Tensoren in der Datenanalyse
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- Timo Meissner
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1 Tensoren in der Datenanalyse Edgar Tretschk Universität des Saarlandes 2. Dezember
2 Inhalt 1 Grundlagen 2 Singulärwertzerlegung 3 Ziffernerkennung 4 Bewegungsabläufe 2
3 Tensoren als mehrdimensionale Datenarrays Tensor: Verallgemeinerung von Vektoren und Matrizen auf beliebig viele Dimensionen dreidimensionale Tensoren über R: A = (a ijk ) R l m n Ziffernerkennung n verschiedene Bilder von Ziffern D R n 3
4 Tensoren als mehrdimensionale Datenarrays Tensor: Verallgemeinerung von Vektoren und Matrizen auf beliebig viele Dimensionen dreidimensionale Tensoren über R: A = (a ijk ) R l m n multipliziere Vektoren der d-ten Dimension von A mit M: A d M Ziffernerkennung n verschiedene Bilder von Ziffern D R n 4
5 Frobenius-Norm, Orthogonalität & Untertensoren analog zu Vektoren und Matrizen: inneres Produkt: A, B := i,j,k a ijk b ijk Frobenius-Norm: ( A F := A, A 1/2 = Orthogonalität: A, B = 0 i,j,k a 2 ijk ) 1/2 k-ter (n 1-dimensionaler) Untertensor in der d-ten Dimension (fixiere d-ten Index auf k): S id =k 5
6 Singulärwert-Zerlegung von Matrizen in Tensorschreibweise betrachte M R m n als Tensor: M = U (1) Σ U (2)T = Σ 1 U (1) 2 U (2) Interpretation: U (1) transformiert Spalten (Vektoren der ersten Dimension) von Σ U (2) transformiert Zeilen (Vektoren der zweiten Dimension) von Σ 6
7 Singulärwert-Zerlegung von Tensoren A = S 1 U (1) 2 U (2) 3 U (3) Kerntensor S stellt Singulärwerte dar jede Dimension d hat eigene Singulärwerte: k-ter Singulärwert der d-ten Dimension: σ (d) k := S id =k F Ordnung der Singulärwerte einer Dimension d: σ (d) 1 σ (d) 2... σ (d) I d 7
8 Singulärwert-Zerlegung von Tensoren A = S 1 U (1) 2 U (2) 3 U (3) Kerntensor S stellt Singulärwerte dar jede Dimension d hat eigene Singulärwerte: k-ter Singulärwert der d-ten Dimension: σ (d) k := S id =k F Ordnung der Singulärwerte einer Dimension d: σ (d) 1 σ (d) 2... σ (d) I d S ist nicht diagonal, sondern orthogonal: alle parallelen Scheiben sind paarweise orthogonal 8
9 Berechnung der Singulärwertzerlgung Matrix-Singulärwertzerlegung für Dimension d: setze: A d = U (d) Σ (d) (V (d) ) T S := A 1 (U (1) ) 1 2 (U (2) ) 1 3 (U (3) ) 1 9
10 Optimierte Basis für Ziffern (I) wähle Basis (B k ) mit B k := S i3 =k 1 U (1) 2 U (2) erste Reihe: B 1, B 2 und B 3 zweite Reihe: entsprechende Scheiben S i3 =1, S i3 =2 und S i3 =3 Quelle: Eldén,
11 Optimierte Basis für Ziffern (II) erster/größter Singulärwert in dritter Dimension: S i3 =1 wichtigste Richtung aller Ziffern: B 1 größte Abweichungsrichtung von B 1 : B 2 orthogonale Basis robuste Darstellung von Ziffern 11
12 Darstellung unbekannter Ziffer Z in optimierter Basis Optimierungsproblem via Methode der kleinsten Quadrate: Z n F min z j B j z R n j=1 Ergebnis: z j = Z, B j, j = 1,..., n B j, B j 12
13 Singulärwertzerlegung von Bewegungsabläufen einzelne Bewegung: Vektor b R w von Gelenkwinkeln zu bestimmten Zeiten n Personen führen m verschiedene Bewegungsarten aus: R n m w M 13
14 Singulärwertzerlegung von Bewegungsabläufen einzelne Bewegung: Vektor b R w von Gelenkwinkeln zu bestimmten Zeiten n Personen führen m verschiedene Bewegungsarten aus: R n m w M = S 1 P P enthält die Personenparameter (Signatur) p i jedes Individuums i p T 1 p T n p T P = 2. 14
15 Singulärwertzerlegung von Bewegungsabläufen einzelne Bewegung: Vektor b R w von Gelenkwinkeln zu bestimmten Zeiten n Personen führen m verschiedene Bewegungsarten aus: R n m w M = S 1 P 2 A P enthält die Personenparameter (Signatur) p i jedes Individuums i, A die Bewegungsparameter a j jeder Bewegungsart j p T 1 a T 1 p T P = 2., A = a T 2. p T n a T m 15
16 Singulärwertzerlegung von Bewegungsabläufen einzelne Bewegung: Vektor b R w von Gelenkwinkeln zu bestimmten Zeiten n Personen führen m verschiedene Bewegungsarten aus: R n m w M = S 1 P 2 A 3 J P enthält die Personenparameter (Signatur) p i jedes Individuums i, A die Bewegungsparameter a j jeder Bewegungsart j und J die Eigenbewegungen p T 1 a T 1 p T P = 2., A = a T 2. p T n a T m 16
17 Basis für Bewegungsarten Bewegungsbasis für Bewegungsart j: A j := S 2 a T j 3 J 17
18 Basis für Bewegungsarten Bewegungsbasis für Bewegungsart j: A j := S 2 a T j 3 J Linearkombination der Zeilenvektoren von A j gemäß p i liefert Instanz b i,j der Bewegungsart j für Person i: b i,j = p T i A j 18
19 Bewegungssynthese zu neuer Person u neue Person u führt Bewegungsart j aus: b u,j löse nach Signatur p u auf: b u,j = p T u A j 19
20 Bewegungssynthese zu neuer Person u neue Person u führt Bewegungsart j aus: b u,j löse nach Signatur p u auf: b u,j = p T u A j gemäß p u synthetisierte Bewegungen für Person u: S 1 p T u 2 A 3 J k-ter Vektor der dritten Dimension des Tensors entspricht b u,k 20
21 Basis für Personen Bewegungsbasis für Person i: P i := S 1 p T i 3 J 21
22 Basis für Personen Bewegungsbasis für Person i: P i := S 1 p T i 3 J Linearkombination der Zeilenvektoren von P i gemäß a j liefert Instanz b i,j der Bewegungsart j für Person i: b i,j = a T j P i 22
23 Bewegungssynthese zu neuer Bewegung v bekannte Person i führt neue Bewegungsart v aus: b i,v löse nach Signatur a v auf: b i,v = a T v P i 23
24 Bewegungssynthese zu neuer Bewegung v bekannte Person i führt neue Bewegungsart v aus: b i,v löse nach Signatur a v auf: b i,v = a T v P i gemäß a v synthetisierte Bewegungen für Bewegungsart v: S 1 P 2 a T v 3 J k-ter Vektor der dritten Dimension des Tensors entspricht b k,v 24
25 Haarlose Personen sind synthetisierte Versionen der anderen Quelle: Vasilescu, Human motion signatures: Analysis, synthesis, recognition,
26 Anhand von Treppensteigen synthetisierte Laufbewegung Quelle: Vasilescu, Human motion signatures: Analysis, synthesis, recognition,
27 Anhand von Treppensteigen synthetisierte Laufbewegung Quelle: Vasilescu, Human motion signatures: Analysis, synthesis, recognition,
28 Anhand von Treppensteigen synthetisierte Laufbewegung Quelle: Vasilescu, Human motion signatures: Analysis, synthesis, recognition,
29 Anhand von Treppensteigen synthetisierte Laufbewegung Quelle: Vasilescu, Human motion signatures: Analysis, synthesis, recognition,
30 Quellen I Eldén, L. Matrix methods in data mining and pattern recognition. Volume 4, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, De Lathauwer, Lieven and De Moor, Bart and Vandewalle, Joos. A multilinear singular value decomposition. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 21(4): , Vasilescu, M Alex O. Human motion signatures: Analysis, synthesis, recognition. 16th International Conference on Pattern Recognition. Proceedings, 3: ,
31 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! 31
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