TAYLOR Formel in R n Buch Kap. 5.11

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1 TAYLOR Formel in R n Buch Kap Multi-Indizes Für ein n-tupel α = (α l,..., α n ) N n 0 sei α := α 1 + α α n, α! := α 1! α 2! α n!, h α := h α 1 1 hα 2 2 hαn n. Ist f eine α -mal stetig differenzierbare Funktion, so setzt man α α x f := α α 1 x1 αn x n f. Analysis III November 13, / 115

2 TAYLOR Formel in R n Buch Kap Multi-Indizes, Beispiele Analysis III November 13, / 115

3 TAYLOR Formel in R n Buch Kap Satz 5.6: TAYLOR Formel in R n Die Funktion f : D R mit D R n offen sei (p + 1) mal stetig partiell differenzierbar, und die Strecke [x 0, x 0 + h] von x 0 und x 0 + h liege komplett in D. Dann gilt die TAYLOR-Formel mit dem Restglied f (x 0 + h) = R(x 0, h) = α p α =p+1 α f α x (x 0) h α + R(x 0, h) α! α f α x (x 0 + θh) h α. α! Analysis III November 13, / 115

4 TAYLOR Formel in R n Buch Kap Definition 5.32: TAYLOR Polynom Die Funktion f : D R, D R n sei (p + 1) mal stetig partiell differenzierbar, und [x 0, x 0 + h] sei eine im Inneren von D liegende Strecke. Dann heißt T p (x 0 + h) := α p α f α x (x 0) h α α! TAYLOR Polynom p ten Grades der Funktion f (x) zum Entwicklungspunkt x 0. Analysis III November 13, / 115

5 TAYLOR Formel in R n Buch Kap Beispiele Analysis III November 13, / 115

6 TAYLOR Formel in R n Buch Kap Beispiele Analysis III November 13, / 115

7 TAYLOR Formel in R n Buch Kap Beispiele Analysis III November 13, / 115

8 Mittelwertsatz Buch Kap Satz 5.7: Mittelwertsatz Ist f : D R, D R n einmal stetig partiell differenzierbar, und ist [x 0, x 0 + h] eine im Inneren von D liegende Strecke. Dann gibt es eine Zahl θ mit 0 < θ < 1, so dass f (x 0 + h) f (x 0 ) = h 1 f x1 (x 0 + θh) + h 2 f x2 (x 0 + θh) +... Es gilt die Abschätzung f (x 0 + h) f (x 0 ) h max 0 s 1 + h n f xn (x 0 + θh). n f xi (x 0 + sh) 2. i=1 Analysis III November 13, / 115

9 Mittelwertsatz Buch Kap Beispiele Analysis III November 13, / 115

10 Quadratische Approximation Buch Kap Vorüberlegung Analysis III November 13, / 115

11 Quadratische Approximation Buch Kap Vorüberlegung Analysis III November 13, / 115

12 Quadratische Approximation Buch Kap Satz 5.8: Quadratische Approximation Das TAYLOR-Polynom zweiten Grades einer Funktion f an der Stelle x 0 kann man in der Form T 2 (x) = f (x 0 ) + grad f (x 0 ) (x x 0 ) (x x 0) T H f (x 0 )(x x 0 ) darstellen, wobei H f die HESSE Matrix der Funktion f bezeichnet. Analysis III November 13, / 115

13 Quadratische Approximation Buch Kap Beispiele Analysis III November 13, / 115

14 Quadratische Approximation Buch Kap Beispiele Analysis III November 13, / 115

15 Extrema mit und ohne Nebenbedingungen Analysis III November 13, / 115

16 LA Wiederholung Buch Kap (Semi-)definite Matrizen Eine Matrix P R n n heißt symmetrisch, wenn P = P. Eine symmetrische Matrix P R n n heißt positiv definit, wenn x Px > 0 für alle x R n \ {0}. Eine symmetrische Matrix P R n n heißt positiv semidefinit, wenn x Px 0 für alle x R n. Eine symmetrische Matrix P R n n heißt negativ definit, wenn P positiv definit ist. Eine symmetrische Matrix P R n n heißt negativ semidefinit, wenn P positiv semidefinit ist. Eine symmetrische Matrix P R n n heißt indefinit, wenn P weder positiv noch negativ semidefinit ist. Analysis III November 13, / 115

17 LA Wiederholung Buch Kap Charakterisierung positiv definiter Matrizen Gegeben sei eine symmetrische Matrix P R n n. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: P ist positiv definit. Alle Eigenwerte von P sind positiv. Alle Hauptabschnittsdeterminanten det(p k ) sind positiv. P ist positiv semidefinit und ker P {0}. Analysis III November 13, / 115

18 LA Wiederholung Buch Kap Charakterisierung positiv semidefiniter Matrizen Gegeben sei eine symmetrische Matrix P R n n. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: P ist positiv semidefinit. Alle Eigenwerte von P sind nichtnegativ. Alle Hauptabschnittsdeterminanten det(p k ) sind nichtnegativ. Analysis III November 13, / 115

19 LA Wiederholung Buch Kap Charakterisierung negativ definiter Matrizen Gegeben sei eine symmetrische Matrix P R n n. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: P ist negativ definit. Alle Eigenwerte von P sind negativ. Die Hauptabschnittsdeterminanten det(p k ) sind abwechselnd negativ und positiv. Analysis III November 13, / 115

20 LA Wiederholung Buch Kap Charakterisierung negativ semidefiniter Matrizen Gegeben sei eine symmetrische Matrix P R n n. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: P ist negativ semidefinit. Alle Eigenwerte von P sind nichtpositiv Die Hauptabschnittsdeterminanten det(p k ) abwechselnd nichtpositiv und nichtnegativ. Analysis III November 13, / 115

21 LA Wiederholung Buch Kap Charakterisierung indefiniter Matrizen Gegeben sei eine symmetrische Matrix P R n n. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: P ist indefinit. P hat mindestens einen positiven Eigenwert und mindestens einen positiven Eigenwert. Analysis III November 13, / 115