich so sehr empfehle, findet ihr hier: https://py-tutorialde.readthedocs.io/de/python-3.
Einführung in Python Relevante Links Mit dem Paket "Anaconda" habt ihr sofort das wissenschaftliche Notebook "Jupyter" dabei. Hier der Downloadlink: https://www.continuum.io/downloads (https://www.continuum.io/downloads)
Diskrete Modellierung
Diskrete Modellierung Wintersemester 2018/19 Martin Mundhenk Uni Jena, Institut für Informatik 13. November 2018 3.3.1 3.3 Entwurf von Datentypen Durch das Erzeugen von Datentypen entwickelt der Programmierer
Matrizen: Grundbegriffe. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Matrizen: Grundbegriffe -E Ma Lubov Vassilevskaya Lineares Gleichungssystem Abb. : Der Schnittpunkt P der beiden Geraden ist die graphische Lösung des linearen Gleichungssystem g : y = x, g 2 : y = 3 x,
Numerisches Rechnen. (für Informatiker) M. Grepl P. Esser & G. Welper & L. Zhang. Institut für Geometrie und Praktische Mathematik RWTH Aachen
Numerisches Rechnen (für Informatiker) M. Grepl P. Esser & G. Welper & L. Zhang Institut für Geometrie und Praktische Mathematik RWTH Aachen Wintersemester 2011/12 IGPM, RWTH Aachen Numerisches Rechnen
Korrelationsmatrix. Statistische Bindungen zwischen den N Zufallsgrößen werden durch die Korrelationsmatrix vollständig beschrieben:
Korrelationsmatrix Bisher wurden nur statistische Bindungen zwischen zwei (skalaren) Zufallsgrößen betrachtet. Für den allgemeineren Fall einer Zufallsgröße mit N Dimensionen bietet sich zweckmäßiger Weise
3 Lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Wir wissen bereits, dass ein lineares Gleichungssystem genau dann eindeutig lösbar ist, wenn die zugehörige Matrix regulär ist. In diesem Kapitel lernen wir unterschiedliche Verfahren
1 10. Vorlesung: Die QR Zerlegung
#!/usr/bin/env python3 # -*- coding: utf-8 -*- # """ # Created on Mon Dec 11 17:44:18 2017 # # @author: christianehelzel # """ 1 10. Vorlesung: Die QR Zerlegung Ziel: Finde eine Zerlegung der Matrix A
Informatik I. Informatik I Motivation Installation Das Modul numpy Funktionswerte zeich nen) 27.1 Motivation.
Informatik I 06.02.2014 27. Wissenschaftliches Rechnen mit numpy, scipy und matplotlib Informatik I 27. Wissenschaftliches Rechnen mit numpy, scipy und matplotlib Bernhard Nebel Albert-Ludwigs-Universität
Erkennung der kontextfreien Grammatiken mittels Boolescher Matrixmultiplikation
Erkennung der kontextfreien Grammatiken mittels Boolescher Matrixmultiplikation Valiant-Erkenner Referent: Fedor Uvarov eminar Algorithmen zu kontextfreien Grammatiken Dozenten: Prof Dr. Hofmann, Dr. Leiß
Übungspaket 23 Mehrdimensionale Arrays
Übungspaket 23 Mehrdimensionale Arrays Übungsziele: Skript: Deklaration und Verwendung mehrdimensionaler Arrays Kapitel: 49 Semester: Wintersemester 2016/17 Betreuer: Kevin, Matthias, Thomas und Ralf Synopsis:
Übungspaket 23 Mehrdimensionale Arrays
Übungspaket 23 Mehrdimensionale Arrays Übungsziele: Skript: Deklaration und Verwendung mehrdimensionaler Arrays Kapitel: 49 Semester: Wintersemester 2016/17 Betreuer: Kevin, Matthias, Thomas und Ralf Synopsis:
Formulierung mittels Dynamischer Programmierung
Formulierung mittels Dynamischer Programmierung Beobachtung: die Anzahl der Teilprobleme A i j n mit i j n ist nur Folgerung: der naïve rekursive Algo berechnet viele Teilprobleme mehrfach! Idee: Bottom-up-Berechnung
Datenstrukturen und Algorithmen. Vorlesung 5
Datenstrukturen und Algorithmen Vorlesung 5 Inhaltsverzeichnis Vorige Woche: Sortierte Listen Zyrkuläre Listen Verkettete Listen auf Arrays Heute betrachten wir: Skip Listen ADT Set ADT Map Iterator ADT
Eine lineare Abbildung ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, falls und nur falls
Kriterien für Invertierbarkeit einer Matrix Eine lineare Abbildung ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, falls und nur falls (i) für jede Basis, die Bildvektoren auch eine Basis, bilden; (intuitiv
Mathematische Computer-Software
Mathematische Computer-Software Kommerzielle Computeralgebrasysteme (CAS) Beispiele: Mathematica, Maple, Numerisches und symbolisches Verarbeiten von Gleichungen: Grundrechenarten Ableitung und Integration
Singulärwert-Zerlegung
Singulärwert-Zerlegung Zu jeder komplexen (reellen) m n-matrix A existieren unitäre (orthogonale) Matrizen U und V mit s 1 0 U AV = S = s 2.. 0.. Singulärwert-Zerlegung 1-1 Singulärwert-Zerlegung Zu jeder
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Lineare Algebra
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Lineare Algebra Dozentin: Wiebke Petersen 10. Foliensatz Wiebke Petersen math. Grundlagen 1 Einleitung Die lineare Algebra beschäftigt sich mit Vektorräumen
Lineare Algebra. 13. Übungsstunde. Steven Battilana.
Lineare Algebra. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch January 2, 27 Erinnerung Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren Gegeben: A E n n (falls F : V V lineare Abbildung gegeben ist,
Vektorräume und Rang einer Matrix
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektorräume und Rang einer Matrix Dr. Thomas Zehrt Inhalt:. Lineare Unabhängigkeit 2. Vektorräume und Basen 3. Basen von R n 4. Der Rang und Rangbestimmung
Basiswissen Matrizen
Basiswissen Matrizen Mathematik GK 32 Definition (Die Matrix) Eine Matrix A mit m Zeilen und n Spalten heißt m x n Matrix: a a 2 a 4 A a 2 a 22 a 24 a 4 a 42 a 44 Definition 2 (Die Addition von Matrizen)