Taylor-Entwicklung von f(x,y)

Transkript

1 TaylorFormel Taylor-Entwicklung von f(x,y) Die Figur TaylorFormel.ggb zeigt die Taylorpolynome T 1 (x,y) vom Grad 1 (Tangentialebene) und T 2 (x,y) vom Grad 2 der Funktion f(x,y) um den Entwicklungspunkt P 0 = (x 0, y 0 ) Laut Konstruktionsprotokoll wird zunächst die Funktion f (samt Eingabefeld) definiert. 1 / 2

2 TaylorFormel Dann wird der Entwicklungs-Punkt P 0 im xy-koordinatensystem (2D-Fenster) gewählt, die Werte x 0, y 0 und fp = f(x 0,y 0 ) definiert sowie der zugehörige Punkt P auf dem Graphen von f. Mit den Befehlen f_x = Ableitung[f(x,y), x] und f_y = Ableitung[f(x,y), y] erhält man die partiellen Ableitungen von f nach x bzw. y und damit die Koeffizienten f x p und f y p von T 1 (x,y). Die Graphen von f x und f y blendet man wegen der Übersichtlichkeit aus. Die Eingabe T_1(x,y) = fp + f_xp (x - x_0) + f_yp (y - y_0) liefert die Tangenentialebene von f in P mit dem Normalenvektor n = Vektor[P, P + (f_xp, f_yp, -1) ]. Die zweiten partiellen Ableitungen erhält man analog, z.b. f_{yx}(x,y) = Ableitung[f_y(x,y), x] wobei man im Algebrafenster sieht, dass nach dem Satz von Schwarz, bei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen f xy mit f yx übereinstimmt. Mit den Werten f xx p, f xy p ( =f yx p ) und f yy p erhält man das Taylorpolynom vom Grad 2 als T_2(x,y) = T_1(x, y) + 1/2 (f_{xx}p (x - x_0)² + 2f_{xy}p (x - x_0) (y - y_0) + f_{yy}p (y - y_0)²) Mit den Wahrheitswerten (Kontrollkästchen) ww1 und ww2 kann man die Taylorpolynome T 1 und T 2 ein und ausblenden (siehe Eigenschaften -> Erweitert). Bei P 0 = (0, 0) liegt T 1 schräg und T 2 ist ein Paraboloid. Bei P 0 = (-0.519, 0) bzw. (-1.032, 0) liegt T 1 annähernd horizontal. T 2 ist im Bild links ein nach oben geöffnetes Paraboloid, rechts ein hyperbolisches Paraboloid, d.h. in P 0 liegt ein Minimum bzw. ein Sattelpunkt von f vor. 2 / 2

3 Extrema Extrema eines Polynoms in x und y Um Extrema einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion f(x,y) zu bestimmen, sucht man zunächst die stationären Stellen mit grad f = (f x, f y ) = (0,0) (Tangentialebene T 1 horizontal) und untersucht an diesen Stellen die über die zweiten partiellen Ableitungen von f bestimmte Hessematrix H f. Ist diese positiv/negativ definit ( det H f > 0 f xx > 0 bzw. < 0), so liegt ein Minimum/Maximum vor, ist diese indefinit ( det H f < 0) so liegt ein Sattelpunkt vor. Die Figur Extrema.ggb zeigt im Grafik 2-Fenster dazu die durch f x (x,y) = 0 und f y (x,y) = 0 implizit gegebenen Kurven, deren Schnittpunkte [P 0 = (0,0) oder (1/3,1/3)] die stationären Stellen des Polynoms f(x,y) = x 3 + x y y 3 sind. Im 3D-Fenster ist neben dem Graphen von f das zweite Taylorpolynom T 2 an der gewählten stationären Stelle P 0 ausgegeben. 1 / 2

4 Extrema Nach Definition von f(x,y) wird mit der partiellen Ableitungen f_x(x,y) = Ableitung[f(x,y), x] und dem Befehl ImpliziteKurve[f_x(x,y)] die implizite Kurve f x (x,y) = 0 erzeugt, analog f y (x,y) = 0 und mit Schneide[fx, fy] deren Schnittpunkte A und B, vgl. Zeilen 1 6. Im Fall, dass f(x,y) kein Polynom in x und y ist, kann man im CAS-Teil von GeoGebra Lösungen des Gleichungssystems f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 suchen. Mit dem Wahrheitswert w (Kontrollkästchen) kann man P 0 gleich A oder gleich B wählen und (zur Kontrolle) das Taylorpolynom T 1 von f an dieser Stelle bestimmen, vgl. Zeilen Die zweiten partiellen Ableitungen bestimmt man z.b. als f_{xy}(x,y) = Ableitung[f_x(x,y), y], und stellt fest, dass f yx = f xy ist, da f(x,y) zweimal stetig differenzierbar ist (Satz von Schwarz). Mit den Werten f xx p, f xy p und f xx p dieser Ableitungen an der Stelle P 0 erhält man: 1) das Taylorpolynom 2.Grades T 2 das für P 0 = B ein nach oben geöffnetes Paraboloid ist, womit an der Stelle B ein relatives Minimum vorliegt und für P 0 = A ein hyperbolisches Paraboloid, womit dort ein Sattelpunkt (mit horizontaler Tangentenebene) vorliegt. 2) Die (symmetrische) Hessematrix H_f = { { f_{xx}p, f_{xy}p }, { f_{xy}p, f_{yy}p } } als Liste von Listen, deren Determinante deth_f = Determinante[H_f] für P 0 = B positiv und für P 0 = A negativ ist. Wegen f xx (B) > 0 liegt damit an der Stelle B ein Minimum und an der Stelle A ein Sattelpunkt vor, was mit dem Text5 im Zeichenfenster angegeben wird: Wenn[ deth_f 0, "keine Aussage", Wenn[ deth_f < 0, "P_0 ist Sattelpunkt", Wenn[ f_{xx}p > 0, "P_0 ist Minimum", "P_0 ist Maximum"] ] ] Betrachte auch das Beispiel Extrema-Parabel.ggb, bei dem die Extrema der Funktion f(x,y) = x 2 + y 2 unter der Nebenbedingung p(x,y) = x 2 +2y 11 = 0 zum einen direkt durch Einsetzen der Nebenbedingung in die Funktion f(x,y) zum anderen mit der Methode von Lagrange mit der Lagrangeschen Hilfsfunktion L(x,y, )=f(x,y)+ p(x,y) bestimmt werden. 2 / 2

5 Volumen Beispiel eines Volumenintegrals Die Figur Volumen.ggb zeigt die Berechnung des Volumens zwischen dem Rechteck B = {(x,y) x a, y c } und dem Graphen der Funktion,. Dabei soll zuerst über x von -a bis a und dann über y von -c bis c integriert werden. Das Konstruktionsprotokoll enthält zunächst die Festlegung des Rechtecks B über die freie Ecke E 1 im 1.Quatranten und deren Spiegelpunkte, vgl. Konstruktionsprotokoll. Nach Definition der Funktion f(x,y) wird zur Visualisierung der Integration ein Vieleck2 mit dem verschiebbaren Punkt y 0 auf der Strecke e = [c,d] (grün markiert) definiert, mit dem 1 / 2

6 Volumen die Strecke h = [Yl,Yr] (rot markiert) von unten nach oben über den Integrationsbereich B geschoben werden kann, siehe die Punkte a, b, c, d, y 0, Yl und Yr und die Strecken e und h. Mit Funktion[f(u,v), u, -a0, a0, v, -c0, y0] wird der Graph von f auf das Vieleck2 beschränkt, mit Kurve[t, y0, f(t,y0), t, -a0, a0] und H_1 = Oberfläche[u, y0, v f(u,y0), u, -a0, a0, v, 0, 1], allgem. Oberfläche[ x(u,v), y(u,v), z(u,v), u, u_start, u_end, v, v_start, v_end] der Schnitt längs y 0 dargestellt, was den ersten Integrationsschritt visualisiert. Diesen erhält man analytisch mit Fs(x,y) = Integral[f(x, y), x] als F(y) = Vereinfache[Fs(a0, y) - Fs(-a0, y)]. Mit V = Integral[F, -c0, y0] erhält man schließlich das Volumen von f über dem Vieleck2. Der Text3 gibt dann die analytische Berechnung als Text aus, siehe Volumen.ggb. 2 / 2